Flexin asimtrica

1,

I

"Yxy = ~G

"Yyz = ~G

"Yzx =T zx

G

dMdx = V(x)

1 M d4VP El'

El dx 4 = q(x)

d 2v= V(x), d

2v= M(x)El dx 3 El dx 2

e =x

e =y

Pera er = A

Radio de giro{l:::;::r=rmn=\j~

EG= ---2(1 + v)

PandeoCarga crtica axial

Dilatacin1 - 2v

e = -E--(ax + ay + az)

Mdulo volumtrico

Curva elstica

-rr 2ElPer = (KL)2

Esfuerzo crtico axial

Ek= 3(1 - 2v)

1ez = E[az - v(ax + ay)],

donde el mdulo cortante

Propiedades mecnicas del materialRazn de Poisson

Deflexin de vigasRelaciones entre q, Vy M

dVdx = q(x),

e lalv = ---elong

Ley generalizada de Hooke1E [ax - v(ay + az)]'

VQT= -

ltVQ

q = Tt = 1 '

tan(j =

CortanteFlujo y esfuerzo cortante debido a fuerza cortante

TorsinEsfuerzo cortante en una flecha circular

~ = PLAE

Carga axialEsfuerzo normal

FlexinEsfuerzo normal en un miembro recto

TpT= -

lpngulo de tor:sin en un miembro circular

TL=IG

p

Esfuerzo cortante en una flecha rectangularT

T= --Ct bt2

Esfuerzo cortante en un tubo de pared delgadaT

T = 2t@

Desplazamiento

Mya=--

1

Transformacin del esfuerzoEsfuerzos normales principales

,-----;;---

= ax + ay + I( ax - ay)2 2a,2 2 -\j 2 +Txy

Esfuerzos cortantes mximo y mnimo

I( a x - ay )2 2T: = \j --2- + Txy

Principales ecua~~ones elsticas

K (kappa)'JI. (lambda)v (nu)p (rho)(f (sigma)T (tau)

(phi)

Smbolos de letra redonda o romana@ rea limitada por la lnea central del permetro de un tubo delgado

A rea, rea de seccin transversalc distancia del eje neutro o del centro de torsin a una fibra extrema

E mdulo de elasticidad en tensin o compresinF fuerzaf frecuencia, coeficiente de flexibilidad

G mdulo de elasticidad en cortantel momento de inercia de un rea transversal

lp momento polar de inercia de un rea transversalK factor de concentracin de esfuerzos, factor de longitud efectiva de columnask constante de resorte; k = kilolibra = kip = 100Q lb.L longitud; Le = KL longitud efectiva de columnaM momento, momento flexionante, masa

Mp momento plstico ~\J ( ... '.. rd f . 1 . . Q nI Qm masa, momento causa o por una uerza vlrtua umtana .

P fuerza, carga concentrada - fk ~O'2. ('0('(\ (})'( (~ ~C{p intensidad de presin, fuerza axial debida a una fuerza unitaria .JQ primer momento o momento esttico del rea A fghj respecto al eje neutroq intensidad de carga distribuida, flujo cortanteR reaccin, radior radio, radio dy giroS mdulo de seccin elstico (S = l/c)T par de torsin, temperaturat espesor, ancho, desviacin tangencial

U energa de deformacin unitariau fuerza interna causada por una carga virtual unitaria, desplazamiento axial o radialV fuerza cortante (a menudo vertical), volumenv deflexin de viga,.velocidad

W peso total, trabajow peso o carga por unidad de longitudZ mdulo de seccin plstico

AE rigidez axial; El rigidez flexionante; Glp rigidez torsional

Smbolos de letras griegasa. (alpha) Coeficiente de expansin trmica, ngulo general'Y (gamma) deformacin unitaria cortante, peso por volumen unitarioLl (delta) deformacin o deflexin total, cambio de cualquier funcin designadaE (epsilon) deformacin unitaria normale (theta) ngulo de la pendiente de una curva elstica, ngulo de inclinacin de una lnea

sobre un cuerpocurvaturavalor propio en problemas de pandeo de columnasrazn de Poissonradio, radio de curvaturaesfuerzo de tensin o de compresin (es decir, esfuerzo normal)esfuerzo cortantengulo total de torsin, ngulo general

Mecnicade

Slidos

Mecnica de SlidosSegunda edicin

Egor P. PopovUniversity of California-Berkeley

Toader A. BalanTechnical University of Moldova, Chisinau

TRADUCCIN: Jos de la Cera AlonsoIngeniero Civil,

Universidad Nacional Autnoma de MxicoDiplomado en Ingeniera,

Universidad Tcnica de Mnich, AlemaniaProfesor titular,

Universidad Autnoma Metropolitana,Unidad Azcapotzalco

REVISIN TCNICA: Javier Len CrdenasJefe de la Carrera de Ingeniera Mecnica,

Escuela de Ingeniera, Universidad La Salle

PearsonEducacin,-----

MXICO ARGENTINA BRASIL COLOMBIA COSTA RICA CHILEESPAA GUATEMALA PER PUERTO RICO VENEZUELA

/ Datos de catalogacin bibliogrfica

POPOV,E.P.Mecnica de slidosPEARSON EDUCACIN, MXICO, 2000

Versin en espaol de la obra titulada Engineering Mechanics afSalids, Second Editian, de Egor P. Popov, publicada originalmente en in-gls por Prentice-Hall, l!lc., Upper Saddle River, New Jersey.

Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

Original English language title byPrentice-Hall,lnc.Copyright 1999All rights reservedISBN 0-13-726159-4

Pginas: 888

ISBN: 970-17-0398-7Materia: Universitarios

Formato: 20 X 25.5

Edicin en espaol:Editor: Jos Luis VzquezSupervisor de traduccin: Jorge Bonilla TalaveraSupervisor de produccin: scar valos SalcedoEdicin en ingls:Acquisitions Editor: Eric SvendsenEditoriallProduction Supervision: Rose KernanEditor-in-Chief: Marcia HartanManaging Editor: Eileen ClarkCopy Editing: Patricia DalyCover Designer: Bruce KenselaarAssistant Vice-President of Production and Manufacturing: David W RiccardiManufacturing Buyer: Pat BrownEditorial Assistant: Griffin Cable

SEGUNDA EDICIN, 2000

D.R. 2000 por Addison Wesley Longman Mxico, S. A. de C.V.Calle 4 No. 25-2do. pisoFracc. Industrial Alce Blanco53370 Naucalpan de Jurez, Edo. de Mxico

Cmara Nacional de la Industria Editorial MexicanaReg. Nm. 1031

D

Reservados todos lo; derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistemade recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electropti-ca, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus repre-sentantes.

ISBN 970-17-0398-7 FEa

Impreso en Mxico. Printed in Mexica

1 2 34 5 6 7 8 9 O - 03 02 01 00PROGRAMAS EDUcATIVOS, S, A. DE c.v,CAll, CHABACANO NQ. 65. LOCAL ACOl. AsTURIAS.DELEG, CUAUHTEMOC.C,P, 06850, MEXlCO, D,E

EMPRESA CERTIFICADA POR ELINSTITUTO MEXICANO DE NORMAliZACiNYCERTIFICACiN A,c" BAJO LA NORMAISO-9002: 1994INMX-CC.(X)4: 1995CON EL No, DE REGISTRO RSC-lJ48

2000

D

A la memoria de mi queridaIrene

Contenido

Prefacio, xv

1 Esfuerzo, 11-1. Introduccin, 1

Parte A Conceptos generales: Esfuerzo, 31-2. Mtodo de las secciones, 31-3. Definicin de esfuerzo, 41-4. Tensor esfuerzo, 71-5. Ecuaciones diferenciales de equilibrio, 10

Parte B Anlisis de esfuerzo de barras cargadasaxialmente, 12

1-6. Esfuerzo normal mximo en barrascargadas axialmente, 12

1-7. Esfuerzos sobre secciones inclinadas enbarras cargadas axialmente, 15

1-8. Esfuerzos cortantes, 191-9. Anlisis de los esfuerzos normales

y cortantes, 221-10. Resistencia del miembro como criterio

de diseo, 311-11. Diseo determinstico de miembros:

barras cargadas axialmente, 331-12. Base probabilstica para el diseo

estructural, 37Problemas, 43

2 Deformacin unitaria, 572-1. Introduccin, 572-2. La prueba de tensin y la deformacin

unitaria normal, 572-3. Relaciones esfuerzo-deformacin unitaria, 60

IX

2-4. Ley de Hooke, 662-5. Observaciones adicionales acerca de las

relaciones esfuerzo-deformacin unitaria, 682-6. Razn de Poisson, 702-7. Deformacin unitaria trmica

y deformacin, 712-8. Otras idealizaciones de las relaciones

constitutivas, 722-9. Materiales linealmente viscoelsticos, 76

2-10. Carga cclica: Fatiga, 81'Problemas, 88

3 DeformaCin axial de barras: Sistemasestticamente determinados, 91

3-1. Introduccin, 913-2. Deformacin de barras axialmente cargadas, 923-3. Principio de Saint-Venant y concentraciones

de esfuerzos, 1043-4. La prueba de tensin revisitada, 1093-5. Energa de deformacin elstica

para esfuerzo uniaxial, 1113-6. Defiexiones por el mtodo de la energa, 1153-7. Cargas dinmicas y de impacto, 116 l- .~

Problemas, 120

4 Deformacin axial de barras: Sistemasestticamente indeterminados, 131

4-1. Introduccin, 1314-2. Consideraciones generales, 1314-3. Mtodo de las fuerzas de anlisis, 1324-4. Introduccin al mtodo de los

desplazamientos, 1384-5. Mtodo de los desplazamientos

con varios grados de libertad, 1414-6. Problemas no lineales estticamente

indeterminados, 1444-7. Enfoque de la ecuacin diferencial para

desviaciones, 157Problemas, 161

x

5 Ley de Hooke generalizada:recipientes a presin, 169

5-1. Introduccin, 169Parte A Relaciones constitutivas para cortante, 170

5-2. Relaciones esfuerzo-deformacin unitariapara cortante, 170

5-3. Energa de deformacin unitaria elsticapara esfuerzos cortantes, 172

Parte B Conceptos generalizados de la deformacinunitaria y ley de Hooke, 173

5-4. Definicin matemtica de la deformacinunitaria, 173

5-5. Tensor deformacin unitaria, 1765-6. Ley de Hooke generalizada para materiales

isotrpicos, 1775-7. Relaciones entre E, G Yv , 1815-8. Dilatacin y mdulo volumtrico, 183

Parte C Recipientes a presin de pared delgada, 1845-9. Recipientes a presin cilndricos y esfricos, 184

5-10. Observaciones sobre recipientes a presin,de pared delgada, 188

Parte D Cilindros de pared gruesa, 1905-11. Introduccin, 1905-12. Solucin del problema general, 1915-13. Casos especiales, 1965-14. Comportamiento de cilindros de pared

gruesa idealmente plsticos, 198Problemas, 202

6 Torsin, 2076-1. Introduccin, 2076-2. Aplicacin del mtodo de las secciones, 208

Parte A Torsin de barras circulares elsticas, 2106-3. Hiptesis bsicas para miembros circulares, 2106-4. La frmula de la torsin, 2116-5. Observaciones sobre la frmula de

la torsin, 2416-6. Diseo de miembros circulares en torsin

por resistencia, 2186-7. Concentraciones de esfuerzos, 221

xi

6-8. ngulo de torsin de miembros circulares, 2226-9. Problemas estticamente indeterminaqos, 228

6-10. Enfoque alternativo de la ecuacindiferencial para problemas de torsin, 231

6-11. Energa y cargas de impacto, 2336-12. CopIes de ejes o flechas, 235

Parte B Torsin de barras circulares inelsticas, 2376-13. Esfuerzos y deformaciones cortantes en

flechas circulares en el rango inelstico, 237Parte C Torsin de miembros slidos no circulares, 242

