9
Ćwiczenie O - 2 I PRACOWNIA FIZYCZNA 1 Pomiar wspólczynnika zalamania roztworów. Sprawdzenie związku Lorentza – Lorenza. I. Cel ćwiczenia: zapoznanie z budową i dzialaniem refraktometru laboratoryjnego oraz pomiar wspólczynnika zalamania roztworów cukru. Sprawdzenie związ- ku Lorentza – Lorenza dla roztworów cukru. II. Przyrządy: refraktometr laboratoryjny, zlewki, menzurki, cukier. III. Literatura: 1. R. P. Feynman – Feynmana wyklady z fizyki tom II cz. I, 2. J.L. Kacperski – I Pracownia Fizyczna, WUL, 1998. 3. H. Hofmokl, A. Zawadzki – Laboratorium fizyczne, 4. Refraktometr laboratoryjny RL – Instrukcja obslugi, PZO. IV. Wstęp Rozważmy substancję dielektryka umieszczoną między okladkami kondensatora plaskiego podlączonego do źródla o napięciu U. Wówczas w dielektryku występuje pole elektryczne o natężeniu E r ( E = d U , d - odleglość okladek kondensatora). Cząsteczkę A dielektryka, otoczoną sąsiadami można traktować tak, jak gdyby znajdowala się w centrum wnęki kulistej rys. 1. Rys. 1 Pole elektryczne w dielektryku. W pobliżu cząsteczki A, tzw. pole lokalne lok E r jest sumą średniego pola w dielektryku E oraz pola pochodzącego od powierzchni fikcyjnej wnęki i dane jest wzorem: o ε + = 3 P E E lok r (1) P jest momentem dipolowym jednostki objętości dielektryka, zwanym polaryzacją. p N P = (2) gdzie N jest liczbą cząsteczek w jednostce objętości dielektryka, każda o momencie dipolo- wym p . Moment dipolowy p dwóch punktowych ladunków o jednakowych wartościach bez- względnych i przeciwnych znakach jest wektorem, którego wartość jest równa iloczynowi la- dunku dodatniego i odleglości między środkami ladunków. Kierunkiem wektora jest prosta lą- cząca ladunki, a zwrot od ladunku „-” do „+”. A P

Pomiar współczynnika załamania roztworów. Sprawdzenie ...kawe.wfis.uni.lodz.pl/kfd/pdf/O-2.pdf · Feynman – Feynmana wykłady z fizyki tom II cz. I, 2. J.L. Kacperski – I

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Pomiar współczynnika załamania roztworów. Sprawdzenie ...kawe.wfis.uni.lodz.pl/kfd/pdf/O-2.pdf · Feynman – Feynmana wykłady z fizyki tom II cz. I, 2. J.L. Kacperski – I

Ćwiczenie O - 2

I PRACOWNIA FIZYCZNA 1

Pomiar współczynnika załamania roztworów. Sprawdzenie związku Lorentza – Lorenza.

I. Cel ćwiczenia: zapoznanie z budową i działaniem refraktometru laboratoryjnego oraz

pomiar współczynnika załamania roztworów cukru. Sprawdzenie związ-

ku Lorentza – Lorenza dla roztworów cukru.

II. Przyrządy: refraktometr laboratoryjny, zlewki, menzurki, cukier.

III. Literatura: 1. R. P. Feynman – Feynmana wykłady z fizyki tom II cz. I,

2. J.L. Kacperski – I Pracownia Fizyczna, WUŁ, 1998.

3. H. Hofmokl, A. Zawadzki – Laboratorium fizyczne, 4. Refraktometr laboratoryjny RL – Instrukcja obsługi, PZO.

IV. Wstęp

Rozważmy substancję dielektryka umieszczoną między okładkami kondensatora płaskiego

podłączonego do źródła o napięciu U. Wówczas w dielektryku występuje pole elektryczne o

natężeniu Er

( E = d

U, d − odległość okładek kondensatora).

Cząsteczkę A dielektryka, otoczoną sąsiadami można traktować tak, jak gdyby znajdowała

się w centrum wnęki kulistej rys. 1.

Rys. 1 Pole elektryczne w dielektryku.

