Pompe Centrifuge

  • Upload
    gabriela

  • View
    2.261

  • Download
    18

Embed Size (px)

Citation preview

1.1 PERFORMANELE POMPELOR CENTRIFUGE Pompele centrifuge se construiesc pentru debite medii (pn la 0.5 1 m3/s) i presiuni mici i medii (pn la 9 bar), realizeaz pe aspiraie sarcini de pn la 7 mH2O i sunt folosite frecvent pentru transferul lichidelor puin vscoase. 1.2 DOMENII DE UTILIZARE n instalaiile navale cu tubulaturi, pompele centrifuge sunt utilizate la vehicularea apei n instalaiile de balast, santin, de stins incendiu, alimentare cu ap, instalaii de transfer marf ale petrolierelor, n instalaiile cu tubulaturi ale motoarelor (fie principale, fie auxiliare ) etc. Mainile centrifugale pot lucra i n conversiei hidromecanice, caz n care numesc turbine (Francis). La turbine, fluidul intr n rotor pe radial i iese n sens axial. Intrarea n se face direct ca la pomp, ci prin intermediul unui aparat director.Fig. 1.2 Structura aparatului director la turbina Francis

Fig. 1.1 Pomp centrifug vertical autoamorsabil

sensul se direcie rotor nu

Paleii aparatului director se pot roti, rotirea lor producnd schimbarea turaiei (fig.1.2). 1.3 CALCULUL POMPELOR CENTRIFUGE

Aa cum s-a mai artat, conversia mecano-hidraulic ntr-o pomp centrifug se face prin acumularea energiei n rotorul mainii prin deplasarea fluidului n direcie radial de la aspiraie ctre refulare. S-a definit1

sarcina pompei ca fiind diferena dintre energia specific total a fluidului de la ieirea i cea de la intrarea n pomp. Pentru deducerea expresiei sarcinii la acest tip de maini, se introduce noiunea de pomp ideal. Aceasta este o main n al crei rotor nu au loc pierderi i pentru care se pot formula ecuaii simplificate care s descrie micarea. Rotorul este prevzut cu un numr infinit de palei (z = ), de grosime nul ( = 0). Fluidul de lucru se presupune a fi unul ideal. 1.3.1 CINEMATICA PARTICULEI DE FLUID N ROTORUL POMPEI STABILIREA TRIUNGHIURILOR DE VITEZE LA INTRAREA I LA IEIREA DIN ROTOR Pentru a defini sarcina teoretic a unei pompe cu un numr infinit de palei, se vor considera mai nti triunghiurile de viteze de la intrarea i ieirea din rotor. Pentru nceput se vor face referiri la triunghiul de viteze de la intrare prezentat n fig.1.3. Se consider c rotorul este parcurs de debitul Q i n acest context se definesc vitezele:

Fig. 1.3 Configuraia vitezelor la intrarea n rotorul pompei centrifuge

C1 viteza absolut la intrarea n rotor;

W1 viteza relativ la intrarea n rotor;

u1 viteza de transport la intrarea n rotor.

n mod similar se definesc vitezele C2 , W2 , u2 pentru zona de la ieirea din rotor. Se consider turaia rotorului ca fiind n. n acest caz, modulele vitezelor de transport la intrare i ieire sunt calculabile cu relaia (1), iar direciile lor sunt chiar tangentele la rotor n punctele de intersecie cu paletul: D1 n u1 = 602

(1)

D2 n u2 = 60 Aa cum rezult i din fig.1.3, seciunea de intrare n rotor este una inelar avnd diametrul D1 i limea b1. n acest caz se poate defini modulul vitezei absolute exprimat ca raport dintre debit i seciunea de intrare: Q C1 = D1 b1

(2)

Dac pompa nu are aparat director la intrare care s dirijeze curentul pe o direcie impus, atunci vectorul vitez C1 se dispune pe o direcie

radial. Dac exist aparat director, direcia vectorului C1 este precizat de direcia aparatului director prin unghiul 1. La pompa fr aparat director, triunghiul vitezelor se construiete tiind direcia i mrimea vectorului vitezei abso

lute C1, aa cum se arat n fig.1.4. Matematic, cele afirmate mai sus se traduc prin ecuaia Coriolis:

C1 = W1 + u1 n care:

(3) (4)

C1 = Cr1

Fig. 1.4 Triungiul de viteze la intrarea n rotor

Fig. 1.5 Triunghiul de viteze la ieirea din rotor

Direcia vitezei relative W1 este tangent la palet. Convenio

nal, unghiul dintre direciile vitezelor relativ W i de transport u se noteaz cu

3

. Unghiul dintre direciile vitezelor, absolut C i u, se noteaz cu . Cnd la intrare nu exist aparat director i este satisfcut egalitatea (4) , ungiul 1 are valoarea 1 = 90. Dac 1 90 (corespunde cazului cnd pompa are aparat director), atunci se poate scrie relaia: Q Cr1 = D1 b1 (5)

Pentru evitarea ocurilor la intrare, unghiul 1 de nclinare a paletului se adopt la valori cuprinse ntre 14 i 20, iar triunghiul de viteze se construiete n aceeai manier. Pentru trasarea triunghiului de viteze la ieire, din ecuaia de definire a debitului se scoate modulul vitezei radiale: Q Cr2 = D2 b2 (6)

n mod uzual, componenta radial a vitezei abdolute Cr2 se precizeaz la valoarea de intrare Cr2 = Cr1. Aceast condiie se impune pentru a se evita salturile de vitez radial, care dac ar apare, ar genera fore de inerie care pot conduce la cavitaie. Se impune apoi valoare unghiului 2 (de aezare a paleilor la ieirea din rotor). Pe baza turaiei mainii, se calculeaz modulul vitezei de transport u2 cu ecuaia (1) i apoi pe baza relaiei Coriolis se poate construi triunghiul de viteze dup modelul celui din fig.1.5.

