Polynomit ja niiden väliset laskutoimituksetlukion matematiikassa

Pro gradu -tutkielmaJanne Jylhä

Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelmaOulun yliopisto

Kevät 2018

Tiivistelmä

Lukion opetussuunnitelma uudistui vuonna 2015 ja sen mukana opetusta on jatkuvastikehitettävä. Suuri osa opetussuunnitelman tavoitteiden täyttymisestä on kiinni opetta-jasta ja hänen tavastaan toteuttaa opetusta. Tärkeänä tukena niin opettajalla kuin opis-kelijalla on oppikirja. Parhaimmillaan oppikirja tukee opetussuunnitelman tavoitteitaja päämääriä luontevasti ja sen tehtävät soveltuvat sellaisenaan opetussuunnitelmaanja nykyaikaiseen pedagogiikkaan. Se vaatii kuitenkin kirjoiltakin jatkuvaa uudistumis-ta ja helppoa saatavuutta. Kirjoja on olemassa todella paljon, mutta suurin osa kirjoistaei tue uuden opetussuunnitelman tavoitteita riittävän hyvin ja sellaisen kirjan kanssaopettaja joutuu turvautumaan paljon muihin työkaluihin.

Tämä Pro gradu -tutkielma on osa Oulun yliopiston matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelman projektia, jossa luodaan kaikille avoin oppikirja lukion lyhyen ja pitkän oppi-määrän kursseille MAB2 ja MAA2. Oppikirja julkaistaan sähköisesti Internetissä, jotense on helposti kaikkien saatavilla. Kirjan sisältö perustuu nykyiseen opetussuunnitel-maan sekä vertaisarvioituihin tieteellisiin tutkimuksiin matematiikan opettamisesta.Oppikirja koostuu kolmesta osiosta, joista ensimmäinen koskee vain lyhyttä oppimää-rää, toinen sekä lyhyttä että pitkää oppimäärää ja kolmas vain pitkää oppimäärää.Tämän työn sisältö kuuluu toiseen, molemmille oppimäärille yhteiseen, osioon.

Tutkielman ensimmäisessä kappaleessa käydään läpi ne tavoitteet, jotka oppimateriaa-lille on asetettu. Siihen sisältyy niin Opetushallituksen opetussuunnitelmassa asettamattavoitteet kuin projektiryhmän itse asettamansa tavoitteet. Toisessa, kolmannessa, nel-jännessä ja viidennessä kappaleessa perustellaan yksityiskohtaisesti oppimateriaalissatehdyt päätökset tieteellisen tiedon ja tavoitteiden pohjalta. Kuudennessa kappaleessaon itse oppimateriaali tämän tutkielman osalta. Seitsemännessä kappaleessa on opet-tajan opas, jossa on opettajalle lisätietoa oppimateriaalista. Mukaan on myös liitettyvastaukset oppimateriaalin tehtäviin.

Oppimateriaalin aiheena on polynomit ja niiden laskutoimitukset ja se on jaettu neljäänkappaleeseen. Ensimmäisessä kappaleessa tutkitaan lausekkeen rakennetta ja määri-tellään keskeisiä käsitteitä, kuten monomit, joista polynomit koostuvat. Toisessa kap-paleessa käsitellään binomikaavat. Kolmannessa kappaleessa määritellään polynomija käsitellään polynomien tulo. Neljännessä kappaleessa käsitellään polynomien jaka-minen tekijöihin.

Oppimateriaalissa olevat tehtävät ovat suurimmaksi osaksi sellaisia, että ne aktivoi-vat opiskelijaa pohtimaan, keskustelemaan ja käsittelemään matematiikkaa syvällisestipelkän rutiininomaisen laskemisen sijaan. Laskemistakin matematiikassa väistämättäon, mutta yksi oppimateriaalin tavoitteista on antaa opiskelijoille parempi kuva mate-matiikasta tieteenä ja motivoida opiskelijoita laajempaan ymmärrykseen matematiikanperiaatteista.

2

Sisältö

Johdanto 5

1 Oppikirjan tavoitteet 6

1.1 Opetushallituksen asettamat tavoitteet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Kaikkea opetusta koskevat osat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 Matematiikan opetusta koskevat osat . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3 Kursseja MAA2 ja MAB2 koskevat tavoitteet ja sisällöt . . . . . . 7

1.2 Projektiryhmän oppikirjalle asettamat yleiset tavoitteet . . . . . . . . . . 9

1.3 Yhteiset tavoitteet Habits of Mind -artikkelista . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Yleiset mielen mallit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Virheiden vaikutus matematiikan opiskelussa . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Lauseke 12

2.1 Muuttuja vai tuntematon? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Puumalli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Kappaleen rakenne ja tehtävät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Binomikaavat 14

3.1 Geometrian ja algebran yhdistäminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Todistaminen koulumatematiikassa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Kappaleen rakenne ja tehtävät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Polynomien tulo 17

4.1 Polynomien tulo taulukointimenetelmällä . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Kappaleen rakenne ja tehtävät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Polynomin jakaminen tekijöihin 19

5.1 Vertailutehtävät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.2 Kappaleen rakenne ja tehtävät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6 Oppimateriaali 21

6.1 Lauseke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.2 Binomikaavat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.3 Polynomien tulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3

6.4 Polynomin jakaminen tekijöihin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.4.1 Yhteisen tekijän ottaminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.4.2 Binomikaavojen soveltaminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.4.3 Ryhmittely . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7 Opettajan opas 41

7.1 Ajankäyttösuunnitelma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.2 Opas pohdintatehtäviin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.2.1 Opas kappaleeseen 6.1: Lauseke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.2.2 Opas kappaleeseen 6.2: Binomikaavat . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7.2.3 Opas kappaleeseen 6.3: Polynomien tulo . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.2.4 Opas kappaleeseen 6.4: Polynomin jakaminen tekijöihin . . . . . . . 46

Lähdeluettelo 50

4

Johdanto

Koulumaailma uudistuu vauhdilla. Digitalisaatio on jo useamman vuoden ajan tehnyttuloaan koulumaailmaan ja se on alkanut näkyä myös lukiomatematiikan opiskelussa.Ylioppilaskirjoitusten sähköistyminen on käynnissä ja matematiikka kirjoitetaan säh-köisenä ensimmäistä kertaa keväällä 2019 [19]. Lisäksi koulumaailma muuttuu kokoajan joustavammaksi ja oppijalähtöisemmäksi. Myös matematiikan opetuksen on py-syttävä mukana muutoksessa sekä itse ajettava muutosta kohti konstruktivistista peda-gogiikkaa, jossa oppimisen keskiössä on oppija itse ja oppimisen luonne muokkautuuoppijan itsensä näköiseksi. Se tarkoittaa myös opettajan roolin muutosta oppimistajohtavasta enemmänkin oppimista ohjaavaksi.

Tämä Pro gradu -tutkielma on osa Oulun yliopiston projektia, jonka tarkoituksena onluoda avoin oppikirja lukion matematiikan kursseille MAB2 ja MAA2. Oppikirjan tar-koituksena on tukea edellämainitsemaani opetuksen kehittämistä ja se näkyy kirjassakeskeisimmin aikaisemmista oppikirjoista poikkeavina tehtävätyyppeinä sekä ns. ru-tiinitehtävien vähäisyydellä. Tehtävissä pyritään korostamaan enemmän matematiikanymmärtämistä ja sisäistämistä kuin rutiininomaista suorittamista ja laskemista.

Oppikirja toteutetaan opetushallituksen vuonna 2015 laatiman opetussuunitelman pe-rusteiden mukaisesti [13]. Opetussuunnitelma otettiin käyttöön Suomen lukioissa aloit-tavilla opiskelijoilla syksyllä 2016 ja siksi oppikirjaa voidaan käyttää kursseissa MAB2ja MAA2 heti sen valmistuttua. Oppikirjaprojektissa on mukana kahdeksan matema-tiikan pääaineopiskelijaa sekä kolme ohjaajaa Oulun yliopistosta. Oppimateriaali jul-kaistaan avoimena oppikirjana, joka on kaikkien vapaasti ladattavissa ja käytettävissä.Lukion materiaalit ovat kalliita ja opiskelijat voivat joutua maksamaan niistä lukionaikana jopa 2000 euroa [20]. Sähköisiä oppimateriaaleja on paljon, mutta moni niis-täkin on maksullisen lisenssin takana, joten opiskelijan näkökulmasta kustannuksiinse ei juuri vaikuta. Tämä oppimateriaali tukee sitä kehitystä, että saatavilla on myöslaadukkaita maksuttomia vaihtoehtoja.

Lopullisessa kirjassa on kolme osiota. Ensimmäinen osio koskee ainoastaan matema-tiikan lyhyen oppimäärän kurssia MAB2. Toinen osio koskee sekä lyhyen että pitkänoppimäärän kursseja ja sitä voi siis käyttää molemmissa. Kolmas osio koskee ainoas-taan pitkän oppimäärän kurssia MAA2. Tätä tutkielmaa koskeva osuus oppikirjastakuuluu molempien kurssien yhteiseen osioon.

Tutkielmaan liittyvän oppimateriaaliosan aiheena ovat lauseke, binomikaavat, polyno-mien tulo sekä polynomin jakaminen tekijöihin. Tutkielma alkaa osiolla, jossa esitelläänprojektiryhmän oppikirjalle asettamat tavoitteet sekä perustellaan oppimateriaalin va-linnat tieteellisten artikkeleiden ja tutkimusten pohjalta. Osa lähteinä käytetyistä ar-tikkeleista koskevat suoraan opetettavaa asiaa, mutta osa liittyy yleisemmin algebranopetukseen. Itse oppimateriaali on tutkielman kappaleessa 6.

Tutkielmassa on lisäksi opettajan opas, jossa pohjustetaan oppimateriaalia ja niitä teh-täviä, jotka vaativat tarkempaa tarkastelua opettajalta. Vaikka opas on nimensä mu-kaisesti suunnattu opettajille, niin sekin tullaan oppimateriaalin tapaan julkaisemaanavoimesti internetissä. Tutkielmassa on mukana myös vastaukset kaikkiin oppimate-riaalin tehtäviin.

5

1 Oppikirjan tavoitteet

Tutkielman tarkoituksena on laatia osa avointa oppikirjaa, joka on käytettävissä se-kä lukion matematiikan lyhyen oppimäärän kurssissa ’Lausekkeet ja yhtälöt (MAB2)’että pitkän oppimäärän kurssissa ’Polynomifunktiot ja -yhtälöt (MAA2)’. Tässä työs-sä kurssien aihealueista käsitellään lauseke, polynomien tulo, binomikaavat ja poly-nomin jakaminen tekijöihin. Oppimateriaaliosassa on huomioitu Opetushallituksenlaatiman vuoden 2015 opetussuunnitelman perusteiden mukaiset tavoitteet kyseessäoleville kursseille ja yleiset tavoitteet niin pitkän kuin lyhyen matematiikan sekä kaik-kea opetusta koskevan osan kohdalta. Lisäksi projektiryhmä asetti omia tavoitteitaanoppimateriaalille.

Tässä kappaleessa käydään läpi edellämainitut tavoitteet sekä omat tavoitteeni laati-mani osuuden osalta. Oppimateriaalin sisältö perustuu näihin tavoitteisiin.

1.1 Opetushallituksen asettamat tavoitteet

Tärkeänä oppimateriaalin sisältöön vaikuttavana asiana on luonnollisesti Opetushalli-tuksen laatima opetussuunnitelma vuodelta 2015. Käyn tässä kappaleessa läpi opetus-suunnitelman tärkeimpiä kohtia niin yleisestä osiosta kuin matematiikkaan liittyvästäosasta sekä kursseihin MAA2 ja MAB2 liittyvistä osista.

1.1.1 Kaikkea opetusta koskevat osat

Opetussuunnitelman mukaan lukiokoulutuksella on opetus- ja kasvatustehtävä. Se pe-rustuu perusopetuksen oppimäärälle ja antaa valmiudet jatkaa korkeakouluihin. Op-pimateriaalia laatiessa voidaan siis olettaa, että kirjan lukija hallitsee peruskoulutasoi-sen matematiikan. Toisaalta materiaalista on tehtävä sellainen, että se antaa riittävätvalmiudet yliopisto- ja ammattikorkeakouluopintoihin.

Lukio-opetuksen arvoperustan keskeisiä asioita ovat sivistys, avarakatseisuus, totuus,inhimillisyys ja oikeudenmukaisuus. Lukio-opetuksen tulee olla sitoutumatonta us-konnollisesti ja puoluepoliittisesti eikä sitä saa käyttää kaupallisuuden välineenä. De-mokratia, yhteisöllisyys ja osallisuus ovat myös lukio-opetuksen tärkeitä arvoja.

