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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO Eliza Souza da Silva · PDF file Eliza Souza da Silva TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM UM CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA: ... Provérbios

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  • PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

    Eliza Souza da Silva

    TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM UM CURSO DE LICENCIATURA EM

    MATEMÁTICA:

    Uma estratégia didática com uso de tecnologias digitais

    São Paulo

    2015

  • Eliza Souza da Silva

    TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM UM CURSO DE LICENCIATURA EM

    MATEMÁTICA:

    Uma estratégia didática com uso de tecnologias digitais

    Tese apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de Doutora em Educação Matemática. Orientador: Prof. Dr. Gerson Pastre de Oliveira

    São Paulo

    2015

  • Eliza Souza da Silva

    TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM UM CURSO DE LICENCIATURA EM

    MATEMÁTICA:

    Uma estratégia didática com uso de tecnologias digitais

    Tese apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de Doutora em Educação Matemática.

    _____________________________________________________________ Prof. Dr. Gerson Pastre de Oliveira (Orientador) PUC-SP

    __________________________________________________ Prof. Dr. Armando Traldi Júnior IFSP

    __________________________________________________ Profa. Dra. Marilena Bittar UFMS

    __________________________________________________

    Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud PUC-SP

    __________________________________________________ Profa. Dra. Silvia Dias Alcântara Machado PUC-SP

  • Autorizo a reprodução e divulgação total ou parcial desta dissertação por qualquer

    meio convencional ou eletrônico, para fins de estudo e pesquisa, desde que citada a

    fonte.

    Assinatura________________________________local e Data_____________

  • A minha família por todo o incentivo, em especial ao meu filho, que foi a minha inspiração.

    Aos meus amigos(as) que sempre estiveram ao meu lado.

    Ao meu orientador, pela paciência e dedicação.

  • AGRADECIMENTOS

    “Porque Deus dá a sabedoria, da sua boca é que

    vem o conhecimento e o entendimento”

    Provérbios 2:6

    Ainda, muitos foram os que contribuíram na construção desta pesquisa, dando-me

    um pouco do apoio, do conhecimento, do carinho, que me foram imprescindíveis. Com

    apreço...

    Ao Professor Dr. Gerson Pastre de Oliveira, pela orientação dedicada e amiga, pela

    compreensão, pela paciência, pelo incentivo e apoio constantes.

    Aos professores doutores da Banca Examinadora Saddo Ag Almouloud, Armando

    Traldi Júnior, Silvia Dias Alcântara Machado e Marilena Bittar, pela atenção, compreensão e

    sugestões.

    À coordenação e ao corpo docente do Programa de Estudo Pós-Graduados em

    Educação Matemática da PUC-SP, pelo convívio, apoio e compreensão.

    Ao meu filho Guilherme, minha mãe Raimunda, meu pai Manoel e às minhas irmãs,

    Eliane e Edilene, que além de compreenderem meus momentos de ausência, sempre se

    fizeram presente para me apoiar, incentivar e auxiliar nos momentos mais difíceis desta

    jornada.

    Aos amigos de Doutorado e Mestrado, pelas contribuições e por terem me permitido

    multiplicar e construir meus próprios conhecimentos.

    A meus amigos(as) por todo apoio recebido nos momentos mais difíceis.

    A UEPA, por seu apoio financeiro.

    A todas as pessoas que contribuíram direta ou indiretamente para a realização deste

    trabalho.

    ...Muito Obrigada.

  • Apólogo dos dois escudos Conhecem o apólogo do escudo de ouro e de prata? Eu lhe conto. No tempo da cavalaria andante, dois cavaleiros armados de ponto em branco (= com cuidado, com esmero, completamente), tendo vindo de partes opostas, encontram-se numa encruzilhada em cujo vértice se via erecta uma estátua da Vitória, a qual empunhava numa das mãos uma lança, enquanto a outra segurava um escudo. Como tivessem estacado, cada um de seu lado, exclamaram ao mesmo tempo: - Que rico escudo de ouro! - Que rico escudo de prata! - Como de prata? Não vê que é de ouro? - Como de ouro? Não vê que é de prata? - O cavaleiro cego. - O cavaleiro é que não tem olhos. Palavra puxa palavra, ei-los que arremetem um contra o outro, em embate singular, até caírem gravemente feridos. Nisto passa um dervis, que depois de os pensar com toda a caridade, inquire deles o motivo da contenda. - É que o cavaleiro afirma que aquele escudo é de ouro. - É que o cavaleiro afirma que aquele escudo é de prata. - Pois, meus irmãos, observou o dares, ambos tendes razão e nenhum a tendes. Todo esse sangue se teria poupado, se cada um de vós tivesse dado ao incômodo de passar um momento ao lado oposto. De ora em diante nunca mais entreis em pendência sem haverdes considerado todas as faces da questão!

