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Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
1
Polytech’MontpellierDépartement MicroElectronique &
Automatique
Systèmes Electroniques Analogiques III
Chapitre II : Filtrage Analogique 2
Synthèse de filtres d’ordre supérieur à 2
Pascal Nouet / 2009-2010
Filtrage Analogique 2
• Rappels & compléments
• Synthèse de filtres d’ordre supérieur à 2– Filtres à amortissement critique
– Filtres de Butterworth
– Filtres de Chebyshev
– Filtres elliptiques
2
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
2
Rappels & compléments
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0,5f0 f0 2f0
Récupérer la raie centrale => Atténuation des raies latérales
3
Rappels & compléments
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-6dB
0,5f0 f0 2f0
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-18dB
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-12dB
0,5f0 f0 2f0
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-24dB
Filtrage => Atténuation des raies latérales + déphasage (retard ou avance)
4
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
3
Rappels & compléments
• Un filtre est défini par sa fonction de transfert F(p) qui permet de connaître– La réponse temporelle
X(t) -> Y(t) avec Y(t)=L-1[F(p).X(p)]
– La réponse harmonique (p=jω)
• Module et argument pour représenter la réponse harmonique d’un filtre
• Gabarit pour représenter les spécifications d’un filtre
• Un filtre est dit linéaire s’il ne fait apparaître aucune composante spectrale dans le signal de sortie
5
Rappels & compléments : gabarits
• Passe-bas
– Caractéristique dans la bande passante (ωc)
• Atténuation ou ondulation max : Ap
– Caractéristique dans la bande atténuée (ωs)
• Atténuation min : As
– Bande de transition <-> ordre du filtre
0-Ap
-As
ωc ωs ω
dBjH )( ω
cω sωcsωωcω sωcsωω
6
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
4
Rappels & compléments : gabarits
• Passe-bas
• Passe-haut
0-Ap
-As
ωc ωs ω
dBjH )( ω
cω sωcsωωcω sωcsωω
0-Ap
-As
ωs ωc ω
dBjH )( ω
sω cωcsωωsω cωcsωω
7
Rappels & compléments : gabarits
• Passe-bande
– Deux bandes atténuées
– Symétrie géométrique => Bande de transition identiques (échelle log)synthèse à l’aide de passe-bande élémentaires
– Pas de symétrie => passe-haut plus passe-bas
1sω 2sω21 cc ωω
0-Ap
-As
ωs1 ωc1 ωc2 ωs2 ω
dBjH )( ω
1sω 2sω21 cc ωω
8
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
5
Rappels & compléments : gabarits
• Passe-bande
• Réjecteur
0-Ap
-As
ωc1 ωs1 ωs2 ωc2 ω
dBjH )( ω
1cω 2cω21 ss ωω1cω 2cω21 ss ωω
1sω 2sω21 cc ωω
0-Ap
-As
ωs1 ωc1 ωc2 ωs2 ω
dBjH )( ω
1sω 2sω21 cc ωω
9
Chapitre II : filtrage analogique 2
• Rappels & compléments
• Synthèse de filtres d’ordre supérieur à 2– Filtres à amortissement critique
– Filtres de Butterworth
– Filtres de Chebyshev
– Filtres elliptiques
10
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
6
Filtres à amortissement critique
• Réalisation d’un filtre passe-bas d’ordre n par association de n cellules du premier ordre identiques
2/22 )1(1
)()1(
1)( nn jF
ppF
ωαω
α +=⇒
+=
( ) )1log(10)1(log20)( 222/22 ωαωαω +⋅×−=+−= njF n
dB
Il faut calculer n et αααα nombre de cellules et constante de temps
11
Filtres à amortissement critique
-Ap
-3n
-As
ωc ωs ωdBjF )( ω α
1
-20n dB/décade
0
)1log(10)( 22ωαω +−= njFdB
12
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
7
Filtres à amortissement critique
• Equation n°1 : α est déduit de ωc et de Ap
0-Ap
-As
ωc ωs ωdB
jF )( ωn
A
c
p1022 101 =+⇒ ωα
1101 10 −=⇒ n
A
c
p
ωα
110 1022 −=⇒ nA
c
p
ωα
pcdBc AnjF −=+−= )1log(10)( 22ωαω
13
sc
snA
Anp
−=
−+−⇒2
210 1101log10
ωω
Filtres à amortissement critique
• Equation n°2 : on utilise l’expression de α pour calculer le gain en fin de bande de transition
0-Ap
-As
ωc ωs ωdB
jF )( ω
ssdBs AnjF −=+−= )1log(10)( 22ωαω
14
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
8
Filtres à amortissement critique : calcul d’un passe-bas
• 1ère étape : on calcule l’atténuation obtenue pour différentes valeurs de n et on retient une valeur « suffisante » pour obtenir une atténuation au moins égale à As en limite de bande de transition.
