POLIGONOS Y CIRCUNFERENCIA

POLIGONOS Y

PRIMERA EDICION 2012

GARCIA MORAN SIVELLY JAZMIN

CIRCUNFERENCIA

CONTENIDO

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS DE LA

CIRCUNFERENCIA

Lección 1 . Conceptos básico sobre polígonos:

Lección 2 . Cuadriláteros especiales

Lección 3. Propiedades generales de los polígonos

Lección 4. Propiedades generales de los paralelogramos

Lección 5. Propiedades de los paralelogramos especiales

Lección 6. Propiedades de los trapecios

Lección 7. Propiedades del segmentos medio

Lección 8. Estudios de las circunferencias.

Lección 9. Ärea de paralelogramos, triangulos y trapecios.

Lección 10. Área y perímetro

Definición de polígono: los polígonos son figuras planascerradas, limitadas por segmentos rectilíneos. Los polígonos cumplen 3 características:1) Los segmentos se juntan solo en sus extremos.2) Como máximo, dos segmentos se encuentran en un punto.3) Cada segmento toca exactamente a otros dos.

Los elementos de unpolígono son los lados, losvértices y las diagonales.Además de tener ángulosinteriores y exteriores.

Los lados son segmentosrectilíneos que delimitanal polígono.

Los vértices son lospuntos donde se unen doslados.

Las diagonales es un segmento que une cada pareja devértices no consecutivos.

Angulo interior o interno de un polígono, es el formado porlados adyacentes, interiormente.

Angulo exterior o externo de un polígono, es el conformadopor un lado y la prolongación del adyacente.

Para identificar si una figura es un polígono tienen que cumplirlas características antes dichas.

1Conceptos básicos sobre polígonos.

LECCIÓN

Actividades de apredizaje: ¿Cuál de las siguientes figuras es unpolígono y cual no? Explica porque.

Figura 1.Figura 2.

Solución:

La figura 1. No es un polígono porque, los polígonos son figurascerradas y esta no lo estaLa figura 2. Es un polígono ya que cumple con todas lascaracterísticas. Es una figura cerrada, donde los segmentos sejuntan en los extremos, cada segmento toca exactamente a otrosdos, etc.

conceptos básicos sobre poligonos

CLASIFICACION DE POLIGONOS Los poligonos se clasifican siguiendo segun su numero de lados,segun susdiagonales y segun la medida de sus lados y angulos.

Segun sus diagonales: Convexos:

Todos sus ángulos menoresque 180°.Todas sus diagonales soninteriores.

clasificación de poligonos

Si un ángulo mide más de 180°.Si una de sus diagonales es exterior.

Según la medida de sus lados y angulos:

-Poligonos regulares:Son los poligonos que tienen todos los angulos y lados iguales.

-Poligonosirregulares:Son los poligonos queno tienen todos loslados y angulosiguales.

Cóncavos:

- Poligonos equilateros: Son poligonos en el que todossus lados son iguales.

- Poligonos equiangulo: Son poligonos en el que todos susangulos son iguales.

Según el número de lados:Los polígonos se clasifican por el número de sus lados según la

tabla adjunta

10 -Decágono

11 -Endecágono

12 -Dodecágono

13 -Triskaidecágono

14 -Tetradecágono15 -Pentadecágono16 -Hexadecágono

17 -Heptadecágono

18 -Octadecágono

19 -Eneadecágono


Para saber cómo se llama un polígono de menos de cien ladospodemos hacer lo siguiente. Primero contamos el número delados que tiene, hacemos una combinación de prefijos como semuestra a continuación y agregamos la terminación gono.

DECENAS Y UNIDADES TERMINACIÓN

1 -HENÁ-

20 ICOSA- 2 -DÍ-

30 TRIACONTA- -KAI- 3 -TRÍ- -GONO

40 TETRACONTA- 4 -TETRÁ-

50 PENTACONTA- 5 -PENTÁ-

60 HEXACONTA- 6 -HEXÁ-

70 HEPTACONTA- 7 -HEPTÁ-

80 OCTACONTA- 8 -OCTÁ-

90 ENEACONTA- 9 -ENEÁ-


ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1.- En la siguiente actividad se clasificara a los poligonos,segun su num de lados, sus diagonales y por la medida de suslados y angulos.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Actividades de aprendizaje.