6-14. Barras slidas con cualquier seccintransversal, 242

6-15. Ale;tbeo de secciones abiertas de pareddelgada, 247

Parte D Torsin de miembros tubulares de pareddelgada, 248

6-16. Miembros huecos de pared delgada, 248Problemas, 253

7 Esttica de vigas, 2677-1. Introduccin, 267

Parte A Clculo de reacciones, 2687-2. Convenciones diagramticas para soportes

y cargas, 2687-3. Clculos de reacciones en vigas, 270

Parte B Enfoque directo para P, V YM, 2757-4. Aplicacin del mtodo de las secciones, 2757-5. Fuerza axial en vigas, 2767-6. Fuerza cortante en vigas, 2777-7. Momento flexionante en vigas, 2787-8. Diagramas de P, Vy M, 281

Parte e V yM por integracin, 2917-9. Ecuaciones diferenciales de equilibrio para

un elemento de viga, 2917-10. Diagramas de fuerza cortante por

integracin de la carga, 2937-11. Diagramas de momento por integracin

de la fuerza cortante, 295

Xll

10 Esfuerzos cortantes en vigas, 41510-1. Introduccin, 41510-2. Observaciones preliminares, 41510-3. Flujo de cortante, 41910-4. La frmula del esfuerzo cortante para vigas, 42510-5. Alabeo de secciones planas debido al

cortante, 43210-6. Algunas limitaciones de la frmula

del esfuerzo cortante, 43810-7. Esfuerzo cortante en patines de vigas, 43910-8. Centro de cortante, 44110-9. Esfuerzos cortantes directos y torsionantes

combinados, 44610-10. Esfuerzos en resortes helicoidales

estrechamente enrollados, 44810-11. Deflexiones de resortes helicoidales

estrechamente enrollados, 451Problemas, 454

11 Transformaciones de esfuerzos ydeformaciones unitarias, 469

11-1. Introduccin, 469Parte A Transformacin de esfuerzos, 470

11-2. El problema bsico, 47011-3. Transformacin de esfuerzos en problemas

bidimensionales, 47311-4. Esfuerzos principales en problemas

bidimensionales, 47611-5. Esfuerzos cortantes mximos en problemas

bidimensionales, 47711-6. Crculo de Mohr de esfuerzos para

problemas bidimensionales, 48111-7. Construccin de crculos de Mohr para

la transformacin de esfuerzos, 48311-8. Esfuerzos principales para un estado

general de esfuerzo, 49111-9. Crculo de Mohr para un estado general

de esfuerzo, 495

XIV

,

Parte B Transformacin de la deformacin unitaria, 49811-10. Deformaciones unitarias en dos

dimensiones, 49811-11. Transformacin de la deformacin unitaria

en dos dimensiones: Enfoque geomtrico, 49911-12. Transformacin de la deformacin unitaria

en dos dimensiones: Enfoque analtico, 50211-13. Crculo de Mohr para deformacin unitaria

bidimensional, 50411-14. Rosetas de deformacin unitaria, 507

Problemas, 511

12 Fluencia y criterios de fractura,12-1. Introduccin,12-2. Teora del esfuerzo cortante mximo,12-3. Teora de la energa de distorsin mxima,12-4. Comparacin de las teoras del cortante

mximo y de la energa de distorsin paraesfuerzo plano,

12-5. Teora del esfuerzo normal mximo,12-6. Comparacin de los criterios de fluencia

y de fractura,12-7. Superficie de falla para materiales frgiles,

Problemas,

519519521523

527528

528532535

13 Anlisis del esfuerzo elstico, 53713-1. Introduccin, 537

Parte A Anlisis del esfuerzo elstico, 53913-2. Estado de esfuerzo para algunos casos

bsicos, 53913-3. Exactitud comparativa de las soluciones

para vIgas, 54613-4. Mtodos experimentales del anlisis

elstico, 549Parte B Diseo elstico por resistencia, 551

13-5. Diseo de miembros cargados axialmente, 55113-6. Diseo de miembros en torsin, 55113-7. Criterios de diseo para vigas prismticas, 552

xv

13-8. Diseo de vigas prismticas,13-9. Diseo de vigas no prismticas,

13-10. Diseo de miembros complejos,Problemas,

555561563567

14 Deflexiones en vigas por integracindirecta, 582

14-1. Introduccin, 58214-2. Relacin momento-curvatura, 58314-3. Ecuacin diferencial gobernante, 58514-4. Deduccin alternativa de la ecuacin

gobernante, 58714-5. Formas alternativas de la ecuacin

gobernante, 58814-6. Condiciones de frontera, 58914-7. Soluciones por integracin directa, 59114-8. Funciones de singularidad para vigas, 60814-9. Deflexiones por superposicin, 610

14-10. Deflexiones en flexin asimtrica, 61514-11. Mtodo de la energa para deflexiones

e impacto, 61714-12. Deflexin inelstica de vigas, 620

Problemas, 624

15 Deflexionesen vigas por el mtodorea-momento, 635

15-1. Observaciones generales, 63515-2. Introduccin al mtodo rea-momento 63615-3. Teoremas rea-momento, ' 63615-4. Vigas estticamente indeterminadas, 650

Problemas, 660

16 Columnas, 66716-1. Introduccin, 66716-2. Ejemplos de inestabilidad, 66916-3. Criterios para la estabilidad del equilibrio, 672

Parte A Teora del pandeo de columnas, 67716-4. Carga de Euler para columnas con extremos

articulados, 67716-5. Carga de Euler para columnas con

restricciones de extremo diferentes, 679

xvi

16-6. Limitaciones de las frmulas de Euler, 68216-7. Frmulas generalizadas para la carga de

pandeo de Euler, 68416-8. Cargas excntricas y la frmula de

la secante, 68716-9. Vigas-columnas, 690

16-10. Ecuaciones diferenciales alternativaspara vigas-columnas, 694

Parte B Diseo de columnas, 69916-11. Consideraciones generales, 69916-12. Columnas cargadas concntricamente, 70216-13. Columnas cargadas excntricamente 71016-14. Estabilidad lateral de vigas, 717

Problemas, 718

17 Energa y trabajo virtual, 73217-1. Introduccin, 732

Parte A Energa de deformacin elstica ytrabajo externo, 733

17-2. Energa de deformacin elstica, 73317-3. Desplazamientos por conservacin de

la energa, 735Parte B Mtodos de trabajo virtual, 736

17-4. Principio del trabajo virtual, 73617-5. Fuerzas virtuales para defiexiones, 74017-6. Ecuaciones de fuerza virtual para sistemas

elsticos, 74217-7. Fuerzas virtuales para problemas

indeterminados, 74817-8. Desplazamientos virtuales para equilibrio, 75117-9. Trabajo virtual para sistemas discretos, 755

Problemas, 760

18 Mtodos clsicos de energa, 77118-1. Introduccin, 77118-2. Observaciones generales, 77218-3. Teoremas de la energa de deformacin y

de la energa de deformacincomplementaria, 772

18-4. Teoremas de Castigliano, 776

XVIl

18-5. Sistemas estticamente indeterminados, 78218-6. Energa elstica para cargas de pandeo, 786

Problemas, 789

19 Anlisis elstico de sistemas, 79119-1. Introduccin, 79119-2. Dos mtodos bsicos de anlisis elstico, 79219-3. Mtodo de las fuerzas, 79219-4. Reciprocidad de los coeficientes de

flexibilidad, 79519-5. Introduccin al mtodo de los

desplazamientos, 80219-6. Observaciones adicionales sobre el mtodo

de los desplazamientos, 80619-7. Reciprocidad de los coeficientes de rigidez, 808

Problemas, 815

20 Anlisis plstico al lmite, 81920-1. Introduccin, 81920-2. Anlisis plstico al lmite de vigas, 82120-3. Vigas y marcos continuos, 834

Problemas, 837

Apndice: Tablas, 841

Respuestas a problemas impares alternados, 855

ndice, 861

xviii

Prefacio

La segunda edicin de Mecnica de Slidos ha sido modificada considera-blemente, pero conserva su carcter de texto completo tradicional sobremecnica de slidos con aspectos y temas avanzados. Para permitir unamayor flexibilidad en la seleccin de los temas por asignar, el texto ha sidosubdividido en un mayor nmero de captulos. As, el maestro podr omitircuidadosamente el material que no desea tratar, sin prdida de continuidad.

En esta nueva revisin se considera un buen nmero de temas de van-guardia. Se proporciona una expresin analtica avanzada para la carga c-clica y se presenta una novedosa superficie de falla para materialesfrgiles. Esto ltimo complementa la famosa superficie de fluencia de vanMises para materiales dctiles. Se incluyen los fundamentos de la base pro-babilstica del diseo estructural, mientras que los temas ms especializa-dos al respecto se han omitido en esta edicin. El captulo sobre laspropiedades mecnicas de los materiales ha sido ampliado considerable-mente. Se tiene ahora un tratamiento ms amplio de los diagramas esfuer-zo-deformacin unitaria verdaderos, as como nuevas secciones sobrefatiga y comportamiento viscoelstico.

En el texto se prefiere el sistema de unidades SI, especialmente en losproblemas propuestos a los estudiantes. Las tablas numricas dan una op-cin entre las unidades SI y las del sistema ingls.

En virtud de los temas escogidos, pensamos que el texto es lo suficien-temente generql como para que resulte de utilidad a los ingenieros civiles,mecnic:os y aeronuticos.

La nueva edicin se benefici con el apoyo entusiasta del Dr. Toader A.Balan, quien fue de gran ayuda al ofrecer tiles sugerencias a lo largo deltexto. Especficamente, contribuy en forma considerable en el captulosobre las propiedades mecnicas de los materiales, al sugerir la presenta-cin de una formulacin analtica elegante del comportamiento cclico delos materiales inelsticos,as como deducir una novedosa expresin para lasuperficie de falla de los materiales frgiles.

Estoy en deuda con los profesores Keith Hjelmstad de la Universidadde Illinois-Urbana y Vassilis Panoskaltsis de la Universidad Case WesternReserve por examinar meticulosamente el manuscrito y ofrecer sugeren-cias importantes. Me siento sinceramente agradecido a los muchos colegasde la Universidad de California, en Berkeley, en el Departamento deIngeniera Civil y Ambiental, quienes durante varios aos influyeron con-siderablemente en el desarrollo y crecimiento de este libro. Entre ellos, esun placer particular dar las gracias a los profesores A. C. Scordelis, R. W.Clough, R. L. Taylor, E. L. Wilson ya los difuntos profesores H. D. Eber-hart y R. Seban, de ingeniera mecnica.

xix

l.

XX PREFACIO

Es tambin un placer reconocer la ayuda del profesor A. der Kiure-ghian de la Universidad de California, en Berkeley, quien aport tiles su-gerencias para la seccin sobre la base probabilstica del diseo estructu-ral; del profesor 1. L. Meek de la Universidad de Queensland, Australia,quien influy en el desarrollo de la seccin sobre trabajo virtual de siste-mas discretos, y del profesor Dr. S. Nagarajan, investigador en la LockheedMissiles & Space Company, quien contribuy a la formulacin del mtodode los desplazamientos, en el captulo 19. Rose Kernan, de la editorialPrentice Hall, ofreci invaluable ayuda para darle gran forma a este libro.

