PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS … · 2020. 5. 15. · ensinamentos, pela prestatividade, apoio e amparo. ... Figura 7 – Tarefa da atividade para imprimir para

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática

Área de Concentração: Ensino de Ciências e Matemática

Eixo Temático: Ensino de Matemática

Rosimara Mesquita Miranda Bicalho

CONSTRUINDO O CONCEITO DE ÁREA DE FIGURAS PLANAS A PARTIR DE

PRÁTICAS INVESTIGATIVAS

Belo Horizonte

2020




Dissertação apresentada à Pontifícia Universidade

Católica de Minas Gerais, como exigência parcial

para obtenção do título de Mestre em Ensino de

Matemática.

Área de concentração: Ensino de Ciências e

Matemática

Orientadora: Profa. Dra. Eliane Scheid Gazire.

Belo Horizonte

2020

FICHA CATALOGRÁFICA

Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

Bicalho, Rosimara Mesquita Miranda

B583c Construindo o conceito de área de figuras planas a partir de práticas

investigativas / Rosimara Mesquita Miranda Bicalho. Belo Horizonte, 2020.

225 f. : il.

Orientadora: Eliane Scheid Gazire

Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática

1. Matemática (Ensino fundamental) - Estudo e ensino. 2. Geometria - Estudo

e ensino. 3. Geometria plana. 4. Cálculo. 5. Estratégias de aprendizagem. 6.

Prática de ensino. I. Gazire, Eliane Scheid. II. Pontifícia Universidade Católica de

Minas Gerais. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.

III. Título.

CDU: 513:373

Ficha catalográfica elaborada por Fabiana Marques de Souza e Silva – CRB 6/2086




Dissertação apresentada à Pontifícia Universidade

Católica de Minas Gerais, como exigência parcial

para obtenção do título de Mestre em Educação

Matemática.

Área de concentração: Ensino de Ciências e

Matemática

_____________________________________________________________

Profa. Dra. Eliane Scheid Gazire – PUC/MG (Orientadora)

_____________________________________________________________

Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda– PUC/MG (Banca examinadora)

______________________________________________________________

Prof. Dra Cláudia de Vilhena Schayer Sabino – PUC/ MG (Banca examinadora)

Belo Horizonte, 24 abril de 2020.

Dedico este trabalho:

Ao meu amado esposo, Geraldo, por todo apoio, companheirismo, motivação e carinho

dedicados a mim, sem os quais não seria possível a concretização deste.

Aos meus filhos, Lucas Daniel e Larissa Manuela (ainda no meu ventre), presentes que Deus

me concedeu, razão de todos os meus planos e objetivos de vida.

Ao meu pai, Rafael, e à minha tia, Maria Ísis, pelo carinho e incentivo.

À minha mãe, pelo incentivo ao magistério.

Aos meus sogros, D. Margarida e Sr. Sebastião, pelo apoio incondicional.

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus, por me guiar e me fortalecer a cada obstáculo.

À minha família, base fortalecedora, pelo apoio incondicional. Em especial ao meu marido,

que jamais me deixou desistir.

À professora Eliane Scheid Gazire, pela sua orientação e apoio, tornando possível a

concretização desta pesquisa.

Aos professores que, delicadamente, aceitaram o convite para participarem da minha banca.

Aos professores do mestrado: Mariana Veríssimo Soares de Aguiar e Silva, Amauri Carlos

Ferreira, Elenice de Souza Lodron Zuin, João Bosco Laudares, Lídia Maria Luz Paixão

Ribeiro de Oliveira, Eliane Scheid Gazire e Tânia Fernandes Bogutchi, por todos os

ensinamentos, pela prestatividade, apoio e amparo. A ajuda de vocês foi importantíssima para

a construção de todo esse trabalho.

Aos colegas do mestrado, pelas discussões e aprendizagens compartilhadas, e pelo apoio nas

horas difíceis.

Aos alunos que participaram desta pesquisa, por contribuírem com meu aprimoramento

profissional e pela minha realização pessoal, na conquista deste sonho.

A todos os que contribuíram direta ou indiretamente na concretização desta pesquisa.

RESUMO

Buscou-se, por meio desta pesquisa, verificar as contribuições que emergem, no processo de

ensino/aprendizagem, ao se estimular a construção de conceitos e a dedução de fórmulas de

áreas de algumas figuras geométricas planas, a partir da experimentação e da (de)composição

dessas figuras. Os sujeitos da pesquisa foram alunos do 6º Ano do Ensino Fundamental Anos

Finais, regularmente matriculados na Escola Estadual Ministro Edmundo Lins, em Serro/

MG, no ano de 2019. Diante de uma constante defasagem no conceito e conteúdo de cálculo

de áreas e das dificuldades percebidas pela pesquisadora em sua trajetória, como professora,

ao resolver questões que tinham esse assunto como pré-requisito, tanto no Ensino

Fundamental como no Médio, ficou claro que esse seria um tema relevante e motivador a ser

tratado nessa pesquisa. Para tanto, essa pesquisa inicia, apontando as origens históricas da

Geometria, tendo, como referência, Boyer e Merzbach (2012); formata um conjunto de

atividades didáticas com suporte na abordagem e conteúdos desenvolvidos por Van de Walle

(2009), sobre áreas de figuras geométricas planas, que é o foco desta pesquisa. A

pesquisadora tomou a liberdade de organizar essas atividades didáticas, em conformidade

com os elementos da teoria da Investigação Matemática, desenvolvida por Ponte, Brocardo e

Oliveira (2009), separando-as, então, em Momentos, e aplicando-as aos sujeitos dessa

pesquisa. Como resultado, foi percebido, durante a aplicação, um grande envolvimento dos

alunos, com muitos diálogos, conjecturas e interessante produção de dados para análise.

Como Produto dessa pesquisa, após as atividades aplicadas e revisadas, foi feita a elaboração

de um caderno com essas atividades investigativas, voltadas à prática de sala de aula. Este

caderno encontra-se no Apêndice dessa dissertação e, também, está no Site do Mestrado,

disponível para professores de Matemática, estudantes e interessados, que busquem

proporcionar experiências que possam contribuir para a construção/dedução/ressignificação

dos conceitos de áreas de figuras geométricas planas, em especial os triângulos e

quadriláteros, através da (de)composição dessas figuras e experimentação.

Palavras-chave: Investigação, (de)composição, experimentação, dedução, conceito de áreas,

figuras planas.

ABSTRACT

It was sought, through this research, to verify the contributions that emerge, in the teaching /

learning process, when stimulating the construction of concepts and the deduction of formulas

of areas of some flat geometric figures, from the experimentation and (de)composition of

these figures. The research subjects were students of the 6th Year of Elementary School Final

Years, regularly enrolled at the State School Ministro Edmundo Lins, in Serro/MG, in 2019.

Faced with a constant gap in the concept and content of calculating areas and difficulties

perceived by the researcher in her trajectory, as a teacher, when solving questions that had this

subject as a prerequisite, both in elementary and high school, it was clear that this would be a

relevant and motivating topic to be addressed in this research. To this end, this research

begins, pointing out the historical origins of Geometry, having Boyer and Merzbach (2012) as

a reference; formats a set of didactic activities supported by the approach and content

developed by Van de Walle (2009), on areas of flat geometric figures, which is the focus of

this research. The researcher took the liberty of organizing these didactic activities, in

accordance with the elements of the Mathematical Investigation theory, developed by Ponte,

Brocardo and Oliveira (2009), separating them, then, in Moments, and applying them to the

subjects of this research. As a result, it was noticed, during the application, a great

involvement of the students, with many dialogues, conjectures and interesting production of

data for analysis. As a Product of this research, after the applied and revised activities, a

notebook was made with these investigative activities, aimed at classroom practice. This

notebook can be found in the Appendix of this dissertation and is also available on the

Master's Website, available to Mathematics teachers, students and interested parties, who seek

to provide experiences that can contribute to the construction/deduction/reframing of the

concepts of geometric figures areas flat, especially triangles and quadrilaterals, through the

(de)composition of these figures and experimentation.

Keywords: Investigation, (de)composition, experimentation, deduction, concept of areas, flat

figures.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Imagem do Tangram .................................................................................. 31

Figura 2 - Imagem de um retângulo quadriculado .................................................... 39

Figura 3 - Foto da fachada da Escola Estadual Ministro Edmundo Lins ................ 44

Figura 4 – Modelo de atividade do produto e suas características – Parte 1 ........... 49



Figura 7 – Tarefa da atividade para imprimir para o aluno ..................................... 52

Figura 8 - Medindo a altura da carteira com o palmo da mão ................................. 57

Figura 9 - Medindo a largura da porta com os pés .................................................... 58

Figura 10 - Medindo o lado mais comprido da carteira usando palitos de picolé ... 58

Figura 11 - Comparando o comprimento da mesa do professor em relação à tira de

cartolina recebida .......................................................................................................... 61

Figura 12 - Caminhos curvos e dobrados .................................................................... 62

Figura 13 - Construção das réguas não padrões ......................................................... 67

Figura 14 - Medindo os objetos da sala de aula .......................................................... 67

Figura 15 - Construção da régua do Aluno A1 ........................................................... 68

Figura 16 - Medindo os objetos da sala usando a régua padrão ............................... 69

Figura 17 - Preenchimento das figuras com feijão ..................................................... 74

Figura 18 – Registro da resolução da Aluna A2 da Atividade 7 ............................... 78

Figura 19 - Quadrado Azul, Grupo 1 .......................................................................... 82

Figura 20 - Quadrado Rosa, Grupo 2 .......................................................................... 83

Figura 21 - Quadrado salmão, Grupo 3 ...................................................................... 84

Figura 22 - Resposta da Atividade 9 – Item 2(a) ........................................................ 89

Figura 23 - Resposta da Atividade 9 – Item 2(b) ........................................................ 91

Figura 24 - Resposta da Atividade 9 – Item 2(c) ......................................................... 92

Figura 25 - Resposta da Atividade 9 – Item 2(d) ........................................................ 93

Figura 26 - Resposta da Atividade 9 – Item 2(f) ......................................................... 94

Figura 27 - (De)compondo a folha de jornal (retângulo) em um quadrado ............. 98

Figura 28 - (De)compondo a folha retangular em um paralelogramo.................... 103

Figura 29 - (De)compondo a folha retangular em um triângulo ............................. 107

Figura 30 - Imagem do ângulo reto, feito pela professora no triângulo e na lousa109

Figura 31 - (De)compondo a folha retangular em um losango ................................ 113

Figura 32 - (De)compondo a folha retangular em um Trapézio ............................. 118

Figura 33 - Trapézio dividido em três partes sugerido pelo Aluno A5 ................... 120

Figura 34 - Diagonal no trapézio feita pelos alunos ................................................. 121

Figura 35 - Esboço da altura no triângulo menor feito pelo aluno M .................... 121

Figura 36 - Esboço da altura do triângulo ABC feito na lousa pela professora .... 122

Figura 37 - Esboço dos triângulos ACD e ABC, feitos pelos alunos no trapézio ... 123

Figura 38 – Registro da Resolução da Atividade 16 - Item 1(a) .............................. 131

Figura 39 - Registro da Resolução da Atividade 16 - Item 1(b) .............................. 131

Figura 40 – Registro da Resolução da Atividade 16 - Item 1(c) .............................. 132

Figura 41 – Registro da Resolução da Atividade 16 - Item 1(d).............................. 133

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Unidades de medida comumente encontradas .......................................... 37

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 – Título da atividade “Maior, menor, igual” ............................................. 25

Quadro 2 – Título da atividade “Caçada dos comprimentos (ou unidades)” .......... 26

Quadro 3 – Título da atividade “Caminhos dobrados” ............................................. 26

Quadro 4 – Título da atividade “Qual a altura do professor?” ................................ 27

Quadro 5 – Título da atividade “Faça sua própria régua”........................................ 28

Quadro 6 – Título da atividade “Comparar retângulos – sem unidades” ............... 30

Quadro 7 – Título da atividade “Áreas no Tangram”. .............................................. 32

Quadro 8 – Título da atividade “Preencher e comparar” ......................................... 33

Quadro 9 – Título da atividade “Comparação de retângulos: unidades quadradas”

.................................................................................................................................... 33

Quadro 10 – Título da atividade “Perímetros fixos”.................................................. 35

Quadro 11 – Título da atividade “Áreas fixas” .......................................................... 35

Quadro 12 – Título da atividade “Sobre uma unidade” ............................................ 36

Quadro 13 – Título da atividade “Adivinhe a unidade” ............................................ 37

Quadro 14 – Título da atividade “Área de um paralelogramo” ............................... 40

Quadro 15 – Título da atividade “Área de um triângulo” ......................................... 41

Quadro 16 – Análise das questões ................................................................................ 46

Quadro 17 – Descrição da Atividade 1 ........................................................................ 56

Quadro 18 – Enunciado da atividade 1 ....................................................................... 56


Quadro 20 – Enunciado da atividade 2 ....................................................................... 60


Quadro 22 – Enunciado da Atividade 3....................................................................... 62












Quadro 34 – Passo a passo na construção do Tangram (material entregue aos

alunos) ............................................................................................................................. 86


Quadro 36 – Descrição da Atividade 10 ...................................................................... 95

Quadro 37 – Enunciado da Atividade 10..................................................................... 96

Quadro 38 – Descrição da Atividade 11 .................................................................... 101

Quadro 39 – Enunciado da Atividade 11................................................................... 101











LISTA DE SIGLAS

Cm2 Centímetro quadrado

IEC Instituto de Educação Continuada

Km Quilômetro

Mm Milímetro

PCN Parâmetros Curriculares Nacionais

PUC/MG Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

SI Sistema Internacional de Unidades de Medidas

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 17

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................................................................ 21

2.1 Um pouco de História… .......................................................................................... 21

2.2 Geometria e investigação ........................................................................................ 22

2.3 Conceito de área....................................................................................................... 29

2.4 Unidades de área e seu uso...................................................................................... 32

2.5 Fazendo a escolha de unidades apropriadas ......................................................... 37

2.6 Estimativa de medidas e dicas para este ensino .................................................... 38

2.7 Desenvolvendo fórmulas para áreas ...................................................................... 39

2.7.1 Área de retângulos, paralelogramos, triângulos e trapézios ............................... 39

2.7.1.1 Área do retângulo ............................................................................................... 39

2.7.1.2 Área do paralelogramo ....................................................................................... 40

2.7.1.3 Área do triângulo ................................................................................................ 41

2.7.1.4 Área do trapézio.................................................................................................. 41

2.7.1.5 Área do quadrado................................................................................................ 42

3. ETAPAS DA PESQUISA .......................................................................................... 43

3.1 Público-alvo desta pesquisa .................................................................................... 43

3.2 Elaboração das atividades....................................................................................... 45

3.3 Elaboração do produto ............................................................................................ 46

4. ANÁLISE E RESULTADOS DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES

INVESTIGATIVAS....................................................................................................... 55

4.1 Análise a priori e a posteriori das atividades.......................................................... 55

4.1.1 Atividade 1 ............................................................................................................. 56

4.1.1.1 Análise a priori da atividade 1 ........................................................................... 56

4.1.1.2 Análise a posteriori da atividade 1. .................................................................... 57

4.1.2 Atividade 2 ............................................................................................................. 59


4.1.2.2 Análise a posteriori da atividade 2 ..................................................................... 60

4.1.3 Atividade 3 ............................................................................................................. 61



4.1.4 Atividade 4 ............................................................................................................. 63



4.1.5 Atividade 5 ............................................................................................................. 65



4.1.6 Atividade 6 ............................................................................................................. 71



4.1.7 Atividade 7 ............................................................................................................. 75



4.1.8 Atividade 8 ............................................................................................................. 79



4.1.9 Atividade 9 ............................................................................................................. 85



4.1.10 Atividade 10 ......................................................................................................... 95

4.1.10.1 Análise a priori da atividade 10 ....................................................................... 95

4.1.10.2 análise a posteriori da atividade 10 .................................................................. 96

4.1.11 Atividade 11 ....................................................................................................... 101

4.1.11.1 Análise a priori da atividade 11 ..................................................................... 101

4.1.11.2 Análise a posteriori da atividade 11 ............................................................... 103

4.1.12 Atividade 12 ....................................................................................................... 106



4.1.13 Atividade 13 ....................................................................................................... 112

4.1.13.1 Análise a priori da atividade 13 ...................................................................... 112


4.1.14 Atividade 14 ....................................................................................................... 116



4.1.15 Atividade 15 ....................................................................................................... 126



4.1.16 Atividade 16 ....................................................................................................... 128



5. CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................. 138

REFERÊNCIAS........................................................................................................... 142

APÊNDICES ................................................................................................................ 144

Apêndice A – Produto ................................................................................................. 144

17

1. INTRODUÇÃO

Ninguém começa a ser educador numa certa terça–feira, às quatro da tarde.

Ninguém nasce educador ou marcado para ser educador. A gente se faz educador, a

gente se forma, como educador, permanentemente, na prática e na reflexão sobre a

prática.

Paulo Freire (1991, p.58).

Desde minha infância, inspirada pelos exemplos familiares de mãe, tias e avó, sonhava

em ser professora. Colocava minhas bonecas e irmãos mais novos sentados e dava aulas para

eles. Este sonho não foi passageiro. Sempre gostei de ensinar irmãos, vizinhos. Quem

quisesse e precisasse, estava à disposição para atendê-los. Até mesmo quando não sabia,

pesquisava e tentava, de alguma forma, ajudar. A docência é minha vocação.

Dentre todas as disciplinas, a que mais me interessava era a Matemática. Em 1999, me

formei no magistério, pelo Colégio Nossa Senhora da Conceição, em Serro/ MG. No ano

seguinte, ingressei na licenciatura em Matemática, na Faculdade de Filosofia e Letras de

Diamantina, Diamantina/ MG, terminando meu curso em 2004. Durante o período em que

cursava a faculdade, além dos estágios de observação e regência, também lecionava em

contratos de escolas estaduais, os quais foram de grande valia para minha prática profissional,

e, assim, continuei minhas experiências como professora de Matemática. Em 2015, senti a

necessidade de aprimorar minha prática docente, ir além dos cursos de curta duração

promovidos pelo governo do estado. Precisava de algo mais. Foi, então, que decidi ingressar

na Especialização de Matemática Ensino Fundamental II e Ensino Médio, no Instituto de

Educação Continuada, IEC pela PUC Minas, onde encontrei profissionais altamente

qualificados na arte da docência e agucei ainda mais minha vontade de estudar. Em 2017,

ingressei no Mestrado em Ensino de Matemática, pela PUC Minas, na busca constante por

aperfeiçoamento e prática profissional, onde encontrei, novamente, professores que

conseguiram instigar e afiar a pesquisa em minha mente.

Atualmente, leciono na rede estadual de ensino, no Ensino Fundamental anos finais e

Ensino Médio. Percebo, em todas as séries, uma dificuldade de calcular área de figuras

planas. Quando os alunos se deparam com questões que exigem esta habilidade, como

conteúdos pré-requisitos, mesmo fazendo lembretes, eles não se sentem seguros quanto à sua

resolução. Acredito que essa defasagem possa ser consequência de um estudo mecânico,

advindo de fórmulas prontas e acabadas, sem possibilitar o entendimento de sua essência.

Sempre me deparei com esta dificuldade dos alunos, foi, então, que surgiu a ideia de trabalhar

18

no 6º Ano do Ensino Fundamental, turma que inicia os primeiros contatos com a área de

figuras planas, com a construção dos seus conceitos, em especial os triângulos e quadriláteros.

De acordo com o desenvolvimento do ensino-aprendizagem da Geometria e dos Parâmetros

Curriculares Nacionais (PCN), a problemática desta pesquisa baseia-se na seguinte pergunta:

Quais contribuições são verificadas no processo de ensino/ aprendizagem, ao se estimular a

construção de conceitos e a dedução de fórmulas de área de figuras geométricas planas, a

partir da experimentação/investigação e da (de) composição dessas figuras, com alunos do 6º

Ano do Ensino Fundamental Anos Finais?

Para responder à questão que norteia esta pesquisa, serão desenvolvidos os seguintes

objetivos:

Verificar como se dá a construção de conceitos e a dedução de fórmulas de

áreas de algumas figuras planas por alunos do 6º Ano do Ensino Fundamental a

partir da experimentação e da (de)composição dessas figuras.

Elaborar atividades nas quais os alunos terão a oportunidade de explorar os

triângulos e quadriláteros, e, a partir daí, descobrir os conceitos que serão

validados.

Aplicar as atividades e analisar os resultados.

A fim de atingir os objetivos definidos, esta pesquisa se constitui em 6 capítulos:

No primeiro capítulo, a introdução, é feita a descrição da trajetória da pesquisadora e

dos motivos que a levaram a definir a escolha do tema.

No segundo capítulo, é apresentada uma revisão bibliográfica, explanando brevemente

sobre a história da Geometria, de acordo com Boyer e Merzbach (2012). Trata, ainda, da

abordagem de Van de Walle, no livro “Matemática no Ensino Fundamental: Formação de

Professores e Aplicação em Sala de Aula” (2009), principalmente em seu capítulo 20,

“Desenvolvendo Conceitos de Medida”, sobre perímetros e áreas de figuras planas, foco desta

pesquisa, por meio do qual a pesquisadora toma a liberdade de relacionar as atividades

desenvolvidas por ele às ideias de investigação desenvolvidas por Ponte, Brocardo e Oliveira,

em seu livro “Investigações Matemática na Sala de Aula” (2009).

No terceiro capítulo, são apresentadas: as etapas da pesquisa, a escolha da metodologia

adotada, trazendo o perfil dos participantes da pesquisa e, ainda, descrição da elaboração das

atividades. A título de exemplos, modelos de algumas atividades, parte integrante deste

trabalho, ali são apresentadas e comentadas.

19

No quarto capítulo, é realizada a análise a priori e a posteriori das atividades

investigativas e de toda sua aplicação.

No quinto capítulo são apresentadas as considerações finais, contendo todo o percurso

do trabalho até suas conclusões, os pontos positivos e negativos, a perspectiva em ensino de

áreas de figuras planas, na abordagem de composição e decomposição, e da investigação.

Nos apêndices, o leitor poderá verificar o produto elaborado a partir da pesquisa

realizada. Trata-se de um caderno de atividades, cujo principal objetivo é fornecer atividades

investigativas para professores da Educação Básica, a fim de proporcionar, em suas práticas,

experiências que possam contribuir para a construção/dedução/ ressignificação dos conceitos

e fórmulas de áreas de figuras planas, em especial os triângulos e quadriláteros, através da

(de)composição dessas figuras e da experimentação.

21

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Nem todas as pessoas pensam sobre as ideias geométricas da mesma maneira.

Certamente, nós não somos todos iguais, mas somos todos capazes de crescer e

desenvolver nossa habilidade de pensar e raciocinar em contextos geométricos.

John A. Van de Walle (2009, p.439).

2.1 Um pouco de História…

Segundo Boyer e Merzbach (2012), afirmava-se, usualmente, que os babilônios eram

melhores que os egípcios na álgebra, mas contribuíram menos na Geometria. Tábuas foram

encontradas desenterradas em Susa, no Irã de final do quarto milênio a.C., a uns trezentos

quilômetros da Babilônia, no ano de 1936, com resultados geométricos significativos.

Fazendo tabelas e listas, gosto mesopotâmico, um grupo de Susa compara as áreas e os

quadrados dos lados dos polígonos regulares de três, quatro, cinco, seis e sete lados, sendo tal

tábua de Susa considerada um exemplo de comparação sistemática de figuras geométricas.

Vale lembrar que, para eles, “a geometria não era uma disciplina matemática no nosso

sentido, mas uma espécie de álgebra ou aritmética aplicada em que números são ligados a

figuras” (BOYER; MERZBACH, 2012, p. 48). Há um desacordo em relação aos babilônios,

se sabiam ou não o conceito de figuras semelhantes, apesar de transparecer que sim, quando

se evidencia a semelhança de todos os círculos na Mesopotâmia, como no Egito. Já sobre

valores exatos e aproximados no cálculo de área, os autores explicam que,

Medidas eram o ponto central da geometria algebrizada do vale mesopotâmio, mas

um defeito grave, como na geometria egípcia, era que a distinção entre medidas

exatas a aproximadas não era tomada clara. A área de um quadrilátero era achada

tomando o produto das médias aritméticas dos pares de lados opostos, sem nenhum

aviso de que isso na maior parte dos casos era apenas uma aproximação grosseira.

(BOYER; MERZBACH, 2012, p. 49).

Boyer e Merzbach também relatam que os textos antigos em cuneiforme forneciam

muitos problemas no sentido da Geometria, mas que os babilônios consideravam-na

provavelmente como aritmética aplicada. Além das relações citadas, os babilônios antigos

bem como os egípcios conheciam outras importantes relações geométricas, como, por

exemplo, ângulo inscrito em semicírculo ser reto. Também a proposição geralmente

conhecida como Teorema de Tales é considerada como uma denominação errônea, por não

saberem avaliar a influência matemática pré-helênica sobre culturas posteriores. As tábuas

22

cuneiformes não podiam ser comparadas com documentos de outras civilizações, pois o

papiro e o pergaminho são menos resistentes ao tempo.

É importante, por isso, ter em mente as características gerais da Matemática egípcia

e babilônica, de modo que seja possível fazer conjecturas plausíveis quanto às

aparentes analogias entre as contribuições pré-helênicas e as atividades e atitudes de

povos de período posterior. (BOYER; MERZBACH, 2012, p. 50).

Boyer e Merzbach (2012, p.53) citam, ainda, que nos arquivos encontrados dos povos

pré-helênicos faltam enunciados explícitos de regras e de distinções claras entre resultados

exatos e aproximados; não se investiga a natureza da demonstração, que significa “várias

coisas em diferentes níveis e épocas”. Também não se constata que haja a necessidade de

demonstração e/ou preocupação com questões de princípios lógicos. Em relação às dimensões

das figuras para o cálculo de área, “nos problemas da Mesopotâmia, as palavras

“comprimento” e “largura” deveriam, talvez, ser interpretadas como o fazemos com as letras

x e y, pois os escribas de tábuas cuneiformes podem bem ter passado de exemplos específicos

a abstrações gerais”. No Egito, a abstração como hoje, não era usual, além de os problemas de

Matemática terem características de recreação bem como na Mesopotâmia, atribuindo certo

humor nesses problemas. Acredita-se que muito da Matemática pré-helênica era prática, mas,

certamente, não toda.

No século dezesseis, a geometria, em comparação com a álgebra e a trigonometria,

obteve menos avanços, mas teve alguns representantes, sendo, na Alemanha: Johannes

Werner (1468-1528) e Albrecht Dürer (1471-1528), e na Itália: Francesco Maurolico (1494-

1575) e Pacioli (1445-1517), observando a predominância destes dois países nas

contribuições à Matemática durante o Renascimento.

2.2 Geometria e investigação

Hoje em dia, com muita tecnologia e atividades diferentes para os alunos fora da

escola, a geometria pode tornar-se insignificante. Portanto, o docente não pode dar tudo

pronto e acabado. Estudos mecânicos não são mais bem-vindos para essa geração. Por isso, o

discente deve ser estimulado/desafiado a construir seus conceitos através da

experimentação/investigação. Só assim a aprendizagem será concretizada.

Bruno D’Amore, em seu livro “Elementos de Didática da Matemática” (2007), explica

que:

23

Aulas não concluídas, repetitivas, enfadonhas, cansativas, têm consequências

negativas nos alunos e, portanto, sobre todos os outros componentes do mundo da

escola, contribuindo em dar, ao próprio professor, uma imagem negativa da

Matemática. (D'AMORE, 2007, p. 38).

Em especial sobre a geometria, enfatizada nesta pesquisa, os documentos dos

Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) recomendam que esta subsidia a habilidade de

argumentação, possibilitando:

[…] ao aluno desenvolver um tipo de pensamento particular para compreender,

descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. Também é fato

que as questões geométricas costumam despertar o interesse dos adolescentes e

jovens de modo natural e espontâneo. Além disso, é um campo fértil de situações-

problema que favorece o desenvolvimento da capacidade para argumentar e

construir demonstrações. (BRASIL, 1998, p. 122).

No entanto, segundo Thompson e Preston (2004), citados por Van de Walle (2009), os

estudantes estão mais fracos na área de medidas do que em qualquer em outro tópico

curricular, existindo, segundo eles, várias hipóteses para isso. Dentre elas, destaca-se de como

o assunto é ensinado. Ao invés de experiências manipulativas, confiam-se muito nas figuras e

exercícios.

Van de Walle (2009, p.406) faz referências às ideias importantes sobre medidas e as

suas conexões aos conteúdos matemáticos. Trata-se da forma como o instrumento a ser

medido tem que ser vista: como “um atributo a ser medido”. Sendo assim compreendido,

reconhece-se os instrumentos de medidas como mecanismos para se obter a unidade de

medidas reais.

Para medir qualquer coisa, o estudante deve executar três passos:

Decidir qual atributo específico do objeto (ou fenômeno) deve ser medido.

Escolher uma unidade de medida que tenha aquele atributo e seja adequada.

Comparar as unidades, enchendo, cobrindo, emparelhando ou com algum outro

método, com o atributo do objeto que está sendo medido. (VAN DE WALLE, 2009,

p. 406).

Para Van de Walle estabelece que a medida esteja interligada aos conteúdos

matemáticos, fazendo uma conexão que deve ser integrada, como segue:

Números - associa ao mundo real, ampliando o senso numérico, muito significativo

para contar;

Valor posicional - construído no sistema de numeração decimal;

Álgebra - as funções usadas para estudo e descrição das relações entre vários

fenômenos, onde as fórmulas de medidas são também funções;

24

Raciocínio proporcional - usa-se escala e proporções em desenhos para obtenção de

medidas desconhecidas de figuras semelhantes, promovendo o senso multiplicativo;

Frações - necessidade de aumento com precisão, levando às partes fracionárias das

unidades;

Geometria - auxilia no desenvolvimento e compreensão das fórmulas para perímetro,

área e volume, solicitando, assim, entendimento das formas e relações abrangidas;

Dados - os gráficos e medidas são, naturalmente, mesclados nas mesmas unidades.

No desenvolvimento dos conceitos e habilidades de medidas, é necessário, segundo

Van de Walle (2009), fazer comparações. Muitos objetos podem ser comparados, por

exemplo, colocando-os alinhados um com o outro; usando modelos de unidades, sendo muito

benéfico medir o mesmo objeto com unidades diferentes; construindo e usando instrumentos

de medida. Também os alunos podem construir e utilizar seus próprios instrumentos de

medidas, assim, ficam mais próximos de como usar e comparar, mesmo sendo unidade

informal. Ele explica que existem os motivos para usar os dois tipos de unidades, as informais

e a padrão. Para o autor, as unidades informais facilitam a compreensão direta do atributo a

ser medido, evita objetivos contraditórios, fornece uma boa base para a unidade padrão e,

ainda, pode ser divertido.

A unidade padrão deve ser familiarizada pelo estudante, bem como as relações entre

ela e a informal, não havendo regra para quando usar essa ou aquela unidade. Os autores dos

padrões defendem a ideia de que o aluno deve ter muitas oportunidades de usar a unidade

informal e vivenciar experiências, antes de aprenderem a unidade padrão e as fórmulas.

Há, pelo menos, quatro razões para inclusão da estimativa nas atividades de medidas.

Segundo Van de Walle (2009), as estimativas auxiliam os alunos a focar o atributo medido,

bem como o processo de medida, fornecem motivação essencial e, aproximação com a

unidade padrão, quando usada; promovem o raciocínio multiplicativo. Em relação às medidas

de comprimento, ele sugere atividades que funcionam como centro de aprendizagens em sala

de aula, para as quais os alunos precisam se familiarizar com instrumentos de medidas, como,

por exemplo, a régua, para aprofundarem, assim, os conceitos de áreas, já que as medidas de

comprimentos são pré-requisito para as construções dos conceitos de áreas, onde estes devem

estar dissociados um do outro para que não haja uma confusão na hora da sistematização dos

conceitos. Isso indica que as atividades relacionadas devem seguir a linha de investigação, por

meio das quais os próprios alunos descobrem, por si só, os saberes.

25

Os quadros 1, 2 e 3, a seguir, especificam algumas sugestões de atividades, segundo

Van de Walle (2009), para a compreensão de medidas de comprimento. Estas atividades são

divididas em quatro momentos pela pesquisadora, seguindo a linha de raciocínio de

investigação que tratam Ponte, Brocardo e Oliveira:

Sobre investigação, Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), em seu livro “Investigações

Matemática na Sala de Aula”, explicitam os momentos na realização de uma investigação,

sendo esses:

Momento 1 “exploração e formulação de momentos de questões”, no qual o aluno

deve: reconhecer uma situação problemática, explorar a situação problemática, e

formular questões;

Momento 2, “conjecturas”, no qual o discente deve: organizar dados, formular

conjecturas (e fazer afirmações sobre uma conjectura);

Momento 3: “testes e formulações”, no qual a tarefa, para o educando, é: realizar

testes, refinar uma conjectura;

Momento 4 “justificação e avaliação”, tal que o aprendiz deve: justificar uma

conjectura e avaliar o raciocínio ou o resultado do raciocínio. (PONTE; BROCARDO;

OLIVEIRA, 2009, p. 21).

Quadro 1 – Título da atividade “Maior, menor, igual”

Exploração e

formulação de

questões

Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação

Monte um centro de

Aprendizagem sobre

classificação de

comprimento, no qual os

alunos ordenem objetos

como maior, menor ou

igual a um objeto

específico.

O objeto de

referência poderá ser

modificado

ocasionalmente para

produzir diferentes

comparações.

Uma tarefa

semelhante será

colocar os objetos

em ordem do de

menor comprimento

ao de maior

comprimento.

As crianças

deverão começar

com comparações

diretas de dois ou

mais

comprimentos.

Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009, p.408) e Ponte, Brocardo e

Oliveira (2009, p.21).

26

Quadro 2 – Título da atividade “Caçada dos comprimentos (ou unidades)”

Exploração e formulação

de questões

Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação

Dê às duplas de alunos uma

tira de cartolina, uma vara,

um comprimento de corda,

ou algum outro objeto com

uma dimensão de

comprimento óbvia.

A tarefa em um dia poderá

ser achar cinco coisas na sala

que sejam menores, maiores

ou com cerca de mesmo

comprimento de seus

objetos.

Eles poderão

fazer desenhos

ou escrever os

nomes das

coisas que eles

encontrarem.

Usarão, como

comprimento

designado, uma

unidade padrão

(por exemplo,

uma vara de

um metro ou

uma corda com

um metro de

comprimento).

A atividade poderá ser

repetida para

familiaridade com

importantes unidades

padrão.

Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009, p.408-409) e Ponte, Brocardo

e Oliveira (2009, p.21).

Quadro 3 – Título da atividade “Caminhos dobrados”


de questões

Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação

Construa alguns caminhos

tortos ou curvos no chão com

fita adesiva.

A tarefa será determinar qual

caminho é o mais longo e

assim por diante.

Os alunos

deverão achar

um modo de

fazer caminhos

retos que tenham

o mesmo

comprimento que

os caminhos

dobrados de

modo que

possam ser

facilmente

comparados.

Forneça às

duplas de

alunos um

longo pedaço

de corda. A

tarefa será mais

fácil se a corda

for maior que

os caminhos

dobrados.

Eles poderão

desenhar seus

caminhos diretos no

quadro-negro, marcá-

los no chão com fita

ou usar algum outro

método que o

docente invente. Peça

a eles que expliquem

como resolveram o

problema.



27

Van de Walle (2009) afirma que o uso de medidas informais para começar a medir

comprimentos, como, por exemplo: pegadas gigantes, recortes em cartolinas simulando

pegadas; cordas de medida, corte de fios de algodão do tamanho de um metro, são úteis para

medir as linhas encurvadas e a circunferência de grandes objetos como a mesa do professor;

canudos de plásticos, que podem ser cortados facilmente em unidades menores, podendo ser

ligados com um fio longo, sendo, segundo ele, uma excelente ponte para uma régua ou fita

métrica; pequenas unidades, tais como: palitos de dente, cubos encaixantes de brinquedos ou

de madeira, e clipes de papel. Porém, a explicação de como usar tais unidades deve ser feita,

para que seja praticado.

As atividades sugeridas até aqui estimulam as ideias corretas sobre medidas de

comprimento, sendo desenvolvidas através das discussões sobre os resultados obtidos. O

quadro 4, apresenta uma atividade sugerida por Van de Walle (2009) que relaciona as

unidades exemplificadas por ele novamente com os momentos de uma investigação sugeridos

por Ponte, Brocardo e Oliveira (2009):

Quadro 4 – Título da atividade “Qual a altura do professor?”

Exploração e

formulação de

questões

Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação

Explique que você

recebeu há pouco um

pedido importante da

Diretora da Escola:

ela precisa saber

exatamente a altura de

cada professor.

Os alunos deverão

decidir como medir os

professores e escrever

uma nota à Diretora

explicando qual é a

altura de seu professor

e como eles chegaram

a essa medida.

Explique que pode

ser mais fácil se

você se deitar e

eles medirem o seu

comprimento

deitado em vez de

sua altura.

Organize essa ideia

em vários Centros

de Aprendizagem

ao redor da sala.

Peça que os

alunos façam

marcas na

posição de seus

pés e de sua

cabeça e

estiquem uma

linha reta entre

essas marcas.



28

Para a atividade citada no quadro 4, solicita-se o fornecimento às duplas de alunos

qualquer uma das unidades de comprimento, apresentando-se várias opções, onde estes

selecionarão a unidade com a qual farão as medidas. Esta é uma atividade para uma boa

discussão, sugerindo-se questões, tais como: “Como você obteve sua medida? Os alunos que

mediram com a mesma unidade obtiveram os mesmos resultados? Por quê? Como a Diretora

poderá desenhar uma linha que tenha o mesmo comprimento que o professor?”. (VAN DE

WALLE, 2009, p.409).

O enfoque desta atividade é alinhar as unidades cuidadosamente de ponta a ponta, não

se esquecendo de sempre mencionar a tarefa básica e repetir o título “Qual é a altura do

professor?”. A utilidade de se usar os mesmos comprimentos (alturas, distância ao redor)

medidos por várias duplas facilita a discussão, ocorrendo possíveis erros, a fim de que o

processo medir fique refinado.

A régua é um instrumento para traçar e medir linhas retas, e esta deve ser um objeto

escolar essencial. Van de Walle (2009) afirma que o salto de usar unidades de medidas para o

uso de régua é desafiador, e considera que, para sua melhor compreensão, deve-se fazer com

que os alunos construam suas próprias réguas, e, sugere, para tal, que discentes as usem para

medirem objetos menores que ela, induzindo-os à sua compreensão correta, se contarem os

espaços entre as marcas, que indicam as unidades de comprimento. Quando já compreendem

o seu uso, é importante fazer uso de “réguas quebradas” para medir, assim entenderão que

qualquer unidade pode indicar o ponto de partida, e não somente o zero.

O quadro 5 esboça a atividade que o autor sugere para construção da régua pelos

alunos, sendo esta adaptada aos momentos na realização de uma investigação proporcionados

por Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), conforme já exposto anteriormente.

Quadro 5 – Título da atividade “Faça sua própria régua”

Exploração e

formulação de

questões

Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação

Recorte previamente

finas tiras de cartolina

com 5 cm de

comprimento e cerca

de 2 cm de largura.

Use duas cores

Forneça longas tiras

de cartolina com cerca

de 3 cm de largura.

Sem orientações

explícitas, faça os

alunos construírem

Estabeleça uma

lista de algumas

coisas a serem

medidas. Os

alunos deverão

usar suas novas

É muito provável

que haja

discrepâncias

devido às réguas

que não foram

feitas corretamente

29

diferentes de papel.

Discuta como as tiras

poderiam ser usadas

para medir,

colocando-as lado a

lado, de ponta a

ponta.

sua própria régua,

colando as unidades

sobre a cartolina.

réguas para

medir as coisas

na lista. Discuta

os resultados.

ou à falha na

compreensão de

como a régua

funciona.



Deve-se aproveitar a construção das réguas feitas pelos próprios alunos e transferir

para a régua padrão, pois a atividade pode ficar sem nexo se essa ligação não for feita.

Algumas questões são sugeridas por Van de Walle, para direcionamento do uso da régua, tais

como: “Quais são as unidades? Você poderia fazer uma régua com unidades de papel igual a

essa? [...] O que os números nas réguas sugerem? Para que são as outras marcas? Onde as

unidades começam?” (VAN DE WALLE, 2009, p. 412).

2.3 Conceito de área

Sobre o conceito de área no glossário do livro “Tudo é Matemática”, para sexto ano do

Ensino Fundamental, de Dante (2009), é dito que: “Área: medida de uma superfície”, e

complementa exemplificando com um quadrado de 2 cm de lado, explicitando que “a área da

região quadrada da figura é 4 centímetros quadrados” (DANTE, 2009, p. 315). Para Martin e

Strutchens (2000, p.82), citados por Van de Walle (2009) “é o espaço bidimensional dentro de

uma região. Como com outros atributos, primeiro os estudantes devem compreender o

atributo de área antes de medi-lo”. Seguindo a linha de raciocínio desta pesquisa, para melhor

entendimento de área, o estudante deve fazer atividades de comparação, para, então, entender

o atributo área, a fim de saber medi-lo, calculá-lo. Van de Walle (2009) afirma ser difícil fazer

comparações de figuras com dimensões diferentes, podendo haver falha no atributo área. Ele

acredita que, trabalhando pelo menos uma dimensão igual de duas figuras, os estudantes

podem entender melhor este atributo, através da sua sobreposição, com recortes e montagens,

deixando a comparação mais clara e mais concreta.

O quadro 6 apresenta uma atividade sugerida por Van de Walle, que, por

sobreposição, os alunos podem comparar a área de alguns retângulos. Esta, assim como

30

ocorreu com as anteriores, foi adaptada pela autora aos momentos de investigação seguindo a

linha de pesquisa.

Quadro 6 – Título da atividade “Comparar retângulos – sem unidades”

Exploração e formulação de

questões

Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e avaliação

Forneça aos alunos pares de

retângulos como os abaixo:

Par A: A1 de 2*9 e A2 de

3*6; Par B: B1 de 1*10 e B2

de 3*5; Par C: C1 de 3*8 e

C3 de 4*5

Os retângulos deverão ser

brancos com exceção dos

rótulos.

A tarefa dos

alunos será

decidir em

cada par qual

retângulo tem

a maior área

ou se os dois

têm a mesma

área.

Os alunos poderão

cortar ou dobrar os

retângulos de

qualquer forma

que desejarem,

mas terão de

incluir uma

explicação para

sua decisão em

cada par.

Nos primeiros dois pares, o

retângulo mais fino pode ser

dobrado e recortado para ou

emparelhar (Par A) ou ser

facilmente comparado (Par

B) ao segundo retângulo.

Para o par C, um retângulo

poderá ser sobreposto ao

outro e, então, os pedaços

serem comparados.



Sobre esta atividade, Van de Walle faz a seguinte observação: “o par C causará maior

dificuldade e você pode preferir reservá-lo para um desafio”. Acredita-se que isso aconteça

pelo fato de este ser mais complexo e desafiador.

Sugere-se, ainda, o uso do Tangram para trabalhar o conceito de área. Sobre o

Tangram, Hamze (2019) afirma, que:

Não se conhece ao certo a origem, a data de criação, nem o seu autor. O tangram é

um quebra-cabeça de origem chinesa, praticado há muitos séculos em todo o

Oriente. Segundo a lenda, o jogo surgiu quando um monge chinês deixou cair uma

porcelana quadrada, que se partiu em sete pedaços – daí seu nome, que significa “

tábua das sete sabedorias” ou “tábua das sete sutilezas”. A origem é de um painel em

madeira, de 1780 de Utamaro com a figura de duas senhoras chinesas a resolver um

tangram. A mais antiga publicação com exercícios de tangram é do início do século

XIX. Seu nome original: Tch´ i Tch´ iao Pan, significa as sete tábuas da argúcia.

(HAMZE, 2019).

31

Figura 1 – Imagem do Tangram

Fonte: Elaborada pela pesquisadora.

O jogo Tangram, ilustrado na figura 1, é composto por um quadrado dividido em sete

peças, sendo dois triângulos grandes, dois pequenos, um médio, um quadrado e um

paralelogramo, o que fornece meios de se calcular áreas por sobreposição de figuras. Van de

Walle (2009) sugere o uso dos dois triângulos pequenos sobrepostos, que podem formar o

paralelogramo, o quadrado e o triângulo grande, o que provoca muita discussão a respeito e

satisfaz o processo de investigação sobre o conceito de áreas. O quadro 7 esboça uma

atividade feita por Van de Walle usando o Tangram e seguindo a linha de pesquisa de

investigação:

32

Quadro 7 – Título da atividade “Áreas no Tangram”

Exploração e

formulação de

questões

Conjectura Testes e

reformulação


Desenhe o contorno

de várias formas

feitas com peças de

Tangram.

Deixe os alunos

usarem o

Tangram para

decidirem quais

são maiores e

quais são

menores.

As formas

poderão ser

duplicadas em

papel e as

crianças poderão

trabalhar em

grupos.

Deixe os alunos

explicarem como

chegaram às suas

conclusões. Há várias

abordagens diferentes para

essa tarefa, sendo melhor

se os alunos terminarem

suas próprias soluções em

vez de seguirem

cegamente suas

orientações.



Van de Walle (2009) aconselha que se peguem as peças do Tangram para fazer

comparações de áreas de algumas formas. A ideia é verificar a área formada pela união de

peças do Tangram e fazer comparações de uma área em relação à outra. Trata-se da

criatividade e inspiração de quem o faz, na arte da aprendizagem.

2.4 Unidades de área e seu uso

Para se ter a noção de medir áreas, Van de Walle (2009) sugere o uso de

preenchimentos, citando exemplos, tais como: círculos uniformes, fatias redondas de plástico,

moedas, feijões, azulejos coloridos, quadrados cortados de papelão, folhas de jornal para áreas

maiores. Todos estes objetos podem ser sugestões de preenchimento de áreas, como indicado

no quadro 8:

33

Quadro 8 – Título da atividade “Preencher e comparar”

Exploração e

formulação de

questões

Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação

Desenhe dois

retângulos e uma forma

de gota em uma folha

de papel. Faça isso de

modo que não tenham a

mesma área, mas sem

nenhuma área que seja

visivelmente maior ou

menor do que as outras.

A primeira tarefa

dos alunos será

fazer uma

suposição sobre

qual é a menor e

qual é a maior das

três formas.

Depois de registrar

suas suposições, eles

deverão usar um

“preenchedor” de sua

escolha para verificar

e decidir. Forneça

pequenas unidades,

como discos, azulejos

coloridos ou feijões.

Os alunos deverão

explicar, por

escrito, o que

descobrirem.



A ideia inicial de Van de Walle é desenvolver a medida de área através da cobertura,

ou seja, da sobreposição, sem introduzir fórmulas. É provável que os grupos proponham

medidas diferentes para a mesma região. Essa diferença deve ser discutida e apontadas as

dificuldades envolvidas em fazer estimativas ao redor da extremidade. Por isso, deve-se evitar

a ideia de que existe uma resposta certa. A única meta desta atividade é compreender o

sentido de área, estando distante do conceito de multiplicação das dimensões para se obter o

resultado de uma área.

A próxima atividade sugere a relação de multiplicação usando arranjos geométricos

para a área de retângulos, indicada pelo quadro 9:

Quadro 9 – Título da atividade “Comparação de retângulos: unidades quadradas”

Exploração e

formulação de

questões

Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação

Os alunos receberão

um par de retângulos

que ou são de mesma

área ou de áreas muito

próximas. Eles também

receberão um modelo

A tarefa será usar

as suas réguas

para determinar,

de qualquer

modo, qual é o

maior retângulo

Eles deverão usar

palavras, desenhos e

números para explicar

as suas conclusões.

Alguns pares de

retângulos sugeridos

A meta desta

atividade será

aplicar os conceitos

em

desenvolvimento

dos alunos de

34

ou desenho de uma

única unidade quadrada

e uma régua

apropriada. Não será

permitido que eles

recortem os retângulos.

Eles poderão desenhar

sobre os mesmos se

desejarem.

ou se eles

possuem a mesma

área.

são:

4*10 (40) e 5*8 (40)

5*10 (50) e 7*7 (49)

4*6 (24) e 5*5 (25)

multiplicação para

o cálculo das áreas

dos retângulos.



O objetivo da atividade do quadro 9 é instigar os alunos a associarem o cálculo de área

do retângulo à ideia de multiplicação. Quando acontece a socialização das ideias entre os

participantes da resolução da atividade, o raciocínio fica satisfeito e o conceito de área

refinado.

O uso de malhas é um importante aliado no cálculo de áreas. Como sugerido por Van

de Walle (2009), funcionam como “régua” para seu cálculo, não importando o tipo de malha:

triangulares, quadrangulares, hexagonais. O interessante é fazer o aluno pensar e entender a

fundamentação do conceito. A atividade “Áreas fixas”, apresentada no quadro 11, mais a

frente, será uma sugestão de seu uso, para este conceito.

Área ou perímetro? Van de Walle (2009) aponta que uma possível causa da confusão

dos alunos sobre os conceitos de área e perímetro se deve ao envolvimento de regiões a serem

medidas de ambos, ou pelo ensino de fórmulas, antes mesmo de entender a fundamentação.

Por isso, há uma tendência a confundir fórmulas. A seguir, nos quadros 10 e 11, serão

apresentadas atividades que podem contribuir para que essa confusão seja organizada, e, mais

uma vez, dividida em momentos de uma investigação.

35

Quadro 10 – Título da atividade “Perímetros fixos”


de questões

Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação

Dê aos alunos um laço de

fio que tenha, exatamente,

24 unidades de

comprimento (Use um fio

não elástico. Dobre o fio e

marque a distância de um

pé do laço. Amarre um nó

justo acima das marcas, de

modo que o laço resultante

tenha 24 polegadas).

A tarefa será

decidir que

retângulos de

diferentes

tamanhos

podem ser

feitos com um

perímetro de

24 polegadas.

Os alunos poderão

querer usar uma malha

de 1 polegada para

colocar os seus fios.

Cada retângulo

diferente poderá ser

registrado em papel

quadriculado com a

área anotada.



Com relação à atividade apresentada no quadro 10, uma alternativa para o laço de fio é

usar uma malha de papel quadriculado com 1 centímetro e desafiar os estudantes a

encontrarem retângulos com um perímetro de 24 unidades.

Quadro 11 – Título da atividade “Áreas fixas”

Exploração e formulação de

questões

Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação

Forneça aos alunos 36 ladrilhos

quadrados tais como os ladrilhos

coloridos. A tarefa será ver

quantos retângulos podem ser

feitos com uma área de 36 – isto

é, usando todos os 36 ladrilhos

para preencher todo o retângulo e

não apenas as suas bordas.

Cada retângulo

novo deverá ser

registrado,

desenhando o

contorno e suas

dimensões em

papel

quadriculado.

Malhas

quadradas de

um ou de meio

centímetro

serão bons

recursos para o

registro.

Em cada

retângulo, os

alunos deverão

determinar e

registrar o

perímetro.



Van de Walle (2009), em sua sistematização da atividade “Áreas fixas”, acredita ter

surpreendido o leitor, quando este descobre com a experimentação/investigação a conclusão

36

de que “dois triângulos com a mesma área não têm, necessariamente, o mesmo perímetro”

(VAN DE WALLE, 2009, p.416), reiterando que o fato não se restringe somente a triângulos,

como acontece no caso da atividade acima, com retângulos. Ainda sobre as atividades “Áreas

fixas” e “Perímetros fixos” é sugerido por ele o registro dos testes e reformulação, através de

tabelas e gráficos (comprimento versus largura para perímetro e comprimento versus área dos

retângulos).

Como citado anteriormente, as unidades não formais contribuem, de maneira

significativa, para se chegar à identificação e refinamento das unidades padrão. Segundo Van

de Walle (2009), existem três metas educacionais relativas à unidade padrão, que são: 1)

familiaridade com a unidade; 2) habilidade para selecionar uma unidade apropriada; 3)

conhecimento de algumas relações importantes entre as unidades. No quadro 12 será posta

uma atividade que auxilia na familiaridade com as unidades, e para melhor apresentação, está

dividida em momentos de uma investigação.

Quadro 12 – Título da atividade “Sobre uma unidade”


de questões

Conjectura Testes e reformulação Justificação e

avaliação

Dê aos alunos um modelo

de uma unidade padrão e

desafie-os a encontrar

coisas que tenham

medidas aproximadamente

daquela unidade. Por

exemplo, para desenvolver

familiaridade com o

metro, dê aos alunos um

pedaço de fita com um

metro de comprimento.

Peça que

eles façam

listas de

coisas que

tenham

aproxima-

damente 1

metro.

Mantenha listas separadas

para as coisas que são um

pouco menores (ou maiores)

ou duas vezes o comprimento

(ou metade do comprimento).

Encoraje os alunos a

descobrir artigos familiares

em suas vidas diárias. No

caso de comprimentos,

certifique-se de incluir

comprimentos circulares.

Depois, eles

poderão tentar

predizer se um

determinado

objeto é maior,

menor ou

próximo de 1

metro.



37

2.5 Fazendo a escolha de unidades apropriadas

Segundo Van de Walle (2009), para que os alunos saibam quais unidades apropriadas

a cada objeto, perguntas devem ser feitas a eles. Por exemplo: “A sala de aula deve ser

medida em metros ou centímetros?”. A resposta a esta questão envolve um amplo saber sobre

medidas e dimensões a serem adotadas. A atividade seguinte incentiva a escolha adequada de

unidades apropriadas pelo aluno, por meio de descoberta e debates.

Quadro 13 – Título da atividade “Adivinhe a unidade”


de questões

Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação

Encontre exemplo de

medidas de todos os tipos

em jornais, em cartazes ou

em outras situações

cotidianas.

Apresente o

contexto e as

medidas, mas

sem as unidades.

A tarefa será

identificar quais

unidades de medida

foram usadas.

Oriente os alunos

a discutir as

escolhas de

unidade.



Van de Walle lembra que os livros didáticos trazem uma excessiva informação de

subunidades e múltiplos de unidades, pela necessidade de satisfazer a necessidade de muitos

estados, não sendo capazes de determinar a unidade mais adequada a cada currículo.

Apresenta, ainda, em uma tabela, importantes unidades padrão e suas relações, conforme

tabela 1. Porém, aqui, esta se encontra adaptada, restringindo-se somente às unidades de

comprimento e área, para dar continuidade a esta linha de pesquisa.

Tabela 1 - Unidades de medida comumente encontradas

Sistema Imperial Sistema métrico

Comprimento Polegada

Pé

Jarda

Milha

Milímetro

Centímetro

Metro

Quilômetro

Área Polegada quadrada

Pé quadrado

Jarda quadrada

Centímetro quadrado

Metro quadrado

Fonte: Adaptada pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009, p.426).

38

2.6 Estimativa de medidas e dicas para este ensino

Van de Walle explica que “a estimativa de medidas é o processo de informação mental

e visual para medir ou fazer comparações, sem o uso de instrumentos de medida” (VAN DE

WALLE, 2009, p.427) e considera uma habilidade prática e também valiosa para a vida. Ele

estabelece algumas técnicas para estimar medidas, bem como sugere dicas para o ensino de

estimativa. As técnicas são as seguintes:

1. Desenvolver e usar referenciais ou referentes para unidades importantes, pois os

alunos que construíram suas próprias referências têm mais domínios de fazer

estimativas;

2. Usar “blocos menores”, quando apropriado. Por exemplo, o peso de uma pilha de

livros fica mais fácil de ser estimada se já houver alguma estimativa para um livro

“médio”;

3. Usar subdivisões, estratégia semelhante aos blocos menores, com os blocos

impostos ao objeto pelo estimador;

4. Iterar uma unidade mental ou fisicamente, sendo as larguras das mãos e dos dedos

úteis para medidas menores.

A melhor abordagem para o cálculo de estimativas é a prática, e são sugeridas por Van

de Walle algumas dicas que, para ele, devem estar em mente para o ensino de estimativa, quer

sejam:

a) Os alunos devem ser ajudados a aprender estratégias utilizando uma abordagem

específica, para, a partir de então, criarem suas próprias estratégias;

b) Deve haver uma discussão de como os vários alunos o fizeram, pois entenderão que

há vários caminhos e estratégias para a estimativa;

c) Deve ser aceita uma variedade de estimativas;

d) Os alunos são estimulados a apresentarem uma variedade de medidas que acreditam

incluir medida real. Trabalha-se, assim, a prática da vida real bem como ajuda a focar

sobre a natureza aproximada da estimativa;

e) A medida de estimativa deve ser tomada como uma atividade permanente e

contínua.

39

2.7 Desenvolvendo fórmulas para áreas

Van de Walle enfatiza que o uso de fórmulas origina em um estudo mecânico,

resultando em uma possível aprendizagem momentânea, mas que, quando se fundamenta na

criação de seus próprios conceitos, o aluno consegue lembrar/associar a relação/conta a ser

feita, fluindo, assim, em um processo natural de aprendizagem. Ele explica que:

Os resultados dos testes da Avaliação Nacional do Progresso Educacional (NAEP)

norte-americano indicam claramente que os estudantes não têm uma boa

compreensão das fórmulas [...]. Um erro muito comum é confundir as fórmulas para

área e para perímetro [...]. Simplesmente dizer aos alunos como uma fórmula foi

derivada não funciona. (VAN DE WALLE, 2009, p.429).

2.7.1 Área de retângulos, paralelogramos, triângulos e trapézios

Van de Walle (2009, p.430) cita que “a formulação de base vezes altura pode ser

generalizada para todos os paralelogramos (não só retângulos) e é útil para desenvolver as

fórmulas de áreas para triângulos e trapézios”, bem como ajuda a conectar uma ampla família

de fórmulas, que devem ser dominadas independentemente, conforme discriminado a seguir.

2.7.1.1 Área do retângulo

Deve haver uma compreensão clara sobre área para começar a pensar em fórmulas

para retângulos, segundo Van de Walle, que também explica que há certa confusão na mente

dos alunos sobre o conceito de área, e que deve ser revisada a multiplicação como visto nos

arranjos geométricos. Ele ainda exemplifica que se deve mostrar aos alunos filas e colunas de

objetos ou de quadrados, discutindo por que a multiplicação informa uma quantidade total.

Figura 2 - Imagem de um retângulo quadriculado

Fonte: Elaborada pela pesquisadora.

40

Sobre a área de um retângulo como o da figura 2, Van de Walle explica que:

Quando os alunos formularem uma abordagem para a área, baseada na ideia de uma

fileira de quadrados (determinado pelo comprimento de um lado) multiplicado pelo

número dessas fileiras que se ajustam ao retângulo (determinado pelo comprimento

do outro lado), é o momento certo para consolidar essas ideias. [...]. Certifique-se de

que os estudantes concluam que qualquer lado pode ser a base. Se você usar a

fórmula A = b*h, então a mesma área resultará usando qualquer um dos lados como

a base. (VAN DE WALLE, 2009, p. 431).

2.7.1.2 Área do paralelogramo

A ideia sugerida por Van de Walle para área dos paralelogramos é que os alunos

transformem os retângulos em paralelogramos, uma vez que já entenderam a fórmula de

retângulo, de base vezes altura, sugerindo, então, a atividade do quadro 14.

Quadro 14 – Título da atividade “Área de um paralelogramo”


de questões

Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação

Forneça aos alunos de

dois a três paralelogramos

desenhados em papel

quadriculado ou para um

desafio ligeiramente

maior, utilize um papel

liso.

Se for utilizado

papel liso,

forneça todas as

dimensões – os

comprimentos

de todos os

quatro lados e a

altura.

A tarefa dos alunos

será usar o que eles

aprenderam sobre a

área de retângulos

para determinar a

área desses

paralelogramos.

Eles deverão

encontrar um

método que funcione

para qualquer

paralelogramo, até

mesmo se não

utilizarem um papel

quadriculado.



Van de Walle (2009) detalha que se os alunos “ficarem desorientados”, o professor

deve pedir a eles que, de alguma forma, transformem o paralelogramo em retângulo. Eles

devem saber, através de suas construções/conclusões, que um paralelogramo sempre pode ter

as mesmas dimensões do retângulo, base, altura e área, e, assim, a fórmula de área de um

paralelogramo fica evidente, que é exatamente a área de um retângulo: base vezes altura.

41

2.7.1.3 Área do triângulo

Baseado em uma abordagem de resolução de problemas, Van de Walle, exemplifica,

com uma atividade, a área do triângulo, sugerindo o conceito de área dos paralelogramos para

se chegar ao conceito de área dos triângulos, como verificado no quadro 15:

Quadro 15 – Título da atividade “Área de um triângulo”


de questões

Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação

Forneça aos alunos pelo

menos dois triângulos

desenhados em papel

quadriculado.

Evite triângulos

retângulos,

porque eles são

um caso especial

mais fácil.

O desafio para os

alunos será usar o

que eles

aprenderam sobre a

área de

paralelogramos

para encontrarem a

área de cada um

dos triângulos.

Eles deverão estar

seguros de que o seu

método funciona

para todos os

triângulos que lhes

forem apresentados,

como também em

pelo menos mais um

que eles devem

desenhar.



Neste ínterim, Van de Walle (2009) oferece, ainda, algumas estratégias que o

professor pode utilizar com seus alunos, se “ficarem desorientados”, conforme segue:

Você pode achar um paralelogramo que se relaciona de alguma maneira a seu

triângulo? Se isso não é suficiente, sugira que eles dobrem um pedaço de papel e o

recortem fazendo duas cópias idênticas. Eles devem usar as cópias para descobrir

como um triângulo se relaciona a um paralelogramo. [...] A área de um triângulo

será então, metade da área do paralelogramo formado. (VAN DE WALLE, 2009, p.

431).

2.7.1.4 Área do trapézio

Van de Walle acredita que os alunos terão curiosidade de investigar a construção de

área dos trapézios, depois de terem desenvolvido as construções de áreas anteriores, sem

qualquer auxílio adicional. Ele afirma a existência de dez métodos para se chegar a este

42

conceito, relacionando-o à área do triângulo ou do paralelogramo, sendo todas essas fórmulas

conectadas, com o uso de métodos semelhantes. Eis sugestões de como conduzir diferentes

abordagens:

Construção de um paralelogramo dentro do determinado trapézio usando três de seus

lados;

Construção de um paralelogramo usando três lados que cercam o trapézio;

Desenho de uma diagonal formando dois triângulos;

Desenho de um segmento de reta pelos pontos médios dos lados não paralelos. O

comprimento desse segmento é a média dos comprimentos dos dois lados paralelos;

Desenho de um retângulo dentro do trapézio, deixando dois triângulos e, então,

reunindo esses triângulos.

Ao revisar as fórmulas, Van de Valle conclui sobre área de trapézios, como segue:

Trapézios também estão relacionados a paralelogramos e triângulos. Por exemplo

todos os trapézios podem formar dois triângulos. As alturas de cada um deles são a

mesma. Use B para o lado paralelo mais longo e b para o menos e a área do trapézio

será ½ (B*h) + ½ (b*h) (Embora isso possa ser simplificado, essa versão da fórmula

é um modo mais fácil de ser lembrado e reforça o processo utilizado). (VAN DE

WALLE, 2009, p. 434).

2.7.1.5 Área do quadrado

Para área dos quadrados, Van de Walle convida o leitor a fazer uma pausa e refletir:

“Você acredita que os alunos devem aprender fórmulas especiais para a área de um quadrado?

Por que sim ou por que não? Você pensa que eles precisam de fórmulas para os perímetros de

quadrados e de retângulos?”

No decorrer desta pesquisa, acredita-se que, com aplicação das atividades, se possa

chegar às respostas a estas perguntas. Para tanto, o percurso deste trabalho encontra-se no

próximo capítulo.

43

3. ETAPAS DA PESQUISA

Não é no silêncio que os homens se fazem, mas na palavra, no trabalho, na ação-

reflexão.

Paulo Freire (1987, p. 24).

A presente pesquisa desenvolveu-se na modalidade de pesquisa-ação, em que a

pesquisadora, ao observar e estimular a investigação, também se fez presente, no sentido de

orientar os alunos, quando necessário, para direcioná-los na dedução dos conceitos de áreas

das figuras planas, embasada nas ideias de Van de Walle (2009) e nas investigações de Ponte,

Brocardo e Oliveira (2009). Para isso, houve, ainda, a criação do caderno de atividades e sua

aplicação, com o intuito de alcançar uma melhoria da prática pedagógica dos professores de

Matemática em conceitos de áreas de figuras planas.

De acordo com Fiorentini:

A pesquisa-ação é um tipo especial de pesquisa participante, em que o pesquisador

se introduz no ambiente a ser estudado não só para observá-lo e compreendê-lo,

mas, sobretudo, para mudá-lo em direções que permitam a melhoria das práticas e

maior liberdade de ação e de aprendizagem dos participantes. Ou seja, é uma

modalidade de atuação e observação centrada na reflexão-ação. (FIORENTINI,

2004, p.65).

Assim, segundo Fiorentini e Lorenzato (2012), sobre pesquisa-ação, afirmam que “ela

também pode ser vista como uma modalidade de pesquisa que torna o participante da ação um

pesquisador de sua própria prática e o pesquisador um participante que intervém nos rumos da

ação, orientado pela pesquisa que realiza”. (FIORENTINI; LORENZATO, 2012, p. 114).

3.1 Público-alvo desta pesquisa

A Escola Estadual Ministro Edmundo Lins (FIGURA 3), mantida pelo Governo do

Estado de Minas Gerais, na sede da cidade de Serro, estado de Minas Gerais, ao Largo do

Pelourinho, Centro, tem sua organização administrativa, didática, técnica e disciplinar regida

pelo Regimento Escolar – 2017.

O prédio foi construído no século XIX, para residir a família do Barão de Diamantina,

Francisco Vasconcelos Lessa, quando, então, este passou a abrigar várias instituições. Em

1943, o prédio foi adaptado para a escola Ginásio Edmundo Lins, a princípio uma instituição

municipal, que atendia toda a região, recebendo meninos em regime de internato, funcionando

44

no segundo andar do prédio. Em 1965, o ginásio passou a ser estadual; na década de 70,

passou a ser uma escola mista; e, em 1990, foi criado o Ensino do 2º grau. Localizado na área

central do município de Serro, não pode sofrer alterações em sua fachada, por ser tombado

pelo Patrimônio Histórico, conservando sua característica de residência do século XIX,

embora tenha sua estrutura interior adaptada.

Figura 3 - Foto da fachada da Escola Estadual Ministro Edmundo Lins

Fonte: Arquivo da instituição (2017).

Atualmente, a escola funciona em dois turnos, manhã e tarde, oferecendo o Ensino

Fundamental Anos Finais e Ensino Médio, e conta com um público de, aproximadamente,

700 alunos.

A turma escolhida para a pesquisa é composta por vinte e cinco alunos, com idades

entre 11 e 15 anos, do sexto ano, turma A, da referida escola. O motivo que levou à escolha

desta turma foi um desafio para a pesquisadora, pois os alunos deste nível estão saindo de um

45

ciclo e iniciando outro, para descobrir o que trouxeram na bagagem a respeito do conteúdo e o

que absorveram a partir das experiências que vivenciaram e/ou compartilharam.

