Pós-Graduação em Levantamentos Geodésicos GEODÉSIA GERAL UNOCHAPECÓ Prof. Regiane Dalazoana / Henrique Firkowski 2 semestre de 2009

Pós-Graduação em Levantamentos Geodésicos

GEODÉSIA GERAL

UNOCHAPECÓ

Prof. Regiane Dalazoana / Henrique Firkowski 2 semestre de 2009

1- FUNDAMENTOS DA GEODÉSIA

Definição e Objetivos em Geodésia

Evolução dos Modelos de Terra

Noções de Coordenadas Geodésicas e Astronômicas

Fundamentos Geométricos da Geodésia e das Superfícies de Referência

GEODÉSIA

Helmert (1880): ciência da mensuração e representação da superfície da Terra

DEFINIÇÃO E OBJETIVOS

GEODÉSIA

Helmert (1880): ciência da mensuração e representação da superfície da Terra

Nesta definição se inclui a determinação do campo de gravidade, uma vez que a maioria das observações

geodésicas está a ele referida(vertical !!!)


GEODÉSIA

Atual: - ciência da determinação da forma e dimensões

da Terra; - do seu campo da gravidade externo; e - respectivas variações temporais

Não havia na definição dada por Helmert


PROBLEMA BÁSICO

Deduzir os parâmetros fundamentais da Geodésia, associados com forma, dimensões e campo da gravidade externo, a partir de mensurações efetivadas na superfície ou em pontos exteriores

Métodos modernos – observações realizadas de, para e entre satélites

Métodos clássicos – observações de: direções, distâncias, determinação: de

desníveis, de diferenças de gravidade ou de valores de gravidade


Mensurações de diferentes tipos (origem da divisão clássica )

Geodésia Geométrica – medidas de ângulos e distâncias

Geodésia Física – medidas gravimétricas

Geodésia Celeste – técnicas espaciais


Geodésia Geométrica

Visão clássica -> é o conjunto de materiais e métodos voltados à determinação de coordenadas geodésicas (latitude e longitude ) a partir da realização de operações de observação / medida em campo de grandezas geométricas (medidas de direções e de distâncias) associadas a (poucas) determinações astronômicas.

Pode-se dizer também: conjunto dos métodos baseados em observações de natureza geométrica que são voltados à determinação de coordenadas de pontos da superfície terrestre referidos a um modelo geodésico.


Geodésia Física

É o conjunto de materiais e métodos voltados à determinação valores de aceleração gravidade (g) ou de suas diferenças (Δg) a partir da realização de operações de observação de natureza gravimétrica.


g1

g2

Superfície físicaΔg Δg = g2 – g1

Superfície equipotencial:

que contém o ponto 1

que contémo ponto 2

O conhecimento de valores de aceleração da gravidade em conjunto com outros conhecimentos da parte sólida do planeta permite inferir sobre o sub-solo.

Geodésia Física

Gravímetros


Relativos -> Δg

Absolutos -> g

Geodésia Celeste ou Espacial

Pode-se dizer que é o conjunto de materiais e métodos que são baseadas em técnicas espaciais de posicionamento por meio de satélites artificiais.

Busca-se determinar, por exemplo, direções, distâncias , coordenadas e variações de distâncias, entre pontos localizados na superfície da Terra e satélites ou entre satélites


Geodésia Celeste ou Espacial


O objetivo ou escopo da Geodésia se expandiu e passou a incluir novas aplicações:

No oceano – determinação do fundo oceânicoNo espaço – superfície e características de corpos celestes, como a Lua e outros planetas

Numa visão mais atual, em Geodésia trata-se com :

- Posições 3D determinadas com alta precisão (estabelecimento do controle geodésico)- Campo da gravidade- Modelagem e determinação de fenômenos geodinâmicos (movimento do pólo, rotação da Terra, deformação da crosta)


Como forma de operacionalização, o objetivo pode ser tratado sob 3 pontos de vista – depende do usuário

Geodésia Global – forma e dimensões planetárias, referenciais, grandezas fundamentais, campo da gravidade, variações temporais

Levantamentos Geodésicos – caráter regional, considera curvatura da Terra e campo da gravidade

Levantamentos Topográficos – efeitos da curvatura e campo da gravidade são omitidos


Embora a finalidade primordial da Geodésia seja científica, as suas técnicas são aplicadas em atividades voltadas ao estabelecimento da estrutura básica para o mapeamento e para trabalhos em topografia.

