Politecnico di Torino - Progetto Alcotra RiskNet · A. Carpinteri, “Dinamica delle Strutture”, Pitagora Ed. Scopo principale della Dinamica delle Strutture è quello di determinare

Politecnico di Torino – Dip. di Ingegneria Strutturale e Geotecnica

Centro sui Rischi nelle Costruzioni

INDICE DELLA PRESENTAZIONE

- Concetti base di dinamica dei sistemi discreti •  oscillazioni libere e smorzamento

•  oscillazioni con forzante esterna (periodica e impulsiva)

- Analisi modale di sistemi a più gradi di libertà •  modi propri dei telai e vibrazioni delle travi inflesse

•  spettri di risposta

-  Effetti dei terremoti e principi di protezione sismica

Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO


Bibliografia e immagini: A. Chopra “Dynamics of Structures”, Pearson

A. Carpinteri “Dinamica delle Strutture”, Pitagora

La trattazione teorica segue quella del testo

A. Carpinteri, “Dinamica delle Strutture”, Pitagora Ed.

Scopo principale della Dinamica delle Strutture è quello di determinare le sollecitazioni interne e le deformazioni di sistemi strutturali sollecitati in modo arbitrario nel tempo.

Si tratta di una estensione dei metodi dell'analisi strutturale, che, usualmente, sono definiti solo per i carichi statici.

I carichi diventano funzioni del tempo, così come la risposta strutturale. Entrano in gioco le masse, con le forze di inerzia.

I carichi dinamici agenti su di una struttura possono essere periodici o non-periodici.


Altri carichi periodici di natura più complessa sono quelli generati, ad esempio, dal vento su un edificio o dalle spinte idrodinamiche delle eliche sulla poppa di una nave.

Il carico periodico più semplice è quello di tipo sinusoidale, anche detto sollecitazione armonica.


I carichi non-periodici possono essere di breve durata o impulsivi, come quelli generati da esplosioni o urti.

ovvero di lunga durata o generici, come quelli generati da scosse sismiche.


Se una struttura è soggetta ad un carico statico, la sua deformazione, così come le sue sollecitazioni interne, dipendono solo dal carico esterno, tramite considerazioni di equilibrio interno.

Se il carico è applicato dinamicamente, la risposta strutturale dipende anche dalle forze di inerzia, che si oppongono alle accelerazioni, oltre che dalle forze elastiche, che si oppongono agli spostamenti.

Se la struttura è soggetta anche a forze di smorzamento viscoso, la risposta dipenderà anche da tali forze, che nel caso più semplice si oppongono alle velocità.


Il numero dei gradi di libertà di una struttura continua è infinito. È sempre possibile discretizzare la struttura nell'ambito dei metodi di calcolo numerico come quello degli Elementi Finiti.

In certi casi è la geometria stessa della struttura che può suggerire una sua discretizzazione, come nel caso dei telai piani a traversi rigidi (shear type), ove le masse possono venire concentrate nei singoli piani e le rigidezze possono venire concentrate nei pilastri che connettono piano a piano.


Vi sono casi per cui risulta possibile una discretizzazione ancora più spinta, rendendo il sistema equivalente ad un oscillatore semplice, con un solo grado di libertà.

Sono i casi in cui tutta la massa e tutta la rigidezza del sistema sono concentrabili in singoli elementi rappresentativi (lumped mass). Un classico esempio è costituito da un serbatoio sostenuto da una struttura verticale snella.


L'equazione del moto di una massa elementare soggetta ad una forza di richiamo elastico e ad una forza di natura viscosa si scrive:

ove x è l'elongazione della molla elastica lineare, che dipende dal tempo t, m è la massa, c è la costante di smorzamento viscoso, k è la rigidezza della molla.

(derivate rispetto al tempo t ) Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

Essa rappresenta la nota equazione dinamica: forza = massa x accelerazione, ove tra le forze applicate alla massa non figurano forze esterne al sistema (oscillazioni libere).

Entrambe le forze attive:

sono negative in caso di elongazioni e, rispettivamente, di velocità positive. Una interpretazione alternativa può essere data alla equazione tramite il Principio di d'Alembert, il quale afferma che ciascuna massa si trova in equilibrio nel proprio sistema di riferimento, una volta soggetta a tutte le forze attive e passive.

Le forze passive sono le forze di inerzia, cioè le forze che si oppongono alle accelerazioni, ottenute moltiplicando queste per la massa.