Os encontros aconteceram no mês de novembro de 2019. Os alunos foram convidados

a desenvolver, em 16 momentos, num total de 57 aulas de 50 minutos, investigações

matemáticas, por meio de dezesseis atividades investigativas, que tinham, por objetivo,

compor e decompor figuras planas através da investigação/argumentação. Baseada nos

momentos de uma investigação proporcionados por Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), essa

construção dos conceitos de área era proposta que fosse realizada de maneira dedutiva a partir

de atividades investigativas compondo e decompondo figuras, por meio de manipulação de

figuras.

3.2 Elaboração das atividades

As atividades foram todas elaboradas de acordo com as ideias de Van de Walle

(2009). Em algumas delas foram aproveitadas suas ideias originais e outras foram adaptadas

pela autora, porém, sem fugir do objetivo das atividades investigativas.

A seguir é apresentada cada atividade em sua ordem de aplicação, bem como a

habilidade a ser alcançada e sua breve descrição:

As atividades 1, 2 e 3 basearam-se na comparação de comprimentos, utilizando os

recursos do próprio corpo humano, como pés, mãos e palmos. Também foram

utilizados pedaços de barbantes e cartolinas para os alunos fazerem as medições e

comparações.

Na atividade 4, os próprios alunos se compararam através de suas estaturas.

Na atividade 5, com o material entregue pelo professor, eles criaram suas próprias

réguas e mediram os mesmos objetos da atividade 2. Mas a régua informal, construída

por eles próprios, só teve validade quando, após seu desenvolvimento, foi apresentada

a régua padrão. Ou seja, a partir desta atividade, eles já tiveram noção de medir

comprimentos utilizando as unidades padrão.

A atividade 6 começou a definir o conceito de áreas. Nela, foram usados objetos para

preenchimento das figuras definidas, e, ao mesmo tempo, comparadas as suas áreas.

Na atividade 7, com o uso do papel quadriculado, os alunos tiveram a noção de áreas

de retângulos, através da contagem dos quadradinhos e/ou através da ideia de

multiplicação de duas dimensões.

46

Na atividade 8, com o auxílio de quadradinhos, os grupos de alunos formaram seus

quadrados e souberam determinar suas áreas, definindo, assim, o cálculo de área do

quadrado.

Na atividade 9, com a construção do Tangram, houve uma comparação de áreas das

figuras que o compõem.

Na atividade 10, com o uso da folha de jornal, houve uma fixação do cálculo de área

do retângulo. Posteriormente, transformando esta folha em quadrado, fixaram,

também, o cálculo de área do quadrado.

As atividades 11, 12, 13 e 14, com o auxílio da folha retangular, trouxeram a

decomposição do paralelogramo, triângulo, losango e trapézio, respectivamente, sendo

uma complementar à outra e os conceitos assim se definiram.

As atividades 15 e 16 foram de fixação dos conceitos pré-definidos, objetivando-se

avaliar a aprendizagem de maneira informal.

3.3 Elaboração do produto

Sobre dissertação, Fiorentini e Lorenzato (2012, p.151) afirmam que “é um relato de

trabalho de pesquisa realizada mediante um processo metódico de construção e tratamento de

um problema ou questão de investigação, versando sobre um tema único e delimitado”.

Assim, propusemo-nos, nesta pesquisa, seguir fielmente essa linha de raciocínio, desde a

escolha do tema até a elaboração e aplicação das atividades. E verificamos que não há como

aprender os conceitos de área sem antes verificar os conceitos de medidas de comprimento.

Para que isso ficasse bem claro na mente dos alunos, montamos atividades investigativas de

acordo, também, com os pré-requisitos dos conceitos de área. O quadro 16 faz uma análise

das atividades, descrevendo seus títulos, objetivos e recursos utilizados em cada uma delas.

Quadro 16 – Análise das questões

Atividades Objetivos Recursos

1. Medindo objetos da sala

de aula.

Estimar e comparar

comprimentos, utilizando

unidades não padrões, como

palmos de mão, pés e palitos

de picolé.

Atividade impressa em papel

A4, palitos de picolé, objetos

da sala de aula.

47


2. Comparação de

medidas de comprimento.

Comparar objetos utilizando

uma unidade de medida dada.

Começar com comparações

diretas de dois ou mais

comprimentos.

Cartolina, atividade impressa

em papel A4, objetos da sala

de aula: lápis, caderno,

carteira, mesa do professor.

3. Comparação de

caminhos – comprimento.

Estimar e comparar

caminhos.

Calcular perímetro.

Barbante, fita adesiva colorida,

atividade impressa em papel

A4.

4. Comparação da altura

dos alunos.

Começar a fazer comparações

diretas de dois ou mais

comprimentos, e entre as

próprias estaturas dos alunos.


A4.

5. Construção de suas

próprias réguas.

Construir réguas não padrões. Cartolina, papéis coloridos,

atividade impressa em papel

A4, régua escolar.

6. Noção intuitiva de área

através da comparação e,

posteriormente, do seu

preenchimento.

Construir a noção de área

através da comparação de

figuras e do seu

preenchimento.


A4, feijão/ milho.

7. O uso do papel

quadriculado na intuição

do conceito de área do

retângulo.

Construir retângulos

determinados e calcular sua

área.


A4, papel quadriculado.

8. Noção intuitiva do

conceito de área do

quadrado.

Construir o conceito de área

do quadrado através de

ladrilhos quadrados.

Papel emborrachado, atividade

impressa em papel A4.



quadrado, a partir das

peças do Tangram.

Construir um Tangram.

Construir quadrados com as

peças do Tangram

comparando suas áreas.

Papel A4 colorido, atividade

impressa em papel A4, tesoura.

10. O uso do jornal na

construção do conceito de

área do retângulo e do

quadrado.

Medir as dimensões do jornal

e calcular a área do retângulo.

(De)compor o jornal em um

quadrado com recorte, medir

as dimensões e calcular sua

área.

Jornal, atividade impressa em

papel A4, tesoura.

48


11. Construção do


paralelogramo.

(De)compor o retângulo em

paralelogramo.


do paralelogramo e seu

cálculo.

Folha A4 colorida, atividade

impressa em papel A4, tesoura,

régua padrão.

12. Construção do


triângulo.


triângulo.


do triângulo e seu cálculo.



régua padrão.

13. Construção do


losango.


losango.


do losango e seu cálculo.



régua padrão.

14. Construção do


trapézio.


trapézio.


do trapézio e seu cálculo.



régua padrão.

15. Praticando o que

aprendemos sobre áreas de

figuras planas.

Calcular a área das figuras

planas de acordo com o que o

aluno aprendeu.


A4.

16. (De)composição de

figuras planas no conceito

de área

Calcular a área das figuras

planas de acordo com a sua

(de)composição.


A4.

Fonte: Elaborado pela pesquisadora.

Cada atividade apresentada no produto foi iniciada pelo seu ícone respectivo, seu

número e título, seguidos de um quadro com as orientações metodológicas ao professor e dos

quatro momentos de investigação com sua linha de raciocínio, como proposto por Ponte,

Brocardo e Oliveira (2009), já citados no capítulo anterior. A parte da atividade a ser entregue

aos alunos vem em seguida. Ela foi formatada, buscando possibilitar, ao docente, a sua

impressão e posterior aplicação aos alunos. Algumas atividades são acompanhadas, ainda, de

um passo a passo para recortes e construção das figuras planas a partir de retângulo. Essas

podem também ser impressas e entregues aos alunos ou utilizadas em projeção na sala de aula

a depender dos recursos disponíveis. As figuras a seguir mostram um exemplo de atividades

com as formatações explicadas anteriormente.

49

Figura 4 – Modelo de atividade do produto e suas características – Parte 1

Número

da

atividade

Título da

atividade

Indicativo de

direcionamento ao

professor

Ícone da

atividade

Quadro

metodológico

No desenvolvimento, é colocado como a atividade deve ser

desenvolvida pelo professor, trazendo algumas considerações que a

pesquisadora julgou pertinente, após a revisão da sua prática, no

decorrer da aplicação primeira da atividade.

50


Fonte: Dados da pesquisa.

Com relação aos momentos de investigação, como o exposto na figura 5, esses,

conforme já dito, foram elaborados pela pesquisadora, inclusive para as atividades formuladas

e/ou adaptadas de Van de Walle (2009) presentes no produto, a partir dos momentos de

investigação propostos por Ponte, Brocardo e Oliveira (2009).

Momentos

da

investigação

dentro da

atividade

Sugestões de

Van de Walle

(2009) para a

atividade

proposta

51



Título da

construção

Passos da

construção

Construção

Pronta

Imagem

ligada ao

tema

central da

atividade

principal.

52

Figura 7 – Tarefa da atividade para imprimir para o aluno


Vale ressaltar, também, que precedem as atividades o sumário, na ordem em que essas

se encontram no caderno, a apresentação, a introdução, capítulo que traz informações teóricas

importantes ao professor, a fim de embasar todo o trabalho a ser realizado. Ao final, são

colocadas as referências utilizadas no caderno de atividades.

Portanto, se faz valer este caderno de atividades com orientações ao professor, para

que ele possa ser o pesquisador participante que intervém nos rumos da ação, orientado pela

Indicativo de

direcionamento ao

aluno

Espaço para o

aluno fazer

contas ou

colocar

dimensões.

Normalmente

possuem o

mesmo

formato ao

qual a

atividade está

direcionada, a

fim de que o

aluno possa

consolidar a

ligação visual

da forma ao

seu respectivo

nome.

Local para

respostas

discursivas

.

53

pesquisa que realiza. Isso significa que é importante estar sempre aberto à pesquisa, a fim de

tornar a prática didática mais prazerosa, tanto para professor como para os alunos.

A seguir, encontram-se as análises a priori e a posteriori de cada uma das atividades

aplicadas, lembrando que após esta aplicação, o caderno de atividades, para ser concluído,

passou pelos processos de revisão (inclusive conceitual e da própria prática em sala de aula),

além de formatação para fins de produto e sua publicação.

55

4. ANÁLISE E RESULTADOS DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES

INVESTIGATIVAS

As investigações geométricas contribuem para perceber aspectos essenciais da

atividade matemática, tais como a formulação e teste de conjecturas e a procura e

demonstração de generalizações. A exploração de diferentes tipos de investigação

geométrica pode também contribuir para concretizar a relação entre situações da

realidade e situações matemáticas, desenvolver capacidades, tais como a

visualização espacial e o uso de diferentes formas de representação, evidenciar

conexões matemáticas e ilustrar aspectos interessantes da história e da evolução da

Matemática.

Ponte, Brocardo e Oliveira (2009, p. 71).

A partir das teorias e da experiência vivida, pode-se considerar esta pesquisa na

modalidade de pesquisa-ação, conforme já exposto, cuja professora-pesquisadora vivenciou

exatamente as constatações feitas pelos autores estudados, bem como se percebeu a essência

do espírito investigativo geométrico na prática em sala de aula. A seguir, as análises das

atividades aplicadas a priori, a qual é feita antes da aplicação, e a posteriori, feita depois das

atividades, à turma de 6º Ano do Ensino Fundamental.

4.1 Análise a priori e a posteriori das atividades

São expostos, a partir desta parte da pesquisa, quadros que descrevem as atividades,

observando os objetivos, material utilizado, organização da turma, duração e metodologia

utilizada. São observados, também, seus enunciados, bem como os registros das resoluções

das atividades dos alunos, com a apresentação das respostas mais significativas para esta linha

de pesquisa.

56

4.1.1 Atividade 1

4.1.1.1 Análise a priori da atividade 1

Quadro 17 – Descrição da Atividade 1

Atividade 1 – Medindo objetos da sala de aula

Objetivo: Estimar e comparar comprimentos, utilizando unidades não padrões, como palmos,

pés e palitos de picolé.

Material utilizado: Atividade impressa em papel A4, palitos de picolé, objetos da sala de

aula, tais como: carteira, porta (largura).

Organização da turma: Duplas ou trios.

Duração: 3 aulas.


O objetivo desta atividade era fazer com que os alunos tivessem a noção de

comprimento usando seu próprio corpo ou outros objetos que não fossem padrões, para que, a

partir de então, passassem a ter noção de comprimento/perímetro. Os alunos, organizados em

duplas, cada qual na sua vez, mediu os objetos definidos, responderam à atividade e, por fim,

compararam com as medidas dos colegas. Toda a observação feita por eles foi registrada na

folha impressa da atividade.

Quadro 18 – Enunciado da atividade 1

Descubra as medidas dos objetos que existem na sala de aula. Faça o que se pede:

1. Usando seu palmo, meça a altura da sua carteira. Minha carteira mede

aproximadamente, _____ palmos de altura.

2. Usando seu pé, meça a largura de uma porta. A porta tem, aproximadamente,

_____ pés de largura.

3. Usando palitos de picolé, meça o lado mais comprido de sua carteira. A

medida do lado mais comprido da minha carteira é de, aproximadamente,

_____ palitos.

Agora, compare as medidas que você obteve com aquelas obtidas por alguns dos seus

colegas. Essas medidas são iguais ou diferentes? Por quê?

Fonte: Teixeira, Nunes e Rizotto (2013).

57

4.1.1.2 Análise a posteriori da atividade 1.

As medidas encontradas pelos alunos ao item 1 da atividade 1 variaram entre 4, 4,5 e 5

palmos, como medida aproximada da altura da carteira. Eles acharam muito interessante e

divertida a atividade.

Figura 8 - Medindo a altura da carteira com o palmo da mão

Fonte: Arquivo da pesquisadora.

Os alunos perceberam que as medidas encontradas foram diferentes, e constataram que

alguns tinham as mãos maiores do que os outros, detectando, assim, o motivo da diferença.

Foi percebido que muitos alunos tiveram facilidade em fazer a medida utilizando a própria

mão, o que transpareceu que já têm este costume, cultura já adquirida por eles.

Da mesma forma, quanto ao item 2 da atividade 1, os alunos se prontificaram a medir

a porta da sala de aula. Interessante que colaram os pés nas portas e pediram a dois colegas

para ajudarem como apoio para não saírem do lugar e nem perderem o equilíbrio, mas houve,

posteriormente, a orientação de que não era necessário andarem colados à porta, ou podiam

fazer a medida com as portas abertas. Mesmo assim, preferiram deixar a porta fechada, mas

não mais ficaram tão rente à porta para tirarem suas medidas. Os valores encontrados,

também como esperado, variaram entre 4 e até 5,5 pés, sendo constatado novamente por eles

que quanto maior o pé, menor vai ser a medida encontrada, já indicando terem, também, uma

ideia de proporção.

58

Figura 9 - Medindo a largura da porta com os pés

Fonte: Arquivos da pesquisadora.

Houve muito interesse em fazerem esta atividade, tanto que os alunos fizeram filas

perto da porta para tirarem suas medidas, indicando que a atividade foi um sucesso.

Durante o desenvolvimento da atividade, houve muitas conversas, os alunos estavam

empolgados.

Já para responderem ao item 3 da atividade 1, foram oferecidos diferentes palitos de

picolés, o colorido e o comum, de medidas diferentes, sendo o primeiro especificado aqui

menor que o segundo. Como o instrumento para medir não era mais corporal, não houve

tantas divergências de medidas, as quais foram encontradas por eles, sendo 5,5 palitos

coloridos ou 5 palitos comuns. Os alunos constataram que não tinha como mudar muito

porque só tinham dois tipos de palitos, e até verificaram fazendo as trocas de palitos com os

colegas. Assim, os que receberam coloridos trocaram com os que receberam os palitos

comuns.

Figura 10 - Medindo o lado mais comprido da carteira usando palitos de picolé


59

No momento da aplicação, foi percebido que a pergunta final, quanto à comparação de

medidas, devia ser feita após cada item, para que as respostas fossem separadas, específicas

de cada item, pois em cada um deles foi utilizado um instrumento de medida diferente do

outro. Logo, esta questão requer uma alteração em sua elaboração. Sendo assim, após cada

item terá a pergunta “Essas medidas são iguais ou diferentes? Por quê?”. No decorrer da

aplicação, automaticamente esta questão já foi feita pela pesquisadora e respondida oralmente

pelos alunos.

4.1.2 Atividade 2



Atividade 2 – Comparação de medidas de comprimento

Objetivo: Comparar objetos utilizando uma unidade de medida dada.

Começar com comparações diretas de dois ou mais comprimentos.

Material utilizado: Cartolina, atividade impressa em papel A4, objetos da sala de aula: lápis,

caderno, carteira, mesa do professor.

Organização da turma: Duplas.

Duração: 2 aulas.


Nesta atividade, cada dupla de alunos recebeu uma tira de cartolina. Eles deviam

comparar com objetos na sala e anotar se são maiores, menores ou iguais à tira de cartolina

recebida, para, então, alcançarem os objetivos da questão.

60

Quadro 20 – Enunciado da atividade 2

Compare os objetos da sala de aula, marque com um X seu tamanho: maior, menor ou

igual à tira de cartolina recebida.

OBJETO (NOME) MAIOR MENOR IGUAL

Lápis

Caderno

Carteira (lado maior)

Altura da carteira

Mesa do professor

Fonte: Adaptada pela pesquisadora de Van de Walle (2009).

4.1.2.2 Análise a posteriori da atividade 2

Na atividade 2, os alunos, inicialmente, tiveram dificuldade na interpretação do

enunciado, que era para comparar o comprimento do objeto em relação à tira de cartolina

recebida. Alguns fizeram o contrário, mas discutindo entre si e perguntando à professora,

conseguiram, posteriormente, interpretá-lo corretamente. Pelo fato de haver empolgação de se

fazer atividades usando instrumentos diferentes dos comuns, não concentraram na leitura e na

interpretação do enunciado, necessitando da intervenção para que a confusão fosse desfeita.

Outro fato que pode ter contribuído para essa confusão foi a falta do termo “comprimento” no

lugar de “tamanho” neste enunciado, ao que foi alterado posteriormente.

Uma observação dos alunos foi relacionada à mesa do professor. Eles mediram os dois

lados e ficaram na dúvida se era pedida a medição do lado maior ou menor da mesa do

professor. Lembraram que na atividade anterior, quando usaram os palitos de picolé, foi

definido que era o lado maior da carteira do aluno, mas da mesa do professor não ficou

definido na questão. Houve, assim, duas constatações feitas pelos alunos, “em relação ao lado

maior, a mesa é maior, se for em relação ao lado menor, a mesa é menor”. (FIGURA 11).

61

Figura 11 - Comparando o comprimento da mesa do professor em relação à tira de

cartolina recebida


Após essa constatação, a pesquisadora interviu, definindo que fosse o lado mais

comprido da mesa do professor, mas considerou interessantes as observações feitas por eles.

Outra alteração que foi feita na elaboração da questão, tratava-se da importância de se aplicar

atividades com o intuito de pesquisa e constatar o olhar de quem o faz. Dessa forma, ficaram

claras para a pesquisadora as alterações que podiam/deviam ser feitas para melhor

desenvolvimento da aprendizagem.

4.1.3 Atividade 3



Atividade 3 – Comparação de caminhos – comprimento.

Objetivos: Estimar e comparar caminhos.


Material utilizado: Barbante, fita adesiva colorida, atividade impressa em papel A4.

Organização da turma: Dupla.

Duração: 3 aulas.


A professora construiu, no chão, caminhos curvos, dobrados, tortos, utilizando fita

adesiva colorida. Cada dupla recebeu um comprimento de barbante maior do que os caminhos

feitos no chão. Os alunos foram incentivados a medirem os caminhos da maneira como

62

preferirem, encontrando um modo de fazer caminhos retos que tivessem o mesmo

comprimento que os caminhos apresentados, de modo que pudessem ser facilmente

comparados. Por fim, eles deviam responder às perguntas de comparação de comprimento dos

caminhos, como demonstrado a seguir.

Quadro 22 – Enunciado da Atividade 3

Após a dupla receber um pedaço de barbante, compare-o com os 3 caminhos que

estão feitos no chão, os quais estarão em diferentes cores para melhor identificação.

A partir disso, responda:

Qual o caminho mais longo?

Qual o caminho mais curto?

Existe algum caminho com igual distância do outro?

O que você fez para descobrir esta(s) informação(ões)?

Escreva suas observações sobre a atividade:



Como descrito no enunciado da atividade 3, foram feitos três caminhos diferentes, um

verde todo reto, um vermelho com pequenas curvas, e um amarelo com algumas partes

dobradas, como mostra a figura 12.

Figura 12 - Caminhos curvos e dobrados


63

Foi pedido aos alunos que lessem a atividade e respondessem à primeira pergunta,

“Qual o caminho mais longo?”. As respostas foram imediatas. Unanimemente, disseram que

era o caminho verde. Continuando a investigação, houve a segunda pergunta “Qual o caminho

mais curto?”. Alguns responderam amarelo e outros, vermelho. Quando foi feita a terceira

pergunta: “Existe algum caminho com igual distância do outro?”, os alunos responderam que

sim: o amarelo e o vermelho.

Este primeiro momento foi feito apenas por meio de observação e respostas orais.

Então, foi dito a eles se queriam algum instrumento para medir, um aluno disse que tinham

que usar a régua, sendo oferecido a eles o barbante para medirem. Os alunos vieram correndo

para pegar, muito entusiasmados com a atividade. Mediram, colocando o barbante em linha

reta do lado dos caminhos, fizeram segurando um de um lado outro de outro, por cima

mesmo. Tentaram, mas não ficaram satisfeitos. Então, uma dupla, enfim, decidiu colocar o

barbante por cima dos caminhos e foram segurando até que ponto iria cada caminho. As

próximas duplas gostaram da ideia e também o fizeram. Sendo assim, conseguiram constatar

que o caminho mais longo era o amarelo, e o mais curto era o verde. Eles ficaram surpresos

com os resultados. Uma aluna disse que “o que faz o caminho ficar mais longo são as curvas”.

Outra aluna afirmou: “Pensei que o caminho reto era o maior”. Outro, disse: “O que pensamos

que era o mais longo era o mais curto” e, ainda outro constatou que: “Antes de medir com o

barbante, era uma resposta e agora é outra”. A pesquisadora afirmou a eles que estavam certos

em suas observações e estratégias para responderem às questões e que estavam de parabéns.

4.1.4 Atividade 4



Atividade 4 – Comparação da altura dos alunos

Objetivo: Começar a fazer comparações diretas de dois ou mais comprimentos, e as suas

próprias estaturas

Material utilizado: Atividade impressa em papel A4.

Organização da turma: Toda a turma.

Duração: 2 aulas.


64

Os alunos, com intervenção da pesquisadora, se colocaram em fila em ordem

crescente, fazendo, primeiramente, uma fila das meninas, depois uma fila dos meninos e, por

fim, uma fila para ambos os sexos. Os alunos deviam começar fazendo comparações diretas

de dois ou mais comprimentos, de suas próprias estaturas. Para trabalhar o respeito mútuo, a

pesquisadora orientou sobre a influência da genética, explicando porque um aluno era mais

alto que o outro ou vice-versa, e também a respeito da idade, a fase em que eles estão, que é

de crescimento, “adolescência”.


Tarefas:

1) Fazer uma fila das meninas em ordem crescente.

2) Fazer uma fila dos meninos em ordem crescente.

3) Unir as duas filas em ordem crescente.

4) Verificar que aluno/alunos estão no meio certinho da fila.

5) Responder às perguntas.

Perguntas:

Qual aluno ficou no meio da fila?

Quem é maior que este aluno?

Quem é menor que este aluno?

Têm alunos com mesma altura?



A atividade 4 foi desenvolvida com muita movimentação na sala de aula. Para os

alunos, essa foi uma excelente tarefa, pois estavam cansados de ficarem sentados em aulas

anteriores. O momento foi de descontração e, ao mesmo tempo, de aprendizagem. Eles tinham

a consciência disso, portanto, se mediram, se olharam, se compararam, discutiram para saber

quem era maior, quem era menor. Alguns menores já sabiam que eram os primeiros da fila e,

da mesma forma, os maiores também já sabiam que eram maiores, se enxergaram através da

atividade. Curioso é que estar em fila não é comum para eles no sexto ano, pois a escola não

65

oferece espaço suficiente para fazê-lo, portanto não é rotina deles. Para desenvolverem os

itens 1 e 2 da atividade, não tiveram nenhuma dificuldade, mas na hora de unir as duas filas, a

das meninas com a dos meninos, já pensaram e demoraram um pouquinho mais. Para analisar

o aluno que estava no meio da fila certinho, tiveram dificuldade, pois perceberam que tinha

número par de alunos, além de existirem alunos com mesma estatura. No momento da dúvida

foi sugerido escrever o nome dos dois alunos com mesma estatura, até porque havia essa

pergunta. Quanto a isso, facilmente resolveram o problema e responderam à atividade

entregue a eles.

4.1.5 Atividade 5



Atividade 5 – Construção de suas próprias réguas

Objetivo: Construir réguas não padrões.

Material utilizado: Cartolina, papéis coloridos, atividade impressa em papel A4, régua

escolar.


Duração: 5 aulas.


Nesta atividade, a pesquisadora recortou, previamente, finas tiras de cartolina com 5

cm de comprimento e cerca de 2 cm de largura, usando duas cores diferentes de papel.

Depois, discutiu com a turma sobre como as tiras podiam ser usadas para medir, colocando-as

lado a lado, de ponta a ponta. Após, forneceu longas tiras de cartolina com cerca de 3 cm de

largura. Sem orientações explícitas, fez os alunos construírem sua própria régua, colando as

unidades sobre a cartolina, estabelecendo uma lista de algumas coisas a serem medidas. Os

alunos deviam usar suas novas réguas para medirem as coisas da lista, discutindo os

resultados. Houve algumas discrepâncias devido às réguas não terem sido feitas corretamente

ou à falha na compreensão de como a régua funciona. Depois de utilizarem a régua construída

por eles mesmos, deviam usar a régua padrão e medirem os objetos previamente definidos

novamente, assim fazendo uma validação da construção da régua informal e aprendendo a

usar a régua padrão.

66


I) Depois de construir suas próprias réguas, meça objetos da sala de aula, anote

no quadro abaixo, e compare com as medidas obtidas pelo seu colega, marcando ser a

do seu colega maior, menor ou igual à sua.

OBJETO

MINHAS

MEDIDAS

MEDIDAS DO

MEU COLEGA

COMPARAÇÃO:

MAIOR,

MENOR OU

IGUAL

Lápis

Caderno

Carteira (lado

maior)

Altura da carteira

Mesa do professor

As medidas obtidas por você e seu colega são iguais ou diferentes? Porque isso

acontece?

II) Agora, com uso de uma régua padrão, anote as medidas reais dos objetos desta

atividade:

Lápis _______cm

Caderno _______cm

Carteira (lado maior) ______ cm

Altura da carteira ______ cm

Mesa do professor ______ cm

O que você observou nesta atividade, usando a régua feita por você e depois a régua

padrão?


67


A atividade 5 foi desenvolvida com bastante aceitação. Cada dupla recebeu o material

e foi orientada a construir suas próprias réguas (FIGURA 13). Colaram os papéis nas tiras

recebidas, recortando os pedaços que sobraram.

Figura 13 - Construção das réguas não padrões


No item I, houve divergências de valores, até mesmo entre as duplas, que deviam ser

os mesmos, mas ao conversar com os alunos, disseram que mediram cada qual seus próprios

objetos.

Figura 14 - Medindo os objetos da sala de aula


68

Antes de desenvolverem o item II da atividade, houve a socialização do item I:

Professora: O que vocês acabaram de fazer?

Aluna A2: Uma régua diferente.

Professora: Diferente por quê?

Aluna A: Porque os centímetros desta régua são maiores.

Professora: Não são considerados centímetros, mas sim unidades de medidas. Vocês

encontraram as mesmas medidas dos objetos?

Aluno V: Não, professora, o meu lápis era menor do que o do meu colega, a mesa da

professora eu medi o lado maior e meu colega o lado menor.

Aluno G1: A minha régua não precisou recortar nada no papelzinho, professora.

Professora: Porque você acha que você não precisou recortar e alguns dos seus

colegas recortaram?

Aluna A2: Eu sei, é porque na régua do G, ele deixou espaços entre os papeizinhos.

Mas o número de papéis que ele usou foi menor que o meu.

Aluno A1: Professora esta régua pode ser usada? Quero medir alguns objetos do meu

quarto.

Professora: Vocês podem usar somente contando as unidades, ou seja, cada

pedacinho, cada parte deste papel, mas depois de responder ao item II, vamos concluir se

esta régua pode ou não pode ser usada como você quer, A1.

Observação: O aluno A1, empolgado com a atividade, construiu sua própria régua não

padrão, como mostra a figura 15. Após a discussão, foi pedido que usasse a régua padrão e ele

mesmo constatou que eram diferentes.

Figura 15 - Construção da régua do Aluno A1


De acordo com Van de Walle (2009), a atividade proposta só tem valor se após o seu

desenvolvimento for usada a régua padrão. Portanto, seguindo a linha de raciocínio, com o

69

apoio da direção da escola que disponibilizou o material, foi emprestada aos alunos a régua

padrão, régua escolar.

Professora: (Continuando) A régua considerada padrão é a que estou emprestando

para vocês agora, e que será utilizada neste momento para medirem e responderem ao item II

desta atividade. Façam as medidas do que se pede e, depois, vamos socializar novamente o

que houve.

O item II foi desenvolvido pelos alunos, fazendo-se o uso da régua padrão. Nesta parte

da atividade não podia haver divergências de medidas como no item I, mas, mesmo assim,

houve, por diferenças de 1 centímetro. Após conversas entre os próprios alunos, alguns

chegaram à conclusão de que houve equívoco na hora de utilizarem o instrumento, pois

deviam começar a medir a partir do 0 e não a partir do 1 como alguns o fizeram.

Figura 16 - Medindo os objetos da sala usando a régua padrão


Socializando a atividade depois de desenvolvida pelos alunos, houve o seguinte

diálogo:

Professora: Vocês agora encontraram as mesmas medidas?

Aluna G2: Não, professora, os lápis eram de tamanhos diferentes.

Professora: Agora meça os mesmos lápis e me responda se têm o mesmo comprimento.

Aluna G2: Realmente, professora, têm o mesmo comprimento.

Professora: Algum de vocês encontrou comprimentos diferentes, medindo os mesmos

objetos?

70

Aluna A2: Sim, professora, mas é porque estava medindo a partir do 1, mas depois vi

que estava errada, tem que medir a partir do 0, pois do 0 até 1, já vale 1 centímetro.

Professora: Muito bem! Além disso, o que vocês observaram nesta atividade, usando a

régua construída por vocês e depois a régua padrão?

Aluno A1: Descobri que não posso utilizar minha régua para medir os objetos do meu

quarto.

Professora: Porque você chegou a esta conclusão A1?

Aluno A1: Porque fica diferente, tenho três réguas nas mãos, a que a senhora propôs,

a que eu fiz e a da escola, cada uma quando usada tem medidas diferentes.

Aluno V: A régua da escola é em centímetro e a nossa régua cada unidade é maior

que o centímetro, por isso que os objetos mediram mais em centímetros, que é a régua

padrão, do que na régua que fizemos.

Professora: Isso mesmo, gente! A régua da escola é a régua padrão. Todos devemos

utilizá-la para obtermos uma medida certa do que queremos medir. Por exemplo, precisamos

de uma linha para soltar pipas. Então, medimos a quantidade que queremos, vamos à loja e

lá eles utilizam a régua padrão, e nos fornecem a medida exata do que precisamos. Na

verdade, a linha de papagaio, devemos contar em metros, o que equivale a 100 centímetros.

Vocês já ouviram falar no SI.

Alunos: (Em coro). Não!

Professora: A sigla SI significa Sistema Internacional de Medidas, ou seja, em

qualquer parte do mundo utilizamos as medidas padrão. Para medirmos o comprimento de

uma cidade até outra, ou seja, a distância, é utilizado o quilômetro. Para medir o

comprimento dos nossos materiais, utilizamos o centímetro. Para medir a quantidade de

linha utilizada para soltar pipas é em metros, e assim por diante. Em outro momento

estudaremos sobre estas medidas e suas transformações separadamente.

Aluna G3: Transformações? Como assim, professora?

Professora: Sim, G3. As unidades são convertidas uma na outra de acordo com sua

necessidade. Por exemplo, 1 metro tem 100 centímetros, 1 Km tem 1000 metros e assim por

diante. (A pesquisadora, aproveitando a oportunidade, fez a escala no quadro de Km até mm

e expliquei a eles que eram unidades de comprimento e suas conversões).

71

4.1.6 Atividade 6



Atividade 6 – Noção intuitiva de área através da comparação e, posteriormente, do

preenchimento

Objetivo: Construir a noção de área através da comparação de figuras e do preenchimento.

Material utilizado: Atividade impressa em papel A4, feijão/milho ou outro material

“preenchedor”.


Duração: 3 aulas.


Os alunos receberam dois retângulos e uma forma de gota impressos em folhas de

papel A4, de modo que não tivessem a mesma área, mas sem nenhuma área que fosse

visivelmente maior ou menor do que as outras. A primeira tarefa dos alunos foi fazer uma

suposição sobre qual é a menor e qual é a maior das três formas. Depois de registrarem suas

suposições/observações, eles deviam usar um “preenchedor” de sua escolha para verificar e

tomar a decisão que responde à situação-problema. Para isso, foram fornecidas pequenas

unidades como discos, azulejos coloridos ou feijões/ milho, pequenos ladrilhos feitos de papel

cartão. Os alunos precisavam explicar, por escrito, o que descobriram. Ao final da atividade,

esperava-se que o aluno soubesse compreender o conceito de área, bem como comparar,

através do uso de preenchimento de pequenos objetos, áreas de retângulos e de figuras

irregulares.

72


Noção intuitiva de área através da comparação e posteriormente do preenchimento.

Figura 1: Desenho de silhueta de gota para preencher

Figura 2: Imagem do retângulo

73

Figura 3: Imagem do retângulo

Tarefa:

Você recebeu três formas, identificadas como figura 1, figura 2 e figura 3.

