Polinomial 1

UNIT PELAJARAN 1

POLINOMIAL 1

HASIL PEMBELAJARAN

Di akhir unit ini, anda diharap dapat:

1. Mengenal apa itu polinomial dan sifat-sifatnya;

2. Melakukan operasi-operasi tambah, tolak dan darab ke atas polino-

mial;

3. Melakukan pemfaktoran ke atas polinomial.

PENGENALAN

Polinomial adalah satu konsep yang sangat penting dalam aliabar.Ia merupakan perkara yang perlu dikuasai sebelum seseorang itupergi lebih lanjut lagi dalam mempelajari aljabar. Dalam unit pela-jaran yang pertama ini, anda akan mempelajari tentang sifat-sifat polinomial,bagaimana melakukan operasi tambah, tolak dan darab ke atas polinomial.

Setreusnya, anda juga akan mempelajari bagaimana melekukan pemfak-toran ke atas polinomial.

1

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 2

1.1 PERKARA-PERKARA ASAS DALAM POLINOMIAL

Sebelum kita melangkah lebih lanjut dalam membincangkan tentang polino-mial dan operasi-operasinya, ada beberapa perkara asas yang perlu diberi

definisi terlebih dahulu.

Takrifan 1.1 Ungkapan aljabar adalah satu ungkapan yang boleh terdiridaripada sebarang nombor atau huruf atau gabungan kedua-dua nombor

dan huruf yang mungkin melibatkan operasi-operasi tambah, tolak, darab

dan bahagi.

Contoh 1.1 12; x; 3y; 52y; 4y2+6xz; 5x

dan sebagainya adalah ungkapan-

unkapan aljabar.

Takrifan 1.2 Sebutan adalah sebarang kuantiti dalam satu ungkapan al-

jabar yang dihubungkan dengan operasi penambahan.

Contoh 1.2 Ungkapan aljabar 5x2 3xy + 6y 9 adalah terdiri daripada 4sebutan iaitu 5x2;3xy; 6y dan 9. Ungkapan itu juga boleh ditulis sebagai5x2 + (3xy) + 6y + (9).

Cuba nyatakan sebutan-sebutan dalamungkapan 6n5 - 10n3 + n +1Takrifan 1.3 Faktor adalah sebarang kuantiti dalam satu ungkapan aljabaryang dihubungkan dengan operasi pendaraban.

Contoh 1.3 Faktor-faktor dalam sebutan kedua di atas iaitu3xy ialah3; xdan y. 3 juga boleh disebut sebagai pekali berangka bagi xy.

Jadi dalam sebutan 6y, faktor-faktornya adalah 6 dan y serta 6 adalah

pekali berangka bagi y.


Apabila pekali berangka dalam sesuatu sebutan atau ungkapan itu tidak

ditulis seperti xy, ini bermaksud pekali berangkanya adalah 1. Jika x, inibermakna pekali berangkanya adalah 1.

1.2 APA ITU POLINOMIAL?

Takrifan 1.4 Polinomial adalah satu ungkapan aljabar yang berbentuk:

anxn + an1xn1 + : : : + a1x+ a0

di mana n ialah integer bukan negatif dan a0; a1; : : : ; an1; an, ialah nombor-

nombor nyata yang juga dipanggil pekali polinomial.

Perhatikan yang polinomial itu terdiri daripada satu pembolehubah sa-

haja iaitu x. Pembolehubah-pembolehubah yang lain seperti y dan t jugabiasa digunakan.

Contoh 1.4 Contoh-contoh polinomial:

(a) 8t

(b) 3x+ 10

(c) 6y2 + 5y + 10

(d) 7 10y + 4y3 12y5

(e) 14x+ 5x2 + 100x3

Contoh 1.5 Contoh-contoh bukan polinomial:

(a) x1=4

(b) 3y2


(c) 2x+ 3x 4

(d) p(t2 3t+ 6(e) 2 + x+ x

2

3x 1

Dalam definisi di atas, polinomial hanya ada satu pembolehubah sahaja.Walaubagaimana pun, pembolehubah dengan lebih daripada satu pem-

bolehubah boleh wujud. Misalnya, 6xy+3y4x6, 5p310pqr+10q7r dansebagainya.. Polinomial polinomial ini disebut sebagai polinomial dalam

beberapa pembolehubah. Walaubagaimana pun, dalam unit pelajaran initumpuan lebih diberi kepada polinomial dalam satu pembolehubah sahaja.

