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COLEGIO UNIVERSITARIO CENTRAL
“Gral. José de San Martín” MATEMÁTICA IV– 2014
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
DIVISIÓN DE POLINOMIOS POR MONOMIOS
Para dividir dos monomios debes tener en cuenta cómo se dividen potencias de la misma base. En general, am : an = am-n
Por ejemplo, si quieres dividir los monomios 24x4y2z3 y 8xy, no tienes más que dividir por un lado los coeficientes, y por el otro las letras:
Otros ejemplos de
divisiones de monomios son:
−15x3y4z2 : (5x2y2z)= −3xy2z El cociente de los dos monomios da como
resultado otro monomio.
21x2y5 : (3x3y) = 7x−1y4 El cociente de estos monomios no es otro monomio, ya que tiene un exponente negativo.
El cociente de dos monomios (cuando es posible) es igual a otro monomio que tiene: Como coeficiente, el cociente de los coeficientes de los monomios dados.
Como parte literal, la expresión que resulta de realizar todas las divisiones de potencias de potencias de igual base.
En general, la división de un polinomio entre un monomio solo podrá realizarse cuando todos los términos del polinomio sean divisibles por el monomio.
Por ejemplo:
y4xz6xy2
xy8
xy2
yzx12
xy2
xy8yzx12 2222
xy
1x2yx5 2
Sí, se puede realizar la división
No se puede realizar la división, ya que el segundo término y el tercero no se pueden dividir por xy
33031214324
3..8
24
8
24yzxzyx
xy
zyx
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DIVISIÓN ENTERA ENTRE POLINOMIOS ¿Recuerdas cómo se dividen números enteros?
625 32
- 32 19 305
- 288 17/
En toda división se cumple que:
D= d . C + R 625= 32 . 19 + 17
Donde: D = dividendo; d = divisor; C = cociente; R = resto
De igual forma se realiza la división de polinomios. Observa el siguiente ejemplo:
En una división de polinomios, se cumple que los polinomios dividendo D(x), divisor d(x), cociente C(x) y resto R(x), se relacionan del siguiente modo:
D(x) d(x)
D(x) = d(x) . C(x) + R(x)
R(x) C(x)
Buscamos un monomio que al multiplicarlo por
el primer término del divisor x2, de cómo
resultado 2x4
El monomio buscado es 2x2 ya que:
2x2 . x2 = 2x4
Multiplicamos el monomio 2x2 por TODO el
divisor: 2x2 . (x2 +1) = 2x4 + 2x2
Colocamos este resultado 2x4 +0x3+2x2
debajo del dividendo agrupando los términos
según el grado de cada uno
Restamos el polinomio 2x4 +0x3+2x2
al polinomio original , para ello cambiamos de
signo a cada término
Bajamos el resto de los términos del polinomio
dividendo y repetimos el proceso
2 x4 + x3 – 4x2 – 2x + 5 x2 +1
-2x4 - 0x3 - 2x2 2x2 + x - 6
0x4 + x3 - 6x2 - 2x
- x3 – 0x2 - x
0x3 – 6x2 – 3x + 5
+6x2 – 0x + 6
0x2 – 3x +11/
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Actividades de aplicación:
ACTIVIDAD 1
Resuelve las siguientes divisiones:
1) (6x3 -12x2 + 3x) : (-3x)=
2) (-6x4 +3/2x3 - 2x2) : (-1/3 x2)=
ACTIVIDAD 2
Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones:
1) (2+ x3 - 6 x2) : (1/3 x + 1)=
2) (2 x5 + x4 -3 x3 +x2) : (x3 - x +1) =
3) (2x +2x4 -3) : (-2 x + x2)=
TEOREMA DEL RESTO
Un tipo de divisiones muy habituales son aquellas en las que el divisor es un polinomio de la forma x- a
En este tipo de divisiones podemos utilizar el teorema del resto. Este teorema
permite calcular el resto de la división sin que sea necesario llegar a realizarla.