Solución:La figura 1. Es un triangulo, por tener 3 lados. Es un poligonoconvexo porque las diagonales son solo interiores y es irregularporque no tiene todos sus lados y angulos iguales.La figura 2. Es un pentagono, por tener 5 lados. Es un poligonoconvexo porque las diagonales son solo interioes y es regularporque tiene todos sus lados y angulos iguales.La figura 3. Es un octagono, por tener 8 lados. Es un poligonoconvexo porque las diagonales son solo interiores y es regularporque es equilatero como equiángulo, es decir tienes sus lados yangulos iguales.2. Completa la siguiente tabla,anotando el núm dediagonales.

Triangulo: X= 3(3-3) 2 X= 3(0) 2 X=0/2 X= O

Cuadrado: X= 4(4-3) Pentagono: X= 5(5-3) 2 2

X= 4(1) X= 5(2) 2 2 X=4/2 X= 2 X=10/2 X= 5

Hexagono: X= 6(6-3) Heptagono: X= 7(7-3) 2 2X = 6(3)/2 X=18/2 X = 7(4)/2 X=28/2 X= 9 X=14

lECCIÓN

2 Cuadrilateros especiales

Los cuadriláteros son polígonos, es decir, figuras geométricasplanas limitadas por líneas rectas, que tienen los siguienteselementos: cuatro lados, cuatro vértices, cuatro ángulosinteriores y cuatro ángulos exteriores. Además, la suma detodos sus ángulos interiores es de 360º.

Aspectos importantes de cuadrilateros:Lados Consecutivos u Opuestos de un Cuadrilátero

Además, decimos que los lados de un cuadrilátero pueden ser:consecutivos o adyacentes, cuando tienen un vértice en común,u opuestos, cuando no tienen ningún vértice común.

Recuerda que unvértice es el puntocomún entre loslados.

Las diagonales son los segmentos que unen dosvértices no consecutivos. Un cuadrilátero tiene 2diagonales.

Angulos Consecutivos u Opuestos de un Cuadrilátero

Los “VÉRTICES Y ÁNGULOS OPUESTOS” son los que no pertenecena un mismo lado, siendo los ángulos iguales.

Dos angulos son CONSECUTIVOS si tienen un lado que separe alos otros dos .

Aspectos importates de los cuadrilateros

El ángulo 1 es opuesto alángulo 3, como el angulo 4 esopuesto al angulo 2.El ángulo 4 es consecutivo alangulo 3, como el angulo 1 esconsecutivo al ángulo 3.

Clasificación de cuadrilateros:De acuerdo al paralelismo de sus lados, podemos clasificar loscuadriláteros en:

1. Paralelogramos: tienen dos pares apuestos de ladosparalelos.

2. Trapecios: tienen exactamente un par de lados paralelos.

3. Trapezoides: son los cuadriláteros que no tienen ladosparalelos.

Clasificación de los paralelogramo

Clasificación de los paralelogramos: Los paralelogramos podemos dividirlos en cuadrados,rectángulos, rombos y romboides.

Cuadrado

El cuadrado es un paralelogramo de cuatro ladosde la misma medida y cuatro ángulos rectos.Además, sus diagonales son iguales,perpendiculares y bisectrices de sus ángulos.Sus vértices forman ángulos de 90.

Rectángulo

El rectángulo es un paralelogramo de dospares de lados de la misma medida y cuatroángulos rectos. Las diagonales de unrectángulo siempre son iguales.

Clasificación de los paralelogramo

Rombo

El rombo es un paralelogramo de cuatro lados dela misma medida, dos ángulos agudos (midenmenos de 90°) y dos ángulos obtusos (miden másde 90°). Las diagonales del rombo sonperpendiculares entre sí y bisectrices de suángulo.