• 2ème étape : on calcule alors la constante de temps des n sections de premier ordre
• et la fonction de transfert souhaitée
• Le filtre nécessaire est composé de n cellules du premier ordre de constante de temps égale à αααα.
nppF
)1(
1)(
α+=
1101 10 −=⇒ n
A
c
p
ωα
15
Filtres à amortissement critique :Exemple
• Pulsation de coupure : ωc = 103 rd/s (Ap=3dB)
• Bande atténuée : ωs= 5.103 rd/s (As=30dB)
• On calcule la valeur de l’atténuation en limite de bande de transition pour différentes valeur de n
5et 3 avec 1101log10 2
210 ==
−+c
sp
c
snA
Anp
ωω
ωω
2 4 5 10 20 32 64 1001 6,99 12,30 14,15 20,04 26,03 30,11 36,12 40,002 8,49 17,65 21,10 32,55 44,44 52,57 64,60 72,353 9,29 21,38 26,25 42,94 60,63 72,80 90,83 102,454 9,79 24,20 30,33 51,97 75,39 91,58 115,59 131,095 10,14 26,44 33,69 60,03 89,08 109,27 139,27 158,636 10,39 28,27 36,52 67,33 101,93 126,11 162,07 185,30
c
s
ωω
n
16
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
9
Filtres à amortissement critique :Exemple
• On peut alors calculer la constante de temps des 4 sections du premier ordre
• Et en déduire la fonction de transfert souhaitée pour le passe-bas
• Il faut quatre cellules du premier ordre de constante de temps égale à 434 µs
46 )10.4341(1
)(p
pF −+=
µscc
nA
c
p
434434,0
1101
1101 40
310 =⇒=−=−= α
ωωωα
17
G (dB )
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
Filtres à amortissement critique :Exemple
46 )10.4341(1
)(p
pF −+=
16
. 230010.434
1 −− ≅ srad
18
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
10
Filtres à amortissement critique :calcul d’un passe-haut
-Ap
-3n
-As
ωs ωc ωdBjF )( ω '
1α
+20n dB/décade
0
( )n
n
p
ppF
)'1(
')(
⋅+⋅=
αα
19
Filtres à amortissement critique :calcul d’un passe-haut
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
100 1000 10000 100000α1
-Ap
( )n
n
p
ppF
)1()(
⋅+⋅=
αα
nppF
)1(
1)(
⋅+=
α
)(
/1
/1
)(
pb
ph
c
c
ωα
αω =
20
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
11
Filtres à amortissement critique :calcul d’un passe-haut
0-Ap
-As
ωc ωs ω
dBjH )( ω
0-Ap
-As
ωs ωc ω
dBjH )( ω
conservéssont sp AetA
)(1
)('pb
phc
c ωαωα
⋅=⋅
α1
'1α
)()(
)()(
pb
pb
ph
ph
c
s
s
c
ωω
ωω =
Sélectivité identique
21
Filtres à amortissement critique :calcul d’un passe-haut
• 1ère étape : transposition du filtre passe-haut
• Exemple :
• 2ème étape : calcul du filtre transposé (passe-bas)– Ordre du filtre nécessaire : n– Calcul de αααα.ωωωωc(pb)
• 3ème étape : calcul de la constante de temps du filtre passe-haut
)()(
1'
phpb cc ωωαα
⋅⋅=
identiques sp AetA
)()(
)()(
pb
pb
ph
ph
c
s
s
c
ωω
ωω =
)()( ; )()( phpbphpb sccs ωωωω ==
22
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
12
Exercice
• Calculer la fonction de transfert du filtre à amortissement critique correspondant au gabarit ci-contre.
• Proposer une implantation matérielle pour ce filtre.
