Polgonos

Un polgono es una figura plana cerrada delimitada por segmentos. A estos segmentos se les llama lados.

La palabra polgono est formada por dos voces de origen griego: polys: muchos y gona: ngulos; por lo tanto, es una figura con varios ngulos. Tambin se define como una poligonal cerrada.El polgono ms pequeo es el tringulo, que tiene tres lados y tres ngulos.El polgono es la frontera que separa al plano en dos regiones: una que est dentro, llamada regin interior del polgono y una exterior, llamada regin exterior del polgono. El plano es la unin de estos tres subconjuntos.

Un polgono est formado por elementos bsicos. stos son:1. vrtice2. lado3. ngulo interior4. ngulo exterior5. diagonal1. Vrtice: es el punto de interseccin de dos segmentos contiguos. Se designan con una letra mayscula A, B, C, D... 2. Lados: es cada uno de los segmentos de recta que forman el polgono. Se designa con dos letras maysculas ubicadas en sus extremos, o con una letra minscula en correspondencia con el vrtice opuesto: AB = d, BC = e , CD = a, DE = b, EA = c 3. ngulo interior: es el ngulo formado por dos lados del polgono. El ngulo interior se designa con una letra griega o con las tres letras maysculas de los vrtices que correspondan.4. Angulo exterior: es el ngulo formado por un lado y la prolongacin de otro contiguo hacia la regin exterior. Generalmente se designa con la letra griega del ngulo interior adyacente acompaada de un subndice 5. Diagonal: es el trazo que une dos vrtices no consecutivos del polgono. Se designa con las dos letras maysculas correspondientes a los vrtices que se unen, o por una letra d con subndice: AC =d1, AD = d2. Apotema de un polgono regularLa apotema de un polgono regular es el segmento perpendicular a un lado desde el centro del polgono. Es bsica para conocer el rea del polgono ya que es la altura de cada uno de los tringulos formados por cada dos radios y el lado.Elementos secundarios de un polgonoEn todo polgono (el tringulo es un polgono) podemos obtener elementos secundarios como:Bisectrices, se denomina bisectriz al rayo que dimidia al ngulo, es decir, lo divide en 2 partes iguales.Simetrales, la simetral es una recta perpendicular que dimidia a un trazo.Alturas, una altura, cuyo smbolo es h, es el trazo perpendicular que une un lado del tringulo con el vrtice opuesto.Transversales, la transversal es el segmento que une el punto medio de un lado con el vrtice opuesto.Medianas, son los segmentos que unen los puntos medios del tringulo.Ver Polgono inscrito y circunscrito.

Crculo y Circunferencia

Una de las formas ms difundidas de la Naturaleza es la circular. Casi todas las formas tienden a hacerse ms o menos "redondeadas".Desde la antigedad, el hombre se ha inquietado por conocer cul es el permetro de una rueda o de un platillo circular, para esto ha utilizado su ingenio; por ejemplo, ide un procedimiento para trazar un crculo sin comps. Cmo funciona este procedimiento? En primer lugar se requiere tener un cordel y dos estacas con punta; en segundo lugar, se determina un punto a partir del cual se trazar el crculo. A dicho punto se le identificar con el nombre de centro del crculo. El cordel debe amarrarse a ambas puntas de las estacas y una de stas se clavar en el punto escogido como centro. La otra estaca, con el cordel bien estirado marcar, entre el centro y la punta de la estaca, el radio del crculo que trazaremos haciendo girar la estaca hasta que se dibuje claramente, en el suelo o en la superficie elegida. la circunferencia.

Llamaremos crculo a la superficie interior que se encuentra limitada por la circunferencia trazada por el cordel

(Ver: Elementos de la circunferencia y del crculo Ver, en Internet, apuntes gratuitos:http://www.eneayudas.cl/apt.htm)

.Si ste es un crculo, entonces, qu es una circunferencia?Una circunferencia es una lnea curva y cerrada, en la cual todos los puntos que la conforman se encuentran a la misma distancia de un punto llamado centro.

A partir del centro se haba estirado un cordel al que se le identific con el nombre de radio. Qu es el radio? Radio es un segmento de recta que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de ella.

