POLIEDRIIvana Bojovi 171/03 c

Sadraj z Poliedarske povri.............................................2 s Prizma..............................................................5 Piramida...........................................................8 Zarubljena piramida.........................................10 Pravilni poliedri................................................11 Povrina poliedara............................................12 s Povrina prizme................................................12 s Povrina pravouglog paralelopipeda..................13 s Povrina kocke..................................................13 s Povrina piramide.............................................13 s Povrina zarubljene piramide............................15 s Zapremina nekih poliedara................................16 Zapremina kvadra(pravouglog paralelopipeda).16 Zapremina kocke...............................................18 Kavalijerijev princip. Zapremina prizme..........18 Zapremina piramide..........................................19 Zapremina zarubljene piramide........................19 Literatura.........................................................21

1

Poliedarske povri i poliedri sProsta poliedarska povr je unija konanog broja mnogouglova, pri emu su s c c zadovoljeni sledei uslovi: c a) svaka stranica bilo kog mnogougla je stranica samo te povri ili samo jo s s jedne, njoj susedne povri; s b) svaka dva susedna mnogougla pripadaju dvema razliitim ravnima; c c) svaka dva nesusedna mnogougla mogu se povezati nizom mnogouglova iz tog skupa, tako da svaka dva uzastopna lana tog niza budu susedne povri. c s

Slika:1 Na slici 1 prikazane su proste poliedarske povri, a na slici 2 sloene poliedarske s z povri. s Poliedarska povr je zatvorena ako sve stranice mnogouglova pripadaju po s dvema povrima, a otvorena ako neka od stranica mnogouglova pripada samo s jednoj povri. s

2

Slika:2 Mnogouglovi od kojih je sastavljena poliedarska povr nazivaju se strane s (pljosni), a stranice i temena tih mnogouglova nazivaju se ivice i temena poliedarske povri. s Prosta zatvorena poliedarska povr razdvaja skup svih taaka prostora na s c dva disjunktna skupa: a) skup taaka sa osobinom da za svaku taku iz tog skupa postoji prava c c koja sa poliedarskom povri nema zajednikih taaka; s c c b) skup taaka sa osobinom da takva prava ne postoji. Prvi od ovih skupova c naziva se spoljanja oblast poliedarske povri, a drugi unutranja oblast. s s s

3

Slika:3 Unija proste zatvorene poliedarske povri i njene unutranje oblasti naziva s s se poliedar. Pri tome se strane, ivice i temena poliedarske povri nazivaju s stranama, ivicama i temenima poliedra. Du cije su krajnje take dva temena z c poliedra koja ne pripadaju istoj strani naziva se dijagonala poliedra. Poliedri mogu biti konveksni (sl. 3) ili konkavni (sl. 4). U ovom radu e biti c rei samo o konveksnim poliedrima. c

4

Slika:4

PrizmaPoliedar koji ima n + 2 strane (n 3, n - prirodan broj ), od kojih su dve n - tougaone i sadrane u dvema paralelnim disjunktnim ravnima, dok su sve z ostale paralelogrami, naziva se n - tostrana prizma. Dve n - tougaone strane prizme (koje pripadaju paralelnim ravnima) nazivaju se osnove prizme. Ostale (paralelogramske) strane prizme nazivaju se bone c strane. Unija bonih strana je bona povr ili omota prizme. c c s c

5

E1

D1 A1 C1 B1 E

D

A C B

Slika:5 Petouglovi ABCDE i ABCDE na slici 5 su osnove, a paralelogrami ABBA, BCCB, CDDC, DEED, EAAE su bone strane prizme. c Stranice n - tougaonih osnova prizme su osnovne ivice, a stranice bonih c strana su bone ivice prizme. Bone ivice prizme su medusobno paralelne. c c Temena osnova prizme su temena prizme (A, B, C, D, E, A, B, C, D, E na sl. 5).

6

M

N

Slika:6 Razlikujemo prave i kose prizme. Prizma je prava ako su njene bone ivice c normalne na ravni osnova (sl. 5), a ako bone ivice nisu normalne na ravni c osnova, prizma je kosa (sl. 6). Du iji krajevi pripadaju ravnima osnova prizme i koja je normalna na te zc ravni naziva se visina prizme. Kod prave prizme bilo koja bona ivica je njena c visina. Na sl. 6 visina kose prizme je du MN. z Prava prizma ije su osnove pravilni n - touglovi naziva se pravilna n c tostrana prizma. Prizma ije su osnove paralelogrami naziva se paralelopiped. Duine triju c z ivica paralelopipeda koje imaju zajedniko teme nazivaju se dimenzije paralelopc ipeda. Prav paralelopiped ije su osnove pravougaonici naziva se kvadar. Sve c strane kvadra su pravougaonici. Kvadar ije su sve strane kvadrati naziva se c kocka. Presek prizme sa nekom ravni je: a) normalan (ako je ravan normalna na bone ivice); c b) paralelan (ako je ravan paralelna osnovama); c) dijagonalan (ako ravan sadri dve nesusedne bone ivice). z c

7

PiramidaPoliedar koji ima n+1 strana (n 3, n - prirodan broj), od kojih je jedna n - tougao a sve ostale su trouglovi, naziva se n - tostrana piramida.