Egor P. PopovBerkeley

1Esfuerzo

1-1. Introduccin

En toda construccin de ingeniera, a las partes componentes de una es-tructura o mquina se deben asignar tamaos fsicos definidos. Estas par-tes deben ser adecuadamente proporcionadas para resistir las fuerzasreales o probables que puedan llegar a actuar sobre ellas. As, las paredesde un recipiente a presin deben tener la resistencia adecuada para sopor-tar la presin interior; los pisos de un edificio deben ser suficientementefuertes para el fin a que estn destinados; la flecha o rbol de una mquinadebe ser de tamao adecuado para poder transmitir el par de torsin requerido; el ala de un avin debe resistir con seguridad las cargas aerodin-micas que se presentan durante el despegue, el vuelo y el aterrizaje. De lamisma manera, las partes de una estructura compuesta deben ser suficien-temente rgidas para no desviarse excesivamente al operar bajo las cargasimpuestas. El piso de un edificio puede ser suficientemente fuerte y, sinembargo, presentar flechas o desviaciones excesivas que en algunos casospueden causar desalineamiento del equipo de manufactura oen otros ca-sos conducir al agrietamiento del plafn colocado bajo l. Adems, unmiembro puede ser tan delgado o esbelto que al estar sometido a cargas decompresin, sufra el colapso por pandeo (es decir, la configuracin inicialde un miembro puede volverse inestable). La posibilidad de determinar la

1Esfuerzo

1-1. Introduccin

En toda construccin de ingeniera, a las partes componentes de una es-tructura o mquina se deben asignar tamaos fsicos definidos. Estas par-tes deben ser adecuadamente proporcionadas para resistir las fuerzasreales o probables que puedan llegar a actuar sobre ellas. As, las paredesde un recipiente a presin deben tener la resistencia adecuada para sopor-tar la presin interior; los pisos de un edificio deben ser suficientementefuertes para el fin a que estn destinados; la flecha o rbol de una mquinadebe ser de tamao adecuado para poder transmitir el par de torsin re-querido; el ala de un avin debe resistir con seguridad las cargas aerodin-micas que se presentan durante el despegue, el vuelo y el aterrizaje. De lamisma manera, las partes de una estructura compuesta deben ser suficien-temente rgidas para no desviarse excesivamente al operar bajo las cargasimpuestas. El piso de un edificio puede ser suficientemente fuerte y, sinembargo, presentar flechas o desviaciones excesivas que en algunos casospueden causar desalineamiento del equipo de manufactura o en otros ca-sos conducir al agrietamiento del plafn colocado bajo l. Adems, unmiembro puede ser tan delgado o esbelto que al estar sometido a cargas decompresin, sufra el colapso por pandeo (es decir, la configuracin inicialde un miembro puede volverse inestable). La posibilidad de determinar la

2 CAP. 1 ESFUERZO

carga mxima que una columna esbelta puede tomar antes de pandearse oel nivel seguro de vaco que puede mantenerse en un recipiente, es de granimportancia prctica.

En la prctica de la ingeniera, tales requisitos deben cumplirse con elmnimo gasto de un material dado. Aparte del costo, a veces, como en el di-seo de satlites, la factibilidad y xito de toda la misin puede dependerdel peso de una carga. El tema de la mecnica de materiales, o de la resis-tencia de materiales, como ha sido llamado tradicionalmente, implica mto-dos analticos para determinar la resistencia, la rigidez (caractersticas dedeformacin) y la estabilidad de los diversos miembros sometidos a carga.Alternativamente, el tema puede llamarse mecnica de los cuerpos slidosdeformables o simplemente mecnica de slidos.

La mecnica de slidos es una disciplina bastante antigua que puedeconsiderarse que nace con los trabajos de Galileo en la primera parte delsiglo XVII. Antes de estos trabajos e investigaciones sobre el comporta-miento de los cuerpos slidos sometidos a cargas, los constructores se guia-ban poi- reglas empricas y experiencias acumuladas durante aos. Galileofue el primero en intentar explicar el comportamiento de algunos miem-bros bajo carga con una base racional. l estudi miembros en tensin ycompresin, y vigas empleadas notablemente en la construccin de cascosde buques para la marina italiana. Por supuesto, mucho se ha avanzadodesde entonces, pero debe notarse de paso que mucho se debe en el desa-rrollo de esta ciencia a los investigadores franceses, entre los que se cuen-tan Coulomb, Poisson, Navier, St. Venant y Cauchy, quienes trabajaron aprincipios del siglo XIX, dejando una indeleble huella en esta disciplina.

El tema de la mecnica de slidos toca todas las ramas de la ingeniera,sorprendentemente con muchas aplicaciones. Sus mtodos son necesariospara los diseadores de estructuras fuera de la costa; para los ingenieros ci-viles en el diseo de puentes y edificios; para los ingenieros de minas y losingenieros y arquitectos interesados en estructuras; para los ingenieros nu-cleares que ven el diseo de componentes de reactores; para los ingenierosmecnicos y qumicos, que confan en los mtodos de esta ciencia para eldiseo de maquinaria y recipientes a presin; para los metalurgistas, quenecesitan los conceptos fundamentales de esta ciencia para entender cmomejorar ms los materiales existentes y, finalmente, para los ingenieroselectricistas, debido a la importancia de los aspectos de ingeniera mecni-ca de muchas partes del equipo elctrico. La mecnica de slidos, en con-traste con la teora matemtica de la mecnica del medio continuo, tienemtodos caractersticos propios, aunque los dos enfoques se traslapan.Aqulla es una disciplina definida y una de las materias fundamentales delcurrculum de ingeniera, junto con otras materias bsicas, como la mecni-ca de fluidos, la termodinmica y la teora elctrica.

El comportamiento de un miembro sometido a fuerzas depende no s-lo de las leyes fundamentales de la mecnica newtoniana que rigen el equi-librio de las fuerzas, sino tambin de las caractersticas mecnicas de losmateriales de que est hecho el miembro. La informacin nlcesaria relati-va a los materiales proviene de los laboratorios, donde los materiales sonsometidos a la accin de fuerzas conocidas con precisin y donde el com-portamiento de probetas de ensayo es observado con particular intersrespecto a sus propiedades de ruptura, deformaciones, etc. La determina-

SEC.1-2. MTODO DE LAS SECCIONES 3

cin de tales fenmenos es una parte vital del tema, pero el estudio de estarama se deja a otros libros.1 Los resultados finales de dichas investigacio-nes son de inters aqu, pero este libro trata la parte analtica y matemti-ca del tema y no la parte experimental. Por estas razones, se ve que lamecnica de slidos es una ciencia mixta de experimentacin y postuladosnewtonianos de la mecnica analtica. Suponemos que el lector est fami-liarizado con esos dos aspectos. En el desarrollo de este tema, la estticajuega un papel especialmente importante. -

Este texto se limitar a los temas ms simples de la mecnica de sli-dos. A pesar de la relativa simplicidad de lQs mtodos empleados aqu, losprocedimientos resultantes son sumamente tiles pues SQn aplicables a unvasto nmero de problemas tcnicos importantes.

La mejor manera de dominar el tema es resolver un buen nmero deejercicios. El nmero de frmulas bsicas necesarias para el anlisis y dise-o de miembros estructurale~ y de mquinas por los mtodos de la mec-nica de slidos es relativamente pequeo; sin embargo, a lo largo de esteestudio el lector debe desarrollar la'capacidad para visualizar un problemay la naturaleza de las cantidades que son calculadas. Croquis completos,cuidadosamente dibujados, de los problemas por resolver, darn grandes di-videndos en el dominio rpido y completo de esta ciencia.

Son tres las partes principales de este captulo. Se tratan primero losconceptos generales relativos al esfuerzo; le sigue, luego, un caso particularde distribucin de esfuerzos en miembros cargados axialmente, y en la par-te ltima del captulo se analizan los criterios de diseo por resistencia conbase en el esfuerzo.

1-2. Mtodo de las secciones

Uno de los problemas principales de la mecnica de slidos es la investiga-cin de la resistencia interna de un cuerpo; es decir, la naturaleza de las fuer-zas que se generan dentro de un cuerpo para equilibrar el efecto de las fuerzasaplicadas externamente. Para tal fin se emplea un mtodo uniforme de enfo-que. Se prepara un croquis completo del miembro bajo investigacin, sobreel cual se muestran todas las fuerzas externas que actan sobre l en sus res-pectivos puntos de aplicacin. Tal croquis se denomina diagrama de cuerpolibre. Todas las fuerzas que actan sobre un cuerpo, incluidas las fuerzas

w. D. Callister, Materials Science and Engineering (Nueva York: Wiley, 1985). J. F. Shac-kelford,Introduction to Materials Science for Engineers (Nueva York: Macmillan, 1985). L. H.Van Vlack, Materials Science for Engineers, Sa. ed. (Reading, MA: Addison-Wesley, 1985).

l4 CAP. 1 ESFUERZO

reactivas causadas por los soportes, as como el peso propi02 del cuerpo de-bido a su masa, son consideradas como fuerzas externas. Adems, como uncuerpo estab~e en reposo est en equilibrio, las fuerzas que actan sobre l,satisfacen las ecuaciones del equilibrio esttico. Entonces, si las fuerzas queactan sobre un cuerpo como el mostrado en la figura 1-1(a) satisfacen lasecuaciones de equilibrio esttico y se mue~tran todas actuando en l, el cro-quis representa un diagrama de c1;1erpo libre. Luego, como la determinacinde las fuerzas internas camiadas por las fuerzas externas es uno de los finesprincipales de esta ciencia, se pasa una seccin arbitraria por el cuerpo, sepa-rndolo completamente en dos partes. El resultado de tal proceso puedeverse en las figuras 1-1(b) Y(c), donde un plano arbitrario ABCD separa elcuerpo original de la figura 1-1(a) en dos partes distintas. A este proceso se lellamar mtodo de las secciones. Entonces, si todo el cuerpo est en equili-brio, cualquier parte de l debe tambin estar en equilibrio. Sin embargo, pa-ra tales partes de un cuerpo, algunas de las fuerzas necesarias para mantenerel equilibrio deben actuar en la seccin cortada. Estas consideraciones con-ducen a la siguiente conclusin fundamental: Las fuerzas aplicadas externa-mente a un lado de un corte arbitrario deben ser equilibradas por las fuerzasinternas desarrolladas en el corte o, brevemente, las fuerzas externas estnequilibradas por las fuerzas internas. Veremos luego que los!planos de corteson orientados en direcciones particulares para satisfacer requisitos especia-les. El mtodo de las secciones es el primer paso en la resolucin de todos losproblemas en que se investigan fuerzas internas.

Al analizar el mtodo de las secciones es importante notar que si bien al-gunos cuerpos mviles no estn en equilibrio esttico, s lo estn en equili-brio dinmico. Esos problemas pueden reducirse a problemas de equilibrioesttico. Primero se calcula la aceleracin a de la parte en consideracin; lue-go se multiplica sta por la masa m del cuerpo y se obtiene una fuerzaF = ma. Si la fuerza as calculada se aplica al cuerpo en su centro de masa enun sentido opuesto al de la aceleracin, el problema dinmico se reduce auno de esttica. ste es el principio de d'Alembert. Segn este punto de vista,todos los cuerpos pueden considerarse instantneamente en un estado deequilibrio esttico. Por consiguiente, para cualquier cuerpo, se encuentre s-te en equilibrio esttico o dinmico, puede prepararse un diagrama de cuer-po libre sobre el cual se muestren las fuerzas necesarias para mantener todoel cuerpo en equilibrio. De ah en adelante, el problema es el mismo que elanalizado anteriormente.

1-3. Definicin de esfuerzo

En general, las fuerzas internas que actan sobre reas infinitesimales deun corte, sqn de magnitudes y direcciones variables, como se mostr en lasfiguras 1-1(b) y (c) y se muestra de nuevo en la figura 1-2(a). Esas fuerzas

2Estrictamente hablando, el peso del cuerpo, o ms generalmente, las fuerzas de inerciadebidas a la aceleracin, etc. son "fuerzas de cuerpo" y actan a travs del cuerpo de maneraasociada con las unidades de volumen del cuerpo. Sin embargo, en muchos casos, esas fuerzasde cuerpo pueden considerarse cargas externas que actan a travs del centro de masa delcuerpo.

