Roman Kaula

WYBRANE METODY DOBORU NASTAW PARAMETRÓW

REGULATORA PID

POLITECHNIKA ŚLĄSKA

WYDZIAŁ GÓRNICTWA I GEOLOGII

PLAN WYKŁADU

Wprowadzenie

Kryterium Zieglera-Nicholsa

Metoda linii pierwiastkowych

Kryterium minimalizacji kwadratowego wskaźnika całkowego

Kryterium dopasowania modułu

Podsumowanie

obiekt

sterowania

z(t)

y(t)u(t)

Sterowanie , w układzie otwartym, jest to takie oddziaływanie na obiekt sterowania wielkością wejściową by wielkość wyjściowa przyjmowała żądane wartości , przy czym wielkość wyjściowa nie ma wpływu na wielkość wejściową.

Z tego względu wielkość wyjściowa może pod wpływem zakłóceń odchylać się znacznie od wartości zadanej.

Jeśli zakłócenie jest stałe to można skompensować jego wpływ przez odpowiedni dobór wielkości sterującej.

Jeśli jednak w układzie występują zakłócenia o dowolnej amplitudzie i w dowolnych chwilach czasu to lepiej jest mierzyć wielkość wyjściową i przy jej odchyleniach od wartości zadanej wypracować określony sygnał sterujący przeciwdziałający tym zakłóceniom.

Sposób ten nazywa się regulacją , a do jego realizacji potrzebny jest regulator.

SCHEMAT BLOKOWY UKŁADU REGULACJI

Obiekt

Regulator

y

e

yzad

u

u(t) – sygnał wyjściowy regulatora (sterujący),

e(t) – sygnał wejściowy regulatora (błędu regulacji), e(t)= yzad(t)-y(t).

Zadaniem regulatora jest wytwarzanie sygnałów

sterujących zapewniających żądany przebieg wielkości regulowanych w warunkach oddziaływania na te zmienne różnych zakłóceń.

Istnieje wiele rozwiązań regulatorów różniących się sposobem działania , strukturą , właściwościami w stanach przejściowych i ustalonych oraz rodzajem sygnałów wyjściowych.

Regulator realizujący takie funkcje został nazwany

regulatorem typu PID

Przyjęto, że klasyczny regulator powinien mieć możliwość realizacji działania

proporcjonalno-całkująco-różniczkującego

Lub w postaci uogólnionej:

dt

tdeKdtteKteKtu D

t

Ip

)()()()(

0

DrD

I

rI

rp

TkK

T

kK

kK

Zatem ogólne równanie regulatora typu PID ma postać:

dt

tdeTdtte

Ttektu D

t

I

r

)()(

1)()(

0

kr – wzmocnienie regulatora,

TI – czas całkowania, TD – czas różniczkowania.

Gdzie: Kp – wzmocnienie członu proporcjonalnego,

KI – wzmocnienie członu całkującego, KD – wzmocnienie członu różniczkującego.

Gdzie:

Transmitancja operatorowa regulatora PID

)()(1

)()( ssEKsEs

KsEKsU DIp

)1

()(

)()( sK

sKK

sE

sUsK DIpR

Dostosowanie regulatora do konkretnego

układu regulacji polega na takim nastawieniu jego

parametrów, przy którym przebiegi wartości

regulowanej spełnią wymogi przyjętego wskaźnika

jakości regulacji.

Proces ten nazywany jest:

Doborem nastaw regulatora

Kryteria (zapasu) stabilności Kryteria czasowe Kryteria całkowe Kryteria częstotliwościowe

Jakość procesów regulacji ocenia się za pomocą odpowiednio dobranych wskaźników jakości, zwanych kryteriami.

Do najczęściej stosowanych kryteriów jakości należą:

Przy braku informacji na temat modelu obiektu zwykle

stosuje się eksperyment Zieglera-Nicholsa.

Sposób doboru nastaw regulatora związany

jest ze stopniem identyfikacji regulowanego

obiektu.

Gdy znany jest model matematyczny obiektu lub znana jest

jego charakterystyka dynamiczna, możemy zastosować różne

metody analityczne doboru parametrów regulatora.