1.3 DARJAH SEBUTAN DALAM POLINOMIAL DAN DAR-

JAH POLINOMIAL

Takrifan 1.5

(a) Darjah bagi sebutan dalam polinomial bagi polinomial yang mem-punyai satu pembolehubah sahaja ialah kuasa bagi pembolehubahtersebut. Jika terdapat dua atau lebih pembolehubah dalam sesuatu

sebutan, maka darjah bagi sebutan itu ialah hasiltambah kuasa-kuasapembolehubah-pembolehubah itu.

(b) Darjah bagi polinomial adalah darjah bagi sebutan yang tertinggi wu-jud dalam polinomial itu.

Contoh 1.6 Bagi polinomial 5x3+6x29x+8, darjah bagi sebutan 5x3 ialah3, darjah bagi sebutan 6x2 ialah 2, darjah bagi sebutan9x ialah 1manakaladarjah bagi sebutan 8 ialah 0. Perlu ingat, 8 = 8x0 di mana x0 = 1. Olehitu darjah bagi sebarang sebutan yang terdiri daripada sebarang nomborsahaja adalah 0:


Contoh 1.7 Bagi polinomial 6x3y5 + 2xy4 + x6y2z3 + 5, darjah bagi sebutan6x3y5 ialah 8, darjah bagi sebitan 2xy4 ialah 5, darjah bagi sebutan x6y2z3

ialah 11 manakala darjah bagi sebutan 5 ialah 0.

Contoh 1.8

Polinomial Darjah Polinomial5 0

5x 2 17x2 + 10x 9 26x5 + 5y + 1 5

1

2t8 t7 + 6t4 + t2 9t 86x3y5 + x6y2z3 + 5 11

Cuba ini !Darjah bagi polinomial 10s10 100s5 + 1000 ialah . . . . . . . . . . . .

1.4 MENCARI NILAI BAGI SESUATU POLINOMIAL

Polinomial dengan hanya satu pembolehubah boleh diwakili oleh satu sim-

bol seperti P (x). Dengan simbol ini memudahkan kita untuk menentukan

nilai bagi suatu polinomial itu dengan nilai-nilai x yang berbeza. Misalnya,

P (4)mewakili nilai polinomial P (x) apabila x = 4:

Contoh 1.9 Jika diberi P (x) = 3x2+10x 12, maka P (4) = 3(4)2+ 10(4)12 = 48 + 40 12 = 76

Contoh 1.10 JIka P (x) = x5+3x36x+9; cari (i)P (0); (ii)P (1); (iii)P (2)dan (iv)P (3)


Selesaian

(i) P (0) = (0)5 + 3(0)3 6(0) + 9= 0 + 0 0 + 9= 9

(ii) P (1) = (1)5 + 3(1)3 6(1) + 9= 1 + 3 6 + 9= 7

(iii) P (2) = (2)5 + 3(2)3 6(2) + 9= 32 + (24) + 12 + 9= 35

(iv) P (3) = (3)5 + 3(3)3 6(3) + 9= 315

1.4.1 Latihan Formatif 1.1

1. Tentukan sama ada ungkapan aljabar berikut adalah polinomial de-ngan satu pembolehubah atau bukan.

(a) 7x 1

(b) 5x

(c) 2x+ 8

(d) 7=x+ 1=7

(e) 5t2 12

(f) 2y3 11y 8

(g) 4x1=4 + 2x+ 5

(h) 5p4 + pp4 9

(i) 12t6 + 3t


(j) x 10 + x4

3x 12

2. Nyatakan darjah dan pekali berangka bagi setiap sebutan bagi polinomial-polinomial ini:

(a) p+ 12

(b) a4 4a3 + 6a2 4a+ 4

(c) 3x6 5x4 + x2 10

(d) 20x50 + 10x30 2x

3. Nyatakan darjah bagi polinomial-polinomial berikut:

(a) y 1

(b) x7 6x3 + x2 9

(c) 12p10 + 3p2 11

(d) 6x4 50x2 + 14x+ 6

(e) 7x6y3 4x4y2 + x2y 3x

4. Diberi P (x) = 4x5 x3 + 3x2 5x; cari:

(a) P (0)

(b) P (1)

(c) P (1)

(d) P (2)

(e) P (2)


1.5 OPERASI PENAMBAHAN DAN PENOLAKAN BAGI POLI-

NOMIAL

Polinomial-polinomial boleh ditambahkan atau ditolakkan dengan mengga-

bungkan sebutan-sebutan yang serupa. Sebutan-sebutan serupa adalah

sebutan-sebutan yang mempunyai pembolehubah yang sama dan darjahyang sama juga. Sebutan-sebutan serupa boleh digabungkan dengan me-nambahkan pekali-pekali berangkanya.