Teorema del resto: El resto de la división D(x) : (x − a) se obtiene al sustituir el valor de a en
el polinomio D(x): R = D(a)
Dado que el divisor d(x) = (x - a), su grado es 1. Por lo tanto el grado del resto
R(x), debe ser menor que el grado del divisor. En consecuencia el grado de
R(x) es cero, o bien R(x) = 0. En ambos casos R(x) es un número real y
podemos expresarlo simplemente “r”.
Podemos escribir, entonces:
D(x) = (x − a) . C(x) + r
D(a) = (a − a) . C(a) + r
0
0
Luego: D(a) = r
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Aquí tienes algunos ejemplos de aplicación del teorema del resto:
DIVIDENDO D(x)
DIVISOR
x − a
RESTO
R = D(a)
−3x4 + 4x2 + 5x x − 2 D(2) = −3 · 24 + 4 · 22 + 5 · 2 = −22
x4 + 3x3 + 2x − 7 x + 3 D(−3) = (−3)4 + 3(−3)3 + 2(−3) − 7= −13
x3 − 7x2 + 11x − 5 x − 5 D(5) = 53 − 7 · 52 + 11 · 5 − 5 = 0
En la división de la última fila, (x3 − 7x2 + 11x – 5) : (x – 5), el resto es igual a
cero. En este caso decimos que es una división exacta. Es decir que el
polinomio dividendo es divisible por el polinomio divisor. O que el polinomio
dividendo es múltiplo del polinomio divisor.
ACTIVIDAD 3
Calcula el resto de las siguientes divisiones:
1) ( 5x2 – 2x + 4) : (x+ 3)=
2) ( 12x4 – 5x2 +2x - 5) : (x - 2)=
REGLA DE RUFFINI
Cuando un polinomio se divide por un binomio de la forma (x –a) se puede
aplicar un método llamado regla de Ruffini que consta de los siguientes pasos:
Dividamos ( −3x4 + 4x2 + 5x) por (x − 2 ):
1) Completemos el polinomio dividendo D(x) −3x4 + 0x3 + 4x2 + 5x + 0
2) Coloquemos en forma horizontal y consecutivamente los coeficientes de
todos los términos del polinomio -3 0 4 5 0
3) Ubicando en forma de cruz el opuesto del término independiente 2
-3 0 4 5 0
2
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4) Se ubica el primer coeficiente, a partir de él se multiplica por el opuesto
del término independiente (en este caso:2) y el resultado se suma al
siguiente coeficiente
-3 0 4 5 0
2 -6
-3 -6
5) Se repite el proceso tantas veces como coeficientes hay hasta llegar al
ultimo, en donde quedara expresado el resto
-3 0 4 5 0
2 -6 -12 -16 -22
-3 -6 -8 -11 Resto
Coeficientes del cociente
Por lo tanto de la división entre D(x) = −3x4 + 4x2 + 5x y d(x) = (x - 2),
el cociente es C(x) = -3x3 – 6x2 – 8x – 11 (observa que tiene un grado
menos que el dividendo) y el resto es r = -22
ACTIVIDAD 4
Resuelve las siguientes divisiones:
b) (x4 + 2x3 –x2 + x – 2) : (x2 + 1)=
c) (x4 +3x3 – 2x2 + 4) : (x2 – x)=
d) (x3 – 125) : (x2 + 5x + 25) =
ACTIVIDAD 5
Resuelve las siguientes divisiones aplicando regla de Ruffini:
a. (-x4 + 2x3 + x -3) : (x+1) =
b. (16x2 – 2x4 – 3x – 2) : (x + 3) =
c. ( x5 + 32) : ( x + 2) :
d. (1/3 x4 – 2x2 + 3) : ( x + 1) =
-22
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ACTIVIDAD 6
Si P(x) se divide por Q(x) = x3 + x – 1, se obtiene cociente
C(x)= 3x2 – 4x – 3 y resto R(x)= 9x2 + 4x -1. Calcula P(x).
