polinomial irreducibel

7/23/2019 polinomial irreducibel

1/29

STRUKTUR ALJABAR II

Kelompok 6:Sabrina Dian V. E. P. 140110120029

Reyza Ikhrom 140110120045

Yusuf M. Iqbal 140110120061

Tiara Ulfa M. 140110120063

Nuraesa Nufus F. 140110120079

POLINOM TEREDUKSI DAN TAK TEREDU


2/29

RING POLINOMIAL ATAS

Definisi 1: (Gallian, 2010 : 293)

MisalRadalah ring komutatif, maka ring polinomial dapat ditulis:

=

, non neg

disebut ring polinomial atasRdenganindeterminate.


3/29

POLINOM TEREDUKSI DAN TIDAK TER

Definisi 2:(Herstein, 1975:159)

Polinomial []disebut tak tereduksi (irreducible) jika()berder

()tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian antara dua polinomial ber

Dengan kata lain, jika = () dengan , () []

konstan atau()konstan.


4/29

CONTOH RING POLINOM TEREDUKSI DA

TIDAK TEREDUKSI

Contoh ring polinomial tereduksi :

2 1 adalah polinomial tereduksi ataskarena

2 1 = 1 1

Contoh ring polinomial tidak tereduksi :

5 adalah polinomialirreducibleatas lapangankarena

5 tidak dapat difaktorkan dengan koefisien


5/29

RING POLINOMIAL PRIMITIVE

Definisi 3: (Gallian, 2010 : 306)

Polinomial = , dimana, , , , adalah bilang

dikatakanprimitivejikagcd , , , , = 1.

Contoh :

= 7 5 1

gcd 7,5,1 = 1

.


6/29

Teorema 4: Misal lapangan dan []dengan derajat 2 ata()tereduksi atas jika dan hanya jika()memiliki pembuat no

Dengan kata lain()mempunyai akar di .


7/29

Bukti:

Misal lapangan,()anggota []dan deg = 2 atau deg = 3

dik:()tereduksi pada

misalkan () = ()() dengan () ,() anggota [] maka deg () = deg

akibatnya,2 deg deg 3,sehingga diperolehdeg () = 1ataudeg() =

misal() = , maka terdapat= ( )pembuat nol di()

untuk = ( ) = 0, maka berlaku

= . = . = 0. =0

()memiliki pembuat nol/mempunyai akar di[]


8/29

Dik:()punya nol

misalkan() = 0.

Maka( )faktor dari (). Artinya() = ()dg(

unit.

Karena () bisa dinyatakan sebagai perkalian polinom () =

maka()tereduksi di[].


9/29

Contoh:

Tidak tereduksi menurut teorema 4

= []

Tereduksi menurut teorema 4

= []

= []


10/29

Lemma 5: Jika()dan primitive maka . ()jugaprimitive.

Bukti: Dengan kontradiksi

Misalkan =

dan =

primitive.

Andaikan . tidakprimitive.

Artinya ada bilangan prima 1yang membagi koefisien-koefisien dar

Karena dan primitive, maka tidak semua koefisiendan te.


11/29

Misal danadalah koefisien pertama di yang tidak terbag( dan ).

Maka di dalam . akan terdapat+ , dengan koefisien+ , diman

+= + + + (+ +)(1)

|, , , sehingga|(+ + +)dempula

|, , , sehingga|(+ + +)Dengan asumsi awal bahwa . tidakprimitive, maka|+artinya |

Padahal dan . Pengandaian salah, maka haruslah . PRIMITIVE.


12/29

Contoh: = 7 5 1, gcd 7,5,1 = 1artinya primitive

= 7 9, gcd 1,7,9 = 1artinya primitive . = 7 54 99 52 9

gcd 7,54,99,52,9 = 1artinya . primitive


13/29

Teorema 6:GaussLemma (Herstein 1975:160)

Jika polinomial primitive () dapat difaktorkan sebagai hasil polynomial yang memiliki koefisien rasional, maka () dapat di

menjadi hasil dari dua polynomial yang memiliki koefisien bilangan bula


14/29

Bukti:

Misal = () dimana () dan () memiliki koefisien rasional.mengeluarkan faktor pembilang dan pembagi dapat ditulis =

()

danbilangan bulat, dan(),()memiliki koefisien bilangan bulat dan p

Sehingga = . FPB dari ruas kiri adalahkarena()primiti

primitive karena()dan primitive menurut Lemma 5. ()primFPB dari ruas kanan adalah , maka diperoleh = ,

= 1, dan =

dimana()dan memiliki koefisien bilangan bulat.


15/29

Teorema 7: Kriteria Eisenstein(Herstein, 1975:160)

Misal =

adalah polinomial dengan

bilangan bulat. Misal terdapat bilangan prima , di m

, , , , , , , maka()irreducibledi.