D

(a)

(b)

Fig.l-l Seccionamientode un cuerpo.

zy P,

(a) (b)

SECo 1-3. DEFINICIN DE ESFUERZO 5

Fig.1-2 Cuerpo seccionado: (a) cuerpo libre con algunas fuerzas in-ternas, (b) vista amplificada con componentes de tiPo

son de naturaleza vectorial y mantienen en equilibrio las fuerzas aplicadasexternamente. En la mecnica de slidos es particularmente importante de-terminar la intensidad de esas fuerzas-sobre las diversas porciones de unaseccin ya que la resistencia a la deformacin y a las fuerzas depende de esaintensidad. En general, tales fuerzas varan de punto a punto y estn inclina-das con respecto al plano de la seccin. Es conveniente resolver esas intensi-dades perpendicular y paralelamente a la seccin investigada. Por ejemplo,las componentes de un vector fuerza JiP que acta sobre un rea .:lA semuestran en la figura 1-2(b). En este diagrama particular, la seccin por elcuerpo es perpendicular al eje x y las direcciones de I:::.Px Yde la normal a .:lAcoinciden. La componente paralela a la seccin se divide adicionalmente encomponentes a lo largo de los ejes y y z. En este texto,.como las direccionesde los vectores fuerza y sus componentes son en general conocidas, se usasu representacin a escala empleando letras cursivas en vez de negritas.

Como las componentes de la intensidad de una fuerza por unidad derea, es decir, del esfuerzo, son ciertas slo en un punto, la definicin3 ma-temtica del esfuerzo es

T = lm I:::.Pyxy A--7 I:::.A y

I:::.PT .= lm ==..L

xz A--7 I:::.A

donde, en los tres casos, el primer subndice de T indica que considera elplano perpendicular al eje x y el segundo designa la direccin de la compo-nente del esfuerzo. En la prxima seccin consideraremos todas las posi-bles combinaciones de subndices para esfuerzos.

La intensidad de la fuerza perpendicular o normal a la seccin se llamaesfuerzo normal en un punto. Es habitual llamar esfuerzos de tensin a losesfuerzos normales que generan tensin sobre la superficie de una seccin.Por otra parte, aquellos que empujan contra ella son esfuerzos de compre-sin. En este libro, los esfuerzos normales sern usualmente designados

3Cuando M ~ O, surgen algunas cuestiones desde el punto de vista atmico al definir elesfuerzo de esta manera. Sin embargo, un modelo homogneo (uniforme) para materia nohomognea parece haber funcionado bien.

6 CAP. 1 ESFUERZO

por la letra (J' en vez de por un doble subndice sobre t. Un solo subndicebasta entonces para designar la direccin del eje. Las otras componentesde la intensidad de la fuerza actan paralelamente al plano del rea ele-mental. Esas componentes se llaman esfuerzos cortantes. Los esfuerzoscortantes sern siempre designados por T.

El lector debe formarse una idea clara de los esfuerzos llamados nor-males y de aquellos llamados cortantes. Repitiendo, los esfuerzos normalesresultan de componentes de fuerzas perpendiculares al plano de corte y losesfuerzos cortantes resultan de las componentes tangenciales al plano decorte.

De acuerdo con las definiciones, como ellos representan la intensidadde una fuerza sobre un rea, los esfuerzos se miden en unidades de fuerzadividida entre unidades de rea. En el sistema ingls, las unidades para elesfuerzo son libras por pulgada cuadrada, abreviado psi. En muchos casosser conveniente usar como unidad de fuerza el trmino kip que significakilolibra o mil libras. El esfuerzo en kips por pulgada cuadrada se abreviaksi. Debe observarse que la unidad libra mencionada aqu, implica una li-bra-fuerza, no una libra-masa. Tales ambigedades se evitan en la versinmodernizada del sistema mtrico decimal, que se conoce como Sistema In-ternacional de Unidades o unidades SI.4 Las unidades SI se emplean cadavez ms y se usan ampliamente en este texto junto con el sistema de unida-des ingls. Las unidades bsicas del SI son el metro (m) para longitudes, elkilogramo (kg) para masa y el segundo (s) para el tiempo. La unidad deri-vada para el rea es un metro cuadrado (m2) y para la aceleracin, un me-tro por segundo cuadrado (m/s2). La unidad de fuerza se define como unamasa unitaria sometida a una aceleracin unitaria, es decir, un kilogramo-metro por segundo cuadrado (kg' m/s2) que se designa como newton (N).La unidad de esfuerzo es el newton por metro cuadrado (N/m2), designadatambin pascal (Pa). Se recomiendan los prefijos mltiplos y submltiplosque representan pasos de 1000. Por ejemplo, la fuerza puede expresarse enmilinewton (1 mN = 0.001 N), newton o kilonewton (1 kN = 1000 N), lalongitud en milmetros (1 mm = 0.001 m),metro o kilmetro (1 km = 1000m) y el esfuerzo en kilopascal (1 kPa= 103 Pa), megapascal (1 MPa = 106Pa) o gigapascal (1 GPa =109 Pa), etctera.5

El esfuerzo expresado numricamente en unidades de N/m2 puedeparecer muy pequeo a quienes estn familiarizados con el sistema de uni-dades ingls. Esto se debe a que la fuerza de un newton es pequea en rela-cin con una libra-fuerza y un metro cuadrado est asociado con un reamucho mayor que una pulgada cuadrada. Por tanto, suele ser ms conve-niente, en la mayor parte de las aplicaciones, pensar en trminos de unafuerza de un newton que acta sobre un milmetro cuadrado. Las unidadespara tal cantidad son N/mm2, que corresponden a un megapascal (MPa).

4Del francs, Systme International d'Units.5Una presentacin detallada de las unidades SI, incluidos factores de conversin, tipogra-

fa SI y uso, puede encontrarse en una amplia gua publicada por la American Society for Tes-ting and Materials, titulada ASTM Standard for Metric Practice E-380-86. Por conveniencia, seincluye una breve tabla de factores de conversin en la cubierta interior de la parte posteriorde este texto.

En el forro posterior de este libro se dan algunos factores de conver-sin de unidades del sistema ingls a unidades del SI. Conviene recordarque aproximadamente 1 in = 25 mm, 1 lb-fuerza = 4.4 newtons, 1 psi =7000 Pa o 1 ksi = 7 MPa.

Debe hacerse nfasis en que los esfuerzos multiplicados por las respec-tivas reas sobre las que ellos actan dan fuerzas. En una seccin imagina-ria, una suma vectorial de esas fuerzas, llamada resultante de esfuerzos,mantiene un cuerpo en equilibrio. En la mecnica d~ slidos, las resultantesde esfuerzos en una seccin dada por lo general se determinan primero, yluego, aplicando las frmulas ya establecidas, se determinan los esfuerzos.

1-4. Tensor esfuerzo

Si, adems de 1ft seccin implicada en el cuerpo libre de la figura 1-2, se pa-sa otro plano por el cuerpo a una distancia infinitesimal y paralelo al pri-mero, quedar aislada una rebanada elemental. Entonces, si se pasan otrosdos pares de planos normales al primer par, quedar aislado del cuerpo uncubo de dimensiones infinitesimales. Este cubo se muestra en la figura1-3(a). Todos los esfuerzos que actan sobre l estn identificados en eldiagrama. Como se indic antes, los primeros subndices sobre las T aso-cian el esfuerzo con un plano perpendicular a un eje dado; los segundossubndices designan el sentido del esfuerzo. Sobre las caras cercanas delcubo (es decir, sobre las caras alejadas del origen), los sentidos del esfuerzoson positivos si ellos coinciden con los sentidos positivos de los ejes. Sobrelas caras del cubo hacia el origen, del concepto accin-reaccin de equili-brio, los esfuerzos positivos actan en sentido opuesto al sentido positivode los ejes. (Ntese que para los esfuerzos normales, al cambiar el smbolopara el esfuerzo normal de T a a, un solo subndice sobre a es suficiente pa-ra definir esta cantidad sin ambigedad.) Las designaciones para los es-

SECo 1-4. TENSOR ESFUERZO 7

V Tvy == lTy

(a) (b)

Fig.1-3 (a) Estado general de esfuerzo actuando sobre un elemento infinitesi-mal en el sistema coordenado inicial. (b) Estado general de esfuerzo actuando so-bre un elemento infinitesimal definido en un sistema girado de ejes coordenados.Todos los esfuerzos tienen sentido positivo.

8 CAP. 1 ESFUERZO

(l-la)

(l-lb)

+ ('TyJ(dx dz)(dy) - ('Txy)(dy dz)(dx) = OMe = O""" +

En forma anloga, las componentes de esfuerzo pueden ordenarse comosigue:

sta es una representacin matricial del tensor esfuerzo. Se trata de un ten-sor de segundo rango que requiere dos ndices para identificar sus elemen-tos o componentes. Un vector es un tensor de primer rango y un escalar esun tensor de rango cero. A veces, por brevedad, un tensor esfuerzo se escri-be en notacin indexada como 'Tij, donde se entiende que i y j pueden to-mar las designaciones x,y y z como se not en la ecuacin l-lb.

A continuacin se mostrar que el tensor esfuerzo es simtrico (es de-cir, 'Tij = 'Tji)' Esto se infiere directamente de los requisitos de equilibrio pa-ra un elemento. Para este fin, sean dx, dy y dz las dimensiones de unelemento infinitesimal y sumemos los momentos de las fuerzas respecto aun eje como el eje z en la figura 1-4. Slo los esfuerzos que aparecen en elproblema se muestran en la figura. Despreciando los infinitesimales de or-den superior,6 este proceso es equivalente a tomar momentos respecto aleje z en la figura 1-4(a) o respecto al punto e en su representacin bidi-mensional en la figura 1-4(b). Se tiene, entonces,

fuerzas mostradas en la figura 1-3(a) se usan ampliamente en las teorasmatemticas de la elasticidad y la plasticidad.

Si en un punto se escoge un conjunto diferente de ejes, los esfuerzos co-rrespondientes son como se muestran en la figura 1-3(b). Esos esfuerzosestn relacionados, pero en general no son iguales a los mostrados en la fi-gura 1-3(a). El proceso de cambiar esfuerzos de un conjunto de ejes coor-dnados a otro se llama transformacin de esfuerzos. El estado de esfuerzoen un punto que puede ser definido por tres componentes sobre cada unode los tres ejes mutuamente perpendiculares (ortogonales), se llama enterminologa matemtica tensor. Procesos matem.ticos precisos se aplicanpara transformar tensores, incluidos los esfuerzos, de un conjunto de ejes aotro. Un anlisis ms completo de este problema se ver en el captulo 11.

Un examen de los smbolos para los esfuerzos en la figura 1-3(a) mues-tra que hay tres esfuerzos normales: 'Txx == ax, 'Tyy == ay, 'Tzz == az y seis esfuer-zos cortantes: 'Txy' 'Tyx' 'Tyz' 'TZY' 'Tzx' 'Txz' !3-n contraste, un vector fuerza P tieneslo tres componentes: Px' Py YPz Estas pueden escribirse de manera or-denada como un vector columna:

6Existe la posibilidad de un cambio infinitesimal en esfuerzo de una cara del cubo a otray la posibilidad de la presencia de fuerzas de cuerpo (inerciales). Considerando primero unelemento dx dy dz y procediendo al lmite, puede demostrarse rigurosamente que esas canti-dades son de orden superior y, por tanto, despreciables.

l

SEC.1-4. TENSOR ESFUERZO 9

y

y

B A

'~~ t,~e D

Tvx

Zo x

(a) (b)

Fig.1-4 Elementos en cortante puro.

donde las expresiones en parntesis corresponden respectivamente a es-fuerzo, rea y brazo de momento. Simplificando,

(1-2)

En forma similar, puede mostrarse que Txz = Tx Yque Tyz = Tzy- Por consi-guiente, los subndices para los esfuerzos cortantes son conmutativos (esdecir, su orden puede intercambiarse) y el tensor esfuerzo es simtrico.

