Polinomios - RED EDUCATIVA DIGITAL DESCARTESproyectodescartes.org/EDAD/materiales_didacticos/EDAD_4eso... · Si dividimos un polinomio donde el monomio de mayor grado es x4 entre

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CUADERNO N 3 NOMBRE: FECHA: / /

Polinomios - 1 -

Polinomios

Contenidos 1. Polinomios

Grado. Expresin en coeficientes Valor numrico de un polinomio

2. Operaciones con polinomios Suma diferencia, producto Divisin.

3. Identidades notables (a+b)2 (ab)2 (a+b)(ab) Potencia de un binomio

4. Divisin por xa Regla de Ruffini Teorema del resto

5. Descomposicin factorial Factor comn xn Races de un polinomio

Objetivos Hallar la expresin en coeficientes de un polinomio y operar con ellos. Calcular el valor numrico de un polinomio. Reconocer algunas identidades notables, el cuadrado y el cubo de un binomio. Regla de Ruffini y Teorema del Resto. Hallar la descomposicin factorial de algunos polinomios.

Autor: Jos Fernndez Gmez Bajo licencia

Adaptacin a Descartes JS: Xos Eixo Creative Commons Si no se indica lo contrario.

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Polinomios - 2 -

Pulsa sobre la escena de MAGIA CON POLINOMIOS (no sobre la explicacin, ni en tus dotes de magia) En estos momentos debes estar observando 32 figuras de diferentes colores

La escena te pide que memorices una figura. Escrbela a la derecha (y no se lo digas a nadie)

Despus de pulsar el botn COMIENZO. est tu figura en este grupo? Escrbelo a la derecha (SI o NO)

Y en este grupo (SI o NO). Escrbelo a la derecha



Y en este grupo (SI o NO). Escrbelo a la derecha Te ha acertado la figura el ordenador? Qu figura cree el ordenador que tu memorizaste?. Escrbela a la derecha

Seguro que est deseando pulsar en el apartado correspondiente a la EXPLICACIN. Pero no lo hagas antes de rellenar el siguiente cuadro:

Con cuntas figuras distintas trabaja la escena? Te pide la escena alguna vez que le digas el color o la forma de la figura que tu has memorizado? O simplemente que contestes SI o NO a si est en un grupo determinado de figuras?

Cuntas veces has contestado SI o NO?

Qu vale 25 Ahora si es el momento de ver la EXPLICACIN pulsando dentro de la escena en el apartado correspondiente. Vamos a jugar con un compaero. La escena le pide que memorice una figura. Lgicamente no la vamos a escribir porque es un secreto.

Pulsamos COMIENZO y escribimos SI o NO. Lo que nos diga tu compaero




Y en este grupo (SI o NO). Escrbelo a la derecha Tenemos nuestros 5 SIs o NOs. Escribe al lado el polinomio con el que debemos trabajar.

Sustituimos 2 en dicho polinomio? El valor de la figura sera? Escrbelo a la derecha

Antes de empezar

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Polinomios - 3 -

Pulsa el botn

que aparece en pantalla bajo el ttulo Sistema Binario y visualiza el vdeo. Presta atencin para contestar:

En el vdeo aparece un nmero descompuesto en varios sumandos.

NMERO= SUMANDOS=

Pulsa para ir a la pgina siguiente. 1. Polinomios 1.a. Grado. Expresin en coeficientes Lee el texto de pantalla. CONTESTA ESTAS CUESTIONES: RESPUESTAS Cul es el grado del polinomio x3+2x1? Cuntos coeficientes tiene un polinomio de grado 4? Escribe a la derecha el polinomio asociado a los coeficientes:2 0 3 1

Haz varios ejemplos en la escena hasta comprender los conceptos de grado , expresin en coeficientes y expresin polinmica de un polinomio.

Pulsa en el botn

para hacer el ejercicio propuesto.