Si el segmento de recta llamada radio se prolonga, se tendrn dos radios o bien un dimetro, entonces, qu es un dimetro? Dimetro es la recta que, pasando por el centro de la circunferencia, une dos puntos de ella.

Elaborados los conceptos de crculo y de circunferencia pensemos en el problema de cmo saber las medidas de una rueda.Una rueda, al dar una vuelta completa, describe una trayectoria cuya longitud es el permetro de la circunferencia de la rueda.

Si dividimos la longitud entre el dimetro de la rueda obtenemos un valor que es independiente del tamao de la rueda. Es decir, cualquier rueda, del tamao que sea, al dar una vuelta completa recorre un camino de una determinada longitud. Si dividimos dicha longitud entre el dimetro de la rueda siempre obtenemos el mismo valor. Este hecho era conocido por los babilonios y ya se encuentran noticias sobre el mismo en los papiros egipcios que se conservan en el Museo Britnico.Esta relacin entre la longitud de la circunferencia y su dimetro es, posiblemente, la ms popular de todas las constantes matemticas: el nmero (pi). Dicho nmero, irracional, ha ocupado a generaciones de matemticos y su atractivo perdura en nuestros das, y para fines prcticos se considera que su valor es de 3,1416.Conocemos el valor del nmero , pero cmo podramos demostrar prcticamente que en todo crculo existe una relacin constante entre el dimetro y la circunferencia.Para hacerlo debemos operar de la siguiente manera: Tomamos dos crculos (a y b), que son de diferente tamao y diferente dimetro. Pero sabemos que en ambos casos el dimetro cabe tres veces y una pequea fraccin (equivalente ms o menos a un sptimo) en toda la circunferencia.

Luego tomaremos dos trozos de cordel, cada uno del tamao del dimetro de cada crculo, y con ellos podremos comprobar lo anterior al colocarlos en forma sucesiva sobre las circunferencias.

Una vez comprobado lo anterior, y sabiendo que el valor representado con la letra griega es de 3,1416, tenemos que:El permetro del crculo o bien la longitud de la circunferencia ser siempre igual al producto de (pi) por el dimetro de la misma. O bien, ser igual al producto de por el doble del radio. Quedando la frmula de la siguiente manera:

Veamos ahora cmo se utiliza el valor de (pi)Problema:La boca de un pozo mide 0,75 metro de radio, cul es su permetro?P = d P = 2 rd = 2 r = 2 (0,75) = 1,50 m P = 2 (3,1416) (0,75)P = (3,1416) (1,50) P = (6,289) (0,75)P = 4,71 m P = 4,71 mDe esta manera se tiene que la longitud de la boca del pozo es de 4,71 m. Ver: Elementos de la circunferencia y del crculo Ver, en Internet, apuntes gratuitos:http://www.eneayudas.cl/apt.htm

NotaCOLEGIO PARTICULAR LEONARDO DA VINCIUNIDAD ACADMICA IICALAMAPROFESORA: Rossana Herrera C.

Nombre: ..Curso: 8 A BFecha: 14/06/2006Puntaje ideal: __15__ Puntaje real: _____ Puntaje obtenido: _____

Contenido:Circunferencia (rea y permetro).

Para realizar cada uno de los ejercicios. Considera = 3.

I. tem de desarrollo (15 puntos)

1. Lee y luego responde.

Cuando realizaste la actividad del cordel (ver figura). Qu relacin o razn estableciste entre el largo de una circunferencia y la medida de su dimetro? Explica.

(1 punto)

2. Calcula el permetro de cada circunferencia, sabiendo la medida del radio (r).

a) r = 25 cm___________d) r = 15 m___________

b) r = 55 cm___________e) r = 10 km___________

c) r = 30 m___________f) r = 22 km___________

(3 puntos)

3. Calcula el radio de cada circunferencia, sabiendo la medida del permetro (P).

a) P = 18 cm___________c) P = 30 m___________

b) P = 24 cm___________d) P = 12 m___________

(2 puntos)

4. Calcula el rea de cada circunferencia, sabiendo la medida del radio (r).

a) r = 4 cm___________d) r = 11 m___________

b) r = 8 cm___________e) r = 12 km___________

c) r = 9 m___________f) r = 15 km___________

(3 puntos)