Eksperyment Zieglera-Nicholsa

Obiekt

Regulator

y

e

yzad

u

P

W metodzie tej regulator PID należy przełączyć tylko na działanie proporcjonalne.

Metoda drgań granicznych

Następnie należy stopniowo zwiększać wzmocnienie członu proporcjonalnego,

aż do wartości Kgr, dla której w układzie powstaną nietłumione oscylacje.

KROK 1

KROK 2

Metoda Typ regulatora kr TI TD

P grK5,0 - -

PI grK45,0 oscT85,0 -

drgań

granicznych

PID grK6,0 oscT5,0 oscT125,0

gdzie: kr., TI, TD – parametry regulatora

Nastawy regulatorów na podstawie reguł Zieglera-Nicholsa

Określa się nastawy, dla danego typu regulatora, na podstawie

parametrów Kgr i Tosc według tabeli

Mierzy się okres oscylacji Tosc. KROK 3

KROK 4

Parametry Kgr , Tosc można wyznaczyć także analitycznie korzystając

z warunków granicznych wynikających z kryterium Nyquista

Kryterium Nyquista pozwala badać stabilność zamkniętego układu regulacji

na podstawie charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego.

)(1

)()(

jK

jKjK

o

o

Z

Dla pewnej częstotliwości może zaistnieć przypadek, że będzie spełniony

warunek

)()()( jKjKjK Ro

Metoda drgań granicznych – Wyznaczenie parametrów analitycznie

1)( ro jK

r

Im {K(j )}

Re {K(j )}

=0= r

(-1,j0)

)(

1)(

gr

gro jK

1)}(Re{

0)}(Im{

gro

gro

jK

jK

Interpretacja wykresu charakterystyki częstotliwościowej

przy zastosowaniu kryterium Nyquista

układ na granicy stabilności

Analityczne przedstawienie warunków stabilności

lub

)( jK o

pR KjK )(

W metodzie drgań granicznych (Z-N) regulator PID

Na etapie nastawiania włączony jest tylko na człon proporcjonalny P

Krok 2

)(

1)(

gr

pgrgr KjK

1})(Re{

0})(Im{

pgrgr

pgrgr

KjK

KjK

gr

oscT2

lub

Rozwiązujemy układ równań względem

Wyznaczamy T osc

grgrK ,

Metoda drgań granicznych – Wyznaczenie parametrów analitycznie

Krok 1

Krok 3

Metoda linii pierwiastkowych

Obiekt

K(s)

Regulator

KR(s)

y

yzad

Obiekt i regulator są dane w postaci transmitancji

)(

)(1

)(

)(

)(1

)()(

'

'

sM

sLk

sM

sLk

skK

skKsK

o

o

Z

)()('

sKksK o)()('

sKksK RrR

)()()()()()('''

skKsKsKkksKsKsK oRroRo

)()(

)()(

skLsM

skLsKZ

DDefinicja

Liniami pierwiastkowymi nazywamy zbiór pierwiastków mianownika transmitancji układu zamkniętego dla zmieniającego się k

Idea metody

Na podstawie linii pierwiastkowych można przewidzieć zachowanie układu (bez znajomości odpowiedzi skokowej), ponieważ wiadomo w jakim obszarze pierwiastki są rzeczywiste, a w jakim zespolone

Przykład

Dla układu podanego na rysunku wykreślić linie pierwiastkowe

kss

k

)1s(s

1k1

)1s(s

1k

)s(K2Z

k41

Przy jakim k przeregulowanie wyniesie 16,3 %

2

nn

2

2

n

Zs2s

)s(K 2

nn2,11js

Przeregulowanie jednoznacznie określa biegun układu zamkniętego na liniach pierwiastkowych

21

Re

Imtg

2

1k4j

2

1)k(s 2,1

31k4Re

Im

1k

Kiedy przebiegi będą aperiodyczne krytyczne ?

Przebiegi aperiodyczne krytyczne otrzymujemy wybierając bieguny układu zamkniętego tak, aby były one rzeczywiste i aby było jak najwięcej biegunów wielokrotnych

Minimalizacja kwadratowego wskaźnika całkowego

Optymalne nastawy regulatora PID można wyznaczyć

korzystając z wartości minimalizującej wartości wskaźnika całkowego I2.