1. Qual é maior, menor ou são iguais? Anote, no espaço abaixo, suas observações

iniciais.

2. Agora, você deve preencher as figuras com feijão e verificar qual das figuras é

realmente a maior, a menor, ou se elas são iguais. Explique, por escrito, o que e

como descobriu.



Os alunos, agrupados em duplas, receberam as folhas referentes à atividade 6. Nela,

estavam a figura 1, uma gota e as figuras 2 e 3, ambas composta de retângulos, porém um na

forma vertical e outro na horizontal, comparando-se as dimensões. A ideia era de que, antes

de usarem qualquer preenchimento, respondessem intuitivamente qual das imagens era maior,

menor ou até mesmo iguais. Cada aluno respondeu aleatoriamente:

Professora: Qual figura é maior?

Aluna G2: As figuras 2 e 3 são iguais.

Aluno P1: A figura 1 é a menor de todas.

Aluno G1: Eu acho que a figura 1 é a maior de todas.

Aluna A2: Eu acho que a figura 3 é a maior de todas.

Professora: Como vocês sabem qual é maior?

Aluno P2: Eu medi com a régua.

74

Professora: Como assim? Como foi feita essa medida? Me mostra?

Aluno P2: Coloquei a régua a partir do zero e medi seu comprimento.

Professora: Mas o objetivo desta atividade é saber qual é maior, por exemplo, qual

sala é maior, a nossa ou a do outro sexto ano.

Alunos: (Em coro) A nossa.

Professora: Porque vocês sabem que é a nossa?

Aluno G1: Porque a nossa tem mais alunos do que a outra.

Professora: Isso, a nossa tem mais alunos porque cabem mais alunos. Portanto, o

espaço da nossa sala é maior. O espaço aqui definido chama-se área. Temos que olhar duas

dimensões, o lado maior e o lado menor, e avaliar como um todo, a sala completa.

Aluno P1: O chão da sala, professora, onde pisamos?

Professora: Sim P1, o espaço é tudo que comporta, é a área.

Aluna G3: Mas, professora, como vamos saber certo qual figura é maior?

Aluno P2: Temos que ver quantas coisas cabem dentro de cada figura, igual nas

nossas salas, comparamos o número de alunos que cabem em cada uma. E agora, o que

vamos usar?

Professora: Leiam ao item 2 da atividade e façam o que se pede.

Aluna G3: Então, vamos usar o feijão e contar quantos cabem em cada figura?

Professora: Trouxe os feijões para vocês usarem. Mãos à obra.

Figura 17 - Preenchimento das figuras com feijão


Os alunos usaram os feijões para preencherem as figuras facilmente, apertando daqui e

dali, e, rapidinho, as figuras já estavam preenchidas. Mas na hora de comparar, começaram a

contar os feijões de cada figura separadamente. No momento do desenvolvimento desta parte

da atividade, houve algumas falas para decidirem quem iria contar, como iriam fazer para

separarem e etc.

75

Professora: Como vocês estão fazendo para comparar as figuras?

Aluno V: Estamos contando os feijões, professora. Eu conto da figura 1, o G1 conta o

da figura 2, e quem terminar primeiro conta o da figura 3, e um vai ajudando o outro.

Aluna T: Eu e a G2, professora, preenchemos com os feijões a figura 1, a gota.

Depois, pegamos os feijões e colocamos na figura 2, sobraram alguns feijões, por isso

percebemos que a figura 1 é maior que a 2. E agora, pegando os feijões da figura 2 e

colocando na figura 3, percebemos que sobraram mais feijões.

Aluna G2: Então, descobrimos que a figura 1 é a maior, segundo lugar a 2 e a menor

de todas é a figura 3.

Aluno G1: Mas professora, as meninas não podem fazer isso, porque têm que contar

para saber.

Professora: Mas G1, leia novamente ao enunciado da atividade 6, item II. Ela quer

saber quantos feijões ou somente comparar as figuras?

Aluno G1: Ah, professora! Nós aqui perdendo tempo, enquanto as meninas já

descobriram!

Professora: Não estão perdendo tempo, são vários caminhos para se chegar a um

resultado. Chamam-se estratégias. Cada um segue a sua e, juntos, chegam a uma conclusão.

Então, qual caminho vocês acharam melhor?

Aluno V: O que as meninas fizeram, pois não precisa de contar; é somente comparar.

E, assim, toda a turma utilizou a estratégia que mais gostava e achava mais fácil, mas

sem perder o objetivo principal da questão, que se tratava de espaço, área, para se obter a

noção intuitiva de área.

4.1.7 Atividade 7



Atividade 7 – O uso do papel quadriculado na intuição do conceito de área do retângulo

Objetivo: Construir retângulos determinados e calcular sua área.

Material utilizado: Atividade impressa em papel A4/ papel quadriculado.

Organização da turma: Individual.

Duração: 3 aulas.


76

Os alunos foram orientados a seguir o enunciado da atividade, que pedia que fizessem,

no papel quadriculado, 3 retângulos com 24 quadradinhos, preenchendo a parte interna. Ao

final da tarefa cumprida, responderam às três perguntas, tendo, como objetivo principal, a

criação dos seus próprios conceitos de área do retângulo.


Faça, no papel quadriculado abaixo, 3 retângulos com 24 quadradinhos, preenchendo,

inclusive, as suas partes internas.

77

Agora, responda:

1 – Qual é a área dos retângulos?

2 – Como você fez para descobrir o resultado das áreas?

3 – O que você pode concluir sobre o cálculo da área do retângulo?



Os alunos receberam a folha contendo, na metade dela, uma malha quadriculada e

foram orientados a fazer o que se pediu no enunciado. No desenvolvimento da atividade 7,

item 1, houve algumas observações feitas pelos alunos, como indicado no diálogo a seguir:

Aluno P1: A área de todos os retângulos tem que dar 24, professora.

Professora: Como você sabe disso?

Aluno P1: A atividade pediu. Então, não podemos fugir do que está pedindo. Todos os

retângulos têm 24 quadradinhos. Então, todos os retângulos terão 24 de área.

Professora: Alguém discorda do P1?

Alunos: Em silêncio.

Eles estavam apenas começando a atividade, enquanto o aluno P1, estava constatando

a informação por ele obtida ao ler o enunciado.

Aluna T: É verdade P1, não tem como dar diferente de 24.

Professora: Como vocês fizeram para descobrir o resultado das áreas?

Aluno P3: Eu contei os quadradinhos.

Aluna A2: Eu multipliquei o número de quadradinhos de um lado pelo número de

quadradinhos do outro lado. Por exemplo, 6 vezes 4 que deu 24. Está certo, professora?

Professora: Está certíssima A2, mas os meninos também fizeram certo, apesar de ter

sido mais trabalhoso. Na Matemática, existem vários caminhos para se chegar a um

resultado. Devemos encontrar o caminho mais fácil e utilizá-lo.

A seguir, a figura 18 mostra a atividade resolvida pela aluna A2. Os retângulos feitos

por ela tinham as seguintes dimensões: rosa, 6 por 4; azul, 8 por 3; e o da cor laranja, 2 por

12, satisfazendo, assim, o enunciado da atividade.

78

Figura 18 – Registro da resolução da Aluna A2 da Atividade 7


Continuando a conversa com os alunos:

Aluna G2: Professora, eu não consegui fazer o retângulo 1 vezes 24, por quê?

Professora: Vocês não conseguiram porque a malha era menor que 24 quadradinhos,

ou seja, não tinha, em nenhuma de suas dimensões, o valor 24.

Aluno G1: É verdade, professora. As dimensões da malha são 20 de um lado e 15 do

outro.

Professora: Sim, G1. Então, qual a área do retângulo formado pela malha?

Aluno G1: Agora tem que multiplicar 15 vezes 20, dá 300 quadradinhos, professora.

Professora: Isso, muito bem G1! Você entendeu direitinho o conceito de área do

retângulo.

O aluno G1 foi além do enunciado da atividade, mas não fugiu ao objetivo, que era

criar o conceito de área do retângulo, associando muito bem a própria malha quadriculada ao

retângulo e ao cálculo da sua área.

Professora: O que vocês podem concluir sobre o cálculo de área do retângulo?

Aluna A2: Que é o resultado de uma multiplicação de dois números?

Professora: Sim A2. É o resultado da multiplicação de duas dimensões.

Aluna T: O que é dimensão, professora?

Professora: É como se fosse o comprimento de dois lados do retângulo, não tem o lado

maior e o menor? Então, um lado é considerado largura e o outro comprimento, ou

simplesmente dois comprimentos, duas dimensões, que, multiplicados, formam a área do

retângulo.

A atividade foi satisfeita e atingiu o objetivo, que era construir retângulos e calcular

sua área. Os alunos estavam, cada vez mais, entusiasmados com as atividades aplicadas a eles.

Eles reconheceram uma situação problemática, exploraram tal situação e formularam

79

questões. Em seguida, organizaram dados, formularam conjecturas, realizaram testes e

refinaram a conjectura de cálculo de área do retângulo. Por fim, justificaram e avaliaram o

resultado, conforme proposto por Ponte, Brocardo e Oliveira (2009).

4.1.8 Atividade 8



Atividade 8 – Noção intuitiva do conceito de área do quadrado

Objetivo: Construir o conceito de área do quadrado através de ladrilhos quadrados.

Material utilizado: Papel emborrachado, atividade impressa em papel A4.

Organização da turma: Grupos.

Duração: 5 aulas.


Nesta atividade foram entregues, a cada aluno, quadradinhos feitos com papel

emborrachado, de modo que, ao final da distribuição, fossem feitos três grupos na sala

separados pelas cores dos quadradinhos recebidos, sendo Grupo 1: Cor azul; Grupo 2: Cor

rosa; Grupo 3: Cor salmão. Cada grupo foi estimulado a juntar os quadradinhos de mesma cor

para formar uma única forma geométrica regular, sendo cada grupo a sua. Montados os

quadrados maiores, deviam responder aos questionamentos, de forma que, intuitivamente,

construíssem o conceito de área do quadrado.


Você recebeu quadradinhos feitos com papel emborrachado de uma determinada cor.

Verifique seu grupo conforme a distribuição feita:

Grupo 1: Cor azul

Grupo 2: Cor rosa.

Grupo 3: Cor salmão.

Agora, junto ao seu grupo, vocês devem juntar os quadradinhos de mesma cor para

formar uma única forma geométrica regular, cada grupo a sua.

Ao final, vocês devem responder aos questionamentos, um por grupo:

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1. Qual figura o grupo formou?

2. Quantos quadradinhos tem a sua forma geométrica?

3. Qual é a área da sua forma geométrica? Como foi feito o cálculo para

descobrir o resultado?

4. Compare a sua forma geométrica com a dos outros grupos. Qual a forma eles

construíram e qual a diferença entre elas?

5. Qual o conceito que acabamos de descobrir?



Iniciando a Atividade 8, houve a distribuição dos quadradinhos feita pela professora.

Alguns receberam mais de um quadradinho, mas da mesma cor, para ficarem em um só grupo

e não fugir da atividade proposta. Assim, os grupos foram formados a partir da cor dos

quadradinhos que receberam:

Professora: Cada um de vocês está recebendo um ou mais quadradinhos. Vocês

deverão unir aos alunos que receberam os quadradinhos de mesma cor.

Aluno G1: Professora, são quantos grupos?

Professora: Serão 3 grupos, separados da seguinte forma: Grupo 1, alunos que

receberam os quadradinhos azuis; Grupo 2, os alunos que receberam os quadradinhos rosas;

e Grupo 3, os alunos que receberam os quadradinhos na cor salmão.

Então, os alunos receberam as coordenadas da pesquisadora e se uniram de acordo

com as cores.

Aluna G3: Professora, mas o que iremos fazer com estes quadradinhos?

Professora: Boa pergunta. Todos querem saber?

Alunos: Sim! (em coro).

Professora: Cada grupo vai unir estes quadradinhos montando uma forma geométrica.

Podem começar.

A professora circulou pela sala, assistindo a todos os grupos, observando suas ideias e

conversas.

Grupo 1: Quadrado Azul.

Aluno V: Professora, o nosso grupo tem 25 quadradinhos azuis, nossa forma

geométrica será a maior.

Professora: Sim V, qual forma geométrica vocês pensaram?

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Aluna A2: Penso em um retângulo, mas não sei se vai dar certo!

Professora: Mas vocês têm que tentar montar a forma que pensaram. Se não der certo,

tentar outra, e assim por diante.

Aluno V: Mas A2, para formar um retângulo têm que conter número par de

quadradinhos.

Aluna A3: Não V, se fizermos uma fileira bem grande, formará um retângulo com 25

quadradinhos de comprimento, por 1 de largura.

Aluno V: Sim, vamos montar. Mas... A resposta já está na cara, a professora nos

entregou 25 quadradinhos no total, para simplesmente contá-los? Será?

Professora: A resposta é óbvia sim, mas vou dar uma dica, vocês já construíram

retângulos e calcularam suas áreas em atividades anteriores, não é?

Alunos do Grupo 1: Sim.

Professora: Agora use a imaginação e construa uma forma geométrica regular.

Aluna G3: Forma geométrica regular? Um quadrado, gente? Ele tem os quatro lados

iguais, ele é uma forma geométrica regular.

Alunos: Isso! Vamos montar?

Aluna A2: Professora, conseguimos pensar em uma forma geométrica regular, um

quadrado tem os quatro lados iguais.

Aluna G3: Isso, o nosso originou em um quadrado de 5 quadradinhos de cada lado,

totalizando os 25 quadradinhos.

Aluno V: Mas um triângulo equilátero também é uma forma geométrica regular. Mas

para construirmos um triângulo, devemos recortar os quadradinhos. Pode recortar os

quadradinhos, professora?

Professora: Vocês podem recortar sim, mas a ideia inicial é usar os quadradinhos

somente, sem modificá-los.

Aluna G3: Então, nossa forma geométrica já está montada, podemos responder aos

itens da atividade.

Professora: Podem continuar sim, depois que o fizerem, se quiserem podem montar

outras formas; até mesmo recortando os quadradinhos.

82

Figura 19 - Quadrado Azul, Grupo 1


O Grupo 1, composto pelos alunos V, A2, A3, G3, I2, R1, T1, souberam reconhecer,

explorar e formular a situação problemática. Quando pensaram na forma geométrica a ser

formada, organizaram dados e formularam conjecturas. Ao formarem a figura, realizaram

testes, avaliaram o resultado do raciocínio, quando perceberam que o quadrado 5 por 5

totalizavam em 25 quadradinhos.

O grupo 2, por sua vez, composto pelos alunos: A1, A4, G1, G2, M, R2, T2,

participaram ativamente do desenvolvimento da atividade, com todos interessados em usar os

quadradinhos para formarem sua figura geométrica. Prontificaram-se a unir e começar. Como

todo trabalho de investigação deve ser, houve a conversa entre professora e alunos do grupo:

Professora: Grupo 2, então? Conseguiram pensar em alguma forma geométrica para

se formar?

Aluno A1: Vamos colocar um quadradinho do lado do outro e ver o que vai dar?

Aluna A4: Vamos, mas acho que vai ficar uma fila de quadradinhos.

Aluno G1: Claro que vai ficar uma fila, formando, assim, um retângulo bem

comprido.

Aluna G2: Como são quadrados, juntos com certeza não formarão uma forma

circular.

Aluno M: Ah, gente, é claro que formará um retângulo.

Professora: Isso mesmo, alunos. Mas o retângulo nós já fizemos em atividades

anteriores. Agora a ideia é fazer uma forma diferente do retângulo.

Aluno M: Vamos colocar mais fileiras e ver no que vai dar.

Aluno R2: Sim, vamos!

Aluno T2: Gente, vai dar outro retângulo.

E assim fizeram outro retângulo, 2 por 8, totalizando os 16 quadradinhos rosas.

83

Aluno T2: Vamos fazer mais fileiras.

Alunos: Sim.

Ao final, de tanto testarem, conseguiram, enfim, formar o quadrado.

Aluno G1: Mas o que acabamos de formar é um quadrado. Um quadrado também é

um retângulo. Não é professora?

Professora: Sim, mas o conceito de área de um quadrado é que vocês deverão

construir a partir desta figura.

Aluna A4: A área do quadrado também deve ser multiplicada.

Aluno A1: Mas o quadrado não tem lado maior e menor, como no retângulo.

Aluno M: Mas é só multiplicar os dois valores. A professora fala as duas dimensões.

Aluna G2: As duas dimensões são iguais, e quando dois valores multiplicados são

iguais, quer dizer que está elevado ao quadrado.

Aluna T2: Então a área do quadrado é uma dimensão elevada ao quadrado!

Aluno M: É isso, professora?

Professora: Vocês concordam com o que a aluna T2 disse?

Alunos do Grupo 2: Sim! (em coro).

Aluno A1: O quadrado também é um retângulo, mas a diferença de calcular área é

porque podemos elevar a dimensão ao quadrado.

Professora: Isso mesmo, A1! Os lados do quadrado são iguais, por isso podemos

elevar seu lado ao quadrado, calculando, assim, sua área. Agora vocês já conseguem

responder aos itens da atividade.

Figura 20 - Quadrado Rosa, Grupo 2


Os alunos do grupo 2 conseguiram reconhecer e explorar a situação-problema, quando

testaram as construções das formas; formularam questões, quando associaram o retângulo ao

quadrado; e realizaram testes, quando fizeram as contas, ao montarem os retângulos iniciais.

84

Eles ainda justificaram a conjectura, ao final, quando descobriram o conceito de área do

quadrado.

O grupo 3, composto pelos alunos A5, I1, P1, P2, P3, R3, demonstrou, também, muito

interesse pela atividade. Houve, como em todos os grupos, discussões para construção da

forma e do conceito:

Professora: Grupo 3, vocês devem montar uma forma geométrica regular com os

quadradinhos que receberam.

Aluno A5: Forma geométrica regular significa que tem todos os lados iguais.

Aluna I1: Isso! Mas o nosso grupo tem menos quadradinhos, não acho que dá para

formar não.

Aluno P1: Mas vamos tentar!

E eles tentaram, até conseguirem formar o quadrado.

Aluna I1: Mas não é que deu certo? Achei que por serem menos quadradinhos não

daria certo.

Aluno P2: O nosso quadrado tem 9 quadradinhos.

Aluno P3: Se em cada lado tem 3 quadradinhos, 3 ao quadrado dá 9.

Aluno R3: Porque 3 ao quadrado?

Aluno P3: Porque são dois valores iguais sendo multiplicados. Então, podemos elevar

este valor ao quadrado.

Aluno P2: Então, a área do quadrado é o lado do quadrado elevado ao quadrado?

Professora: Isso mesmo, alunos. Qual conceito vocês acabaram de descobrir?

Aluno A5: Área do quadrado, professora.

Figura 21 - Quadrado salmão, Grupo 3


Os alunos do grupo 3 conseguiram satisfazer a proposta de uma investigação,

exploraram e formularam questões, na formação da figura, organizaram dados e formularam

85

conjecturas e, ao construírem o conceito de área, realizaram testes e justificaram uma

conjectura.

Ao final do desenvolvimento das atividades pelos grupos, houve a comparação das

formas geométricas de cada grupo, como proposto pela atividade, item 4. Todos verificaram

as formas geométricas construídas pelos outros grupos. Cada grupo verificou a sua forma e

criatividade, e conseguiram construir o conceito de área do quadrado, ou seja, atingiram o

objetivo da questão, que era construir, através de ladrilhos, o conceito de área do quadrado.

4.1.9 Atividade 9



Atividade 9 – Noção intuitiva do conceito de área do quadrado a partir do Tangram

Objetivos: Construir o Tangram.

Construir quadrados com as peças do Tangram, comparando suas áreas.

Material utilizado: Papel A4 colorido, atividade impressa em papel A4, tesoura.


Duração: 6 aulas.


Nesta atividade os alunos foram orientados a construírem o Tangram, seguindo o

passo a passo do quadro 34, material entregue a eles.

86

Quadro 34 – Passo a passo na construção do Tangram (material entregue aos alunos)

Passo 1: Com uma folha de papel A4, obtenha um quadrado, através das seguintes

dobragens e recorte.

Passo 2: Dobre o quadrado ao meio e recorte-o de modo a obter 2 triângulos (A e B).

Passo 3: Dobre o triângulo A ao meio para obter 2 triângulos menores (1 e 2).

.

87

Passo 4: No triângulo B, marque o meio, dobre o vértice oposto e recorte-o para obter

o triângulo 3.

Passo 5: Dobre o trapézio ao meio, volte a dobrar uma das partes e recorte-o de modo

a obter o triângulo 4 e o quadrado 5.

88

Passo 6: Dobre o trapézio e recorte para obter o triângulo 6 e o paralelogramo 7.

Passo 7: No fim, junte as figuras do Tangram e tente construir outras figuras.

Fonte: Busetti (2008).

Depois de construírem o Tangram, os alunos receberam a Atividade 9 impressa em

folha A4, para responderem-na:


Depois da construção do Tangram, cada dupla de alunos deve analisar e identificar

todas as suas peças.

1. Complete corretamente as frases:

a) O Tangram é formado por ________ peças, são elas:

b) ______ triângulos grandes,

c) ______ triângulo médio

d) ______ triângulos pequenos;

e) ______ quadrado;

f) ______ paralelogramo.

89

2. Com o Tangram, formar um quadrado usando:

a) Só duas peças.

b) Só três peças.

c) Só quatro peças.

d) Só cinco peças.

e) Só seis peças.

f) As sete peças.



Na atividade 9, bem como nas outras, os alunos aceitaram-na e fizeram-na com

entusiasmo. Todos receberam o passo a passo da construção do Tangram, mas quando

surgiam dúvidas, se solicitada, havia a explicação da professora. Algumas duplas fizeram sem

intervenção, outras tiveram mais dificuldades. Mas, de modo geral, as crianças dessa

fase/idade têm bastante facilidade em desenvolver atividades com materiais manipulativos.

Depois de construído, responderam ao item 1, cujo objetivo era verificar as peças e completar

o número delas.

Respondendo ao item 2(a), os alunos verificaram que existiam duas soluções para

construírem um quadrado, utilizando os dois triângulos pequenos, ou os dois triângulos

grandes. A diferença entre eles era apenas o tamanho.

Figura 22 - Resposta da Atividade 9 – Item 2(a)


90

Aluno A1: Professora! As duas formas construídas são quadrados, mas não têm a

mesma área.

Professora: Sim, A1. Qual é a área de cada um?

Aluno A1: Eu não sei, porque tenho que medir o lado do quadrado maior e do menor

e elevar ao quadrado para então calcular suas áreas.

Professora: Isso, vocês podem fazer. Vou emprestar a régua para vocês.

E, assim, eles calcularam e constataram que realmente eram diferentes suas áreas.

Aluna A4: Professora! Quando colocamos quatro quadrados menores corresponde ao

quadrado maior!

Professora: Como vocês descobriram isso?

Aluna A4: Colocamos em cima e deu certinho.

Professora: O que é, então, a área do quadrado menor em relação à área do quadrado

maior?

Aluno V: Se o quadrado maior é 4 vezes o menor, então, o quadrado menor é um

quarto do quadrado maior.

Professora: Muito bem V! Vocês fizeram uma importante observação.

Aluno R2 completou: Isso é uma fração.

Professora: Isso mesmo! Ainda lembraram das aulas de frações!

Os alunos reconheceram e exploraram a situação problemática do item. Quando

montaram os quadrados, formularam questões, organizando dados, ao sobreporem os

quadrados menores ao maior, realizando, assim, os testes. Por fim, avaliaram o raciocínio e o

seu resultado.

Já respondendo ao Item 2(b), depois de muito tentarem, os alunos verificaram que

existia uma única solução para construírem um quadrado utilizando apenas três peças,

satisfazendo, assim, ao objetivo do item. Conseguiram reconhecer e explorar a situação-

problema, quando descobriram que existia uma única solução; formularam questões, quando

associaram e sobrepuseram os dois triângulos pequenos no triângulo médio, realizando, para

isso, vários testes; e, por fim, avaliaram o raciocínio e o resultado. Houve discussões, como

todo trabalho investigativo, até chegarem aos resultados e conclusões, como se pode notar no

seguinte diálogo:

Aluna I1: Quando respondemos ao item 2(a), verificamos que existiam duas soluções,

e agora, ao resolver ao item 2 (b), verificamos uma única solução.

Aluna T1, completa: Mas percebemos que os dois triângulos pequenos, sobrepostos

ao triângulo médio, ficam com a mesma área.

91

Professora: Então, o que é o triângulo médio em relação ao triângulo pequeno?

Aluna T1: O triângulo médio é o dobro do triângulo pequeno.

Aluna T2 completa: Então, o triângulo pequeno é a metade do triângulo médio.

Professora: Muito bem! Vocês estão ótimos investigadores. Conseguem reconhecer e

explorar uma situação problema, formular questões, realizar testes, e justificar e avaliar o

raciocínio.

Figura 23 - Resposta da Atividade 9 – Item 2(b)


Já com relação ao item 2(c), os alunos verificaram que havia três soluções para

construírem um quadrado utilizando 4 peças. Eles, então, discutiram a respeito das áreas

constituídas pelas peças:

Aluno M: Em todas as três soluções, a metade do quadrado é composta pelo triângulo

maior.

Aluno R2 completou: Na minha primeira solução, os dois triângulos pequenos, e o

triângulo médio, formam a metade do quadrado e corresponde ao triângulo grande.

Aluno M completou o aluno R2: Então, dois triângulos pequenos equivalem ao

triângulo médio.

Aluna T2: Na minha solução, o quadrado e os dois triângulos pequenos compõem a

metade do quadrado, que corresponde ao triângulo maior.

Aluno P1 completou a aluna T2: Constatamos que, dois triângulos pequenos

equivalem ao quadrado.

92

Aluna I1: Na minha solução, o paralelogramo mais os dois triângulos formam a

metade do quadrado, que corresponde ao triângulo maior.

Aluna R1 completou a aluna I1: Então, dois triângulos equivalem, também, ao

paralelogramo.

Professora: Isso mesmo, turma. Vocês estão descobrindo vários dados em relação às

peças do Tangram, que tal anotarem essas informações?

Figura 24 - Resposta da Atividade 9 – Item 2(c)


Os alunos organizaram os dados, anotaram no caderno suas constatações, e foram

respondendo, também, oralmente:

Aluno P3: Então, dois triângulos pequenos formam um quadrado, um triângulo

médio, e um paralelogramo.

Professora: E o que forma o triângulo grande?

Aluna T1: Dois triângulos pequenos e um médio, dois triângulos pequenos e o

quadrado, dois triângulos pequenos e o paralelogramo.

Os alunos conseguiram corresponder e satisfazer a uma atividade investigativa quando

responderam ao item c, reconheceram e exploraram a situação-problema, ao tentarem montar

o quadrado utilizando apenas quatro peças; formularam questões ao compararem as peças

relacionando sua área; realizaram testes e refinaram a conjectura, avaliando o raciocínio e o

resultado deste raciocínio.

Respondendo ao item 2(d), os alunos, ao identificarem e explorarem a situação-

problema, reconheceram que havia uma única solução:

93

Aluno A5: Professora! Diante desta situação, eu e meu colega P1, conseguimos

encontrar apenas uma única solução.

Professora: Alguma dupla conseguiu encontrar mais de uma solução?

Alunos responderam em coro: Não!

Professora: Mas vocês já tentaram?

Alunos novamente em coro: Sim!

Professora: Realmente turma, existe apenas uma única solução.

Aluno A1: Professora! Coincidência ou não, com três peças e com cinco peças, deu

para montar somente um quadrado, será que por ser número ímpar só existiu uma única

solução?

Professora: Excelente comparação, A1. Vamos verificar isso para todos os números

ímpares de peças do Tangram? Vamos continuar respondendo a esta atividade e verificar os

resultados, voltaremos a esta descoberta depois.

Figura 25 - Resposta da Atividade 9 – Item 2(d)


Aluno P2: Antes de verificar com 7 peças, temos que verificar com seis peças,

professora.

Professora: Isso mesmo. Agora, o próximo item quer que construamos um quadrado

com as sete peças do Tangram. Em duplas continuem tentando.

Como esperado, os alunos não conseguiram montar um quadrado com seis peças. Eles

reconheceram e exploraram a situação-problema, realizaram testes, mas não conseguiram uma

única solução para o item. Era esperado, e ao mesmo tempo intrigante para eles, terem

encontrado solução para 2, 3, 4 e 5 peças, mas não conseguirem para 6 peças.

94

Aluno M: Mas, professora! Até agora isso não tinha acontecido. Será que ninguém

vai conseguir montar?

Professora: Todos já tentaram todas as possibilidades?

Aluna A3: Professora, eu já até cansei de tanto tentar! Não conseguimos. Por quê?

Professora: A solução para este item é impossível de ser resolvida turma.

Aluna G3: Mas porque tinha esta atividade para responder senão tem resposta?

Professora: Porque G3, na Matemática existem problemas de impossíveis soluções, e

este item é um deles. Coloquei para vocês tentarem responder, justamente para saberem que

isso acontece.

Os alunos ficaram muito intrigados com este item, mas aceitaram a impossibilidade,

por constatarem que, de fato, não existia solução. Apesar disso, eles justificaram a conjectura,

ao fazerem essa descoberta.

Figura 26 - Resposta da Atividade 9 – Item 2(f)


Respondendo ao item 2(f), os alunos, ao reconhecerem e explorarem a situação-

problema, verificaram, novamente, que existia uma única solução.

Aluno A1: Está vendo, professora! Com sete peças também só existe uma única

solução!

Professora: O que vocês descobriram?

Aluno A1: Estava ansioso para chegar neste item. Então eu estava certo. Quando for

número ímpar de peças do Tangram, só existe uma única solução.

95

Professora: Verdade! Você e seus colegas, A1, conseguiram, diante de reconhecerem e

explorarem uma situação-problema, realizando testes, justificaram que para um número

ímpar de peças do Tangram só existe uma única solução, na construção do quadrado.

Aluna A4: O quadrado obtido, professora, é o que forma o Tangram todo desde o

início.

Professora: Isso mesmo A4, as sete peças usadas formam o Tangram, o jogo completo.

Vocês, com sua criatividade, souberam responder aos itens e irem além deles. Compararam,

realizaram testes, refinaram conjecturas.

Como visto, a Atividade 9 foi um sucesso, e até foram além das expectativas e

objetivos da questão.

4.1.10 Atividade 10



Atividade 10 – O uso do jornal na construção do conceito de área do retângulo e

do quadrado

Objetivos: Medir as dimensões do jornal e calcular a área do retângulo.

(De)compor o jornal em um quadrado com recorte, medir as dimensões e

calcular sua área.

Material utilizado: Jornal, atividade impressa em papel A4, tesoura.


Duração: 4 aulas.


Nesta atividade, com auxílio de uma folha de jornal, os alunos mediram suas

dimensões. Em seguida, fizeram o cálculo de sua área, com o objetivo de colocar em prática a

construção do conceito de área do retângulo, já feito em atividades anteriores. Depois de fazer

o cálculo da área do retângulo, os alunos foram instruídos a recortar o jornal, fazendo dele um

quadrado, a fim de calcular sua área, para colocarem em prática o conceito de área do

quadrado.

96


Você recebeu uma folha de jornal. Agora, faça o que se pede:

1. Meça o perímetro desta folha, utilizando a régua padrão. Qual a medida

encontrada? Mostre o cálculo feito.

2. Calcule a área da folha do jornal. Qual a medida encontrada? Mostre o cálculo feito.

3. Recorte a folha de jornal, formando, assim, um quadrado. Como você fez para

transformar o jornal em um quadrado?

4. Qual o perímetro do quadrado formado? Mostre o cálculo feito.

5. Qual a área do quadrado? Mostre o cálculo feito.

6. O que há de semelhante entre o perímetro das figuras?

7. O que há de semelhante entre as áreas das figuras?



Cada aluno recebeu uma folha de jornal, além da atividade 10 impressa em folha A4, e

foram orientados a lerem e responderem, em duplas, aos itens da atividade. Como em todas as

atividades, eles se propuseram a resolver a questão.

No item 1 da atividade 10, o objetivo era medir o perímetro da folha de jornal,

utilizando a régua padrão.

Professora: Qual a medida vocês encontraram do perímetro desta folha de jornal?

Aluna G2: Nós achamos 189, professora.

Professora: A resposta é 189? Não tem nenhuma unidade de comprimento que

acompanha a este número.

Aluna G2: 189 centímetros.

Professora: Qual o cálculo que vocês fizeram?

Aluno G1: Nós medimos com a régua o lado maior e o lado menor, depois

multiplicamos cada lado por 2 e, por fim, somamos os dois valores.

Professora: Porque vocês multiplicaram cada lado por 2?

Aluno G1: Por que o jornal tem o formato de um retângulo, e o retângulo tem dois

pares de lados iguais, ou seja, o lado maior tem dois e o lado menor tem dois, professora.

Professora: Isso mesmo! Vocês estão afiados nas formas geométricas!

Aluna I1: O nosso também deu 189 centímetros, professora.

97

Professora: Muito bem. Por favor, I1, fale detalhadamente: o que fizeram?

Aluna I1: Olha, professora, medimos o lado maior, que deu 54,5 centímetros e

multiplicamos por 2, deu 109 centímetros, depois medimos o lado menor, 40 centímetros, e

multiplicamos por 2, deu 80 centímetros, então, somamos tudo, totalizando em 189

centímetros.

Professora: Está certíssimo I1! Podem continuar e respondam, agora, ao item 2 da

atividade.

Ao responderem ao item 2 da atividade, perceberam que era só multiplicar os valores

encontrados, pois já sabiam as suas dimensões.

Aluna I2: Professora, neste item ficou fácil. É só multiplicar 54,5 vezes 40.