Quando tra le forze applicate alla massa non figurano forze esterne ma solo forze interne (elastiche e viscose) e passive (inerziali), i movimenti del sistema vengono detti oscillazioni libere.

La soluzione dell’equazione dinamica presenta la seguente forma:

Sostituendo si ottiene:


Dividendo per mCest e ponendo:

Si ha:

avendo definito ω la “pulsazione naturale”.


In questo caso le due soluzioni diventano:

ove i è l'unità immaginaria, così che la risposta è data da:

“oscillatore armonico” Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

Ricordando che:

la soluzione x(t) si può riscrivere come segue:

ove le costanti A e B sono esprimibili tramite le condizioni iniziali.

Alternativamente:

€

x(t) = Asin(ωt −ϕ)

con ϕ detta “fase”. Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

Poiché infatti:

l’equazione diventa:


La precedente espressione è dimensionalmente omogenea, poiché la pulsazione naturale (o velocità angolare) ω ha la dimensione [T]–1, ed è misurata in radianti per unità di tempo.

La frequenza naturale f, peraltro, è misurata in Hertz (cicli per unità di tempo):

mentre il suo inverso rappresenta il periodo naturale T :

(sec)

€

T = 2π mk

n.b. periodo proporzionale al rapporto masse/rigidezza… Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

II moto può essere descritto anche dalla seguente espressione :

X = ampiezza Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

ove l'ampiezza (max estensione dello spostamento a partire dalla configurazione di equilibrio) è data da:

e l'angolo di fase iniziale da:


In questo caso le due soluzioni della:

sono:


Si verificano tre differenti tipi di moto, a seconda che la quantità sotto radice quadrata sia positiva, negativa o nulla.

1° caso (Condizione di smorzamento critico): ω = c/2m

II valore critico della costante di smorzamento viscoso è:


L'introduzione delle condizioni iniziali fornisce la risposta dinamica:

Questa risposta non presenta oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio, ma soltanto un decadimento esponenziale verso tale posizione.

La condizione di smorzamento critico è la minima viscosità per cui non si verificano oscillazioni libere.


2° caso: (Sistema sotto-smorzato): c < 2mω (ξ < 1)

Lo smorzamento si scrive come rapporto ξ tra la costante c e il suo valore critico cc:

ove ξ è detto rapporto di smorzamento.

Inserendo tale valore nell’equazione:


ossia:

con 0 ≤ ξ ≤ 1. Essa si può anche esprimere come:

dove la pulsazione smorzata ωD in funzione della naturale è:

La viscosità quindi aumenta il periodo. Nei casi pratici, ove usualmente ξ < 1/4, essa è vicina alla pulsazione naturale ω.

€

TD =T1−ξ 2( )


La risposta dinamica di un sistema sotto-smorzato si ottiene sostituendo le soluzioni precedenti nell'equazione del moto:

Si ottiene:


In figura è rappresentata la legge del moto di un oscillatore sotto-smorzato, con

La massa oscilla attorno alla posizione di equilibrio con ampiezza decrescente in modo esponenziale.

Le elongazioni max e min non corrispondono esattamente agli istanti in cui cos(ωDt – ϕ) = ±1 , ma agli istanti in cui la velocità si annulla per cambiare poi di segno (punti stazionari).


MOTO SMORZATO MOTO NON SMORZATO

SPAZIO DELLE FASI

€

x(t)€

˙ x (t)

€

˙ x (t)

€

x(t)


SPAZIO DELLE FASI - CAOS


Per valutare sperimentalmente il rapporto di smorzamento ξ, prendiamo due qualsiasi picchi positivi successivi, xn e xn+1.

Il rapporto di questi due valori è approssimativamente:


II logaritmo naturale di entrambi i membri è detto decremento logaritmico δ :

Si ha quindi:

essendo:


Per bassi smorzamenti, si può scrivere:

e quindi:


Un metodo semplice per stimare il rapporto di smorzamento ξ è quello di contare il numero di cicli necessari per produrre una riduzione del 50% nell'ampiezza di oscillazione.

Con ξ = 0.1 (valore tipico in molti casi pratici), l'ampiezza si riduce del 50% in un solo ciclo.


Nel caso in cui un oscillatore armonico sia sottoposto ad una sollecitazione forzante armonica F sin ωFt, l'equazione dinamica diventa non omogenea:

ωF è la pulsazione della forzante.