Pulsa para ir a la pgina siguiente. 1.b. Valor numrico de un polinomio En la primera lnea si haces clic sobre la palabra valor se abrir una ventana con la explicacin del concepto de valor numrico de un polinomio A continuacin observa una escena en la que en primer lugar se calcula el valor numrico de un polinomio para x=10 o incluso para cualquier otro nmero que tu introduzcas en el control correspondiente: Pulsando en la flecha: > a la derecha de la lnea verde puedes acceder a otros tres ejemplos en lo que al igual que en el anterior puedes cambiar el valor de x. EJERCICIOS: Completa ahora la siguiente tabla escribiendo los clculos y el resultado obtenido en cada caso para los polinomios y los valores de x que se indican: Ejercicio Polinomio y valor de x Operaciones y resultado

1 P(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 4

x=2

2 P(x) = x2 5x + 3

x=3

3 P(x) = 3x4 5x2 9

x=2

4 P(x) = 3 4x + 2x2 2x3

x=10

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Polinomios - 4 -

EJERCICIOS

1. Halla la expresin en coeficientes de los polinomios P(x)=5x2+2x+1; Q(x)=x33x;

R(x)=0,5x2 4

2. Escribe las expresiones polinmicas de los polinomios cuya expresin en coeficientes es: P(x) 2 1 3 1; Q(x) 1 3 0 0; R(x) 3/4 1 0 2

3. Completa la tabla: EXPRESIN POLINMICA EXPRESIN EN COEFICIENTES GRADO

2x3+x53x2 x2/31

2 0 0 2 1,3 0 1/7

3 2 x2 Estos polinomios son polinomios en una variable, x, con coeficientes en el cuerpo de los nmeros

reales. El conjunto de estos polinomios se designa por lR[x].

4. Halla el valor numrico en 1, 0 y 2 de los polinomios del ejercicio anterior

POLINOMIO Valor en 1 Valor en 0 Valor en 2

x52x3 3x2

x2/31

2x3+ x2

2x3+1,3x21/7

2 x2+3

Pulsa para ir a la pgina siguiente. 2. Operaciones con polinomios 2.a. Suma, diferencia y producto Observa con atencin la escena que se muestra. No es necesario que contestes por escrito pero puedes elegir en la escena los polinomios que se van a operar? puedes elegir la operacin suma, resta o producto? EJERCICIO 1: Completa la siguiente tabla con 6 ejercicios diferentes de los que te aporta la escena. Coloca en la segunda columna el signo de la operacin (+, , x). Escribe a ser posible 2 ejercicios de cada operacin. Primer polinomio Op. Segundo polinomio Resultado

Pulsa en el botn

en la parte inferior derecha, para hacer los ejercicios.

Como vers se abre un cuadro con una escena en la que puedes practicar operaciones con

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Polinomios - 5 -

polinomios. La idea es que practiques cuantas veces quieras pero completa la siguiente tabla con 5 ejemplos que hayas resuelto CORRECTAMENTE EJERCICIO 2: P(X) Op. Q(x) Resultado

Cuando acabes puedes pasar al siguiente apartado. Pulsa para ir a la pgina siguiente.

2.b. Divisin En esta ocasin se presenta una escena con tres niveles. Practica con la escena, en cada uno de los niveles, hasta entender bien los conceptos. EJERCICIO 1: Completa la siguiente tabla con las palabras dividendo, divisor, cociente y resto Frmula que los relaciona:

EJERCICIO 2: Contesta. Si dividimos un polinomio donde el monomio de mayor grado es 6x4 entre otro cuyo monomio de mayor grado 2x2, el cociente tendr como monomio de mayor grado________ Si dividimos un polinomio donde el monomio de mayor grado es x4 entre otro cuyo monomio de mayor grado 3x, el cociente tendr como monomio de mayor grado________ El resto de la divisin de dos polinomios puede ser cero? _______Qu afirmaremos en este caso del dividendo y del divisor? _____________________________________________ EJERCICIO 3: Completa de nuevo la tabla, con un ejemplo concreto del nivel 2 (atencin al nivel), escribiendo en su lugar P(x), Q(x), cociente y resto. Frmula que los relaciona:

Aunque no lo escribas en este cuadernillo, practica con la escena.