W pobliżu cząsteczki A, tzw. pole lokalne lokEr

jest sumą średniego pola w dielektryku

E oraz pola pochodzącego od powierzchni fikcyjnej wnęki i dane jest wzorem:

+=3

PEElok

r (1)

P jest momentem dipolowym jednostki objętości dielektryka, zwanym polaryzacją.

pNP = (2)

gdzie N jest liczbą cząsteczek w jednostce objętości dielektryka, każda o momencie dipolo-

wym p .

Moment dipolowy p dwóch punktowych ładunków o jednakowych wartościach bez-

względnych i przeciwnych znakach jest wektorem, którego wartość jest równa iloczynowi ła-

dunku dodatniego i odległości między środkami ładunków. Kierunkiem wektora jest prosta łą-

cząca ładunki, a zwrot od ładunku „-” do „+”.

A

P

Page 2: Pomiar współczynnika załamania roztworów. Sprawdzenie ...kawe.wfis.uni.lodz.pl/kfd/pdf/O-2.pdf · Feynman – Feynmana wykłady z fizyki tom II cz. I, 2. J.L. Kacperski – I

Ćwiczenie O - 2

I PRACOWNIA FIZYCZNA 2

IV.1 Wzór Clausiusa – Mossottiego

Względna przenikalność dielektryczna (stała dielektryczna) εr ośrodka izotropowego jest

związana z polaryzacją P ośrodka i polem E zależnością:

E

P

o

1ε += (3)

Można założyć, że pomiędzy lokalnym polem elektrycznym i momentem dipolowym cząsteczki

istnieje proporcjonalność i moment ten wynosi

lokoαε Ep =r

(4)

gdzie współczynnik α nazywany jest polaryzowalnością.

Polaryzowalność jest wielkością charakteryzującą zdolność układu cząstek naładowanych ( np.

powłoki atomowe, ułożenie atomów w cząsteczce) do ulegania deformacji lub przesunięć pod

wpływem zewnętrznego pola elektrycznego o natężeniu E . W wyniku takiej deformacji pojawia

się indukowany moment dipolowy atomu lub cząsteczki.

Ze wzorów (1) – (4) wynika zależność

3

N

r

r α=

+−

(5)

zwana równaniem Clausiusa – Mossotiego.

Całkowita polaryzowalność α jest sumą polaryzowalności elektronowej αe, atomowej αa i dipo-

lowej (orientacji) αo

oae α+α+α=α (6)

Polaryzowalność elektronowa αe charakteryzuje zdolność do deformacji powłoki elektrono-

wej atomu pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego. Pole to powoduje przesunięcie

środka geometrycznego chmury elektronowej względem jądra i tym samym atom staje się dipo-

lem.

Polaryzowalność atomowa αa charakteryzuje przesunięcie lub obrót pod wpływem ze-

wnętrznego pola elektrycznego atomów w cząsteczce dielektryka w nowe położenie równowagi.

Wskutek czego cząsteczka uzyskuje indukowany moment dipolowy, zgodny z kierunkiem ze-

wnętrznego pola elektrycznego.

Polaryzowalność orientacyjna αo związana jest ze zjawiskiem ustawienia przez zewnętrzne

pole elektryczne trwałych dipoli w substancji polarnej zgodnie z kierunkiem linii sił pola.

IV.2 Wzór Lorentza – Lorenza

Wzór Lorentza – Lorenza wynika ze wzoru Clausiusa - Mosotiego, gdy zastosujemy zwią-

zek Maxwella 2

r n=ε i ma postać:

αN2n

1n3

2

2

=

+−

(7)

gdzie: N – liczba atomów (lub cząsteczek) w jednostce objętości, α - polaryzowalność substan-

cji, n – współczynnik załamania światła w danej substancji.

W przypadku substancji, która jest mieszaniną kilku składników, to każdy z nich będzie

wnosił swój wkład do polaryzacji. Całkowite α będzie więc sumą przyczynków pochodzących

od każdego ze składników mieszaniny.