ACTIVIDAD 7
Si P(x)= 10x3 – 5x2 + 3x – 1 se divide por Q(x), se obtiene cociente C(x)= 10x –
5 y resto R(x)= 23x – 11. Calcula Q(x).
ACTIVIDAD 8
Se sabe que al dividir (x3 – 2x2 – ax +6) por (x-3), la división es exacta. ¿Cuál es
el valor de a?.
ACTIVIDAD 9
¿Cuánto debe valer a, para que al dividir (2x3 – x2 + 10x +a) por (x+1/2) la
división sea exacta?
ACTIVIDAD 10
Calcula el valor de “a”, para que el polinomio P(x)= 3 x3 + 5 x2 – a x + 1, al ser dividido
por (x + 2) dé resto 8
ACTIVIDAD 11
Señala V o F en cada caso:
a) x = 1 es raíz del polinomio P(x) = 3 x4 – 2 x3 – 1
b) x = -3 es raíz del polinomio P(x) = 2 x2 + 7 x + 3
c) x = 5 es raíz del polinomio P(x) = x2 – 4 x + 4
d) x = 0 es raíz del polinomio P(x) = 7 x3 – 2 x2 + x
e) x = -2 es raíz del polinomio P(x) = 4 x3 + 8 x2 - 5x - 10
Observa los casos que fueron verdaderos y escribe un divisor posible de P(x) en cada
caso.
En general, decir que:
P(a) = 0 equivale a decir que P(x) es divisible por (x – a)
P(a) = 0 equivale a decir que x = a es raíz de P(x)
Luego, P(x) es divisible por (x – a) sí y sólo si x = a es raíz de P(x)
Entonces P(x) = (x – a) . C(x)
siendo C(x) el cociente de la división de P(x) por (x-a)
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FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Si P(x) es de grado uno, , P(x) tiene una raíz real
Por ejemplo:
P(x) = 5x – 2 Para calcular la raíz de P(x) planteamos la ecuación
5x – 2 = 0 5
2x
Por lo tanto 5
2x es raíz de P(x) pues 0
5
2P
Si P(x) es de grado dos, , P(x) tiene a lo sumo dos raíces reales. Esto significa que
P(x) puede tener dos raíces reales, una o ninguna.
Hemos visto muchos ejemplos de esto en el desarrollo de las funciones cuadráticas y las ecuaciones de segundo grado.
Recuerda que un polinomio es mónico o normalizado si su coeficiente principal es 1.
Para factorizar un polinomio, generalmente hay que combinar TÉCNICAS DE
FACTORIZACIÓN que veremos a continuación.
Factor Común
Si en todos los términos del polinomio existe uno o varios factores comunes (que pueden
ser números o letras), entonces pueden extraerse como factores comunes con el menor exponente con que aparecen en el polinomio.
Ejemplo:
x2 - 2x + x3 = x .(x – 2 + x2) Recuerda que extraer factor común es el procedimiento recíproco a la aplicación de la propiedad distributiva. Observa que lo que está dentro del
paréntesis es el resultado de dividir cada uno de los términos del polinomio original entre x (que es el factor común)
Todo polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real
Un polinomio P(x) Є R[x] de grado “n” tiene a lo sumo “n” raíces reales
Decimos que un polinomio de coeficientes reales está factorizado en
R[x], si puede escribirse como producto entre su coeficiente principal
y polinomios reales mónicos de grado 1 o de grado 2 sin raíces reales.
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Atención:
Para normalizar un polinomio, se debe sacar como factor común el coeficiente principal.