Opetusmenetelmien osalta opetussuunnitelmassa korostetaan oppilaan omaa aktiivi-suutta, itseohjautuvuutta, tavoitteellisuutta ja vuorovaikutteisuutta. Oppimateriaalinkannalta opetusmenetelmiin liittyvä osio on hyvin merkityksellinen, joten lainaan sentähän kokonaisuudessaan. Opetussuunnitelmassa todetaan näin:

“Lukion opiskeluympäristöjä ja -menetelmiä koskevien ratkaisujen lähtökohtanaovat oppimiskäsitys sekä opetukselle asetetut tavoitteet. Opiskeluympäristöjen ja -menetelmien valinnan ja kehittämisen perustana ovat myös opiskelijoiden edellytyk-set, kiinnostuksen kohteet, näkemykset ja yksilölliset tarpeet.

Koska oppiminen on monimuotoista ja sidoksissa aiemmin hankittuun osaamiseen,käytetään lukiossa monipuolisia opetus-, ohjaus- ja opiskelumenetelmiä. Menetelmienvalinnassa otetaan huomioon eri oppiaineissa edellytetty käsitteellinen ja menetel-

6

mällinen osaaminen. Tutkimiseen, kokeilemiseen ja ongelmanratkaisuun perustuvatopiskelumenetelmät edistävät oppimaan oppimista ja kehittävät kriittistä ja luovaaajattelua. Menetelmällisillä ratkaisuilla voidaan rakentaa kokonaisuuksien hallintaa jaoppiainerajat ylittävää osaamista.

Lukion opetus- ja opiskelumenetelmien tarkoituksena on edistää opiskelijoiden aktii-vista työskentelyä ja yhteistyötaitojen kehittymistä. Opiskelijoita ohjataan suunnittele-maan opiskeluaan, arvioimaan toiminta- ja työskentelytaitojaan sekä ottamaan vastuu-ta omasta oppimisestaan. Heitä ohjataan myös käyttämään monipuolisesti tieto- ja vies-tintäteknologiaa. Lisäksi opiskelumenetelmien valinnassa ja työskentelyn ohjauksessakiinnitetään huomiota sukupuolittuneiden asenteiden ja käytänteiden tunnistamiseenja muuttamiseen.

Merkitykselliset oppimiskokemukset sitouttavat ja innostavat opiskeluun. Opiskeli-joille tarjotaan mahdollisuuksia työskentelyyn, joka kytkee opiskeltavat tiedot ja taidotsekä heidän kokemuksiinsa että ympäristössä ja yhteiskunnassa esiintyviin ilmiöihin.Opiskelijoita rohkaistaan ratkomaan avoimia ja riittävän haastavia tehtäviä, havaitse-maan ongelmia sekä esittämään kysymyksiä ja etsimään vastauksia.”

1.1.2 Matematiikan opetusta koskevat osat

Matematiikan opetuksen tavoitteista opetussuunnitelmassa mainitaan seuraavasti:

“Matematiikan opetuksen tehtävänä on tutustuttaa opiskelija matemaattisen ajattelunmalleihin sekä matematiikan perusideoihin ja rakenteisiin, opettaa käyttämään puhut-tua ja kirjoitettua matematiikan kieltä sekä kehittää laskemisen, ilmiöiden mallintami-sen ja ongelmien ratkaisemisen taitoja.

Opetuksen lähtökohdat valitaan opiskelijoita kiinnostavista aiheista, ilmiöistä ja niihinliittyvistä ongelmista. Opetuksessa käytetään vaihtelevia työtapoja, joissa opiskelijattyöskentelevät yksin ja yhdessä. Opetustilanteet järjestetään siten, että ne herättävätopiskelijan tekemään havaintojensa pohjalta kysymyksiä, oletuksia ja päätelmiä sekäperustelemaan niitä. Erityisesti opiskelijaa ohjataan hahmottamaan matemaattisten kä-sitteiden merkityksiä ja tunnistamaan, kuinka ne liittyvät laajempiin kokonaisuuksiin.Opiskelijaa rohkaistaan myös käyttämään ajattelua tukevia kuvia, piirroksia ja välinei-tä sekä tuetaan opiskelijan taitoa siirtyä toisesta matemaattisen tiedon esitysmuodostatoiseen.

Opiskelijaa kannustetaan kehittämään luovia ratkaisuja matemaattisiin ongelmiin.Opetuksessa tutkitaan matematiikan ja arkielämän välisiä yhteyksiä sekä tietoisestikäytetään eteen tulevia mahdollisuuksia opiskelijan persoonallisuuden kehittämiseen,mikä tarkoittaa muun muassa hänen kiinnostuksensa ohjaamista, kokeiluihin kannus-tamista sekä tiedonhankintaprosessien kehittämistä.”

1.1.3 Kursseja MAA2 ja MAB2 koskevat tavoitteet ja sisällöt

Oppimäärää vaihdettaessa kurssi MAB2 voidaan korvata kurssin MAA2 suorituksella.

Kurssin MAA2 tavoitteena on, että opiskelija

7

• harjaantuu käsittelemään polynomifunktioita

• osaa ratkaista toisen asteen polynomiyhtälöitä ja tutkia ratkaisujen lukumäärää

• osaa ratkaista korkeamman asteen polynomiyhtälöitä, jotka voidaan ratkaistailman polynomien jakolaskua

• osaa ratkaista yksinkertaisia polynomiepäyhtälöitä

• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä polynomifunktion tutkimisessa ja polyno-miyhtälöihin ja polynomiepäyhtälöihin sekä polynomifunktioihin liittyvien so-vellusongelmien ratkaisussa.

Kurssin MAA2 keskeiset sisällöt:

• polynomien tulo ja muotoa (a + b)n,n ≥ 3,n ∈N olevat binomikaavat

• 2. asteen yhtälö ja ratkaisukaava sekä juurten lukumäärän tutkiminen

• 2. asteen polynomin jakaminen tekijöihin

• polynomifunktio

• polynomiyhtälöitä

• polynomiepäyhtälön ratkaiseminen

Kurssin MAB2 tavoitteena on, että opiskelija

• harjaantuu käyttämään matematiikkaa jokapäiväisen elämän ongelmien ratkai-semisessa ja oppii luottamaan omiin matemaattisiin kykyihinsä

• ymmärtää lineaarisen riippuvuuden, verrannollisuuden ja toisen asteen polyno-mifunktion käsitteet

• vahvistaa yhtälöiden ratkaisemisen taitojaan ja oppii ratkaisemaan toisen asteenyhtälöitä

• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä polynomifunktion tutkimisessa ja polynomiyh-tälöihin sekä polynomifunktioihin liittyvien sovellusongelmien ratkaisussa.

Kurssin MAB2 keskeiset sisällöt

• suureiden välinen lineaarinen riippuvuus ja verrannollisuus

• ongelmien muotoileminen yhtälöiksi

• yhtälöiden ja yhtälöparien graafinen ja algebrallinen ratkaiseminen

• ratkaisujen tulkinta ja arvioiminen

• toisen asteen polynomifunktio ja toisen asteen yhtälön ratkaiseminen

8

1.2 Projektiryhmän oppikirjalle asettamat yleiset tavoitteet

Yhteisen projektin onnistumiseksi on tärkeää sopia yhteisistä tavoitteista. Tavoitteetkoskevat niin oppimateriaalin sisältöä, ulkoasua kuin teknistä toteutusta. Tässä käynläpi vain sisältöä koskevat yhteiset tavoitteet, sillä vain ne ovat tämän työn kannaltaoleellisia. Muut sopimukset näkyvät oppimateriaalissa yhtenäisenä tyylinä ja hyvänäkäytettävyytenä. Oppimateriaalin sisältöä koskevat yhteiset tavoitteet näkyvät kirjanjatkuvuutena ja yhtenäisyytenä. Sisällölliset yhteiset tavoitteet tiivistyvät kahteen op-pimisen muotoon: visuaalisuuteen ja tutkimuksellisuuteen.

Ensimmäisenä yhteisenä tavoitteena on oppikirjan graafisuus ja visuaalisuus. Tätätyötä koskeva osa on aihealueeltaan algebraa, joten tämän tavoitteen saavuttamisek-si oppimateriaalissa on pyritty algebran oppimiseen geometrian avulla ja käsitteidenhavainnollistamiseen visuaalisesti niin, että kirjassa on visuaalisia esimerkkejä, mut-ta vielä tärkeämpänä niin, että opiskelijat itse luovat visualisaatioita algebrallisistaelementeistä. On tutkittu, että geometrian ja algebran oppimisen välillä on yhteys jageometrinen hahmottaminen ja ymmärrys tukee algebrallista ongelmanratkaisua [16].

Toisena yhteisenä tavoitteena on tutkimuksellisuus ja tutkiva oppiminen. Tutkivassaoppimisessa oppija on itse aktiivinen toimija, jonka tehtävänä ei ole ainoastaan selvittäävastausta annettuun kysymykseen, vaan myös kehittää itse kysymyksiä yhteistyössämuiden oppijoiden kanssa. Siihen liittyy keskeisenä myös itsearviointi ja saavutetuntiedon pohtiminen ja jalostaminen edelleen. Tutkivassa oppimisessa kysymykset voi-vat olla sellaisia, joihin oppijan ei ole tarkoituskaan löytää yksikäsitteistä vastausta jasaavutettava tieto tulee oppijasta itsestään eikä sitä anneta ulkopuolelta [3]. Tutkimuk-sellisuus huomioidaan oppimateriaalissa jokaisessa kappaleessa esiintyvillä pohdinta-tehtävillä, jotka ovat luonteeltaan tutkivan oppimisen piirteiden kaltaisia. Muissakintehtävissä on tutkimuksellisia elementtejä ja mekaanisia rutiinitehtäviä on vain vähän.

1.3 Yhteiset tavoitteet Habits of Mind -artikkelista

Edellä mainittujen yleisten tavoitteiden lisäksi asetimme oppikirjaprojektimme tavoit-teiksi Al Cuocon, E. Paul Goldenbergin ja June Markin artikkelissa Habits of Mind:An Organising Principle for Mathematics Curricula [4] mainittuja tavoitteita, jotkavahvistavat matematiikan oppimista. Artikkelissa käsitellään sellaisia mielen malleja,jotka ovat matemaatikolle ominaisia. Oppimateriaalin yksi pääperiaate on vahvistaaopiskelijoiden valmiutta omaksua näitä mielen malleja.

Kun mietitään, mitä koulumatematiikassa tulisi opettaa, mieleen tulee ensin pohtia, mi-tä tiettyjä matematiikan osa-alueita opetetaan. Kuitenkin sitä tärkeämpi kysymys on,miten koko opetusta tulisi uudistaa, jotta se olisi tarkemmin linjassa varsinaisen mate-matiikan kanssa tieteenä. Nykyisin koulussa matematiikan päämääränä tuntuu useinolevan antaa oppilaille vain kasa faktoja, jolloin oppilaiden oma pohdinta ja tieteellisetmetodit jäävät vähälle huomiolle. Tämä näkyy varsinkin lukion lyhyessä matematii-kassa, jossa esimerkiksi talousmatematiikalla on suuri rooli. Tietenkään tarkoitus ei olekouluttaa kaikista yliopistomatemaatikoita ja siksi käytännönläheisyydelle on koulus-sa paikkansa, mutta silti jokaista opiskelijaa hyödyttäisi oppia niitä mielen malleja (’ha-bits of mind’), joita matemaatikot käyttävät. Cuocon, Goldenbergin ja Markin artikkeli

9

keskittyy selittämään näitä mielen malleja tavoitteenaan saada niitä myös kouluope-tukseen ja tämänkin oppikirjaprojektin tavoitteina on saada kirja olemaan hyödyllinenväline opettamaan osan artikkelin esittelemistä matemaatikon ominaisuuksista.

Seuraavaksi käyn lyhyesti läpi artikkelissa olevat yleiset mielen mallit, jotka olisivatkaikille hyödyllisiä. Artikkelissa esitellään lisäksi monia mielen malleja, jotka ovatmatemaatikoille, geometrikoille ja algebraisteille ominaisia, mutta vähemmän yleisiämatematiikan ulkopuolella. Niitä en tässä tutkielmassa erittele tämän enempää, silläoppimateriaalin tavoitteet kohdistuvat pääasiassa seuraavassa kappaleessa 1.3.1 esitel-tävien mielen mallien omaksumiseen.

1.3.1 Yleiset mielen mallit

Tässä kappaleessa käsittelen niitä mielen malleja, jotka ovat yleisiä muillekin kuinmatemaatikoille. Nämä mallit oppilaan olisi hyvä omaksua riippumatta siitä, millealalle hän tulevaisuudessa aikoo kouluttautua.

Oppilaiden tulisi oppia tunnistamaan toistuvia asioita ja päätellä asioita malleista,jotka vaikuttavat toistuvan. Tätä kykyä voi hyödyntää paljon niin matemaattisessaongelmanratkaisussa kuin päivittäisessäkin elämässä.

Oppilaiden tulisi oppia kokeilemaan asioita. Usein ongelmanratkaisun ensimmäinenaskel on kokeilla joitain mahdollisia tuloksia ja sitä kautta ymmärtää ongelmaa parem-min. Toisaalta on tärkeää myös kehittää kriittisyyttä koetuloksia kohtaan, ettei vedäliian laajoja johtopäätöksiä tuloksesta.