C2 = W2 + u2

(7)

1.3.2 GRADUL DE REACIUNE A ROTORULUI POMPEI CENTRIFUGE Gradul de reaciune d raportul dintre sarcina (energia specific) static realizat de rotor i sarcina (energia specific) total. Se consider o pomp centrifug ideal cu rotorul cu numr infinit de palei de grosime teoretic nul, care antreneaz un fluid ideal. Ne propunem s stabilim expresia gradului de reaciune a rotorului funcionnd n condiiile descrise anterior. Pentru aceasta se consider expresia sarcinii teoretice realizate de rotorul cu un numr infinit de palei: Ht = (u2 Cu2 u1 Cu1) .

4

n cazul pompelor fr dispozitiv de dirijare, la care viteza la intrare este dispus radial, Cu1 = 0 pentru c 1 = 90 i n acest caz, asupra sarcinii va avea influen numai configuraia triunghiului vitezelor de la ieire: Ht = u2 Cu2 (8) Din relaia (8) se poate observa c sarcina este cu att mai mare, cu ct componenta tangenial a vitezei la ieirea din rotor este mai mare. Pentru a evidenia din punct de vedere energetic modul n care se distribuie energia n rotor, se vor scrie expresiile vitezelor relative. Pentru aceasta se vor considera triunghiurile de viteze de la intrarea i ieirea din rotor. Aplicnd teorema lui Pitagora generalizat vom avea: W12 = C12 + u12 2u1C1 cos 1 respectiv W22 = C22 + u22 2u2C2 cos 2 (9)

Din relaiile (9) se scot produsele u1C1 cos 1 i respectiv u2C2 cos 2 : C12 + u12 W12 C22 + u22 W22 u1C1 cos 1 = i u2C2 cos 2 = (10)2 2

Cum ns: C1 cos 1 = Cu1 ecuaia lui Euler devine:

i

C2 cos 2 = Cu2 ,

(11) (12)

Ht = (u2 Cu2 cos 2 u1 Cu1 cos 1)

Introducnd relaiile (10) n (12) i grupnd corespunztor termenii, va rezulta: C22 C12 u22 u12 W22 W12 Ht = + + (13)2 2 2

Din ecuaia (13) se observ c de la intrare ctre ieirea din rotor are loc un transfer continuu de energie, care se face att prin creterea energiei cinetice, ct i prin creterea energiei poteniale (a presiunii). n continuare se urmrete determinarea componentelor dinamice i statice ale energiei specifice: C22 C12 Ht d = (14)2

Avndu-se n vedere relaiile (13) i (14), rezult c energia are componenta static dat de relaia: u22 u12 W22 W12 Ht st = + (15)2 2

Mrimea care definete raportul dintre energia specific static i energia specific total este notat uzual cu r i poart denumirea de grad de reaciune a rotorului:5

Ht st r = (16) Ht Gradul de reaciune arat modul n care se repartizeaz la ieire energia total primit de fluid. Teoria mainilor hidraulice postuleaz c sarcina teoretic a pompei este influenat de forma paleilor. Pentru a determina modul n care se manifest aceast influen, se vor considera trei forme de palei: ntori n spate (290), pentru care se vor construi triunghiurile de viteze. Pentru cele trei cazuri considerate se pune problema determinrii valorii pn la care se poate ajunge cu creterea vitezei Cu2 astfel nct pompa s nu caviteze. S-a vzut c n cazul n care 1 = 0 i Cu1 = 0 sarcina rotorului cu o infinitate de palei se scrie sub forma: Ht = u2 Cu2 (17)

Fig.1.6 Rotor cu paleii ntori n spate

Fig.1.7 Rotor cu palei care ies radial

Fig.1.8 Rotor cu palei ntori n fa

Din triunghiul de viteze al rotorului cu palei ntori n spate (fig.1.6), se observ c: u2 Cu2 cot 2 = (18) Cr2 Din ecuaia (18) se obine Cu2 : Cu2 = u2 Cr2 cot 2 (19) care se introduce mai departe n relaia (17): Ht = u2 (u2 Cr2 cot 2) (20) Introducnd n relaia (20) valoarea lui Cr2 dat de (6), se obine: u2 Q cot 2 2 Ht = u2 (21) D2b2 n cazul paleilor ntori n spate, 2 0. Aceasta nseamn c fracia din membrul drept al ecuaiei (21) este pozitiv i se scade din u22 . Prin urmare, rezult o sarcin Ht mai mic dect u22 . Atunci cnd paleii ies radial (fig.1.7), 2 =90, deci cot 2 =0, iar Ht = u22 . Aa cum s-a artat mai sus, componenta dinamic a sarcinii C22 C126

pompei este Ht d = .2

Dac se presupune mai departe c =90, atunci rexult c: Q C1 = Cr1 = (22) D1b1 S-a precizat mai sus c proiectarea pompei centrifuge se face astfel nct vitezele radiale la intrarea i la ieirea din rotor s fie egale: Cr1 = Cr2 (23) n aceste condiii se va putea scrie c: C22 C12 Cu22 Ht d = = , (24)2 2

situaie n care, sarcina dinamic se mparte n dou pri: o parte care se transform n energie cinetic, iar cealalt parte n energie potenial. n cazul paleilor ntori n fa (fig.1.8), cnd 2>90 este de ateptat ca presiunea n rotor s scad. n acest caz, presupunnd din nou 1=90 i innd cont de (22), relaia (14) de definire a sarcinii dinamice va deveni: C22 C12 Ht d = (25)2

Din triunghiul de viteze se poate observa c: C22 Cr22 = Cu22 Din relaiile (25) i (26) rezult: Cu22 Ht d = 2

(26) (27)

Presupunem c Cu2 = 2 u2 i atunci: Ht d = 2 u22 Sarcina total va avea expresia: Ht = (u2Cu2) = 2 u22 (28) Din relaiile (27) i (28) se vede c sarcina total este egal cu sarcina dinamic. Deci, cnd proiecia la ieire pe viteza periferic este de dou ori mai mare dect viteza periferic nsi, rotorul nu mai creeaz sarcini statice. Dac Cu2 > 2 u2 , atunci presiunile vor scade ctre ieire, lucru care conduce la apariia cavitaiei i deci, la funcionarea rotorului cu desprinderi.