La soluzione particolare xp(t) rappresenta la risposta specifica generata direttamente dalla sollecitazione esterna, mentre la soluzione complementare xc(t) rappresenta la risposta di vibrazione libera del sistema:

L'ampiezza C della soluzione particolare si ottiene da:


Dalla precedente si ricava:

L'ampiezza della soluzione particolare vale quindi:

β, detto rapporto di frequenza, è il rapporto tra la pulsazione della sollecitazione applicata e la pulsazione propria o naturale del sistema:


La soluzione generale dell'equazione del moto:

è la somma delle soluzioni complementare e particolare, con C espresso come sopra:


I valori delle costanti arbitrarie A e B dipendono dalle condizioni iniziali. Nel caso in cui il sistema sia a riposo nell'istante iniziale:

le due costanti assumono i seguenti valori:


La soluzione può quindi venire riscritta come:

IMP: Nei casi pratici lo smorzamento viscoso tende ad annullare, al trascorrere del tempo, il secondo termine, che è quindi detto risposta transitoria.

Il primo termine invece persiste, tenuto in vita dalla stessa forza esterna pulsante, e amplificato dal fattore di risonanza 1/(1 – β 2).

n.b. l’oscillazione non smorzata è in fase con la forzante Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

Nel caso in cui siano presenti anche forze di natura viscosa, l'equazione del moto diventa quindi:

Si divide per m, ricordando che c/m = 2ξω :


La soluzione complementare è rappresentata dalla risposta di oscillazione libera smorzata:

Il secondo termine dice che la risposta di un sistema smorzato non è in fase con la sollecitazione forzante.

mentre la soluzione particolare è del tipo:


Il primo termine rappresenta la risposta transitoria (le costanti A e B dipendono dalle condizioni iniziali). Tale risposta tende a spegnersi con il tempo.

Al contrario, il secondo termine rappresenta la risposta stazionaria, che ha la medesima pulsazione della sollecitazione ma è fuori fase rispetto ad essa.

Si ricava la soluzione del moto completa:


La risposta stazionaria (a regime) può venire espressa anche come segue:

con:

n.b F/k rappresenta la risposta statica del sistema…


Si definisce fattore di amplificazione dinamica il rapporto D tra l'ampiezza massima della risposta dinamica stazionaria e lo spostamento statico prodotto dalla forza esterna F :


Tale fattore tende all'infinito (risonanza) quando ξ 0 (assenza di smorzamento) e β 1 (ωF ω).

In generale esso è funzione del rapporto di smorzamento ξ e soprattutto del rapporto di frequenza β .


Per rapporti di smorzamento ξ sufficientemente piccoli:

il rapporto di frequenza per cui si ha il picco nell'ampiezza della risposta stazionaria è:

mentre il picco vale:


Se la frequenza della sollecitazione coincide con quella naturale del sistema (β = 1, risonanza) si genera l'aumento progressivo e lineare nell'ampiezza dell'oscillazione.

Oscillazioni in risonanza


Le nozioni suddette sono di particolare utilità nella progettazione degli edifici antisismici, e in tutti quei casi in cui risulti necessario isolare dinamicamente un elemento di un sistema rispetto ad un altro elemento contiguo e vibrante.


TACOMA NARROWS BRIDGE


Oscillatore armonico soggetto a sollecitazione periodica F(t).

Tale funzione è esprimibile in serie di Fourier; la risposta relativa a ciascun termine della serie sarà del tipo già considerato per la sollecitazione armonica;

Applicando il Principio di Sovrapposizione degli Effetti, la risposta totale sarà la somma delle risposte parziali.


Nella precedente relazione TF rappresenta il periodo della sollecitazione e i coefficienti sono forniti dalle seguenti espressioni:

La funzione periodica nota F(t) è esprimibile come:


Se ωF = 2π / TF indica la pulsazione della sollecitazione F(t), l'armonica di ordine n possiede una pulsazione ωn = nωF.

La risposta stazionaria che si produce in un oscillatore armonico non smorzato in relazione a ciascuna delle n sollecitazioni armoniche della serie è fornita dalla:

con l'omissione del termine transitorio:


ovvero:

ove:

La risposta stazionaria relativa alla componente costante della sollecitazione, è semplicemente rappresentata dallo spostamento statico:


La risposta stazionaria totale è quindi data dalla somma di tutti i contributi:

ove i coefficienti an, bn sono forniti dalle equazioni precedenti, mentre:

ωn = nωF

βn =n (ωF/ω).