Oppilaiden tulisi oppia selittämään ja formalisoimaan ajatuksensa niin suullisesti kuinkirjallisesti. Matematiikan käyttäminen kielenä ja sen eksaktit merkintätavat ovat tär-keitä, kun ajatuksia vaihdetaan muiden ihmisten kanssa. Tällöin vältetään väärinkäsi-tykset ja myös oppilaan oma mieli on jäsentyneempi.

Oppilaiden tulisi oppia näpertelemään ongelman kanssa ja ymmärtämään, että ratkai-sumalleja ei ole vain yhtä ainoaa, vaan matematiikassa voi tehdä ihan mitä tahansa,kunhan pysyy sen sääntöjen puitteissa. Myös ongelman pohtiminen poistamalla taimuuttamalla osia siitä voi auttaa ongelman ymmärtämisessä ja lopullisen ratkaisunlöytämisessä.

Oppilaiden tulisi oppia keksimään itse matematiikkaa. Esimerkiksi pelien sääntöjen,algoritmien ja jopa matemaattisten aksioomien keksiminen on matemaattista ajattelua.

Oppilaiden tulisi oppia visualisoimaan tilanteita. Monia ongelmia voidaan mallintaakuvalla, joka luodaan joko päähän tai paperille. Visualisaatio voi olla kuva konkreetti-sesta ongelmaan liittyvästä objektista, mutta se voi olla myös abstraktimpi hahmotel-ma vaikkapa riippuvuudesta tai asioiden suhteista. Hyvänä esimerkkinä on binomintoisen potenssin havainnollistaminen neliön avulla.

Oppilaiden tulisi oppia tekemään konjektuureja olemassa olevan datan pohjalta. Sään-töjen luominen ja deduktoiminen on oleellinen osa matematiikan syntyä.

Oppilaiden tulisi oppia arvaamaan, sillä se auttaa usein lähestymään ongelmaa jaarvauksen analysointi voi auttaa tutkimaan asiaa eri näkökulmista.

10

1.4 Virheiden vaikutus matematiikan opiskelussa

Opiskelussa virheiden tekeminen on hyvin yleistä. Kun kohdataan asioita, joita ollaanvasta oppimassa, niin luonnolliseen oppimisprosessiin kuuluu väistämättä virheidentekeminen. Siksi niin opettajan kuin opiskelijoidenkin on otettava huomioon, mitenvirheet vaikuttavat oppimiseen ja kuinka niihin tulisi suhtautua.

On tutkittu, että virheiden tekeminen ja niiden tiedostaminen lisää opiskelijoidenmatematiikka-ahdistusta [1]. Kun opiskelija huomaa tekevänsä virheitä, hän alkaa hel-posti miettimään, kuinka paljon on asioita, joita hän ei tiedä tai osaa ja se voi herkästilisätä opiskelijan kokemaa ahdistusta. Se voi myös saada opiskelijaa kokemaan häpeäntunnetta ja epäpätevyyden kokemusta.

Toisaalta virheitä tehdessään opiskelijat alkavat kysyä ja kyseenalaistaa asioita enem-män kuin tehdessään tehtävän oikein. Tämä tarkoittaa, että virheet ovat hyvä aktivoin-tikeino opiskeltavien asioiden syvälliseen pohdintaan. Jotta virheitä voidaan käyttääopiskelun tehokkaana työkaluna, on virheiden aiheuttama mahdollinen ahdistus kui-tenkin käsiteltävä jotenkin. Siksi virheet ja niiden käsittely on otettava kiinteäksi osaksiopetusta.

Myös monet elementit kappaleessa 1.3 käsitellyistä mielen malleista liittyvät ja jopajohtavat virheiden tekemiseen. Kokeilu, näperteleminen ja arvaaminen ovat sellaisia,jotka herkästi johtavat virheisiin. Kuitenkin ne ovat positiivisia mielen malleja juurikinsiksi, että virheiden kautta opitaan uutta ja aktivoidutaan pohtimaan asiaa syvällisem-min. Näitä mielen malleja onkin hyvä käyttää pohjana myös silloin, kun opetellaanvirheiden käsittelemistä rakentavasti.

Virheiden käsittelyssä opettajan on oltava tarkkana, sillä pahimmillaan virheet voivatsaada opiskelijan motivaation ja itsetunnon tippumaan niin alas, ettei hän edes haluayrittää enää. Yksi rakentava tapa opettaa virheiden sietokykyä on esittää oppilaillesellaisia ongelmia, joihin heidän taidot eivät aivan riitä, mutta jotka saavat heidätpohtimaan ongelmaa. Tällainen ongelma voi olla esimerkiksi jonkin kartan pinta-alanselvittäminen, kun opiskelijat osaavat laskea vasta vain yksinkertaisten geometristenkappaleiden pinta-aloja [14]. Tällöinkin on tärkeää, että opettaja ei paljasta ratkaisunliittyvän kartan osittelemiseen yksinkertaisimpiin osiin, vaan opiskelijoiden tulee itseselvittää ongelma. Palautteen antaminen on kuitenkin tärkeää ja opettajan tulee ohjataja kannustaa.

Oppimateriaalissa on virheiden merkitys otettu huomioon sellaisilla tehtävätyypeillä,jotka kannustavat keskustelemaan. Joissain tehtävissä myös vertaillaan erilaisia ratkai-sumalleja ja etsitään virheitä ratkaisuista. Kuitenkaan pelkkä oppikirja ei ole riittäväväline virheiden käsittelyyn, vaan siihen vaaditaan opettajan aktiivisuutta ja sallivaa se-kä positiivista luokan ilmapiiriä. Nämä elementit opettajan on huomioitava jatkuvastiopetusta tehdessään ja suunnitellessaan.

11

2 Lauseke

Oppimateriaalin ensimmäinen kappale on ’Lauseke’. Matematiikassa on monia tar-koin määriteltyjä termejä ja tässä kappaleessa käydään matemaattiseen lausekkeeseenliittyvää termistöä läpi sekä määritellään monomi ja binomi tulevia kappaleita varten.Kappaleessa pyritään myös parantamaan kykyä havainnollistaa lausekkeen rakennet-ta ja sen matemaattista olemusta. Tässä osiossa perustellaan omissa kappaleissaantarkemmin ns. puumallin käyttö sekä miksi ja miten käytän termiä ’muuttuja’ oppima-teriaalissa. Sen jälkeen perustellaan oppimateriaalin kappaleen rakenne sekä tehtävät.

2.1 Muuttuja vai tuntematon?

Kappaletta varten täytyy pohtia hieman seuraavien termien käyttöä: muuttuja, tun-tematon ja parametri. Projektissa päädyimme sisällyttämään kirjaan näistä ainoastaanmuuttujan. Alakoulun kirjoissa käytetään paljon sanaa tuntematon kuvaamaan suuret-ta, jonka arvoa ei tunneta ja joka tulee selvittää. Myöhemmin aletaan kuitenkin puhu-maan muuttujasta. Muuttuja kuvaa sellaista matemaattista oliota, jolle voidaan antaa eriarvoja, kun taas tuntemattomalla on jokin yksittäinen selvitettävä arvo. Historiallisestituntematonta on käytetty paljon ja sillä on paikkansa matematiikassa, mutta termiensekoittaminen keskenään aiheuttaa turhaa sekaannusta. Sekaannuksen vaikutuksia ontutkittu ja juurikin ajatus, että muuttujalle voidaan antaa arvoja, on opiskelijoille aluksihankalaa [6].

Kirjassa määritellään kolmesta edellä mainitusta termistä ainoastaan muuttuja siksi,että sen uskotaan antavan opiskelijoille paremman kuvan siitä, että matematiikassaei läheskään aina vain selvitetä jotain tiettyä arvoa, vaan muuttujat voivat riippuatoisistaan ja niiden arvoja voidaan vaihdella. Parametri kuvaa myös hyvin arvojenmahdollista muutettavuutta ja korostaa vielä enemmän sitä, että arvoja muutetaanmanuaalisesti. Silläkin on matematiikassa paikkansa, mutta tämän kirjan puitteissapäädyimme siihen, että pidämme termistön mahdollisimman yhtenäisenä ja tämänkurssin tarkoitukseen muuttuja on riittävä termi eikä parametria käytetä.

2.2 Puumalli

Lausekkeen hahmottamisen apuna kirjassa käytetään niin sanottua puumallia (engl.expression tree). Puumallissa operaatiot yhdistävät operoitavat lausekkeet hierarki-seksi puuksi. Puumallista on kirjoittanut mm. Ethan M. Merlin. [11] Mallin on tutkittuolevan tehokas keino havainnollistaa opiskelijoille algebrallisten esitysten monitasoi-suus. Operaatio toimii puussa ikään kuin liimana, joka yhdistää kaksi lauseketta toisiin-sa. Merlin korostaa, että puumalli vie enemmän tilaa ja aikaa esittää kuin tavanomainenalgebrallinen esitys, mutta se on havainnollistavampi. Toisaalta täysin verbaalinen il-maisu olisi hankalasti ymmärrettävä (’Kahden termin summa, joista jälkimmäinen onkahden termin tulo, joista ensimmäinen on kahden termin summa’).

Merlinin oppilaista erityisesti sellaiset, joilla on avaruudellisen hahmottamisen kans-sa ongelmia ovat kokeneet puumallin hankalana käyttää. Kuitenkin he, jotka oppivat

12

puumallin käytön huomaavat sen tosiasian, että algebralliset ilmaukset, joita kohtaam-me ovat vain yksi tapa esittää puumallissa esiintyvä kokonaisuus ja että muitakintapoja ilmaista sama asia on olemassa. Puumallissa on yhteyksiä myös ohjelmointiinsen hierarkisen luonteen vuoksi, joten se voi luoda myös yhteyksiä eri oppiaineidenvälille uudella tapaa. Puumallia on käytetty myös LUMA Suomi -kehittämisohjelmanhankkeessa ’Joustava yhtälönratkaisu’ [10].

2.3 Kappaleen rakenne ja tehtävät

Kappaleessa määritellään ensin lausekkeisiin liittyviä termejä. Muuttujan määrittelyon tehty kappaleen 2.1 pohjalta. Monomin määritelmä on kurssin kannalta hyvin kes-keinen, sillä myöhemmin polynomi määritellään monomin avulla. Monomien välisistäoperaatioista myös johdetaan myöhemmin polynomien väliset operaatiot. Monomeillalaskeminen on melko yksinkertaista, joten sitä harjoitellaan tässä kappaleessa ennenkuin siirrytään polynomeihin. Myös binomi sekä monomin ja binomin tulo määritel-lään tässä kappaleessa, jotta voidaan harjoitella osittelulain soveltamista ennen bino-mikaavoihin siirtymistä.

Pohdintatehtävässä 6.12 on tarkistettava, mitkä lausekkeet on sievennetty oikein ja kor-jattava virheet. Tehtävää tehdessä opiskelijalle tulee tutuksi joitain yleisiä virhetyyppejäja siten hän toivottavasti pystyy kyseisiä virheitä välttämään. Toinen pohdintatehtäväon kappaleessa 2.2 käsiteltyyn lausekkeen puumalliesitykseen liittyvä tehtävä. Lisäksiopettajan oppaassa on ryhmätehtävä puumalliin liittyen. Molemmissa puumallitehtä-vissä korostetaan keskustelemista ja puumalliesityksen tutkimista.

Tehtävän 1 tarkoitus on opettaa, että useatkin kappaleessa määritellyt termit voivatsopia samaan ilmaisuun. Tehtävän 2 ajatuksena on saada opiskelijat pohtimaan va-kion ja muuttujan eroavaisuutta ja siinä harjoitellaan myös lausekkeeseen sijoittamista.Esimerkki kahden fiktiivisen opiskelijan välisestä erimielisyydestä motivoi opiskelijoi-ta keskustelemaan matematiikasta, jolloin matematiikka esiintyy muunakin kuin vainlaskemisena.

13

3 Binomikaavat

Oppimateriaalin toinen kappale on ’binomikaavat’. Kappaleen alussa esitellään bino-mien tulo, jonka jälkeen johdetaan binomikaavat oppijalähtöisesti sekä geometrisestiettä algebrallisesti. Oppimateriaalin kappaleessa käsitellään algebraa geometrisesti jatehtäväosiossa on todistustehtäviä. Tässä osiossa perustellaan omissa kappaleissaangeometrian ja algebran yhdistäminen sekä todistustehtävät. Sen jälkeen perustellaanoppimateriaalin kappaleen rakenne sekä tehtävät.

3.1 Geometrian ja algebran yhdistäminen

Usein matematiikassa käsitellään algebraa ja geometriaa toisistaan erillisinä kokonai-suuksina. Kuitenkin niiden sisällöissä lukionkin oppimäärässä on sellaisia yhtäläisyyk-siä, joita voidaan luontevasti hyödyntää. Tässä kappaleessa opiskelijat johtavat binomi-kaavat geometrisesti. Cuoco ym. [4] käyttävät visualisoinnista kertoessaan juuri bino-mikaavan (a+ b)2 geometrista esitystä esimerkkinä ja oppimateriaalissa korostetaankinbinomikaavojen johtamista geometrisesti.