    José Júlio da Silva Ramos

  • RESUMO

    Esta pesquisa tem como objeto de estudo a aprendizagem das transformações

    lineares por licenciandos em Matemática e foi realizada tendo como sujeitos oito

    alunos de uma turma do segundo ano do curso de Licenciatura em Matemática da

    Universidade Estadual do Pará. O referencial teórico da investigação repousa sobre

    a teoria das situações didáticas, utilizada com o intuito de produzir uma sequência

    didática com o propósito de investigar de que forma estudantes de Licenciatura em

    Matemática resolvem problemas conceituais em relação ao tema “transformações

    lineares” no âmbito de situações didáticas e com o uso de tecnologias digitais. As

    atividades empregadas têm por base uma situação didática arquitetada para dar aos

    sujeitos condições de desenvolverem, com autonomia, suas próprias estratégias,

    contando, para este fim, com o uso do programa computacional GeoGebra 5 como

    elemento mediador. A revisão bibliográfica realizada apontou para a existência de

    dificuldades, por parte dos estudantes universitários, na aprendizagem de conteúdos

    de álgebra linear, as quais foram confirmadas ao longo deste estudo. Os resultados

    da pesquisa apontaram, também, que o desenvolvimento de atividades baseadas

    nos pressupostos teóricos apresentados, por meio de uma sequência didática

    adequadamente planejada e com mediação por tecnologias digitais pode auxiliar os

    estudantes a desenvolver autonomia na aprendizagem e ganhos cognitivos

    consideráveis, ainda que permaneçam dificuldades relacionadas à construção

    conceitual.

    Palavras-chave: Álgebra Linear. Transformações Lineares. Visualização e

    experimentação. Tecnologias Digitais. Teoria das Situações Didáticas. GeoGebra.

  • ABSTRACT

    This research has as object of study the learning of linear transformations by

    undergraduates in mathematics and was held having as subjects eight students in a

    class of second year of the Licentiateship Degree in Mathematics from the State

    University of Pará. The theoretical framework of the investigation rests on the theory

    of didactic situations, used in order to produce a didactic sequence to investigate

    how Mathematics Degree students are able to solve conceptual problems related to

    the topic "linear transformations" in the context of didactic situations using digital

    technologies. The employed activities are based on a didactic situation architected in

    order to give to subjects conditions to develop, with autonomy, their own strategies,

    counting with the computer program GeoGebra 5 as mediating element. The

    theoretical review pointed to the existence of difficulties on the part of college

    students in learning linear algebra contents, which were confirmed in this study. The

    research results showed also that the development of activities based on the

    conceptual framework presented through a didactic sequence properly planned and

    with mediation by digital technologies can help students develop autonomy in

    learning and considerable cognitive gains, despite remaining difficulties related to the

    conceptual construction.

    Keywords: Linear Algebra. Linear Transformations. Visualization and

    experimentation. Digital technologies. Theory of Didactical Situations. GeoGebra.

  • LISTA DE FIGURAS

    Figura 1-Exemplo da resolução de um estudante (verificação de transformação linear) .................... 34

    Figura 2- Interface do software GeoGebra 5 ........................................................................................ 67

    Figura 3- Janela de visualização 3D da interface do GeoGebra 5 ......................................................... 68

    Figura 4- Interface do GeoGebra 5 (construção de um exemplo) ........................................................ 69

    Figura 5- Planilha referente às construções matriciais ......................................................................... 70

    Figura 6 – Esquema gráfico de uma transformação linear ................................................................... 73