La implicacin de la ecuacin 1-2 es muy importante. El hecho de quelos subndices son conmutativos significa que los esfuerzos cortantes sobreplanos mutuamente perpendiculares de un elemento infinitesimal son nu-mricamente iguales y que L M z = Ono se satisface por un slo par de es-fuerzos cortantes. Sobre diagramas, como en la figura 1-4(b), las puntas delas flechas de los esfuerzos cortantes deben encontrarse en esquinas dia-metralmente opuestas de un elemento para que se satisfagan las condicio-nes de equilibrio.

En la mayora de las situaciones subsecuentes consideradas en este tex-to, ms de dos pares de esfuerzos cortantes rara vez actuarn simultnea-mente sobre un elemento. 'Por consiguiente, los subndices usados antespara identificar los planos y sentidos de los esfuerzos cortantes resultan su-perfluos. En tales casos, los esfuerzos cortantes sern designados por T sinningn subndice. Sin embargo, debe recordarse que los esfuerzos cortan-tes siempre se presentan en dos pares.

Esta simplificacin de la notacin puede usarse convenientemente pa-ra el estado de esfuerzo mostrado en la figura 1-5. Los esfuerzos bidimen-sionales mostrados en la figura se denominan esfuerzos en el plano. Enrepresentacin matricial tales esfuerzos pueden escribirse como

(~ ; ~) (1-3)

(1-4)o

(Tz

O

Un elemento infinitesimal de un cuerpo debe estar en equilibrio. Para elcaso bidimensional, el sistema de esfuerzos que actan sobre un elementoinfinitesimaJ (dx)(dy)(1) se muestra en la figura 1-6. En esta deduccin, el

10 CAP. 1 ESFUERZOy

Y lTy Ldx~ P

TO x

(a) (b)

Fig.lS Elemeptos de esfuerzo en un plano.

7Algunos lectores podran preferir en este momento estudiar las primeras secciones delcaptulo 11.

15. Ecuaciones diferenciales de equilibrio

Ntese la ausencia de esfuerzos cortantes. Para el caso tridimensional, sedice que los esfuerzos son triaxiales, ya que son necesarios tres esfuerzospara describir completamente el estado de esfuerzo.

Para esfuerzo plano, (T3 = OYel estado de esfuerzo es biaxial. Tales es-fuerzos ocurren, por ejemplo, en lminas delgadas sometidas a esfuerzoen dos direcciones mutuamente perpendiculares. En miembros cargadosaxialmente, que se vern en la prxima seccin, slo queda un elementodel tensor esfuerzo; tal estado se denomina uniaxial. En el captulo 11 seanalizar un problema inverso:? cmo puede este trmino nico descom-ponerse, para dar cuatro o ms elementos de un tensor esfuerzo.

Debe notarse que el" sistema de ejes seleccionado inicialmente puedeno dar la informacin ms importante sobre el esfuerzo en un punto. En-tonces, usando los procedimientos de la transformacin de esfuerzos, losesfuerzos se examinan en otros planos. Usando tales procedimientos, semostrar luego que existe un conjunto particular de coordenadas que dia-gonaliza al tensor esfuerzo, que entonces tqma la forma

SECo 1-5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE EQUILIBRIO 11

y

o x

(1-5)

,-

Fig.1-6 Elemento infinitesimal con esfuerzos y fuerzas decuerpo.

elemento es de espesor unitario en ladireccin perpendicular al plano delpapel. Note que se toma en cu

l12 CAP. 1 ESFUERZO

Observe que en la deduccin de las ecuaciones previas, no se han usadolas propiedades mecnicas del material. Esto significa que esas ecuacionesson aplicables ya sea a material elstico, plstico o viscoelstico. Es tam-bin muy importante notar que no hay suficientes ecuaciones de equilibriopara determinar los esfuerzos desconocidos. En el caso bidimensional, da-do por la ecuacin 1-5, hay tres esfuerzos desconocidos, (J'x' (J'y Y Txy Yslo dos ecuaciones. Para el caso tridimensional, hay seis esfuerzos, pero slotres ecuaciones. As entonces, todos los problemas de anlisis de esfuerzosson de forma interna estticamente indeterminados. En la Seccin 5-14 seda un simple ejemplo de cmo una ecuacin de equilibrio esttico es com-plementada por requisitos cinemticos y por propiedades mecnicas delmaterial para la resolucin de un problema. En la mecnica de slidos, talcomo se presenta en este texto, esta indeterminacin se elimina introdu-ciendo hiptesis apropiadas, lo que es equivalente a tener ecuaciones adi-cionales.

Un procedimiento numrico que implica volver discreto un cuerpo enun gran nmero de pequeos elementos finitos, en vez de los infinitesimalesde antes, se usa ahora con frecuencia en problemas complejos. Tal anlisiscon elementos finitos depende de las computadoras electrnicas de altavelocidad para resolver grandes sistemas de ecuaciones simultneas. En elmtodo 'del elemento finito, as como en el enfoque matemtico, las ecua-ciones de. la esttica son complementadas por las relaciones cinemticas ypor las propiedades mecnicas del material. Unos cuantos ejemplos pre-sentados ms tarde en este texto muestran las comparaciones entre lassoluciones "exactas" de la teora matemtica de la elasticidad y las encon-tradas al aplicar la tcnica del elemento finito y/o las soluciones convencio-nales basadas en los mtodos de la mecnica de slidos.

1-6. Esfuerzo normal mximo en barrascargadas axialmente

En la mayor parte de las situaciones prcticas con barras cargadas axial-mente, es conveniente determinar directamente el esfuerzo normal mxi-mo. Esos esfuerzos se desarrollan sobre secciones perpendiculares al eje dela barra. Para tales secciones, el rea de la seccin transversal de una barraes un mnimo y la componente de la fuerza aplicada es un mximo, lo queresulta en un esfuerzo normal mximo. El procedimiento para determinareste esfuerzo se muestra en la figura 1-7.

Aqu, como se muestra en la figura 1-7(a), la fuerza axial P es aplicadaa la barra prismtica en su extremo derecho. Por equilibrio, una fuerzaigual pero opuesta P debe actuar en su extremo izquierdo. Para distinguirentre la fuerza aplicada y la reaccin se traza una rayita a travs del vector

Fi

fe

ci

pPf1aees

1pc

c

SECo 1-6. ESFUERZO NORMAL MXIMO EN BARRAS CARGADAS AXIALMENTE 13

aa

a aCentroide

(b)(a)

a a

, ~'f (TdA=P'A (T(T ~d~ P dx(1'= A

(e) (d) (e) (f)

Fig.1-7 Pasos sucesivos en la determinacin del esfuerzo normal mximo en una barra cargada axialmente.

fuerza de reaccin P. Esta forma de identificacin se usar frecuentementeen este texto. Encontrar las reacciones es usualmente el primer paso esen-cial en la resolucin de problemas.

Para determinar los esfuerzos se dibuja un diagrama de cuerpo librepara la parte izquierda o para la parte derecha de la barra dividida por elplano de corte, como en la figura 1-7(b). En cualquier seccin, el vectorfuerza P pasa por el centroide de la barra. Como se muestra en la figura1-7(c), la reaccin sobre el extremo izquierdo es equilibrada en la seccina-a por un esfuerzo normal uniformemente distribuido a. La suma de esosesfuerzos multiplicados por sus respectivas reas genera una resultante deesfuerzos que es estticamente equivalente a la fuerza P. En la figura 1-7(d)se muestra un rebanada delgada de la barra con esfuerzos normales igua-les uniformemente distribuidos de sentido opuesto sobre las dos seccionesparalelas. Este estado de esfuerzo uniaxial puede representarse sobre uncubo infinitesimal,como se muestra en la figura 1-7(e). Sin embargo, se usacomnmente un diagrama simplificado como el de la figura 1-7(f).

La ecuacin bsica para determinar directamente el esfuerzo normalmximo en una barra cargada axialmente se da aqu en la forma habitual,es decir, sin ningn subndice sobre a. Sin embargo, los subndices seagre-gan con frecuencia para indicar el sentido del eje de la barra. Esta ecuacinda el esfuerzo normal mximo en una seccin perpendicular al eje delmiembro. Entonces,

[ ~2 ] o [ i~2 ] (1-6)donde P es la fuerza axial aplicada yA es el rea de la seccin transversaldel miembro. En los clculos es conveniente usar N/mm2 = MPa en el sis-tema SI de unidades y ksi en el sistema ingls.

l14 CAP. 1 ESFUERZO

Es conveniente notar que el esfuerzo normal u dado por la ecuacin1-6 y representado esquemticamente en la figura 1-7(e), es una descrip-cin completa del estado de esfuerzo en una barra cargada axialmente. S-lo queda el trmino diagonal U x en la representacin matricial del tensoresfuerzo dado por la ecuacin 1-1b. Este trmino restante est asociadocon la direccin del eje de la barra.

La ecuacin 1-6 se aplica estrictamente slo a barras prismticas (esdecir, a barras que tienen rea transversal constante). Sin embargo, laecuacin es razonablemente exacta para miembros ligeramente ahusados.8Vase la Seccin 3-3 donde se analizan situaciones en que ocurren cam-bios abruptos del rea transversal, ocasionando severas perturbaciones enel esfuerzo.

Como se indic antes, la resultante de esfuerzo para uno uniformemen-te distribuido, acta por el centroide del rea de una seccin transversal ygarantiza el equilibrio de un miembro axialmente cargado. Si la carga esms compleja, como la de la parte de mquina mostrada en la figura 1-8, ladistribucin del esfuerzo no es uniforme. Aqu, en la seccin a-a, ademsde la fuerza axial P, se desarrolla tambin un momento flexionante M. Ta-les problemas se tratarn en el captulo 8.

Un razonamiento similar se aplica a miembros cargados axialmente encompresin y puede entonces usarse la ecuacin 1-6. Sin embargo, debe te-nerse cuidado al investigar los miembros en compresin. stos pued!3n sertan esbeltos que no se comporten de la manera esperada. Por ejemplo, unacaa de pescar comn, bajo una fuerza de compresin ax;ial pequea, tienela tendencia a pandearse lateralmente y a colapsarse. La consideracin detal inestabilidad de los miembros en compresin se ver en el captulo 16.La ecuacin 1-6 es aplicable slo a miembros robustos cargados axialmenteen compresin (es decir, bloques cortos). Como se mostrar en el captulo16, un bloque cuya menor dimensin es aproximadamente un dcimo de sulongitud puede considerarse usualmente como un bloque corto. Por ejem-plo, una pieza de madera de 50 X 100 mm puede tener 500 mm de longitudy an considerarse como un bloque corto.

Algunas veces los esfuerzos de compresin aparecen cuando un cuerpoest soportado por otro. Si la resultante de las fuerzas aplicadas coincidecon el centroide del rea de contacto entre los dos cuerpos, la intensidadde las fuerzas o esfuerzo entre los cuerpos puede determinarse de nuevocon la ecuacin 1-6. Es costumbre llamar a este esfuerzo normal esfuerzode aplastamiento. La figura 1-9, donde un bloque corto se apoya sobre unazapata de concreto y sta se apoya sobre el suelo, ilustra tal esfuerzo. Nu-merosas situaciones similares aparecen en problemas mecnicos bajo lasarandelas empleadas para distribuir fuerzas concentradas. Esos esfuerzosde aplastamiento pueden aproximarse dividiendo la fuerza aplicada P en-tre el rea correspondiente de contacto, obteniendo as un esfuerzo deaplastamiento nominal.

Al aceptar la ecuacin 1-6, debe tenerse en cuenta que el comporta-miento del material est idealizado. Cada partcula de un cuerpo se suponeque contribuye igualmente a resisitir la fuerza. Se implica una perfecta

8Para soluciones exactas de barras ahusadas, vase S. P. Timoshenko y 1. N. Goodier,Theory o[ Elasticity, 3a. ed. (Nueva York: McGraw-Hill, 1970), pg. 109.