Indonesiassa tehdyssä tutkimuksessa [16] oppilaiden tehtävänä oli laskea tasakylki-sen kolmion piiri, kun sen kaksi sivua on tunnettu. Oppilaat ajattelivat, että tehtävässätasakylkisen kolmion voi muodostaa kahdella eri tavalla, vaikka toinen tavoista eiole geometrisesti mahdollinen. Oppilaat siis eivät kyseenalaistaneet kolmion mielek-kyyttä. Tutkimuksen mukaan geometristen esimerkkien jälkeen oppilaat onnistuivatmäärittämään kolmiolle algebrallisia ehtoja, jotka määrittävät, voiko kolmella janalla,joiden pituudet tunnetaan muodostaa kolmion. Geometria ja algebra siis nitoutuvatluontevasti yhteen oppilaiden ajattelussa ja ne tukevat toisiaan. Kun opettajat ohjasi-vat keskittymään janojen todellisiin pituuksiin vain pelkän pituuden merkitsemisensijaan, oppilaat alkoivat ymmärtää tilannetta paremmin. Tutkimuksen mukaan oppi-lailla, jotka ovat taitavia geometriassa ei yleensä ole paljon ongelmia algebrallisissaongelmissa ja vastaavasti algebrallisesti lahjakkaat pärjäävät hyvin geometrisissa on-gelmissa. Geometrian ja algebran yhdisteleminen tuntuu siis järkevältä, sillä ne tukevattoisiaan.

3.2 Todistaminen koulumatematiikassa

Todistaminen on yksi tieteellisen matematiikan tärkeimpiä tukipilareita ja koko ma-tematiikan rakenne perustuu todistuksen ideaan. Kuitenkin koulumatematiikassa to-distamisen rooli on melko pieni. On totta, että formaalin todistuksen laatiminen vaatiiharjaantuneisuutta ja sen vuoksi sitä voi olla vaikea sisällyttää kovin aikaisin opetuk-seen. Stylianides kertoo tutkimuksessaan [15], että tutustumisen todistamiseen voisialoittaa jo kolmosluokalta. Koulumatematiikassa on kuitenkin oltava tietyt periaatteet,joiden nojalla voidaan sanoa, onko jokin ajatusketju riittävän perusteltu ollakseen to-distus. Tietenkään kolmosluokkalaiselta ei voida vaatia samanlaista todistusta kuinmatemaatikolta, vaan todistuksen on toimittava siinä kontekstissa, missä se esitetään.Riittää siis, että todistus hyväksytään opetusryhmän keskuudessa.

14

Stylianidesin mukaan todistuksessa on neljä elementtiä, joita tulee arvioida, jotta to-distus voidaan hyväksyä. Niitä ovat perusta, muotoilu, esitys ja sosiaalinen dimensio.Perustaan kuuluu määritelmät ja aksioomat, joilla väitettä pyritään osoittamaan to-deksi. Muotoiluun kuuluu todistuksen sisäinen rakenne, kuten onko se deduktiivinenvai induktiivinen todistus. Esitykseen kuuluu se, millä tavalla todistus ilmaistaan: ver-baalisesti, algebrallisesti vai jollain muulla tavalla. Sosiaaliseen dimensioon kuuluu se,miten todistus vastaanotetaan siinä kontekstissa, missä se esitetään.

Kaikkia neljää elementtiä arvioidaan kahden periaatteen pohjalta: älyllis-rehellisen pe-riaatteen sekä jatkuvuusperiaatteen. Stylianidesin mukaan älyllis-rehellinen periaatetarkoittaa, että todistukselta on vaadittava tiettyä formaalisuutta, mutta samalla onotettava huomioon se, mihin oppijan kyvyt riittävät. Jatkuvuusperiaate tarkoittaa, ettäeri luokka-asteiden välillä tulee olla jatkuvuutta siinä, miten todistusta käsitellään. Näi-den periaatteiden pohjalta todistamista voidaan tehdä lähes minkä ikäisten ja tasoistenopiskelijoiden kanssa tahansa.

3.3 Kappaleen rakenne ja tehtävät

Kappale aloitetaan lauseella 6.14, jossa esitellään binomien kertolasku. Lause on luon-teva jatko monomin ja binomin kertolaskulle ja se myös todistetaan. Seuraavaksi ker-rotaan tarkoilla matemaattisilla termeillä binomikaavoista, jotta matemaattinen tekstiverbalisoituna tulee tutuksi. Mainitsen kuitenkin sanan ’muistikaavat’, sillä sitä käy-tetään vanhoissa oppikirjoissa paljon [2] [7] [9] ja se voi olla joillekin oppilaille tuttu.Silti kirjassa käytän nimitystä ’binomikaavat’, sillä tällöin on aina selvää, mihin nimi-tyksellä viitataan eikä se mene sekaisin muiden kaavojen kanssa. Nimitys myös kertooparemmin, mihin kaavoja käytetään.

Koko binomikaavojen teoria saadaan koottua kahden pohdintatehtävän avulla oppi-jalähtöisesti kahdella pohdintatehtävällä: ensin geometrisesti ja sitten algebrallisesti.Ensimmäisessä pohdintatehtävässä 6.16 selvitetään binomikaavat geometrisesti. Poh-dintatehtävä rohkaisee oppilasta visualisoimaan ja näpertelemään matemaattisen on-gelman kanssa ja siinä opiskelija myös johtaa hyvin perustavanlaatuisia tuloksia jasiten tutustuu matemaattisen todistamisen luonteeseen, vaikka tekeekin todistamisengraafisesti. Nämä kaikki tehtävän ominaisuudet liittyvät kappalessa 1.3 mainittuihinmatemaatikolle ominaisiin piirteisiin. Toisessa pohdintatehtävässä 6.17 tulee harjoitel-tua binomien kertolaskua ja sen osaaminen riittää. Tehtävä on tärkeä myös siksi, ettäsiinä opiskelija johtaa itse binomikaavat myös algebrallisesti eikä niiden osaaminen sil-loin jää pelkän ulkomuistin varaan. Lopuksi opiskelijaa pyydetään pohtimaan näidenkahden pohdintatehtävän yhteyttä, mikä vahvistaa algebran ja geometrian yhdistämis-tä.

Ennen tehtäväosiota kootaan vielä binomikaavat yhteen. Huomautuksena mainitaanmyös kolmannen asteen kaava pitkän oppimäärän opiskelijoita varten. Polynomientulon yhteydessä käsitellään korkeampien potenssien binomikaavoja tarkemmin.

Kappaleen alun pohdintatehtävät sekä tehtävät 6 ja 9 ovat todistus- tai johtamistehtäviä,joissa on otettu huomioon kappaleessa 3.2 esitellyt Stylianidesin periaatteet. Lukiota-solla voidaan jo odottaa tiettyä formaalisuutta, mutta vähäisen todistamiskokemuksen

15

vuoksi tehtävät ovat melko suoraviivaisia. Tehtävässä 6 on myös annettu vihje, jokaauttaa hahmottamaan tilannetta.

Tehtävissä 4 ja 5 lasketaan suuria lukuja binomikaavojen avulla. Se voi motivoidaopiskelijoita, sillä tällaista mahdollisuutta ei välttämättä heti tule ajatelleeksi. Tehtävät 7ja 8 liittyvät virheisiin. Aihetta käsiteltiin kappaleessa 1.4. Tehtävissä harjoitellaan myösvastauksen tarkistamista, mikä liittyy opetussuunnitelmassakin mainittuun ratkaisujenkriittiseen tarkasteluun [13].

16

4 Polynomien tulo

Oppimateriaalin kolmas kappale on ’polynomien tulo’. Kappaleessa määritellään en-sin polynomi ja käydään läpi niiden yhteen- ja vähennyslasku, jonka jälkeen siirrytäänpolynomien tuloon. Tässä osiossa kerrotaan ensin polynomien kertolaskussa käytettä-västä taulukointimenetelmästä, jonka jälkeen perustellaan oppimateriaalin kappaleenrakenne ja tehtävät.

4.1 Polynomien tulo taulukointimenetelmällä

Oppimateriaalin mallitehtävässä 6.27, jossa ratkaistaan kahden polynomin tulo, näyte-tään kaksi eri tapaa ratkaista tehtävä. Jälkimmäinen tapa pohjautuu Michael C. O’Neilinartikkeliin [12], jossa esitellään havainnollistava taulukointimenetelmä polynomienkertolaskuun.

O’Neilin mukaan tapa on helpompi käyttää ja ymmärtää kuin esimerkiksi FOIL-metodi.FOIL (First Outer Inner Last) on Yhdysvaltojen Common Core -standardissa käytettymetodi polynomien kertolaskuun ja sen ongelmallisuutta käsittelee Lori Koban & Si-mone Sisneros-Thiry tutkimuksessaan [8]. Metodi perustuu lähinnä muistamiseen jaulkoaopetteluun ja se soveltuu ainoastaan binomien kertolaskuun. Se ei myöskään ak-tivoi oppijaa pohtimaan laskun luonnetta ja usein FOIL jää vain merkityksettömäksimuistisäännöksi, joka osataan mekaanisesti toteuttaa, mutta sitä ei ymmärretä. Vaikkamenetelmää ei Suomessa käytetäkään ainakaan samalla nimellä, niin vastaavia muis-tisääntöjä, jossa jokainen termi kerrotaan jokaisella toisen polynomin termillä [7]. Jois-sain kirjoissa taas viitataan vain puhtaasti vaihdanta-, liitäntä- ja osittelulakeihin, jonkajälkeen näytetään esimerkkejä [2].

O’Neilin taulukointimenetelmä on useilta osin paljon FOIL-menetelmää parempi. Siinäyhdistyy visualisointi ja järjestelmällisyys. Myös värien käyttö voi auttaa opiskelijoitajäsentämään tilannetta paremmin. Menetelmää voidaan soveltaa myös suurten lukujenkertolaskuun, mutta se vaatisi tarkempaa perehdyttämistä eikä siitä siksi ole tehtävää.Vaikka taulukointitapa vaikuttaakin todella hyvältä menetelmältä, niin kirjassa opete-taan se vain yhtenä mahdollisena tapana ja etenkin kehittyneemmät opiskelijat voivathyvin käyttää muita menetelmiä, kuten mallitehtävän ensimmäistä tapaa.

4.2 Kappaleen rakenne ja tehtävät

Oppimateriaalin kappale aloitetaan määrittelemällä polynomi. Polynomi määritelläänmonomien avulla, sillä monomit ovat opiskelijoille tuttuja jo edellisistä kappaleista.Lähestymistapa on konkreettinen ja luonteva, sillä polynomit kootaan monomeja yh-distelemällä. Tämä voi auttaa opiskelijaa hahmottamaan, mitä polynomit ovat. Seuraa-vaksi tulee pohdintatehtävä 6.21, jossa harjoitellaan polynomin määritelmän käyttöä.Tämän jälkeen esitän lauseen 6.22, jossa todetaan polynomeilla olevan yksikäsitteinenesitystapa.

Seuraavaksi määritellään polynomeihin liittyvää termistöä, josta jatketaan pohdinta-tehtävään 6.24, jossa kerrataan polynomien yhteen- ja vähennyslasku. On tärkeä var-

17

mistaa, että jokaisella ne ovat hallussa, sillä niitä tarvitaan aina polynomeilla laskettaes-sa. Jatkokysymys aktivoi opiskelijan muotoilemaan sanallisesti säännöt, miten yhteen-ja vähennyslasku polynomeilla toimii. Jos opiskelijoilla on monomien laskutoimituksethallussa, niin pohdintatehtävän tulisi sujua ongelmitta.

Kahden polynomin tulo selvitetään kirjassa oppijalähtöisesti pohdintatehtävän avulla.Tehtävässä sovelletaan samankaltaista tekniikkaa kuin edellisen kappaleen pohdinta-tehtävässä binomikaavoihin liittyen. Näin opiskelijan on helpompi tarttua tehtävään,kun siinä on jotain tuttua. Visuaalisuus ja piirtäminen liittyvät tähän tehtävään vahvas-ti. Pohdintatehtävän jälkeen esitetään mallitehtävä, joka ratkaistaan kahdella tavalla.Ensimmäinen tapa on suoraviivainen osittelulakiin perustuva menetelmä, joka vas-taa perinteisissä oppikirjoissa esitettyjä menetelmiä. Toinen tapa taas on kappaleen 4.1mukainen taulukointimenetelmä.

Tehtäväsarja aloitetaan tehtävällä 10, joka viittaa lauseeseen 6.22. Tehtävä on hyvämyös siksi, että useiden polynomien muokkaaminen edellä mainitun lauseen mu-kaiseen muotoon vaatii polynomien tulon hallitsemista. Seuraavana on kolme melkosuoraviivaista tehtävää, joiden avulla kehitetään laskurutiinia. Lisäksi tehtävässä 12yhdistetään polynomien tulo yhtälönratkaisuun ja tehtävässä 13 epäyhtälöihin.