Na maioria dos países isso se constitui na finalidade e na razão de seu desenvolvimento e realização.


EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA

Qual é a forma da Terra?

Em uma primeira aproximação, as irregularidades da superfície terrestre podem ser negligenciadas.

Assim pode-se reduzir o problema à determinação das dimensões do modelo geométrico mais adequado para esta representação.

Adotam-se modelos ou superfícies de referência mais simples, regulares, e com características geométricas conhecidas que possibilitem realizar reduções e sirvam de base para cálculos e representações.

Modelos de Terra – Histórico

Até aprox. século IV A.C. - Terra plana. Os sábios e os pensadores da época consideravam que a vivia-se numa superfície plana retangular (circundada pelos mares). Acreditavam, ainda, que no limite da água com o espaço, habitavam seres e criaturas mitológicas Pitágoras, Tales e Aristóteles – Terra esférica (500 A.C.)

Pitágoras – Terra girava em torno do Sol, teoria combatida por Aristóteles


Eratóstenes (276 a 175 A.C.) – a primeira determinação do raio da Terra por observação ao Sol - modelo esférico resultou no valor de aproximadamente 6.286 km

Posidônio (150 anos depois) – determinação do compri-mento do equador da Terra por observação a uma estrela (37.800,0 km)


Ptolomeu (100 – 178 D.C.) – Terra esférica – sistema geocêntrico. Teoria que durou 14 séculos até ser desmentida por Copérnico, que atribuiu ao modelo, além do movimento de rotação o movimento de translação ao redor do sol

Picard (1619) – introduziu melhorias nos instrumentos de medição angular, estabeleceu uma rede de triangulação a partir da medição de um arco de meridiano de Paris a Amiens, e a partir disso calculou o raio da Terra (6.372km)

Newton – com base nos seus estudos sobre a gravitação,atribuiu um achatamento aos pólos como explicação ao fato da força da gravidade decrescer dos pólos para o equador


Richter – confirmação dos resultados de Newton em suas observações pendulares que revelaram o aumento do período do pêndulo com a diminuição da latitude

Cassini – continuou as triangulações de Picard e concluiu por uma Terra alongada segundo o eixo de rotação

Cassini Newton

Academia de Ciências de Paris (1735) - organizou duas expedições científicas (Peru e Lapônia) hipótese de Newton


O que é um modelo?Um modelo pode ser considerado como uma

aproximação de algo que satisfaz aos requisitos de aplicação.

Por que buscar modelos?

Pela necessidade de tratar um problema, pela impossibilidade ou pela dificuldade em tratar com o objeto real em si, ou pela possibilidade de realizar simulações.1 – Cartografia: superfície de representação (projeção)2 – Geodésia: superfície de cálculo


Adoção de um modelo para a Terra Irregularidades da superfície terrestre = dificuldades de cálculo numa primeira aproximação podem ser negligenciadas Para fins práticos – adoção de um modelo

Terra “Real”

associar

modelo


Esfera Primeira noção da forma da Terra

Uma esfera particular é a “esfera de adaptação de Gauss” cujo raio (Rm) é igual ao raio médio da Terra. Ela é adotada como superfície de referência pela NBR14166 – Rede Cadastral Municipal – Procedimento

Dentro de aproximação admissível para determinadas aplicações é possível transformar um elemento da superfície do elipsóide em um elemento da esfera cujo raio Rm será (MN)½..


Plano Topográfico Superfície de referência adotada na Topografia – não se considera a influência da curvatura e desvio da vertical

Veiga et. al, 2007


Plano Topográfico


?

?

Modelos da Terra

Coordenadas na Esfera


Elipsóide de Revolução

O elipsóide de revolução foi a figura proposta por Isaac Newton (Torge, 2001) como figura geométrica da Terra (modelo). Pode ser entendido como uma figura gerada pela rotação de uma semi-elipse sobre um dos seus eixos (eixo de revolução)


ba

Coordenadas no Elipsóide


Normal a P

Elipsóide de Revolução

É a superfície matemática de referência adotada pela Geodésia

Existem mais de 70 definições /estabelecimentos de elipsóides de revolução utilizados em diferentes países em seus trabalhos geodésicosUsuário: deve saber a qual deles está referido o seu levantamento geodésico


Geóide

Superfície equipotencial que mais se aproxima do NMM. Uma superfície equipotencial é em todos os seus pontos perpendicular à direção da vertical (ou vice-versa)

Definição a partir da qual se estabelece a referência para as altitudes com características físicas