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Polinomios - 6 -

Pulsa en el botn

para hacer unos ejercicios y escribe tus operaciones en los

cuadros siguientes. Se trata de realizar 2 divisiones de principio a fin. Aprovecha la escena para comprobar si tus resultados son correctos. 1 Divisin completa 2 Divisin completa


EJERCICIOS 5. Halla P(x)+Q(x) y 2P(x)Q(x)

P(x)=x4+x3+3x Q(x)=2x3+x24x+5

6. Cul es el grado del cociente al dividir un polinomio de grado 5 entre otro de grado 2?

7. Multiplica P(x)=x3+6x2+4x6 por Q(x)= x3+3x2+5x2

8. Dados los polinomios P(x)y Q(x) haz la divisin P(x):Q(x) a. P(x)= 2x3+4x2+7x+3 ; Q(x)= 2x2+x+3 b. P(x)= 7x22x+5 ; Q(x)= 8x+7

3. Identidades notables 3.a. (a+b)2 Cuadrado de una suma EJERCICIO 1: Has observado la escena con detenimiento? Seguro que si. Fija antes de nada los valores a=4 y b=5 en la escena y contesta la siguiente batera de preguntas: Cuntos cuadritos contiene el cuadrado azul?_________

Cuntos cuadritos contiene el cuadrado rojo?_________

Cul es el valor de a+b?_________

Cuntos cuadritos contiene cada uno de los cuadrados grises?_________

Cmo relacionaras 81 con los valores anteriores?___________________________________

Cmo podramos expresar (4+5)2?_______________________________________________

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Polinomios - 7 -

Escribe en el siguiente recuadro esa frmula que nunca olvidars:

Pulsa en el botn Aparece en escena un ejemplo y al final el botn OTRO EJEMPLO. Plsalo para observar todos los ejemplos que se presentan.

Una vez finalizados escoge la opcin de realizar unos ejercicios en tu cuaderno y resuelve los al menos tres de los propuestos escribiendo aqu la resolucin: Ejercicio 1 Ejercicio 2 Ejercicio 3

Cuando acabes puedes pasar al siguiente apartado. Pulsa para ir a la pgina siguiente. 3.b. (ab)2 Cuadrado de una diferencia EJERCICIO 1: Observa la escena con detenimiento pero en esta ocasin vamos a centrarnos en el vdeo de la derecha. Visualzalo y en el siguiente recuadro realiza tus clculos para obtener el valor de (ab)2 Escribe en el siguiente recuadro esa frmula que nunca olvidars:

(a-b)2=(a-b)(a-b)=

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_4eso_B_polinomios/q3_contenidos_3b.htm##

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Polinomios - 8 -



Cuando acabes puedes pasar al siguiente apartado. Pulsa para ir a la pgina siguiente. 3.c. (a+b) (ab) Suma por diferencia EJERCICIO 1: Has observado la escena con detenimiento? Seguro que si. Fija antes de nada los valores a=9 y b=3 en la escena y pulsa el botn de comienzo de la animacin. Contesta ahora a las siguientes preguntas: Cuntos cuadritos contiene el cuadrado rojo?_________ Cuntos cuadritos contiene el cuadrado azul?_________ Cul es el valor de a+b?_________ Cul es el valor de ab?_________ Cuntos cuadritos contiene el rectngulo de base a+b y altura ab?_________ Escribe en el siguiente recuadro esa frmula que nunca olvidars:



Cuando acabes puedes pasar al siguiente apartado. Pulsa para ir a la pgina siguiente..

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Polinomios - 9 -

3.d. Potencia de un binomio. Tringulo de Pascal EJERCICIO 1: Observa la escena con detenimiento pero no olvides el vdeo de la derecha. Visualzalo y en el siguiente recuadro construye el Tringulo de Pascal. EJERCICIO 2: Fija en la escena de la izquierda como valores de a y b los que figuran en la primera columna. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

Vol cubo rojo Vol verde Vol naranja Vol. cubo

azul a=2 y b=4

a=4 y b=2

a=2 y b=2

a=2 y b=8




http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_4eso_B_polinomios/q3_contenidos_3b.htm##

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Polinomios - 10 -

EJERCICIOS

9. Desarrolla (x+3)2 aplicando las identidades notables

Descompn el polinomio x210x+25 aplicando las identidades notables, Descompn el polinomio 4x2 25 aplicando las identidades notables