Tehtävissä 15, 16 ja 17 tutustutaan Pascalin kolmioon ja isompien potenssien binomi-kaavoihin. Tehtävät koskevat vain pitkää oppimäärää, sillä lyhyessä oppimäärässä eivaadita kolmannen potenssin binomikaavan hallitsemista. Pascalin kolmio on mukana,sillä sitä käytetään myös binomitodennäköisyyksien kanssa myöhemmissä kursseissa,joten siihen on hyvä tutustua jo tässä vaiheessa. Sen avulla voidaan myös yleistää bino-mikaavat kuinka korkeaan potenssiin tahansa ja on mielekkäämpää tuoda kaavat senavulla opiskelijoille kuin suoraan annettuna.

18

5 Polynomin jakaminen tekijöihin

Oppimateriaalin neljäs kappale on ’polynomin jakaminen tekijöihin’. Kappaleessa käy-dään läpi kaikki menetelmät, jotka lukiolaiselta vaaditaan tekijöihinjaon riittävään hal-litsemiseen lukuunottamatta tekijöihinjakoa polynomin nollakohtien avulla, joka kä-sitellään kirjassa myöhemmin, eikä se kuulu tämän työn aihealueeseen. Kappale onjaettu menetelmien mukaisiin alakappaleisiin, jotta kukin menetelmä voidaan opetel-la selkeästi. Tässä osiossa käsitellään omassa kappaleessaan tehtäväosassa käytettyvertailutehtävätyyppi, jonka jälkeen perustellaan kappaleen rakenne ja tehtävät.

5.1 Vertailutehtävät

Oppimateriaalin kappaleessa on tehtävä, jossa vertaillaan kahta eri ratkaisumallia.Tehtävätyyppiä ovat tutkineet Kelley Durkin, Jon R. Star ja Bethany Rittle-Johnson [5].Heidän mukaansa ihminen vertailee usein asioita päivittäisessä elämässä ja sitä sovel-tavat jokaisen ikäluokan edustajat. Esimerkiksi vauvat voivat oppia kissan ja koirantyypillisiä piirteitä vertailemalla niiden kuvia vierekkäin ja kauppatieteiden opiskeli-jat voivat oppia neuvottelustrategioita vertailemalla. Vaikka vertaileminen tuntuukinihmiselle luontaiselta ominaisuudelta, niin on tärkeää eksplisiittisesti kehottaa opis-kelijaa vertailemaan asioita, sillä Durkinin ym. mukaan spontaanisti vertailua ei ainatapahdu.

Durkinin ym. mukaan tärkeimpiä vertailutehtävien vahvuuksia on, että ne auttavatopiskelijaa näkemään ratkaisujen rakenteen ja analysoimaan niitä. Esimerkiksi sanal-lisissa tehtävissä opiskelijat usein keskittyvät enemmän tehtävän tarinaan ja pinnal-lisiin yksityiskohtiin kuin ongelman rakenteeseen. Vertailutehtävät kiinnittävät huo-mion matemaattisesti merkittävään ongelman ja ratkaisujen rakenteisiin. Vertailu onkuitenkin kognitiivisesti raskasta ja se vaatii riittävät pohjatiedot ollakseen tehokasta.Vertailun yhteydessä on tärkeää myös käydä keskustelua ja muotoilla kysymykset niin,että ne aktivoivat keskusteluun.

5.2 Kappaleen rakenne ja tehtävät

Kappale aloitetaan toteamalla, että polynomin jakamista tekijöihin tarvitaan myöhem-min yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisessa. Tämän tarkoituksena on luoda mie-lekkyyttä ja merkitystä oppimiselle, sillä opiskeltavaa asiaa tarvitaan pian myöhem-min. Seuraavaksi määritellään, mitä jakaminen tekijöihin tarkoittaa ja mainitaan neljämenetelmää, joilla se voidaan tehdä.

Yhteisen tekijän ottaminen esitetään osittelulain avulla. Mallitehtävässä on käytetty vä-rejä, jotta opiskelijan on helpompi hahmottaa yhteiset tekijät. Myös muissa kappaleenmallitehtävissä värejä hyödynnetään hahmottamisen tukena. Mallitehtävän lopussakerrotaan vielä sanallisesti yhteiset tekijät ja miksi tekijöihin jakoa ei enää jatketa. Huo-mautuksena kerrotaan, että vastauksen voi tarkistaa kertomalla lopputuloksen sulutauki. Tämä harjaannuttaa opetussuunnitelman tavoitteissa kappaleessa 1.1.3 mainit-tuun ratkaisujen tulkintaan ja arvioimiseen.

19

Binomikaavojen soveltaminen tekijöihin jaossa käydään läpi esittelemällä binomikaa-vat käänteisessä muodossa ja mallitehtävä havainnollistaa, kuinka niitä käytännössäsovelletaan. Ryhmittelyn periaate esitellään formaalisti yhteisen tekijän avulla, jonkajälkeen ryhmittelystä esitetään mallitehtävä.

Kappaleen ainoassa pohdintatehtävässä 6.31 pohditaan toisen asteen polynomin teki-jöihin jakamisen periaatetta. Opiskelijan tehtävänä on muotoilla sääntöjä, joiden avullatekijöihin jako voidaan suorittaa. Tehtävässä harjoitetaan lähes kaikkia kappaleessa1.3.1 esiteltyjä mielen malleja: toistuvien asioiden tunnistamista, kokeilemista, selittä-mistä, näpertelyä, keksimistä, konjektuurien luomista sekä arvaamista. Varsinkin teh-tävän c) ja d) -kohta ovat haastavia, ja tehtävä voikin vaatia keskimääräistä enemmänopettajan ohjausta. Kuitenkin tehtävän syvin tarkoitus on, että opiskelija itse pääseepohtimaan ja tutkimaan tilannetta omalle tasolleen sopivalla tavalla.

Tehtävä 19 on rutiinitehtävä, mutta koska ryhmittely itsessään on ajattelua vaativaa,niin sellainen on mukana. Tehtävät 18 ja 20 ovat tehtäviä, joissa opiskelijan on kiinnitet-tävä huomiota ratkaisun rakenteeseen. Tehtävä 18 on vertailutehtävä, jollaista Durkinym. käyttivät tutkimuksessaan [5]. Tehtävässä 20 ei ole vertailua, mutta siinä on ratkai-sun analysointia. Samankaltainen tehtävänanto on esimerkiksi kevään 2018 matematii-kan pitkän oppimäärän ylioppilaskokeen [18] tehtävässä 10. Tehtävä 21 on geometriaaja algebraa yhdistelevä tehtävä, jonka ensimmäinen osa on yksinkertainen tekijöihinjako. Tehtävässä täytyy myös hahmotella paperille kaupunginosan muotoa, mikä onvisuaalisuutta hyödyntävää ongelmanratkaisua.

20

6 Oppimateriaali

6.1 Lauseke

Määritelmä: Yhteen-, vähennys-, kerto-, ja jakolaskumerkit sekä potenssiin korotusovat operaattoreita.

Esimerkki 6.1 Lausekkeessa 2x+ 1 on yhteenlaskuoperaattori (+) ja kertolaskuope-raattori lukujen 2 ja x välissä. Kertolaskuoperaattoria ei aina merkitä.

Määritelmä: Matematiikassa lauseke on numeroista, operaattoreista ja ryhmittely-merkeistä kuten sulkeista muodostuva yhdistelmä.

Esimerkki 6.2 Yhtälössä 3x + 17 = 2 on esimerkiksi kaksi lauseketta, jotka ovat3x + 17 ja 2. Lausekkeita ovat myös 3x ja 17.

Huomaa, että lauseke voi myös koostua ainoastaan yhdestä merkistä.

Määritelmä: Muuttuja on symboli, jolle voidaan antaa eri lukuarvoja. Yleensä sitämerkitään jollain kirjaimella.

Esimerkki 6.3 Lausekkeessa x + 4y − 2 muuttujia ovat x ja y.

Vaihtelemalla muuttujien arvoa myös lausekkeen arvo muuttuu.

Esimerkki 6.4 Kun x = 0 ja y = 0, niin lausekkeen x + 4y − 2 arvo on −2. Kun x = 2ja y = 1, niin lausekkeen arvo on 4.

Määritelmä: Lukua, jonka arvo ei muutu, kutsutaan vakioksi. Se voi olla numero,kirjain tai symboli, jolla on yksiselitteinen lukuarvo.

21

Esimerkki 6.5 Lausekkeessa x3 + 2π + 5 vakioita ovat 3, 2, π, 5, 2π ja 2π + 5.

Määritelmä: Muuttujan x monomilla tarkoitetaan sellaista lauseketta, joka on muo-toa a, ax, ax2

, ax3, . . . , axn, missä a on vakio ja n on luonnollinen luku. Lukua a kutsu-

taan monomin kertoimeksi ja lukua xn monomin kirjainosaksi. Monomeja kutsutaansamanmuotoisiksi, jos niiden kirjainosa on sama.

Esimerkki 6.6 Monomeja ovat esimerkiksi 5, −2x ja 7x2.

Esimerkki 6.7 Monomit 2y ja −7y ovat keskenään samanmuotoisia. Myös monomit3x2 ja−x2 ovat keskenään samanmuotoisia. Monomit 12x ja−3x2 eivät ole keskenäänsamanmuotoisia.

Määritelmä: Samanmuotoisten monomien yhteenlasku tehdään laskemalla niidenkertoimet yhteen ja pitämällä kirjainosa samana.

Huomautus: Monomeja ei voida laskea yhteen, jos ne eivät ole samanmuotoisia.

Esimerkki 6.8 Lasketaan yhteen monomit 2y ja −7y. Se voidaan tehdä, sillä ne ovatsamanmuotoisia. Nyt siis 2y + (−7y) = (2 − 7)y = −5y.

Määritelmä: Monomien kertolaskussa jokaisen monomin kertoimet kerrotaan kes-kenään ja niiden kirjainosat kerrotaan keskenään. Kun monomia kerrotaan vakiol-la, niin vakio ja monomin kerroin kerrotaan keskenään ja monomin kirjainosa eimuutu.

22

Esimerkki 6.9 Lasketaan monomien tulot.

a) 4x2 · 3x3 = 12x5

b) 5y · y2 = 5y3

c) 2 · 10x = 20x

Määritelmä: Kahden monomin summaa kutsutaan binomiksi.

Esimerkki 6.10 Binomeja ovat esimerkiksi 5x + 3 ja 7y4 − 2.

Kun binomia kerrotaan monomilla, sovelletaan osittelulakia a(b + c) = ab + ac. Se tar-koittaa, että monomilla a kerrotaan erikseen molemmat monomit b ja c, joista binomikoostuu.

Esimerkki 6.11 a) 3a(4a + 6) = 12a2 + 18a

b) 5(2x + 3y) = 10x + 15y

c) 2x(4x2 − 3x) = 8x3 − 6x2

Sievennettäessä lausekkeiden väliin tulee yhtäsuuruusmerkki, sillä alkuperäinen jasievennetty lauseke ovat keskenään yhtäsuuria.

Pohdinta 6.12 Mitkä seuraavista lausekkeista on sievennetty oikein? Korjaa virheet.

a) 2x2 + 3x = 5x3

b) 5x + x = 6x

c) 12x−66= 6x − 1

d) 12+44= 12

e) 4+x2x= 4

2= 2

f) 4(5 − 2) = 20 − 8 = 12

23

Pohdinta 6.13 Yksi tapa havainnollistaa lausekkeen rakennetta on niin sanottu puu-malli. Siinä lauseke jaetaan palasiin niin, että lopulta muuttujat ja vakiot ovat omissalaatikoissaan ja niiden välillä tehtävät laskutoimitukset käyvät ilmi operaattorista,joka niihin yhdistetään. Lopulta lausekkeesta syntyy eräänlainen hierarkinen puu,mikä kuvastaa lausekkeen rakennetta.

Puumallia laatiessa operaatiot laitetaan ympyrän sisään ja operoitavat muuttujat javakiot suorakaiteen sisään. Esimerkiksi puumalliesitys lausekkeelle 2x + (−3 · 2y)näyttää tältä:

2 x −3

2 y

+

· ·

·

Esitä seuraavat lausekkeet puumallissa.

a) (3x + 4) · 2

b) 3x + 4 · 2

c) 2 + 5 − 3

d) 2 + (5 − 3)

Vertaile kohtien a) ja b) sekä kohtien c) ja d) puumalliesityksiä keskenään. Mie-ti, miten laskujärjestys näkyy puumallissa. Ovatko mielestäsi lausekkeet c) ja d)samoja?

24

Tehtävät

1. Ensimmäisessä taulukossa on numeroituna matemaattisia termejä. Toisessa laatikos-sa on matemaattisia ilmaisuja, joiden perässä on tyhjä sarake. Merkitse tyhjään sarak-keeseen sitä vastaavaan matemaattiseen ilmaisuun sopivien termien numerot. Esimer-kiksi ilmaisu m on lauseke ja monomi. Tilanteesta riippuen se voi olla myös vakio taimuuttuja. Sitä vastaavaan laatikkoon on siis merkitty numerot 1, 2, 4 ja 5.