Contoh 1.11 5x3 + 3x+ 2x3 + 5x+ 4 = 7x3 + 8x+ 4

Perhatikan yang 5x3 dan 2x3 digabungkan menjadi 7x3 kerana merekaadalah sebutan serupa dan 3x digabungkan dengan 5x mejadi 8x dan 4tidak digabungkan dengan mana-mana sebutan oleh kerana bukan sebutan

serupa dengan yang lain.

Contoh 1.12 Permudahkan ungkapan berikut: (6x2 3x+4)+ (4x3 5x2+5x+ 8)

Selesaian

6x2 3x+ 4 + 4x3 5x2 + 5x+ 8 (Hapuskan tanda kurungan)= 6x2 5x2 3x+ 5x+ 4 + 8 + 4x3 (Susun semula sebutan)= x2 + 2x+ 12 + 4x3 (Gabungkan sebutan serupa)= 4x3 + x2 + 2x+ 12

Contoh 1.13 Permudahkan ungkapan berikut: (x5 6x3 + 3x 1) (x5 2x3 4)


Selesaian

x5 6x3 + 3x 1 x5 + 2x3 + 4

Berhati-hati bilamenolakkanungkapan kedua!= x5 x5 6x3 + 2x3 + 3x 1 + 4

= 4x3 + 3x+ 3

Latihan 1.1 Permudahkan ungkapan berikut: (4t t2 t3) (3t22t+2t3):(Jawapan: 3t3 4t2 + 6t )

Latihan 1.2 Permudahkan ungkapan berikut: (z3 2z2) + (z2 7z + 1)(4z3 + 3z2 3z + 2); (Jawapan: 3z3 4z2 4z 1 )

Latihan 1.3 Permudahkan (5xy 3x + 2y 10) + (2xy + 10x 9y + 10):(Jawapan: 7xy + 7x 7y )

1.6 OPERASI PENDARABAN BAGI POLINOMIAL

Sesuatu polinomial itu boleh didarabkan dengan polinomial yang lain. Dalam

proses pendaraban ini, setiap sebutan dalam polinomial pertama mesti di-

darabkan dengan setiap sebutan dalam polinomial kedua. Beberapa contoh

adalah diberi berikut:

Contoh 1.14 Darabkan

(a) 3x(5x)

(b) 3a(a)

(c) 7y4(3y3)


Selesaian

(a) 3x(5x) = 3 x 5 x = 3 5 x x = 15x2

(b) 3a(a) = 3a(1a) = 3 a (1) a = 3 (1) a a = 3a2

(c) 7y4(3y3) = (7) 3 y4 y3 = 21y7

Contoh 1.15 Darabkan:

(a) x(2x+ 3)

(b) 4p(3p2 + 2p 6)

(c) 2s2(s3 6s2 + 11s 4)

Selesaian

(a) x(2x+3) = x(2x)+x(3) (boleh juga tulis sebagai x 2x+x 3) = 2x2 + 3x

(b) 4p(3p2 + 2p 6) = 4p(3p2) + 4p(2p) + 4p(6)= 12p3 + 8p2 24p

(c) 2s2(s3 6s2 + 11s 4) = 2s2(s3) + 2s2(6s2) + 2s2(11s) + 2s2(4)= 2s5 12s4 + 22s3 8s2


(a) (4x 3)(x 2)

(b) (t2 + 2t 3)(t+ 4)

Selesaian

(a) (4x 3)(x 2) = 4x(x) + 4x(2) 3(x) 3(2)= 4x2 8x 3x+ 6= 4x2 11x+ 6


(b) (t2 + 2t 3)(t+ 4) = t2(t) + t2(4) + 2t(t) + 2t(4) 3(t) 3(4)= t3 + 4t2 + 2t2 + 8t 3t 12= t3 + 6t2 + 5t 12


(a) (p+ 5q)(2p 3q)

(b) (3x2y + 5x 2y)(xy + 4)

Selesaian

(a) (p+ 5q)(2p 3q) = p(2p) + p(3q) + 5q(2p) + 5q(3q)= 2p2 3pq + 10pq 15q2

= 2p2 + 7pq 15q2

(b) (3x2y + 5x 2y)(xy + 4) = 3x2y(xy) + 3x2y(4) + 5x(xy) + 5x(4)2y(xy) 2y(4)= 3x3y2 + 12x2y + 5x2y + 20x 2xy2 8y= 3x3y2 + 17x2y + 20x 2xy2 8y