7

1.3.3 INFLUENA NUMRULUI FINIT DE PALEI DE GROSIME FINIT n cazul pompelor reale apar diferene fa de pompa teoretic idealizat considerat pn acum. Aceste diferene fac ca relaiile de calcul stabilite anterior s contribuie la descrierea fenomenologic a ceea ce se ntmpl n main numai ntr-o msur oarecare. Pentru ca modelul matematic de calcul s poat reflecta corect i n ntregime fizica fenomenelor din pomp, va trebui ca el s fie n continuare corectat. Prin urmare, n cele ce vor urma se va stabili influena formei reale a rotorului iniial presupus a avea un numr z = de palei de grosime = 0. Prezena paleilor cu grosime finit modific triunghiurile vitezelor ntruct componentele radiale ale vitezelor sunt afectate de ecranarea introdus de Fig.1.9 Structura paletului de grosimea nenul a paleilor (fig.1.9). grosime finit n aceste condiii vom avea la intrare: Q Cr1 = D1b1 z1b1 iar la ieire: Q Cr2 = D2b2 z2b2

(29)

(30)

Datorit grosimii finite a paleilor, seciunile de trecere se micoreaz (numitorii ecuaiilor anterioare scad) i deci vitezele radiale cresc. Un al doilea efect semnificativ apare datorit micrii cu circulaie a apei ntre palei (fig.1.10). Cnd s-a considerat z = , s-a fcut aceast ipotez pentru a fora particula de lichid s urmreasc forma paletului. Practic, paleii sunt distanai i deci z . Din aceste considerente, lichidul dintre palei va cpta o micare rotaional.

Fig.1.10 Circulaia fluidului dintre palei

8

Pentru a ilustra acest fapt, se consider un corp C care plutete ntr-o mas infinit mic de ap reprezentat n fig.1.11 printr-un cerc. Curgerea se presupune a fi fr vrtejuri. Prin antrenarea ansamblului n micare de rotaie cu viteza unghiular , corpul i va pstra poziia absolut ns va executa o micare relativ opus sensului de rotaie a ansamblului. n poziia I corpul C este plasat radial corespunztor Fig.1.11 punctului 1, n poziia II tangenial rotit cu 90 n punctul 2, apoi n poziia III din nou radial dar rotit la 180 fa de poziia iniial i n final, n poziia IV din nou tangenial rotit la 180 fa de poziia II. Dac s-ar presupune c spaiul dintre doi palei ar fi nchis, atunci apa, n absena frecrilor, ar executa fa de rotorul pompei o micare relativ de rotaie n jurul unui punct interior aflat, la rndul lui, n micare de rotaie. n realitate, canalul este deschis la capete i vrtejul relativ se suprapune curgerii de trecere. Aceast curgere nu va fi caracterizat de viteze egale de-a lungul unui cerc paralel, dei toate vitezele sunt ndreptate ctre exterior. Pe faa paletului viteza este mic, n timp ce pe spatele acestuia este mai mare. Acest fapt determin o modificare a triunghiurilor de viteze de la intrare i ieire n sensul sugerat de fig.1.12. Aa cum se poate remarca din reprezentarea grafic, cinematica particulei de fluid din spaiul rotor sufer o contaminare determinat de apariia componentelor relative notate cu asterisc. Aceste componente parazi

te modific vitezele relative de la valorile teoretice W1 respectiv W2 , corespun

ztoare rotorului ideal, la valorile W1r respectiv W2r , corespunztoare rotorului ideal.

Fig.1.12 Modificarea vitezelor n condiii reale de funcionare

Modificarea triunghiurilor de viteze conduce la modificarea unghiului de intrare i deci la apariia ocurilor. Acestea introduc pierderi suplimentare, greu de apreciat analitic. Efectul lor este introdus prin intermediul unui coeficient subunitar : Ht = Ht 9

unde:

1

= 1+p n care p este coeficientul lui Pfleiderer definit ca: r22 p = z So unde: = (0,550,68) + 0,6 sin 2 iar So reprezint momentul static al paletului n raport cu centrul de rotire al liniei de curent dintre intrare i ieire. 1.3.4 DEFINIREA CARACTERISTICII FUNCIONALE A UNEI POMPE CENTRIFUGE Pompele se proiecteaz n general la o pereche de valori H i Q care reprezint parametrii nominali de funcionare. Caracteristica funcional d legtura dintre sarcina H i debitul Q pe tot domeniul de lucru al mainii centrifuge, n timp ce punctul nominal de funcionare este doar cuprins n aceast caracteristic. Se cosider o pomp teoretic avnd rotorul cu o infinitate de palei de grosime nul care lucreaz cu un fluid ideal. Se face presupunerea c pompa nu dispune de aparat de dirijare la intrare. S-a demonstrat anterior c sarcina total a mainii ideale are expresia: u2 Q cot 2 2 Ht = u2 D2 b2 Reprezentnd grafic n coordonate H, Q aceast funcie, se obine o dreapt a crei pant depinde de valoarea unghiului 2 dup cum urmeaz: - Dac 2 = 90 => cot 2 = 0 i Ht = 2 u2 . n acest caz graficul este o dreapt paralel cu axa debitului; - Dac 2 > 90 => cot 2 < 0 iar dreapta evolueaz cresctor; Fig.1.13 Caracteristica real a pompei - Dac 2 < 90 => cot 2 > 0 iar centrifuge dreapta este cztoare. Dreptele s-au trasat n condiiile ipotezelor: - micarea fluidului n rotorul pompei are loc fr frecri; - intrarea n rotorul pompei se face fr o deviaie brusc a vnei de fluid.10