Aluno V: Isso mesmo, porque o cálculo de área do retângulo é feito através da

multiplicação das duas dimensões. Já fizemos isto antes, quando construímos o conceito de

área do retângulo.

Professora: Correto! Agora vocês estão usando o conceito aprendido nas atividades

anteriores, em relação ao cálculo de área do retângulo.

Aluno V: O resultado desta conta é 2180 centímetros, professora.

Professora: O valor está correto, mas a unidade não. A unidade de medida será

centímetros quadrados.

Aluno V: Mas por que, professora?

Professora: Quando multiplicamos as duas dimensões, estamos também multiplicando

as duas unidades, ou seja, 54,5 centímetros vezes 40 centímetros, os valores multiplicados

totalizam em 2180, e a unidade de medida multiplicada fica elevada ao quadrado, ou seja,


Aluno V: Verdade, professora, mas não sabia disso.

O item 3 da Atividade 10 foi tranquilo para os alunos. Eles reconheceram a situação-

problema e logo já fizeram as duplas e se dispuseram a trabalhar:

98

Figura 27 - (De)compondo a folha de jornal (retângulo) em um quadrado


Professora: Como vocês fizeram para transformar a folha de jornal que era retangular

em um quadrado?

Aluno M: Fazendo um triângulo, recortando a parte que sobrou, e fizemos um

quadrado.

Aluna T2: Eu medi o lado menor com a régua, depois marquei o mesmo tamanho no

lado maior, aí recortei e formei um quadrado.

Aluno R2: Começamos a dobrar como um papagaio e recortamos a parte que sobrou.

Aluno P2: Eu fiz no formato de uma pipa.

Professora: Percebi que vocês conseguiram resolver a situação-problema, e fizeram o

quadrado com a folha de jornal que era inicialmente retangular, satisfazendo o objetivo do

item. Agora continuem respondendo às questões da atividade.

Notou-se que alguns alunos tiveram mais facilidade para fazer o quadrado utilizando o

próprio jornal, por terem a noção da construção de pipas. Outros fizeram medindo, usando,

para isso, a régua padrão. Ou seja, cada um escolheu a maneira que achou mais conveniente,

mas todos conseguiram reconhecer a situação-problema, explorá-la e resolvê-la

satisfatoriamente.

Respondendo ao item 4 da atividade 10, os alunos tiveram facilidade em fazê-lo, uma

vez que estavam preparados para medirem e fazerem o cálculo de perímetro, decorrente das

questões anteriores realizadas referentes a esta habilidade:

Professora: Qual o perímetro do quadrado formado?

Aluno P1: Ora, professora, muito fácil! É só multiplicar a medida do lado do

quadrado por 4, pois os quatro lados são iguais.

99

Aluno V completou: Já sabemos quanto vale o lado do quadrado, não é o lado menor

do retângulo, então, já medimos, vale 40 centímetros.

Aluna A4: Então, 40 vezes 4, dá 160 centímetros.

Aluno A1: Isso, e é centímetro somente, porque é medida de comprimento.

Professora: Parabéns! Vocês já responderam ao item 4, souberam reconhecer e

avaliar o resultado do raciocínio feito. Vamos continuar. Agora é o item 5.

Os alunos, sempre entusiasmados, atenderam prontamente aos enunciados das

atividades, desenvolveram a habilidade, mais uma vez, e conseguiram satisfazer ao objetivo

da questão. Eles reconheceram e exploraram a situação-problema e avaliaram o resultado do

raciocínio.

Continuando a Atividade 10, item 5, agora o objetivo da questão era calcular a área do

quadrado formado:

Professora: Vocês calcularam a área do quadrado formado?

Aluno I1: Sim professora, deu 1600.

Aluno A1 corrigiu o aluno I1: Deu 1600 centímetros quadrados I1.

Aluna A4 completou o aluno A1: Isso. Porque agora são unidades de área, e

multiplicamos as unidades, por isso ficou a unidade ficou elevada ao quadrado.

Professora: Muito bem! Vocês estão atentos às unidades de medidas! O cálculo

também está correto. Todos chegaram a este resultado?

Alunos em coro: Sim!

Neste item, os alunos souberam reconhecer a situação-problema e avaliaram o

resultado do raciocínio.

Já respondendo ao item 6 da Atividade 10, os alunos conseguiram vencer a habilidade

e se mostraram aptos para falarem sobre perímetro:

Professora: O que há de semelhante entre o perímetro das figuras, do retângulo e do

quadrado que vocês acabaram de fazer?

Aluna R1: O perímetro é a soma dos lados professora.

Aluna G2: O perímetro do quadrado tem que ser multiplicado o lado do quadrado por

4. E o perímetro do retângulo tem que ser multiplicado de dois a dois depois somados os

resultados.

Professora: Porque isso acontece, G2? Então a R1 está errada?

Aluna G2: A R1 está certa, professora. Mas é que já sabemos multiplicar e quando há

repetição de números é melhor multiplicar do que somar uma a um.

Aluna G3: O perímetro é a soma dos lados sim, é o contorno da figura.

100

Professora: Todos concordam com os colegas?

Alunos em coro: Sim!

Professora: Muito bem, turma! Agora vamos ao item 7 da atividade.

Os alunos demonstraram, ao responder ao item 6, dominar a habilidade de perímetro,

sabendo calculá-lo e defini-lo. Ou seja, nesta atividade, eles já estavam realizando testes e

refinando a conjectura de perímetro.

Continuando a atividade 10, item 7, cujo objetivo era saber se os alunos dominavam o

conceito de área do retângulo e do quadrado, bem como o conceito de perímetro, houve o

seguinte diálogo:

Professora: O que há de semelhante entre as áreas das figuras quadrado e retângulo?

Aluno V: Professora! Perímetro é o contorno e área é que está dentro. Então, a

semelhança entre áreas do quadrado e do retângulo é que calculamos a parte de dentro das

duas figuras.

Aluno A1, completando o aluno V: Isso! O cálculo foi feito pela multiplicação das

duas dimensões, e a unidade de medida ficou elevada ao quadrado nas duas contas.

Professora: Alguém mais quer falar a respeito da semelhança?

Aluna A4: Eu concordo com o A1, mas na conta de área do quadrado elevamos o

valor da dimensão ao quadrado, porque os lados dos quadrados são iguais.

Aluna G3: Mas elevar ao quadrado é multiplicar duas vezes o mesmo valor, é uma

potência de expoente 2, ou seja, o valor do lado do quadrado elevado ao quadrado mesmo.

Professora: Estou gostando muito da participação de vocês nas aulas de investigação.

Investigando, vocês conseguem chegar ao resultado e avaliar o resultado do raciocínio.

Diante da aplicação da atividade 10, e comparando com o que foi realizado até aqui,

percebeu-se que os alunos formaram os conceitos em suas mentes, a aprendizagem se

efetivou, e quaisquer dúvidas que possam ter existido, ou até mesmo confusão entre perímetro

e área, passou a ser sanada. Além disso, a habilidade de identificação de perímetro e área foi

realmente entendida, sem haver mais confusão entre os dois.

101

4.1.11 Atividade 11



Atividade 11 – Construção do conceito de área do paralelogramo

Objetivos: (De) compor o retângulo em paralelogramo.

Construir o conceito de área do paralelogramo e seu cálculo.

Material utilizado: Folha A4 colorida, atividade impressa em papel A4, tesoura,

régua padrão.


Duração: 3 aulas.


Nesta atividade, os alunos receberam uma folha A4 e foram instruídos a fazerem o

corte e a montagem, como orientado na folha impressa, onde se encontrava o passo a passo da

(de)composição do retângulo em paralelogramo. Feito o paralelogramo, em duplas, deviam

pensar em uma maneira intuitiva de calcular sua área, respondendo aos itens da atividade.


Você recebeu uma folha tamanho A4. Agora construa um paralelogramo:

Faça o corte como indicado na figura abaixo:

Figura – Recorte no retângulo para a montagem do paralelogramo.

102

O triângulo originado com o corte deve ser colocado no lado oposto da figura, vide

figura abaixo.

Figura – Montagem do paralelogramo.

Figura - Paralelogramo formado

Tarefas:

1. Usando uma régua padrão, meça as dimensões do paralelogramo, base (b) e

altura (h) e escreva-as.

2. Calcule a área do paralelogramo que você construiu. Mostre a conta no espaço

abaixo.

3. Como você fez o cálculo da área do paralelogramo? Explique.

4. O que você pode concluir sobre o cálculo de área do paralelogramo?


103


Ao receberem a folha de papel A4 e também a folha com a orientação da atividade 11,

os alunos começaram a fazê-la: dobraram, recortaram na linha de dobra e, por fim, colaram

em uma folha de jornal, como apresentado na figura 28.

Figura 28 - (De)compondo a folha retangular em um paralelogramo


Depois de terem feito a (de)composição do retângulo em paralelogramo, os alunos

começaram a responder à folha de atividades. Porém, a professora-pesquisadora, levando em

consideração o que enfatizam Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), iniciou uma conversa com

os seus alunos. Para os autores: “Muitas vezes a tarefa é fornecida aos alunos por escrito, que,

sem dúvida, é vantajoso, mas não dispensa uma pequena introdução oral por parte do

professor”. (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p.82). Eis o diálogo:

Professora: Hoje, vocês irão decompor como mostra a orientação da folha que

acabaram de receber. Que forma geométrica é essa?

Aluno A5: Antes era um retângulo, agora transformamos em um paralelogramo.

Professora: O que é um paralelogramo?

Aluno V: É um quadrilátero composto por dois pares de lados paralelos, assim o

nome já diz.

Professora: Todos têm consciência disso?

Alunos (em coro): Sim!

Professora: Vamos fazer a leitura oral e conjunta da atividade 11 até o item 1, e

pararmos para respondermos a ele?


104

E assim foi feita a leitura oral da atividade 11, até o item 1, como proposto pela

professora.

Respondendo ao primeiro item da Atividade 11, os alunos mediram as duas dimensões

pré-definidas na questão, considerando que a base foi indicada pela letra b e a altura foi

indicado pela letra h, como na maioria da literatura encontrada, justamente para que, quando

surgissem questões com essa nomenclatura, não se confundissem e/ ou até lembrassem que já

viram e associassem-na de forma correta, mesmo sem tanta importância essa definição, já que

podiam ser consideradas duas dimensões, independentemente das letras que as

representassem:

Professora: Quanto vocês encontraram para as medidas ou dimensões indicadas?

Aluno G1: Olha, professora! Para a base, medi o lado maior e encontrei 30

centímetros, e para altura, medi a linha que recortei e encontrei 21 centímetros.

Aluno R2: Eu também encontrei estas mesmas medidas para as dimensões.

Professora: Algum de vocês encontrou medidas diferentes dos meninos?

Alunos (em coro): Não!

Professora: Ótimo! Então, vamos continuar respondendo aos itens? Leiam ao item 2,

vamos continuar fazendo a leitura oral!

E assim foi feita a leitura oral do item 2 da atividade 11.

Professora: Vocês calcularam a área do paralelogramo?

Aluna T1: Nossa! Agora complicou! Como fazer isso?

Aluno V respondeu: Ora... Têm duas dimensões, então multiplicamos as duas

dimensões, a base vezes a altura.

Aluna T1: Mas como você sabe disso? A professora nem explicou ainda? Isso nós

fizemos com o quadrado e o retângulo. Mas não com o paralelogramo.

Aluno V respondeu à aluna T1: Porque no paralelogramo também tem duas

dimensões, é só multiplicar que encontramos o valor da sua área.

Aluna T1 retrucou: Mas não concordo com isso.

Aluno M complementou o aluno V para explicar à aluna T1: Você está confusa, T1,

porque o paralelogramo é inclinado, mas lembra que antes era um retângulo? Então nós

recortamos e mudamos seu lado. Pede à professora outra folha e mede, vamos fazer todo o

processo para você mesma ver.

Então, os alunos refizeram a (de)composição da folha A4, mas, antes disso, mediram a

base e a altura do retângulo, ou seja, da folha A4, para constatarem suas medidas:

105

Aluna T1: Agora entendi, nós só mudamos a posição da figura, as medidas das

dimensões são as mesmas.

Aluno M respondeu: Sim, T1. Isso se chama decomposição da figura. Melhor ainda:

decomposição do retângulo em paralelogramo.

Professora: Muito bem! Vocês já estão entendendo o conceito de área do

paralelogramo. Agora vocês já podem continuar.

Aluno V: Então, podemos calcular a área do paralelogramo. A base deu 30

centímetros, e a altura deu 21 centímetros. Total: 630 centímetros quadrados.

Aluno A5: O meu também deu 630 centímetros quadrados!

Sobre a resolução do item 3, houve os seguintes comentários:

Professora: Como vocês fizeram para encontrar este total?

Aluno V: Multiplicando 21 vezes 30, professora!

Aluno A5: Isso mesmo, multiplicando as duas dimensões.

Professora: Todos fizeram isso?


Professora: Então, podem continuar e responder ao último item.

Sobre o item 4, o diálogo foi o seguinte:

Professora: O que vocês podem concluir sobre o cálculo de área do paralelogramo?

Aluna A4: Calcular a área do paralelogramo é igual calcular a área do retângulo:

devemos multiplicar as duas dimensões.

Aluna A2 completou: Sim, e do quadrado também, ou seja, sempre deve haver a

multiplicação das duas dimensões.

Professora: Isso mesmo alunos! Vocês conseguiram entender o conceito de área do

paralelogramo!

Nesta atividade, conforme visto, houve as três fases de investigação: a introdução da

tarefa feita pela professora; houve a fase de investigação em duplas, na qual os alunos

reconheceram e exploraram a situação-problema, realizaram testes, refinaram a conjectura,

avaliaram o raciocínio e, também, o resultado deste raciocínio. Por fim, houve a discussão dos

relatos entre todos os alunos e a professora.

106

4.1.12 Atividade 12



Atividade 12 – Construção do conceito de área do triângulo

Objetivos: (De)compor o retângulo em triângulo.

Construir o conceito de área do triângulo e seu cálculo.


régua padrão.


Duração: 4 aulas.


Na atividade 12, os alunos receberam uma folha A4 e foram instruídos a fazerem o

corte e a montagem como orientado na folha impressa, onde se encontrava o passo a passo da

(de)composição do retângulo em triângulo. Feito o triângulo, em duplas, deviam pensar em

uma maneira intuitiva de calcular sua área, respondendo aos itens da atividade, conforme se

segue:


Você recebeu uma folha retangular. Faça recortes nela de acordo com a figura abaixo,

obtendo o triângulo formado:

Figura: Recorte no retângulo para montagem do triângulo

107

Figura: Triângulo formado

Tarefas:

1. Usando uma régua padrão, meça as dimensões do triângulo, base (b) e altura

(h).

2. Calcule a área da figura formada. Apresente, no espaço abaixo, a conta feita.

3. O que é a área do triângulo em relação à área do retângulo?

4. Qual o conceito que acabamos de descobrir? Explique e anote, no espaço

abaixo, suas conclusões.



Cada aluno recebeu uma folha retangular, escolhendo as cores que quiseram.

Receberam, também, a folha contendo a atividade 12. Para isso, houve a orientação da

professora, que pediu para que lessem oralmente e, depois, fazerem a (de)composição da

folha retangular em um triângulo, como proposto. A figura 29 mostra uma (de)composição

feita pelo aluno A1, o qual colocou, ao lado do triângulo originado, as partes que sobraram,

verificando que deu para formar outro triângulo, do mesmo tamanho. Ele ainda comprovou

essa informação quando sobrepôs as partes que sobraram em cima do triângulo original.

Figura 29 - (De)compondo a folha retangular em um triângulo

108


Aluno A1: Professora! Olha meu triângulo! Deu para formar dois triângulos com a

folha que a senhora me deu!

Professora: Olha que lega! Ótima observação, A1.

Aluno A1, continuando: Olha! Quando coloco em cima as partes que sobraram,

formamos exatamente um novo triângulo do mesmo tamanho.

Professora: Que legal! Todos vocês fizeram o mesmo? Conseguiram perceber o que o

A1, percebeu? Ótimo. Agora vamos ao item 1 da atividade? Podem começar.

Sobre a resolução do item 1, o diálogo que se sucedeu foi o seguinte:

Professora: Vocês usaram a régua e mediram as dimensões do triângulo?

Aluna A2: A base deu 21 centímetros e a altura deu 31 centímetros.

Aluno A5: A altura da minha folha de 30 centímetros!

Aluno P1: A minha altura deu 31 centímetros.

Aluna G3 questionou: Mas as folhas têm o mesmo tamanho? Porque estão com

medidas diferentes?

Aluno P2: É claro! Estamos medindo os lados errados.

Aluno A5: Eu medi da quina do meio até a base, fiz uma linha dobrando ao meio!

Aluna A2: Eu medi o lado inclinado da figura!

Aluno P1: Eu medi o lado inclinado também!

Aluna G3 perguntou novamente: Professora, mas porque isso aconteceu? Tanto faz?

Podemos considerar qualquer uma das duas medidas?

Professora: Vocês devem considerar apenas uma das medidas para a altura. Discutam

entre vocês sobre qual vocês acham que deve ser considerada.

Aluna G3: Mas nós não sabemos!

Aluno V: Vamos pensar um pouquinho!

Aluno P2: Colocando a base na parte debaixo, percebo que a altura não pode estar

inclinada.

109

Aluno V: Verdade! Olhando por esse lado, parece que devemos considerar a parte

reta, mas está no meio da figura, em todos os outros casos, medimos algum lado da figura.

Aluno A1: Não V! No paralelogramo medimos a linha que recortamos, ela significou

a altura do paralelogramo. Não consideramos a parte inclinada.

Aluno V respondeu ao aluno A1: É mesmo A1! No paralelogramo, consideramos a

linha reta.

Aluna G3: Agora concordo com vocês. No paralelogramo consideramos a linha que

recortamos.

Aluno V: Professora! Então, devemos considerar a linha dobrada ao meio como fez o

A5?

Professora: Olha, V, vocês discutiram certinho. Lembraram da altura do

paralelogramo e associaram certo. A altura deve ser considerada a linha reta, aquela dobra

do A5, porque forma com a base um ângulo reto. Vocês lembram o que é um ângulo reto?

Aluno A1: Eu lembro! É o ângulo que vale 90°.

Professora, mostrando no transferidor e usando o triângulo: Sim, olha aqui, essa linha

dobrada mede 90° em relação à base. Mas o ângulo de 90° é notável.

Figura 30 - Imagem do ângulo reto, feito pela professora no triângulo e na lousa

Fonte: Dados da Pesquisa.

Aluna A4: Mas o que é um ângulo notável mesmo, professora?

Professora: Ele é notável, pois sem mesmo termos o transferidor em mãos,

identificamos seu valor, por isso denominado ângulo notável, A4. Toda vez que formar este

quadrado aqui no meio, mesmo que oculto, devemos considerar que este ângulo é reto, ou

seja, vale 90°. Isso acontece porque a altura do triângulo encontrando com a base formam,

entre si, retas perpendiculares. Ou seja, formam entre si 90°. Entenderam agora qual

dimensão deve ser considerada?

110

Aluno V: Sim, professora! Toda vez que aparecer medida inclinada, temos que

considerar a linha reta formando o ângulo reto.

Professora: Sim, V! Todos entenderam?


Professora: Ótimo! Agora podemos passar para o item 2 da atividade.

Professora: O que pede no item 2, alunos? Leiam oralmente.

Aluno P3: Pede para calcularmos a área do triângulo e que mostremos no espaço a

nossa conta.

Professora: Isso mesmo! Então, qual foi o resultado encontrado por vocês?

Aluno I1: Meu resultado foi 630 centímetros quadrados.

Aluno P1: O meu também deu 630 centímetros quadrados.

E, assim, todos os alunos responderam e repetiram o mesmo valor. Então, houve a

necessidade de intervenção da professora:

Professora: Mas vocês acreditam ser este o valor? Qual é o total da área do

retângulo, da folha que vocês receberam?

Aluno A1: Então, temos que montar novamente o retângulo para calcularmos a sua

área. Vamos fazer isso?

Aluno V: Sim! Medindo aqui, as dimensões são as mesmas do triângulo e também do

paralelogramo da atividade anterior.

Aluna A4: Então, o resultado também será igual! 630 centímetros quadrados.

Aluno A5: Mas algo está errado! O retângulo e o paralelogramo não sobram partes,

por isso concordo de serem as mesmas áreas, mas o triângulo não!

Aluna A4 complementou o aluno A5: É verdade! A folha retangular dá para formar

dois triângulos.

Aluno P1 concluiu as verificações de A4 e A5: Então, o resultado não pode ser o

mesmo!

Aluno M: Se a folha dá para formar dois triângulos, quer dizer que a área do

retângulo é duas vezes a área do triângulo.

Aluno A5: Então, se o triângulo é a metade da folha, sua área também será a metade

da área do retângulo.

Aluno A4 completou o aluno A5: Isso, A5. Então, será a metade de 630 centímetros

quadrados que resulta em 315 centímetros quadrados.

Professora: Muito bem observado! Agora vocês entenderam porque são resultados

diferentes para as áreas.

111

Aluna A2: São as mesmas dimensões, mas devem ser observadas as figuras também.

Como o triângulo é a metade, sua área também será a metade. Portanto, temos que dividir o

resultado por dois.

Professora: Correto A2. Todos conseguiram entender este raciocínio?


Professora: No item 3 da atividade vocês irão formalizar, sistematizar esta informação

que acabaram de descobrir.

Após fazerem o item 3, a professora questionou:

Professora: Agora vocês já sabem responder o que é a área do triângulo em relação à

do retângulo?

Aluna G2: A área do triângulo é a metade da área do retângulo, professora.

Aluna A2: Isso mesmo. Constatamos isso com a própria figura.

Professora: Correto! Já discutimos muito sobre esta conjectura anteriormente e vocês

já estão cientes disso. Agora vamos ao item 4 da atividade.

Professora: Qual o conceito que acabamos de descobrir?

Aluno G1: Conseguimos calcular a área do triângulo, professora!

Aluna I2: O conceito de cálculo de área do triângulo professora! Muito legal!

Aluno M: Através da área do retângulo, descobrimos a área do triângulo, porque

decompomos a figura, de uma transformamos na outra.

Professora: Todos concordam com as afirmações dos colegas?


Professora: Assim, podemos responder ao item 5 da atividade.

Professora: O que vocês anotaram e explicaram no item 5?

Aluna R1: Que acabamos de aprender o conceito de área do triângulo. Que o que

virou novidade para mim é que devemos dividir o resultado por 2, por serem as mesmas

dimensões do retângulo, mas a figura é a metade, ou seja, o triângulo é a metade. Então, sua

área também será a metade.

Aluno P3: Anotei mais ou menos igual à R1, mas achei novidade também medir a

altura do triângulo, devemos formar um ângulo reto com a base, para, então, medirmos a

altura.

Professora: Gostei das explicações e anotações de vocês. Mais alguém tem algo a

falar?

Aluno A1: Não, professora, eles resumiram e falaram tudo que eu falei.

Professora: Alguém tem alguma explicação diferente das dos meninos?

112

Alunos (em coro): Não!

Professora: Vocês estão sobressaindo muito bem nas atividades! Está havendo

interesse e bastante diálogo, em duplas, em grupos… As exposições que estão sendo feitas

são muito válidas para nossa aprendizagem! Mesmo que sejam dúvidas ou equívocos, tudo

faz parte da investigação, para que aprendizagem se concretize.

Ao finalizarem a análise da atividade 12, verificou-se que o amadurecimento, através

das vivências das atividades, tornou os alunos cada vez mais interessados pela aula

investigativa e a aprendizagem aconteceu de forma efetiva. Dessa maneira, eles já sabiam

reconhecer e explorar uma situação-problema, formular questões, organizar dados, apesar de

não haver muitos dados para organizar, visto que o trabalho de (de)composição de figuras

para a construção dos conceitos do cálculo de área não necessitou de muitos dados. Eles

também descobriram, de maneira intuitiva, através da manipulação das figuras, realizaram

testes, refinaram e justificaram uma conjectura, avaliaram o raciocínio e o seu resultado.

4.1.13 Atividade 13



Atividade 13 – Construção do conceito de área do losango

Objetivos: (De)compor o retângulo em losango.

Construir o conceito de área do losango e seu cálculo.


régua padrão.


Duração: 4 aulas.


Na atividade 13, os alunos receberam uma folha A4 e foram instruídos a fazer o corte

e a montagem, como orientado na folha impressa, onde se encontrava o passo a passo da

(de)composição do retângulo em losango. Feito o losango, em duplas, os alunos deviam



113

Figura: Recorte no retângulo para construção do losango

Figura: Losango formado

Tarefas:

1. Calcule a área da figura formada. Apresente no espaço abaixo a conta que

feita.

2. O que é a área do losango em relação à área do retângulo?


4. Explique e anote, no espaço abaixo, suas conclusões.



Cada aluno recebeu a folha A4 para (de)composição da folha retangular em um

losango, como indicado na folha de atividades, também entregue a eles. Houve, novamente, a

orientação da professora, embasada na folha impressa de atividades. A figura 31 mostra a

atividade feita pelo aluno V, que colocou as partes que sobraram ao lado da figura recortada,

afirmando serem iguais os losangos.

Figura 31 - (De)compondo a folha retangular em um losango

114


Professora: Vamos ler as orientações da folha?

Assim, os alunos fizeram a leitura oral e já começaram a fazer a (de)composição do

retângulo em losango.

Aluno R2: Como fazer esse (de)composição?

Aluno V respondeu ao aluno R2: Eu comecei a marcar ao meio com uma pequena

dobra cada lado da folha, assim liguei as marcas e dobrei, depois recortei em cima das

dobras e montei o losango.

Aluno R2 respondeu ao aluno V: Ah, entendi! Então vou fazer assim. Obrigado!

Aluno A5: Eu dobrei mesmo a folha ao meio, e fiz como você falou V, deu certinho,

mas ficou a linha marcada pela dobra.

Aluno V: Olha meu losango, professora! As partes que sobraram formaram outro

losango do mesmo tamanho! (FIGURA 31).

Professora: Sim, V. Como você sabe que formou outro losango do mesmo tamanho?

Aluno V: Porque sobrepus as partes em cima do losango e verifiquei que formou o

mesmo losango, do mesmo tamanho, ou seja, têm a mesma área.

E, assim, todos fizeram a (de)composição do retângulo em losango.

Professora: Todos conseguiram fazer a (de)composição? Montar o retângulo?


Professora: Agora, com a régua, meçam as dimensões do losango.

Aluno A5: O meu já ficou fácil, minha linha está marcada, as alturas de cada lado.

Professora: Sim, A5. Essas alturas são também conhecidas como diagonais do

losango. Note que tem uma diagonal maior e uma diagonal menor.

Aluna G2: Mas o que é exatamente uma diagonal?

115

Professora: São as linhas que ligam um vértice a outo da figura. No caso, o losango

tem duas diagonais, a diagonal maior podem indicar por (D) e a diagonal menor podem

indicar por (d).

Aluno G1: Mas no caso, continua do mesmo jeito: duas dimensões, né, professora?

Professora: Sim G1.

Aluna A3: Medi aqui professora e encontrei 21 centímetros e 30 centímetros.

Aluna A4: Também encontrei isso. Então a diagonal menor mede 21 centímetros e a

diagonal maior mede 30 centímetros.

Professora: Todos conseguiram medir as duas diagonais e encontraram as mesmas

medidas?


Professora: Agora vocês podem responder ao item 1 da atividade.

Professora: Qual o resultado da área do losango?

Aluna T1 respondeu: Professora, a minha deu 630 centímetros quadrados, mas já vi

que está errado, porque sobraram partes.

Aluno R3 completou a aluna T1: E estas partes formam outro losango igualzinho!

Aluna G3 afirmou: Então, a área do losango formado será igual à área do triângulo

formado da questão anterior, teremos que dividir seu valor por 2.

Aluno A1 concordou com a aluna G3: Sim, G3. Então, a área do losango será a

multiplicação das diagonais dividido por 2.

Aluno V: Agora encontrei o resultado da área do losango, deu 315 centímetros

quadrados.

Aluna G2: Sim, 315 centímetros quadrados.

E, assim, aos poucos, os alunos foram respondendo oralmente o resultado encontrado

no item 1 da atividade. Todos conseguiram chegar ao mesmo raciocínio e conseguiram avaliar

o resultado encontrado:

Professora: Todos conseguiram chegar ao mesmo resultado?


Professora: Que bom! Agora podemos passar ao item 2 da atividade.

Professora: O que é a área do losango em relação à área do retângulo?

Aluna A2 respondeu: A área do losango é a metade da área do retângulo, professora!

Aluna A3 complementou a aluna A2: Igual à área do triângulo, também é a metade

da área do retângulo. Então os dois têm as mesmas áreas.

116

Aluno M concordou com as colegas A2 e A3: Isso mesmo, colegas. Verificamos isso e

tivemos a prova de que é verdade. Encontramos o mesmo resultado para os dois, tanto para o

triângulo como para o losango.

Aluno A1 fez uma observação: O que vocês falaram é verdade! Estou lembrando aqui

que o retângulo e o paralelogramo, como não sobraram nenhuma parte, só multiplicamos, e

como eram as mesmas dimensões, o resultado também foi o mesmo.

Aluna A4: Essas atividades estão cada vez mais interessantes!

Professora: Agora vamos passar para o item 3 da atividade?

Alunos (em coro): Vamos!

Professora: Qual o conceito que acabamos de descobrir?

Aluna I2 respondeu: O conceito de cálculo de área do losango.

Aluna R1completou a aluna I2: Este cálculo é feito através da multiplicação das

diagonais, e seu resultado é dividido por 2.

Os alunos estavam muito seguros de suas respostas, afinal, eles descobriam os

significados dos conceitos, e cada vez se mostravam mais entusiasmados com as atividades.

Aluno V: Área do losango, professora!

Aluna T1: Isso, o conceito de área do losango.

Professora: Isso mesmo! Vocês descobriram o conceito de área do losango,

aprenderam a calcular intuitivamente a área desta figura. Todos concordam?


Professora: Agora vamos responder ao item 4 da atividade.

Professora: Qual conclusão vocês chegaram ao término desta atividade?

Aluna R1: Eu cheguei ao cálculo de área do losango, percebi que divide por dois,

igual ao triângulo, porque o retângulo é o dobro do losango.

Professora: A cada atividade que conseguimos desenvolver, fico mais admirada pelo

empenho e dedicação de vocês, e percebo que, investigando, estão realmente aprendendo.

Ao final da Atividade 13, os alunos demonstraram, em todos os momentos,

curiosidade, o que uma aula investigativa realmente deve provocar: vontade de aprender, de

desafiar, de buscar a aprendizagem. Eles souberam reconhecer e explorar a situação-

problema, formularam, refinaram e justificaram uma conjectura, através da realização de

testes; avaliaram o raciocínio e o resultado deste raciocínio.

4.1.14 Atividade 14

117



Atividade 14 – Construção do conceito de área do trapézio.

Objetivos: (De)compor o retângulo em trapézio.

Construir o conceito de área do trapézio e seu cálculo.


régua padrão.


Duração: 6 aulas


Na atividade 14, os alunos receberam uma folha A4 e foram instruídos a fazerem o

corte e a montagem como orientado na folha impressa, onde se encontrava o passo a passo da

(de)composição do retângulo em trapézio. Feito o trapézio, em duplas, os alunos deviam



Figura: Recorte no retângulo para montagem do trapézio.

Faça o corte na folha retangular como indicado na figura acima. Depois, vire um dos

pedaços e alinhe-os como na figura abaixo.

Figura: Montagem do trapézio

118

Figura: Trapézio formado

Tarefas:

1. Calcule a área da figura formada. Apresente, no espaço abaixo, a conta que foi

feita.

2. O que é a área do trapézio em relação à área do retângulo?





Na atividade 14, todos os alunos receberam a folha A4 da cor de preferência e

começaram a desenvolver a atividade. Como de costume, com o apoio do material impresso,

houve a orientação da professora:

Figura 32 - (De)compondo a folha retangular em um Trapézio

119


Professora: Vamos ler oralmente as orientações da folha, que irão mostrar a

(de)composição da folha retangular em um trapézio.

E assim houve a leitura e, imediatamente, os alunos começaram a fazer, seguindo a

orientação por escrito.

Aluna A2: O meu não formou um trapézio, formou um paralelogramo.

Aluno M ensinou à aluna A2: É porque você não virou um dos lados, tem que virar

senão, não forma um trapézio.

Aluna A2: Agora sim, formei um trapézio.

Aluna A3: O trapézio é um quadrilátero como os outros, mas estou vendo mais de

duas dimensões.

Aluno V perguntou à aluna A3: Quais as dimensões que você está vendo?

Aluna A3 respondeu ao aluno V: Olha para você ver! Em cima, tem um lado menor,

embaixo tem um lado maior e ainda tem duas inclinações. No caso, devemos considerar a

altura no meio, esta linha que ligamos um corte ao outro?

Os alunos já foram logo querendo calcular a área do trapézio, para responderem ao

item 1 da atividade.

Sobre a resolução do item 1, houve o seguinte diálogo:

Aluna A4: Mas são três dimensões e temos que multiplicar apenas duas dimensões

para ser calculada a área da figura. Como iremos fazer isso?

Aluno A5: Pensei em fazer assim: dobrar as partes extremas formando dois

triângulos, e no meio um retângulo, medimos suas dimensões e calculamos suas áreas.

120

Aluna A4 perguntou ao aluno A5: No caso, formarão três figuras. E depois somamos

as três áreas?

Aluno A5 respondeu ao aluno A4: Isso, vamos começar então!

Figura 33 - Trapézio dividido em três partes sugerido pelo Aluno A5


E assim começaram a fazer as contas, de acordo com a figura 33: transformaram o

trapézio em três partes e calcularam, assim, três áreas.