Contoh 1.18 Cari penyelesaian bagi berikut:

(a) (3x+ 4)2

(b) (3x 4)(3x+ 4)

Selesaian

(a) (3x+ 4)2 = (3x+ 4)(3x+ 4)= 3x(3x) + 3x(4) + 4(3x) + 4(4)

= 9x2 + 12x+ 12x+ 16

= 9x2 + 24x+ 16


(b) (3x 4)(3x+ 4) = 3x(3x) + 3x(4) 4(3x) 4(4)= 9x2 + 12x 12x 16= 9x2 16

Perhatikan yang 5 (a) adalah dalam bentuk:

(A+B)2 = A2 + 2AB +B2

iaitu (3x+ 4)2 = (3x)2 + 2(3x)(4) + 42 = 9x2 + 24x+ 16

Perhatikan juga yang 5 (b) adalah dalam bentuk:

(AB)(A+B) = A2 B2

iaitu (3x 4)(3x+ 4) = (3x)2 (4)2 = 9x2 16

Cuba inidalam mindaanda!

Cari (a) (y+2)2 (b) (x5)2 (c) (x5)(x+5) (d) (y+2)(y 2)


1. Permudahkan ungkapan-ungkapan berikut:

(a) (6x+ 2) + (x2 + x 3)

(b) (3x2 5x+ 10) (2x2 + 8x 40)

(c) 7y3 (3y2 2y + 1)

(d) (0:5p4 0:6p2 + 0:7) + (2:3p4 + 1:8p 3:9)

(e) (9x8 7x4 + 2x2 5) + (8x7 + 4x4 2x)


(f) (1=4x4 + 2x3 5=8x2 + 7) (3=4x4 + 3=8x2 + 7)

(g) (5a2 8a) + (7a2 9a 13) (7a 5)

(h) (4 + x2 + 2x3) (6 x+ 3x3) (x2 5x3)

(i) (5ab2 4a2b+ 5a3 + 2) + (3ab2 2a2b+ 3a3b 5)

(j) (2x2 3xy + y2) + (4x2 6xy y2) + (x2 + xy y2)

2. Cari hasildarab bagi ungkapan-ungkapan berikut:

(a) 3x(4x2)

(b) (7x+ 2)2

(c) (x+ 6)(x+ 3)

(d) (m+ 7)(m 7)

(e) (3t 2)(4t2 5t+ 1)

(f) (x4 2x+ 3)(x3 + x 1)

(g) (8 s)(8 + s)

(h) (5y2 + 2)(5y2 2)

(i) (p+ q)(p2 + pq q2)

(j) (3a4 12b3)2

1.7 PEMFAKTORAN POLINOMIAL

Kita tahu bahawa 15 boleh difaktorkan sebagai 3 5 atau (3)(5). Begitu jugadengan polinomial seperti x2+7x boleh difaktorkan sebagai x(x+7). Dalam

kedua-dua kes, kita bertanya sendiri, Apakah yang telah didarabkan bagi

mendapat hasil itu?

Ada beberapa kaedah bagi pemfaktoran polinomial-polinomial.


(a) Kaedah pemfaktoran apabila setiap sebutan dalam polino-mial mempunyai faktor sepunya

Untuk melakukan pemfaktoran bagi polinomial yang mempunyai dua atau

lebih sebutan, terlebih dahulu cari faktor sepunya terbesar bagi semua sebu-

tan.

Contoh 1.19

(a) Faktorkan 3x3 + 6x2 12x.

Selesaian Bagi ungkapan di atas, 3x adalah faktor sepunya terbesar bagi

semua sebutan. Oleh itu 3x3+6x212x = 3x(x2+2x4): Jadi faktor-faktor bagi 3x3 + 6x2 12x. adalah 3x dan x2 + 2x 4.Semak: Darabkan 3x dengan x2 + 2x 4 iaitu (3x)(x2 + 2x 4) =3x3 + 6x2 12x.

(b) Faktorkan 5x2 + 15

Selesaian 5x2 + 15 = 5(x2 + 3)

(c) Faktorkan 8m3 16m

Selesaian 8m3 16m = 8m(m2 2)

(d) Faktorkan 14p2y3 8py2 + 2py

Selesaian 14p2y3 8py2 + 2py = 2py(7py2 4y + 1)

(b) Kaedah pemfaktoran apabila ungkapan dalam bentuk A2 B2:

Jika polinomial adalah dalam bentuk A2 B2, maka faktor-faktornyaadalah AB dan A+B.