W ćwiczeniu mamy do czynienia z roztworem dwuskładnikowym (roztwór cukru) więc,

3

+

2n

1n2

2

= ∑ Ni α i= N1 α1 + N2 α 2 (8)

Page 3: Pomiar współczynnika załamania roztworów. Sprawdzenie ...kawe.wfis.uni.lodz.pl/kfd/pdf/O-2.pdf · Feynman – Feynmana wykłady z fizyki tom II cz. I, 2. J.L. Kacperski – I

Ćwiczenie O - 2

I PRACOWNIA FIZYCZNA 3

Załóżmy, że stężenie substancji rozpuszczonej jest c1, rozpuszczalnika c2, czyli

c1+ c2 = 1

Pomiędzy stężeniem i ilością cząsteczek danej substancji w roztworze istnieje zależność:

N1 = k1c1,

N2 = k 2 c2 = k2(1 – c1 ),

gdzie: k1 i k2 są stałymi.

Wobec tego:

N1 α1 + N2 α2 = k1 c1 α1 + k2 (1 – c1)α2 = (k1 α1 – k2α2) c1 + k2 α2.

Równanie (8) można napisać następująco:

3

+

2n

1n2

2

= a c + b (9)

gdzie: c jest stężeniem roztworu, a i b są stałymi, przy założeniu, że α1 i α2 nie zależą od stęże-

nia.

Liniowy charakter doświadczalnie wyznaczonej zależności 2n

1n3

2

2

+−

będzie potwierdzał praw-

dziwość związku Lorentza-Lorenza.

V. Zasada działania refraktometru

Zasada działania refraktometru oparta jest o zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia.

Na poniższym rysunku przedstawiony jest schemat biegu promieni w refraktometrze.

Rys. 1. Bieg promieni w refraktometrze Abbego

Wiązka światła, po rozproszeniu na zmatowionej powierzchni pryzmatu oświetleniowego,

przenika przez warstwę badanej cieczy i ulega załamaniu na granicy ciecz - pryzmat pomiarowy,

a następnie na granicy pryzmat – powietrze. Kąt β określa zasięg pola oświetlonego.

Pryzmat pomiarowy wykonany jest z flintu o współczynniku załamania nD = 1,74; wartość

ta określa górny zakres możliwości pomiarowych przyrządu – substancja badana nie może mieć

współczynnika załamania większego niż materiał pryzmatu. Promienie „ślizgające się” po pod-

stawie pryzmatu pomiarowego ulegają załamaniu pod maksymalnym kątem, równym kątowi

granicznemu αgr.

ϕ

β

φ

φ

αgr

αgr

pryzmat oświetleniowy

pryzmat pomiarowy

kompensator

Amiciego

lunetka

górne pole widzenia

w okularze lunetki

pryzmat kierujący

α

Page 4: Pomiar współczynnika załamania roztworów. Sprawdzenie ...kawe.wfis.uni.lodz.pl/kfd/pdf/O-2.pdf · Feynman – Feynmana wykłady z fizyki tom II cz. I, 2. J.L. Kacperski – I

Ćwiczenie O - 2

I PRACOWNIA FIZYCZNA 4

Jeżeli substancja badana ma współczynnik załamania n, to wówczas:

D

gr

D

0

gr

n

nsin

n

n

90sin

sin =⇒= α

α (10)

gdzie: nD jest współczynnikiem załamania pryzmatu dla żółtej linii sodu (589 nm).

Z rysunku (1) wynikają następujące związki:

Dnsin

sin =

αβ

(11)

ϕαα =+ gr (12)

gdzie:ϕ jest kątem łamiącym pryzmatu pomiarowego, α kątem padania promienia na granicy

pryzmat – powietrze.

Te trzy równania ( 10 ) ÷ ( 12 ) tworzą układ równań pozwalający wyznaczyć współczynnik

załamania n cieczy z zależności

ϕϕβϕ sin cossinnsin n 22

D −−=

Wartość nD i φ są stałe i znane. Poprzez wyznaczenie kąta β, znajdujemy współczynnik załama-

nia n. Współczesne przyrządy wykorzystujące opisaną metodę tak są skonstruowane, że po

ustawieniu w lunetce krzyża z nici pajęczych na linii podziału pól jasnego i ciemnego można

bezpośrednio odczytać wartość współczynnika załamania.

Zarówno pryzmaty jak i lunetka są nieruchome. Obraca się wraz z kręgiem podziałowym

zwierciadło, które kieruje do lunety, promienie wychodzące z pryzmatu.

Refraktometr jest przyrządem o wysokiej precyzji – błąd względny pomiaru wynosi (1 ÷ 2)·10-4

.