0-3
-40
103 104 ω (rd/s)
dBjH )( ω
23
Chapitre II : filtrage analogique 2
• Rappels & compléments
• Synthèse de filtres d’ordre supérieur à 2– Filtres à amortissement critique
– Filtres de Butterworth
– Filtres de Chebyshev
– Filtres elliptiques
24
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
13
Généralités
• On réalise un filtre de Butterworth par la mise en cascade de sections du 2nd ordre avec éventuellement une section du 1er ordre pour les ordres impairs
• Un filtre de Butterworth d’ordre nest de la forme :
• Ou Bn(p) est un polynôme de Butterworth dont les propriétés principales sont :–
– est une fonction strictement croissante
n
n jB
2
0
1)(
+=
ωωω
0pour n 2)( ωωω =∀=jBn
)( ωjBn
25
)()(ou
)(
1)( 0
pB
p
pHpB
pHn
n
phn
pb
==ω
Les polynômes de Butterworth
• Un premier ordre est un filtre de Butterworth
• Butterworth du 2nd ordre
– avec m=0.707 :
20
222
20
22
00
4121)(
ωω
ωω
ωω
ωωω mjj
mjF +
−=
++=
( )122
1)( 22
0
2
40
4
−++= mjFωω
ωωω
4
0
1)(
+=ωωωjF
26
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
14
Les polynômes de Butterworth
• Butterworth du 3ème ordre : une section du 2nd
ordre avec m=0,5 et une section du premier ordre
• Les polynômes Bn(p) principaux avec– 2ème ordre : (1+1.414p’+p’2) – 3ème ordre : (1+p’+p’2) (1+p’)– 4ème ordre : (1+1.848p’+p’2) (1+0.765p’+p’2)– 5ème ordre : (1+1.618p’+p’2) (1+0.618p’+p’2) (1+p’)
• Passe-bas :
=
+−
+=
02
0
2
0
11)(ωω
ωω
ωωω jj
jB
6
0
1
+
ωω
0
'ωωj
p =
)(1
)(pB
pFn
=
27
Synthèse d’un passe-bas
• 3ème ordre avec p=jω/ωc
-12
-9
-6
-3
0
0,1 1 10
1er ordre (dB)2nd ordre (dB)3ème ordre (dB)
)1)(1(1
)( 2 ppppF
+++=
dBpF )(
0ωω
28
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
15
Synthèse d’un passe-bas
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
0,1 1 10
2nd ordre 1 (dB)
2nd ordre 2 (dB)4ème ordre (dB)
)765,01)(848,11(1
)( 22 pppppF
++++=
dBpF )(
0ωω
29
Synthèse d’un passe-bas
• Cas d’un filtre ayant une atténuation maximale de 3 dB dans la bande passante
30
-3dB=-Ap
-As
ωc=ω0 ωs ωdBjF )( ω
-20n dB/décade
0
n
S
SjF2
0
1
1)(
+
=
ωω
ω
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16
Synthèse d’un passe-bas
• On calcule l’ordre du filtre à partir de l’atténuation souhaitée en limite de bande de transition (début de bande d’arrêt)
101log1log20
2
0
2
0
s
n
ss
n
s AA =
+⇒−=
+−
ωω
ωω
−=
⋅⇒=
+⇒ 110loglog2101 10
0
10
2
0
ss As
An
s nωω
ωω
31
−=⇒
0
10
log.2
110log
ωωs
As
n On choisit n comme l’entier immédiatement supérieur…
Exemple
• Pulsation de coupure : ω0 = 103 rd/s (Ap = -3dB)
• Bande atténuée : ωs = 5.103 rd/s (As = -30dB)
• Il suffit de déduire l’ordre nécessaire de l’atténuation souhaitée As et du rapport entre ωωωωs
et ωωωω0
• On choisit l’ordre entier immédiatement supérieur n=3
( )( )
( )( ) 15,25log.2
999log
5log.2
110log
log.2
110log 3
0
10
==−=
−=
ωωs
As
n
32
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
17
Exemple
• Par rapport à l’utilisation de sections du premier ordre :– 3ème ordre suffit - Gain dans la bande plus stable -
Bande de transition plus faible
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
-20
-15
-10
-5
0
5
0 500 1000 1500 2000
Butterworth
4 cellules du 1er ordre
33
Exemple
• avec gain unitaire
+
-Vi
100n
10k
V0
+
-
C1=100nC2=400n
R=5k R=5k
srdc /10001