Ejemplo: P(x) =
2
3x23x2 22
Factor Común por Grupos de igual número de términos
En algunos casos el factor común será un polinomio, para estos casos se procederá de la
siguiente manera:
Ejemplo 1:
P(x) = x5 – 2 x4 – 3 x + 6
P(x) = (x5 – 2 x4 )+(– 3 x + 6)
x4 -3
P(x) = x4 (x – 2) – 3(x – 2)
P(x) = (x – 2).(x4 – 3)
Ejemplo 2:
Q(x) = 3x3 + 3x2 + 2x + 2 = (3x3 + 3x2 )+(2x + 2) = …………………………………=
= ………………………………………………
ACTIVIDAD 12
Extrae factor común o factor común por grupos según corresponda:
a) P(x) = 358 xx
3
2x
2
1
b) S(x) = 15x6 – 25 x3 + 10x2=
c) Q(x) = x3 + 3x2 – 5x - 15 =
d) P(x) = x28
9x
40
21x
16
15 34 =
e) Q(x) = x6 + 2x5 + x4 + 2x3 + 2x + 4=
Observa que no existe un factor que sea común a todos los
términos
Se forman grupos de igual cantidad de términos, de
forma tal que en cada uno de ellos haya un factor
común
En cada término aparece el mismo factor, (que es
un polinomio) el cual debe extraerse nuevamente
como factor común
Al sacar nuevamente factor común, la expresión
queda factorizada a través del factor común por
grupos
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x 2
x 3
f) T(x) = x4 – x3 + x – 1 =
g) S(x) = 2x5 – x4 + 6x3 – 3x2 + 8x – 4 =
Trinomio Cuadrado Perfecto
x2 2ax + a2 = ( x a )2
Ejemplo 1:
P(x) = x2 + 6x + 9 = x2 + 2.3.x + 32 = ( x + 3 )2
x 3 Bases de los cuadrados
Ejemplo 2:
Q(x) = x2 - 4x + 4 = x2 - 2.2.x + 22 = ( x - 2 )2
Bases de los cuadrados
Ejemplo 3:
R(x) = x2 + 8x + 9 = x2 + 2.4.x + 32 No es trinomio cuadrado perfecto
3 4
Cuatrinomio Cubo Perfecto
x3 + 3ax2 + 3a2x + a3 = ( x + a )3
Trinomio Cuadrado Perfecto:
Desarrollo del cuadrado del binomio
Cuadrado de un binomio:
Expresión factorizada del trinomio cuadrado perfecto
x2 2ax + a2 = ( x a ) ( x a ) = ( x a )2
Cuatrinomio Cubo Perfecto:
Desarrollo del cubo del binomio
Cubo de un binomio:
Expresión factorizada del cuatrinomio cubo perfecto
x3 3ax2 + 3a2x a3 = ( x a ) ( x a ) ( x a ) = ( x a )3
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x -1
x -2
( x + a )3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3
( x - a )3 = x3 - 3ax2 + 3a2x - a3
Ejemplo 1:
P(x) = x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3.2.x2 + 3.22.x + 23 = ( x + 2 )3
x 2 Bases de los cubos
Ejemplo 2:
Q(x) = x3 - 3x2 + 3x - 1 = x3 - 3.1.x2 + 3.12.x - 13 = ( x - 1 )3
Bases de los cubos
Ejemplo 3:
R(x) = x3 - 4x2 + 8x - 8 x3 - 3.2.x2 + 3.22.x - 23
6 4 y 12 8
ACTIVIDAD 13
Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
a) x2 – 2x + 1 = (x + 1)2 ( ……. )
b) x2 + 8x + 16 = (x + 4)2 ( ……. )
c) x2 + 2x - 1 = (x - 1)2 ( ……. )
d) 1 + 3x2 – 3x – x3 = (x - 1)3 ( ……. )
e) x3 - 27x2 + 9x – 27 = (x - 3)3 ( ……. )
f) x3 + 9x2 + 27x + 27 = (x + 3)3 ( ……. )
No es cuatrinomio
cubo perfecto
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ACTIVIDAD 14