10. Desarrolla las siguientes expresiones

Solucin

Solucin

(x+4)2 x24x+4 16x2+24x+9 4 x212x+9

(2x/3+5)2 (x/23)2

( 2 x+1)2 (x 3 )2

11. Halla la expresin en coeficientes de los siguientes productos

Solucin

Solucin

(x+4)(x4) (x1/2)(x+1/2) (2x+5) (2x5) (3+ 2 x)(3 2 x)

12. Resuelve aplicando las identidades notables la ecuacin x2+10x+16=0

13. Calcula el cubo de un binomio

Solucin

Solucin

(x+2)3 (x1)3 (2x3)3 (3+x/3)3

14. Halla la fila 5 del tringulo de Pascal, y calcula (x+1)5

Cuando acabes puedes pasar al siguiente apartado. Pulsa para ir a la pgina siguiente..

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Polinomios - 11 -

4. Divisin por xa 4.a. Regla de Ruffini EJERCICIO 1: Segn nos dicen en esta pgina, Ruffini fue un mdico y matemtico italiano (17651822). Pero no te gustara saber algo ms de el?. Aprovecha las siguientes lneas para contarnos algo ms acerca de Ruffini. ___________________________________________________________________________

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Observa en la escena como se ejecuta la Regla de Ruffini paso a paso. Si necesitas volver a ver la animacin recuerda pulsar el icono EJERCICIO 2: Completa en el siguiente espacio la divisin del polinomio p(x)= x4+5x3+x+1 entre x3 repitiendo exactamente los pasos que va haciendo la escena. Para hacerlo correctamente debes usar el botn pausa de la escena. Fjate que ya est colocado el polinomio p(x), pero debes seguir tu.

1 5 0 1 1

1 5 0 1 1

Pulsa en el botn

para realizar varios ejercicios.

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Polinomios - 12 -

EJERCICIO 3: Completa en la siguiente tabla el polinomio que te ofrece la escena, el divisor y la correspondiente regla de Ruffini.

Pol. Entre Pol. Entre Pol. Entre

Debes seguir practicando. Completa esta otra tabla con 3 nuevas divisiones entre xa

Pol. Entre Pol. Entre Pol. Entre

Cuando acabes puedes pasar al siguiente apartado. Pulsa para ir a la pgina siguiente. 4.b. Teorema del Resto EJERCICIO 1: En este apartado la escena te ofrece un dividendo, un divisor y las correspondientes instrucciones.

Dividendo. divisor Dividendo. divisor x4 5x2 + 2x 4 x 2

2x3 4x2 +x 5 x + 2

Haz la divisin Haz la divisin

Dividendo=divisor.cociente+resto Dividendo=divisor.cociente+resto

No te olvides de completar la ltima fila de la tabla (Dividendo=divisor.cociente+resto) EJERCICIO 2: Completa la siguiente tabla sin ayuda del ordenador. Realiza los clculos en tu cuaderno.

P(x)=Dividendo Divisor=xa Cociente Resto P(a) x35x+8 x4

x2+4 x+2 8

x+1 5x35x2+5x4 3

x35x2+6x x2 0

2x3mx24 x3 0

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Polinomios - 13 -

Escribe en el siguiente recuadro la conclusin del llamado Teorema del Resto.

Pulsa en el botn

Aparece en escena con un polinomio P(x) y un binomio de la forma (xa). Calcula el resto de la divisin de P(x) entre (xa) e introduce el resultado obtenido en el recuadro para comprobar si lo has hecho bien. Copia aqu tres de esos ejercicios: Ejercicio 1 Ejercicio 2 Ejercicio 3

EJERCICIOS

15. Aplica la regla de Ruffini para dividir P(x)=x3+5x22x+1, Q(x)=2x45 y R(x)=x34x+3x2 entre x3

16. Aplica la regla de Ruffini para dividir P(x)=x3+3x22x+1, Q(x)=x42 y R(x)=x34x2x

entre x+1

17. Aplica la regla de Ruffini para dividir P(x)=3x3+5x22x+1 y Q(x)=6x42 y entre x+2/3

18. Si el valor numrico de un polinomio en 2 es igual a 3 y el cociente de su divisin de entre x2 es x Sabes de que polinomio se trata?