Romboide

El romboide es unparalelogramo de dos pares delados de la misma medida y dosángulos agudos. No tieneángulos rectos, todos sondistintos de 90º.

Actividades de aprendizaje: En la siguiente tabla contesta a que cuadrilatero corresponde:

2.- Indica que tipo de cuadrilátero es cada una de las distintas

figuras

Actividades de aprendizaje

Solución:

Todos los anteriores son cuadriláteros porque tienen 4 lados, y sus ángulosinteriores suman 360.

-El cuadrilátero azul es un trapecio ya que cumple con su característica: formaun par de lados paralelos.-El cuadrilátero amarillo, rosa y azul son un rectángulo, porque tienen 4ángulos iguales, además de que sus diagonales son iguales. Se clasifica en losparalelogramos porque tiene ambos pares de lados opuestos paralelos.-El cuadrilátero naranja es un romboide porque tiene dos pares de lados de lamisma medida y dos ángulos agudos. No tiene ángulos rectos, todos sondistintos de 90º. También se clasifica en los paralelogramos porque tiene amboslados de pares opuestos paralelos.-El cuadrilátero rojo es un trapezoide porque no tiene lados opuestos paralelos.-El cuadrilátero verde es un rombo porque tiene sus 4 lados iguales, dos ángulosagudos y dos ángulos obtusos. Las diagonales del rombo son perpendiculares entre síy bisectrices de su ángulo. Además se clasifica en los paralelogramos porque tieneamos lados de pares opuestos paralelos.


3.-Véase el cuadrilátero de la izquierda y conteste.

-¿Cual es el ángulo opuesto y consecutivo de <D?

El ángulo opuesto es el <B, y el ánguloconsecutivo es <A y <C

-¿Cuál es el lado adyacente de b?

El segmento AB o el segmento DC

4.-Completa el siguiente mapa conceptual según suclasificación

LECCIÓN

3 Propiedades gerenerales de lospolígonos

Porque en un cuadrado hay dos triángulosLos ángulos interiores de este trángulosuman 180° (90°+45°+45°=180°) ... y los de este cuadrado 360°...¡porque el cuadrado está hecho de dostriángulos!

Pentágono

Un pentágono tiene 5 lados, y se puede dividir entres triángulos, así que ...... sus ángulosinteriores suman 3 × 180° = 540°Y si es regular(todos los ángulos son iguales), cada uno mide540° / 5 = 108°.

Propiedad de la suma de los ángulos de unpéntagono: Los ángulos interiores de un

péntagono suman 540°

Suma de ángulos interiores

Propiedad de la suma de los ángulos de un cuadrado: Los ángulos interioresde un cuadrado suman 360°

(Un cuadrilátero es una figura de 4 lados)Un cuadrado suma 360°

Vamos a inclinar una línea 10° ... ¡también suman 360°!

Propiedades generales de los poligonos

Figura Lados Suma de los ángulos interiores

Cuadrilátero 4 360°

Pentágono 5 540°

Hexágono 6 720°

... .. .. ...

Cualquier polígono n (n-2) × 180°

PolígonosUn polígono es una figura plana conlados rectos

Los ángulos exteriores de un polígonosuman 360°

En otras palabras, los ángulos exterioressuman una vuelta completa

Piénsalo de esta manera: las líneas vancambiando de dirección y al final vuelven al principio.

Suma de ángulos exteriores.

Propiedad de la suma de los ángulos exteriores de un poligono: Los ángulosexteriores de un polígono suman 360°

Actividades de aprendizaje:

1.-¿Qué pasa con un decágono (10 lados)?

Suma de los ángulos interiores = (n-2) × 180° = (10-2)×180° = 8×180° = 1440°

Y, si es regular, cada ángulo interior = 1440°/10 = 144°


2.- ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un polígonode 7 lados?

A) 1.260°B) 1.080°C) 900°D) 720°E) 360°

La respuuestaes C

3.-Completa la siguiente tabla con la ecuación de la suma de angulosinteriores de cada poligono dado.