Expresa cada polinomio como trinomio cuadrado perfecto o cuatrinomio cubo perfecto factorizado según corresponda:
a) P(x) = 1x4x4 2
b) R(x) = 64x48x12x 23
c) Q(x) = 125x75x15x 23 d) S(x) =
9
4x
3
4x2
e) T(x) = 1x2
3x
4
3x
8
1 23 f) L(x) = 8
1x
4
3x
2
3x 23
Suma y resta de potencias de igual exponente
Para un polinomio de la forma P(x) = nn ax existen cuatro posibilidades
1º) P(x) = nn ax y n es impar
2º) P(x) = nn ax y n es impar
3º) P(x) = nn ax y n es par
4º) P(x) = nn ax y n es par
Analizaremos un ejemplo de cada posibilidad:
1º) P(x) = x5 + 32 = x5 + 25
Se buscan las raíces de P(x):
x5 + 32 = 0 x = -2
Por el teorema del resto: P(-2) = 0 (x + 2) es divisor de P(x)
Aplicando regla de Ruffini dividimos P(x) por (x + 2)
Luego, P(x) = ………………………………..…… . (x + 2)
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2º) P(x) = x3 – 27 = x3 – 33
Se buscan las raíces de P(x):
x3 – 27 = 0 x = 3
Por el teorema del resto: P(3) = 0 (x - 3) es divisor de P(x)
Aplicando regla de Ruffini dividimos P(x) por (x - 3)
Luego, P(x) = ………………………………..…… . (x - 3)
3º) P(x) = x4 +81 = x4 + 34
No tiene raíces reales:
x4 +81 = 0 x4 = -81
Luego, P(x) No tiene divisores de la forma (x + 3) o (x – 3)
4º) P(x) = x4 – 16 = x4 – 24
Se buscan las raíces de P(x):
x4 – 16 = 0 2x2x 1 y 2x2
Por el teorema del resto: P(2) = 0 (x - 2) es divisor de P(x)
y P(-2) = 0 (x + 2) es divisor de P(x)
Aplicando regla de Ruffini dividimos P(x) por (x - 2) y luego su cociente por (x + 2)
P(x) = …………………………………………… . (x – 2)
Luego, P(x) = ………………………………..…… (x + 2) . (x – 2)
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Resumiendo:
P(x) = nn ax Divisor/es
n impar
nn ax (x + a)
nn ax (x – a)
n par
nn ax (x + a) y (x – a)
nn ax No tiene divisores de la forma (x a)
Nota:
La diferencia de cuadrados es un caso particular de resta de potencias de exponente
par.
P(x) = x2 – 9 = x2 – 32 = (x – 3)(x + 3)
P(x) = x4 – 25 = (x2)2 – 52 = (x2 – 5)(x2 + 5)
P(x) = x2 – 49 = x2 – 72 = (x – 7)(x + 7)
ACTIVIDAD 15
Expresa los siguientes polinomios como producto:
a) V(x)=1 – x2 =
b) Q(x) = 32
1x5 =
c) N(x) = 256
1x 4 =
d) M(x) = x6 – 64=
e) T(x) = 81
1x 4 = f) S(x) = 125 x3 - 27 =
g) P(x) = x7 + 1=
h) R(x) = x5 – 1=
ACTIVIDAD 16
Factoriza, normalizando previamente:
a) T(x) = 3x2 – 27
25=
b) S(x) = - 5x2 + 5
81=
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c) Q(x) = 4
7x2 –
7
4=
d) P(x) = 2x3 + 54=
e) M(x) = 3x5 – 96 =
f) L(x) = 4x2
1 3 =
Teorema de Gauss
Para hallar las raíces racionales de P(x) = a xn + b xn-1 + c xn-2 + … + d
Se buscan los divisores del término independiente y del coeficiente principal.
Se buscan las posibles raíces : q
p
Todo polinomio P(x), de grado n, de n raíces reales, puede factorizarse como:
Siendo a el coeficiente principal de P(x) y
x1 , x2 , … , xn sus n raíces reales.