Contoh 1.20


(a) Faktorkan x2 36

Selesaian x2 36 = x2 62 = (x 6)(x + 6): [Perhatikan di sini,A = x dan B = 6]

(b) Faktorkan 1 9y2

Selesaian 1 9y2 = 12 (3y)2 = (1 3y)(1 + 3y)

(c) Faktorkan 4x2 25y2

Selesaian 4x2 25y2 = (2x)2 (5y)2 = (2x 5y)(2x+ 5y)

(d) Faktorkan 147x3 27xy2

Selesaian 147x3 27xy2 = 3x(49x2 9y2) = 3x[(7x)2 (3y)2] = 3x(7x 3y)(7x+ 3y)

(c) Kaedah pemfaktoran bagi polinomial dengan ungkapan berben-tuk ax2+ bx+ c, di mana a,b dan c adalah pemalar-pemalar dengan a 6= 0

Polinomial yang mempunyai ungkapan berbentuk ax2 + bx + c dipanggil

ungkapan kuadratik.

Contoh 1.21 Dalam pendaraban (x+ 2) dengan (x+ 4), kita perolehi

(x+ 2)(x+ 4) = x x+ x 4 + 2 x+ 2 4

= x2 + 4x+ 2x+ 8

= x2 + 6x+ 8

Jadi, x2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4): x + 2dan x + 4 adalah faktor-faktor bagi

x2 + 6x+ 8.


Contoh 1.22 Dalam pendaraban (2x 1) dengan (3x+ 2) kita perolehi

(2x 1)(3x+ 2) = 2x 3x+ 2x 2 + (1) 3x+ (1) 2

= 6x2 + 4x 3x 2

= 6x2 + x 2

Jadi, 6x2 + x 2 = (2x 1)(3x + 2): 2x 1 dan 3x + 2 adalah faktor-faktorbagi 6x2 + x 2

Daripada kedua-dua contoh di atas, kita dapati pemfaktoran bagi ungka-

pan kuadratik ax2 + bx + c adalah satu proses mencari dua faktor dalam

bentuk px+ q dan rx+ s yakni

ax2 + bx+ c = (px+ q)(rx+ s)

Proses pemfaktoran ini sebenarnya adalah lawan kepada pendaraban dua

polinomial.

Contoh 1.23

(a) Faktorkan x2 + 5x+ 6

Selesaian Pastikan yang ungkapan tidak mempunyai sebutan sepunya. Per-

hatikan sebutan x2 = x x. dan sebutan pemalar ialah 6 dan sebutanditengah-tengah ialah 5x. Kita mesti mencari pasangan nombor yang

apabila didarabkan mendapat 6 dan apabila ditambahkan mendapat

5. Satu pasangan yang sesuai ialah 2 dan 3 oleh kerana 2 3 = 6 dan


2 + 3 = 5. Juga boleh digambarkan seperti berikut:

x +2

& %% &

x +3

x2 + 3x+ 2x+ 6

= x2 + 5x+ 6

Oleh itu faktor-faktornya adalah x + 2 dan x + 3: Jadi, x2 + 5x + 6 =

(x+ 2)(x+ 3):

(b) Faktorkan x2 5x+ 6

Selesaian

x 2& %% &

x 3

(perhatikan (2)(3) = 6) dan 3x+ (2x) = 5x)

x2 3x 2x+ 6

= x2 5x+ 6

Jadi, x2 5x+ 6 = (x 2)(x 3)

(c) Faktorkan y2 8y 20

Selesaian Bagi pemalar 20, mesti diungkapkan sebagai satu hasildarabsatu nombor positif dan satu nombor negatif.. Pasangan nombor yang

mungkin adalah nombor-nombor 4 dan 5;4 dan 5; 2 dan 10;2dan 10;1 dan 20 serta 1 dan 20. Tetapi pasangan yang sesuai ialah


2 dan 10 sebab apabila ditambahkan mesti menghasilkan 8. Jadi,

y +2

& %% &

y 10

(perhatikan (2)(10) = 20) dan 10y + 2y = 8y)

y2 10y + 2y 20

= y2 8y 20

Oleh itu, y2 8y 20 = (y + 2)(y 10)