S

D E C A B

Slika:7 Na sl. 7 prikazana je petostrana, a na sl. 8 trostrana piramida. n - tougaona povr naziva se osnova piramide, a sve ostale trougaone strane nazivaju se bone s c strane. Unija svih bonih strana ini omota piramide. c c c

8

V

H

A

C O B

Slika:8 Na sl. 7 osnova piramide je petougao ABCDE, trouglovi SAB, SBC, SCD, SDE i SEA su bone strane piramide, a unija tih pet trouglova je omota pic c ramide. Stranice n - tougaone osnove piramide su osnovne ivice piramide, a stranice bonih strana bone ivice piramide. Na sl. 7 AB, BC, CD, DE, EA su osnovne c c ivice, dok su SA, SB, SC, SD, SE bone ivice piramide. Sve bone ivice piramide c c imaju jednu zajedniku taku koja se naziva vrh piramide. c c Razlikujemo prave i kose piramide. Piramida je prava (sl. 7) ako su sve bone ivice jednake, inae je kosa (sl. 8). c c Du iji su krajevi vrh piramide i normalna projekcija vrha na ravan osnove zc piramide naziva se visina piramide (H). Ako je piramida prava oko njene osnove moe se opisati krug. Podnoje visine nalazi se u centru tog kruga. z z Ako je osnova prave piramide pravilan mnogougao, piramida je pravilna.

9

V

H

h

D O A B

C

Slika:9 Visina bone strane piramide koja polazi iz vrha piramide naziva se apotema c i odgovara toj bonoj strani. Ako je piramida pravilna (kada su sve bone strane c c podudarne), to je apotema piramide (h) - sl. 9. Jednakoivina piramida je piramida ije su sve ivice iste duine. c c z Presek piramide sa nekom ravni je: a) paralelan (ako je ravan paralelna osnovi piramide ) b) dijagonalan (ako ravan sadri dve nesusedne bone ivice piramide). z c

Zarubljena piramidaPoliedar koji ima n+2 strane (n 3, n - prirodan broj), od kojih su dve homotetini n - touglovi u odnosu na neku taku S, a sve ostale strane su trapezi c c ije se paralelne stranice poklapaju sa odgovarajuim stranicama n - touglova, c c naziva se n - tostrana zarubljena piramida. Ako se n - tostrana piramida presee nekom ravni koja je paralelna ravni c osnove, dobija se mnogougao homotetian sa osnovom. Deo piramide izmedu c tih homotetinih povri je n - tostrana zarubljena piramida.Na slici 10 prikazana c s je etvorostrana zarubljena piramida. c

10

D1 F A1 B1

C1

S1 H

h D S2 A E B

C

Slika:10 Homotetini mnogouglovi nazivaju se osnove zarubljene piramide, dok njen c omota sainjavaju trapezi. Normala S1 S2 na ravni osnove (iji krajevi pric c c padaju tim ravnima) naziva se visina zarubljene piramide. Zarubljena piramida je prava ako je nastala od prave piramide, a pravilna ako je nastala od pravilne piramide. Kod pravilne zarubljene piramide podudarne su sve bone ivice, a bone strane su podudarni jednakokraki trapezi. Visina c c svake bone strane (trapeza) je apotema pravilne zarubljene piramide. Prava c koja prolazi kroz vrh pravilne piramide i centar (centar opisane krunice) osnove z naziva se osa te piramide. Osa pravilne zarubljene piramide je prava koja prolazi kroz centar njenih osnova.