19. Halla m para que mx2+2x3 sea divisible entre x+1

20. Existe algn valor de m para que el polinomio x3+mx22mx+5 sea divisible por x2?

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Polinomios - 14 -

5. Descomposicin factorial 5.a. Factor comn xn EJERCICIO 1: Saca factor comn una potencia de x en la siguiente tabla.

Polinomio Descomposicin Polinomio Descomposicin

x2 +2x 4x5+2x2+x

x4 +2x23x x4+2x3

3x5+2x4+5x3 x5+x4+3+5x3

5.b. Races de un polinomio EJERCICIO 1: Copia a continuacin la definicin de raz de un polinomio. ___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

EJERCICIO 2: Lee con atencin el texto que se muestra debajo de Races de un polinomio. Haz hincapi en el texto sombreado. Debes completar los huecos que se muestran a continuacin:

Las _______ no nulas de un polinomio con coeficientes enteros, son ___________ del ______________ de menor grado del polinomio.

Pulsa en Ejemplos y escribe el polinomio que se descompone, dicha descomposicin y realiza la comprobacin.

Polinomio Races Descomposicin Comprobacin

(x2)(x2+x+2) x4=

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Polinomios - 15 -

EJERCICIO 3: En la escena de la derecha, puedes realizar la Regla de Ruffini. Completa la siguiente tabla con el polinomio que muestra la escena.


Espacio para Regla de Ruffini

EJERCICIO 4: recargando la pgina (pulsa F5) la escena te mostrar un polinomio diferente. Vuelve a completar las siguientes tablas como en el ejercicio anterior







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Polinomios - 16 -

EJERCICIOS

21. Saca factor comn una potencia de x en cada uno de los siguientes polinomios:

P(x)=2x3+3x Q(x)= x4+2x63x5 R(x)=2x6+6x5+8x3

22. Halla la descomposicin factorial de x7x64x4 .

23. Halla la descomposicin factorial de x4+x3x22x2

24. Si los coeficientes de P(x)=pnxn+pn1xn1+...+p1x+p0 son nmeros enteros, las posibles races racionales de P(x) son de la forma

Halla la descomposicin factorial de 12x3+4x217x+6 .

25. Halla la descomposicin factorial de x44

26. Halla la descomposicin factorial de x37x2+4x+12

27. Halla la descomposicin factorial de (2x3+x+3/2)2(x3+5x3/2)2

5.c. Fracciones algebraicas Una fraccin algebraica es el cociente indicado entre dos polinomios. En la escena se presenta una serie de ejercicios para simplificar fracciones. La escena te ofrece 11 tipos diferentes. Copia en la siguiente tabla una fraccin de cada tipo, realiza tus clculos en tu cuaderno de trabajo y copia en la tabla el resultado.

Fraccin Resultado Simplificacin

Fraccin Resultado Simplificacin

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Polinomios - 17 -

Pulsa en el botn

para hacer los ejercicios correspondientes a este apartado.

EJERCICIO 1: A continuacin tienes espacio para completar la suma o resta y el cociente de dos fracciones.

Suma o resta de dos fracciones Cociente de dos fracciones

EJERCICIO 2: A continuacin tienes espacio para completar la suma o resta y el cociente de dos fracciones.

Suma o resta de dos fracciones Cociente de dos fracciones

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Polinomios - 18 -

Recuerda lo ms importante RESUMEN

Completa el tringulo de Pascal hasta su fila 6

Desarrolla (x3)4

Calcula (x3x2+1)+(x4x1)

Calcula (x3x2+1)(x4x)

Calcula (x3+2x2+x3)(x33x+2)

Desarrolla (a+b)2

Desarrolla (ab)2

Cmo se llaman los polinomios que intervienen en una divisin? Completa

D

R

Cul es la frmula que relaciona los polinomios que intervienen en una divisin?

Cul es la definicin de raz de un polinomio?

Relaciona los siguientes polinomios con sus posibles races. 1. x21

2. x2+1 3. x3x2+4

4. x4x26

Posibles races:

Posibles races: Posibles races:

Posibles races:

Descompn x35x2+6x

Pulsa para ir a la pgina siguiente.

