1

POPISNÉ (DESKRIPTÍVNE) CHARAKTERISTIKY

- sú číselné charakteristiky, ktoré koncentrovanou formou – jedným číslom – vyjadrujú určitú vlastnosť skúmaného štatistického znaku

(väčšinou sú použiteľné pre kvantitatívne štatistické znaky, len niektoré pre kvalitatívne štatistické znaky)

2

popisné charakteristiky:- charakteristiky polohy- charakteristiky variability- charakteristiky šikmosti- charakteristiky špicatosti

3

alebo stredné hodnoty vyjadrujú určitú úroveň (polohu) znaku, okolo ktorej sú ostatné hodnoty viac či menej koncentrované

4

charakteristiky polohy:

1. priemery - aritmetický

- geometrický

- harmonický

každý môže byť jednoduchý alebo vážený

2. ostatné stredné hodnoty - modus

- medián

5

charakteristiky polohy – vlastnosti:! majú byť typickou hodnotou štatist. súboru- musia byť jednoznačne presne definované- pri výpočte sa do úvahy berú všetky jednotky

štat. súboru- majú byť ľahko zistiteľné- mali by slúžiť k porovnávaniu stredných

hodnôt za niekoľko súborov- majú čo najmenej podliehať náhodnostiam

výberu

6

Priemer predstavuje často rovnomernosť alebonormu, ktorá neexistuje. Keď v priemere každýdostane porciu mäsa, je možné, že niektorí zjedia

dve, resp.viac, iní žiadnu.

7

- aritmetický priemer ( napr. priemerná mzda, priemerná denná teplota, atď.)

Priemerná mzda (jednoduchý aritm. priemer) 8 400 Sk 6 500 Sk 9 600 Sk 10 000 Sk 11 200 Sk 12 700 Sk29 200 Sk : 3 = 9 733,33 Sk 29 200 Sk : 3 = 9 733,33 Sk

8

aritmetický priemeraritmetický priemerjednoduchý

vážený

n – počet pozorovaní x1, x2, x3.....xn

j=1,2,3,....n ni=n

9

n

x

xn

x

n

jjn

jj

1

1

1

n

nxnx

nx

m

iiim

iii

1

1

1

10

Dolná Horná stredy int.hranica hranica ni Ni xi xi*ni

10 6 6 9.75 58.510 10.5 9 15 10.25 92.25

10.5 11 13 28 10.75 139.7511 11.5 17 45 11.25 191.25

11.5 12 21 66 11.75 246.7512 12.5 28 94 12.25 343

12.5 13 15 109 12.75 191.2513 13.5 6 115 13.25 79.5

13.5 14 3 118 13.75 41.2514 2 120 14.25 28.5

Spolu 120 1412.00

Priemer 11.76667Priemerný plat pracovníka predstavuje11 667 Sk

vlastnosti aritmetického priemeru:- stálosť súčtu hodnôt - súčet odchýlok od priemeru sa rovná 0

- súčet štvorcov odchýlok od priemeru je minimálny

11

jxxn*

0)( xx j

min)xx( 2j ^

- geometrický priemergeometrický priemer- používa sa pri časových radoch (rast HDP za tri roky, vývoj inflácie za päť rokov...)

jednoduchý

vážený

12

n

n

jj

nng xxxxx

1

21 ......

n

m

i

ni

n nm

nng

im xxxxx

1

21 ......

- význam pri nesymetrických rozdeleniach u kvantitatívnych znakov,

- pri kvalitatívnych znakoch

MediánMedián - prostredná hodnota v štatistickom súbore usporiadanom podľa skúmaného znaku

( napr. výška prostredného pracovníka)

13

x~

určovanie mediánu pri intervalovom rozdelení početností

- dá sa určiť len mediánový interval, do ktorého patrí, v rámci tohto intervalu potom medián určíme približne

na základe kumulatívnych početností

a -dolná hranica medián. intervalu

h -rozpätie medián. Intervalu

b -početnosť medián. Intervalu

c -suma absolútnych početností všetkých intervalov, čo sa nachádzajú za mediánovým intervalom

d - suma absolútnych početností všetkých intervalov, čo sa nachádzajú pred mediánovým intervalom

14

x~

2

b c dx a h

b

ModusModus - - najpočetnejšia alebo najčastejšie sa vyskytujúca hodnota v štat. súbore