VI. Układ pomiarowy – refraktometr.

Rys. 3 Refraktometr laboratoryjny RL1. Po lewej, widok od strony pryzmatu pomiarowego, po

prawej - widok od strony okularu. W powyższym ćwiczeniu układ pomiarowy składa się z refraktometru Abbego typ RL1. Za

pomocą tego przyrządu można mierzyć współczynnik załamania światła różnych roztworów

oraz odczytać stężenie, jeżeli badanym roztworem jest roztwór cukru.

Page 5: Pomiar współczynnika załamania roztworów. Sprawdzenie ...kawe.wfis.uni.lodz.pl/kfd/pdf/O-2.pdf · Feynman – Feynmana wykłady z fizyki tom II cz. I, 2. J.L. Kacperski – I

Ćwiczenie O - 2

I PRACOWNIA FIZYCZNA 5

Rys. 4. Sposób oświetlenia płaszczyzny po-

miarowej przy badaniu cieczy w świetle

przechodzącym.

Podstawowym elementem przyrządu jest pryzmat refraktometryczny (pomiarowy) w obudowie

(1), z poziomo ustawioną płaszczyzną pomiarową (2). Poziome ustawienie płaszczyzny pomia-

rowej zabezpiecza przed spływaniem badanej cieczy z pryzmatu.

Pozostałe istotne elementy to:

3 - łączniki umożliwiające podłączenie refraktometru do termostatu,

4 - termometr rtęciowy włączony w obieg cieczy termostatu, pozwala prowadzić stałą kontrolę

temperatury w zakresie od 0- o75 C,

5 - osłona termometru,

6 – pryzmat nakrywkowy (oświetleniowy) w zawiasowo zamocowanej oprawie (7),

8 – wnętrze kadłuba, w którym znajduje się pryzmat kierujący,

9 – regulator zespołu pryzmatów kompensacyjnych (Amiciego),

10 – nakrętka zabezpieczająca wkręt regulacyjny,

11 – pokrętło pomiarowe,

12 – płaskie zwierciadło kierujące światło do podświetlenia skali

15 – okular z regulacją ostrości widzenia w zakresie ± 5 dioptrii,

16 – okienko oświetlające w oprawie pryzmatu nakrywkowego, służy do oświetlania substancji,

przy pomiarach w świetle przechodzącym.

25

1,39

nD

%

1,37

15105 20

1,35

Nici pajęcze

granica między polem

jasnym i ciemnym

skala do odczytu

współczynnika

załamaniaSkala do odczytu

stężenia cukru

Rys. 5 Obraz w okularze refraktometru

Page 6: Pomiar współczynnika załamania roztworów. Sprawdzenie ...kawe.wfis.uni.lodz.pl/kfd/pdf/O-2.pdf · Feynman – Feynmana wykłady z fizyki tom II cz. I, 2. J.L. Kacperski – I

Ćwiczenie O - 2

I PRACOWNIA FIZYCZNA 6

Podczas pomiaru, wiązka promieni świetlnych załamana na płaszczyźnie pomiarowej przedosta-

je się do wnętrza korpusu refraktometru (8). Po przejściu przez pryzmat kierujący, promienie

trafiają do zespołu pryzmatów Amiciego. Obrót pryzmatów Amiciego powoduje rozszczepienie

światła białego, co zostało wykorzystane do usuwania zabarwienia linii granicznej. Obrót zespo-

łu pryzmatów uzyskuje się za pomocą pokrętła (9). Na pokrętle nacięta jest podziałka, która do-

datkowo umożliwia dokonywanie pomiaru dyspersji.

Sposób wykonania pomiarów. Odchylić oprawę z pryzmatem nakrywkowym w górę do oporu.

Oczyścić powierzchnię pryzmatów za pomocą miękkiej ściereczki.

Nanieść na powierzchnię pomiarową pryzmatu kilka kropel badanej cieczy w taki sposób, aby

po zamknięciu pryzmatów cała powierzchnia została nią pokryta.

Odczekać chwilę, aby temperatury cieczy i pryzmatów zrównały się.

Odsłonić okienko oświetlające (16) i skierować w stronę najbardziej intensywnego źródła świa-

tła.

Obrót pokrętłami (9) i (11) pozwala uzyskać ostrą, wyraźną i bezbarwną granicę między

jasnym i ciemnym obszarem w polu widzenia okularu.