1. Lauseke2. Monomi3. Binomi4. Vakio5. Muuttuja

Ilmaisu Ilmaisuun sopivien termien numerotm 1, 2, 4, 5π

3x2 + 3834−5xx = 75x + 3x2 + 85x5

3x

2. Markus ja Juho ovat tehneet matematiikan tunnilla seuraavan tehtävän:

Aleksi on Oulun keskustassa tiistaina päiväsaikaan ja hänen täytyy ehtiä pian luen-nolle yliopistolle. Hän päättää ottaa taksin. Taksin hinta määräytyy lausekkeen1, 60s + c mukaisesti, missä s on matka kilometreinä ja c on perusmaksu, joka on5, 90 euroa.

Paljonko Aleksin täytyy maksaa kyydistä, kun Oulun keskustasta on yliopistollematkaa 6, 0 kilometriä?

Markus ja Juho saivat tehtävän ratkaistua aivan oikein, mutta heillä tuli kinaa siitä,mitkä kirjaimet taksin hinnan lausekkeessa ovat muuttujia ja mitkä vakioita. Juhonmielestä sekä s että c ovat muuttujia, mutta Markuksen mielestä vain s on muuttuja jac on vakio.

a) Kumpi on oikeassa ja millä perusteella?

b) Laske Aleksin taksimatkan hinta.

25

c) Lauantai-iltaisin perusmaksun määrä on 9, 00 euroa. Laske taksimatkan hinta, josAleksi matkustaakin tällöin saman matkan. Vaikuttaako perusmaksun vaihtelueri aikoina siihen, onko c muuttuja vai vakio?

3. Sievennä lausekkeet soveltaen osittelulakia.

a) 3x(4x2 − 4)

b) a2(4b + 6)

c) (x − c)2x

26

6.2 Binomikaavat

Lause 6.14 Binomien kertolaskussa molemmat kerrottavan monomit kerrotaan mo-lemmilla kertojan monomeilla. Siis binomien a + b ja c + d tulo on (a + b)(c + d) =ac + bc + ad + bd.

Todistus. Todistuksessa käytetään osittelulakia a(b + c) = ab + cd. Osittelulain nojalla(a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d = ac + bc + ad + bd. �

Esimerkki 6.15 Kerrotaan binomit 4x + 5 ja 2x − 3 keskenään. Binomien tulo on(4x+5)(2x−3) = 4x ·2x+5 ·2x+4x · (−3)+5 · (−3) = 8x2+10x−12x−15 = 8x2−2x−15.

Binomien kertolaskuissa on joitain erikoistapauksia, joille on tärkeää esittää omat kaa-vansa, sillä ne nopeuttavat ja yksinkertaistavat laskutoimituksia. Näitä erityistapauksiaovat summan ja erotuksen tulo sekä binomin neliö. Näitä kaavoja kutsutaan binomikaa-voiksi ja joskus myös ’muistikaavoiksi’. Binomikaavat on hyvä opetella ulkoa, muttane voidaan johtaa myös osittelulakien avulla.

Pohdinta 6.16 Janan K pituus on a + b. Kun janan K pituus korotetaan toiseenpotenssiin, saadaan pinta-ala neliölle, jonka sivut ovat janan K pituiset.

a) Piirrä neliö ja selvitä, millä muulla tavalla sen pinta-ala (a+b)2 voidaan ilmaista.

b) Selvitä vastaavasti, millä muulla tavalla lauseke (a+ b)(a− b) voidaan ilmaista.

c) Selvitä vastaavasti, millä muulla tavalla lauseke (a − b)2 voidaan ilmaista.

Pohdinta 6.17 Sievennä seuraavat lausekkeet käyttäen hyödyksi polynomien ker-tolaskua.

a) (a + b)2

b) (a + b)(a − b)

c) (a − b)2

Pohdi, millä tavalla tämän pohdintatehtävän tulokset liittyvät edelliseen pohdinta-tehtävään.

27

Pohdintatehtävien tuloksena saadaan binomikaavat. Ensimmäisessä tehtävässä ne joh-dettiin geometrisesti neliöiden ja suorakulmioiden avulla ja toisessa tehtävässä al-gebrallisesti binomien tulosta. Pohdintatehtävien menetelmien muistaminen auttaaymmärtämään, mistä binomikaavat ovat peräisin ja vaikka ne ovat melko helposti ul-koa muistettavissa, niiden johtamiseen käytettävät menetelmät on hyvä käydä läpiajatuksen kanssa.

Kootaan vielä binomikaavat yhteen.

Lause 6.18 Kahden luvun summan ja erotuksen tulo on yhtä kuin näiden lukujenneliöiden erotus eli

(a + b)(a − b) = a2 − b2.

Lause 6.19 Kahden luvun summan neliössä molempien lukujen neliöiden summaanlisätään lukujen tulo kaksinkertaisena eli

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Lause 6.20 Kahden luvun erotuksen neliössä lukujen neliöiden summasta vähen-netään lukujen tulo kaksinkertaisena eli

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2.

Lisätietoa: Kahden luvun summan kolmannen potenssin kaavaa saattaa tarvitajoissain erityistapauksissa. Kaava on

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

28

Tehtävät

4. Laske binomikaavojen avulla ilman laskinta

a) 9992

b) 10102

c) 95 · 105

5. Laske ilman laskinta 572 ja 582, kun tiedetään, että 562 = 3136.

Vinkki: Lähesty ongelmaa lausekkeen (n + 1)2 kautta.

6. Osoita, että jos kolmen peräkkäisen kokonaisluvun tuloon lisätään niistä keskimmäi-nen luku, niin tulokseksi saadaan aina keskimmäisen luvun kuutio. Luvun kuutiollatarkoitetaan lukua korotettuna potenssiin 3.

Vihje: Esimerkiksi luvuille 4, 5 ja 6 se pätee, sillä (4 · 5 · 6) + 5 = 120 + 5 = 125 = 53.

7. Paavo on päättänyt avata sulut ja sieventää lausekkeen x(4x + 3)2 − 9. Hänen ratkai-sunsa etenee seuraavasti.

x(4x + 3)2 − 9= x((4x)2 + 32) − 9= x(16x2 + 9) − 9= 16x3 + 9x − 9.

Hän tarkistaa vastauksensa sijoittamalla muuttujan x paikalle luvun 1 sekä alkuperäi-seen lausekkeeseen että lopputulokseen.

a) Mitä arvoja lausekkeet saavat, kun Paavo tekee sijoituksensa? Mitä Paavo siitäpäättelee?

b) Onko Paavon ratkaisu oikein? Jos ei, niin korjaa Paavon tekemä virhe ja sievennälauseke.

8. Yleinen virhe binomien potensseja sievennettäessä on sieventää seuraavasti: (a+b)2 =

a2 + b2. Tällainen sievennys on lähes aina virheellinen. Millä muuttujien a ja b arvoillasievennys on oikein?

9. Osoita, että (a − b)2< a2 + b2, kun a < 0 ja b < 0.

29

6.3 Polynomien tulo

Määritelmä: Muuttujan x polynomilla tarkoitetaan sellaista lauseketta, joka voidaanmuodostaa muuttujan x monomeista käyttäen yhteen- ja kertolaskuoperaatioita.

Pohdinta 6.21 Mitkä seuraavista lausekkeista ovat polynomeja? Perustele.

a) x2 + 4x

b) 4

c) −x − 2x

d) (x + 6)(x − 3)

e) a2 − 3a + 1

f) x5

g) 5x

h) 5x+54x

Lause 6.22 Kaikki muuttujan x polynomit voidaan esittää muodossa a0+a1x+a2x2+

. . . + anxn, missä kertoimet a0, a1, . . . , an ovat vakioita ja n on luonnollinen luku.

Määritelmä: Lauseen 6.22 mukaisessa muodossa a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn olevanpolynomin muodostavia monomeja akx

k kutsutaan polynomin termeiksi. Luku ak

on termin kerroin ja xk sen kirjainosa. Termiä, jossa ei ole muuttujaosaa lainkaan(eli termiä a0), kutsutaan vakiotermiksi. Termin asteluku on muuttujan x eksponentti.Polynomin asteluku on sen korkeinta astetta olevan termin asteluku.

Esimerkki 6.23 Polynomin x2 + 4x− 3 asteluku on 2 ja sen termejä ovat x2, 4x ja −3.

Huomautus: Polynomi, jossa on täsmälleen yksi termi on monomi ja polynomi,jossa on täsmälleen kaksi termiä on binomi. Polynomia, jossa on täsmälleen kolmetermiä kutsutaan trinomiksi.

30

Pohdinta 6.24 Laske polynomien x2 + 8x − 4 ja 3x3 − 2x2 + 8x − π

a) summa

b) erotus.

Miksi termien samanmuotoisuuden ymmärtäminen on tärkeää polynomien yhteen-ja vähennyslaskussa?

Polynomien yhteenlaskussa polynomit kirjoitetaan peräkkäin ja samanmuotoiset ter-mit yhdistetään. Polynomien vähennyslaskussa toimitaan samalla tavalla kuin yhteen-laskussa, mutta vähennettävän polynomin eteen tulee miinusmerkki ja lauseke sieven-netään.

Esimerkki 6.25 Olkoon P(x) = 5x2 + 2x − 4 ja Q(x) = −4x3 + 4x2 + 2x. Nyt

P(x) +Q(x) = (5x2 + 2x − 4) + (−4x3 + 4x2 + 2x)

= 5x2 + 2x − 4 − 4x3 + 4x2 + 2x

= −4x3 + 9x2 + 4x − 4

ja

P(x) −Q(x) = (5x2 + 2x − 4) − (−4x3 + 4x2 + 2x)

= 5x2 + 2x − 4 + 4x3 − 4x2 − 2x

= 4x3 + x2 − 4.

Pohdinta 6.26 a) Selvitä lukujen a + b ja c + d tulo geometrisesti. Se saadaansellaisen suorakulmion pinta-alana, jonka kanta on a + b ja korkeus on c + d.

b) Selvitä samalla tavalla lukujen a + b + c ja d + e tulo.

Kahden polynomin tulo muodostetaan niin, että kerrotaan ensimmäisen polynominjokainen termi toisen polynomin jokaisella termillä ja lasketaan tulot yhteen.

31

Mallitehtävä 6.27 Olkoon P(x) = 3x2 − 4x + 7 ja Q(x) = −2x2 − 3x + 9. Selvitäpolynomien tulo P(x)Q(x).

TAPA 1 Polynomien P(x) ja Q(x) tulo on

P(x)Q(x) = (3x2 − 4x + 7)(−2x2 − 3x + 9)

= −6x4 − 9x3 + 27x2 + 8x3 + 12x2 − 36x − 14x2 − 21x + 63

= −6x4 + (−9 + 8)x3 + (27 + 12 − 14)x2 + (−36 − 21)x + 63

= −6x4 − x3 + 25x2 − 57x + 63.

TAPA 2 Polynomien tulo voidaan laskea myös taulukon avulla. Aloitetaan kirjoit-tamalla polynomin P(x) jokainen termi erikseen ensimmäiselle riville ja kirjoitetaanpolynomin Q(x) termit ensimmäiseen sarakkeeseen.

3x2 −4x 7−2x2

−3x9

Seuraavaksi täytetään taulukko kertomalla keskenään jokainen ensimmäisen rivinja sarakkeen termi.

3x2 −4x 7−2x2 −6x4 8x3 −14x2

−3x −9x3 12x2 −21x9 27x2 −36x 63

Lasketaan yhteen edellisessä vaiheessa saadut termit. Samanmuotoiset termit ovataina samalla vinorivillä ja ne on korostettu ylläolevassa taulukossa väreillä. Tämävoi auttaa termien yhdistämisessä. Nyt siis polynomien tulo on

P(x)Q(x) = −6x4−9x3+8x3+27x2+12x2−14x2−36x−21x+63 = −6x4−x3+25x2−57x+63.

32

Tehtävät

10. Esitä seuraavat polynomit lauseen 6.22 mukaisessa muodossa.

a) (2x + 3x)(−x + 2)

b) x2(x + 3)

c) (x+3)(x−4)

12

11. Sievennä lausekkeet.

a) (3a + 5)(−3a − 5)

b) 2(9x − 4)(3x2 + 2x − 1)

c) 7 − (2b − 1)(b − 2)(b + 4)

d) 2x(3x − 2)

e) (√

3 + 5)(√

3 − 5)

12. Ratkaise yhtälöt.

a) x2 + 5x − 6 = (x − 4)(x + 2)

b) (x + 1)(x + 2) − (x + 5)(x − 2) = 6x

13. Ratkaise epäyhtälö 5x(x + 4) < (5x + 3)(x − 2).

14. Laske polynomien P(x) = 3x2 − 10 ja Q(x) = x2 − 3x + 2

a) summa

b) erotus

c) tulo.