- je definovaný v jednovrcholových rozdeleniach početností

15

x̂

2ˆ xxi ni1 122 173 9

38

a) bezprostredne sa dá určiť v štat. súbore, ak poznáme individuálne hodnoty znaku x a ich početností

b) v prípade intervalového rozdelenia početnosti sa priamo určí iba modálny interval, t.j. interval s najväčšou početnosťou v štat. súbore. V rámci tohto intervalu sa modus určí:

16

1. na základe vzťahu početností modálneho a priľahlých intervalovň

a - dolná hranica modálneho intervalu

h - rozpätie intervalu

d0- rozdiel medzi početnosťou modálneho a predchádzajúceho intervalu

d1- rozdiel medzi početnosťou modálneho a nasledujúceho intervalu

17

10

0ˆdd

dhax

Dolná Hornáhranica hranica ni Ni

10 6 610 10.5 9 15

10.5 11 13 2811 11.5 17 45

11.5 12 21 6612 12.5 28 94

12.5 13 15 10913 13.5 6 115

13.5 14 3 11814 2 120

Spolu 120

Modusx mo 12h 0.5d0 7d1 13

Modus 12.175Najpočetnejším platom je 12 175 Sk

Vzájomná poloha modusu, mediánu a Vzájomná poloha modusu, mediánu a aritmetického priemeru v štat. súborearitmetického priemeru v štat. súbore

- symetrické rozdelenie

- nesymetrické rozdelenie

- pozitívna asymetria

- negatívna asymetria

18

Vzájomná poloha modusu, mediánu a aritmetického priemeru v štat. súbore - symetrické rozdelenie

X =

X =

_

X~

- asymetrické rozdelenie

X <

X <

~

X

_

pravostranné

< X

< X~

X

_

ľavostranné

variabilita – menlivosť hodnôt znaku v štatistickom súbore

miery variabilitymiery variability:a) miery variability, ktorých veľkosť ovplyvňujú len

niektoré hodnoty znaku v súbore- variačné rozpätie- kvantilové rozpätie- kvartilové rozpätie- kvartilová odchýlka

20

b) miery variability, ktorých veľkosť ovplyvňuje každá hodnota znaku v súbore:

- absolútne - priemerná odchýlka

- rozptyl

- smerodajná (štandardná) odchýlka

- relatívne - pomerná priemerná odchýlka

- variančný koeficient

21

- rozptylrozptyl – s2 (disperzia, variancia)- druhý centrálny moment, priemerný štvorec

odchýlok od priemeru, meria variabilitu v druhých mocninách mernej jednotky- preto je neinterpretovateľnýneinterpretovateľný

- počíta sa ako:počíta sa ako:

jednoduchý

vážený

22

2

1

2 )(1

xxn

sn

jj

i

m

ii nxx

ns .)(

1 2

1

2

- Smerodajná Smerodajná (štandardná )(štandardná ) odchýlka odchýlka- s vyjadruje variabilitu súboru v pôvodných

merných jednotkách

Relatívna miera variability:

- variančný koeficientvariančný koeficient – v - meria variabilitu v % (slúži na porovnávanie variability znakov vo viacerých súboroch

23

2ss

% 100.x

sv

Charakteristiky šikmosti:Charakteristiky šikmosti:a) a) Pearsonova miera šikmosti- Pearsonova miera šikmosti- určuje mieru asymetrie určuje mieru asymetrie

podľa vzájomnej polohy modusu a priemeru- je približnápodľa vzájomnej polohy modusu a priemeru- je približná

=0 symetrické rozdelenie

>0 pozitívna asymetria

0 negatívna asymetria

24

xs

xx ˆ

b) koeficient šikmostib) koeficient šikmosti ( asymetrie ) – je presnejšia (momentová) miera šikmosti, je

bezrozmerné číslo, vyhodnocuje sa :

1 = 0 symetrické rozdelenie

1 > pozitívna (ľavostranná) asymetria

1 < negatívna (pravostranná) asymetria

25

33,

3,1x

xt s

3

1

3

1 .

)(

sn

xxn

jj

31

3

1

)(

sn

nxxm

iii

- koeficient špicatostikoeficient špicatosti - 2

bezrozmerné číslo

2 = 0 normálne rozdelenie

2 < 0 plochšie rozdelenie

2 > 0 špicatejšie rozdelenie

26

3.

)(

4

1

4

2

sn

xxn

jj

3.

)(

41

4

2

sn

nxxm

iii

27

Koeficient špicatosti

Koeficient šikmosti