5. Calcula el radio de cada crculo, sabiendo la medida del rea (A).

a) A = 12 cm2 _________c) A = 27 m2 _________

b) A = 300 cm2 _________d) A = 48 m2 _________

(2 puntos)

6. Observa la figura. Luego calcula rea y permetro de ambas circunferencias y/o crculos, segn corresponda.

G F

E D20 cm

10 cm

A B C

20 cm 10 cm

Permetro circunferencia menor _________ Permetro circunferencia mayor _________ rea circunferencia menor _________ rea circunferencia mayor _________

Puedes utilizar este espacio para hacer tus clculos.(4 puntos)

Nombre: ....Curso: 8 A Fecha: 19/10/2006Puntaje ideal: __40__ Puntaje real: _____ Puntaje obtenido: _____

Contenido:Superficies y volmenes.

Lee atentamente cada una de las preguntas y revisa tus respuestas antes de entregar la evaluacin.I. tem de desarrollo (15 puntos)

1. Calcula la superficie total de los siguientes poliedros.

10 cm10 cm6 cm15 cm 27 cm5 cm 8 cm

ST ST

(6 puntos)

2. Calcula el volumen de los siguientes prismas.

12 m 2 m2 m 4 m6 m 2 m

V V

(4 puntos)3. Observa la figura que muestra una pirmide de base cuadrada. Luego responde las preguntas.

Determina el volumen de la pirmide de la figura.

(5 puntos)

Determina la superficie de la pirmide de la figura.

(5 puntos)

4. Determina la superficie y el volumen de una esfera de dimetro 12 cm.

(5 puntos)

Lee y luego responde las preguntas 5, 6 y 7.

Una figura esta compuesta por un cubo de arista 12 cm, un cilindro y un cono. Uno sobre otro, coincidiendo todas las bases y alturas

5. Cul es el volumen del cono?

(5 puntos)

6. Cul es el volumen del cilindro?

(5 puntos)

7. Cul es el volumen del cono?

(5 puntos)

Da lo mejor de ti!Captulo 10: Ejercicios prcticosEn esta unidad didctica le adjuntamos algunos ejercicios para que practique los conceptos que hemos tratado durante este curso. Veamos:1.Calcule en un tringulo el ngulo x teniendo en cuenta que los otros miden 43 y 105. Seleccione una respuesta:a)60b)32c)422.Cul es el tipo de tringulo que tiene tres ngulos agudos? Seleccione una respuesta:a)Rectngulob)Acutnguloc)Obtusngulo3.Qu es un paralelogramo? Seleccione una respuesta:a)Polgono de cuatro lados iguales dos a dosb)Polgono de cuatro lados paralelos dos a dos c)Polgono que tiene dos pares de lados consecutivos4. Qu es el dimetro? Seleccione una respuesta:a)Trazo que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centrob)Segmento que une dos puntos de la circunferenciac)Segmento que une el punto centro con cualquier punto de la circunferencia5.Calcula el permetro de una circunferencia tomando como referencia que la medida del radio es 22,6 cm. Seleccione una respuesta:a)141,928 cmb)140,753 cmc)137,053 cm6.Un tringulo rectngulo tiene catetos de 3 y 4 unidades de longitud. Halla la longitud de la hipotenusa. Seleccione una respuesta:a)7b)6c)5

