Köenisberg , città della Prussia Orientale, nota per aver dato i natali al famoso filosofo Kant,

è attraversata dal fiume Preghel che, biforcandosi, divide la città in quattro zone collegate da

sette ponti .

Ad Eulero fu proposto,nel 1736, il problema di stabilire se fosse possibile attraversare una e

una sola volta tutti i ponti, che collegavano le zone della città, e tornare al punto di partenza

Per risolvere questo problema Eulero associò alla mappa della città una rappresentazione

semplificata: un grafo i cui nodi rappresentavano le diverse zone della città e gli spigoli i ponti

che le collegavano. Egli ricondusse il problema alla ricerca , nel grafo costruito, di un cammino

che passasse una ed una sola volta per ogni spigolo.

Per la prima volta Eulero formalizzò un problema di apparente natura geometrica, in termini

del tutto indipendenti da concetti, quali la misura di segmenti o di angoli, ma fortemente legati

alla relazione di connessione reciproca esistente tra alcuni punti del piano (le zone della città

collegate dai ponti sul fiume):

la posizione dei ponti è irrilevante,la “rete” che essi formano ha un ruolo importante.

In quest’ottica enunciò il seguente Teorema:

1.un qualsiasi grafo è percorribile (passando sugli spigoli una ed una sola volta e ritornando

al punto di partenza) se e soltanto se ha tutti i nodi “di grado pari”,

2. un grafo è percorribile, senza ritornare al punto di partenza., se

contiene nodi pari e soltanto due nodi dispari

3. un grafo che contiene più di due nodi dispari, non è percorribile, senza

sovrapposizioni di percorso.

Eulero, applicando questo teorema al grafo che rappresentava la città di Königsberg

dimostrò, nel 1736, che non esisteva un cammino euleriano ne’ un ciclo di Eulero.,in

quanto tutti e quattro i nodi del grafo erano di grado dispari, pertanto concluse che non

esisteva nessun percorso all'interno della città di Konigsberg che consentisse di attraversare

tutti e sette i ponti una volta soltanto, e ,quindi , il problema della passeggiata sui

ponti di Könisberg non aveva soluzione.

Osservazioni

• oggi ,dopo la seconda guerra mondiale, la città di Königsberg ha cambiato nome in

Kaliningrad, fa parte della repubblica russa ed ha perso alcuni degli antichi ponti

• La passeggiata sui ponti di Königsberg , considerata un piccolo rompicapo, divenne ad

opera di Eulero un problema matematico di rilevante importanza, punto di partenza

della teoria dei grafi

Applicazioni

• Problemi di trasporto

• Progettazione di reti elettriche , telefoniche, stradali,ferroviarie

Un grafo non orientato è definito da due insiemi disgiunti (V,E), dove

è un insieme finito di elementi detti vertici ed

è un insieme di coppie di vertici dette spigoli

Osservazioni

• Ogni spigolo del grafo corrisponde ad una coppia non ordinata(i, j) di vertici ,che risultano

collegati dallo spigolo

Un grafo orientato, o digrafo o grafo diretto, (directed graph) è definito da due insiemi

(N,A),

dove

è un insieme finito di elementi detti nodi ed

è un insieme di coppie ordinate di nodi dette archi

Proprietà

• In un grafo orientato un arco è uscente dal nodo coda –(tail) o nodo di partenza ed

è entrante nel nodo testa (head)o nodo di arrivo

• In un grafo orientato, gli elementi della coppia di nodi (i,j) vengono rispettivamente

definiti i predecessore di j e j successore di i

• un nodo con soli archi entranti è detto pozzo

• un nodo con soli archi uscenti è detto sorgente

• In un grafo orientato G = (N, A), un arco (i, j) Є A si

dice incidente nei nodi i e j.

• due archi(spigoli) si dicono adiacenti se hanno un

nodo(vertice) in comune,

• Un arco è detto loop se gli estremi coincidono,

• In un grafo non orientato, il grado del vertice o valenza (dv)

è il numero di spigoli incidenti su di esso

• In un grafo non orientato, un vertice è isolato se il suo grado è nullo

• In un grafo non orientato, un vertice è universale se d(v)=n-1, ossia è adiacente a

tutti gli altri vertici del grafo.

• In un grafo non orientato la somma dei gradi dei vertici è pari.

• un grafo non orientato possiede un numero pari di vertici di grado dispari.

• il grado entrante di un nodo in un grafo orientato è il numero di archi entranti,e il

suo grado uscente è il numero di archi uscenti

• In un grafo orientato una sorgente è un nodo il cui grado entrante è nullo

• In un grafo orientato un pozzo è un nodo il cui grado uscente è nullo

• La distanza tra due vertici(nodi) è la lunghezza del cammino minimo che unisce i due

vertici(nodi)

• La 1-mediana, di un grafo G=(V;E) non orientato, cui è associata la distanza tra i

vertici vi e vj, è ogni punto del grafo per il quale è minima la funzione

• l’eccentricità di un vertice A di un grafo connesso è la massima lunghezza di tutti

i possibili cammini che iniziano dal vertice A

considerato

• Il raggio di un grafo connesso è il valore

minimo dell’insieme delle eccentricità dei nodi

• Il diametro di un grafo connesso è la

distanza massima tra due suoi vertici

• Il ponte è uno spigolo tale che, se rimosso,

rende il grafo sconnesso.

• la densità di un grafo è

dove n è il numero dei nodi e L il numero degli archi

• un taglio di un grafo non orientato G=(V,E), è una partizione di V in due sottoinsiemi.

-Un arco attraversa il taglio se uno dei suoi estremi è in una partizione, e l'altro

nell'altra.

-Un taglio rispetta un insieme di spigoli se nessun arco attraversa il taglio.

-Un arco si dice leggero se ha peso minimo tra gli archi che attraversano il taglio.

Esempio:

Se A è un sottoinsieme degli archi (colorati in

rosso), il taglio rispetta A.

Se invece A è l insieme degli archi adiacenti ai

nodi d ed e, allora l’arco (d,c) è leggero per il

taglio