Ejemplo:
Para hallar las raíces racionales de P(x) = 2x3 – 3x2 – 8x – 3
Buscamos los divisores del término independiente: Div(-3)= 1; -1 ; 3 ; -3
Buscamos los divisores del coeficiente principal: Div(2)= 1 ; -1 ; 2 ; -2
Posibles raíces: 1 ; -1 ; 2
1 ;
2
1 ; 3 ; -3 ;
2
3 ;
2
3
Especializamos el polinomio P(x) por las posibles raíces, para saber cuál/es son
verdaderamente raíces (Teorema del resto)
Si el polinomio P(x), de grado n, con coeficientes enteros y término
independiente no nulo, admite una raíz racional q
p"" (fracción
irreducible) , entonces “p” es divisor del término independiente y “q” lo es
del coeficiente principal.
Divisores del término independiente
Divisores del coeficiente principal
P(x) = a (x – x1)(x – x2) … (x – xn)
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P(-1) = 0 x1 = -1 es raíz
P
2
1 = 0 x2 =
2
1 es raíz
P(3) = 0 x3 = 3 es raíz
El polinomio P(X) es de grado 3, por lo tanto tendrá a lo sumo tres raíces.
Luego,
Un polinomio
tiene una raíz múltiple si al descomponerlo en función de sus raíces hay factores
iguales. El orden de multiplicidad de la misma está dado por el exponente del factor.
ACTIVIDAD 17
Indica la multiplicidad de las raíces de los siguientes polinomios:
a) P(x) = -4 (x – 3)2 (x + 3)2 c) T(x) = 24
33
3
xx
b) Q(x) = 2(x + 1)5 . x2 d) M(x) = (x + 4)(x + 1)4
ACTIVIDAD 18
Hallen las raíces de los siguientes polinomios y factorícenlos. Clasifica sus raíces: a) P(x) = - x3 + 4x2 – x – 6 =
b) Q(x) = - 4x3 + 7x – 3 =
Polinomio factorizado Raíces Multiplicidad
P(x)= )x(x)x( 32
112
x1 = -1
x2 = 2
1
x3 = 3
Tres raíces simples
Q(x)=(x + 1)2 = (x + 1)(x + 1) x1 = x2 = -1 Una raíz doble
R(x)=(x – 2)3 = (x – 2)(x – 2)(x – 2) x1 = x2 = x3 = 2 Una raíz triple
S(x)= (x + 2)2. (x – 1)3 x1 = x2 = -2 y
x3 = x4 = x5 = 1
-2 es raíz doble y
1 es raíz triple
T(x)= x3. (x + 3) = x.x.x.(x + 3) x1 = x2 = x3 =0 y
x4 = -3
0 es raíz triple y
-3 es raíz simple
P(x) = 2x3 – 3x2 – 8x – 3 = )x(x)x( 32
112
16
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c) S(x) = - 4x4 + 12x3 – 7x2 – 3x + 2 =
d) T(x) = x3 – 3x + 2=
e) N(x) = x4 + 6x3 + 8x2 – 6x – 9=
f) D(x) = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 4 =
g) P(x) = x4 – x3 + 64x – 64=
h) M(x) = -4x3 – 4x2 + x + 1=
Combinación de técnicas de factorización
En algunos polinomios se deben aplicar varias veces las técnicas de factorización,
hasta que los factores de la expresión sean primos, es decir, hasta que el polinomio esté
finalmente “factorizado”
Siempre es conveniente comenzar sacando factor común si es posible; y luego
analizar si a algunos de los factores se los puede seguir descomponiendo en nuevos
factores.
Ejemplo 1:
Factor común x2
P(x) = x4 – 2x3 + x2 = x2.(x2 – 2x + 1) = x2. (x – 1)2
Trinomio Cuadrado Perfecto
Ejemplo 2:
Factor común 8 C.A.(completa)
Q(x) = 8x3 – 1 = 8 .
8
13x = 8 .