1
== ωτ
srdCCR
/10001
210 ==ω
121
21
1
2 ===C
C
mQ
34
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
18
1000rd/s 1
0 ==RC
ω
Exemple
• avec gain égal à 2
V0
+
-
5k5k
200n200n
5k 5k
+
-Vi
100n
10k
13
121 =
−==
vAmQ
srdc /10001
1
== ωτ
35
Filtres de Butterworth généralisé
• On souhaite fixer librement l’atténuation dans la bande passante polynôme généralisé
• 1ère étape : calcul de εεεε à ωωωω=ωωωωc donnant une atténuation Ap en limite de bande passante
n
cn jB
2
21)(
+=
ωωεω
( ) 11010
1log1log20 1022 −=⇒=+⇒=+pA
pp
AA εεε
36
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
19
Filtres de Butterworth généralisé
• 2ème étape : on calcule l’ordre du filtre à partir de l’atténuation souhaitée en limite de bande de transition
• 3ème étape : calcul de ω0
101log1log20
2
2
2
2 s
n
c
ss
n
c
s AA =
+⇒=
+
ωωε
ωωε
−
=⇒
−=
⋅⇒=
+⇒
c
s
A
A
c
sA
n
c
s
s
s
s
nn
ωω
ε
εωω
ωωε
log.2
110log
110loglog2101
2
10
2
1010
2
2
n
cnn
c
n
cn jB
εωω
ωωε
ωωεω =⇒=⇒
+= 02
02
22
2 11)(
37
Exemple de synthèse d’un passe-bas dans le cas général (Ap≠3dB)
• Exemple :– Pulsation de coupure : ωc = 103 rd/s (Ap = -1dB)
– Bande atténuée : ωs= 5.103 rd/s (As = -30dB)
• 1ère étape : calcul de ε à ω=ωc
• 2ème et 3ème étape : calcul de n puis calcul de ωωωω0
565,25log.2
110log 2
3
=
−
=ε
n
509,0110 10 =−=pA
ε
srdn
c /12520 ==ε
ωω
38
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
20
Exemple de synthèse d’un passe-bas dans le cas général (Ap≠3dB)
• On utilise alors le polynôme classique pour un ordre 3
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
-20
-15
-10
-5
0
5
0 500 1000 1500 2000
39
Autres types de réponses
• Réponse de type passe-haut– On calcule le passe-bas de même
sélectivité et de même pulsation de coupure
– On détermine ε et n pour le passe-bas
– On calcule alors ω0
– On assemble alors les cellules passe-haut correspondant au polynôme de degré n
• Réponse de type passe-bande et réjecteur– On calcule un filtre passe-bas et un filtre passe-haut
que l’on met en cascade ou en parallèle
nc εωω =0
conservéssont sp AetA
c
s
s
c pb
ph ωω
ωω )(
)(=
40
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21
Exercice : Passe-haut #1
• Calculer la fonction de transfert du filtre de Butterworth correspondant au gabarit ci-dessous.
• Proposer une implantation matérielle pour ce filtre.
0-0,5
-30
1 4 freq. (kHz)
dBjH )( ω
41
Exercice : Passe-bas #1
• Calculer la fonction de transfert du filtre de Butterworth correspondant au gabarit ci-dessous.
• Proposer une implantation matérielle pour ce filtre.
0-0,5
-30
10 50 freq. (kHz)
dBjH )( ω
42
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
22
Exercice : Passe-bas #2
• Calculer la fonction de transfert du filtre de Butterworth correspondant au gabarit ci-dessous.
• Proposer une implantation matérielle pour ce filtre.
0-1
-20
20 80 freq. (kHz)
dBjH )( ω
43
Exercice : Passe-bande #1
• Calculer la fonction de transfert du filtre de Butterworth passe-bande ayant les caractéristiques suivantes :– Bande passante à -3dB : [500Hz ; 2350Hz]
– Gain dans la BP libre
– Bande d’arrêt basse fréquence
• Atténuation de 50dB pour f<150Hz
– Bande d’arrêt haute fréquence
• Atténuation de 50dB pour f>10kHz
• Proposer une implantation matérielle pour ce filtre.