Adoção como superfície matemática de referência e uso prático esbarram no conhecimento limitado do campo da gravidade e no seu complexo equacionamento matemático


Geóide

Altitude ortométrica: distância contada sobre a vertical, do geóide até a superfície física da Terra


Representação Esquemática


Tamanho e Forma da Terra

Modelo geométrico viável – elipsóide de revolução (forma elipsóidica não é acidental, conseqüência da atração gravitacional + efeito de rotação)

Classicamente definido por dois parâmetros (a, f) (a, b) (a, e)

2

2222

abaff2e


ba

abaf


Século XIX – Geodésia deu ênfase na pesquisa dos parâmetros do melhor elipsóide

Foram propostos dezenas de elipsóides que são utilizados em trabalhos geodésicos em todo o mundo




Tamanho e Forma da Terra Evolução da Geodésia Espacial proporcionou uma evolução no estabelecimento de modelos representativos da Terra, de modo a permitir a associação de parâmetros geométricos e físicos

Ao elipsóide de revolução se atribui a mesma massa da Terra incluindo a atmosfera, a mesma velocidade de rotação da Terra real

O elipsóide de revolução é definido por parâmetros geométricos e físicos:- a (semi-eixo maior)- GM (constante gravitacional geocêntrica)- (velocidade angular)- J2 (fator dinâmico de forma)


COORDENADAS GEODÉSICAS

Elipsóide ajustado às dimensões da Terra e devidamente orientado, torna-se um referencial adequado para a atribuição de coordenadas a pontos sobre a S.F.

Coordenadas geodésicas:P, P e hP

- Equador = plano XY

- Plano XZ está associado com o meridiano médio de Greenwich

- P é o ângulo entre a normal de P e o plano equatorial

- P é o ângulo formado entre o plano do meridiano de P e o meridiano de referência

- hP altitude geométrica ou elipsoidal é a distância do elipsóide de referência ao ponto, contada sobre a normal

- vantagens das coord. geodésicas: tem um sentido natural (sei onde estou); fácil visualização; iguais em P e P’ (bom para a Cartografia – representação)


Altitude elipsoidal: distância entre a projeção de P (P’) no elipsóide e o ponto P, situado na S.F. da Terra, contada sobre a normal

Altitude Elipsoidal(h) - PP’


Coordenadas cartesianas:XP, YP e ZP


Normal ao elipsóide

-Azimute geodésico: é o ângulo que a direção AB (geodésica da -Azimute geodésico: é o ângulo que a direção AB (geodésica da direção considerada) forma com o meridiano geodésico do ponto (A), direção considerada) forma com o meridiano geodésico do ponto (A), contado do Norte, por leste, no sentido horário. Varia de 0contado do Norte, por leste, no sentido horário. Varia de 0oo a 360 a 360oo

Azimute geodésico da direção AB (AzAzimute geodésico da direção AB (AzABAB) e o seu contra azimute (Az) e o seu contra azimute (AzBABA). Em ). Em Geodésia a diferença entre o azimute e o contra-azimute não é igual a Geodésia a diferença entre o azimute e o contra-azimute não é igual a 180º como acontece na Topografia, devido à convergência meridiana180º como acontece na Topografia, devido à convergência meridiana


Relacionamento entre coordenadas geodésicas e cartesianas

PPPPP hNX coscos)(

PPPPP hNY sencos)(

PP2

PP senhe1NZ

2/122 sen1 P

Pe

aN

2

2222 2

abaffe



32

32P

P cosaepbsen'eZarctan

P

PP X

Yarctan

PP

P Nph cos

pbaZ Parctan

2

222'

bbae

2P

2P YXp

SOLUÇÃO DIRETA


Relacionamento entre coordenadas geodésicas e cartesianas SOLUÇÃO ITERATIVA

2P

2P YXp

PP

P Ncosph

1

PP

P2PP hN

Ne1pZarctan

P

PP X

Yarctan



1 - O cálculo da longitude é direto

2 - cálculo de p através da fórmula

3 - cálculo de um valor aproximado para a latitude (0)

120 1arctan e

pZ P

2P

2P YXp



4 - cálculo de um valor aproximado para a grande normal (N0)

2/10

220sen1 e

aN

5 - cálculo da altitude geométrica (h)

00cos

Nph

6 - cálculo de um valor melhorado para a latitude

1

0

021arctanhN

Ne

pZ P

Pverificar se existe necessidade de

outra iteração, através da comparação entre os valores aproximado e melhorado da

latitude



EXERCÍCIO1 – Quais as coordenadas cartesianas do ponto P, cujascoordenadas geodésicas são as seguintes:

P = -28 14’ 11,8”P = -48 39’ 21,9”hP = 11,85m

OBS – utilizar os parâmetros do elipsóide Internacional 1980a = 6378137,0f = 1/298,257222101


1 – Tem sentido natural (sei onde estou)

2 – Fácil visualização

3 – São as mesmas para um ponto na superfície física e sua projeção no elipsóide

Vantagens das coordenadas geodésicas em relação às coordenadas cartesianas


As coordenadas geodésicas (latitude e longitude), bem como o azimute geodésico e a altitude elipsoidal são quantidades referidas a um modelo geométrico (elipsóide). Não dependem de situações físicas locais. No entanto, toda mensuração geodésica na Terra é sujeita ao campo da gravidade terrestre

Físico Geodésia Geométrico(Natural)(matemático/modelo)


COORDENADAS ASTRONÔMICAS

As coordenadas geodésicas são referidas a um modelo geométrico. No entanto, toda mensuração geodésica na Terra é sujeita ao campo da gravidade terrestre A gravidade terrestre num ponto é o efeito resultante da atração gravitacional da Terra sobre este ponto e o efeito da rotação terrestre (força centrífuga) Vertical em um ponto é a direção da tangente ao vetor gravidade neste ponto

As observações realizadas na superfície da Terra sofrem a influência do campo da gravidade terrestre por meio da vertical local

As coordenadas astronômicas estão relacionadas a vertical local – referencial natural associado ao observador


O sistema de coordenadas astronômicas foi utilizado no posicionamento e orientação dos referenciais geodésicos horizontais antes do advento do posicionamento por satélites, época em que não era possível obter coordenadas geocêntricas

Também é conhecido como “sistema de coordenadas naturais”, devido ao seu relacionamento com certas características físicas da Terra, como o campo da gravidade terrestre


- Zênite de P é a projeção de P na esfera celeste, segundo a vertical

- Meridiano celeste de P é determinado pelo plano que contém o eixo de rotação e o zênite do ponto

- AP é o arco de meridiano contado do Equador ao ponto

- AP é o arco de Equador contado da interseção do meridiano de referência até o meridiano do ponto


As coordenadas astronômicas são de difícil obtenção. Dependendo da precisão exigida, implicam em programas de observação bastante longos e de execução complexa

Estas coordenadas foram fundamentais na definição dos referenciais geodésicos clássicos

Praticamente inviáveis para o posicionamento na superfície física da Terra, principalmente porque necessita-se de uma grande densidade de pontos


As coordenadas astronômicas dependem da vertical dos pontos envolvidos

- i : deflexão ou desvio da vertical


Resultado da projeção da vertical e da normal de P na esfera celeste

Componente meridiana Componente primeiro vertical


Relacionamento entre coordenadas geodésicas e astronômicas

A

cos A

gcotAAA

sen. AAAA Componente meridiana Componente primeiro vertical

Equação de Laplace


GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE

Elipsóide de revolução: figura gerada pela rotação de uma elipse sobre seu eixo

Geometricamente definido por a e b

Geodésia: tradicionalmente a e f

Qualquer seção contendo o eixo Z é uma elipse (meridianos)

Qualquer seção perpendicular é um círculo (paralelos) cujo raio varia em função da latitude



abaf

2

2222

abaff2e

2

222

bba'e

a= semi-eixo maiorb= semi-eixo menorf= achatamentoe= primeira excentricidadee’= segunda excentricidade


Raio de Curvatura O raio de curvatura em um ponto é o inverso da curvatura:

1/ = s /

Raio de curvatura principal em um ponto A de uma superfície é a seção produzida por um plano normal à mesma, tal que o raio de curvatura correspondente seja o máximo ou o mínimo dentre todos os possíveis. Normalmente em uma superfície existirão duas seções principais


Raios de curvatura

2/1P

22Psene1

a'''P'PN

Grande normal(máx)

Seção meridiana(mín)

2/3P

22

2

Psene1

e1aM

- Pequena normal)e(N"P'P'N 21


Raios de curvatura

MNR

Raio médio de curvatura


Raios de curvatura

NAzsen

MAzcos

R

221

Fornece o raio de curvatura R de uma seção genérica com azimute Az

Teorema de Euler


Raio de paralelo que contém um ponto dado

cosNr

Teorema de Meusnier


Comprimento de um arco de elipse meridiana

...FsensenEsensenDsensen

CsensenBsensenAeaS

PQPQPQ

PQPQPQPQ

1011010

8188

6166

4144

21221 2

Os coeficientes A, B, C, D, E e F são tabelados ou calculados com base nos parâmetros do elipsóide de referência