n condiiile funcionrii reale, la pompele cu numr finit de palei, sarcina Ht se obine din Ht prin scderea valorii date de z finit (vezi fig.1.13). Dac n continuare se scade valoarea pierderilor din rotorul pompei datorate frecrilor hidrodinamice descrise de parabola h=sQ2 , se obine caracteristica H. Considernd i pierderile prin oc (H)s generate de deviaia brusc a vnei de fluid se obine caracteristica real a pompei pentru care parametrii nominali de lucru se dispun n zona de debite 0 Qn . n final, pentru obinerea caracteristicii reale, vor trebui considerate i pierderile prin oc generate de deviaia brusc a vnei de fluid. Dimensiunea acestora se definete pe baza considerentelor de mai jos. Cnd debitul pompei la intrare este inferior valorii nominale (Q100: ns b2 = 0,6 100 Q n

La pompele radiale pure, discul anterior de adopt puin nclinat fa de planul perpendicular pe axa de rotaie. n mod uzual, = 35. CINEMATICA CURENTULUI 12) Se calculeaz componenta n plan meridian a vitezei absolute Cm1. La intrarea n rotor se recomand Cmo Co (unde Co a fost deja adoptat). Viteza absolut n plan meridian n paletatur (Cm1) este influenat de grosimea paleilor. Scriind ecuaia de continuitate: Qm1 = Qmo rezult c: Cm1 ( D1 b1 z b1 1 ) = Cmo D1 b1 de unde, prin mprire la z va rezulta mai departe: Cm1 D1 D1 - 1 = Cmo z z

18

D1 sau, innd cont c = t1 (pasul paleilor rotorului), z Cm1 (t1 1) = Cmo t1 t1 Fcnd notaia K1 = (K t coeficient de ecranare), rezult c: t 1 1 Cm1 = K1 Cmo n mod uzual, K1 = 1,151,20. 13) Se calculeaz unghiul 1. Se presupune c pompa nu dispune de aparat de dirijare, deci triunghiul de viteze de la intrare are forma din fig. 1.22. n aceast situaie se poate scrie c: Cm1 tan 1C = u1 unde 1C = 1 . Uzual, = (56) ales din considerente de mbuntire a curgerii n rotor. n cazul general cnd exist aparat director la intrare, Cm1 tan 1C = u1 C1 cos Uzual, 1 rezult cuprins ntre 15 i 30.

Fig.1.22 Triunghi de viteze la intrare

Fig.1.23 Variaia raportului W1/W2 cu ns

14) Se calculeaz unghiul de aezare a paletului la ieire. Considernd triunghiurile de viteze de la intrare, respectiv de la ieire, se poate scrie c: Cm1 Cmo W1 = = K1 sin 1 sin 1 sau Cm2 Cm2 W2 = = K2 sin 2 sin 2 de unde rezult simplu:19

Cmo sin 1 = K1 W1 Cm2 sin 2 = K2 W2

K2 Cm2 W1 sin 2 = sin 1 K1 Cmo W2 n ecuaia de mai sus: Cm2 W2 t2 = 0,81,1 ; = 0,60,8 ; K2 = = 1,051,10 . Cmo W1 t 2 2 W2 Uneori, pentru determinarea valorii raportului se utilizeaz grafice de tipul W2 celui prezentat n fig.1.23, care sunt trasate n funcie de turaia specific ns. 15) Se calculeaz numrul de palei ai rotorului: D2 + D1 2 + 1 z = K sin D2 D1 2 unde K este un coeficient care la pompele obinuite are valorile: K = 6,5 pentru rotoare cu palei turnai; K = 7,8 pentru rotoare cu palei sudai. 16) Se recalculeaz diametrul la ieirea din rotor Se pleac de la expresia sarcinii teoretice a rotorului cu o infinitate de palei: Ht = ( u2Cu2 u1Cu1 ) = ( u2 Cm2 cot 2 ) . u1Cm1 cos 1 Dar, H = Ht h , prin urmare: H = u22 (Cm2 cot 2) u2 u1Cm1 cos 1 h de unde, H 2 u2 = Cm2 cot 2 + (Cm2 cot 2 ) + 4 u1Cm1 cos 1 + h Cu u2 astfel determinat, se recalculeaz D2 : 60u2 D2 = n 17) Se recalculeaz b2 Qr b2 = D2Cm2 18) Se recalculeaz coeficienii K1 i K2 : D1 D2 z z K1 = ; K2 = 20

D1 s1 D2 s2 - - z sin 1 z sin 2 20) Cu K1 i K2 astfel determinai, se recalculeaz ceilali parametri geometrici i cinematici ai rotorului. Dac din calcule rezult un raport D2/D1 mai mare sau egal cu 2,5 se adopt varianta constructiv de pomp cu mai multe trepte (de exemplu, n cazul n care se adopt dou trepte, n calcule sarcina H trebuie mprit la 2). Pe de alt parte, dac pentru raportul D2/D1 rezult o valoare sensibil mai mic dect 2,5 atunci se adopt varianta cu mai multe intrri (de exemplu, la dou intrri, debitul de calcul Q se mparte la 2). PROFILAREA ROTORULUI Se face astfel nct curgerea n jurul paleilor s se realizeze fr pierderi. Trasarea profilului se face prin puncte. Procedura presupune mprirea discului rotorului ntr-un numr de pri egale, adoptnd paii de cretere a razei r la valoarea r, aa cum se arat n fig.1.24.