Obrotem pokrętła (11) naprowadzić linię graniczną dokładnie na środek krzyża z nici paję-

czych w górnym okienku okularu. Pionowa linia wskaże wynik pomiaru na podziałce współ-

czynnika załamania i procentową zawartość cukru w roztworze.

Zastosowanie Refraktometr RL1 przeznaczony jest do pomiaru współczynników załamania i średniej dys-

persji cieczy i przeźroczystych ciał stałych, oraz do określania procentowej zawartości cukru w

roztworach wodnych. Wysoka dokładność przyrządu uzyskiwana przy zaledwie kilku kroplach

badanej substancji, jest wygodną i oszczędną metodą badań.

Znajduje ona zastosowanie wszędzie tam, gdzie składowe mieszanin wykazują różne współ-

czynniki załamania. Pomiary refraktometryczne są szeroko stosowane w przemyśle spożywczym

i chemicznym. Znajomość współczynnika załamania pozwala określić zawartość białka we krwi,

skład soku żołądkowego, moczu itp.

VII. Pomiary 1. Zmierzyć współczynnik załamania światła n dla wody destylowanej.

2. Przygotować co najmniej 5 roztworów cukru o stężeniach procentowych: 0,02; 0,04; 0,06;

0,08; 0,1 (0,02 to inaczej 2%). Odważając kolejno: 2,4,6,8,10 g cukru na 100 g (mc + mw )

roztworu otrzymujemy podane powyżej stężenia roztworów. Zwróć uwagę na całkowite roz-

puszczenie cukru w wodzie destylowanej.

3. Zmierzyć za pomocą refraktometru współczynnik załamania otrzymanego roztworu oraz od-

czytać procentową zawartość cukru w danym roztworze.

4. Przemyć wodą destylowaną pryzmat pomiarowy po każdym pomiarze.

5. Wyniki umieścić w tabeli:

Tabela 1

Lp. cprzyg. czmierz. n 32n

1n2

2

+

1

2

3

4

5

Page 7: Pomiar współczynnika załamania roztworów. Sprawdzenie ...kawe.wfis.uni.lodz.pl/kfd/pdf/O-2.pdf · Feynman – Feynmana wykłady z fizyki tom II cz. I, 2. J.L. Kacperski – I

Ćwiczenie O - 2

I PRACOWNIA FIZYCZNA 7

VIII. Opracowanie wyników

1. Sporządzić wykres zależności 3

+−

2n

1n2

2

od stężenia czmierz.. Wyznaczyć parametry prostej

metodą najmniejszych kwadratów (lub graficznie). Na wykresie zaznaczyć również wartości

3

+−

2n

1n2

2

w funkcji cprzyg.

2. Obliczyć polaryzowalność wody destylowanej, korzystając ze wzoru (7)

2n

1n

N

32

2

2 +−

== wαα

gdzie N oznacza ilość cząsteczek wody w 1 m3. Tę ilość możemy wyznaczyć znając: gęstość

wody ρ = 1000 kg/m3, masę molową wody M2 = Mw = 0,018 kg/mol, liczbę Avogadro

NA = 6,023⋅1023

mol -1

(ilość cząsteczek w 1 molu substancji).

Niepewność �α2 wyznaczenia polaryzowalności wody obliczyć ze wzoru

n1)2)(n(n

6n2222 ∆⋅−+

⋅=∆ αα

gdzie �n jest niepewnością wyznaczenia współczynnika załamania światła refraktometrem.

3. Wykorzystując obliczone wartości współczynników a i b oraz polaryzowalność wody obli-

czyć polaryzowalność cukru według wzoru (patrz Uzupełnienie, wzór (24)):

2

2

11

M

M

b1 ααα

+==a

c

gdzie M1 = 0,342 kg/mol – masa molowa cukru (wzór cząsteczki cukru trzcinowego jest na-

stępujący: C12H22O11), pozostałe wielkości jak wyżej.

Niepewność maksymalną �α1 wyznaczenia polaryzowalności cukru obliczyć ze wzoru (sto-

sując metodę różniczki zupełnej)

∆+

∆+

++∆

=∆2

211

b

b

bb αα

αα)(a

a

a

a

gdzie �a i �b niepewności wyznaczenia parametrów prostej danej równaniem (9), �α2 - nie-

pewność wyznaczenia polaryzowalności wody.