15. Johda binomikaava lausekkeelle (a + b)3 käyttämällä muita binomikaavoja ja/taipolynomien tuloa.

16. Pascalin kolmioksi kutsutaan luvuista muodostuvaa kolmiota, jonka kärjessä jamolemmilla reunoilla jokainen luku on 1. Muut luvut ovat kahden yläpuolella olevanluvun summia. Kolmion rivit numeroidaan ylhäältä alkaen luvusta n = 0. Alla onPascalin kolmion rivit 0 − 3.

n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1

33

a) Kopioi Pascalin kolmio vihkoosi ja jatka sitä riviin n = 6 saakka.

b) Vertaa Pascalin kolmion riviä n = 2 lausekkeen (a + b)2 binomikaavaan. Vertaasitten riviä n = 3 tehtävässä 15 johdettuun lausekkeen (a + b)3 binomikaavaan.Mitä huomaat?

c) Päättele Pascalin kolmion avulla binomikaava lausekkeelle (a + b)6.

17. Avaa lausekkeista sulkeet edellisen tehtävän avulla.

a) (2x + 3)3

b) (−2x + 4)4

c) (x + 2)5

34

6.4 Polynomin jakaminen tekijöihin

Tulevissa kappaleissa tullaan oppimaan toisen ja korkeamman asteen yhtälöiden jaepäyhtälöiden ratkaisemista. Ne hallitakseen täytyy osata jakaa polynomi tekijöihin jasitä käsittelemme tässä luvussa.

Määritelmä: Polynomin jakaminen tekijöihin tarkoittaa polynomin esittämistä sel-laisten polynomien tulona, joiden asteluku on mahdollisimman pieni.

Tekijöihin jako voidaan tehdä tilanteesta riippuen neljällä eri menetelmällä tai niidenyhdistelmillä. Ne ovat

1. yhteisen tekijän ottaminen

2. binomikaavojen soveltaminen

3. ryhmittely

4. tekijöihin jako polynomin nollakohtien avulla.

Yleensä näitä menetelmiä kannattaa soveltaa edellä olevassa järjestyksessä. Käydääntässä kappaleessa läpi kolme ensimmäistä menetelmää. Tekijöihin jako polynomin nol-lakohtien avulla käydään läpi myöhemmin.

35

6.4.1 Yhteisen tekijän ottaminen

Yhteisen tekijän ottaminen on polynomien kertolaskuun nähden käänteinen toimenpi-de. Siinä sovelletaan jo aiemmin tutuksi tullutta osittelulakia a(b + c) = ab + ac, muttatoiseen suuntaan kuin polynomien kertolaskussa. Nyt siis alkutilanne on ab + ac ja sii-tä otetaan yhteiseksi tekijäksi a, jolloin saadaan a(b + c). Lakia voidaan soveltaa myösuseampaan kuin kahteen termiin, jos niissä kaikissa on yhteinen tekijä.

Mallitehtävä 6.28 Jaetaan seuraavat polynomit tekijöihin ottamalla niistä yhteinentekijä. Yhteinen tekijä on korostettu värillä.

a) 3x2 + 5x = x · 3x + x · 5 = x(3x + 5)

b) 6x + 15 = 3 · 2x + 3 · 5 = 3(2x + 5)

c) −6bx− 10cx+ 2x = x · (−6b)+ x · (−10c)+ x · 2 = x(−6b− 10c+ 2) = x(2 · (−3b)+2 · (−5c) + 2 · 1) = x(2(−3b − 5c + 1)) = 2x(−3b − 5c + 1)

d) (x−1)4+ (x−1)3 = (x − 1)3 · (x−1)+ (x − 1)3 ·1 = (x − 1)3(x−1+1) = (x − 1)3x =x(x − 1)3

Nyt siis a)-kohdassa yhteinen tekijä on x, b)-kohdassa yhteinen tekijä on 3, c)-kohdassa yhteinen tekijä on 2x ja d)-kohdassa yhteinen tekijä on (x − 1)3. Huomaa,että tekijöihin jako on joka kohdassa suoritettu loppuun asti, sillä lauseke on tulo-muodossa eikä sen tekijöitä voi jakaa tekijöihin.

Huomautus: Tekijöihinjako voidaan tarkistaa kertomalla lopputuloksen sulut aukija vertaamalla sitä alkuperäiseen lausekkeeseen.

Esimerkiksi edellisen esimerkin c)-kohdassa 2x(−3b−5c+1) = 2x · (−3b)+2x · (−5c)+2x · 1 = −6bx − 10cx + 2x, joten tekijöihinjako on suoritettu oikein.

6.4.2 Binomikaavojen soveltaminen

Tekijöihinjaossa voidaan käyttää apuna binomikaavoja. Nyt niitä kuitenkin sovelletaanpäinvastaiseen suuntaan kuin kappaleessa 6.2. Tällöin polynomi saadaan tulomuotoonja tekijöiden aste on pienempi kuin alkuperäisen polynomin. Se siis on tekijöihinjaonperiaatteen mukaista. Binomikaavoja ovat

• a2 − b2 = (a + b)(a − b)

• a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ja

• a2 − 2ab + b2 = (a − b)2.

36

Mallitehtävä 6.29 Jaetaan polynomit tekijöihin.

a) x2 − 16 = x2 − 42 = (x + 4)(x − 4)

b) 9x2 + 12x + 4 = (3x)2 + 2 · 2 · 3x + 22 = (3x + 2)2

c) 4x3 − 12x2 + 9x = x(4x2 − 12x + 9) = x((2x)2 − 2 · 3 · 2x + 32) = x(2x − 3)2

6.4.3 Ryhmittely

Joskus tekijöihin jakaessa polynomi täytyy ryhmitellä siten, että jokaisesta ryhmästävoidaan ottaa erikseen yhteinen tekijä. Ryhmittelyn periaate on seuraava:

ax + bx︸ ︷︷ ︸

x on yhteinen tekijä

+ ay + by︸ ︷︷ ︸

y on yhteinen tekijä

= x(a + b) + y(a + b)︸ ︷︷ ︸

(a+b) on yhteinen tekijä

= (a + b)(x + y)

Mallitehtävä 6.30 Jaetaan polynomit x3 − 2x2 + 4x − 8 ja 4s3 + 4s2 − 4s − 4 tekijöihin.

a) x3 − 2x2

︸ ︷︷ ︸

x2 on yhteinen tekijä

+ 4x − 8︸︷︷︸

4 on yhteinen tekijä

= x2(x − 2) + 4(x − 2)︸ ︷︷ ︸

(x−2) on yhteinen tekijä

= (x − 2)(x2 + 4)

b) 4s3 + 4s2 − 4s − 4︸ ︷︷ ︸

4 on yhteinen tekijä

= 4( s3 + s2

︸︷︷︸

s2 on yhteinen tekijä

−1 on yhteinen tekijä︷︸︸︷

−s − 1 )

= 4[s2(s + 1) − 1(s + 1)︸ ︷︷ ︸

(s+1) on yhteinen tekijä

]

= 4(s + 1) (s2 − 1)︸ ︷︷ ︸

Sovelletaan binomikaavaa

= 4(s + 1)(s + 1)(s − 1)= 4(s + 1)2(s − 1)

37

Pohdinta 6.31 Toisen asteen polynomi voidaan usein jakaa kahdeksi ensimmäisenasteen tekijäpolynomiksi. Esimerkiksi x2 + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2).

Olkoon toisen asteen polynomi muotoa P(x) = x2 + bx + c, missä b ja c ovat koko-naislukuvakioita.

a) Pohdi, millaisia ehtoja löydät vakioille b ja c, kun polynomin tekijöihin jaettumuoto on P(x) = (x +m)(x + n), missä m ja n ovat kokonaislukuvakioita.

b) Jaa seuraavat polynomit tekijöihin löytämiesi ehtojen avulla.

(i) x2 + 7x − 18

(ii) x2 − 10x + 24

(iii) x2 + 4x + 2

c) Millä tavalla ehdot muuttuvat, jos polynomin P(x) toisen asteen termillä onkokonaislukukerroin a , 1?

d) Jaa tekijöihin polynomi 3x2 + 2x − 8.

38

Tehtävät

18. Aliisa ja Jenni ovat ratkaisseet saman yhtälön kahdella eri tapaa.

Aliisan ratkaisu: Jennin ratkaisu:

4x + 16 = 4(3x + 2) 4x + 16 = 4(3x + 2)

4(x + 4) = 4(3x + 2) || : 4 4x + 16 = 12x + 8 || − 12x

x + 4 = 3x + 2 || − 3x −8x + 16 = 8 || − 16

−2x + 4 = 2 || − 4 −8x = −8 || : (−8)

−2x = −2 || : (−2) x = 1

x = 1

a) Aliisa ja Jenni tekivät erilaiset ensimmäiset vaiheet. Ovatko molempien ratkaisuthyviä? Perustele.

b) Miksi voi olla hyödyllistä osata kaksi erilaista tapaa ratkaista tehtävänkaltaisiayhtälöitä?

19. Jaa polynomit tekijöihin.

a) x2 − 92

b) 3x3 + 12x2 + 2x + 8

20. Netta on tehnyt matematiikan tunnilla tehtävän, jossa täytyy jakaa tekijöihin lausekex3 − 2x2 + 3x − 6. Hänen ratkaisunsa etenee seuraavasti:

x3 − 2x2 + 3x − 6

= x · x · x − 2 · x · x + 3 · x − 3 · 2= x2(x − 2) + 3(x − 2)

= (x2 + 3)(x − 2)

Onko Netta ratkaissut tehtävän oikein? Selitä lyhyesti rivi riviltä, miten Netan ratkaisuetenee.

21. Eräs suorakulmion muotoinen kaupunginosa muodostuu keskenään yhtäsuuristasuorakulmaisista kortteleista. Korttelien pidemmän sivun pituus on 150 metriä ja mer-kitään lyhemmän sivun pituutta metreinä kirjaimella a. Tällöin koko kaupunginosanpinta-ala on 3a2 + 450a neliömetriä.

39

a) Jaa kaupunginosan pinta-ala tekijöihin.

b) Kuinka monta korttelia kaupunginosassa on? Piirrä kuva kaupunginosasta kort-teleineen.

c) Mikä on kortteleiden lyhemmän sivun a pituus?

40

7 Opettajan opas

Tässä oppaassa on ajankäyttösuunnitelma sekä oppimateriaalin tehtäviin liittyviä vink-kejä opettajalle.

7.1 Ajankäyttösuunnitelma

Tuntijako on tehty 45 minuutin oppitunneille. Suunnitelma on ohjeellinen ja on opet-tajan vastuulla päättää, miten painottaa kutakin aihealuetta.

• Lauseke (1 h)

• Binomikaavat (1,5 h)

• Polynomien tulo (2 h)

• Tekijöihin jako (1,5 h)

7.2 Opas pohdintatehtäviin

Tässä osiossa käydään läpi pohdintatehtävien ratkaisut ja annetaan vinkkejä opettajalleniiden läpikäymiseen. Pohdintatehtävät voidaan tehdä esimerkiksi ryhmissä ja niihinon suunniteltu käytettäväksi aikaa noin 10-15 minuuttia tehtävää kohti. Tehtäviin voiolla muitakin ratkaisuja kuin tässä esitetyt. Opettaja voi hyvin esittää vaihtoehtoisiaratkaisuja kirjantekijän ratkaisujen sijaan tai niiden lisäksi. Tehtävät on jaoteltu kappa-leittain oppimateriaalin mukaan.

7.2.1 Opas kappaleeseen 6.1: Lauseke

Pohdinta 6.12

Tehtävän tarkoituksena on käydä läpi yleisiä virheitä, joita sieventäessä voi sattua jokohuolimattomuuden tai ymmärtämättömyyden vuoksi.

a) Väärin, sillä monomit on laskettu yhteen, vaikka ne eivät ole samanmuotoisia.

b) Oikein.

c) Väärin. 12x−66= 2x − 1

d) Väärin, sillä summasta ei voi supistaa lukua 4. 12+44= 4

e) Väärin, sillä summasta ei voi supistaa muuttujaa x.

f) Oikein.

41

Pohdinta 6.13 Puumallin ajatuksena on havainnollistaa opiskelijoille lausekkeen ra-kenteen hierarkisuus ja osoittaa, että on olemassa vaihtoehtoisia tapoja esittää ma-tematiikkaa. Pohdintatehtävän voi tehdä joko yksin tai ryhmissä. Pohdintatehtävänlisäksi opiskelijoiden kanssa voi tehdä ryhmätehtävän, jonka periaate käydään tässäläpi.