Pravilni poliedriKonveksan poliedar je pravilan ako su sve njegove strane pravilni mnogouglovi i ako svi njegovi rogljevi imaju isti broj ivinih uglova. Iz ove denicije c c sledi da su sve ivice pravilnog poliedra medusobno jednake, da su svi ivini uglovi medusobno podudarni i da su sve strane takode medusobno podudarne. Postoji tano pet razliitih vrsta pravilnih poliedara. To su: tetraedar , c c oktaedar , ikosaedar . heksaedar i dodekaedar. Ako n oznaava broj stranica pravilnog mnogougla (koji ini stranu poliedra), c c m broj ivica u jednom temenu poliedra, s broj strana, i broj ivica, a t broj temena poliedra, tada u svakom od navedenih pet sluajeva vai: c z 1) ako je n=3, m=3 tada je s=4, i=6, t=4; imamo pravilan tetraedar koji ima etiri strane (sve su jednakostranini trouglovi); c c 11

2) ako je n=3, m=4 tada je s=8, i=12, t=6; imamo pravilan oktaedar koji ima osam strana (sve su jednakostranini trouglovi); c 3) ako je n=3, m=5 tada je s=20, i=30, t=12; imamo pravilan ikosaedar koji ima dvadeset strana (sve su jednakostranini trouglovi); c 4) ako je n=4, m=3 tada je s=4, i=12, t=8; imamo pravilan heksaedar (kocku) koji ima est strana (sve su kvadrati); s 5) ako je n=5, m=3 tada je s=12, i=30, t=20; imamo pravilan dodekaedar koji ima dvanaest strana (sve su pravilni petouglovi).

Povrine poliedara sPovrina poliedra je zbir povrina svih mnogouglova koji obrazuju njegovu s s poliedarsku povr. s Povrina prizme s Ako sa P oznaimo povrinu prizme, sa B povrinu njene osnove a sa M c s s povrinu omotaa, tada je prema deniciji povrina prizme s c s P = 2B + M Teorema 1: Povrina omotaa bilo koje prizme jednaka je proizvodu obima s c normalnog preseka i duine njene bone ivice. z c

A5 A1 A4 A2 B1 A3 B4

B5

B2 A1 B3

A5

A4

A2 A3

Slika:11 Dokaz: Neka je A1 A2 ...An A A ...A prizma i B1 B2 ...Bn njen normalan 1 2 n presek obima s. Na sl. 11. predstavljen je sluaj n = 5. Neka je b duina c z 12

bone ivice. Sve bone strane su paralelogrami a stranice normalnog preseka su c c njihove visine. Zato imamo: P (A2 A3 A A ) = b B2 B3 , 3 2 P (A3 A4 A A ) = b B3 B4 , ... 4 3 P (A1 A2 A A ) = b B1 B2 . 2 1 Sabiranjem ovih jednakosti dobija se: P (A2 A3 A A ) + P (A3 A4 A A ) + ... + P (A1 A2 A A ) = b B2 B3 + B3 B4 + 3 2 4 3 2 1 ... + B1 B2 ), tj. M = sb, gde je s obim normalnog preseka prizme. Ako je prizma prava, duina bone ivice jednaka je visini a normalni presek z c je mnogougao podudaran osnovi prizme. Dakle, b=H i s=p, gde je p obim osnove, pa je povrina omotaa prave prizme M = pH. s c Povrina pravouglog paralelopipeda s Neka su dimenzije paralelopipeda a, b, c. Ako je osnova pravougaonik sa stranicama a i b, tada je: M = 2(a + b) c, P = 2B + M = 2ab + 2(a + b) c, tj. P = 2(ab + ac + bc). Povrina kocke s Ako je duina ivice kocke a, tada je B = a2 , M = 4a2 , z P = 2a2 + 4a2 , tj. P = 6a2 . Povrina piramide s Ako je B povrina osnove piramide a M povrina njenog omotaa, onda za s s c povrinu piramide vai P = B + M . s z U optem sluaju, povrina omotaa piramide nalazi se na taj nain to se s c s c c s pojedinano izraunavaju povrine svih strana koje sainjavaju omota. Specic c s c c jalno, ako je piramida pravilna, omota sainjavaju podudarni trouglovi, pa c c je odredivanje povrine jednostavnije. Neposredno se dobija da je povrina s s omotaa pravilne piramide M = p h , gde je p obim osnove piramide, a h je c 2 njena apotema.

13

h

a

Slika:12 Dakle, ako je a osnovna ivica, a h apotema, povrina omotaa pravilne n s c tostrane piramide je M = n a h (sl. 12). 2 Ako je poznata povrina osnove B i ako bone strane piramide zahvataju sa s c ravni osnove isti ugao , tada je povrina omotaa M = B/ cos . Zaista, neka s c je A1 A2 ...An osnova piramide i neka je SO visina piramide (sl. 13.). Ako je SM visina strane SA1 A2 , na osnovu teoreme o tri normale zakljuujemo da je c OM visina trouglaOA1 A2 . Pri tome je OM = SM cos . Zato je povrina s bone strane SA1 A2 : A1 A2 SM/2 = A1 A2 OM/(2 cos ), tj. P (A1 A2 S) = c P (A1 A2 O)/ cos . Analogno se dobija P (Ak Ak+1 O)/ cos , (k = 1, 2, 3, ..., n), gde smatramo da se take An+1 i A1 poklapaju. Sabirajui ove jednakosti za c c k = 1, 2, 3, ..., n dobija se M = B/ cos .