Fig.1.24 Profilarea paleilor rotorului

Geometria paletului este descris de funcia = ( r ) , a crei expresie ne propunem s o determinm n continuare. Din figur se vede c: dr tan = rd de unde rezult imediat c: dr d = r tan Integrnd, se gsete:R2 R2

dr21

180

dr

p =

[rad] = r tan R1

[grd] r tan

R1

Integrala obinut se poate rezolva n situaia n care se cunoate dependena unghiului de raz curent r. n acest sens se pot prescrie diverse legi de variaie, cele mai des ntlnite fiind cele liniar sau parabolic, aa cum se arat n fig.1.25.

Fig.1.25 Variaia unghiului cu raza r

Considernd incrementul radial R2 R1 r = n unde n reprezint numrul de intervale egale, se aplic proprietile asemnrii triunghiurilor dreptunghice din fig.1.25, n baza crora se obine: R1 r x = (2 1) R1 R2 sau innd cont de faptul c: x = 1 se gsete relaia de dependen dintre unghiul i raza curent r : ( 1) = 1 + ( r R1) R2 R1 Pe de alt parte, profilarea paleilor rotorului se mai poate face i prin impunerea legii de variaie a vitezelor relative W. Se pot prescrie, din nou, legi de variaie liniar sau parabolic, aa cum se arat n fig.1.26. n acest caz: Cm s Fig.1.26 Variaia vitezei relative W cu raza r sin = + W t i innd cont de identitatea trigonometric sin tan = 1 sin2 se poate gsi dependena lui W de raza curent r. PROFILAREA STATORULUI22

Statorul are rolul de a colecta debitul la ieirea din rotor i de a-l conduce ctre refulare. El transform energia cinetic dat de viteza absolut la ieire n energie potenial cu pierderi minime. Statorul pompelor centrifuge are form spiralat, aa cum se arat n fig.1.27(a), n seciune putnd fi trapezoidal (b) sau toroidal (c). Conturul periferic spiralat este descris de

unghiul AB. La profilare se urmrete stabilirea dependenei dintre unghiul i raza corespunztoare r. Se consider dou seciuni radiale prin carcasa spiralFig.1.27 Carcas spiral

de seciune trapezoidal, respectiv toroidal. La raza r se consider un element de arie infinit mic dA a crei valoare trebuie calculat. Din figur se observ c: b(r) b3 1 tan = 2 r R3 sau b(r) = 2 tan (r R3) + b3, cu care se poate determina aria elementar: dA = [ b3 + 2 tan (r R3)]dr . Precizarea dimensiunilor carcasei se face pe baza datelor statistice. n acest sens, se fac urmtoarele recomandri: D3 = (1,11,15)D2 la pompele cu n100 i ns1000 i D3 = (1,151,2)D2 la pompele cu ns>100; b3 = b2 + (0,020,05)D2, iar 2 = (2026). Geometria carcasei se stabilete plecndu-se de la expresia sarcinii teoretice a pompei cu un numr infinit de palei, scris pentru cazul n care nu exist aparat director la intrare (1 = 90): Ht = u2Cu2 Se scrie ecuaia cuplului pentru punctele 2, situat n imediata vecintate a rotorului i n exteriorul acestuia i 3, situat n carcasa spiral, vezi fig.1.27(a): M = Q (R3Cu3 R2Cu2) n afara rotorului M=0, deci R3Cu3 = R2Cu2 = rCu. Cum ns,

23

Ht Cu2 = u2 se gsete c:

i

rCu Cu2 = R2

rCu Ht Ht = sau Cu = R2 u2 r Debitul de fluid ce curge prin seciunea MN a statorului poate fi scris ca fiind: Q() = CudA Se definete debitul specific ce corespunde unei uniti unghiulare a rotorului: Q() q = 2 cu ajutorul creia se rescrie expresia debitului sub forma : CudA = q Utiliznd relaiile anterior stabilite, se obine urmtoarea relaie pe baza creia se proiecteaz carcasa spiral:R

q =R1

Ht [b3 + 2 tan (r R3)]dr r

sau, dup unele prelucrri matematice simple: 2 Ht R = 1n (b3 2R3 tan ) + 2(R R3) tan Q r R3

1.3.6 ELEMENTE DE PROIECTARE A MAINILOR CENTRIFUGE CU ROTOARE RAPIDE Algoritmul de proiectare prezentat anterior nu mai rmne valabil n cazul pompelor cu turaie specific mare. La aceste maini va trebui s se in cont de faptul c limea paletului la intrare este foarte mare, deci unghiul lui de aezare 1 este diferit pe lime i, n plus, difer i de la o raz la alta. Acest lucru determin o curbur spaial a paletului, fcnd proiectarea sa mai complicat dect la mainile cu rotoare lente. Considernd triunghiul vitezelor de la intrare, presupunnd inexistena aparatului de dirijare, se poate scrie c tan 1 = Cm1 / u1. La limi mari ale paleilor, u1(r), i deci i tan 1, variaz cu raza. n acest caz, la valori ale raportului diametrelor D2/D1 mai mici

24

de 1,6 se impune utilizarea algoritmului de proiectare descris n cele ce urmeaz.

Fig.1.28 Schema de calcul a rotorului pompei centrifuge rapide

Predimensionarea rotorului pompelor de debit mare se face ntr-un mod asemntor celui de la rotoarele lente ntruct singura mrime care intervine n calcule este turaia. Profilarea paleilor se realizeaz printr-o metod care asimileaz rotorul cu palei lai cu dubl curbur, rotorului pompei radiale lente. Se consider c vitezele sunt constante de-a lungul liniilor echipoteniale. Se presupune rotorul predimensionat i se reprezint grafic spaiul cuprins ntre faa frontal (discul anterior) i rdcina paletului (discul posterior) ca n fig.1.28, n care cu b1 s-a notat limea paletului la intrare, cu b2 limea paletului la ieire, iar cu Co viteza constant pe raz. Se consider c micarea fluidului ntre cei doi palei este una potenial. Se vor trasa ntr-o prim aproximaie liniile de curent la care sunt tangente vitezele. Trasarea se face n urmtoarea succesiune de etape: a) Se aleg punctele a,b,,g n seciunea de intrare. Poziiile lor sunt determinate prin impunerea condiiei ca debitele ce trec prin seciunile inelare determinate de punctele considerate s fie identice: (Da2 Db2) (Db2 Dc2) (Df 2 Dg2) Co = Co = = Co 4 4 4 sau: (1) 2 2 2 2 2 2 Da Db = Db Dc = = Df Dg Rezolvnd sistemul (1) se gsesc diametrele corespunztoare punctelor cutate. b)Se mparte limea de ieire ntr-un numr de pri egal cu cel de la intrare: __ __ __ __ b225