(a)

(b)

Fig.1-8 Miembro con una distri-bucin no uniforme del esfuerzo enla seccin a-a.

p

Fig.1-9 Esfuerzos de apoyo que sepresentan entre el dado y la zapataas como entre la zapata y el suelo.

f

l-en

SEC.1-6. ESFUERZO NORMAL MXIMO EN BARRAS CARGADAS AXIALMENTE 15

homogeneidad del material por tal suposicin. Los materiales reales, comolos metales, consisten en un gran nmero de granos, mientras que la made-ra es fibrosa. En materiales reales, algunas partculas contribuyen ms a re-sistir una fuerza que otras. Las distribuciones ideales de esfuerzos como lasque se muestran en las figuras 1-7(d) y (e) no existen en realidad si la esca-la escogida es suficientemente pequea. La verdadera distribucin de es-fuerzos vara en cada caso en particular y es sumamente irregular, como semuestra en la figura l-lO(a). Sin embargo, en promedio, hablando estads-ticamente, los clculos basados en la ecuacin 1-6 son correctos y, porconsiguiente, el esfuerzo promedio calculado representa una cantidad alta-mente significativa.

Es tambin importante notar que las ecuaciones bsicas para determi-nar esfuerzos, tal como la ecuacin 1-6, suponen un material inicialmente li-bre de esfuerzos. Sin embargo, al ser fabricados, los materiales suelen seralisados, resaltados, forjados, soldados, doblados y martillados. En las fun-diciones, los materiales no se enfran uniformemente. Esos procesospueden inducir altos esfuerzos internos llamados esfuerzos residuales. Porejemplo, las placas calientes de acero durante una operacin de alisado sonjaladas entre rodillos, como se muestra de manera esquemtica en la figura1-10(b). Este proceso ocasiona el desarrollo de mayores esfuerzos norma-les cerca de las superficies exteriores que en la mitad de la placa. Esosesfuerzos equivalen a un esfuerzo promedio normal (J'prom que puede consi-derarse que genera una fuerza que impulsa la placa a travs de los rodillos.Al salir de stos, la placa que se muestra en la figura 1-10(c) es relevada deesta fuerza, y de acuerdo con la ecuacin 1-6, el (J'prom es restado de los es-fuerzos que existan durante el alisado. El patrn de los esfuerzos norma-les residuales se muestra en la figura 1-10(c). Esos esfuerzos residuales sonautoequilibrantes (es decir, estn en equilibrio sin ninguna fuerza aplicadaexternamente). En los problemas reales, tales esfuerzos residuales puedenser de gran tamao y deben ser investigados cuidadosamente y luego su-mados a los esfuerzos calculados para el material inicialmente libre de es-fuerzos.

sea

(a)

(b)

Tensin

Compresin

(e)

Fig.l-l0 (a) Ilustracin esquemtica de irregularidad en los esfuerzos en el material debido a falta de homogenei-dad, (b) variacin del esfuerzo de tensin a travs de una placa durante una operacin de alisado y (c) esfuerzos re-siduales en una placa alisada.

16 CAP. 1 ESFUERZO

17. Esfuerzo sobre secciones inclinadasen barras cargadas axialmente

Usaremos el enfoque tradicional de la mecnica de slidos para determi-nar los esfuerzos internos sobre secciones inclinadas arbitrariamente enbarras cargadas axialmente. Los primeros pasos de este procedimi~nto es-tn ilustrados en la figura 1-11. Aqu, como una fuerza axial P est aplicadasobre el extremo derecho de una barra prismtica, por equilibrio, una fuer-za igual pero opuesta P debe actuar sobre el extremo izquierdo.

En este problema, despus de haber determinado la fuerza reactiva P,se dibujan diagramas de cuerpo libre para los segmentos de la barra, aisla-dos por secciones como la a-a o b-b. En ambos casos, la fuerza P requeridapor equilibrio se muestra en las secciones. Sin embargo, para obtenerlos esfuerzos convencionales, que son los ms convenientes en el anlisis deesfuerzos, la fuerza P se reemplaza por sus componentes a lo largo de ejesseleccionados. Una lnea ondulada sobre los vectores P indica su reempla-zo por componentes. Para fines ilustrativos, se gana poco al considerar elcaso mostrado en la figura l-11(b), que requiere tres componentes defuerza. El anlisis simplemente se vuelve muy complicado. Ms bien, elcaso de la figura 1-11(c), con slo dos componentes de P en el plano de si-metra de la seccin transversal de la barra, se considerar en detalle. Unade esas componentes es normal a la seccin; la otra est en el plano de laseccin.

(a)

sr

t

I

l(b)

Fig.l-ll Seccionamiento de una barra prismtica por planos arbitrarios.

z'

(e)

b

SEC.1-7. ESFERZO SOBRE SECCIONES INCLINADAS EN BARRAS CARGADAS AXIALMENTE 17

Como ejemplo de un anlisis detallado de los esfuerzos en una barrasobre planos inclinados, considere dos secciones 90 aparte, perpendicula-res a los lados de la barra, como se muestra en la figura 1-12(a). La seccina-a forma un ngulo 6 con la vertical. Una parte aislada de la barra a la iz-quierda de esta seccin se muestra en la figura 1-12(b). Ntese que la nor-mal a la seccin que coincide con el eje x tambin forma un ngulo 6 con eleje x. La fuerza aplicada, la reaccin, as como la fuerza equilibrante P en la.seccin, actan todas a travs del centroide de la seccin de la barra. Comose muestra en la figura 1-12(b), la fuerza equilibrante P se descompone endos componentes: la componente de fuerza normal, P cos 6, y la compo-nente del cortante, P sen 6. El rea de la seccin transversal inclinada esAlcos 6. Por tanto, el esfuerzo normal U ay el esfuerzo cortante Ta, mostra-dos en las figuras 1-12(c) y (d), estn dados por las dos ecuaciones siguien-tes:

u =afuerzarea

Pcos6Afcose

Pcos2 6

A(1-7a)

P

y

P

(a)

P

(b)

y

PI rCentroide

. .. (lel rea A~

Seccin transversal

y'Alsen ()

\ Pcas ()\

\\

-............"..~)P-;/; x

(d) (e) (f) (g)

Fig.l-U Seccionamiento de una barra prismtica por planos mutuamente perpendiculares.

18 CAP. 1 ESFUERZO

y

PseneT = -e Al cose

Psenecose

A(1-7b)

El signo negativo en la ecuacin 1-7b se usa de acuerdo con la convencinde signos para los esfuerzos cortantes adoptada antes. Vase, por ejemplo,la figura 1-11. La necesidad de un signo negativo es evidente notando que lafuerza cortante P sen e acta en sentido opuesto al del eje y/.

Es importante notar que el procedimiento bsico de la mecnica de s-lidos usado aqu da el esfuerzo promedio o medio en una seccin. Esosesfuerzos son determinados de las fuerzas axiales necesarias para el equili-brio en una seccin. Por consiguiente, ellos siempre satisfacen a la esttica.Sin embargo, con base en los requisitos adicionales de la cinemtica (defor-maciones geomtricas) y de las propiedades mecnicas del material, se sabeque grandes esfuerzos locales aparecen en la proximidad de fuerzas con-centradas. Esto tambin ocurre en los cambios abruptos de reas transver-sales. Los esfuerzos promedio en una seccin son exactos a una distanciaaproximadamente igual a la altura del miembro desde las fuerzas concen-tradas o desde los cambios abruptos en el rea transversal. El uso de esteprocedimiento simplificado ser racionalizado en la Seccin 3-3 como elprincipio de Saint-Venant.

Las ecuaciones 1-7a y 1-7b muestran que los esfuerzos normal y cortan-te varan con el ngulo e. El sentido de esos esfuerzos se muestra en las fi-guras 1-12(d) y (e). El esfuerzo normal

SEC.l-S. ESFUERZOS CORTANTES 19

Por lo tanto, el esfuerzo cortante mximo en una barra cargada axialmentees slo la mitad del valor del esfuerzo normal mximo.

Siguiendo el mismo procedimiento pueden encontrarse los esfuerzosnormal y cortante sobre la seccin b-b. Observando que el ngulo que lo-caliza este plano respecto a la vertical se mide ms fcilmente en sentidohorario que en sentido antihorario, como en el caso anterior, este ngulodebe tratarse como una cantidad negativa en la ecuacin 1-7(b). Por tanto,se usar el subndice -(90 - e) = e-90 al designar los esfuerzos. De lafigura 1-12(e), se obtiene

y

PseneAlsene

Psen 2 e

A(1-11)

pcoseTe-90 = Alsene

Psene cose

A(1-12)

Ntese que, en este caso, como la fuerza cortante y el eje y' tienen el mis-mo sentido, la expresin en la ecuacin 1-12 es positiva. La ecuacin 1-12puede obtenerse de la ecuacin 1-7b sustituyendo el ngulo e-90. Elsentido de Ue-90' YTe-90 se muestra en la figura 1-12(f).

Los resultados combinados del anlisis para las secciones a-a y b-b semuestran sobre un elemento infinitesimal en la figura 1-12(g). Note que losesfuerzos normales sobre las caras adyacentes del elemento no son iguales,mientras que los esfuerzos cortantes s lo son. Esto est en completo acuer-do con la anterior conclusin general obtenida en la Seccin 1-4, de que losesfuerzos cortantes sobre planos mutuamente perpendiculares deben seriguales.

1-8. Esfuerzos cortantes

Algunos materiales de la ingeniera (por ejemplo, el acero al bajo carbono)son ms dbiles en cortante que en tensin; y, bajo cargas grandes, se desa-rrollan deslizamientos a lo largo de sus planos de esfuerzo cortante mxi-mo. De acuerdo con las ecuaciones 1-9 y 1-10, esos planos de deslizamientoen una probeta a tensin forman ngulos de 45 con el eje de la barra, y esdonde se presentan los esfuerzos cortantes mximos Tmx = P12A. Sobrelas superficies pulidas de una probeta, esas lneas pueden ser observadasfcilmente y se llaman lneas de Lds. 9 Este tipo de comportamiento delmaterial corresponde a una falla dctil.

En muchas aplicaciones rutinarias de la ingeniera, grandes esfuerzoscortantes pueden desarrollarse en posiciones crticas. Determinar tales es-fuerzos con precisin suele ser difcil. Sin embargo, suponiendo que en elplano de una seccin se desarrolla un esfuerzo cortante uniformemente dis-tribuido, puede encontrarse fcilmente una solucin. Usando este enfoque,el esfuerzo cortante promedio Tprom se determina dividiendo la fuerza cor-tante Ven el plano de la seccin entre el rea correspondiente A.

9Tambin conocidas como lneas de Piobert. Nombradas en honor, respectivamente, delos citados investigadores alemn y francs del siglo XIX.

20 CAP. 1 ESFUERZO

(1-13)

En la figura 1-13 se muestran algunos ejemplos de dnde puede usarseconvenientemente la ecuacin 1-13. En la figura 1-13(a) se muestra un pe-queo bloque unido con pegamento a otro bloque ms grande. Separando elbloque superior del inferior por una seccin imaginaria se obtiene el diagra-ma de equilibrio mostrado en la figura 1-13(b). El pequeo par aplicado Pe,que genera pequeos esfuerzos normales perpendiculares a la seccin a-a, escomnmente despreciado. Con base en esto, '1'prom' mostrado en la figura1-13(c), puede encontrarse usando la ecuacin 1-13 dividiendo P entre el reaA de la seccin a-a. Un procedimiento similar se usa para determinar '1'prom enel problema mostrado en la figura 1-13(d). Sin embargo, en este caso, dos su-perficies pegadas estn disponibles para transferir la carga aplicada P. El mis-mo enfoque, usando secciones imaginarias, es aplicable a miembros slidos.