Jaa oppilaat viiden hengen ryhmiin. Jokainen ryhmän jäsen saa paperilapun, jossa onjoko lauseke tai lausekkeen esitys puumallissa. Jos oppilaalla on lapussaan lauseke, hä-nen tulee muuttaa se puumalliesitykseksi. Jos paperissa on puumalliesitys, hänen tuleemuuttaa se lausekkeeksi. Kun kaikki ovat valmiita, taitetaan lappu niin, että vain vas-taus jää näkyviin. Laput annetaan eteenpäin ja nyt seuraavan oppilaan on tehtävä jokopuumalliesitys tai lauseke edellisen vastauksen perusteella. Jälleen paperi käännetäänniin, että ainoastaan viimeisin vastaus jää näkyviin. Tätä jatketaan, kunnes laput ovatkiertäneet kokonaisen kierroksen. Sitten laput avataan yksi kerrallaan ja verrataan vii-meistä vastausta ja alkuperäistä esitystä. Annetaan jokaisen lapun avaamisen jälkeenlyhyt aika keskustella mahdollisista eroavaisuuksista ja niiden syistä. Lapuissa voi ollaesimerkiksi seuraavat lausekkeet ja puumalliesitykset:

a) 3y(2x + 5 + 4)

b) 5a−122

c) 6x2 + 4xy − 1

d)

3−3

5 a 3 b

·

+ +

· ·

e)

π4b

2 a

+

· +

·

7.2.2 Opas kappaleeseen 6.2: Binomikaavat

Pohdinta 6.16

a) Kaavan (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 geometrinen esitys näyttää tältä:

42

b2ab

a2 aba

b

a b

b) Kaavan (a + b)(a − b) geometrinen esitys näyttää tältä, kun a > 2b.

b2b2x

aba(a − b)a

b b

a − b

a

b

a

Nyt kirjaimella x merkitty alue on x = b(a−b−b) = b(a−2b) = ab−2b2, kun a > 2b.

Nyt siis sinisellä merkityn alueen ala on

(a + b)(a − b) = a(a − b) + b2 + x

= a2 − ab + b2 + ab − 2b2

= a2 − b2.

Siis (a + b)(a − b) = a2 − b2.

c) Kaavan (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 geometrinen esitys näyttää tältä, kun a > 2b.

43

b2b

a

a − b

b

a − b

b

x

x(a − b)2

a

Nyt kirjaimella x merkityn alueen ala on x = (a − b)b = ab − b2.

Lisäksi koko neliön ala on a2 = (a − b)2 + b2 + 2x. Tästä voidaan ratkaista siniselläväritetty ala ja sijoittaa aiemmin ratkaistu x, jolloin

(a − b)2 = a2 − b2 − 2x

= a2 − b2 − 2(ab − b2)

= a2 − b2 − 2ab + 2b2

= a2 − 2ab + b2.

Siis (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Kohdat b) ja c) ovat haastavia, sillä niissä täytyy vähentää luvusta a luku b, joka onmelko hankala visualisoida suorakulmioiden avulla. Ne ovat kuitenkin hyviä eriyttäviätehtäviä ja opettaja voi antaa vinkkejä tukea tarvitseville opiskelijoille tarpeen mukaan.

Tehtävän kohdat b) ja c) voi tehdä myös sallimalla neliön sivuille ja pinta-aloille miinus-merkkisiä arvoja, kuten −b. Tällöin geometrinen esitys yksinkertaistuu, mutta ongel-maksi muodostuu negatiivisten lukujen käsitteleminen pinta-alojen yhteydessä. Laa-jennus miinusmerkkisiin arvoihin voidaan kuitenkin tehdä. Lisätietoa aiheesta löytyyJeff Suzukin artikkelista Modern Geometric Algebra: A (Very Incomplete!) Survey [17].

Pohdinta 6.17 Tehtävän pitäisi olla melko suoraviivainen. Potenssien kirjoittaminentulona voi auttaa osaa opiskelijoista pääsemään alkuun. Tämän ja edellisen pohdinta-tehtävän yhteydestä on tärkeä käydä keskustelua tai pohdintaa, jotta yhteys binomi-kaavojen algebrallisen ja geometrisen esityksen välillä selkeytyy.

7.2.3 Opas kappaleeseen 6.3: Polynomien tulo

Pohdinta 6.21

44

Tehtävän tarkoituksena on tunnistaa, mitkä lausekkeista on muodostettu monomeistakäyttäen vain yhteen- ja kertolaskuoperaatioita.

a) Lauseke on polynomi, sillä se on monomien summa.

b) Lauseke on polynomi, sillä se on monomi.

c) Lauseke on polynomi, sillä se on monomien summa.

d) Lauseke on polynomi, sillä se on monomien summien tulo.

e) Lauseke on polynomi.

f) Lauseke on polynomi, sillä se voidaan esittää muodossa 15x, joka on monomi.

g) Lauseke ei ole polynomi, sillä sitä ei voi muodostaa monomeista yhteen- ja ker-tolaskun avulla.

h) Lauseke ei ole polynomi, sillä sitä ei voi muodostaa monomeista yhteen- ja ker-tolaskun avulla.

Pohdinta 6.24 Pohdintatehtävän tarkoitus on varmistaa, että polynomien summa jaerotus ovat hallussa. Tehtävässä myös harjoitellaan monomien yhteenlaskua, jota tar-vitaan jatkuvasti jatkossa.

a) Polynomien summa on 3x3 − x2 + 16x − π − 4

b) Polynomien erotus on −3x3 + 3x2 + π − 4

Pohdinta 6.26

a) Lausekkeen (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd geometrinen esitys näyttää tältä:

a

b

c d

bc

ac

bd

ad

45

b) Lausekkeen (a+ b+ c)(d+ e) = ad+ ae+ bd+ be+ cd+ ce geometrinen esitys näyttäätältä:

a

b

c

d e

ad ae

bd be

cd ce

7.2.4 Opas kappaleeseen 6.4: Polynomin jakaminen tekijöihin

Pohdinta 6.31 Tekijöihin jako voi olla haastavaa opiskelijoille. Vaikka tekijöihin jakovoidaan tehdä kokeilemalla ja usein vain näkemällä sopivia yhtäläisyyksiä, niin kuiten-kin joitain sääntöjä voidaan muotoilla. Tämän tehtävän tarkoituksena on pohtia näitäsääntöjä.

a) Ehto vakiolle c on c = mn eli se on lukujen m ja n tulo. Ehto vakiolle b on b = m+neli se on lukujen m ja n summa.

Ehdot saa selville esimerkiksi avaamalla sulut lausekkeesta (x +m)(x + n) = x2 +

mx + nx + mn = x2 + (m + n)x + mn ja vertaamalla sitä polynomin alkuperäiseenmuotoon.

b) Tehtävät ratkeavat esimerkiksi selvittämällä ensin kaikki kertoimen c mahdollisettekijät ja kokeilemalla, sopivatko tekijät kertoimen b ehtoon.

(i) −18 = 9 · (−2) ja 7 = 9 + (−2), joten x2 + 7x − 18 = (x − 2)(x + 9).

(ii) 24 = −4 · (−6) ja −10 = −6 + (−4), joten x2 − 10x + 24 = (x − 6)(x − 4)

(iii) Luvun 2 tekijöitä ovat 1 ja 2 sekä −1 ja −2. Kummankaan tekijäparin summaei ole 4, joten lauseketta x2 + 4x + 2 ei voi jakaa tekijöihin.

c) Tilanne on paljon monimutkaisempi, jos toisen asteen termillä on myös kerroin.Tekijöihin jaetussa muodossa voi nyt myös muuttujilla x olla kertoimet. Näidenkertoimien tulon on oltava a. Myöskään kertoimelle b ei enää päde aiemmin mää-ritetty ehto. Kertoimelle c aiempi ehto kuitenkin yhä pätee. Tämän pidemmälle eitarvitse mennä, sillä ehtojen formalisoiminen olisi työlästä. Riittää, että opiskelijatpohtivat asiaa ja huomaavat eron aiempaan tilanteeseen.

d) Luvulle c saadaan mahdolliset tekijäparit (−1, 8), (1,−8), (−2, 4) ja(2)(−4). Koskatoisen asteen kerroin on 3, niin tekijöihin jaetun lausekkeen on oltava muotoa(3x +m)(x + n).

46

Kokeilemalla kertoimen c tekijöitä huomataan, että (3x − 4)(x + 2) = 3x2 + 2x − 8.

47

Harjoitustehtävien vastaukset

2.b) 15, 50 euroac) 18, 60 euroa

3.a) 12x3 − 12xb) 2ab + 3ac) 2x2 − 2cx

4.a) 998001b) 1020100c) 9975

5.a) 3249b) 3364

7.a) 40 ja 16

8. Kun a = 0 ja b = 0.

10.a) −5x2 + 10xb) x3 + 3x2

c) 112

x2 − 112

x − 1

11.a) −9a2 − 30a − 25b) 54x3 + 12x2 − 34x + 8c) −2b3 − 3b2 + 18b − 1d) 6x2 − 4xe) −22

12.a) x = − 2

7

b) x = 2

48

13. x < − 29

14.a) 4x2 − 3x − 8b) 2x2 + 3x − 12c) 3x4 − 9x3 − 4x2 + 30x − 20

15. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

16. a)

n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 5 10 10 5 1n = 6 1 6 15 20 15 6 1

19.a) (x + 3)(x − 3)b) (x + 4)(3x2 + 2)

21.a) 3a(a + 150) neliömetriäb) 5 kortteliac) 100 metriä

49

Lähdeluettelo

[1] Aksu, Z., Ozkaya, M., Gedik, S. D. & Konyalioglu, A. C. (2016). Mathematics Self-efficacy and Mistake-handling Learning as Predictors of Mathematics Anxiety.Journal of Education and Training Studies, 4: 8, 65–71

[2] Alatupa, S., Hassinen, S., Hemmo, K., Leikas, M., Taskinen, T. & Tolonen, T. (2009).Sigma 2. Polynomifunktiot. Lukion pitkän matematiikan oppikirja. Tammi. 1. painos.

[3] Bollström-Huttunen, M., Hakkarainen, K., Lonka, K. & Pyysalo, R. (2005) Tutkivaoppiminen käytännössä. Matkaopas opettajille. Helsinki: WSOY

[4] Cuoco, A., Goldenberg, E. P. & Mark, J. (1996). Habits of Mind: An OrganizingPrinciple for Mathematics Curricula. The Journal of Mathematical Behavior, 15, 375–402.

[5] Durkin, K., Star, J. R. & Rittle-Johnson, B. (2017) Using comparison of multiplestrategies in the mathematics classroom: lessons learned and next steps. ZDMMathematics Education, 49. 585–597

[6] Ely, R., Adams A. E. (2012). Unknown, Placeholder, or Variable: What Is ’X’?Mathematics Education Research Journal 24: 1, 19–38.

[7] Kangasaho, J., Mäkinen, J., Oikkonen, J., Paasonen, J., Salmela, M. & Tahvanai-nen, J. (2004). Pitkä matematiikka 2. Polynomifunktiot. Lukion pitkän matematiikanoppikirja. WSOY. 1. painos.

[8] Koban, L. & Sisneros-Thiry, S. (2014). Consequences of FOIL for undergraduates.International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 46: 2, 205-222.

[9] Kontkanen, P., Liira, R., Luosto, K., Nurmi, J., Nurmiainen, R., Ronkainen, A. &Savolainen, S. (2005). Pyramidi 2. Lukion pitkä matematiikka. Polynomifunktiot. Lukionpitkän matematiikan oppikirja. Tammi. 1.-4. painos.

[10] LUMA Suomi –kehittämisohjelma. (2015). Joustava yhtälönratkaisu. MatemaattinenOhjelmointi ja Yhtälönratkaisu.

[11] Merlin, E. M. (2013). Teaching Structure in Algebra. The Mathematics Teacher, 107:4, 292–297

[12] O’Neil, M. C. (2006). Multiplying Polynomials. The Mathematics Teacher, 99: 7, 508–510.

[13] Opetushallitus. (2015). Lukion opetussuunnitelman perusteet.

[14] Rowlett, J. E. (2011) Constructive FAILURE in Mathematics Classes Principal Lea-dership, 11: 8, 36-39

[15] Stylianides, A. J. (2006). The Notion of Proofs In The Context of Elementary SchoolMathematics. Educational Studies in Mathematics, 65, 1–20.

50

[16] Suwito, A., Yuwono, I., Parta, I. N., Irawati, S. & Oktavianingtyas, E. (2016). SolvingGeometric Problems by Using Algebraic Representation for Junior High SchoolLevel 3 in Van Hiele at Geometric Thinking Level. International Education Studies,9: 10, 27–33

[17] Suzuki, J. (2009). Modern Geometric Algebra: A (Very Incomplete!) Survey. TheMathematics Teacher, 103: 1, 26–33.

[18] Ylioppilastutkintolautakunta. (2018). Matematiikan koe. Pitkä oppimäärä. Kevät 2018.

[19] Ylioppilastutkintolautakunta. (2018). Tiedote matematiikan opettajille ja opiskelijoille:matematiikan digitaalinen ylioppilaskoe.

[20] Ylä-Anttila A. (2016). Lukion hintalappu on 2000 euroa – Sähköisistä oppikirjoista eikustannushyötyä. https://yle.fi/uutiset/3-9079105. Viitattu 26.4.2018.

51