ab = bc = cd = = fg = 6 c) Se traseaz cu aproximaie liniile de curent. La intersecia rotorului cu planul meridian se vor considera punctele 1, 2, 3, 4. Se noteaz cu n1 numrul punctelor din seciunea de intrare i cu n2 numrul punctelor de pe curba 2. Se noteaz cu indicele i un segment delimitat de dou linii de curent i cu j un segment cuprins ntre dou puncte amplasate pe linia meridian 1. Din punctele j se traseaz liniile echipoteniale, perpendiculare pe liniile de curent. Se consider linia echipotenial j pe care se ia un element de arie dji . Se presupune c de-a lungul liniilor echipoteniale, vitezele meridiane sunt constante. n felul acesta, se poate calcula debitul prin rotor pe linia echipotenial j . Acest debit se poate scrie sub forma:n10

n10

Q r, j = 2 vm ji r ji d ji = 2 vm ji rji d ji Cum ns viteza vm ji este constant pe i, rezult egalitile: vm j1 = vm j 2 = = vm ji = vm jn1 n aceast etap, datorit faptului c debitul prin fiecare seciune d ji trebuie s fie acelai, produsele r ji d ji vor trebui s fie egale pe toate suprafeele ji, adic: r j1 d j1 = r j2 d j2 = = r ji d ji = = r jn1 d jn1 Setul de ecuaii stabilit anterior permite efectuarea unei corecii a formei liniilor de curent, arbitrar alese iniial. Se face notaia:n

I = r ji d ji0

Se prezint grafic integrala I, care trebuie s aib valori egale pe intervalele d adoptate, aa cum se arat n fig.1.29. Pentru aceasta, se corecteaz poziiile liniilor de curent astfel: - se consider valoarea lui I care corespunde poziiei * i se mparte n acelai numr de pri egale n care a fost mprit paletul; - utiliznd graficul din fig.1.29 se determin valorile d*1 d*6 ; Fig.1.29 Corectarea liniilor de curent n prima - cu valorile d*i determinate iteraie pentru fiecare linie echipotenial j se traseaz configuraia corectat a liniilor de curent. Dup aceast operaiune, se trece la pasul urmtor, care are drept scop apropierea liniilor de curent corectate, de cele reale. Se pleac de la expresia debitului dQ ji care parcurge elementul de suprafa d ji :26

dQ ji = 2 vm ji r ji d ji

(2)

Viteza medie pe suprafaa echipotenial vm ji este aceeai pentru toate suprafeele di de pe linia echipotenial j. Viteza meridian se poate scrie ca fiind: d vm = ds unde d reprezint variaia funciei echipoteniale. d se presupune constant pe o linie echipotenial ( d K ), iar d s este arcul de curb cuprins ntre dou linii echipoteniale. n aceste condiii, ecuaia (2) devine: Kj dQ ji = 2 r ji d ji s ji iar debitul Q j : r jid ji n n Q j = dQ ji = 2K j = Q r (3) i=1 i=1 ds ji n relaia (3) se cunosc valorile debitului Q r i ale mrimilor r ji i d ji deci se pot calcula suma i implicit, coeficienii K j . Qr K j = r ji d ji n 2 i=1 s ji n orice seciune prin spaiile rmase ntre liniile de curent, debitele trebuie s fie egale, adic: dQ j1 = dQ j2 = dQ j3 = = dQ j6 r ji d ji Pentru fiecare i la un j dat, rapotul este constant. s ji Se definete variabila I2 ca fiind:n

r ji d ji1

I2 = ds ji Se reprezint grafic I2 (fig.1.30) printr-o procedur asemntoare celei utilizate la reprezentarea lui I1. Iteraia ntia se ncheie atunci cnd este satisfcut condiia: (d ji) 0,03 d ji

27

Dac este ndeplinit inegalitatea de mai sus, calculul se ncheie; dac nu se trece la iteraia urmtoare. Pentru aceasta se definesc noile debiten1 n1

Q r , j = 2 vm ji r ji d0

** j i

= 2 vm ji r ji d*j*i0

i se repet calculele dup modelul descris anterior. Odat finalizat procedura de iterare, se poate considera c rotorul are geometria stabilit. Mai departe, proiectarea se poate face pe baza unui algoritm asemntor celui descris n cap.1.3.5, presupunnd rotorul rapid ca fiind format din n1 rotoare lente avnd elementele cinematice de la intrare i ieire cunoscute. Diametrele de calcul se stabilesc la mijlocul diametrului fiecrui rotor, profilarea paletului fcndu-se pe linia medie a fiecrui rotor. n calculul de profilare vitezele meridiane se calculeaz cu relaia: Kj vm j = = constant pe linia j ds ji 1.3.7 PRINCIPII DE CALCUL AL FORELOR AXIALE La pompele monoetajate apar fore axiale datorate diferenei de presiune de pe faa i spatele rotorului. Pentru anihilarea lor, deci pentru descrcarea rotorului i a axului pompei, se procedeaz la o echilibrare hidrodinamic. Aceast echilibrare nu este necesar la pompele multietajate sau la cele cu rotoare mari, deoarece Fig.1.31 Distribuia presiunilor pe feele rotorului forele axiale au valori nesemnificative. Se consider o seciune axial printr-o pomp monoetajat pentru care se traseaz graficul de variaie a presiunii de pe cele dou fee ale rotorului (fig.1.31). Presiunea p1 de la intrare este egal cu presiunea de aspiraie, iar la ieire presiunea p2 are valoarea presiunii de refulare. La ieire, fluidul ptrunde n spaiul dintre discul rotorului i carcas (att pe faa anteri