44
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
23
Chapitre II : filtrage analogique 2
• Rappels & compléments– Généralités
– Filtres actifs du 1er ordre
– Filtres actifs du 2nd ordre
• Synthèse de filtres d’ordre supérieur à 2– Filtres à amortissement critique
– Filtres de Butterworth
– Filtres de Chebyshev
– Filtres elliptiques
45
Filtres de Chebyshev
• Il existe deux types de filtres de Chebyshev et donc deux types de fonction de transfert pour des filtres passe-bas :– Chebyshev de type 1 qui
présente des oscillations dans la bande passante ε permets de régler le taux d’ondulation
– Chebyshev de type 2 qui présente des oscillations dans la bande d’arrêt
– Cn(x) est un polynôme spécifique d’ordre n
( )cnC
HjH
ωωεω
220
1)(
+=
( )( )ωωε
ωωεωcn
cn
C
CHjH
2201
)(+⋅=
46
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
24
Filtres de Chebyshev
• Les polynômes de Chebyshev
• Propriétés de ces polynômes– Cn(1) = 1 quel que soit n
– Cn(0) = 0 pour les ordres impairs
– Cn(0) = ±1 pour les ordres pairs
– Oscillations entre ±1 du polynôme entre x=0 et x=1
– augmentation monotone du polynôme pour x>1
xxxC
xxC
xxC
34)(
12)(
)(
33
22
1
−=
−=
=
...
52016)(
188)(35
5
244
xxxxC
xxxC
+−=
+−=
47
Filtres de Chebyshev
• Les polynômes de Chebyshev pour n = 2 à 5
-5
0
5
10
15
20
25
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
2nd ordre3ème ordre4ème ordre5ème ordre
-5
0
5
0,0 0,5 1,0 1,5
48
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25
Filtres de Chebyshevpasse-bas de type 1
• Variations dans la bande passante– ω/ωc ≤ 1 Cn
2(x) est toujours inférieur à 1
• Variations en dehors de la bande passante– ω/ωc > 1 Cn(x) est positif et croissant
( )cnC
HjH
ωωεω
220
1)(
+=
2
00
1)(
εω
+>> H
jHH
( )cnC
HjH
ωωεω
⋅→ 0)(
49
Chebyshev type I : 4ème ordre (-3dB)
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
0,1 1 10
2nd ordre 1 (dB)
2nd ordre 2 (dB)
4ème ordre (dB)
Butterworth (dB)
50
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26
Chebyshev type I : 4ème ordre (-3dB)
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0,1 1 10
2nd ordre 1 (dB)
2nd ordre 2 (dB)
4ème ordre (dB)
Butterworth (dB)
51
Calcul d’un filtre de Chebyshevpasse-bas de type I
• Etape 1 : le taux d’ondulation Ap (en dB) dans la bande passante permet de calculer ε
( )
( )( )( ) 9976,031log10
5089,011log10
3493,05,01log10
1)10(110
2
2
2
202
=⇒=+=⇒=+
=⇒=++
≥≤<⇒≤≤<
εεεε
εεε
dB
dB
dB
HxHxCn
( )cnC
HjH
ωωεω
220
1)(
+=
110 10 −=⇒pA
ε
52
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27
Calcul d’un filtre de Chebyshevpasse-bas de type I
• Etape 2 : détermination de l’ordre du filtre à partir de la largeur de la bande de transition et de l’atténuation requise en limite de bande d’arrêt.