(d) Faktorkan t2 24 + 5t

Selesaian t2 24+5t disusun ikut tertib meneurun terlebih dahulu menjadit2+5t 24. Bagi pemalar 24, mesti diungkapkan sebagai satu hasil-darab satu nombor positif dan satu nombor negatif. Pasangan nombor

yang mungkin adalah 1 dan 24, 1 dan 24;2 dan 12; 2 dan 12;3dan 8; 3 dan 8;4 dan 6 serta 4 dan 6. Walaubagaimana pun,pasangan yang sesuai ada lah 3 dan 8 sebab apabila ditambahkanmesti menghasilkan 5. Jadi,

t 3& %% &

t +8

(perhatikan (3)(8) = 24) dan8t+ (3t) = 5t)

t2 + 8t+ (3t) 24

= t2 + 5t 24

Oleh itu, t2 24 + 5t = t2 + 5t 24 = (t 3)(t+ 8):

(e) Faktorkan a2 + 4ab 21b2


Selesaian Di sini kita anggap 21b2 sebagai pemalar dan mesti diungkapsebagai satu hasildarab nombor positif dan nombor negatif. Pasangan

nombor yang mungkin adalah3b dan 7b; 3b dan7b;b dan 21b sertab dan 21b. Pasangan yang sesuai adalah 3b dan 7b oleh keranaapabila ditambahkan mesti menghasilkan 4b. Jadi,

a 3b& %% &

a +7b

(perhatikan (3b)(7b) = 21b2 dan 7ab+ (3ab) = 4ab )

a2 + 7b+ (3b) 21b2

= a2 + 4ab 21b2

Oleh itu a2 + 4ab 21b2 = (a 3b)(a+ 7b):

(f) Faktorkan x2 x+ 5

Selesaian Pemalar 5 boleh diungkapkan sebagai hasildarab 1 dan 5 serta

1 dan 5. Tiada pasangan yang sesuai sebab apabila ditambahkanmenghasilkan 5 dan 6 masing-masing. Yang kita mahu ialah 1(pekali bagi x). Oleh itu x2 x+ 5 tidak boleh difaktorkan.

(g) Faktorkan 2x3 20x2 + 50x

Selesaian Perhatikan 2x3 20x2+50x mempunyai faktor sepunya bagi se-tiap sebutan iaitu 2x yakni

2x3 20x2 + 50x = 2x(x2 10x+ 25)


manakala x2 10x+25 boleh difaktorkan menjadi (x 5)(x 5) Jadi,

2x3 20x2 + 50x = 2x(x2 10x+ 25)

= 2x(x 5)(x 5) atau 2x(x 5)2

(h) Faktorkan 3x2 10x 8

Selesaian 3x2 boleh diungkapkan sebagai 3x x . Bagi pemalar 8, bolehdiungkapkan sebagi hasildarab 1 dan 8; 1 dan 8;2 dan 4 serta2 dan 4. Jadi kita mesti cuba semua kombinasi bagi menghasilkan10x.

3x 1& %% &

x +8

Dengan mendarab silang menghasilkan 3x(8)+x(1) = 24xx = 23x(Bukan!)

3x +1

& %% &

x 8

Dengan mendarab silang menghasilkan 3x(8) + x(1) = 24x + x =23x (Bukan!)

3x 2& %% &

x +4

Dengan mendarab silang menghasilkan 3x(4) + x(2) = 12x 2x =


10x (Bukan!)3x +2

& %% &

x 4

Dengan mendarab silang menghasilkan 3x(4) + x(2) = 12x+ 2x =10x (Ya!). Jadi, 3x2 10x 8 = (3x+ 2)(x 4)

Semak! (3x+2)(x4) = 3x(x)+3x(4)+2(x)+2(4) = 3x212x+2x8 =3x2 10x 8:

(i) Faktorkan 10x2 + 37x+ 7

Selesaian 10x2 boleh diungkapkan sebagi hasildarab 10x x atau 2x 5xmanakala pemalar 7 boleh diungkapkan sebagi hasildarab 1 dan 7

sahaja. Kita gunakan kaedah cuba jaya untuk dapatkan 37x:

10x +1

& %% &

x +7

Dengan mendarab silang menghasilkan 10x(7) + x(1) = 71x (Bukan!)

x +7

& %% &

5x +1

Dengan mendarab silang menghasilkan 5x(7)+2x(1) = 35x+2x = 37x

(Ya!). Jadi 10x2 + 37x+ 7 = (5x+ 1)(2x+ 7):


(j) Faktorkan 24y2 76y + 40

Selesaian Polinomial ini ada faktor sepunya iaitu 4. Jadi 24y2 76y + 40 =4(6y2 19y+10). Seterusnya cari faktor-faktor bagi 6y2 19y+10. 6y2

boleh diungkapkan sebagai 6y y atau 3y 2y manakala 10 boleh di-ungkapkan sebagai hasildarab 1 dan 10;1 dan 10;2 dan 5 serta2 dan 5.Kita gunakan kaedah cuba jaya untuk menghasilkan 19y.