oar, ct i pe cea posterioar), determinnd apariia unei fore axiale Fa. n

afara forei Fa date de diferena de presiune dintre razele r a corespunztoare

28

intrrii n rotor i r ax , apare i o for axial de reacie F r dat de ntoarcerea lichidului. Deoarece aceasta este mult mai mic dect cea provenit din dezechilibrarea hidrostatic (cca.23%), se va neglija n calculele ulterioare. Evaluarea forei axiale Fa are la baz stabilirea legii de variaie a Fig.1.32 Forele care acioneaz particula de fluid presiunii cu raza rotorului. Pentru calcul, se presupune c un volum infinit mic de fluid de form paralelipipedic de grosime dr situat n spaiul dintre carcas i rotor se va deplasa cu o vitez unghiular 1 = /2, unde reprezint viteza unghiular a rotorului. Aflat fiind n micare de rotaie, datorit forelor centrifuge, volumul considerat va fi supus aciunii sistemului de fore din fig.1.32. Scriind echilibrul forelor care acioneaz volumul, se ajunge la: ( p + dp )dA = pdA + dFc dFc = 12 rdm dm = dV = dAdr nlocuind n relaia de mai sus, se obine: dp = 12rdr Integrnd, unde:p2 p R2 r

dp = 12rdr se obine: . 1 2 p2 p = (R22 r2) 2 relaie pe baza creia se poate exprima variaia presiunii cu raza: 12R22 p(r) = 2 r 1 R22

n final, fora axial rezult simplu, prin integrarea presiunii ntre r ax i r a.ra

Fa = [ p(r) pa ] 2 r drrax

1.3.8 DETERMINAREA PARAMETRILOR FUNCIONALI29

AI POMPEI CENTRIFUGE CUPLATE NTR-O INSTALAIE DE TUBULATUR Regimul de funcionare stabil a unei maini hidraulice pe o instalaie se obine atunci cnd se realizeaz egalitatea debitelor i a energiilor cedate de maina hidraulic i respectiv primite de instalaie. Problema determinrii parametrilor funcionali ai pompei centrifuge ntr-o reea se poate rezolva fie pe cale grafic, fie pe cale analitic. METODA GRAFIC Se consider o instalaie care are precizat configuraia geometric, deci pentru care se poate determina prin calcul expresia sarcinii: Hi = p2 p1 + g (z2 z1) + sQ2 (1) Dar aa cum s-a artat: p2 p1 + g (z2 z1) = Hc (2) 2 unde Hc definete condiiile de cuplare (fig.1.33). Termenul sQ din ecuaia (1) include componenta dinamic a sarcinii. n condiiile notaiei (2), ecuaia (1) se poate scrie sub forma: Hi = HC + sQ2 (3) Expresia grafic a ecuaiei (3) reprezint caracteristica instalaiei trasat n figura 1.33.

Fig.1.33 Caracteristica instalaiei

Fig.1.34 Caracteristica pompei

n continuare, se pune problema determinrii parametrilor funcionali ai pompei pentru instalaia dat. n acest scop se pleac de la observaia c n condiiile unui regim staionar de funcionare, puterea cedat fluidului de pomp trebuie s fie egal cu puterea primit de instalaie, i c, n condiiile n care Qp = Qi , va rezulta Hp = Hi . S-a artat mai nainte c alura caracteristicii unei pompe centrifuge este de tipul celei prezentate n fig.1.34. Rezolvarea

30

Fig.1.35 Verificarea funcionrii pompei n instalaie

Fig.1.36 Pomp centrifug cuplat ntr-o instalaie

problemei pe cale grafic se face suprapunnd caracteristicile din fig.1.33 i 1.34, punctul de intersecie al curbelor fiind acela n care Qp = Qi (n care este ndeplinit condiia funcionrii stabile). Poziia punctului N (fig.1.35) definete punctul funcional din punct de vedere energetic, nefiind ns suficient pentru a caracteriza complet funcionarea ansamblului. Pentru definirea parametrilor pompei cuplate ntr-o instalaie de tipul celei prezentate n fig.1.36, trebuie fcute aprecieri i asupra condiiilor n care pompa aspir. n acest sens se mai reprezint grafic i curbele HV = (Q) pentru pomp i Ha = (Q) pentru instalaie (fig.1.35). Descrierea comportrii pe aspiraie se face considerndu-se mersul de calcul pentru ntreaga instalaie. Concret, se definete sarcina pe aspiraie prin rescrierea ecuaiei (3) stabilite mai sus, sub forma: Ha = HC 1 P + s1 P Q2 (4) unde HC 1 P reprezint caracteristica de cuplare pentru aspiraia pompei i care are expresia: HC 1 P = p2 p1 + g (z2 z1) (5) adm Intersecia curbelor HV (Q) cu Ha (Q) definete punctul M (fig.1.35). Dac poziia punctului M este la dreapta punctului N nseamn c: (HV adm)N > (Ha)N (6) Inegalitatea (6) semnific faptul c sarcina vacuumetric creat de pomp la aspiraie este mai mare dect sarcina cerut de instalaie i deci se poate realiza umplerea pompei cu fluid. Invers, dac M punctul de intersecie dintre Hvadm i Ha este situat la stnga punctului N, atunci: (Ha)N > (HV adm)N (7) deci pe aspiraie se cere o sarcin mai mare dect cea pe care o poate realiza pompa. n acest caz, apa nu va mai ajunge n pomp, deci maina nu poate aspira, bilanul energetic nefiind satisfcut. METODA ANALITIC Pentru a rezolva problema pe cale analitic trebuie s se cunoasc caracteristicile analitice ale pompei i instalaiei. Cunoscnd configuraia instalaiei, determinarea lui Hi se face folosind relaia cunoscut deja: Hi = HC + sQ2 (8) Prin urmare, se pune problema gsirii unei expresii mate-matice pentru curba Hp=Hp(Q). n acest sens se pot utiliza mai multe metode: a) Se definete o funcie polinominal de un grad oarecare care poate aproxima caracteristica real. Aplicnd apoi metoda regresiilor liniare multiple, se determin coeficienii funciei de aproximare H = (Q). b) Se definete analitic caracteristica pompei considernd forma rezultat prin intersectarea caracteristicii generale cu plane n=const. HP = C1 + C2Q + C3Q2 (9)31