• Solution 1( )( ) srn AC >+⇒ ωε 221log10
c
sr ω
ωω =
( ) gCn
sA
rn =−>⇒2
10 110 que tel chercheOn
εω
( )rn
sC
HjH
ωεω
22
0
1)(
+=
53
Calcul d’un filtre de Chebyshevpasse-bas de type I
• Solution 2, on calcule
• On choisit alors la valeur de n entière et immédiatement supérieure
2
10/ 110
ε
ωωω
−=
=
As
c
sr
g
( )( )1log
1log2
2
−+−+=
rr
ggn
ωω
54
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28
Calcul d’un filtre de Chebyshevpasse-bas de type I
• Exemple :– Pulsation de coupure : ωc = 103 rd/s (Amax=3dB)
– Bande atténuée : ωs= 5.103 rd/s (Amin=30dB)
• 3dB ε=1 :
5
6,31110
2
10min
==
≈−=
c
sr
A
g
ωωω
ε ( )( ) 808,1
1log
1log2
2
=−+−+=
rr
ggn
ωω
gCxxC
CxxC
>=⇒−=
=⇒=
49)5(12)(
5)5()(
22
2
11
55
( )dBjH s 8,33)49log(20
49
2
12521
2)(
2=→=
−×+=ω
Calcul d’un filtre de Chebyshevpasse-bas de type I
• On choisit le polynôme correspondant à n et ε et on effectue le remplacement suivant :
• On vérifie :
708,0645,0
1)( 2
+
+
=
cc
jjjH
ωω
ωω
ω
( )
( )2
2
22
2
2
2
22
2
22
2
2
2
2
22
2
22
2
2
22
121
2
42421
1
708,01
1)(
708,0708,02645,0
1
708,0645,0
1)(
−+
=
++−
=
++−
=
++×−
=
−+
=
ccccc
cccc
jH
jH
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
ω
ωω
ωω
ωω
ωω
ω
⇒→c
jp
ωω
56
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29
Calcul d’un filtre de Chebyshevpasse-bas de type I
• Par rapport à l’utilisation de sections du premier ordre ou d’un filtre de Butterworth:– 2nd ordre suffit - Gain dans la bande moins stable
-20
-15
-10
-5
0
5
0 500 1000 1500 2000
1er ordre(dB)Butterworth (dB)Chebyshev I (dB)
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
1er ordre(dB)Butterworth (dB)Chebyshev I (dB)
57
Calcul d’un filtre de Chebyshevpasse-bas de type I
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
100 1000 10000 100000
1er ordre(dB)
Butterworth (dB)
Chebyshev I (dB)
58
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30
Implantation matérielle
• On part de la fonction de transfert du 2nd ordre
• On fait ensuite apparaître le dénominateur caractéristique d’un 2nd ordre synthétisable
1841,0
767,0841,0
412,1
1708,0645,0
708,01
708,01
)( 22
+
⋅+
⋅
=
+
+
=
cccc
jjjjjH
ωω
ωω
ωω
ωω
ω
708,0645,0
1)( 2
+
+
=
cc
jjjH
ωω
ωω
ω
59
cωω ⋅=⇒ 841,00 304,1767,02 =⇔=⇒ Qm
Implantation matérielle
• Sallen-Key Passe-bas à gain unitaire (Av=1) -
+ VS
RR(Av-1)
RC2RVE
C1
rd/s 19321
841rd/s8,6
11
8,6304,12
1
2
1
1121
0
1
2
1
2
=⇒===
=⇒===
RCRCCCR
C
C
C
C
mQ
ω
nFCnFCkR 3104610 21 =⇒=⇒Ω=
60
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31
Implantation matérielle
• Sallen-Key Passe-bas symétrique -
+ VS
RR(Av-1)
RC
RVE
C
841rd/s1
233,2767,03
304,13
1
2
1
0 ==
=⇒=−⇒
=−
==
RC
AA
AmQ
vv
v
ω
nFCkR 12010 =⇒Ω=
61
Implantation matérielle
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
10 100 1000 10000
2
2
2
121
2)(
−+
=
c
jH
ωω
ω
2
841841767,01
1)(
++=
ωωω
jjjH
62
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32
dBjH )( ω
)(Hzf
63
Gain max : 2,96dB
-31dB @ 5 krad/s
0dB @ 1000 rad/s
Calcul d’un filtre de Chebyshevpasse-haut de type I
• On détermine l’ordre du filtre passe-bas de même sélectivité.
• On choisit le polynôme correspondant à n et εmais cette fois-ci on effectue le remplacement suivant :
2
10/ 110
ε
ωωω
−=
=
As
s
cr
g
( )( )1log
1log2
2
−+−+=
rr
ggn
ωω
ωωj
p c→
64
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33
Exercice
• Concevoir un filtre passe-haut ayant les caractéristiques suivantes :– Fréquence de coupure : 1kHz
– Gain dans la BP : libre
– Ondulation maximale dans la BP : 3dB
– Atténuation de 20dB minimum pour f<600Hz
• Calculer le filtre de Chebychev correspondant
• Proposer une implantation à l’aide de cellules de Sallen-Key
65
Chapitre II : filtrage analogique 2
• Rappels & compléments
• Synthèse de filtres d’ordre supérieur à 2– Filtres à amortissement critique
– Filtres de Butterworth
– Filtres de Chebyshev
– Filtres elliptiques
66
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34
Les filtres actifs principaux67
5 sections du 1er ordre68
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35
Filtres de Butterworth (n=5)69
Filtres de Chebyshev type I (n=5)70
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36
Filtres de Bessel (n=5)71