16/29

Bukti :

Tanpa menghilangkan keumuman, diasumsikan bahwa primitive,mengambil faktor persekutuan terbesar dari koefisien tanpa

hipotesis, saat .Jika () hasil dari faktor dua polinomial, berdasarkan Lemma Gaussdifaktorkan sebagai hasil dari dua polinomial yang memiliki koefisien intdemikian, jika diasumsikan bahwa reducible,maka

=

,

Di manadaninteger dan 0dan 0. Diperoleh= .Saat|,haruslah membagi salah satu dariatau.

Saat ,tidak membagidan.


17/29

Andaikan |, . Tidak semua koefisien, , dapat dibagisebaliknya setiap koefisien dapat dibagi oleh, yang mana hal i

menunjukkan bahwa salah. Misalkanadalah bilanganpertama yang tidak dapat dibagi oleh

. Dengan demikian, |, tapi= , dan , , , , . Jadi, diperoleh bahwa|Kontradiksi dengan . Hal ini menunjukkan bahwa()tidak difaktorkan, dengan kata lain irreducible (tak tereduksi).


18/29

Contoh :

Misal polinom = irreducible di

teorema 2 jika misalkan p=5


19/29

Teorema 8: (Herstein, 1975:161)Jika F merupakan lapangan,maka setiap ideal dalam[]merupakan ideal utama.

Contoh: = =

Didefinisikan = []}Maka = 1

= 1

Definisi 10: (Misalkan R merupakan ring,ideal disebut ideal utamajikadapat dibangun oleh suatu elemen dalam Ryaitu =


20/29

Bukti:

Misaladalah ideal untuk

Jika ideal nol, maka teorema terbukti.

Misalideal nontrivial di dan memiliki derajat minimal

Jika = 0Maka()konstanta tak kosongdan 1 pastiKarena 1 menghasilkan semua ,

1 = 1. = Makaadalah ideal utama


21/29

Misalkan 1dan Menurut algoritma pembagian, ,

di mana = ()dengan Karena , () danidealmaka = Karena berderajat minimal, r harus polinom nolKarena maka [] =


22/29

Teorema 10: (Herstein, 1975:161)

Misalkanlapangan

ideal terhadap[]maka () 0 ideal maksimal terhadap

Jika dan hanya jika()tak tereduksi atas


23/29

Bukti:

() Misal () 0

ideal maksimal terhadap[]

Artinya () []sehingga()

Karena () ideal maksimal maka () ideal prima

Sehingga jika , memenuhi . () () maka

() () atau() ()

Dapat ditulis seperti berikut: = . () () ()

Karena() 0 maka()konstan atau konstan

Sehingga dapat disimpulkan bahwa()tak tereduksi atas.


24/29

() Misal = ()

Untuk menunjukkanideal maksimal terhadap[]sebagai berikut:

1.

2.Jika N ideal lain dari[]dengan []maka = atau =

Karenalapangan maka[]ideal utama

Misal = () untuk suatu() []

Karena() maka = . ()untuk suatu() [

Karena()tak tereduksi maka()konstan atau()konstanJika()konstan maka() = untuk suatu

Sehingga = . atau = .

Artinya() mengakibatkan


25/29

Karena dan maka =

Jika()konstan maka() = untuk suatu

Sehingga.

= 1 Oleh karena itu() []berlaku1. = ()

Karenaideal dari[]maka = []

Sehingga dapat disimpulkan bahwa = () ideal maksimal dari

Berdasarkan pembuktian di atas dapat disimpulkan bahwa misalkanlap

ideal terhadap[]maka () 0 ideal maksimal terhadap[]

jika dan hanya jika()tak tereduksi atas


26/29

Contoh:

Misalkan 1ideal terhadap[]dan 1 merupakan ideal maksimal. Bu

1tak tereduksi atas!

Penyelesaian:

Diketahui 1ideal terhadap[]

1 merupakan ideal maksimal

Adb 1tak tereduksi atasPerkalian dua polinom pada[]yaitu:

1 =

dengan

,

[]

Sehingga 1tak tereduksi atas


27/29

Akibat teorema 10:

[] lapangan

Contoh:

lapangan


28/29

DAFTAR PUSTAKA

[1] Gallian, Joseph A. 2013. Contemporary Abstract Algebra. Duluth: University

Minnesota.

[2] Herstein, 1996.Abstract Algebra. Amazon: Wiley.

[3] Qharnida Khairani, Amir Kamal Amir dan Nur Erawati. 2014. Ideal Prima

Maksimal pada Gelanggang Polinomial. Makassar: Universitas Hasanuddin


29/29

TERIMA KASIH

Documents

polinomial irreducibel