Page 8: Pomiar współczynnika załamania roztworów. Sprawdzenie ...kawe.wfis.uni.lodz.pl/kfd/pdf/O-2.pdf · Feynman – Feynmana wykłady z fizyki tom II cz. I, 2. J.L. Kacperski – I

Ćwiczenie O - 2

I PRACOWNIA FIZYCZNA 8

Uzupełnienie

Wyprowadzenie wzoru na polaryzowalność cukru

Wyznaczymy polaryzowalność cukru αc = α1 wykorzystując znajomość współczynników a i

b prostej danej równaniem (9) oraz wyznaczonej polaryzowalności α2 wody. W tym celu powró-

cimy do analizy wzoru Lorentza – Lorenza (wzór (7)).

Dla dwuskładnikowego roztworu cukru wzór Lorentza – Lorenza przyjmuje postać (wzór 8,

str. 2):

3

+

2n

1n2

2

= N1⋅α 1 + N2⋅α 2 (13)

Załóżmy, że stężenie substancji rozpuszczonej jest c1, rozpuszczalnika c2, czyli

c1+ c2 = 1

Pomiędzy stężeniem i ilością cząsteczek danej substancji w roztworze istnieje zależność:

N1 = k1c1, (14)

N2 = k 2 c2 = k2(1 – c1 ), (15)

gdzie: k1 i k2 są stałymi odpowiednio dla cukru i wody.

Wobec tego:

N1 α1 + N2 α2 = k1 c1 α1 + k2 (1 – c1) α2 = (k1 α1 – k2α2) c1 + k2 α2.

Wzór (13) przyjmie postać:

3

+

2n

1n2

2

= a c + b (16)

gdzie c jest stężeniem roztworu, a i b są stałymi, przy założeniu, że α1 i α2 nie zależą od stęże-

nia:

b = k2 α2 (17a)

a = (k1 α1 – k2α2) = k1α1 – b (17b)

Korzystając z definicji stężenia roztworu otrzymamy:

c

c1

m

m c)(1mcm cmcmm c

mm

m*

1

*

2*

1

*

2

*

2

*

1

*

1*

2

*

1

*

1 −=⇒−=⇒+=⇒=

+ (18)

gdzie *1m − masa cukru w sporządzonej przez nas objętości roztworu, *

2m − masa wody zawarta

w sporządzonej objętości roztworu.

Ponieważ stosunek mas cukru i wody dla danego stężenia nie zależy od objętości roztworu więc

dla objętości 1m3 roztworu cukru otrzymamy:

c

c1

m

m

m

m

1

2

*

1

*

2 −== (19)

gdzie m1, m2 są odpowiednio masami cukru i wody w 1 m3 roztworu.

Masy cukru m1 i wody m2 zawierają odpowiednio N1 i N2 cząsteczek, które to ilości możemy

wyznaczyć ze związków

ANM

mN

1

11 = (20a)

A

2

22 N

M

mN = (20b)

gdzie M1 - masa molowa cukru, M2 – masa molowa wody, NA – liczba Avogadro

Dzieląc stronami zależność (20b) przez (20a) i uwzględniając (19) otrzymamy:

Page 9: Pomiar współczynnika załamania roztworów. Sprawdzenie ...kawe.wfis.uni.lodz.pl/kfd/pdf/O-2.pdf · Feynman – Feynmana wykłady z fizyki tom II cz. I, 2. J.L. Kacperski – I

Ćwiczenie O - 2

I PRACOWNIA FIZYCZNA 9

c

c)(1

M

M

m

m

M

M

N

N

2

1

1

2

2

1

1

2 −== (21)

Jeśli podzielimy stronami zależność (15) przez (14) otrzymamy:

c

c)(1

k

k

N

N

1

2

1

2 −= (22)

Z porównania zależności (21) i (22) mamy:

c

c)(1

k

k

c

c)(1

M

M

1

2

2

1 −=

− ⇒

1

221

M

Mkk = (23)

Z równania (17b) wynika

1

1k

+=

a

Po uwzględnieniu (23) i relacji (17a) po przekształceniach otrzymamy wzór na obliczenie pola-

ryzowalności cukru:

2

2

1

2

1

2

1 αM

M

b1

M

M

α

b

b)(α

+=+

=aa

(24)