7.Halla la circunferencia de un crculo de 8,74 cm de radio. Seleccione una respuesta:a)60,3b)54,9c)44,88.Halla el rea del crculo del ejercicio anterior tomando como referencia la medida de su radio. Seleccione una respuesta:A)300 cm cuadradosb)205 cm cuadradosc)240 cm cuadrados9.Halla el rea de un rectngulo de 3 y 7 cm. Seleccione una respuesta:a)32b)21c)1810.Halla el rea de un cuadrado de 2 cm por 2 cm. Seleccione una respuesta:a)3b)6c)4Geometra plana. Ejercicios 1Determinar el lado de un tringulo equiltero cuyo permetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado. Sern iguales sus reas?2Calcular el rea de un tringulo equiltero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.3Dado un tringulo equiltero de 6 m de lado, hallar el rea de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vrtices.4Determinar el rea del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m.5 En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un crculo y en este crculo un cuadrado y en este otro crculo. Hallar el rea comprendida entre el ltimo cuadrado y el ltimo crculo.6 Calcular el rea de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.7 En una circunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen tringulos equilteros. Hallar el rea de la estrella as formada.8 El permetro de un trapecio issceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el rea.9 Si los lados no paralelos de un trapecio issceles se prolongan, quedara formado un tringulo equiltero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del tringulo, calcular el rea del trapecio.10 El rea de un cuadrado es 2304 cm. Calcular el rea del hexgono regular que tiene su mismo permetro.11 La superficie de una mesa est formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos semicrculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el rea.12Hallar el rea de un sector circular cuya cuerda es el lado del tringulo equiltero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia.13 Hallar el rea del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de la circunferencia.14Dadas dos circunferencias concntricas de radio 8 y 5 cm, respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ngulo de 60. Calcular el rea del trapecio circular formado.15Calcula el rea sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 8 cm y el radio del crculo menor mide 2 cm.

16Calcula el rea de la parte sombreada, si el radio del crculo mayor mide 6 cm y el radio de los crculos pequeos mide 2 cm.

17 Calcula el rea de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm, ABCD un cuadrado y APC Y AQC arcos de circunferencia de centros B y D.

18A un hexgono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el rea de la corona circular as formada.19 En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el rea del crculo.20Los catetos de un tringulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el rea del crculo.

Geometra plana. Ejercicios resueltos 1Determinar el lado de un tringulo equiltero cuyo permetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado. Sern iguales sus reas?Pcuadrado = 12 4 = 48 Ptringulo = 48 l = 48 : 3 = 16

A = 122 = 144 m

Geometra plana. Ejercicios resueltos2Calcular el rea de un tringulo equiltero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.El centro de la circunferencia es el baricentro. Por tanto:

Geometra plana. Ejercicios resueltos3Dado un tringulo equiltero de 6 m de lado, hallar el rea de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vrtices.El centro de la circunferencia es el baricentro. Por tanto:

Geometra plana. Ejercicios resueltos4Determinar el rea del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m.

Geometra plana. Ejercicios resueltos5En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un crculo y en este crculo un cuadrado y en este otro crculo. Hallar el rea comprendida entre el ltimo cuadrado y el ltimo crculo.

Geometra plana. Ejercicios resueltos6Calcular el rea de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.

Geometra plana. Ejercicios resueltos7En una circunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen tringulos equilteros. Hallar el rea de la estrella as formada.

Geometra plana. Ejercicios resueltos8El permetro de un trapecio issceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el rea.

Geometra plana. Ejercicios resueltos9Si los lados no paralelos de un trapecio issceles se prolongan, quedara formado un tringulo equiltero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del tringulo, calcular el rea del trapecio.

Geometra plana. Ejercicios resueltos10El rea de un cuadrado es 2304 cm. Calcular el rea del hexgono regular que tiene su mismo permetro.

Geometra plana. Actividades11La superficie de una mesa est formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos semicrculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el rea.

Geometra plana. Actividades12Hallar el rea de un sector circular cuya cuerda es el lado del tringulo equiltero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia.

Geometra plana. Actividades13Hallar el rea del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de la circunferencia.

Geometra plana. Actividades14Dadas dos circunferencias concntricas de radio 8 y 5 cm, respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ngulo de 60. Calcular el rea del trapecio circular formado.

Geometra plana. Actividades15Calcula el rea sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 8 cm y el radio del crculo mide 2 cm.

Geometra plana. Ejercicios resueltos16Calcula el rea de la parte sombreada, si el radio del crculo mayor mide 6 cm y el radio de los crculos pequeos mide 2 cm.

Geometra plana. Ejercicios resueltos17Calcula el rea de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm, ABCD un cuadrado y APC Y AQC arcos de circunferencia de centros B y D.

La parte sombreada se compone de dos segmentos circulares.

rea del segmento circular = rea del sector circular rea del tringulo.

Geometra plana. Actividades18A un hexgono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el rea de la corona circular as formada.

Geometra plana. Actividades19En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el rea del crculo.

Geometra plana. Actividades20Los catetos de un tringulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el rea del crculo.