Coeficienii C1, C2, C3 din ecuaia (9) se determin prin impunerea condiiei ca graficul HP = H(Q) s treac prin punctele A, B i C (fig.1.37). HA = C1 + C2QA + C3QA 2 HB = C1 + C2QB + C3QB 2 HC = C1 + C2QC + C3QC 2 (10)

iFig.1.37 Caracteristicile pompei

Din grupul de relaii (10) se scot coeficienii C1, C2, C3 care introdui n relaia (9) vor defini analitic expresia sarcinii pompei HP. Procednd asemntor pentru caracteristica vacuumetric, se obine urmtoarea expresie analitic: HV adm = C1V + C2VQ + C3VQ2

(11) unde coeficienii C1, C2, C3 se determin prin rezolvarea unui sistem simplu de ecuaii algebrice asemntor celui din grupul de relaii (10). n urma rezolvrii, expresiile sarcinii instalaiei Hi i a sarcinii pompei HP vor fi deci cunoscute. Aa cum s-a artat la prezentarea metodei grafice, intersecia caracteristicilor determin valorile parametrilor fizici ai punctului funcional. Analitic, procedura este aceeai i const n egalarea expresiei sarcinii instalaiei Hi , dat de relaia (3), cu expresia sarcinii vacuumetrice HP, dat de ecuaia (9): HC + sQ2 = C1 + C2Q + C3Q2 (12) sau altfel: Q2 (C3 s) + C2Q + (C1 HC) = 0 (13) Se rezolv ecuaia (13) de gradul al doilea n Q. Soluia sa reprezint debitul corespunztor punctului funcional. Verificarea, tot analitic, a funcionrii mainii pe aspiraie se face n urmtoarea succesiune de pai: - se introduce Q n expresia lui HV adm: (HV adm)N = C1V + C2VQN + C3VQN 2 - se introduce Q n expresia lui Ha: (Ha )N = HC 1 P + s 1 P QN 2 - se compar valoarea lui (HV adm) cu (Ha ). Dac (HV adm) > (Ha ) pompa poate funciona pe aspiraie n condiii corespunztoare.

32

1.3.9 STABILITATEA FUNCIONRII POMPELOR N INSTALAII Echilibrul energetic la funcionarea unei pompe centrifuge ntr-o instalaie poate fi stabil sau instabil. Un punct de funcionare este stabil, dac la apariia unor perturbaii orict de mici n sistemul pomp-instalaie, punctul oscileaz n jurul poziiei iniiale din care a fost scos de perturbaie i revine la aceasta dup ncetarea perturbaiei. Punctul de funcionare se numete instabil dac la aciunea unei perturbaii n sistem nu se mai revine la poziia iniial dinaintea aciunii perturbaiei. La ncetarea perturbaiei, punctul se deprteaz de aceast poziie. Se presupune o pomp care refuleaz ntr-un tanc n care suprafaa liber a apei se gsete la un nivel notat cu 1 n fig.1.38 care determin sarcina de poziie HC1. Parametrii funcionrii n instalaie vor fi n acest caz QN i HN. Punctul N de pe caracteristica pompei care definete regimul de lucru este un punct de funcionare stabil. Presupunem c, dintr-o Fig.1.38 Analiza stabilitii funcionrii n instalaie cauz oarecare, debitul Qi crete. n acest caz nivelul apei din rezervor scade, curba Hi (caracteristica instalaiei) se va deplasa n jos, punctul de intersecie cu caracteristica de sarcin a pompei va fi acum N. Funcionarea n punctul N are loc la o sarcin inferioar sarcinii punctului N, punctul de funcionare N fiind caracterizat de un debit Q > Q 1. Acest fapt determin reumplerea treptat a rezervorului, deci creterea nivelului apei. Se poate trage concluzia c punctele de pe ramura descendent a curbei HP(Q) sunt puncte de funcionare stabil. n continuare se va considera, de exemplu, punctul de funcionare A rezultat al funcionrii instalaiei la debitul QA i la sarcina HA , punct corespunztor nivelului 2 din rezervor. Dac se modific echilibrul dintre debitul pompei i debitul cerut de instalaie, presupunnd c debitul pompat crete pn la valoarea QA corespunztoare punctului A , diferena QA QA trebuie acumulat n rezervor. n acest caz nlimea de pompare crete, producnd deci o nou cretere a debitului. Punctul de funcionare se deplaseaz ctre dreapta spre punctul C. Invers, dac debitul pompat scade, rezervorul compenseaz diferena de debit, sarcina scade, ducnd la o nou scdere a debitului. n acest fel punctul de funcionare se deprteaz de poziia33

de echilibru. Punctele de pe ramura ascendent a curbei HP(Q) (dac exist o asemenea ramur) sunt puncte de funcionare instabil. Funcionarea instabil pe ramura BC este nsoit de zgomote puternice. Acest regim de funcionare se numete regim de pompaj. Regimul de pompaj este caracteristic tuturor mainilor cu principiu dinamic de funcionare.

34