0

2

2 ])([ dteteI st

gdzie: e(t) – błąd regulacji,

est – wartość błędu w nowym stanie ustalonym.

Kwadratowy wskaźnik całkowy ma postać:

oraz układ zamknięty jest stabilny, czyli pierwiastki równania charakterystycznego

d s d s dn

n... 1 0 0

mają ujemne części rzeczywiste,

to wartość wskaźnika I2 może być wyznaczona na drodze

analitycznej,

.3,)(2

)2(

2,2

1,2

302130

32

2

03020

2

110

2

2

210

2

2

0

2

1

10

2

0

2

ndddddd

ddcddcccddc

nddd

dcdc

ndd

c

I o

Jeżeli transformata operatorowa błędu E(s) ma postać:

01

01

...

...)(

dsdsd

cscscsE

n

n

m

mgdzie n>m

przy wykorzystaniu następujących wzorów :

bs

asK )(

s

K

bs

asKsKsK I

R )()()(0

I

eaKbss

sbs

sKsK

2

0

)(

)(1

1)(

Wyznaczamy transmitancję operatorową układu otwartego:

Wyznaczamy transmitancję operatorową błędu regulacji:

Przykład

Dla układu o transmitancji

korzystając z kryterium wskaźnika całkowego I2, przy oddziaływaniu typowego wymuszenia yzad (t) =1(t).

KROK 1

KROK 2

wyznaczyć optymalną nastawę KI regulatora całkującego K sK

sR

I( )

baK

baKI

I

I

2

2

2

2

2

2

)2(

)(2)2(2

baK

baKaKbaKb

b

I

I

III

Wskaźnik I2, zgodnie z (wzorami), jest równy:

Minimalizując wskaźnik I2 względem parametru b otrzymujemy:

stąd wartość parametru KI minimalizująca wskaźnik całkowy I2:

a

bK

b

II

2

2 0

KROK 4

KROK 5

KROK 3 Wobec tego błąd E(s) przy wymuszeniu stałym:

IaKbss

bssE

2)(

1)( jK z

Dobór nastaw regulatora, według kryterium dopasowania modułu,

związany jest z tym, że moduł transmitancji widmowej układu

zamkniętego

Kryterium dopasowania modułu

powinien dla dobrej jakości przebiegu przejściowego utrzymywać wartość bliską jeden, w możliwie szerokim paśmie.

)(1

)()(

jK

jKjK

o

o

z

K sa

s b( )

K sK

sR

I( )

Przykład

Dla układu o transmitancji

Korzystając z kryterium dopasowania modułu

dobierzemy optymalną nastawę regulatora całkującego o transmitancji

I

I

I

I

o

zaKsbs

aK

s

K

bs

a

s

K

bs

a

sK

sKsK

)(1

)(1

)()(

0

I

Iz

aKjbj

aKjK

)()(

222)()(

)((baK

aKjK

I

Iz

Wyznaczamy transmitancję operatorową układu zamkniętego:

Transmitancja widmowa układu zamkniętego ma postać:

Moduł transmitancji widmowej:

.

KROK 1

KROK 3

KROK 2

a

bK I

2

22

0

a

bK I

2

2

Z warunku :

Należy zauważyć, że dla

nastawa regulatora całkującego jest równa

.

KROK 4 1)( jK z

wynika :

)()(1

1

)()(1

)()(

)()(1

)()(11

sKsKsKsK

sKsK

sKsK

sKsK

RR

R

R

R

Yzad(s)

Obiekt

K(s)

Regulator

KR(s)

Y(s)U(s)

E(s)

)()(1

)()()(

sKsK

sKsKsK

R

Rz

)()(1

1)(

sKsKsK

R

e

1

0

PODSUMOWANIE

Metody doboru nastaw parametrów regulatora związane są ze spełnieniem jednego z warunków:

PODSUMOWANIE

Kryterium dopasowania modułu

Minimalizacja kwadratowego wskaźnika całkowego

K sa

s b( ) K s

K

sR

I( )

a

bK

2

I

a

bK I

2

2

Dla omawianego przykładu

Nie ma jednego kryterium doboru nastaw parametrów regulatora spełniającego wszystkie wymagania jakości regulacji

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