Aluno A5: Os meus dois triângulos formados são iguais, base 10,5 centímetros, altura

21 centímetros, total 110,25 centímetros quadrados. O meu retângulo deu 21 centímetros de

altura e base 19 centímetros, total 399 centímetros quadrados. Total da área do trapézio

110,25 + 110,25 + 399 = 619,5 centímetros quadrados.

Aluna A4: O que o aluno A5 fez está certo, professora?

A professora respondeu à aluna A4: Está correto A4 e A5, mas o conceito de área do

trapézio é único, estamos quase chegando a ele. O aluno A5 pensou em três partes e, assim,

calculou três áreas e as somou. Está de parabéns! Mas eu desafio a vocês em transformá-lo

em duas partes, porque quanto menos conta a se fazer, melhor entenderemos.

Aluno V: Se usarmos a linha que recortamos, formarão dois novos trapézios. Então,

não será possível calcular sua área ainda, porque estamos deduzindo seu conceito.

Aluno A1 dupla com o aluno V: Verdade! Dois trapézios não iremos conseguir fazer!

Aluno V completou: Já sei! Para conseguirmos dividir o trapézio em duas partes,

temos que traçar uma diagonal, como fizemos no losango, mas apenas uma diagonal, porque

senão formaremos quatro partes, e com apenas uma diagonal formaremos duas partes como

a professora sugeriu.

E, então, a dupla formada pelos alunos A1 e V traçou a diagonal e dividiu o trapézio

em dois triângulos. As outras duplas também começaram a traçar a diagonal no trapézio,

como mostra a figura 34.

121

Figura 34 - Diagonal no trapézio feita pelos alunos


Aluno V: Olha! Conseguimos formar, com a diagonal traçada, dois triângulos.

Aluno A1: Verdade! A área do triângulo conseguimos fazer. Vamos calcular as duas

áreas e somar seus resultados. Assim, encontraremos a área do trapézio.

Aluno V: Meu triângulo maior deu 40 centímetros de base e 21 centímetros de altura,

total 420 centímetros quadrados.

Aluno A1 questionou seu colega de dupla V: Mas este triângulo menor, qual será sua

altura? Para base mediu 19 centímetros.

Aluno V respondeu: Para altura, tem que formar um ângulo de 90°, ângulo reto,

como aprendemos.

Aluno A1: Professora! Não sabemos medir a altura do triângulo menor. O que você

nos sugere?

A professora, antes de explicar, perguntou à turma: Algum de vocês conseguiu medir a

altura do triângulo menor?

Alunos respondem: Não!

Mas o aluno M respondeu que sim e mostrou o que fez, como na figura 35.

Figura 35 - Esboço da altura no triângulo menor feito pelo aluno M


122

Professora: Vou sugerir a vocês fazer o cálculo da área deste triângulo e somar com a

área do triângulo já calculada. Depois comparem seus resultados e verifiquem se foi igual ao

que o aluno A5 encontrou, quando calculou usando três partes, três áreas.

Aluno A5: Quando fiz aquele cálculo, encontrei 619,5 centímetros quadrados.

Então, os alunos fizeram seus cálculos e cada um encontrou valores aproximados a

627 centímetros quadrados. Cada um falou seus valores, porque os traçados para formação do

trapézio inicial não foram iguais, cada qual fez o seu, até mesmo entre as duplas houve

divergência de valores para a área total do trapézio.

Aluna A4: Porque isso acontece, professora?

Professora: Porque na hora de medir, se não ligarmos os pontos corretamente, não

ficará igual, vou sugerir para vocês uma forma de medir a altura do triângulo em questão.

Vamos chamá-lo de triângulo ABC. Vou desenhar no quadro como podemos medir esta

altura.

A professora desenhou na lousa a sugestão de altura do triângulo questionada,

apresentada na figura 36:

Figura 36 - Esboço da altura do triângulo ABC feito na lousa pela professora


Aluna R1: Mas esta altura é a mesma do outro triângulo! Agora ficou mais fácil!

Aluno V: Não tinha pensado por esse lado. Quer dizer que o lado inclinado é o lado

AC deste triângulo?

Aluno A1: Então, a altura mede 21 centímetros como no outro. Fica 19 vezes 21

dividido por 2. Deu 199,5 centímetros quadrados.

123

Aluno V completou seu colega A1: Somados a 420 do triângulo maior, totalizam em

619,5 centímetros quadrados.

Aluno A5: Isso! Igual ao meu resultado encontrado! Desta vez, sem dúvida!

Aluna A4: Então, para não deixar dúvidas e até para facilitar o cálculo, é melhor

usar a mesma altura para ambos os triângulos.

Professora: Ótimo, turma! Agora vocês conseguiram entender o conceito de área do

trapézio, mas sugiro que organizem os dados para generalizarmos este conceito.

Aluna T1: Professora! Até agora este foi o mais difícil de descobrir!

Professora: Mas vocês conseguiram entendê-lo?

Aluno M: Temos que organizar os dados para este conceito, assim vai ficar mais

entendido.

Aluna T2: Vamos começar. Como vamos fazer isso?

Aluno V: Ficou mais fácil identificar os triângulos como a professora fez. Já começou

com o triângulo ABC. Vamos completar e assim fazer a organização dos dados.

Assim, os alunos fizeram os triângulos ACD e ABC, como apresentado na figura 37.

Figura 37 - Esboço dos triângulos ACD e ABC, feitos pelos alunos no trapézio

.


A partir do esboço feito na figura 36, os alunos começaram a organizar os dados para,

então, construírem o conceito de área do trapézio.

Aluno R2: Calculamos a área do trapézio ABC, sendo:

Aluno P3, continuando os dados: Calculamos a área do triângulo ACD, sendo:

124

Aluna A2: Adicionamos os totais das duas áreas dos triângulos: 199,5 +420 = 619,5


Professora: Muito bem! Vocês souberam organizar os dados direitinho! Esta

organização é fundamental para terminarmos o conceito de cálculo de área do trapézio.

Aluna I2: Mas o conceito já está construído, professora!

Professora: Sim. Nós já entendemos seu fundamento, sua construção, mas temos que

terminar sua organização. Notem que as duas áreas calculadas são multiplicadas por 21

centímetros. Vocês sabem por que isso acontece?

Aluna A3: Porque em todos os dois triângulos a altura é a mesma e vale 21

centímetros, professora!

Professora: Correto, A3, e vocês sabem por que nos dois cálculos também dividimos

por 2?

Aluna A4: Porque no conceito de área do triângulo, descobrimos que dividimos o

resultado da multiplicação por 2.

Professora: Correto também, Aluna A4. Estes dois valores estão repetidos, por isso

podemos usá-los apensa uma vez e montarmos um único conceito. Vejam:

.

Notem que os dois valores que estão sendo multiplicados por 21 podem ser somados entre si.

Para isso, colocamos o 21 em evidência. Vejam:

.

Enquanto a professora explicava, resolvia, também, na lousa, para melhor

entendimento da turma.

Aluno A1: Nunca vi este termo “colocar em evidência”, professora!

Professora respondeu ao aluno A1: Vocês vão ouvir e usar muito este termo. Isso

acontece quando duas multiplicações estão sendo feitas por um igual fator e somados

simultaneamente seus resultados. Por isso, em vez de repetir, colocamos este fator em

evidência e os termos somados entre parênteses, e o resultado desta soma multiplicada uma

única vez pelo fator que se repete, sem alterar o resultado da conta. É um artifício

matemático, para facilitar as contas, A1.

Aluno V: O mesmo acontece para o 2 que está dividindo, professora?

Professora: Sim, V. Também colocamos o 2 uma única vez, porque ele repete nas duas

contas. Quando colocamos apenas uma vez, o seu resultado não é alterado. Lembram de

adição de frações com mesmo denominador?

125

Aluna A3: Sim, professora! Conservamos o denominador e adicionamos os

numeradores.

Professora: Esta conta ficou entendida?


Professora: Que tal definirmos por uma letra o lado maior e o lado menor do trapézio

para terminarmos a construção do conceito?

Aluno P3: Sim, professora, quando definimos os triângulos usando letras, ficou mais

fácil para identificarmos. Agora, se definirmos as dimensões do trapézio facilitará bastante

quando formos resolver novamente.

Professora: Sabemos que o trapézio tem duas bases: a maior e a menor. Podemos

definir B por base maior e b por base menor.

Aluna T1 completou: A altura já foi definida por h.

Professora: Sim, aluna T1! Agora, montem o conceito de área do trapézio, turma.

Aluno P2: De acordo com a conta que fizemos, fica então definida por:

.

Professora: Correto, P2.

Aluno G1: Eu fiz o contrário. Coloquei o b antes do B, mas não tem problema né,

professora?

Professora: Não, aluno G1, a ordem das parcelas não altera a soma.

Aluno G1: Sim!

Professora: Todos entenderam o conceito do cálculo de área do trapézio?


Aluno A5 completou: Entendi, professora, mas este foi o mais trabalhoso de se

construir, agora não esqueço mais!

Professora: Que bom que vocês entenderam! Enfim, terminamos o item 1 da atividade.

Agora vamos para o item 2.

Professora: O que é a área do trapézio em relação à área do triângulo?

Aluno R2: Dois triângulos formam o trapézio.

Aluno I1: As áreas dos dois triângulos serviram de base para construção da área do

trapézio.

Aluno A5: Se a professora chegasse e falasse do nada que tinha que ser resolvida

daquela maneira, sem construirmos seu conceito, iria fazer, mas não iria entender o motivo.

Aluna A4: As aulas de Matemática estão cada dia mais show! Estou conseguindo

entender tudo!

126

Professora: Vocês estão corretos quanto às suas construções, mostra que entenderam

de verdade a construção do conceito do cálculo de área do trapézio.

Professora: Vamos responder ao item 3 da atividade. Qual o conceito que acabamos

de descobrir?

Alunos (em coro): Área do trapézio.

Professora: Sim! Cálculo da área do trapézio. Isso ficou bem explorado e fixado.

Agora vamos ao item 4 da atividade.

Professora: Quais conclusões vocês escreveram a respeito desta atividade?

Aluno V: Que a construção do cálculo de área do trapézio foi a mais difícil de ser

feita, mas muito bem explorada. Acredito que não terei dúvida quanto à sua resolução.

Aluna G2: Gostei de construir este conceito, através de área do triângulo chegamos a

ele, nunca iria imaginar isso. Por isso que as aulas investigativas são muito importantes.

Aluna A2: O Interessante é que aprendemos todos uns com os outros, discutindo e

aprendendo, construímos juntos os conceitos.

Professora: Que bom que vocês gostaram desta construção como em todas as outras.

Esperamos sempre o melhor com aulas investigativas, onde os sujeitos da construção são

vocês alunos. A minha função é só auxiliar, mas a ideia é que vocês, por si só, aprendam.

Aluno V: Mas, professora! Não é melhor para a senhora entregar o conceito pronto

para fazermos?

Professora: Com certeza, aluno V. Mas a aprendizagem não teria significado algum

para vocês. Vocês iriam calcular mecanicamente, através da repetição de fórmulas, mas não

ficaria entendido.

Esta atividade, bem como todas as outras, foi um sucesso, como os próprios alunos

perceberam. Apesar de o conceito do cálculo de área do trapézio ter sido o mais trabalhoso

para a sua construção, houve conteúdos, como “fator em evidência” que realmente os alunos

não sabiam, nunca o fizeram, por não ser habilidade daquela série/ ano, mas não serviu como

empecilho para o desenvolvimento da habilidade. Os alunos, nesta questão, reconheceram,

exploraram e formularam questões, organizaram dados, formularam, refinaram e justificaram

uma conjectura, apresentando, para isso, vários testes, além de terem avaliado o raciocínio e o

resultado deste.

4.1.15 Atividade 15


127


Atividade 15 – Praticando o que aprendemos sobre áreas de figuras planas

Objetivo: Calcular a área das figuras planas, de acordo com a aprendizagem sobre a

construção dos seus conceitos.


Organização da turma: Individual.

Duração: 2 aulas.


A proposta da Atividade 15 era verificar a aprendizagem do aluno, após o

desenvolvimento das atividades, para que pudesse fazer a constatação da aprendizagem ou da

defasagem do aluno nos conceitos de área de figuras planas. A partir dos resultados aqui

obtidos, havia a orientação de se criar novas atividades, caso os objetivos não sejam

alcançados.


Identifique cada figura geométrica plana abaixo, nomeie-as, e calcule sua área no

espaço abaixo.


128


A atividade 15 teve, por objetivo, avaliar os conceitos de áreas de figuras planas,

verificando se esses ficaram entendidos entre os alunos da turma, justificando-se, assim, ser

uma atividade individual. Foi entregue aos alunos o material impresso para que fizessem

individualmente as atividades. Eles o receberam e começaram a desenvolver.

Professora: Nesta atividade, vocês deverão identificar a figura, reconhecer o conceito

a ser utilizado, e fazerem o cálculo. Cada aluno pode falar o cálculo de uma figura,

designando, também, suas dimensões.

Aluno A5: O retângulo tem as dimensões 4 por 7, resultado 28. Qual unidade de

medida professora?

Professora: Cada quadradinho representa uma unidade de comprimento, não

identificada, e o resultado da conta, que é o resultado da área, definimos como unidades de

área.

Aluno R3: O paralelogramo tem as mesmas dimensões do retângulo, base 7 unidades

de comprimento e altura 4 unidades de comprimento, resultando em 28 unidades de área.

Aluna A4: O quadrado tem 4 unidades de comprimento, que, elevado ao quadrado,

resulta em 16 unidades de área.

Aluno G1: O triângulo tem 6 unidades de comprimento de base e 3 unidades de

comprimento de altura, resulta em 18 dividido por 2, que é igual a 9 unidades de área.

Aluno M: O losango tem a diagonal maior medindo 6 unidades de comprimento e a

diagonal menor 4 unidades de comprimento. Totalizam em 12 unidades de área, porque

dividimos 24 por 2.

Aluno P3: O trapézio tem a base maior medindo 9 unidades de comprimento, a base

menor medindo 5 unidades de comprimento e a altura medindo 4 unidades de comprimento.

Fazendo o cálculo, fica 9+5 que dá 14 vezes 4, que dá 56 unidades de área, e que dividimos

por 2, totalizando em 28 unidades de área.

Os alunos mostraram-se eficientes no cálculo de área das figuras planas definidas na

atividade, o que se conclui que a construção do conceito feita por eles, juntamente com a

orientação e intervenção da professora, ficou bem explorada. Eles não tiveram dúvidas quanto

às dimensões, nem tampouco quanto ao seu cálculo. O objetivo da questão, que era avaliá-los,

foi satisfeito.

4.1.16 Atividade 16

129



Atividade 16 - (De)composição de figuras planas no conceito de área

Objetivo: Calcular a área das figuras planas de acordo com a (de)composição.


Organização da turma: Dupla.

Duração: 2 aulas.


A Atividade 16 se propôs a avaliar novamente os alunos, no cálculo de área das

figuras planas, através da sua (de)composição. Esperava-se que o aluno concluísse e

formalizasse tais conceitos estudados no decorrer das atividades, foco desta pesquisa.


1. Em cada forma geométrica abaixo, complete, usando o quadriculado,

formando, assim, um retângulo:

a)

130

b)

c)

d)

2. Calcule a área do retângulo formado e da figura inicial. Faça comparações dos

resultados de cada item separadamente.

3. O que você pode concluir a respeito dos conceitos de áreas estudados até

agora?



Na atividade 16, os alunos sobressaíram muito bem. Eles fizeram as atividades em

duplas, mas cada aluno recebeu sua folha impressa com as atividades para serem

131

desenvolvidas. As figuras 38, 39, 40 e 41 apresentam a resolução do item 1 desta atividade,

que era formar o retângulo inicial, antes de ser (de)composto nas figuras esboçadas no item.

Ou seja, este era o “caminho de volta” da resolução dos conceitos de área das figuras planas.

Figura 38 – Registro da Resolução da Atividade 16 - Item 1(a)


O item 1(a) foi facilmente entendido pelos alunos, que fizeram o retângulo inicial.

Aluno V: Olha aqui, professora, a parte triangular que sobrou foi a que completei

para formar o retângulo! A (de)composição desta forma fica nítida!

Aluno A completou: Sim! A (de)composição fica clara nesta atividade.

Professora: Vocês estão bons observadores! É assim que se faz mesmo. Para

aprender, temos que resolver, realizar testes, observar, fazer comparações.

Figura 39 - Registro da Resolução da Atividade 16 - Item 1(b)


132

Continuando o item 1(b), os alunos comentaram:

Aluna A4: Fazendo o corte no meio, dá para ver que a parte que foi colorida do lado

de fora do triângulo, se dobrada e sobreposta, veremos os dois triângulos formados.

Aluna A2: Isso, A4! O que justifica o conceito que construímos.

Aluno G1: Nossa! Essa atividade é muito legal, porque estamos revendo o que

aprendemos, ao contrário, porque antes fizemos o retângulo virar as figuras e agora as

figuras estão sendo transformadas no retângulo.

Professora: Isso, G1. A ideia é essa mesmo! Vocês fazendo o caminho de volta

verificam e fixam o que aprenderam ao fazerem as (de)composições e composições.

Figura 40 – Registro da Resolução da Atividade 16 - Item 1(c)


Aluno V: No losango, se dobramos os lados PR, RS, SQ e PQ, iremos verificar

também e constatar o conceito construído de área do losango. Fica claro que o retângulo

forma dois losangos.

Aluna T2: Por isso mesmo que dividimos sua área por 2.

E assim, os alunos foram constatando suas construções dos conceitos através da

composição do retângulo.

133

Já ao fazerem o item 1(d) da atividade 16, ao construírem o retângulo inicial no

trapézio, para satisfazer a questão, muitos alunos tiveram dificuldade:

Aluno A5: Professora! Eu completei as partes inclinadas no trapézio, mas parece que

deu errado, ficou maior. Pelo cálculo da área pude perceber.

Aluna T2: Verdade! Eu também fiz assim. Mas eu mesma não concordei.

Professora: Pensem em como fizemos a (de)composição do retângulo em trapézio.

Aluna A2: Nós fizemos o corte e depois viramos um dos lados e encaixamos no outro

lado da parte que ficou.

Aluno P2: É mesmo! Se virarmos a folha, então, o caminho de volta para transformá-

lo em retângulo, temos que virar novamente.

Aluno M: Sim! Vamos imaginar então! Para isso temos que traçar uma linha no meio

do trapézio para começar a transformá-lo em retângulo novamente.

Figura 41 – Registro da Resolução da Atividade 16 - Item 1(d)


Na figura 41, o registro da atividade do aluno M. Ao explicar o registro, ele relatou o

que fez:

Aluno M (continua): Comecei a colorir de vermelho o lado direito do trapézio, depois

analisei e comparei a parte que ficou sem colorir. Então pensei: dois quadradinhos em cima,

se virar a folha fica dois quadradinhos embaixo, do lado direito por fora do trapézio,

continuando minha ideia, vejam! São quatro quadradinhos embaixo sem colorir, e completei

os quatro quadradinhos em cima da figura como se fosse o inverso, do lado de fora do

134

trapézio, lado direito. Assim montei meu retângulo, mas não esquecendo que deveria ter

virado a folha.

Aluno V: Ótima ideia M. Fiz como você disse, e agora deu certo meu retângulo antes

da (de) composição!

Aluna A2: Sim! Agora deu certo! Nossa! Tinha me esquecido deste detalhe, de virar.

Aluna T2: Agora sim! Também consegui.

Aluno A5: Do jeito que tinha feito antes, o retângulo tinha ficado com as dimensões 9

por 4, e agora ficou 7 por 4, sabia que estava diferente. Agora consegui entender! O meu deu

certo também.

E assim todos foram descobrindo seus erros e começaram a imaginar e a fazer à parte,

como se estivesse virando a folha.

Professora: Muito bem, turma. Todos se certificaram disso? Desta transformação?


Professora: Agora vamos ao item 2 da atividade! Leiam oralmente, por favor!

E todos leram o item 2 da atividade 16, cujo objetivo era calcular o retângulo formado

e das figuras planas iniciais, fazendo, assim, as comparações dos resultados.

Eis alguns comentários sobre a resolução do item 2(a):

Professora: Vamos calcular a área do retângulo e do paralelogramo?

Aluna I2: Tanto faz, professora! Os dois têm as mesmas dimensões! São 4

quadradinhos por 6, ou vice-versa. Total 24 unidades de área.

Aluno V: 24 unidades de área! Os dois!

Aluna G3: As duas 24 unidades de área!

Professora: Correto! Bom, todos encontraram este valor?


Professora: Que bom! Então, podemos responder ao item 2 (b)!

Professora: Agora temos que calcular a área do retângulo e do triângulo.

Aluna G2: Para o retângulo, temos as duas dimensões do retângulo, que são 3

quadradinhos por 6. Total 18 quadradinhos, ou seja, 18 unidades de área, como a professora

explicou. Para o triângulo é só dividir este valor por 2, que fica 9 unidades de área.

Aluna A4 perguntou a aluna G2: Mas porque você simplesmente dividiu por 2?

Aluna G2 respondeu à aluna A4: Porque a área do triângulo é a área do retângulo

dividido por 2!

Aluna A4 retrucou: Mas tem de fazer as contas separadas, para satisfazer a questão!

135

Aluna G2: Mas eu fiz, escrevi separados os nomes, primeiro retângulo e multipliquei

6 por 4, depois escrevi triângulo e multipliquei novamente 6 por 4, e o resultado dividi por 2,

apesar de que poderia pegar simplesmente o resultado e dividir por 2.

Aluna A4 respondeu: Pensei que você não tinha feito isso.

Professora perguntou: Lembraram, então, através desta conta, o conceito de área do

triângulo?

Alunos: Sim!

Aluno V: É base vezes altura dividido por 2, professora!

Professora: Sim, V. Todos concordam?


Professora: Vamos ao próximo item então?

Professora: Façam o cálculo das áreas do retângulo e do losango, depois comparem

seus resultados!

Aluno M: Muito fácil, professora! São as mesmas dimensões. A diferença é que no

losango temos que depois que multiplicarmos dividirmos seu resultado por 2.

Aluno A1 completou o aluno M: Sim M, mas as dimensões são com nomes diferentes,

no retângulo conhecemos como base e altura, ou largura e comprimento, já no losango são

as diagonais, maior e menor.

Aluna M respondeu ao aluno A1: Sim A1, mas no final das contas dá no mesmo. Ficou

6 vezes 4, que de 24 unidades de área para o retângulo, e este resultado dividido por 2, deu

12 unidades de área para o losango.

Aluno V: Retângulo 24 e losango 12!

Aluna T2: Losango 12 e retângulo 24!

Aluno I1: 24 e 12, retângulo e losango.

E todos foram falando os mesmos resultados, indicando que conseguiram calcular

corretamente a área do retângulo e do losango.

Professora: Que bom que conseguiram resolver este item corretamente!

Professora certificou-se de que todos conseguiram encontrar os resultados sem

dúvidas: Todos conseguiram encontrar 24 unidades de área para o retângulo e 12 para o

losango?


Professora: Ótimo! Agora podemos passar ao próximo item, 2(d).

Professora: Agora vocês devem calculara a área do retângulo e do trapézio e

compararem seus resultados.

136

Aluna A3: O retângulo tem as dimensões de 7 quadradinhos por 4, total 28

quadradinhos, ou seja, 28 unidades de área.

Aluna A4, dupla com A3, completou: O trapézio tem 5 quadradinhos de base menor e

9 quadradinhos de base maior, sendo sua altura 4 quadradinhos. Então fica 9+5, deu 14

vezes 4, que resulta em 56, e que dividido por 2, totalizam em 28 quadradinhos, 28 unidades

de área, como no retângulo.

Aluno V: Percebemos que mesmo virando a folha para transformar o trapézio em

retângulo, os resultados de suas áreas permaneceram o mesmo. Ou seja, suas áreas são

iguais.

Professora: Assim vocês verificaram a área do trapézio em relação à área do

retângulo. Todos conseguiram perceber isso?


Aluno P3: Apesar de fazermos mais contas para o trapézio seu resultado ficou o

mesmo do retângulo.

Professora: Isso P3, agora podemos passar ao item 3 da atividade.

Professora: O que vocês concluíram a respeito dos conceitos de áreas estudados até

agora?

Aluno V: Professora! Confesso que achei bem fácil da forma como fizemos, através

de muita conversa e de (de)compormos as figuras, ajudou e muito.

Aluno P3 completou o aluno V: Eu percebi que todas são (de)composições do

retângulo. Através do retângulo, conseguimos chegar em todas as formas que fizemos, e, com

isso também aos conceitos!

Professora: Parabéns pelas observações, alunos V e P3! Alguém mais quer falar sobre

suas observações e/ ou conclusões a respeito desta atividade?

A turma permaneceu em silêncio.

Professora: Parabéns a todos vocês pela participação no desenvolvimento desta

questão. Vocês amadureceram muito desde o primeiro dia de atividade até chegarmos nesta

última. Espero que no decorrer das próximas continuem assim, mostrando-se interessados

sempre com o espírito investigativo, na construção dos saberes matemáticos.

138

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Pretendeu-se, nesta pesquisa, investigar, através da (de)composição e experimentação,

investigar a construção de conceitos de áreas de algumas figuras planas e a partir dessa

construção, a dedução de suas fórmulas por alunos do 6º Ano do Ensino Fundamental. Surgiu

a ideia de trabalhar com esta turma, visto que ela inicia os primeiros contatos com a área de

figuras planas, com a construção dos seus conceitos, em especial de um triângulo qualquer e

dos quadriláteros, a partir de experimentação, investigação e da (de)composição dessas

figuras.

Para tanto, fundamentou-se na história da Geometria de acordo com Boyer e

Merzbach (2012), complementando com a abordagem de Van de Walle (2009)

“Desenvolvendo Conceitos de Medida” sobre perímetros e áreas de figuras planas, foco desta

pesquisa, onde a autora dessa pesquisa toma a liberdade de relacionar as atividades

desenvolvidas por ele às ideias de investigação, separando-as em momentos na realização de

uma investigação sobre o olhar da própria autora, desenvolvidos por Ponte, Brocardo e

Oliveira (2009), em seu livro “Investigações Matemática na Sala de Aula”.

De acordo com o desenvolvimento do ensino-aprendizagem da Geometria e dos

Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), a problemática desta pesquisa baseia-se na

seguinte pergunta: Quais contribuições são verificadas no processo de ensino/ aprendizagem,

ao se estimular a construção de conceitos e a dedução de fórmulas de área de figuras

geométricas planas, a partir da experimentação/investigação e da (de)composição dessas

figuras, com alunos do 6º Ano do Ensino Fundamental Anos Finais?

Para responder a esta questão que norteou esta pesquisa, foram desenvolvidas as

seguintes ações/ objetivos:

Construção/ dedução dos conceitos de áreas de um triângulo qualquer e dos

quadriláteros (retângulo, quadrado, paralelogramo, losango e trapézio) a partir

da experimentação e da (de)composição das figuras planas;

Elaboração de atividades por meio das quais os alunos tiveram a oportunidade

de explorar os triângulos e quadriláteros, e a partir daí, descobrirem os

conceitos a partir de então validados;

Aplicação das atividades e análise dos resultados.

Com o objetivo de responder à questão diretriz desta pesquisa, elaboramos atividades

investigativas de acordo com as ideias de Van de Walle (2009). Em algumas delas, foram

139

aproveitadas suas ideias originais, outras foram adaptadas pela pesquisadora, lembrando que

não teria como montar essas atividades somente com habilidades sobre os conceitos das áreas.

Para isso se fez necessária a elaboração/adaptação de atividades investigativas introdutórias

sobre de comprimento, pois alunos se confundem entre perímetros e áreas, sendo que a noção

de medida de comprimento serve como pré-requisito para noção de área.

Ao analisar a aplicação das atividades investigativas, constatou-se que:

Cada aluno é único, tem seu modo de agir e pensar; e cada indivíduo tem seu tempo.

Portanto, o tempo de duração de cada atividade nunca será o mesmo para diferentes

turmas e pessoas, mesmo sendo de mesmo nível de escolaridade e mesma faixa etária;

Alguns alunos têm mais maturidade para atividades investigativas, outros têm mais

facilidade para tarefas com materiais manipulativos;

A maioria desses alunos participou ativamente destas atividades diversificadas, dando

seus depoimentos, questionando, conversando, comparando;

Os momentos de uma investigação proporcionados por Ponte, Brocardo e Oliveira

(2009) são sempre válidos, uma vez que possibilitam ao aluno pensar e criar suas

próprias conclusões e definições;

A atividade 2 teve que ser reformulada no quesito de medida sobre a mesa do

professor, na qual devia ser especificado lado maior ou lado menor, bem como a

palavra "tamanho" substituída pelo atributo "comprimento", pois aqui se fez

necessário este termo, para que não houvesse confusão entre os alunos;

A atividade 9, sobre a construção do Tangram e comparação de áreas, foi a mais

trabalhosa para os alunos. Tomou muito tempo, mas foi muito válida para a

aprendizagem;

A atividade 14 foi a mais difícil para os alunos, além de ter, também, tomado muito

tempo. Eles quase desistiram pelo nível mais elevado na construção de seu conceito.

Uma vez que tal conceito deve ser trabalhado em nível mais avançado de escolaridade,

talvez isso possa ter dificultado.

Acredita-se que, em séries posteriores, esta turma participante da pesquisa sofrerá

menos a defasagem dos conceitos de áreas das figuras planas, sabendo e lembrando mais

facilmente, visto que eles próprios, com orientação ou não, criaram seus próprios conceitos.

Além disso, vale ressaltar que a pesquisa-ação torna o participante da ação um

pesquisador de sua própria prática. Entendido isso e tendo como hábito o trabalho

investigativo, torna-se mais fácil a possibilidade de que o estudo mecânico, advindo de

140

fórmulas prontas e acabadas, se extinga. Para tanto, se faz valer o caderno de atividades

investigativas com orientações aos professores, para que estes possam ser os pesquisadores

participantes que intervêm nos rumos da ação, orientados pela pesquisa que realiza. Isso

significa que devem estar sempre abertos à pesquisa, a fim de tornar a prática didática mais

prazerosa, tanto para professor como para alunos. Entende-se, pois, que os objetivos desta

pesquisa foram alcançados e, ainda, podem ser utilizados por todos na construção do saber

geométrico.

142

REFERÊNCIAS

BOYER, Carl B.; MERZBACH, Uta C. (Trad. Helena Castro). História da Matemática. São

Paulo: Editora Blucher, 2012.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros

Curriculares Nacionais: Matemática. (3o e 4o ciclos do ensino fundamental). Brasília:

MEC, 1998.

BUSETTI, Adilson. Brincando e aprendendo com o Tangram. In: Caderno Pedagógico.

Curitiba: SEE-PR, 2008. Disponível em:

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/1725-6.pdf. Acesso em: 21 out.

2019.

D'AMORE, Bruno. Elementos de Didática da Matemática. São Paulo: Editora Livraria da

Física, 2007.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. 3. ed. São Paulo: Ed. Ática, 2009. Vol. 1.

FIORENTINI, D. Pesquisar práticas colaborativas ou pesquisar colaborativamente? In:

BORBA, M. C.; ARAÚJO, J. L. (Org.) Pesquisa qualitativa em Educação Matemática.

Belo Horizonte: Autêntica, 2004. p.47-76.

FIORENTINI, Dario; LORENZATO, Sergio. Investigação em educação matemática. 3.ed.

Ren. Campinas, SP: Autores associados, 2012.

FREIRE, Paulo. Pedagogia da Autonomia. São Paulo: Editora Paz e Terra, 2006.

FREIRE, Paulo. Pedagogia do Oprimido. 17.ed. Rio de janeiro: Paz e Terra, 1987.

HAMZE, Amélia. A configuração geométrica do Tangram. In: Brasil Escola. S.d. Disponível

em: https://educador.brasilescola.uol.com.br/trabalho-docente/a-configuracao-geometrica-

tangram.htm. Acesso em: 31 ago. 2019.

PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA; Hélia. Investigações

Matemáticas na Sala de Aula. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2009.

TEIXEIRA, Priscila Gervásio; NUNES, Ana Maria Ferola da Silva; RIZZOTTO, Denize

Donizeti Campos. Medidas de comprimento: comparando objetos e altura. 2013.

Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=50514>.

Acesso em: 08 ago. 2019.

VAN DE WALLE, John A. O pensamento e os conceitos geométricos. In: VAN DE WALLE,

John A. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e aplicação em sala

de aula. São Paulo: Papirus, 2009. p. 437-484.

https://educador.brasilescola.uol.com.br/trabalho-docente/a-configuracao-geometrica-tangram.htm

https://educador.brasilescola.uol.com.br/trabalho-docente/a-configuracao-geometrica-tangram.htm

144

APÊNDICES

Apêndice A – Produto

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática

Área de Concentração: Ensino de Ciências e Matemática

Eixo temático: Ensino de Matemática


Eliane Scheid Gazire

2020

145

APRESENTAÇÃO ...................................................................................................... 145

INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 145

ATIVIDADE 1 ............................................................................................................. 145

ATIVIDADE 2 ............................................................................................................. 145

ATIVIDADE 3 ............................................................................................................. 145

ATIVIDADE 4 ............................................................................................................. 145

ATIVIDADE 5 ............................................................................................................. 145

ATIVIDADE 6 ............................................................................................................. 145

ATIVIDADE 7 ............................................................................................................. 145

ATIVIDADE 8 ............................................................................................................. 145

ATIVIDADE 9 ............................................................................................................. 145

ATIVIDADE 10 ........................................................................................................... 145

ATIVIDADE 11 ........................................................................................................... 145

ATIVIDADE 12 ........................................................................................................... 145

ATIVIDADE 13 ........................................................................................................... 145

ATIVIDADE 14 ........................................................................................................... 145

ATIVIDADE 15 ........................................................................................................... 145

ATIVIDADE 16 ........................................................................................................... 145

REFERÊNCIAS........................................................................................................... 145

146

Caro professor!