Ejemplos' de dos conexiones atornilladas se muestran en las figuras1-14(a) y (e). Esas conexiones pueden analizarse de dos maneras distintas.Segn una de ellas, se supone que un tornillo apretado desarrolla una fuer-za de apriete suficientemente grande tal que la friccin desarrollada entrelas superficies en contacto impide que la junta se deslice. Para tales diseosse emplean comnmente tornillos de. alta resistencia. Un enfoque alterna-tivo ampliamente usado supone que ocurre un deslizamiento tal que lafuerza aplicada es transferida primero a un tornillo y luego del tornillo ala placa conectora, como se ilustra en las figuras 1-14(b) y (f). Para deter-minar '1'prom en esos tornillos, se usa simplemente el rea transversal A deun tornillo en vez del rea de la superficie de contacto de la junta para cal-cular el esfuerzo cortante promedio. Se dice que el tornillo mostrado en lafigura 1-14(a) est en cortante simple, mientras que el mostrado en la figu-ra 1-14(e) est en cortante doble.

En conexiones soldadas, requiere consideracin otro aspecto del pro-blema. En casos como los de las figuras 1-14(a) y (e), cuando la fuerza P esaplicada, una presin muy irregular se desarrolla entre un tornillo y las pla-cas. La intensidad nominal promedio de la presin se obtiene dividiendo lafuerza transmitida entre el rea proyectada del tornillo sobre la placa. Aste se le llama esfuerzo de aplastamiento. El esfuerzo de aplastamiento enla figura 1-14(a) es (J'b = P/td, donde t es el espesor de la placa y d es el di-metro del tornillo. Para el caso en la figura 1-14(e), los esfuerzos de aplas-tamiento para la placa media y las placas exteriores son (J' = P / td Y(J'2 = P/2t2d, respectivamente.

El mismo procedimiento se aplica tambin a conexiones remachadas.En el enfoque previo de diseo, ha sido despreciada la resistencia fric-

cional entre las superficies en contacto en los conectores. Sin embargo, si lafuerza de apriete desarrollada por un conector es suficientemente grande yconfiable, la capacidad de una junta puede ser determinada con base en lafuerza de friccin entre las superficies en contacto. Esta condicin se mues-tra en la figura 1-15. Con el uso de tornillos de alta resistencia con rendi-miento del orden de 100 ksi (700 MPa), ste es un mtodo aceptable en eldiseo estructural de acero. El apriete requerido de tales tornillos se espe-cifica usualmente como aproximadamente el 70% de su resistencia a la

SEC.1-8. ESFUERZOS CORTANTES 21

a

(a)

(b)

(d)

t P/2 ta :.........llo..

b Pt P/; t(e)

P

(e) (f)

Fig.l-13 Condiciones de carga que causan esfuerzos cortantes entre las, inter-faces de bloques unidos con pegamento.

P~

(a)

~PPt::tdJ

(b)

~I 19 J!+(e) (d)

P/2~pP/2~

(f)

P/2P ----o......~,-t.:.l11_a ....i ---1..::b:...J1

---P/2

(g) (h)

Tprom

Fig.1-14 Condiciones de carga que causan esfuerzos cortantes y de aplastamiento en tornillos.

Agarre delArandela tornillo

'I~Arandela Longitud del

tornillo(a)

~rf*fu,Presin ;1 t!t Res.ist~~eia por

de apriete " fneelon a lasobre la .T~n.slon fuerza P

placa Inlelal.enel tornillo

(b)

Fig.1-15

22 CAP. 1 ESFUERZO

Soldadura

p

(a)e Seccin e-c

(b)

Fig.1-16 Condicin de carga que causa un esfuerzo cortante crticoen dos planos de soldaduras de filete.

tensin. Para los fines de un anlisis simplificado, se especifica un esfuerzocortante permisible basado en el rea nominal de un tornillo. Esos esfuer-zos se basan en experimentos. Esto permite que el diseo de conexiones, alusar tornillos de alta resistencia, se lleve a cabo de la misma manera quepara los tornillos o los remaches ordinarios.

Otra manera de unir miembros entre s es por medio de soldadura. Unejemplo de una conexin con soldaduras de filete se muestra en la figura 1-16. El esfuerzo cortante mximo ocurre en los planos a-a y b-b, como semuestra en la figura 1-16(b). La capacidad de tales soldaduras es usual-mente dada en unidades de fuerza por unidad de longitud de soldadura.

1-9. Anlisis de los esfuerzos normalesy cortantes

Una vez que la fuerza axial P o la fuerza cortante V, as como el rea A,han sido determinadas en un problema dado, pueden aplicarse fcilmentelas ecuaciones 1-6 y 1-13 para calcular los esfuerzos normal y cortante.Esas ecuaciones que dan, respectivamente, las magnitudes mximas de losesfuerzos normal y cortante, son particularmente importantes, ya que de-terminan la demanda mxima sobre la resistencia de un material. Esos es-fuerzos mximos ocurren en una seccin de rea transversal mnima y/o defuerza axial mxima. Tales secciones se llaman secciones crticas. En losproblemas ms simples, la seccin crtica para el arreglo particular que seanaliza puede encontrarse usualmente por inspeccin. En otros proble-mas, esto puede requerir un extenso anlisis, el cual suele hacerse ahoracon ayuda de una computadora. El determinar la fuerza P o V que actaen un miembro es por lo general una tarea ms difcil. En la mayor partede los problemas tratados en este texto, esta ltima informacin se obtienepor esttica.

Para el equilibrio de un cuerpo en el espacio, las ecuaciones de la estti-ca requieren del cumplimiento de las condiciones siguientes:

(1-14)

SEC.1-9. ANLISIS DE LOS ESFUERZOS NORMALES Y CORTANTES 23

La primera columna de la ecuacin 1-14 establece que la suma de todas lasfuerzas que actan sobre un cuerpo en cualquier direccin (x, y, z) debeser cero. La segunda columna establece que para tener equilibrio, la sumade los momentos de todas las fuerzas respecto a cualquier eje paralelo acualquier direccin (x, y, z) debe tambin ser cero. En un problema en unplano (es decir, todos los miembros y fuerzas se encuentran en un solo pla-no, tal como el plano x-y), las relaciones L Fz = O, L M x = OYL M y = O,si bien an vlidas, son triviales.

Esas ecuaciones de la esttica son directamente aplicables a cuerposslidos deformables. Las deformaciones toleradas en las estructuras sonusualmente despreciables en comparacin con las dimensiones de stas.Por tanto, con el fin de obtener las fuerzas en los miembros, se usan las di-mensiones iniciales no deformadas de los miembros.

Si las ecuaciones de la esttica son suficientes para determinar las reac-ciones externas as como los esfuerzos internos resultantes, un sistema es-tructural es estticamente determinado. Un ejemplo se muestra en la figura1-17(a). Sin embargo, si para la misma viga y condiciones de carga seproporcionan soportes adicionales, como en las figuras 1-17(b) y (c), el n-mero de ecuaciones independientes de la esttica es insuficiente para en-contrar las reacciones. En la figura 1-17(b), cualquiera de las reaccionesverticales puede suprimirse y el sistema estructural permanece estable. Si-milarmente, dos reacciones cualquiera pueden suprimirse en la viga de lafigura 1-17(c). Esas dos vigas son estticamente indeterminadas. Las reac-ciones que pueden suprimirse dejando un sistema estable estticamentedeterminado son superfluas o redundantes. Tales redundancias pueden sur-gir tambin dentro del sistema interno de fuerzas. Dependiendo del nme-ro de fuerzas internas redundantes o reacciones, se dice que el sistema esindeterminado de primer grado, como en la figura 1-17(b), de segundo gra-do, como en la figura 1-17(c), etc. Mltiples grados de indeterminacinesttica aparecen con frecuencia en la prctica y uno de los objetivos im-portantes de este tema es proporcionar una introduccin a los mtodos deresolucin de tales problemas. Los procedimientos para resolver estos pro-blemas se presentarn gradualmente.

Las ecuaciones 1-14 ya deben ser familiares para el lector. Sin embargo,se dan ahora varios ejemplos donde son aplicables, poniendo nfasis en losprocedimientos de resolucin empleados comnmente en la mecnica deslidos. Los ejemplos determinados estticamente servirn como un repa-so informal de algunos de los principios de la esttica y mostrarn las apli-caciones de las ecuaciones 1-6 y 1-13.

ppp

~ -

k k k k k kppp

(a) (b) (e)Fig.1-17 Vigas idnticas con cargas idnticas con diferentes condiciones en los apoyos: (a) estticamente determina-da, (b) estticamente indeterminada de primer grado, (c) estticamente indeterminada de segundo grado.

24 CAP. 1 ESFUERZO

Ejemplo 1-1La viga BE en la figura 1-18(a) se usa en una mquina elevadora. sta seencuentra anclada con dos pernos en B, yen e descansa sobre un parape-to. Los detalles esenciales se dan en la figura. Note que los pernos estnroscados, como se muestra en la figura 1-18(d), con d = 16 mm en la raz delas roscas. Si la mquina est sometida a una fuerza de 10 kN, determine elesfuerzo en los pernos BD y el esfuerzo de aplastamiento en C. Supongaque el peso de la viga es imperceptible en comparacin con la carga consi-derada.

SOLUCINPara resolver este problema, la situacin real se idealiza y se dibuja un dia-grama de cuerpo libre sobre el cual se indican todas las fuerzas conocidas ydesconocidas. ste se muestra en la figura 1-18(b). Las reacciones vertica-les en B y e son desconocidas. Se designan por RBy y RcY' respectivamente,donde el primer subndice identifica la localizacin y el segundo la lnea deaccin de la fuerza desconocida. Como los pernos largos BD no son efica-ces para resistir la fuerza horizontal, se supone slo una reaccin horizon-tal desconocida en e y se designa como RcX' :La fuerza aplicada conocida Pse muestra en su posicin correcta. Despus de dibujar un diagrama de

Dos tornillosde 20 mm

Madero terminadode 200 x. 300 mm

Vista a-a

----200 mmP=,O kN

Edificio

--Ml--200 mm

r-' m----- 2.5 m Ila Ie E[

(a) (e)

VLx

ar'm~r-2.5 mt

t--"""""-tRexRBy Rey ~p"-Fuerza distribuida

equivalente a F

(b) (d)

Fig.1-18

L

SECo 1-9. ANLISIS DE LOS ESFUERZOS NORMALES Y CORTANTES 25

cuerpo libre se aplican las ecuaciones de esttica y se calculan las fuerzasdesconocidas.

2.-F=Ox

2.-MB = O{'l +

2.- Me = O('l +

Comprobacin:

R ex = O

10(2.5 + 1) - Rey X 1 = O Rey = 35 kN i10 X 2.5 - R By X 1 = O RBy = 25 kN i

2., Fy = Oi + -25 + 35 - 10 = O

Estos pasos completan y verifican el trabajo de determinar las fuerzas.Se determinan a continuacin las diversas reas del material que resiste aesas fuerzas y se aplica la ecuacin 1-6.

rea transversal de un tornillo de 20 mm: A = 1T102 = 314 mm2 stano es el rea mnima de un tornillo, ya que las roscas la reducen.

El rea transversal de un tornillo de 20 mm en la raz de las roscas es

A neta = 1T 82 = 201 mm2

Esfuerzo10 normal de tensin mximo en cada uno de los dos tornillos BD:

_ RBy _ 25 X 103 _ 2 _amx - 2A - 2 X 201 - 62 N/mm - 62 MPa

Esfuerzo de tensin en el vstago de los tornillos BD:

a=25 X 103

= 39.8 N/mm2 = 39.8 MPa2 X 314

rea de contacto en C:A = 200 X 200 = 40 X 103mm2

Esfuerzo de aplastamiento en C:

35 X 10340 X 103 = 0.875 N/mm2 = 0.875 MPa

El esfuerzo calculado para el vstago del tornillo puede representarse enla forma de la ecuacin 1-1b como

donde el eje y se toma en la direccin de la carga aplicada. En los proble-mas comunes, est implicado el resultado completo, pero rara vez se escri-be con detalle.