4.- Determina lo siguiente:

4.- Contesta lo siguiente:

Propiedades de losparalelogramos

• Paralelogramo

• Se llama paralelogramo al cuadrilátero que tiene sus ladosopuestos paralelos.

• ABCD paralelogramo

• AB // DC y AD // BC

•

Propiedades:

• Los lados opuestos son iguales.

• Los ángulos opuestos son iguales.

• Los ángulos consecutivos son suplementarios.

• Las diagonales se cortan en su punto medio.

lECCIÓN

4

Actividades de aprendizaje:1.- Encuentra el perímetro del siguiente rectángulo


2.-Contesta lo que se te pide:

Teorema 3.1.2 Todo paralelogramo tiene ángulosopuestos iguales.Demostración. Supongamos que tenemos unparalelogramo ABCD en donde AB y BC son paralelos aCD y AD, respectivamente. Tracemos el segmento AC.

3.- Demuestra lo siguiente:

Como BC es paralelo a AD entonces Ð1 = Ð4. Demanera semejante, como AB es paralelo a DC se sigue que Ð2 = Ð3. Podemosobservar entonces queÐA = Ð1 + Ð3 = Ð4+Ð 2 = ÐC,Y por lo tanto ÐA = ÐC .De manera análoga podemos demostrar que Ð B = ÐD.


4.- Encuentra las medidas señaladas:

Propiedades de losparalelogramos

LECCIÓN

5

Por ser el cuadrado un rombo:- Las diagonales son perpendiculares y bisectrices delos ángulos cuyos vértices unen.- Sus diagonales son ejes de simetría de la figura.

Actividades de aprendizaje:1.-Encuentra el valor de la diagonal en las siguientes figuras:

1

3

2

Propiedades de los trapecios

LECCIÓN

6

TrapecioEs un cuadrilátero con un solo par de lados opuestosparalelos.

Propiedades:

Propiedad de los ángulos consecutivos:L os ángulos consecutivos que están entre las bases de un trapecio son suplementarios.Propiedad del trapecio isósceles:L os ángulos de la base de un trapecio isósceles son suplementarios.Propiedad de las diagonales del trapecio isósceles:L as diagonales de un trapecio isósceles son iguales.

L os trapecios respecto a sus ángulos internos, pueden ser rectángulos, isósceles oescalenos:

Trapecio rectángulo es el que tiene un lado perpendicular a sus bases.

Tiene dos ángulos internos rectos, uno agudo y otro obtuso.

Trapecio isósceles es el que tiene los lados no paralelos de igual medida.

Tiene dos ángulos internos agudos y dos obtusos, que son iguales entre sí.

Las diagonales son congruentes.

El trapecio isósceles es un cuadrilátero cíclico ya que la suma de los ángulos opuestoses 180°.

Trapecio escaleno es el que no esisósceles ni rectángulo, la medida de suslados da medidas diferentes.

Sus cuatro ángulos internos poseen diferentesmedidas.


Actividades de aprendizaje:1.-Contesta el siguiente cuadro con las caracteristicas de cada trapecio.

2.- Calcula lo siguiente

Propiedad del segmentomedio

LECCIÓN

7

La propiedad de los tres segmentos medios: Los tressegmentos medios de un triángulo lo dividen en cuatro triangulosiguales.

Paralela media

La paralela media (mediana) es el segmento que une los dos puntosmedios de los lados no paralelos del trapecio. En la figura anteriorpodemos ver d y b como puntos medios de los lados AD y BCrespectivamente, y entonces m es la paralela media.

Trapecio

MedianaLa longitud de la mediana (m) de un trapecio es igual a la semisuma de lalongitud de sus bases (a c):

Propiedades del segumento medio

Actividades de aprendizaje: 1.-contesta lo que se te pide.


2.-Encuentra el valor de MN

3.-contesta lo que se te pide.


LECCIÓN

8 Estudio de lacircunferencia:

La circunferencia es una línea curva y cerradadonde todos sus puntos están a igualdistancia del centro.Una circunferencia es el lugar geométrico delos puntos de un plano que equidistan de otropunto fijo y coplanario llamado centro en unacantidad constante llamada radio.La circunferencia sólo posee longitud. Sedistingue del círculo en que éste es el lugargeométrico de los puntos contenidos en unacircunferencia determinada; es decir, lacircunferencia es el perímetro del círculo cuyasuperficie contiene.