Este caderno, composto por atividades investigativas, é produto da minha dissertação

de mestrado “Construindo o conceito de área de figuras planas a partir de práticas

investigativas”, que através da pesquisa-ação me tornei a participante da ação e pesquisadora

da minha própria prática.

Diante de uma constante defasagem no cálculo de área de figuras planas, detectada em

minha trajetória como professora, ao aplicar atividades rotineiras para os alunos do Ensino

Fundamental Anos Finais e Ensino Médio, percebi uma dificuldade em resolver questões que

necessitavam deste conteúdo como pré-requisito, constatando-se, pois, que dar as fórmulas

prontas e acabadas não contribuem para concretizar a aprendizagem, por serem feitas de

maneira mecânica, o que não fica aprendido realmente. Entendido isso e tendo como hábito o

trabalho investigativo, surgiu, então, a ideia de construir o conceito de área das figuras planas

através da experimentação/ investigação e da sua (de)composição e, consequentemente,

dedução de suas fórmulas.

Meu objetivo principal com este material é fornecer atividades para você, professor da

Educação Básica, a fim de proporcionar, em suas práticas, experiências que possam contribuir

para a construção/dedução/ressignificação dos conceitos de áreas de figuras planas, em

especial os triângulos e quadriláteros, através da (de)composição e experimentação, e que

sirva de apoio e complemento às suas práticas cotidianas para os alunos de 6º ano do Ensino

Fundamental Anos Finais.

Para você entender melhor o que foi feito, vou explicar um pouco do desenvolvimento

da minha dissertação. Após definir o tema e escolhidos os sujeitos participantes da pesquisa,

comecei a escrever. Com o apoio de um pouco de história para que entendesse a origem da

geometria, fiz uma breve pesquisa em Boyer e Merzbach (2012) e, embasada em Van de

Walle (2009), houve a criação/ adaptação das atividades direcionadas aos alunos desta fase, às

quais tomei a liberdade de relacioná-las aos momentos na realização de uma investigação,

desenvolvidos por Ponte, Brocardo e Oliveira, em seu livro “Investigações Matemática na

Sala de Aula” (2009).

147

Aplicadas as atividades, que foram analisadas a “priori” e a “posteriori”, percebi que

as práticas investigativas realmente contribuem, e muito, para que a aprendizagem se

concretize e sugiro que faça parte do cotidiano escolar.

Para tanto, se faz valer este caderno de atividades investigativas com orientações ao

professor, para que você possa ser o pesquisador participante que intervém nos rumos da

ação, orientado pela pesquisa que realiza. Isso significa que é importante estar sempre aberto

à pesquisa, a fim de tornar a prática didática mais prazerosa, tanto para professor como para

alunos. Entende-se, pois, que os objetivos da pesquisa foram alcançados e, ainda, podem ser

úteis a todos na construção do saber geométrico.

Bom trabalho!

As autoras

148

Atualmente, com tanta tecnologia e atividades diferentes para os alunos fora da escola,

a geometria pode tornar-se insignificante para alguns, principalmente quando o docente

oferece tudo pronto e acabado. Portanto, estudos mecânicos não são mais bem- vindos para

essa geração. Por isso, o discente deve ser estimulado/desafiado a construir seus conceitos

através da experimentação/investigação. Só assim a aprendizagem será concretizada.

Bruno D’Amore, em seu livro “Elementos de Didática da Matemática” (2007), explica

que:

Aulas não concluídas, repetitivas, enfadonhas, cansativas, têm consequências

negativas nos alunos e, portanto, sobre todos os outros componentes do mundo da

escola, contribuindo em dar, ao próprio professor, uma imagem negativa da

Matemática. (D'AMORE, 2007, p. 38).

Em especial sobre a geometria, os documentos dos Parâmetros Curriculares Nacionais

(PCN) recomendam que esta subsidia a habilidade de argumentação, possibilitando:

[…] ao aluno desenvolver um tipo de pensamento particular para compreender,

descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. Também é fato

que as questões geométricas costumam despertar o interesse dos adolescentes e

jovens de modo natural e espontâneo. Além disso, é um campo fértil de situações-

problema que favorece o desenvolvimento da capacidade para argumentar e

construir demonstrações. (BRASIL, 1998, p. 122).

Ainda neste sentido, segundo Thompson e Preston (2004), citados por Van de Walle

(2009), os estudantes estão mais fracos na área de medidas do que em qualquer em outro

tópico curricular, existindo, segundo eles, várias hipóteses para isso, dentre as quais destaca-

se a forma como o assunto é ensinado: no lugar de experiências manipulativas, confiam-se

muito nas figuras e exercícios.

Van de Walle (2009, p.406) faz referências às ideias importantes sobre medidas e as

suas conexões aos conteúdos matemáticos. Trata-se da forma como o instrumento a ser

medido tem que ser visto, como “um atributo a ser medido”. Sendo assim compreendido,

reconhece-se os instrumentos de medidas como mecanismos para se obter a unidade de

medidas reais. Para ele:

149

Para medir qualquer coisa, o estudante deve executar três passos:

Decidir qual atributo específico do objeto (ou fenômeno) deve ser medido.

Escolher uma unidade de medida que tenha aquele atributo e seja adequada.

Comparar as unidades, enchendo, cobrindo, emparelhando ou com algum outro

método, com o atributo do objeto que está sendo medido. (VAN DE WALLE, 2009,

p. 406).

Van de Walle (2009) afirma que o uso de medidas informais para começar a medir

comprimentos, como, por exemplo: pegadas gigantes, recortes em cartolinas simulando

pegadas; cordas de medida, corte de fios de algodão do tamanho de um metro, são úteis para

medir as linhas encurvadas e a circunferência de grandes objetos como a mesa do professor;

canudos de plásticos, que podem ser cortados facilmente em unidades menores, podendo ser

ligados com um fio longo, sendo, segundo ele, uma excelente ponte para uma régua ou fita

métrica; pequenas unidades, tais como: palitos de dente, cubos encaixantes de brinquedos ou

de madeira, e clipes de papel. Porém, a explicação de como usar tais unidades deve ser feita,

para que seja praticada.

No desenvolvimento dos conceitos e habilidades de medidas, é necessário, ainda

segundo Van de Walle (2009), fazer comparações. Muitos objetos podem ser comparados, por

exemplo, colocando-os alinhados um com o outro; usando modelos de unidades, sendo muito

benéfico medir o mesmo objeto com unidades diferentes; construir e usar instrumentos de

medida. Os alunos, então, podem, ainda, construir e utilizar seus próprios instrumentos de

medidas, assim ficando mais próximos de como usar e comparar, mesmo sendo unidade

informal.

Van de Walle (2009) explica que existem os motivos para usar os dois tipos de

unidades, as informais e a padrão. Para ele, as unidades informais facilitam a compreensão

direta do atributo a ser medido, evita objetivos contraditórios, fornece uma boa base para a

unidade padrão e, ainda, pode ser divertido. A unidade padrão deve ser familiarizada pelo

estudante, bem como as relações entre ela e a informal, não havendo regra para quando usar

essa ou aquela unidade. Os autores dos padrões defendem a ideia de que o aluno deve ter

muitas oportunidades de usar a unidade informal e vivenciar experiências, antes de

aprenderem a unidade padrão e as fórmulas.

Há, pelo menos, quatro razões para inclusão da estimativa nas atividades de medidas.

Segundo Van de Walle (2009), as estimativas auxiliam os alunos a focar o atributo medido,

bem como o processo de medida, fornecem motivação essencial e, aproximação com a

unidade padrão, quando usada; promovem o raciocínio multiplicativo. Em relação às medidas

de comprimento, ele sugere atividades que funcionam como centro de aprendizagens em sala

150

de aula, para as quais os alunos precisam se familiarizar com instrumentos de medidas, como,

por exemplo, a régua, para aprofundarem, assim, os conceitos de áreas.

Segundo Van de Walle (2009), existem três metas educacionais relativas à unidade

padrão, que são: 1) familiaridade com a unidade; 2) habilidade para selecionar uma unidade

apropriada; 3) conhecimento de algumas relações importantes entre as unidades.

Vale lembrar que as medidas de comprimentos são pré-requisitos para as construções

dos conceitos de áreas, onde estes devem estar dissociados um do outro a fim de que não haja

uma confusão na hora da sistematização dos conceitos. Isso indica que as atividades

relacionadas devem seguir a linha de investigação, por meio das quais os próprios alunos

descobrem, por si só, os saberes.

Ainda para Van de Walle, as fórmulas de área e volume são os artifícios para medir

tais atributos, e, para isso, usam-se as medidas de comprimento, cuja área, perímetro e volume

estão relacionados um ao outro. Ele estabelece que a medida está interligada aos conteúdos

matemáticos, fazendo uma conexão que deve ser integrada, como segue:

Números - associa ao mundo real, ampliando o senso numérico, muito significativo

para contar;

Valor posicional - construído no sistema de numeração decimal;

Álgebra - as funções usadas para estudo e descrição das relações entre vários

fenômenos, onde as fórmulas de medidas são também funções;

Raciocínio proporcional - usa-se escala e proporções em desenhos para obtenção de

medidas desconhecidas de figuras semelhantes, promovendo o senso multiplicativo;

Frações - necessidade de aumento com precisão levando às partes fracionárias das

unidades;

Geometria - auxilia no desenvolvimento e compreensão das fórmulas para perímetro,

área e volume, solicitando, assim, entendimento das formas e relações abrangidas;

Dados - os gráficos e medidas são naturalmente mesclados nas mesmas unidades.

Van de Walle explica, também, que “a estimativa de medidas é o processo de

informação mental e visual para medir ou fazer comparações, sem o uso de instrumentos de

medida” (VAN DE WALLE, 2009, p.427) e considera uma habilidade prática e também

valiosa para a vida. Ele estabelece algumas técnicas para estimar medidas, bem como sugere

dicas para o ensino de estimativa. As técnicas são as seguintes:

1. Desenvolver e usar referenciais ou referentes para unidades importantes, pois os alunos

que constroem suas próprias referências têm mais domínios de fazer estimativas;

151

2. Usar “blocos menores”, quando apropriado. Por exemplo, o peso de uma pilha de livros

fica mais fácil de ser estimada se já houver alguma estimativa para um livro “médio”;

3. Usar subdivisões, estratégia semelhante aos blocos menores, com os blocos impostos ao

objeto pelo estimador;

4. Iterar uma unidade mental ou fisicamente, sendo as larguras das mãos e dos dedos úteis

para medidas menores.

A melhor abordagem para o cálculo de estimativas é a prática, e são sugeridas por Van

de Walle (2009) algumas dicas que, para ele, devem estar em mente para o ensino de

estimativa, quer sejam:

a) Os alunos devem ser ajudados a aprender estratégias utilizando uma abordagem

específica, para, a partir de então, criarem suas próprias estratégias;

b) Deve haver uma discussão de como os vários alunos o fizeram, pois entenderão que há

vários caminhos e estratégias para a estimativa;

c) Deve ser aceita uma variedade de estimativas;

d) Os alunos são estimulados a apresentar uma variedade de medidas que acreditam incluir

medida real. Trabalha-se, assim, a prática da vida real bem como ajuda a focar sobre a

natureza aproximada da estimativa;

e) A medida de estimativa deve ser tomada como uma atividade permanente e contínua.

Pensando assim, este caderno possui atividades investigativas elaboradas/adaptadas a

partir das propostas por Van de Walle (2009), tendo, como principal viés, o direcionamento

para a experimentação e investigação, como propõe o autor. Além disso, cada uma das

atividades vem acompanhada dos momentos de investigação pertinentes a ela, a fim de buscar

facilitar a compreensão dos percursos a serem realizados pelo professor.

Sobre investigação, Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), em seu livro Investigações

Matemática na Sala de Aula, explicitam os momentos na realização de uma investigação,

sendo esses:

Momento 1 “exploração e formulação de momentos de questões”, no qual o aluno

deve: reconhecer uma situação problemática, explorá-la, e formular questões;

Momento 2, “conjecturas”, no qual o discente deve: organizar dados, formular

conjecturas (e fazer afirmações sobre uma conjectura);

Momento 3: “testes e formulações”, no qual a tarefa para o educando é: realizar testes,

refinar uma conjectura;

152

Momento 4 “justificação e avaliação”, tal que o aprendiz deve: justificar uma

conjectura e avaliar o raciocínio ou o resultado do raciocínio. (PONTE; BROCARDO;

OLIVEIRA, 2009, p. 21).

Sobre o conceito de área, no glossário do livro “Tudo é Matemática”, para sexto ano do

Ensino Fundamental, de Dante (2009), é dito: “Área: medida de uma superfície”, e

complementa exemplificando com um quadrado de 2 cm de lado, explicitando que “a área da

região quadrada da figura é 4 centímetros quadrados” (DANTE, 2009, p. 315). Para Martin e

Strutchens (2000, p.82), citados por Van de Walle (2009) “é o espaço bidimensional dentro de

uma região. Como com outros atributos, primeiro os estudantes devem compreender o

atributo de área antes de medi-lo”.

Seguindo esta linha de raciocínio, para melhor entendimento de área, sugere-se que o

estudante deva fazer atividades de comparação, para, então, entender o atributo área, a fim de

saber medi-lo, calculá-lo. Van de Walle (2009) afirma ser difícil fazer comparações de figuras

com dimensões diferentes, podendo haver falha no atributo área. Ele acredita que, trabalhando

pelo menos uma dimensão igual de duas figuras, os estudantes podem entender melhor este

atributo, através da sua sobreposição, com recortes e montagens, deixando a comparação mais

clara e mais concreta.

Sugere-se, ainda, o uso do Tangram para trabalhar o conceito de área. Sobre o

Tangram, Hamze (2019) afirma, que:

Não se conhece ao certo a origem, a data de criação, nem o seu autor. O tangram é

um quebra-cabeça de origem chinesa, praticado há muitos séculos em todo o

Oriente. Segundo a lenda, o jogo surgiu quando um monge chinês deixou cair uma

porcelana quadrada, que se partiu em sete pedaços – daí seu nome, que significa

“tábua das sete sabedorias” ou “tábua das sete sutilezas”. A origem é de um painel

em madeira, de 1780 de Utamaro com a figura de duas senhoras chinesas a resolver

um tangram. A mais antiga publicação com exercícios de tangram é do início do

século XIX. Seu nome original: Tch´ i Tch´ iao Pan, significa as sete tábuas da

argúcia. (HAMZE, 2019).

O jogo Tangram é composto por um quadrado dividido em sete peças, sendo dois

triângulos grandes, dois pequenos, um médio, um quadrado e um paralelogramo, o que

fornece meios de se calcular áreas por sobreposição de figuras.

Sobre área ou perímetro, Van de Walle (2009) aponta que uma possível causa da

confusão dos alunos sobre esses conceitos se deve ao envolvimento de regiões a serem

153

medidas de ambos, ou pelo ensino de fórmulas antes mesmo de entender a fundamentação.

Por isso, há uma tendência a confundir fórmulas.

Também segundo Van de Walle (2009), para que os alunos saibam quais unidades

apropriadas a cada objeto, perguntas devem ser feitas a eles. Por exemplo: “A sala de aula

deve ser medida em metros ou centímetros?”. A resposta a esta questão envolve um amplo

saber sobre medidas e dimensões a serem adotadas.

Já especificamente sobre o uso de fórmulas, o autor enfatiza que, quando esta se

origina em um estudo mecânico, resulta em uma possível aprendizagem momentânea, mas

que, quando se fundamenta na criação de seus próprios conceitos, o aluno consegue

lembrar/associar a relação/conta a ser feita, fluindo, assim, em um processo natural de

aprendizagem. Ele ainda explica que:

Os resultados dos testes da Avaliação Nacional do Progresso Educacional (NAEP)

norte-americano indicam claramente que os estudantes não têm uma boa

compreensão das fórmulas [...]. Um erro muito comum é confundir as fórmulas para

área e para perímetro [...]. Simplesmente dizer aos alunos como uma fórmula foi

derivada não funciona. (VAN DE WALLE, 2009, p.429).

Sobre esse assunto, Van de Walle (2009, p.430) cita que “a formulação de base vezes

altura pode ser generalizada para todos os paralelogramos (não só retângulos) e é útil para

desenvolver as fórmulas de áreas para triângulos e trapézios”, bem como ajuda a conectar

uma ampla família de fórmulas, que devem ser dominadas independentemente, conforme

poderá ser visto nas atividades pertinentes.

As atividades aqui colocadas, conforme já exposto, foram todas elaboradas de acordo

com as ideias de Van de Walle (2009). Em algumas delas foram aproveitadas suas ideias

originais e outras foram adaptadas, porém, sem fugir do objetivo da investigação. Não havia

como elaborar atividades somente com habilidades sobre os conceitos das áreas. Por isso, fez-

se necessária a criação de atividades iniciais sobre perímetros, pois alunos se confundem entre

perímetros e áreas, como já visto nas palavras de Van de Walle (2009).

A seguir são apresentadas cada atividade em sua ordem de aplicação, bem como a

habilidade a ser alcançada e sua breve descrição:

As atividades 1, 2 e 3 baseiam-se na comparação de comprimentos, utilizando os

recursos do próprio corpo humano, como pés, mãos e palmos. Também foram

utilizados pedaços de barbantes e cartolinas para os alunos fazerem as medições e

comparações.

Na atividade 4, os próprios alunos se comparam através de suas estaturas.

154

Na atividade 5, com o material entregue pelo professor, eles criam suas próprias

réguas e medem os mesmos objetos da atividade 2. Mas a régua informal, construída

por eles próprios, só tem validade se, após seu desenvolvimento, for apresentada a

régua padrão. Ou seja, a partir desta atividade eles já terão noção de medir

comprimentos utilizando-se as unidades padrão.

A atividade 6 começa a definir o conceito de áreas. Nela, são usados objetos para

preenchimento das figuras definidas, e, ao mesmo tempo, comparadas as suas áreas.

Na atividade 7, com o uso do papel quadriculado, os alunos têm a noção de áreas de

retângulos, através da contagem dos quadradinhos e/ou através da ideia de

multiplicação de duas dimensões.

Na atividade 8, com o auxílio de quadradinhos, os grupos de alunos formam seus

quadrados e sabem determinar suas áreas, definindo, assim, o cálculo de área do

quadrado.

Na atividade 9, com a construção do Tangram, há uma comparação de áreas das

figuras, a partir das peças que o compõem.

Na atividade 10, com o uso da folha de jornal, há uma fixação do cálculo de área do

retângulo. Posteriormente transformando esta folha em quadrado, fixam, também, o

cálculo de área do quadrado.

As atividades 11, 12, 13 e 14, com o auxílio da folha retangular, trazem a

decomposição do paralelogramo, triângulo, losango e trapézio, respectivamente, sendo

uma complementar à outra e os conceitos assim se definem.

As atividades 15 e 16 são de fixação dos conceitos pré-definidos, objetivando-se

avaliar a aprendizagem de maneira informal.

A seguir, o quadro contendo cada uma das atividades e seus objetivos, além dos materiais

necessários para sua aplicação em sala de aula:

ATIVIDADES OBJETIVOS RECURSOS

1.Medindo objetos da sala de

aula.

Estimar e comparar comprimentos,

utilizando unidades não padrões,

como palmos de mão, pés e palitos

de picolé.

Atividade impressa

em papel A4, palitos

de picolé, objetos da

sala de aula.

2. Comparação de medidas

de comprimento.

Comparar objetos utilizando uma

unidade de medida dada.

Começar com comparações diretas

Cartolina, atividade

impressa em papel

A4, objetos da sala de

aula: lápis, caderno,

155


de dois ou mais comprimentos. carteira, mesa do

professor.

3. Comparação de caminhos

– comprimento.

Estimar e comparar caminhos.


Barbante, fita adesiva

colorida, atividade

impressa em papel

A4.

4. Comparação da altura dos

alunos.

Começar a fazer comparações diretas

de dois ou mais comprimentos, e

entre as próprias estaturas dos

alunos.

Atividade impressa

em papel A4.

5. Construção de suas

próprias réguas.

Construir réguas não padrões. Cartolina, papéis

coloridos, atividade

impressa em papel

A4, régua escolar.

6. Noção intuitiva de área

através da comparação e,

posteriormente, do seu

preenchimento.

Construir a noção de área através da

comparação de figuras e do seu

preenchimento.

Atividade impressa

em papel A4, feijão/

milho.

7. O uso do papel

quadriculado na intuição do


retângulo.

Construir retângulos determinados e

calcular sua área.

Atividade impressa

em papel A4, papel

quadriculado.



quadrado.

Construir o conceito de área do

quadrado através de ladrilhos

quadrados.

Papel emborrachado,

atividade impressa em

papel A4.



quadrado, a partir das peças

do Tangram.

Construir quadrados com as peças do

Tangram comparando suas áreas.

Papel A4 colorido,


papel A4, tesoura.

10. O uso do jornal na

construção do conceito de

área do retângulo e do

quadrado.

Medir as dimensões do jornal e

calcular a área do retângulo.

(De)compor o jornal em um

quadrado com recorte, medir as

dimensões e calcular sua área.

Jornal, atividade

impressa em papel

A4, tesoura.

11. Construção do conceito

de área do paralelogramo.


paralelogramo.

Construir o conceito de área e seu

cálculo.

Folha A4 colorida,


papel A4, tesoura,

régua padrão.

156



de área do triângulo.


triângulo.


cálculo.

Folha A4 colorida,


papel A4, tesoura,

régua padrão.


de área do losango.

(De)compor o retângulo em losango.


cálculo.

Folha A4 colorida,


papel A4, tesoura,

régua padrão.


de área do trapézio.

(De)compor o retângulo em trapézio.


cálculo.

Folha A4 colorida,


papel A4, tesoura,

régua padrão.

15. Praticando o que

aprendemos sobre áreas de

figuras planas.

Calcular a área das figuras planas de

acordo com o que o aluno aprendeu.

Atividade impressa

em papel A4.

16. (De)composição de

figuras planas no conceito de

área

Calcular a área das figuras planas de

acordo com a sua (de)composição.

Atividade impressa

em papel A4.

Cada atividade apresentada no produto é iniciada pelo seu ícone respectivo, seu

número e título, seguido dos quatro momentos de investigação e sua linha de raciocínio, como

proposto por Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), já citados no capítulo anterior, e de um

quadro com as orientações metodológicas ao professor. A folha de atividade a ser entregue

aos alunos vem em seguida. Ela foi formatada, buscando possibilitar, ao docente, a sua

impressão e posterior aplicação aos alunos. Algumas atividades são acompanhadas, ainda, de

um passo a passo para recortes e construção das figuras planas a partir de retângulo. Estas

podem também ser impressas e entregues aos alunos ou utilizadas em projeção na sala de

aula, a depender dos recursos disponíveis.

Um modelo de atividade encontra-se nas próximas páginas com suas partes específicas

e as informações pertinentes a ela, para melhor entendimento do professor:

157

Figura – Modelo de atividade do produto e suas características – Parte 1

Número

da

atividade

Título da

atividade

Indicativo de

direcionamento ao

professor

Ícone da

atividade

Quadro

metodológico

No desenvolvimento, é colocado como a atividade deve ser

desenvolvida pelo professor, trazendo algumas considerações que a

pesquisadora julgou pertinente, após a revisão da sua prática, no

decorrer da aplicação primeira da atividade.

158

Figura – Modelo de atividade do produto e suas características – Parte 2

Com relação aos momentos de investigação, como o exposto na figura acima, estes,

conforme já dito, foram elaborados pela pesquisadora, inclusive para as atividades formuladas

e/ou adaptadas de Van de Walle (2009) presentes no produto, a partir dos momentos de

investigação propostos por Ponte, Brocardo e Oliveira (2009).

Momentos

da

investigação

dentro da

atividade

Sugestões de

Van de Walle

(2009) para a

atividade

proposta

Ícone de

sugestões

159

Figura - Modelo de atividade – Parte 3

Título da

construção

Passos da

construção

Construção

Pronta

Imagem

ligada ao

tema

central da

atividade

principal.

160

Figura - Modelo de tarefa da atividade para imprimir para o aluno

A seguir, as atividades investigativas. Agora, mãos à obra!

Indicativo de

direcionamento ao

aluno

Espaço para o

aluno fazer

contas ou

colocar

dimensões.

Normalmente

possuem o

mesmo

formato ao

qual a

atividade está

direcionada, a

fim de que o

aluno possa

consolidar a

ligação visual

da forma ao

seu respectivo

nome.

Local para

respostas

discursivas

.

161

Estimando medidas de comprimento com unidades não padrões

ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR:

Atividade 1 – Estimando medidas de comprimento com unidades não padrões

Objetivo

Estimar e comparar comprimentos utilizando unidades não padrões, como palmos, pés e

palitos de picolé.

Material utilizado

Atividade impressa em papel A4, palitos de picolé, objetos da sala de aula, tais como:

carteira, porta (largura).

Organização da turma

Duplas ou trios.

Duração

3 aulas (aproximadamente).

Desenvolvimento

Fazer os alunos terem a noção de comprimento usando seu próprio corpo ou outros objetos

que não sejam padrões, para que, a partir de então, passem a ter noção de comprimento/

perímetro. Os alunos podem ser organizados em duplas. Cada qual na sua vez mede os

objetos definidos, respondem à atividade e, por fim, comparam com as medidas dos colegas.

Toda a observação feita por eles é importante que seja registrada na folha impressa da

atividade.

162

Exploração e

formulação de questões

Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação

Questione os alunos sobre

o que pode ser medido na

sala de aula e, sem régua,

e de que forma eles podem

medir esses objetos.

Podem ser

entregues aos

alunos palitos de

picolé de

diferentes

tamanhos (um

tipo para cada

um), para que

eles percebam a

diferença entre

unidades não

padrões.

A tarefa dos alunos é

medir os objetos

pedidos com o palmo

e os pés, além de

palitos de picolé

distribuídos.

Eles devem

compreender e

conseguir explicar

as diferenças

entre os palmos e

os pés e verificar

as diferenças

entre os palitos de

picolé utilizados,

percebendo que

medidas não

padrão não são

únicas.

Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009) e Ponte, Brocardo e Oliveira

(2009, p.21).

163

TAREFA

Descubra as medidas dos objetos que existem na sala de aula. Faça o que se pede:

1. Usando seu palmo, meça a altura da sua carteira. Minha carteira mede,

aproximadamente, ________ palmos meus de altura e ________ palmos do meu

colega. Essas medidas são iguais ou diferentes? Por quê?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

2. Usando seu pé, meça a largura de uma porta. A porta tem, aproximadamente,

________ pés meus de largura e ________ pés do meu colega. Essas medidas são

iguais ou diferentes? Por quê?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

3. Usando palitos de picolé, meça o lado mais comprido de sua carteira. A medida

do lado mais comprido da minha carteira é de, aproximadamente, ________ palitos. A

medida do meu colega foi de ________ palitos. Essas medidas são iguais ou

diferentes? Por quê?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

164

Comparação de medidas de comprimento


Atividade 2 – Comparação de medidas de comprimento

Objetivos

Comparar objetos utilizando uma unidade de medida dada.

Começar com comparações diretas de dois ou mais comprimentos

Material utilizado

Cartolina, atividade impressa em papel A4, objetos da sala de aula: lápis, caderno, carteira,

mesa do professor.


Duplas.

Duração

2 aulas.

Desenvolvimento

Cada dupla de alunos recebe uma tira de cartolina, a qual é utilizada para comparar os objetos

na sala e ir anotando se são maiores, menores ou iguais à tira de cartolina, para, então,

alcançar os objetivos da questão.

165

Exploração e


Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação

Dar aos alunos a tira de

cartolina e mostrar objetos

que possam ser medidos,

pedindo ajuda dos alunos

para essa averiguação

inicial.

Os alunos

deverão fazer as

suas medições,

cada um a sua

vez, medindo

cada qual seu

objeto.

Usando o

comprimento

designado como

unidade (no caso a

cartolina, mas poderá

ser outro objeto, como

uma vara, um

barbante etc.), eles

fazem a medição,

comparando-a com as

realizadas pelos outros

alunos e fazendo as

marcações na folha de

respostas.

O debate

incentivado

pelo(a)

professor(a) deve

ser direcionado

para o fato de que

cada objeto tem

seu próprio

tamanho, mesmo,

por exemplo,

sendo um lápis

(uns podem estar

mais usados do

que outros).


(2009, p.21).

166

TAREFA

Compare os objetos da sala de aula, marque com um X seu comprimento: maior,

menor ou igual à tira de cartolina recebida:

OBJETO (NOME) MAIOR MENOR IGUAL

Lápis

Caderno

Carteira (lado maior)

Altura da carteira

Mesa do professor

(lado menor)

167

Comparação de caminhos - comprimento


Atividade 3 – Comparação de caminhos – comprimento

Objetivo

Estimar e comparar caminhos.


Material utilizado

Barbante, fita adesiva colorida, atividade impressa em papel A4.


Dupla.

Duração

3 aulas.

Desenvolvimento

O(a) professor(a) deve construir, no chão, caminhos curvo, dobrado e torto, utilizando, para

isso, fita adesiva colorida. Cada dupla recebe um comprimento de barbante maior do que os

caminhos feitos no chão. Os alunos são incentivados a medirem os caminhos da maneira

como preferirem, encontrando um modo de fazer caminhos retos que tenham o mesmo

comprimento que os caminhos apresentados, de maneira que possam ser comparados. Por

fim, eles devem responder às perguntas de comparação de comprimento dos caminhos.

168

Exploração e


Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação

Construa alguns caminhos

retos, tortos, curvos, com

pontas etc. no chão com

fitas adesivas coloridas. A

tarefa é determinar qual o

caminho mais longo, mais

curto, por exemplo. Para

isso, deverá ser entregue

aos alunos um pedaço de

barbante, sem dar-lhes

mais explicações.

Os alunos

deverão pensar

para tomar a

melhor decisão

sobre como

conseguir

descobrir o que

se pede com um

barbante. Caso o

professor queira

desafiar os

alunos, poderá

entregar a eles

um pedaço de

barbante menor

do que os

caminhos

traçados.

Os alunos deverão

entender que o

barbante precisa ser

colocado em cima do

caminho, para que

consigam medir toda a

sua extensão e não de

forma reta.

Os alunos

deverão explicar a

forma como

fizeram para

chegar às

respostas pedidas

e entender as

explicações de

outros colegas,

verificando as

estratégias

escolhidas e qual

será a melhor

forma de fazer as

medições.


(2009, p.21).

169

TAREFA

Após sua dupla receber um pedaço de barbante, compare-o com os 3 caminhos com diferentes

cores que estão feitos no chão.

Agora, responda:

Qual o caminho mais longo?

_________________________________________________________________________

Qual o caminho mais curto?

__________________________________________________________________________

Existe algum caminho com igual distância do outro?

__________________________________________________________________________

O que você fez para descobrir essas informações?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Após discussão com a turma e ao verificar as estratégias utilizadas por seus colegas, escreva

suas observações sobre a atividade:

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

170

Comparação de estatura dos alunos


Atividade 4 – Comparação da altura dos alunos.

Objetivo

Começar a fazer comparações diretas entre dois ou mais comprimentos, e as suas próprias

estaturas.

Material utilizado

Atividade impressa em papel A4.


Toda a turma.

Duração

2 aulas.

Desenvolvimento

Os alunos, com intervenção da professora, devem se colocar em fila em ordem crescente ou

decrescente, fazendo, primeiramente, uma fila das meninas e uma fila dos meninos e, por fim,

uma fila para ambos os sexos. Para tanto, os alunos devem começar com comparações diretas

entre dois ou mais comprimentos, de suas próprias estaturas.

Para trabalhar o respeito mútuo, a professora precisa orientar sobre a influência da genética,

explicando porque um aluno é mais alto que o outro e vice-versa, e também a respeito da

idade, a fase em que eles estão, que é de crescimento, “adolescência”.

171

Exploração e


Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação

Os meninos e as meninas

da turma, separadamente,

deverão fazer uma fila

(que pode ser crescente ou

decrescente) dos alunos

em relação à sua altura.

Após

conseguirem

fazer as duas

filas, eles

deverão criar

estratégias para

juntar as duas

filas em apenas

uma, mantendo-

a crescente ou

decrescente em

relação às

alturas.

Inicialmente, os

alunos poderão fazer

as medições por

comparações diretas

dois a dois, facilitando

o ordenamento.

O(a) professor(a)

deverá incentivar

a discussão entre

os colegas para

que façam as suas

observações sobre

a atividade e as

estratégias

escolhidas para a

sua resolução.


(2009, p.21).

172

TAREFA

1) Fazer uma fila das meninas da sala em ordem crescente.

2) Fazer uma fila dos meninos da sala em ordem crescente.

3) Unir as duas filas em ordem crescente.

4) Verificar que aluno/alunos estão no meio certinho da fila.

5) Responder às perguntas:

Qual(is) aluno(s) ficou/ficaram no meio da fila?

__________________________________________________________________________

Quem é maior que este aluno?

__________________________________________________________________________

Quem é menor que este aluno?

__________________________________________________________________________

Têm alunos com mesma altura?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Após a realização da tarefa e da discussão com os seus colegas e professor(a), escreva, aqui,

suas observações sobre a atividade:

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

173

Construção de suas próprias réguas


Atividade 5 – Construção de suas próprias réguas

Objetivo

Construir réguas não padrões.

Material utilizado

Cartolina, papéis coloridos, atividade impressa em papel A4, régua escolar.


Duplas.

Duração

5 aulas.