4
1
2
1
2
1 2 xxx
Resta de Potencias de Igual Exponente
Ejemplo 3:
Factor común por grupos
M(x) = x3 – 3x2 – 4x + 12 = x2. (x – 3) – 4. (x – 3) =
= (x – 3)(x2 – 4) = Diferencia de cuadrados
= (x – 3)(x – 2)(x + 2)
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Ejemplo 4:
Factor común -3
T(x) = - 3x3 + 15x2 – 24x + 12 = - 3.(x3 - 5x2 + 8x – 4) = Teorema de Gauss
= -3.(x – 1)(x2 – 4x + 4) =
= -3 (x – 1)(x – 2)2 Trinomio Cuadrado
Perfecto
C.A. (aplica T de Gauss)
ACTIVIDAD 19
Expresa cada polinomio en función de sus raíces. Explicita en cada caso cuáles son sus
raíces y su multiplicidad: a) P(x) = x4 – x2 h) Q(x) = - x2 + 100
b) Q(x) = x4
1xx 23 i) S(x) = x3 + 3x2 – 5x - 15
c) M(x) = 26 x16
1x j) R(x) = x6 – 729
d) N(x) = 9
16x2 3 k) P(x) = 6x4 - 3x3 – 24 x2 + 12 x
e) L(x) = 4
9x
4
9xx 23 l) T(x) = x4x6x3x
2
1 234
f) T(x) = 234 x
4
9x3x m) D(x) =
25 x32
3x
4
3
g) P(x) = 4x4 + 16
1- x2
ACTIVIDAD 20
Calcula las medidas de cada arista del prisma recto de la figura, sabiendo que su
volumen es 36 cm3.
x + 1
x + 2
2x – 1
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ACTIVIDAD 21
Calcula la altura (h) de una pirámide recta de base cuadrada, cuyo volumen es de 2 dm3 teniendo en cuenta los datos que aparecen en la figura.
x – 2
FFUUNNCCIIÓÓNN PPOOLLIINNÓÓMMIICCAA
Una función que tiene como dominio al conjunto de los números reales y cuya
forma es f(x) = an xn + an-1 xn-1 + ….. + a2 x2 + a1 x + a0 , siendo n un
número natural y los coeficientes an , an-1 , …. , a2 , a1 , a0 números reales,
es una “función polinómica”.
Si an 0, entonces la función es de grado n
Las funciones polinómicas son continuas.
Para determinar el comportamiento de una función polinómica respecto del eje X (eje de
abscisas), hay que factorizar el polinomio, f(x)= a0(x – x1)(x – x2)…(x – xn), y
determinar el orden de multiplicidad de sus raíces.
Si el orden de multiplicidad de la raíz es par, la gráfica de la función toca al
eje X pero no lo atraviesa.
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
f(x)=2(x+3)2
x=-3 raíz de orden 2
h = x + 3
19
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-2 -1 1 2 3 4 5 6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
x
y
Si el orden de multiplicidad de la raíz es impar, la gráfica de la función
atraviesa al eje X.
-2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
-2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
f(x)= 4)2x(4
1
x=2 raíz de orden 4
f(x)=(x – 2)3
x=2 raíz de orden 3
f(x)=2(x + 1)5
x=-1 raíz de orden 5
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-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
ACTIVIDAD 22
Indica según el gráfico si las raíces de las funciones graficadas son de orden par o impar:
a) b)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
c) d)
-4 -3 -2 -1 1 2
1
2
3
4
5
x
y
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
f(x)=2
1(x + 1)2.(x – 3)
x=-1 raíz de orden 2
x= 3 raíz de orden 1
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ACTIVIDAD 23
Marca con una cruz el gráfico correspondiente a la función indicada en cada caso:
a) f(x) = (x + 1)(x + 3)(x – 2)2
b) g(x) = x (x – 2)(x + 3)3
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ACTIVIDAD 24
Encuentra la fórmula de cada una de las siguientes funciones polinómicas
a) Función de grado 4; x1=3 es una raíz doble; x2=2 es una raíz doble ; f(-1)=2
b) Función de grado 3; x1=-5 es una raíz simple; x2=-1 es una raíz doble ; f(0)=4
c) Función de grado 3; interseca al eje X en los puntos (-2 ; 0) , (-1 ; 0) y
0;
2
1;
f(-3)=-14
d) Función de grado 4; an=3
2 ; f(2)=0 ; x1=
3
1 es una raíz doble; x2=3 es una raíz
simple
Gráfico aproximado de una función polinómica
Para realizar el grafico aproximado de una función polinómica se debe:
Hallar la ordenada al origen, la que está determinada por el término
independiente y es el punto (0 ; a0).