La sollecitazione impulsiva è di durata relativamente breve, per cui lo smorzamento viscoso non ha l'importanza che si è vista per le sollecitazioni periodiche nel controllare la risposta massima.

La risposta massima alla sollecitazione impulsiva viene raggiunta entro un intervallo di tempo molto breve, prima che le forze smorzanti possano assorbire una quantità di energia sufficiente.

Per queste ragioni nel seguito si considererà soltanto la risposta non smorzata rispetto a carichi impulsivi.


Si consideri l'impulso sinusoidale in figura.

Durante la prima fase (t < tF) l'oscillatore è soggetto alla sollecitazione armonica, iniziando dalla condizione di quiete. La risposta non smorzata, comprendente sia il termine transitorio che quello stazionario, è fornita dalla:


Nella seconda fase (t > tF) l'oscillatore è libero di vibrare e il suo moto dipende dallo spostamento e dalla velocità che si hanno al termine della prima fase, rispettivamente:

Tale moto può essere descritto dall’equazione delle oscillazioni libere:

ossia:


L'entità della risposta dinamica, per β < 1 (ωF < ω, massa piccola) dipende dal rapporto tra la durata tF della sollecitazione impulsiva e il periodo proprio della struttura T.

Il rapporto x(t) / (F/k) dipende quindi da tF /T .

In figura è riportato il caso tF/T = 3/4 , da cui si ottiene una risposta dinamica massima pari a 1.77 volte quella statica.


Mentre per β > 1 (ωF > ω, massa prevalente), la risposta dinamica massima avviene durante la seconda fase, quella di oscillazione libera.

Lo spostamento e la velocità iniziali per questa fase sono ottenibili ponendo ωF tF = π nell’equazione:


L'ampiezza della oscillazione libera è data dalla:

Il fattore di amplificazione dinamica D:

dipende perciò dal solo rapporto β.

e quindi vale:


Lo spettro di risposta alla sollecitazione impulsiva riporta il fattore di amplificazione D in funzione del rapporto tra la durata tF dell'impulso e il periodo naturale T dell'oscillatore.

In figura si riportano tre diversi spettri corrispondenti a tre forme di sollecitazione impulsiva: sinusoidale, rettangolare, triangolare.


Per impulsi di durata particolarmente breve, il fattore di amplificazione risulta piccolo, poiché gran parte della sollecitazione applicata viene contrastata dall'inerzia dell'oscillatore, così che nella struttura si producono sforzi molto minori di quelli creati da sollecitazioni più durevoli.


Per sollecitazioni di lunga durata (tF / T > 1), il fattore di amplificazione dinamica dipende principalmente dalla rapidità con cui la sollecitazione raggiunge il suo massimo valore.


L'analisi precedente che approssima la risposta di un oscillatore ad un impulso di breve durata può utilizzarsi per valutare la risposta ad una sollecitazione dinamica generica.

Si consideri una sollecitazione arbitraria F(t), e, in particolare, l'intensità del carico F(τ) agente nell'istante di tempo t = τ.


Tale carico, agente durante l'intervallo di tempo infinitesimo dτ, produce l'impulso F(τ)dτ sull’oscillatore e, per valutare la risposta a tale impulso, si utilizza la:


Sebbene l’equazione è solo approssimata per impulsi di durata finita, essa diviene esatta per impulsi di durata infinitesima:


L'intero processo di carico può essere considerato come formato da una successione di brevi impulsi, ciascuno con una propria risposta differenziale della forma precedente.

Per la linearità del sistema elastico è possibile quindi sommare tutti questi contributi e ottenere cosi la risposta totale:

Tale equazione è generalmente nota come integrale di Duhamel per i sistemi privi di smorzamento.

INTEGRALE DI DUHAMEL


Sebbene l’analisi nel dominio del tempo prima descritta sia del tutto generale, talvolta risulta più conveniente effettuare un'analisi nel dominio delle frequenze, tramite le trasformate di Fourier.

Tale approccio è concettualmente simile alla procedura relativa alla sollecitazione periodica prima presentata.

Entrambe queste procedure esprimono la sollecitazione applicata in termini di componenti armoniche, valutano la risposta dell'oscillatore a ciascuna armonica e quindi sovrappongono le risposte armoniche per ottenere la risposta dinamica totale.

TRASFORMATA DI FOURIER


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