6y 10& %% &

y 1

Dengan mendarab silang menghasilkan 6y(1)+y(10) = 16y (Bukan!)

3y 5& %% &

2y 2

Dengan mendarab silang menghasilkan 3y(2)+2y(5) = 16y (Bukan!)

3y 2& %% &

2y 5

Dengan mendarab silang menghasilkan 3y(5)+2y(2) = 19y (Ya!).Jadi, 6y2 19y + 10 = (3y 2)(2y 5). Oleh itu, 24y2 76y + 40 =4(3y 2)(2y 5)

(k) Faktorkan 6p2 13pq 28q2


Selesaian 6p2 boleh diungkapkan sebagai 6p p atau 3p 2pmanakala sebu-tan terakhir 28q2 boleh diungkapkan sebagai 7q:4q; 7q: 4q; 14q: 2q;14q:2q dan lain-lain. Kita gunakan kaedah cuba jaya dan katakanakita ambil pasangan 3p dan 2p serta 4q dan 7q. Kita perlukan men-dapat hasil 13pq:

3p 4q& %% &

2p +7q

Dengan mendarab silang menghasilkan 3p(7q)+2p(4q) = 13pq (Bukan!).

3p +4q

& %% &

2p 7q

Dengan mendarab silang menghasilkan 3p(7q) + 2p(4q) = 13pq(Ya!). Oleh itu, 6p2 13pq 28q2 = (3p+ 4q)(2p 7q):


1. Faktorkan selengkapnya:

(a) 3x2 6x

(b) 2p3 + 8p2 10p

(c) 10y5 25

(d) 24x4 + 30x2

(e) 15y5 12y4 + 27y3 3y2

(f) 12 + 24x


(g) 7a4b3 + a3b2 5a2b(h) y(y + 3) + 7(y + 3)

2. Faktorkan selengkapnya

(a) x2 100(b) 4t2 1(c) 4 25k2

(d) 81 36m2

(e) 49m2 16n2

(f) 100p2 169q2

(g) 4p3 4p(h) 162x2y 32y3

3. Faktorkan selengkapnya

(a) x2 + 6x+ 8(b) p2 5p+ 4(c) x2 7x 60(d) 5b2 + 25b 120(e) 3x2 + x 4(f) 6t2 23t+ 7(g) 2m2 m 1(h) 15x2 + 19x+ 6(i) 12m2 +mn 20n2

(j) 47 56y + 9y2

(k) 18x2 6xy 24y2

(l) 14g4 19g3 3g2


1.8 Latihan Sumatif

1. Kenal pastikan sebutan-sebutan dalam setiap polinomial berikut:

(a) 3x2 + 6x 5

(b) 4y5 + 7y2 3y + 2

2. Bagi setiap polinomial berikut, nyatakan (i) darjah dan pekali bagi se-tiap sebutan dan (ii) darjah bagi polonomial

(a) 15t5 + 4t2 + 6

(b) 2x5 + x4 3x2 + x

(c) x5y 7xy + 9x2 8

3. Jika P (x) = 2x5 + x4 3x2 + x+ 1, cari nilai berikut:

(a) P (0)

(b) P (1)

(c) P (1)

(d) P (2)

(e) P (12)

4. Tambahkan atau tolakkan bagi polinomial-polinomial berikut;

(a) (3x4 x3 + x 4) + (x5 + 7x3 3x 5)

(b) (3x4 5x3 + 3x2) + (4x5 + 4x3) + (5x5 5x2)

(c) (5x2 4x+ 1) (3x2 + 7)

(d) (3x5 4x4 + 2x2 + 3) (2x5 4x4 + 3x3 + 4x2 5)

5. Panjang bagi satu segi empat tepat adalah berukuran 3 m lebih dari-pada lebarnya yang berukuran w m.


(a) Cari satu polinomial bagi perimeter segi empat tepat itu(b) Cari satu polinomial bagi luas segiempat tepat itu.