Conceptos basicos sobre la circunferencia:LA CIRCUNFERENCIA:

ALgunos elementos se asocian a unacircunferencia.Cuerda: es un segmeno que tiene dos puntos dela circunferencia.Diámetro: es una cuerda que pasa por el centrode la cincurferencia.Radio: es el segmento que une el centro de lacircunferencia con un punto cuanquiera de lamisma.

Tangente: es la recta que toca a la cirgunferenciaen un punto. Este punto se llama punto de tangencia.Secante: es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

Arco: es una parte de la circunferencia.Semicircunferencia: es un arco de longitud igual a la mitad de lacircunferencia.Arco menor: es aquel que mede menos que una circunferencia.Arco mayor: es aquel que mide más que una circunferencia.

conceptos basicos sobre la circunferencia

Ángulos de la circunferenciaÁngulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de lacircunferencia y los lados son radios de ella.

La medida del arco AB es la del ángulo central AOB.Arco AB =Angulo AOB

Arco AB = Ángulo AOBEsta igualdad nos permite medir en función del ángulo central o

arco el resto de ángulos que pueden definirse en lacircunferencia.

Angulo inscrito es aquel que tiene su vértice enla circunferencia.

El ángulo semiinscrito, (uno de los segmentossecante y el otro tangente) es un caso particular,o caso límite.El ángulo inscrito mide la mitad queel arco que comprende.

Angulo interior, tiene su centro en un punto interior delcírculo.

La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcosque comprenden él y su opuesto.

Ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un puntoexterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes osecantes a la misma.

Ángulos de circunferencia

La medida del ángulo exterior es la semidiferencia de los arcosque abarca.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1.-Calcular la longitud de una rueda de 90 cm de diámetro

1º A partir del diámetro

La longitud de una circunferencia es 43.96 cm.

2.-Calcula la longitud.

Estudio de circunferencias

Propiedad de ángulos asociados a una circunferencia

Angulos Inscritos es unaSemicircunferencia

Miden 90º"Todos los ángulos inscritos en unasemicircunferencia son rectos."

Un ángulo inscrito se dice que se cruzan un arcoen el círculo. El arco es la parte del círculo que seencuentra en el interior del ángulo.La medida del arco interceptado (igual a suángulo central ) es exactamente el doble de lamedida del ángulo inscrito. Por lo tanto. lamedida de un angulo inscrito en unacircunferencia es el doble de la medida central

que subtiende igual al arco.

Un ángulo inscrito

Ángulo Semi-Inscrito:

Es todo ángulo que tiene su vértice sobre lacircunferencia, uno de los lados es cuerda y elotro es tangente a la circunferencia.

Su medida es igual a la mitad de la medida delángulo del centro que subtiende el mismo arco.


Angulos semiiscritos en una circunferencia.

Los angulos semiinscritos que tieneun lado que contiene a un diametromiden 90º

Actividades de aprendizaje:1.- Demuestra lo que se te pide: Todo ángulo inscrito mide la mitad del arco que abraza.

Demostración. Tenemos que demostrarqueProcederemos por casos.Caso 1El centro de la circunferencia está en un uno de los lados del ángulo.

Seaa = ÐAPB, tracemos el radio OA. Así el triángulo ?AOP es isósceles.Por tanto ÐOAP = a.Y como ß(el ángulo central ÐAOB) es exterior del triángulo ?AOP y noadyacente a a y ÐOAP, entoncesß= a+ ÐAOP = 2a.

Por lo tanto

2.- Escribe el nombre de cada elemento.


3.- Contesta lo siguiente:

Respuesta:Recordamos que un ángulo inscrito en una semicircunferencia (delta)mide 90º. Luego (alfa) + (beta) debe medir 90º .... Entonces: (alfa) +(beta) = (delta) es verdadera. Alternativa A).