Factorizar el polinomio:
a) Las raíces indican las intersecciones con el eje X
b) El orden de multiplicidad de las raíces indica si la gráfica rebota o atraviesa el
eje X.
Hallar los conjuntos de positividad y de negatividad, para lo cual se buscan
valores del dominio entre dos raíces consecutivas para determinar si la función es
positiva o negativa en ese intervalo.
Ejemplo:
f(x) = 2
3x
2
1x
2
9x
2
9x 234
Ordenada al origen:
2
3;0
Factorización del polinomio
f(x) = 3x1x2
1x
2
a) Intersecciones con el eje X:
x1 = 2
1 ; x2 = -1 ; x3 = -3
b) Orden de multiplicidad:
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x1 = 2
1 raíz simple la gráfica atraviesa el eje X
x2 = -1 raíz doble la gráfica rebota en el eje X
x3 = -3 raíz simple la gráfica atraviesa el eje X
Conjuntos de positividad y de negatividad:
f(-4) = 2
81
2
3)4(
2
1)4(
2
9)4(
2
9)4( 234 > 0
f(-2) = 2
5
2
3)2(
2
1)2(
2
9)2(
2
9)2( 234 < 0
f(0) = 2
3 < 0
f(1) = 82
3)1(
2
1)1(
2
9)1(
2
9)1( 234 > 0
Por lo tanto: C+ =
;
2
13; ; C- =
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
raíz simple
x3 = -3
raíz doble
x2 = -1
raíz simple
x1 = 1/2
ACTIVIDAD 25
Completa las siguientes frases, correspondientes al análisis de f(x) = x3 + 2x2 – x – 2
a) La intersección de la gráfica con el eje Y es …………………
b) La función factorizada tiene la forma ……………………………………………….
c) La raíz x1 = …………. es una raíz ………………………………………..; x2 = ………….. es
una raíz …………………………………. y x3 = ……………. es una raíz ………………….…….
d) f(-3) = ………….. ; f
2
3= ……………; f(0) = …………… y f(2) = ……………
e) El conjunto de positividad de la función es ………………………………………………..
f) El conjunto de negatividad de la función es ………………………………………………..
2
1;11;3
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Marca con una cruz el gráfico correspondiente a f(x) según el análisis hecho.
a) b)
-3 -2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
x
y
-3 -2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
x
y
ACTIVIDAD 26
Realiza las gráficas aproximadas de la siguientes funciones polinómicas.
Indica en cada una: ordenada al origen, raíces y orden de multiplicidad, conjunto de positividad y conjunto de negatividad.
a) f(x) = 2x3 – 6x – 4
b) f(x) = x4 – 4x3 + 4x2
c) f(x) = -2x4 – 11x3 – 11x2 + 15x + 9
d) f(x) = 34 xx4
1
ACTIVIDAD 27
Halla la fórmula de la función polinómica de grado 3, con coeficiente principal 9, tal que
sus únicas raíces sean 2 y -1. ¿Es única?
ACTIVIDAD 28
Halla en cada caso la función polinómica de grado mínimo cuya gráfica sea:
a) b)
-1 1 2 3 4 5 6 7
x
y
-1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
c)
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y