14

S

A1 M A2

O

A3

Slika:13 Povrina zarubljene piramide s Ako su B i B povrine osnova, a M povrina omotaa zarubljene piramide, s s c tada je njena povrina P = B + B + M . s

15

D1 E1 O1 F1 A1 E O F B A N C1

N1 B1 D

h C

Slika:14 U optem sluaju, povrina omotaa zarubljene piramide odreduje se tako s c s c to se izraunavaju pojedinano povrine svih bonih strana (sl. 14). Tada je s c c s c M = P (BCC1 B1 ) + P (CDD1 C1 ) + ... + P (ABB1 A1 ). Ako je re o pravilnoj n - tostranoj zarubljenoj piramidi, tada sve bone c c strane imaju jednake povrine, pa je povrina omotaa s s c M = n (a1 + a2) h = 1s (p1 + p2) h, 2 2 gde su a1 i a2 stranice pravilnih mnogouglova u osnovama, p1 i p2 obimi tih povri, dok je h apotema pravilne n - tostrane zarubljene piramide. s

Zapremina nekih poliedaraZapremina kvadra (pravouglog paralelopipeda) Teorema 2: Zapremina pravouglog paralelopipeda jednaka je proizvodu njegove tri dimenzije. Dokaz: Razmotrimo prvo sluaj kada su dimenzije paralelopipeda a,b,c c prirodni brojevi. U tom sluaju, sa pravama koje su paralelne stranicama osnove c ABCD, ta osnova moe da se izdeli na ab jedininih kvadrata. Ako se na svaki z c od tih kvadrata postavi jedinina kocka, dobie se sloj ija je visina jednaka c c c jedinici duine. Ceo paralelopiped moe se popuniti sa c takvih slojeva. Dakle, z z pravougli paralelopiped je popunjen sa abc disjunktnih jedininih kocaka, pa je c njegova zapremina V=abc

16

D

C

A

B

D

C

b

A

a

B

Slika:15 Ako se dimenzije a,b i c pravouglog paralelopipeda izraavaju racionalnim z c brojevima, tada se svodenjem tih brojeva na zajedniki imenilac n dobija a=p/n, b=q/n, c=r/n, gde su p,q i r celi brojevi. Paralelopiped je popunjen sa pqr kocaka, sa ivicom duine 1/n. Kako je jedinina kocka sastavljena iz n3 takvih kocaka, z c zapremina svake od njih je 1/n3 . Prema tome, zapremina celog paralelopipeda je V = pqr(1/n3 ) = (p/n)(q/n)(r/n) = abc.

17

c

C

b

A

a

B

Slika:16 Tvrdenje je tano i u sluaju kada su iracionalni brojevi. Dakle, u svakom c c sluaju zapremina svakog pravouglog paralelopipeda jednaka je proizvodu njec govih dimenzija. Zapremina kocke Neka je a duina ivice kocke. Iz formule za zapreminu pravouglog paralelopz ipeda, uzimajui da je a=b=c dobija se formula za zapreminu kocke V = a3 . c Kavalijerijev princip. Zapremina prizme Za izraunavanje zapremine geometrijskih tela esto se koristi princip koji je c c formulisao italijanski matematiar, Bonaventura Kavalijeri: c Ako se dva tela mogu dovesti u takav poloaj da ih svaka ravan koja ih see, z c a paralelna je datoj ravni, see po presecima jednakih povrina, onda ta dva tela c s imaju jednake zapremine. Teorema 3: Zapremina prizme jednaka je proizvodu povrine osnove i visine. s Dokaz: Neka je B povrina osnove prizme AB...EA1 B1 ...E1 i H visina te s prizme. Posmatramo istovremeno pravougli paralelopiped visine c=H ija osc nova ima povrinu a b = B. Osim toga, neka osnove prizme i paralelopipeda s lee u ravnima i . Presecimo prizmu i paralelopiped sa proizvoljnom ravni z ( ). Preseci su mnogouglovi A2 B2 ...E2 i M2 N2 P2 Q2 . Kako je A2 B2 ...E2 podudarno sa AB...E i M2 N2 P2 Q2 podudarno sa MNPQ, a povrine osnova su s jednake, to su i povrine preseka sa ravni jednake, tj. B(A1 B2 ...E2 ) = s 18