Propiedad de rectas y segmentos en una circunferencia


Propiedad de los angulos centrales de cuerdas iguales: unacuerda subtiende ángulos iguales cuando los vértices están encualquier punto de uno de los dos arcos que determina lacuerda.

Propiedad de la perpendicular a una cuerda: Si un diametro esperpendicular a una cuerda entonses la biseca.

Propiedad de la distancia de cuerdas iguales al centro:Si dos cuerdas en un mismo circulo equidistan delcentro entonses las cuerdas son congruentes. Es decir,las distancias entre las cuerdas y el centro iguales.

Propiedad de la tangente: Radio trazado al punto detangencia es perpendicular a la recta tangentePropiedad de los segmentos tangentes:

Propiedad de los segmentos tangentes: Desde unpunto exterior a una circunferencia se pueden trazardos rayos tangentes que determinan dos segmentoscongruentes

Actividades de aprendizaje:


1.-Contesta lo que se te pide:

Allí puedes ir observando que los radios (OT y OR) son perpendiculares a las semirrectas TP y RP (esuna propiedad de las tangentes). También podrás ver que se forma un romboide con los vértices T, P,R y O (ya que OT = OR por ser radios de la misma circunferencia, y los ángulo OTP y ORP soniguales, pues son ambos ángulos rectos). Y entonces se puede calcular el valor del ángulo x. Te digocómo:

Resulta que el ángulo TMR es un ángulo inscripto, y su ángulo central correspondiente es TOR.Como el ángulo central es igual al doble del inscripto (es una propiedad), el ángulo TOR mide 2x (eldoble de x). Lo ponemos en el dibujo:

Entonces tenemos un romboide con un ánguloque mide 2x y otro que mide x. Y los otros dosángulos son ángulos rectos, porque son losángulos que forman las tangentes con los radios(como te comenté antes, las tangentes sonperpendiculares a los radios). Como son ángulosrectos, sabemos su medida: 90°.

Entonces ahora tenemos un cuadrilátero, cuyosángulos miden: 90°, 90°, x y 2x. Y sabemos quela suma de los ángulos interiores de uncuadrilátero es de 360°. Como tenemos una solaincógnita, podemos hallar el valor de x,planteando la ecuación:

90° + 90° + x + 2x = 360°

3x = 360° - 90° - 90°

3x = 180°

x = 180°:3

x = 60°

Entonces, si el ángulo inscripto x es igual a 60°, el ángulo central correspondiente es igual a:

Angulo central = 2xAngulo inscripto

Angulo central TOR = 2.60° = 120°

LECCIÓN

9 Área de paralelogramos, triangulos y trapecios

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1.-Calcula lo que se te pide.

2.-calcula el área del triángulo:




10LECCIÓN

Área y perímetro

Definición de perímetroEl perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de suslados.

Definición de áreaEl área de un polígono es la medida de la región o superficie encerradapor un polígono.

Polígonos regulares

Perímetro:

Área:

Círculo

Perímetro:

Área:

Cómo calcular la longitud de una circunferencia.-Los matemáticos griegos decidieron indicar, con una letra de su alfabeto,el número de veces que la circunferencia contiene su propio diámetro. Laletra escogida fue la letra p. Del número p, se conocen muchas cifras(tiene infinitas). Como las primeras son 3,141592653589...peronormalmente consideramos como valor de p 3,14.

Fórmula: Longitud de la circunferencia = p . diámetro

Como el diámetro es el radio multiplicado por dos(d= 2r), se suele escribir:

Perímetro de la circunferencia = p · diámetro =p ·2 · r = 2 · p · r

Área y perímetro

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1 .-Calcula el área del círculo.

2.-Calcular el área y el perímetro de un pentágono regular de 6 cm delado.

P = 5 · 6 = 30 cm

POLIGONOS Y CIRCUNFERENCIA

EDICIÓN 2012

GRUPO Y GRADO: 2-14

GARCIA MORAN SIVELLY JAZMIN

CULIACAN SINALOA

UNIDAD ACADEMICA PREPARATORIA CENTRAL DIURNA

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