Comprimento de um arco de elipse meridiana

...eE

...eeeD

...eeeeC

...eeeeeB

...eeeeeA

10

1086

10864

108642

108642

131072693

13107231185

2048315

51235

1638410395

40962205

256105

6445

6553672765

20482205

512525

6445

43

6553643659

1638411025

256175

6445

431


Exemplo: Para o elipsóide de referência 1967

mae

CBA

6378160006694609,0

0000106283,00050632825,00050526749,1

2


Área de um quadrilátero elipsóidico

2

5cos5sin'C3cos3sin'Bcossin'Ab2A mmm2

A’, B’ e C’ são tabelados ou calculados com base nos parâmetros do elipsóide de referência


Latitude Geocêntrica ()

tge1tg 2


Latitude Reduzida (u)

tge1tgu2/12


Seções Normais no Elipsóide

Determinada pela intersecção de um plano definido por uma normal em um ponto e um segundo ponto, com a superfície do

elipsóide



A seção normal resultante da interseção do plano que contém a normal de P1 e o ponto P2 com o elipsóide (linha azul) é chamada de seção normal direta em relação a P1 ou seção normal recíproca

em relação a P2



A seção normal resultante da interseção do plano que contém a normal de P2 e o ponto P1 com o elipsóide (linha vermelha) é

chamada de seção normal direta em relação a P2 ou seção normal recíproca em relação a P1



A seção normal direta do ponto mais ao Sul é a curva mais ao Sul


Seções Normais no Elipsóide casos de coincidência entre a direta e a

recíproca

Dois pontos com a mesma latitude


Seções Normais no Elipsóide casos de coincidência entre a direta e a

recíproca

Dois pontos com a mesma longitude


Linha Geodésica- é a menor distância entre dois pontos no elipsóide, contada sobre a superfície do elipsóide - é uma curva reversa (não está contida num plano) situada entre as seções normais dos dois pontos, aproxima-se da seção normal do ponto mais próximo


Linha Geodésica

Teorema de Clairaut

“O produto do seno do azimute da geodésica em um ponto pelo raio do paralelo deste ponto é uma constante”

Aspectos importantes para a solução do problema direto e inverso – transporte de coordenadas

tetancons...AsinrAsinr 2211


Linha Geodésica

Aproximação Esférica

Para s = 40km e Azimute de 45, tem-se um ângulo = 0,014” e uma abertura entre duas seções normais de d = 1mm

s12

s21

s d


Linha Geodésica

Aproximação Esférica

- Para distâncias de até 80km não se detecta diferença nos comprimentos das seções normais e da geodésica, assim pode-se tratar a geodésica como um arco de circunferência de raio:

Aproximação esférica de caráter local.

MNR


EXERCÍCIO1 – Para o ponto P de latitude P = -25 25’ 42,8737”, determinada no sistema geodésico SAD69, calcular:OBS – o sistema SAD69 utiliza como base o elipsóide de referência internacional 1967, com a = 6378160,0 m e f = 1/298,25

a) Primeira excentricidade ao quadradob) Semi-eixo menorc) Raio de curvatura da seção primeiro vertical ou grande

normald) Pequena normal ou raio de curvatura da seção meridianae) Raio médio de curvaturaf) Raio de curvatura de uma seção cujo azimute é 30g) Raio do paralelo que contém o pontoh) Segunda excentricidade ao quadradoi) Latitude geocêntrica


EXERCÍCIO1 – Para o ponto P de latitude P = -25 25’ 42,8737”, determinada no sistema geodésico SAD69, calcular:OBS – o sistema SAD69 utiliza como base o elipsóide de referência Internacional 1967, com a = 6378160,0 m e f = 1/298,25

a) Primeira excentricidade ao quadrado

2

2222 2

abaffe


EXERCÍCIO1 – Para o ponto P de latitude P = -25 25’ 42,8737”, determinada no sistema geodésico SAD69, calcular:OBS – o sistema SAD69 utiliza como base o elipsóide de referência internacional 1967, com a = 6378160,0 e f = 1/298,25

a) Primeira excentricidade ao quadrado

0066943800,0

257222101,2981

257222101,29812

2

2

22

2

2222

e

e

abaffe


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