B(M2 N2 P2 Q2 ). Dakle, preseci prizme i pravouglog paralelopipeda bilo kojom ravni koja je paralelna ravni osnova, imaju jednake povrine. Na osnovu s Kavalijerijevog principa ta dva tela imaju jednake zapremine. Medutim, zapremina paralelopipeda je V=abc=(ab)c=BH, pa je i zapremina prizme jednaka V=BH. Zapremina piramide Teorema 4: Dve piramide sa osnovama jednakih povrina i jednakim visis nama imaju jednake zapremine. Teorema 5: Zapremina piramide jednaka je treini proizvoda povrine osc s nove i visine. Dokaz: Posmatrajmo trougaonu piramidu VABC visine H sa povrinom oss nove B. Neka je ABCA1 V C1 trougaona prizma koja sa tom piramidom ima zajedniku osnovu ABC, a jedna od bonih ivica prizme se poklapa sa bonom c c c ivicom piramide, na primer BV. Jasno je da je visina dobijene prizme takode jednaka H. Odsecimo od prizme posmatranu piramidu VABC, a preostali deo prizme presecimo ravni kroz take V,C i A1 . Na taj nain je prizma razloena c c z na tri piramide: VABC, VACA1 i VA1 CC1 . Uporedimo zapremine te tri piramide. Na osnovu teoreme 4 imamo VVACA1 =VVA1 CC1 jer je: 1) P (ACA1 ) = P (A1 CC1 ); 2) rastojanje od take V do ravni trougla ACA1 jednako rastojanju od take c c V do ravni trougla CC1 A1 . Isto tako je VVABC=VVCA1 C1 jer je: 1) P (ABC) = P (V A1 C1 ); 2) rastojanje od take V do ravni trougla ABC jednako rastojanju od take c c C do ravni trougla A1 V C1 . Iz ovoga sledi jednakost sve tri piramide. Dakle, prizma je razloena na tri piramide jednakih zapremina pa je zaz 1 premina svake od tih piramida jednaka treini zapremine prizme, tj. 3 BH. Na c osnovu teoreme 3 zakljuujemo da zapremina piramide ne zavisi od oblika osc nove, nego samo od povrine osnove i visine. Prema tome, zapremina bilo koje s piramide jednaka je treini zapremine prizme koja ima sa tom prizmom jednaku c povrinu osnove B i jednaku visinu H. Iz formule za zapreminu prizme sledi da s je zapremina piramide V = 1 BH. 3 Zapremina zarubljene piramide Teorema 6: Ako je visina zarubljene piramide H i povrine njenih osnova s B i B1 onda je zapremina te zarubljene piramide data formulom V = H (B + 3 BB1 + B1 ).

19

V

h1

D1 C1 O1 A1 B1 h

D C O A B

Slika:17 Dokaz: Dopunimo zarubljenu piramidu do pune piramide. Dobijena piramida ima osnovu povrine B i visinu h, a dodatna piramida ima osnovu s povrine B1 i visinu h1 = h H. Zapremina zarubljene piramide moe se s z predstaviti kao razlika zapremina dve piramide, tj. V=V-V1 , gde je V = Bh i 3 1 V1 = B1 h1 . Dakle, V = 3 (Bh B1 h1 ). Na osnovu svojstva paralelnog preseka 3 piramide je: B h2 B1 = h2 odakle je1

B1 h2 , ili h2 1 2 V = 1 ( B1 h h B1 h1 ) = B1 3 3 h2 1 2 h2 +hh1 +h2 B1 H h 1 ( h2 + h1 + 1). = 3 h2 h1 1 B h2 Kako je B1 = h2 , to je 1

B=

h3 h3 1 h2 1

=

B1 3

(hh1 )(h2 +h1 +h2 ) 1 h2 1

=

B1 H 3

h h1

=

B B1 ,

ili +B B1

B1 H H BB1 + B1 ). 3 = 3 (B + Dakle, formula za zapreminu zarubljene piramide je V = H (B + BB1 + B1 ). 3

V =

B1 H B 3 ( B1

+ 1) =

B1 HB 3B1

+

B1 H BB1 3B1

+

B1 H 3B1

=

BH 3

+

H

BB1 3

+

20

Literatura1.Matematika sa zbirkom zadataka za 3. razred srednje kole, Gradimir s Vojvodi, Zavod za udbenike i nastavna sredstva, Beograd, 2003. c z 2.Matematika sa zbirkom zadataka za 3. razred srednje kole, Jovan D. s Keki, Zavod za udbenike i nastavna sredstva, Beograd, 2001. c c z

21