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Polinomios - 19 -

Para practicar

Ahora vas a practicar resolviendo distintos EJERCICIOS. En las siguientes pginas encontrars EJERCICIOS de: Operaciones con polinomios Identidades notables Descomposicin factorial Procura hacer al menos uno de cada clase y una vez resuelto comprueba la solucin. Completa el enunciado con los datos con los que te aparece cada EJERCICIO en la pantalla y despus resulvelo. Es importante que primero lo resuelvas tu y despus compruebes en el ordenador si lo has hecho bien. Los siguientes EJERCICIOS son de operaciones con polinomios.

1. El nmero de la izquierda __ __ __ __ est en base ___. Halla su valor en base decimal, nuestra base usual.

2. Cantidad de azul en hexadecimal __ __.

Halla en decimal la cantidad de azul.

3. P(x)=____________ Q(x)=______________ Halla P(x)+__Q(x)

4. P(x)=____________ Q(x)=______________ Halla P(x).Q(x)

5. P(x)=____________ Q(x)=______________ Halla el cociente y resto de la divisin P(x):Q(x)

6. P(x)=____________ Halla la divisin de P(x) entre x___ aplicando la Regla de Ruffini

7. P(x)=____________ Halla, aplicando el teorema del resto, el resto de la divisin de P(x) y x___

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Polinomios - 20 -

8. P(x)=____________ Halla m, aplicando el teorema del resto, para que P(x) sea divisible entre x___?

Los siguientes EJERCICIOS son de identidades notables. Vers que en muchos temas vas a poder usar la

calculadora cuando veas el smbolo: 9. Efecta la potencia ___________

10. Aplicando las identidades notables, resuelve la ecuacin ____________________

11. Halla la fila ___ del tringulo de Pascal y calcula el coeficiente de grado ___ de ________

12. Aplicando las identidades notables simplifica la fraccin ___________

Los siguientes EJERCICIOS son de descomposicin factorial

13. Descomponer el siguiente polinomio en factores primos ________________________

14. Descomponer el siguiente polinomio en factores primos ________________________

15. Descomponer, aplicando las identidades notables, el siguiente polinomio ________________________

16. Halla la descomposicin de un polinomio de grado 3 que tiene por races ___;___;___ y cuyo valor numrico en ___ es ____

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Polinomios - 21 -

Autoevaluacin

Completa aqu cada uno de los enunciados que van apareciendo en el ordenador y resulvelo, despus introduce el resultado para comprobar si la solucin es correcta.

Calcula P(x) Q(x) +P(x) R(x)

Calcula P(x):Q(x)

Calcula (x+1)3.

Es cierta la igualdad?

(4x+3)2=16x2+24x+9

Calcula m para que 7x2+mx+5 dividido

entre x+2 tenga resto 4

Si P(x)= ax2+bx+4 y a42+b.4=3. Cul es

el resto de P(x) entre x4?

Calcula una raz entera de x3+4x2+7x+12

Calcula una raz racional de 3x3+8x2+29x+40

El polinomio 2x3+4x210x12 tiene por

races 2 y 3. Calcula la otra

Las races de un polinomio de grado 3 son:3,0 y5; su coeficiente de grado 3 es 4.Calcula su valor en 7

1. Polinomios1.a. Grado. Expresin en coeficientes1.b. Valor numrico de un polinomio

2. Operaciones con polinomios2.a. Suma, diferencia y producto2.b. Divisin

3. Identidades notables3.a. (a+b)2 Cuadrado de una suma3.b. (ab)2 Cuadrado de una diferencia3.c. (a+b) (ab) Suma por diferencia3.d. Potencia de un binomio. Tringulo de PascalEJERCICIO 1: Observa la escena con detenimiento pero no olvides el vdeo de la derecha.4.a. Regla de Ruffini4.b. Teorema del Resto5.a. Factor comn xnEJERCICIO 1: Saca factor comn una potencia de x en la siguiente tabla.5.b. Races de un polinomioEJERCICIO 1: Copia a continuacin la definicin de raz de un polinomio.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________EJERCICIO 2: Lee con atencin el texto que se muestra debajo de Races de un polinomio. Haz hincapi en el texto sombreado. Debes completar los huecos que se muestran a continuacin:5.c. Fracciones algebraicas

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