6. Cari hasildarab bagi berikut:

(a) 3x(4x2)(b) (7x+ 1)2

(c) (m+ 5)(m 5)(d) (x+ 4)(x 7)(e) (4x2 5x+ 1)(3x 2)(f) (x4 2x+ 3)(x3 + x+ 1)(g) (2 x)(2 + x)(h) (13x 3)(x 13)(i) (3x2 + 4)(3x2 4)(j) (p q)(p2 + pq + q2)

7. Faktorkan selengkapnya:

(a) 2x4 + 6x3

(b) 9x2 4(c) x2 + 4x 12(d) y2 + 14y + 49(e) 6x2 5x+ 1(f) 25m2 20m+ 4(g) x4 81(h) 9x3 + 12x2 45x(i) 3x2 27(j) 12a2 + 84ab+ 147b2


1.9 JAWAPAN


1. (i) Bukan (ii) Ya (iii) Ya (iv) Bukan (v) Ya (vi) Ya (vii) Ya (viii) Bukan

(ix) Ya (x) Bukan

2. (i)p; 1; 1 12 : 0; 12 (ii)a4 : 4; 1 4a3 : 3;4 6a2 : 2; 6 4a : 1;44 : 0; 4 (ii)3x6 : 6; 3 5x4 : 4;5 x2 : 2; 1 10 : 0;10 (iv)20x50 : 50;20 10x30 : 30; 10 2x : 1;2

3. (i)1 (ii)7 (iii)10 (iv)4 (v)9

4. (i)0 (ii) 5 (iii)5 (iv)122 (v) 98


1. (a)x25x1 (b)x213x+50 (c)7y3+3y2+2y1 (d) 2:8p40:6p2 + 1:8p 3:2(e) 9x8 + 8x7 3x4 + 2x2 2x 5 (f)x4 + 2x3 x2 (g)12a2 24a 8 (h)4x3 + x+ 2(i)8ab2 6a2b+ 5a2 + 3a3b 3 (j) x2 8xy y2

2. (a)12x3 (b)49x2+28x+4 (c)x2+9x+18 (d)m249 (e)12t323t2 + 13t 2(f)x7 + x5 3x4 + 3x3 2x2 + 5x 3 (g)64 s2 (h)25y4 4 (i)p3 + 2p2q q3 (j)9a8 3a4b3 + 1

4b6


1. (a)3x(x 2) (b)2p(p 1)(p + 5) (c)5(2y5 5) (d)6x2(4x2 +5) (e)3y2(5y3 4y2 + 9y 1)(f)12(1 + 2x) (g)a2b(7a2b2 + ab 5) (h)(y + 7)(y + 3)


2. (a)(x10)(x+10) (b)(2t1)(2t+1) (c)(25k)(2+5k) (d)9(32m)(3 + 2m)

(e)(7m4n)(7m+4n) (f)(10p13q)(10p+13q) (g)4p(p1)(p+1) (h)2y(9x 4y)(9x+ 4y)

3. (a)(x+2)(x+4) (b)(p 1)(p 4) (c)(x+5)(x 12) (d)5(b3)(b+ 8) (e)(3x+ 4)(x 1)(f)(3t1)(2t7) (g)(2m+1)(m1) (h)(3x+2)(5x+3) (i)(3m+4n)(4m 5n)(k)6(3x 4y)(x+ y) (l)g2(7g + 1)(2g 3)

1.9.4 Latihan Sumatif

1. (a)3x2; 6x;8 (b) 4y5; 7y2;3y; 2

2. (a)15t5 : 5; 15 4t2 : 2; 4 6; 0; 6 (b) 2x5 : 5;2 x4 : 4; 1 3x2 :2;3 x : 1; 1(c)x5y : 6; 1 7xy : 2;7 9x2 : 2; 9 8 : 0;8

3. (a)1 (b)2 (c) 4 (d)71 (e)7=8

4. (a)x5+3x4+6x32x9 (b)x5+3x4x32x2 (c)2x24x6 (d)x5 3x3 2x2 + 8

5. (a)4w + 6 (b)w2 + 3w

6. (a)12x3 (b)49x2+14x+1 (c)m225 (d)x23x28 (e)12x323x2 + 13x 2(f)x7+x52x4+x3+x+3 (g)4x2 (h)13x2172x+39 (i)9x416 (j)p3 pq2 q3

7. (a)2x3(x + 3) (b)(3x 2)(3x + 2) (c)(x + 6)(x 2) (d)(y +7)2 (e)(3x 1)(2x 1)


(f)(5m2)2 (g)(x2+9)(x3)(x+3) (h)3x(3x5)(x+3) (i)3(x3)(x+ 3) (j)3(2a+ 7b)2

Documents

Polinomial 1