Desenvolvimento

Nesta atividade, o professor deve recortar, previamente, finas tiras de cartolina com 5 cm de

comprimento e cerca de 2 cm de largura, usando duas cores diferentes de papel. Discuta com

os alunos como as tiras podem ser usadas para medir, colocando-as lado a lado, de ponta a

ponta. Forneça longas tiras de cartolina com cerca de 3 cm de largura. Sem orientações

explícitas, faça os alunos construírem sua própria régua, colando as unidades sobre a

cartolina. Estabeleça uma lista de algumas coisas a serem medidas. Os alunos devem usar

suas novas réguas para medirem as coisas da lista, discutindo os resultados. É muito provável

que haja discrepâncias devido às réguas que não foram feitas corretamente ou à falha na

compreensão de como a régua funciona. Depois de utilizarem a régua construída por eles

mesmos, peça-lhe para usarem a régua padrão e medirem os mesmos objetos novamente,

assim haverá uma validação da construção régua informal e o aprendizado de como usar a

régua padrão.

174

Exploração e


Conjectura Testes e reformulação Justificação e

avaliação

Recorte previamente finas

tiras de cartolina com 5

cm de comprimento e

cerca de 2 cm de largura.

Use duas cores diferentes

de papel. Discuta como as

tiras poderão ser usadas

para medir, colocando-as

lado a lado, de ponta a

ponta.

Forneça longas

tiras de

cartolina com

cerca de 3 cm

de largura.

Sem

orientações

explícitas, faça

os alunos

construírem

sua própria

régua, colando

as unidades

sobre a

cartolina.

Estabeleça uma lista de

algumas coisas a serem

medidas. Os alunos

devem usar suas novas

réguas para medir as

coisas na lista. Discuta

os resultados. É muito

provável que haja

discrepâncias devido às

réguas que não foram

feitas corretamente ou à

falha na compreensão

de como a régua

funciona.

A seguir, eles podem

ser orientados a fazer as

medições com a régua

padrão.

Os alunos

deverão entender,

por meio de

discussão e

observação,

porque as

medidas podem

ter sido

diferentes,

quando utilizadas

as unidades não

padrão e iguais

quando se utiliza

a régua padrão.


(2009, p.21).

175

A régua é um instrumento para traçar e medir linhas retas, e esta deve ser um

objeto escolar essencial. Van de Walle (2009) afirma que o salto de usar unidades de medidas

para o uso de régua é desafiador, e considera que, para sua melhor compreensão, deve-se

fazer com que os alunos construam suas próprias réguas, e, sugere, para tal, que discentes as

usem para medirem objetos menores que ela, induzindo-os à sua compreensão correta, se

contarem os espaços entre as marcas, que indicam as unidades de comprimento. Quando já

compreendem o seu uso, é importante fazer uso de “réguas quebradas” para medir. Assim,

entenderão que qualquer unidade pode indicar o ponto de partida, e não somente o zero.

Deve-se aproveitar a construção das réguas feitas pelos próprios alunos e transferir

para a régua padrão, pois a atividade pode ficar sem nexo se essa ligação não for feita.

Algumas questões são sugeridas por Van de Walle, para direcionamento do uso da régua, tais

como: “Quais são as unidades? Você poderia fazer uma régua com unidades de papel igual a

essa? [...] O que os números nas réguas sugerem? Para que são as outras marcas? Onde as

unidades começam?” (VAN DE WALLE, 2009, p. 412).

176

TAREFA

Construa suas próprias réguas.

I) Depois de construírem suas próprias réguas, meça objetos da sala de aula, anote no

quadro abaixo, e compare com as medidas obtidas pelo seu colega, marcando ser a do seu

colega maior, menor ou igual à sua.

OBJETO MINHAS

MEDIDAS

MEDIDAS DO

MEU COLEGA

COMPARAÇÃO:

MAIOR, MENOR

OU IGUAL

Lápis

Caderno

Carteira

(lado maior)

Altura da

carteira

Mesa

do professor (lado

menor)

As medidas obtidas por você e seu colega são iguais ou diferentes? Porque você acha que isso

acontece?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

177

II) Agora com uso de uma régua padrão, anote as medidas reais dos objetos desta

atividade:

Lápis _______cm

Caderno _______cm

Carteira (lado maior) ______ cm

Altura da carteira ______ cm

Mesa do professor ______ cm

O que você observou nesta atividade, usando a régua feita por você e depois a régua padrão?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

178

Noção intuitiva de área através da comparação e, posteriormente, do

preenchimento


Atividade 6 – Noção intuitiva de área através da comparação e posteriormente do

preenchimento

Objetivo

Construir a noção de área através da comparação de figuras e do seu preenchimento.

Material utilizado

Atividade impressa em papel A4, feijão/milho ou outro(s) material(is) preenchedor(es).


Duplas.

Duração

3 aulas.

Desenvolvimento

Os alunos recebem dois retângulos e uma forma de gota impressos em folhas de papel A4, de

modo que não tenham a mesma área, mas sem nenhuma área que seja visivelmente maior ou

menor do que as outras. A primeira tarefa dos alunos é fazer uma suposição sobre qual é a

menor e qual é a maior das três formas. Depois de registrar suas suposições/observações, eles

devem usar um “preenchedor” de sua escolha para verificar e decidir. Para isso, são

fornecidas pequenas unidades como discos, azulejos coloridos, feijões/milhos, pequenos

ladrilhos feitos de papel cartão. Os alunos devem explicar, por escrito, o que descobrirem. Ao

final da atividade, espera-se que o aluno saiba compreender o conceito de área, bem como

comparar, através do uso de preenchimento de pequenos objetos, áreas de retângulos e de

figuras irregulares.

179

Exploração e


Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação

Desenhe dois retângulos

(um na horizonta e outro

na vertical) e uma forma

irregular (pode ser uma

gota, por exemplo) em

uma folha de papel. Faça

isso de modo que não

tenham a mesma área, mas

sem nenhuma área que

seja visivelmente maior ou

menos do que as outras.

A primeira

tarefa dos

alunos será fazer

a suposição

sobre qual área é

a menor e a

maior ou igual

das três formas

dadas.

Depois de registrar

suas suposições, eles

deverão usar um

“preenchedor” para

verificar e decidir.

Esses “preenchedores”

podem ser milho,

feijão, discos de

emborrachado, entre

outros materiais.

Os alunos

deverão explicar,

por escrito, o que

descobrirem, após

haver a discussão

entre os alunos

que contarão

sobre as

estratégias

utilizadas para

realizar a

atividade.


(2009, p.21).

Para se ter a noção de medir áreas, Van de Walle (2009) sugere o uso de

preenchimentos, citando exemplos, tais como: círculos uniformes, fatias redondas de plástico,

moedas, feijões, azulejos coloridos, quadrados cortados de papelão, folhas de jornal para áreas

maiores.

180

Figura 1 - Silhueta de gota

Figura 2 - Retângulo 1

181

Figura 3 – Retângulo 2

182

TAREFA

Você recebeu três formas, identificadas como figura 1, figura 2 e figura 3.

1. Qual é maior, menor ou são iguais? Anote, no espaço abaixo, suas observações iniciais:

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

2. Agora, você deve preencher as figuras com um dos materiais cedidos

pelo(a) professor(a) e verificar qual das figuras é realmente a maior, a menor, ou se são

iguais. Explique, por escrito, o que e como descobriu:

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

183

O uso do papel quadriculado na intuição do conceito de área do retângulo


Atividade 7 – O uso do papel quadriculado na intuição do conceito de área do retângulo

Objetivo

Construir retângulos determinados e calcular sua área.

Material utilizado

Atividade impressa em papel A4/ papel quadriculado.


Individual.

Duração

3 aulas.

Desenvolvimento

Os alunos devem ser orientados a seguir o enunciado da atividade, onde farão, no papel

quadriculado, 3 retângulos com 24 quadradinhos, preenchendo a parte interna. Ao final da

tarefa cumprida, eles respondem a três perguntas, tendo, como objetivo principal, a criação

dos seus próprios conceitos de área do retângulo.

184

Exploração e


Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação

Os alunos deverão

construir os retângulos no

papel quadriculado

fornecido na atividade,

entendendo que utilizarão,

para cada um, 24

quadradinhos em cada um

dos retângulos e que estes

deverão ser totalmente

preenchidos.

Os alunos

precisarão

perceber que a

situação trata-se

de área e não

perímetro de

figuras planas,

desenhando na

malha

quadriculada

corretamente.

Eles serão orientados

a verificar esta

diferenciação por

meio de debates entre

eles e, caso seja

necessário, reformular

a resposta da primeira

questão.

Os alunos

deverão deduzir,

por meio do

exercício, como

se dá a fórmula da

área do retângulo.


(2009, p.21).

185

O uso de malhas é um importante aliado no cálculo de áreas. Como sugerido

por Van de Walle (2009), funcionam como “régua” para seu cálculo, não importando o tipo

de malha: triangulares, quadrangulares, hexagonais. O interessante é fazer o aluno pensar e

entender a fundamentação do conceito.

Van de Walle (2009) acredita que alguns alunos podem se surpreender, quando este

descobre com a experimentação/investigação a conclusão de que “dois triângulos com a

mesma área não têm, necessariamente, o mesmo perímetro” (VAN DE WALLE, 2009,

p.416), reiterando que o fato não se restringe somente a triângulos, mas acontece, no caso da

atividade estudada, com retângulos. Ainda sobre as atividades, é sugerido, por ele, o registro

dos testes e reformulação, através de tabelas e gráficos (comprimento versus largura para

perímetro e comprimento versus área dos retângulos).

Deve haver uma compreensão clara sobre área para começar a pensar em fórmulas

para retângulos, segundo Van de Walle, que também explica que há certa confusão na mente

dos alunos sobre o conceito de área, e que deve ser revisada a multiplicação. Ele ainda

exemplifica que se deve mostrar aos alunos filas e colunas de objetos ou de quadrados,

discutindo por que a multiplicação informa uma quantidade total.

Sobre a área de um retângulo, Van de Walle explica que:

Quando os alunos formularem uma abordagem para a área, baseada na ideia de uma

fileira de quadrados (determinado pelo comprimento de um lado) multiplicado pelo

número dessas fileiras que se ajustam ao retângulo (determinado pelo comprimento

do outro lado), é o momento certo para consolidar essas ideias. [...]. Certifique-se de

que os estudantes concluam que qualquer lado pode ser a base. Se você usar a

fórmula A = b*h, então a mesma área resultará usando qualquer um dos lados como

a base. (VAN DE WALLE, 2009, p. 431).

O mesmo ocorre para a construção da área do quadrado, que será a atividade seguinte

a essa.

186

TAREFA

Faça, no papel quadriculado abaixo, 3 retângulos com 24 quadradinhos, preenchendo as suas

partes internas.

187

Agora responda:

1 – Qual é a área dos retângulos feitos por você?

__________________________________________________________________________

2 – Como você fez para descobrir o resultado das áreas?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

3 – O que você pode concluir sobre o cálculo da área do retângulo?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

188

Noção intuitiva do conceito de área do quadrado


Atividade 8 – Noção intuitiva do conceito de área do quadrado

Objetivo

Construir o conceito de área do quadrado através de ladrilhos quadrados.

Material utilizado

Papel emborrachado, atividade impressa em papel A4.


Grupos.

Duração

5 aulas.

Desenvolvimento

Nesta atividade são entregues a cada aluno quadradinhos feitos com papel emborrachado, de

modo que, ao final da distribuição, sejam feitos três grupos na sala separados pelas cores dos

quadradinhos recebidos. Sendo:

Grupo 1: Cor azul

Grupo 2: Cor rosa.

Grupo 3: Cor salmão.

Cada grupo é estimulado a juntar os quadradinhos de mesma cor para formarem uma única

forma geométrica regular, cada grupo a sua. Montado os quadrados maiores, devem responder

aos questionamentos, de forma que intuitivamente construam o conceito de área do quadrado.

189

Exploração e


Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação

Recorte, previamente, em

material emborrachado

(EVA), 20 quadradinhos

azuis, 16 cor de rosa e 9

de cor salmão (ou outras

cores que convierem) e

distribuir aos alunos. Cada

aluno receberá somente

uma das cores, pois isso

indicará a sua participação

em um grupo.

Os alunos de

cada grupo serão

motivados a

construir, com a

junção de todos

os

quadradinhos,

sem

sobreposição de

peças, uma

forma

geométrica

regular.

Os alunos deverão

perceber que, por já

terem sido estudados

os retângulos, haverá

a possibilidade de

construção de

quadrados. A partir

deste entendimento,

cada grupo fará a

construção do seu

quadrado.

Com o debate e a

verificação dos

quadrados

construídos pelos

outros grupos, os

alunos poderão

formular o

conceito de área

do quadrado.


(2009, p.21).

A ideia inicial de Van de Walle (2009) é desenvolver a medida de área através

da cobertura, ou seja, da sobreposição, sem introduzir fórmulas. É provável que os grupos

proponham medidas diferentes para a mesma região. Essa diferença deve ser discutida e

apontadas as dificuldades envolvidas em fazer estimativas ao redor da extremidade. Por isso,

deve-se evitar a ideia de que existe uma resposta certa. A única meta desta atividade é

compreender o sentido de área, estando distante do conceito de multiplicação das dimensões

para se obter o resultado de uma área.

190

TAREFA

A) Você recebeu quadradinhos de material emborrachado de uma cor determinada. Verifique se

você é do Grupo 1: Azul; Grupo 2: Rosa; ou Grupo 3: Salmão.

B) Agora, junto ao seu grupo, vocês devem juntar os quadradinhos para formarem uma única

forma geométrica regular, cada grupo a sua.

C) Ao final, vocês devem responder aos questionamentos, um por grupo:

1. Qual figura o grupo formou?

________________________________________________________________________________

2. Quantos quadradinhos tem a sua forma geométrica?

________________________________________________________________________________

3. Qual é a área da sua forma geométrica? Como foi feito o cálculo para descobrir o resultado?

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

4. Compare a sua forma geométrica com a dos outros grupos, qual a forma que construíram e

qual a diferença entre elas?

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________


_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

1 2

3

191

Noção intuitiva do conceito de área do quadrado, a partir das peças do

Tangram


Atividade 9 – Noção intuitiva do conceito de área do quadrado, a partir das peças do

Tangram

Objetivos

Construir o Tangram.

Construir quadrados com as peças do Tangram, comparando as suas áreas.

Material utilizado

Papel A4 colorido, atividade impressa em papel A4, tesoura.


Duplas.

Duração

6 aulas.

Desenvolvimento

Nesta atividade, os alunos são orientados a construírem o Tangram, seguindo o passo a passo

do material entregue a eles. A professora pode fazer junto com eles o passo a passo dessa

construção. Depois da construção do Tangram, cada dupla de alunos deve analisar e

identificar todas as suas peças. A seguir, os alunos respondem à folha de tarefa entregue a

eles. Para isso, o professor deve, a cada questão, desenvolver o debate em sala de aula,

buscando ampliar os conhecimentos obtidos e socializar as descobertas entre as duplas.

192

Exploração e

formulação de

questões

Conjectura Testes e

reformulação


Os alunos deverão

seguir o passo a passo

para a construção do

Tangram

Os alunos irão

reconhecer

cada uma das

peças que o

compõem,

verificando a

relação entre

elas.

A partir do

reconhecimento

feito, eles

deverão formar

quadrados, cada

vez com uma

peça a mais do

Tangram,

iniciando a

partir de duas

delas.

Como haverá construção

com mais de uma

possibilidade, será

interessante haver um

debate entre cada uma das

construções para que os

alunos verifiquem as

estratégias criadas pelos

colegas para essa

formulação. O professor

ainda poderá pedir que os

alunos meçam com a régua

padrão, os perímetros e as

áreas dos quadrados

formados em cada um dos

itens da atividade, fazendo

com que haja uma

consolidação sobre o


quadrado.


(2009, p.21).

Van de Walle (2009) aconselha que se peguem as peças do Tangram para fazer

comparações de áreas de algumas formas. A ideia é verificar a área formada pela união de

peças do Tangram e fazer comparações de uma área em relação à outra. Trata-se da

criatividade e inspiração de quem o faz, na arte da aprendizagem.

193

Passo 1: Com uma folha de papel A4, obtenha um quadrado, através das seguintes dobragens

e recorte.

Passo 1 da construção do Tangram

Passo 2: Dobre o quadrado ao meio e recorte-o de modo a obter 2 triângulos (A e B).


194

Passo 3: Dobre o triângulo A ao meio para obter 2 triângulos menores (1 e 2).

Passo 3 da construção do Tangram.

Passo 4: No triângulo B, marque o meio, dobre o vértice oposto e recorte-o para obter o

triângulo 3.


Passo 5: Dobre o trapézio ao meio, volte a dobrar uma das partes e recorte-o de modo a obter

o triângulo 4 e o quadrado 5.


195

Passo 6: Dobre o trapézio e recorte para obter o triângulo 6 e o paralelogramo 7.


Passo 7: No fim, junte as figuras do Tangram e tente construir outras figuras.


196

TAREFA

Complete corretamente as frases:

a) O Tangram é formado por ________ peças, são elas:

b) ______ triângulos grandes,

c) ______ triângulo médio

d) ______ triângulos pequenos;

e) ______ quadrado;

f) ______ paralelogramo

Com o Tangram, formar um quadrado usando:

a) Só duas peças.

________________________________________________________________________

b) Só três peças.

________________________________________________________________________

c) Só quatro peças.

________________________________________________________________________

d) Só cinco peças.

________________________________________________________________________

e) Seis peças.

________________________________________________________________________

f) Sete peças.

________________________________________________________________________

197

O uso do jornal na construção do conceito de áreas do retângulo e do

quadrado


Atividade 10 – O uso do jornal na construção do conceito de área do retângulo e

do quadrado

Objetivos

Medir as dimensões do jornal e calcular a área do retângulo.

(De) compor o jornal em um quadrado com recorte, medir as dimensões e calcular

sua área.

Material utilizado

Jornal, atividade impressa em papel A4, tesoura.


Duplas.

Duração

4 aulas.

Desenvolvimento

Nesta atividade, com auxílio de uma folha de jornal, os alunos medem suas

dimensões, em seguida fazem o cálculo de sua área, com o objetivo de colocar em

prática a construção do conceito de área do retângulo, já feita em atividades

anteriores. Depois de fazer o cálculo da área do retângulo, os alunos são instruídos a

recortar o jornal fazendo dele um quadrado, para calcular sua área, colocando em

prática o conceito de área do quadrado.

198

Exploração e


Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação

Os alunos deverão,

primeiramente, receber

uma folha de jornal para

medir suas dimensões.

Após, farão o cálculo da

sua área e de seu

perímetro.

Eles serão

incentivados e

fazer da folha de

jornal retangular

um quadrado.

Para isso

deverão pensar

em uma

estratégia que

seja adequada

para resolver ao

que foi pedido.

Os alunos irão dobrar

e/ou recortar o jornal,

da maneira como

preferirem, sendo que,

a partir disso,

calcularão a área do

quadrado construído e

seu perímetro.

Deixe os alunos

explicarem quais

as estratégias

serão usadas para

construírem o

quadrado e, por

meio de discussão

entre eles,

resolver sobre a

semelhança entre

o perímetro e a

área das duas

figuras, além da

relação entre elas.


(2009, p.21).

O objetivo da atividade é instigar os alunos a associarem o cálculo de áreas do

retângulo e do quadrado à ideia de multiplicação. Para Van de Walle (2009), quando acontece

a socialização das ideias entre os participantes da resolução da atividade, o raciocínio fica

satisfeito e o conceito de área refinado.

199

TAREFA

Você recebeu uma folha de jornal. Agora, faça o que se pede:

1. Meça o perímetro desta folha, utilizando a régua padrão. Qual a medida encontrada? Mostre o

cálculo feito.

2. Calcule a área da folha do jornal. Qual a medida encontrada? Mostre o cálculo feito.

3. Recorte a folha de jornal, formando, assim, um quadrado. Como você fez para transformar o

jornal em um quadrado?

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

4. Qual o perímetro do quadrado formado? Mostre o cálculo feito.

5. Qual a área do quadrado? Mostre o cálculo feito.

6. O que há de semelhante entre o perímetro das figuras?

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

7. O que há de semelhante entre as áreas da figura?

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

200

Construção do conceito de área do paralelogramo


Atividade 11 – Construção do conceito de área do paralelogramo

Objetivos

(De)compor o retângulo em paralelogramo.

Construir o conceito de área e seu cálculo.

Material utilizado

Folha A4 colorida, atividade impressa em papel A4, tesoura, régua padrão.


Duplas.

Duração

3 aulas.

Desenvolvimento

Nesta atividade, os alunos recebem uma folha A4 e são instruídos a fazerem o corte e

a montagem como orientado na folha impressa contendo o passo a passo da

(de)composição do retângulo em paralelogramo. Feito o paralelogramo, em duplas,

devem pensar em uma maneira intuitiva de calcular sua área, respondendo aos itens

da atividade.

201

Exploração e


Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação

Forneça aos alunos uma

folha de papel A4

orientando-os para que

construam, a partir dela,

um paralelogramo.

Para a

construção será

fornecido um

passo a passo.

Os alunos deverão

criar estratégias para

entender a relação

entre as áreas do

retângulo e do

paralelogramo.

A tarefa dos

alunos será

determinar a área

desse

paralelogramo.

Incentive o debate

entre os alunos a

fim de verificar as

conjecturas a

partir do passo a

passo realizado


(2009, p.21).

A ideia sugerida por Van de Walle para área dos paralelogramos é que os

alunos transformem os retângulos em paralelogramos, uma vez que já entenderam a fórmula

de retângulo, de base vezes altura,

Van de Walle (2009) detalha que, se os alunos “ficarem desorientados”, o professor

deve pedir a eles que, de alguma forma, transformem o paralelogramo em retângulo. Eles

devem saber, através de suas construções/conclusões, que um paralelogramo sempre pode ter

as mesmas dimensões do retângulo, base, altura e área, e, assim, a fórmula de área de um

paralelogramo fica evidente, que é exatamente a área de um retângulo: base vezes altura.

202

Você recebeu uma folha tamanho A4. Agora construa um

paralelogramo:

Faça o corte como indicado na figura abaixo:

Passo 1: Recorte no retângulo para a montagem do

paralelogramo.

O triângulo originado com o corte deve ser colocado no lado oposto da figura, conforme

figura a seguir:

Passo 2: Montagem do paralelogramo.

Passo 3: Paralelogramo formado

203

TAREFA

Agora, responda ao que se pede:

1. Usando uma régua padrão, meça as dimensões do paralelogramo construído por você por

meio dos recortes, base (b) e altura (h), e escreva-as abaixo:

2. Calcule a área do paralelogramo que você construiu. Mostre a conta no espaço abaixo.

3. Como você fez o cálculo da área do paralelogramo? Explique.

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

4. O que você pode concluir sobre o cálculo de área do paralelogramo?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

204

Construção do conceito de área do triângulo


Atividade 12 – Construção do conceito de área do triângulo

Objetivos

(De)compor o retângulo em triângulo.

Construir o conceito de área do triângulo e seu cálculo.

Material utilizado



Duplas.

Duração

4 aulas.

Desenvolvimento

Nessa atividade, os alunos recebem uma folha A4 colorida e são instruídos a fazer o

corte e a montagem como orientado na folha impressa, onde se encontra o passo a

passo da (de)composição do retângulo em triângulo. Feito o triângulo, em duplas,


da atividade.

205

Exploração e


Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação


folha de papel A4



um triângulo.

Para a

construção será

fornecido um

passo a passo.

Os alunos deverão



entre as áreas do

retângulo e do

triângulo construído.

A tarefa dos

alunos será

determinar a área

desse triângulo.

Incentive o debate

entre os alunos, a

fim de verificar as

conjecturas a

partir do passo a

passo realizado.


(2009, p.21).

Baseado em uma abordagem de resolução de problemas, Van de Walle,

exemplifica, com uma atividade, a área do triângulo, sugerindo o conceito de área dos

paralelogramos para se chegar ao conceito de área dos triângulos.

Neste ínterim, Van de Walle (2009) oferece, ainda, algumas estratégias que o

professor pode utilizar com seus alunos, caso “fiquem desorientados”, conforme segue:

Você pode achar um paralelogramo (retângulo) que se relaciona de alguma maneira

a seu triângulo? Se isso não é suficiente, sugira que eles dobrem um pedaço de papel

e o recortem fazendo duas cópias idênticas. Eles devem usar as cópias para descobrir

como um triângulo se relaciona a um paralelogramo. [...] A área de um triângulo

será então, metade da área do paralelogramo formado. (VAN DE WALLE, 2009, p.

431). (Grifo nosso).

206

Você recebeu uma folha tamanho A4. Faça recortes nela, de acordo com a figura abaixo:

Figura 1: Recorte no retângulo para montagem do triângulo

Figura 2: Triângulo formado

207

TAREFA

1. Usando uma régua padrão, meça as dimensões do triângulo construído por você,

base (b) e altura (h), inserindo-as aqui:

2. Calcule a área da figura formada. Apresente, no espaço abaixo, a conta que foi feita.

3. O que é a área do triângulo em relação à área do retângulo?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________


________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________


_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

208

Construção do conceito de área do losango


Atividade 13 – Construção do conceito de área do losango.

Objetivos

(De)compor o retângulo em losango.

Construir o conceito de área do losango e seu cálculo.

Material utilizado



Duplas.

Duração

4 aulas.

Desenvolvimento

Nesta atividade, os alunos recebem uma folha A4 e são instruídos a fazerem o corte e

a montagem, como orientado na folha impressa, do losango. Ela apresenta o passo a

passo da (de)composição do retângulo em losango. Feito isso, em duplas, devem

pensar em uma maneira intuitiva de calcular sua área, respondendo aos itens da

atividade.

209

Exploração e


Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação


folha de papel A4



um losango.

Para a

construção será

fornecido um

passo a passo.

Os alunos deverão



entre as áreas do

retângulo e do losango

construído.

A tarefa dos

alunos será

determinar a área

desse losango.

Incentive o debate

entre os alunos, a

fim de verificar as

conjecturas a

partir do passo a

passo realizado.


(2009, p.21).

210


Figura 1: Recorte no retângulo para construção do losango

Figura 2: Losango formado

211

TAREFA

1. Calcule a área da figura formada por você após o recorte. Apresente, no espaço abaixo,

a conta que foi feita.

2. O que é a área do losango em relação à área do retângulo?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________


__________________________________________________________________________


__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

212

Construção do conceito de área do trapézio


Atividade 14 – Construção do conceito de área do trapézio

Objetivos

(De)compor o retângulo em trapézio.

Construir o conceito de área do trapézio e seu cálculo.

Material utilizado



Duplas.

Duração

6 aulas

Desenvolvimento

Na atividade 14, os alunos recebem uma folha A4 e são instruídos a fazerem o corte e

a montagem do trapézio como orientado na folha impressa, na qual se encontra o

passo a passo da (de)composição do retângulo em trapézio. Feito isso, em duplas,


da atividade.

Nesta atividade, os alunos podem ter mais dificuldade que as demais, por ser um

conceito mais complexo para a idade-série deles. Mesmo assim, por meio de debates

em conjunto com a turma, o professor pode desafiar e construir junto com seus alunos

o conceito da área do trapézio, socializando informações e ampliando os

conhecimentos.

213

Exploração e


Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação


folha de papel A4



um trapézio.

Para a

construção será

fornecido um

passo a passo.

Os alunos deverão



entre as áreas do

retângulo e do

trapézio construído.

A tarefa dos

alunos será

determinar a área

desse trapézio.

Incentive o debate

entre os alunos, a

fim de verificar as

conjecturas a

partir do passo a

passo realizado.

Como esta é uma

figura que pode

trazer um pouco

mais de

dificuldade do

que as demais até

o momento,

convém a maior

socialização de

informações entre

colegas e

professor(a).


(2009, p.21).

214

Van de Walle acredita que os alunos terão curiosidade de investigar a

construção de área dos trapézios, depois de desenvolverem as construções de áreas anteriores,

sem qualquer auxílio adicional. Ele afirma a existência de dez métodos para se chegar a este

conceito, relacionando-o à área do triângulo ou do paralelogramo, sendo todas essas fórmulas

conectadas, com o uso de métodos semelhantes. Eis sugestões de como conduzir diferentes

abordagens:

Construção de um paralelogramo dentro do determinado trapézio usando três de seus

lados;

Construção de um paralelogramo usando três lados que cercam o trapézio;

Desenho de uma diagonal formando dois triângulos;

Desenho de um segmento de reta pelos pontos médios dos lados não paralelos. O

comprimento desse segmento é a média dos comprimentos dos dois lados paralelos;

Desenho de um retângulo dentro do trapézio, deixando dois triângulos e então

reunindo esses triângulos.

Ao revisar as fórmulas, Van de Valle conclui sobre área de trapézios, como segue:

Trapézios também estão relacionados a paralelogramos e triângulos. Por exemplo

todos os trapézios podem formar dois triângulos. As alturas de cada um deles são a

mesma. Use B para o lado paralelo mais longo e b para o menos e a área do trapézio

será ½ (B*h) + ½ (b*h) (Embora isso possa ser simplificado, essa versão da fórmula

é um modo mais fácil de ser lembrado e reforça o processo utilizado). (VAN DE

WALLE, 2009, p. 434).

215


Figura 1: Recorte no retângulo para montagem do trapézio.

Faça o corte na folha retangular como indicado na figura acima. Depois vire um dos pedaços e

alinhe-os como na figura abaixo.

Figura 2: Montagem do trapézio

Figura 3: Trapézio formado

216

TAREFA

1. Após o recorte realizado, calcule a área da figura formada por você. Apresente, no espaço

abaixo, a conta que foi feita.

2. O que é a área do trapézio em relação à área do retângulo?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________


____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________


____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

217

Praticando o que aprendemos sobre áreas de figuras planas


Atividade 15 – Praticando o que aprendemos sobre áreas de figuras planas

Objetivo

Calcular a área das figuras planas de acordo com a aprendizagem sobre construção

dos seus conceitos.

Material utilizado



Individual.

Duração

2 aulas.

Desenvolvimento

A proposta da Atividade 15 é verificar a aprendizagem do aluno, após o

desenvolvimento das demais atividades e debates em sala de aula, permitindo a(o)

professor(a) fazer a constatação da aprendizagem ou da defasagem do aluno nos

conceitos de área de figuras planas. A partir dos resultados aqui obtidos, tem-se a

orientação de se criar novas atividades, caso os objetivos não tenham sido alcançados.

218

Exploração e


Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação

Reveja oralmente com os

alunos sobre as formas

estudadas e os conceitos

de cada uma de suas áreas,

relembrando as atividades

anteriores.

Com uma régua

padrão, ou

utilizando o

quadriculado da

malha da

atividade onde

se encontram as

figuras da

atividade

(considerando-

as como unidade

de medida), o

aluno deverá

conjecturar

formas de

encontrar as

medidas das

áreas das

figuras.

O aluno determinará

as medidas das áreas

das figuras ali

colocadas. Outra

possibilidade será o

professor pedir, ainda,

que os alunos

encontrem seus

respectivos

perímetros.

Os resultados aqui

encontrados

permitirão ao

professor a

verificação da

aprendizagem dos

alunos relacionada

à formulação do

conceito de áreas

de figuras planas

estudadas até o

momento e,

consequentemente,

a necessidade de

novas atividades,

sanando as dúvidas

que, por ventura,

existam.


(2009, p.21).

219

TAREFA

Identifique cada figura geométrica plana abaixo, nomeie-as, e calcule sua área nos

espaços ao lado de cada uma delas:

a)

b)

c)

d)

220

Orientações ao professor:

Fonte: Elaborado pela autora.

e)

f)

221

(De)composição de figuras planas no conceito de área


Atividade 16 - (De)composição de figuras planas no conceito de área

Objetivo

Calcular a área das figuras planas de acordo com a (de)composição.

Material utilizado



Dupla.

Duração

2 aulas.

Desenvolvimento

A Atividade 16 se propõe a avaliar novamente os alunos, no cálculo de área das

figuras planas, através da sua (de)composição, e espera-se que o aluno conclua e

formalize tais conceitos estudados no decorrer das atividades investigativas, foco da

pesquisa realizada.

222

Exploração e


Conjectura Testes e

reformulação

Justificação e

avaliação

Reveja com os alunos

sobre as formas estudadas

e suas (de)composições a

partir do retângulo.

Utilizando o

quadriculado da

malha da

atividade onde se

encontram as

figuras da

atividade, os

alunos precisarão

traçar os

retângulos,

pensando nas

(de)composições

realizadas nas

atividades

anteriores.

O aluno determinará

as medidas das áreas

das figuras ali

colocadas, assim

como dos retângulos

desenhados a partir

dessas figuras.

Por meio de um

debate, o

professor poderá

incentivar que os

alunos deduzam

as fórmulas das

áreas das figuras

estudadas, a partir

dos conceitos

construídos.

Ainda para

finalizar o rol de

atividades, será

interessante que

os alunos façam

uma avaliação das

atividades

investigativas

realizadas,

oferecendo a(o)

professor(a) um

feedback a

respeito de todo o

trabalho

realizado.


(2009, p.21).

223

TAREFA

1. Em cada forma geométrica abaixo, complete usando o quadriculado, formando, assim,

um retângulo:

A)

B)

C)

224

D)

2. Calcule a área do retângulo formado e da figura inicial. Faça comparações dos

resultados de cada item separadamente, nos retângulos ao lado.

A) Área do retângulo:

Área da figura inicial:

B) Área do retângulo:


C) Área do retângulo:


D) Área do retângulo:


3. O que você pode concluir a respeito dos conceitos de áreas estudados até agora?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

225

D'AMORE, Bruno. Elementos de Didática da Matemática. São Paulo: Editora Livraria da

Física, 2007.

PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA; Hélia. Investigações

Matemáticas na Sala de Aula. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2009.

VAN DE WALLE, John A. O pensamento e os conceitos geométricos. In: VAN DE WALLE,

John A. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e aplicação em sala

de aula. São Paulo: Papirus, 2009. p. 437-484.

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS … · 2020. 5. 15. · ensinamentos, pela prestatividade, apoio e amparo. ... Figura 7 – Tarefa da atividade para imprimir para