IOYase tambin el anlisis sobre concentraciones de esfuerzos en la Seccin 3-3.

26 CAP. 1 ESFUERZO

Ejemplo 12La zapata de concreto que se muestra en la figura 1-19(a) est cargada ensu parte superior con una carga uniformemente distribuida de 20 kN/m2Investigue el estado de esfuerzo en un nivel a 1 m arriba de la base. El con-creto tiene un peso especfico de aproximadamente 25 kN/m3.

SOLUCINEn este problema, el peso propio de la estructura es considerable y debeincluirse en los clculos.

Peso de toda la zapata:W = [(0.5 + 1.5)/2] X 0.5 X 2 X 25 = 25 kN

Fuerza aplica~a total:P = 20 X 0.5 X 0.5 = 5 kN

De ~ Fy = O, la reaccin en la base esR = W + P = 30kN

Esas fuerzas se muestran en forma esquemtica en los diagramas comofuerzas concentradas que actan en sus centroides respectivos. Luego, paradeterminar el esfuerzo en el nivel deseado, el cuerpo se corta en dos partes

Vista lateral

,t 1a \ 2 m

1m

J-----L!_

(a) (e)

Fig.1-19

L

SEC.1-9. ANLISIS DE LOS ESFUERZOS NORMALES Y CORTANTES 27

separadas. Un diagrama de cuerpo libre para cualquier parte es suficientepara resolver el problema, pero para fines de comparacin, el problema esresuelto de ambas maneras.

Usando la parte superior de la zapata como cuerpo libre, figura 1-19(b),el peso de la zapata arriba de la seccin es:

W1 = (0.5 + 1) X 0.5 X 1 X 25/2 = 9.4 kNDe L Fy = O, la fuerza en la seccin:

Fa = P + W1 = 14.4 kNPor consiguiente, usando la ecuacin 1-6, el esfuerzo normal en el nivel a-a es

Fau=-=

a A 14.4 = 28.8 kN/m20.5 X 1Este esfuerzo es de compresin, ya que Fa acta sobre la seccin.

Usando la parte inferior de la zapata como cuerpo libre, figura 1-19(c),el peso de la zapata debajo de la seccin:

W2 = (1 + 1.5) X 0.5 X 1 X 25/2 = 15.6 kNDe L Fy = O, la fuerza en la seccin:

Fa = R - W2 = 14.4 kNEl resto del problema es igual que antes. La zapata considerada aqu tiene uneje vertical de simetra, lo que hace posible la aplicacin de la ecuacin 1-6.11

Ejemplo 13Una mnsula de peso imperceptible mostrada en la figura 1-20(a) est carga-da con una fuerza vertical P de 3 kips. Para fines de conexin, los extremos dela barra estn escindidos como se muestra en la figura, formndose una hor-quilla. Las dimensiones pertinentes se muestran en la figura. Encuentre losesfuerzos axiales en los miembros AB y BC y los esfuerzos de aplastamientoy cortante en el pasador C. Todos los pasadores tienen 0.375 in de dimetro.

SOLUCINPrimero se dibuja un diagrama idealizado de cuerpo libre de las dos barrasarticuladas en sus extremos; vase la figura 1-20(b). Como no hay fuerzasintermedias actuando sobre las barras y la fuerza aplicada acta por el nu-do en B, las fuerzas en las barras estn dirigidas a lo largo de las lneas ABy BC, y las barras AB y BC quedan cargadas axialmente. Las magnitudes

llEstrictamente hablando, la solucin obtenida no es exacta, ya que los lados de la zapata es-tn inclinados. Si el ngulo incluido entre esos lados es grande, esta solucin es inadecuada.Para detalles adicionales, vase S. Timoshenko y 1. N. Goodier, Theary af Elasticity, 3a. ed.(Nueva York: McGraw-Hill, 1970), pg. 110.

0.25"

(f)(e)FCy

(d)

"Hc-- 6"-----

--------~B

Fcx

28 CAP. 1 ESFUERZO

FAfl

l8 8 ~(]

d~d

Fcx

Ie

~~6" Fcy J

Fc

I(a) (b) (e)

Fig.l.20

de las fuerzas son desconocidas y se designan FA y Fe en el diagrama.12Esas fuerzas pueden determinarse grficamente completando un tringulode fuerzas FA, Fe y P. Esas fuerzas pueden encontrarse tambin analtica-mente a partir de dos ecuaciones simultneas 2: Fy = OY2: Fx = O, escritasen trminos de las incgnitas FA YFo una fuerza conocida P y dos ngulosconocidos u y 13. Ambos procedimientos son posibles. Sin embargo, en este

2En las armaduras es conveniente suponer que todas las fuerzas desconocidas son de tensin.Una respuesta negativa en la solucin indica entonces que la barra est en compresin.

SEC.1-9. ANLISIS DE LOS ESFUERZOS NORMALES Y CORTANTES 29

libro, es conveniente proceder de distinta manera. En vez de tratar lasfuerzas FA y Fe directamente, se usan sus componentes; y en vez deL F = O, L M = O ser la herramienta principal.

Cualquier fuerza puede descomponerse en componentes. Por ejemplo,FA puede descomponerse en FAx Y FAy, como en la figura 1-20(c). Por elcontrario, si cualquiera de las componentes de una fuerza dirigida se cono-ce, la fuerza misma puede determinarse. Esto se infiere de la semejanza en-tre dimensiones y tringulos de fuerzas. En la figura 1-20(c), los tringulosAkm y BAD son tringulos semejantes (ambos se muestran sombreadosen el diagrama). Por tanto, si FAx es conocida

FA = (AB/DB)FAxSimilarmente, FAyy = (AD/DB)FAx- Ntese, adems, que AB/DB oAD/DB son razones; por consiguiente pueden usarse dimensiones relati-vas de los miembros. Tales dimensiones relativas se muestran por un pe-queo tringulo sobre el miembro AB y tambin sobre Be. En el presenteproblema,

FA = (YS/2)FAx y FAy = FAxf2Adoptando el procedimiento de descomponer fuerzas se dibuja un dia-

grama revisado de cuerpo libre en la figura 1-20(d). Dos componentes defuerza son necesarias en los nodos. Despus de que las fuerzas son deter-minadas por esttica, se aplica la ecuacin 1-6 varias veces, pensando entrminos de un cuerpo libre de un miembro individual:

L Me = On + + FAx(3 + 6) - 3(6) = O FAx = +2 kFAy = FAx/2 = 2/2 = +1 k

FA = 2(YS/2) = +2.23 kLMA = O0f + + 3(6) + FeX

30 CAP. 1 ESFUERZO

s

2.83= 18.8 ksi0.375 X 0.20 X 2(J'b = A aplastamiento

En el miembro en compresin, la seccin neta en la horquilla no tiene queser investigada; vase en la figura 1-20(f) la transferencia de fuerzas. El es-fuerzo de aplastamiento en el pasador es ms crtico. El aplastamiento en-tre el pasador C y la horquilla es:

Fe

= 12.9 ksi

Aplastamiento entre el pasador C y la placa principal:Fe 2.83

(J'b = A = 0.375 X 0.25 = 30.2 ksi

Cortante doble en el pasador C:Fe 2.83

T = A = 21T(0.375/2)2

s

t

8

p

Fig.1-21

LL-_----; FevFe I-a

&4@- Ji &Ii%&@

Para tener un anlisis completo de esta mnsula, otros pasadores debenser investigarlos. Sin embargo, puede verse por inspeccin que los otros pa-sadores en este caso estn esforzados la misma cantidad calculada o unacantidad menor.

Las ventajas del mtodo usado en el ltimo ejemplo para encontrarfuerzas en miembros deben ahora ser obvias. El mtodo puede tambinaplicarse con xito en un problema como el mostrado en la figura 1-21. Lafuerza FA transmitida por el miembro curvo AB acta por los puntos A y Bya que las fuerzas aplicadas en A y B deben ser colineales. Resolviendo es-ta fuerza en A', puede seguirse el mismo procedimiento. Las lneas ondula-das en FA Y Fe indican que esas fuerzas estn reemplazadas por las doscomponentes mostradas. Alternativamente, la fuerza FA puede descompo-nerse enA y como FAy = (y/x)FAX' la aplicacin de: Me = Oda FAX"

En marcos, donde las fuerzas aplicadas no pasan por un nodo, procedacomo antes tanto como sea posible. Luego asle un miembro individual yusando su diagrama de cuerpo libre complete la determinacin de las fuer-zas. Si sobre la estructura actan fuerzas inclinadas, divida stas en compo-nentes convenientes.

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Ejemplo 1-4Considere el sistema idealizado que se muestra en la figura 1-22, dondeuna masa de 5 kg gira sobre un plano sin friccin a 10 Hz. Si una barra lige-ra CD est unida en C y su esfuerzo puede alcanzar el valor de 200 MPa,cul es el tamao requerido de la barra? Desprecie el peso de la barra ysuponga que sta est recalcada en sus extremos para compensar la pre-sencia de las roscas.

SOLUCINLa velocidad angular w de la barra es de 201T rad/s. La aceleracin a de lamasa hacia el centro de rotacin es w2R, donde R es la distancia CD. Multi-plicando la masa m por la aceleracin, se obtiene la fuerza F que acta

Fig.1-22

BSEC.1-10. RESISTENCIA DEL MIEMBRO COMO CRITERIO DE DISEO 31

sobre la barra. Como se muestra en la figura, de acuerdo con el principiode d'Alembert, esta fuerza acta en sentido opuesto al de la aceleracin.Por lo tanto,

F = ma = mw2R = 5 X (20ni X 0.500 = 9870 kg' m/s2 = 9870 N_ 9870 _ 2

Anela - 200 - 49.3 mm

Una barra redonda de 8 mm con rea A = 50.3 mm2 sera satisfactoria.El tirn adicional en e causado por la masa de la barra, que no fue con-

siderado, esR

F1 = fa (ml dr) ohdonde m1 es la masa de la barra por unidad de longitud y (m1 dr) es su masainfinitesimal a una distancia variable r desde la barra vertical AB. El tirntotal en e causado por la barra y la masa de 5 kg en el extremo es F + F1

1-10. Resistencia del miembro como criteriode diseo

El propsito de calcular esfuerzos en miembros de un sistema estructurales compararlos con las resistencias del material determinadas experimen-talmente y garantizar as el desempeo deseado. Las pruebas fsicas de losmateriales en un laboratorio proporcionan informacin respecto ,a la resis-tencia de los materiales frente a esfuerzos. En un laboratorio, las probetasde material conocido, el proceso de fabricacin y el tratamiento trmicoson cuidadosamente preparados a las dimensiones. deseadas. Luego esasprobetas se someten a fuerzas conocidas sucesivamente crecientes. En laprueba ms comn, una barra redonda o rectangular se somete a tensin yla probeta se carga hasta que finalmente se rompe. La fuerza necesaria pa-ra causar la ruptura se llama carga ltima. Dividiendo esta carga ltima en-tre el rea transversal original de la probeta se obtiene la resistencia ltima(esfuerzo) de un material. La prueba de tensin se usa extensamente. Sinembargo, se hacen tambin pruebas de compresin, flexin, torsin y cor-tante.13 Las Tablas lA y B del apndice dan las resistencias ltimas y otraspropiedades fsicas de algunos materiales.

En aplicaciones donde una fuerza aparece y desaparece en la est:r;ucturacierto nmero de veces, los materiales no pueden resistir el esfuerzo ultimode una prueba esttica. En tales casos, la "resistencia ltima" depende del n-mero de veces que es aplicada la fuerza cuando el material trabaja a un nivelparticular de esfuerzo. Tales puntos experimentales indican el nmero de

13La ASTM (American Society for Testing and Materials, 1916 Race Sto Filadelfia, PA19103) publica un Annual Book ofASTM Standards (Libro anual de Normas ASTM) queconsta aho