8
56 Potencial eléctrico Observe en el ejemplo 2 que el potencial es constante dentro de la esfera conductora cargada; es decir. que es una región equi- potencial volumétrlca. fuera de la esfera tenemos superflcles equipotenciales, esto es, que a distancias radiales iguales del. centro de la esfera, el potencial es constante. 3.4. Cálculo del potencial para una distribución de carga. Para cal- cular el potencial de una distribución de carga discreta (cargas puntuales separadas) es necesario calcular el potencial de cada una de las cargas en el punto deseado y luego sumar algebrai- camente los potenciales. ya que el potencial es una cantidad es- calar. Para un sistema de N cargas discretas el potencial está ~x- presado por: N (3.6) V = 2- 4 'Ir E r. o 1= 1 t. donde q es cualquiera de las cargas y r representa la distancia 1 1 de dichas cargas al punto donde se desea calcular el. potencial. Para una distribución de carga continua, obtenemos el poten- cial con la siguiente expresión: v = 471"" o donde dq es un diferencial de carga (lineal, superficial o volu- métrico) . 3.5. Cálculo del campo eléctrico a partir del potencial. Para calcu- lar el campo eléctrico a partir del potencial en una región del espacio' donde el potencial está en función de la posición, ern- pleamos la ecuación 3.11 que establece que el campo eléctrico es igual a menos el gradiente del potencial, esto es: E =- V V =- (_8 - V (x, y, z) e + - 8 x x 8 --- V (x, y, z) {j +. 8 y y -8-8- V (x, y, . z) ez) z (3.11) (3.8) Problemas resueltos 57 Si el potencial es constante de la ecuación 3~11, notamos que el campo eléctrico es cero, recuerde que el potencial es escalar. 3.6. Energía y potencIal eléctrico. La energía potencial de un sis- tema de dos cargas, equivale al trabajo hecho para llevar Una carga qz desde el infinito a una distancia r de la otra carga q, que se obtiene de la definición del potencial eléctrico y está dada por la ecuación 3.12. esto es: qz ql qz V --------- 4 'Ir Eo rl2 (3.12) Para un sistema de más de dos cargas se suma alqebralca- mente la energía potencial de cada par de carqas por separado. La diferencia de potencial es comúnmente usada para acelerar partículas cargadas o desvlarlas en trayectorias' deseadas tal como se ilustra en los ejemplos 5 y 6 del texto. Al tener un dipolo eléctrico en un campo eléctrico, el dlpolo se somete a un momento de torsión provocado por las fuerzas eléctricas que ejerce el campo sobre las cargas y observamos que el momento es máximo cuando la dirección del momento del dípolo P forma un ángulo de 90 0 con el campo. Ves igual a cero, cuando P es paralelo al campo. El momento de torsión del di- polo está dado por la ecuación 3.15 T = P x E (3.15) 1; La energía potencial del dipolo en el campo eléctrico es igual al trabajo necesario para cambiar su orientación a cierta posición , . .deseada y está dada por la ecuación 3.17, esto es: . \ u ,-.J ,-.J U=-P.E (3.17) De esta ecuación deducimos que la energía del dipolo es má- xima cuando las direcciones del dipolo y el campo son paralelas y en sentidos contrarios, y cero cuando sus direcciones son per- pendiculares. Problemas resueltos Problema 3.1. Objetivos 1 y 2 Determine el potencial eléctrico en el punto A, producldo por las ';. cargas que se muestran en la figura 3.1, si la magnitud de q = 2 X 10- 6 coul y a = .5 m. 1>. i !

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Page 1: Potencial Electrico Guia de Estudio Cantu Problemas Resueltos

56 Potencial eléctrico

Observe en el ejemplo 2 que el potencial es constante dentrode la esfera conductora cargada; es decir. que es una región equi-potencial volumétrlca. fuera de la esfera tenemos superflclesequipotenciales, esto es, que a distancias radiales iguales del. centro dela esfera, el potencial es constante.

3.4. Cálculo del potencial para una distribución de carga. Para cal-cular el potencial de una distribución de carga discreta (cargaspuntuales separadas) es necesario calcular el potencial de cadauna de las cargas en el punto deseado y luego sumar algebrai-camente los potenciales. ya que el potencial es una cantidad es-calar. Para un sistema de N cargas discretas el potencial está ~x-presado por:

Nq¡

(3.6)V = 2-4 'Ir E r.

o 1= 1 t.

donde q es cualquiera de las cargas y r representa la distancia1 1

de dichas cargas al punto donde se desea calcular el. potencial.

Para una distribución de carga continua, obtenemos el poten-cial con la siguiente expresión:

v =471"" o

donde dq es un diferencial de carga (lineal, superficial o volu-métrico) .

3.5. Cálculo del campo eléctrico a partir del potencial. Para calcu-lar el campo eléctrico a partir del potencial en una región delespacio' donde el potencial está en función de la posición, ern-pleamos la ecuación 3.11 que establece que el campo eléctricoes igual a menos el gradiente del potencial, esto es:

E = - V V = - (_8 - V (x, y, z) e +- 8 x

x

8--- V (x, y, z) {j +.

8 yy

-8-8- V (x, y, .z) ez )

z

(3.11)

(3.8)

Problemas resueltos 57

Si el potencial es constante de la ecuación 3~11, notamos que elcampo eléctrico es cero, recuerde que el potencial es escalar.

3.6. Energía y potencIal eléctrico. La energía potencial de un sis-tema de dos cargas, equivale al trabajo hecho para llevar Unacarga qz desde el infinito a una distancia r de la otra carga q,que se obtiene de la definición del potencial eléctrico y está dadapor la ecuación 3.12. esto es:

qz qlqz V ---------

4 'Ir Eo rl2(3.12)

Para un sistema de más de dos cargas se suma alqebralca-mente la energía potencial de cada par de carqas por separado.La diferencia de potencial es comúnmente usada para acelerarpartículas cargadas o desvlarlas en trayectorias' deseadas tal comose ilustra en los ejemplos 5 y 6 del texto.

Al tener un dipolo eléctrico en un campo eléctrico, el dlpolose somete a un momento de torsión provocado por las fuerzaseléctricas que ejerce el campo sobre las cargas y observamosque el momento es máximo cuando la dirección del momento deldípolo P forma un ángulo de 900 con el campo. Ves igual a cero,cuando P es paralelo al campo. El momento de torsión del di-polo está dado por la ecuación 3.15 T = P x E (3.15)

1; La energía potencial del dipolo en el campo eléctrico es igualal trabajo necesario para cambiar su orientación a cierta posición

, . .deseada y está dada por la ecuación 3.17, esto es: .\u

,-.J ,-.JU=-P.E (3.17)

De esta ecuación deducimos que la energía del dipolo es má-xima cuando las direcciones del dipolo y el campo son paralelasy en sentidos contrarios, y cero cuando sus direcciones son per-pendiculares.

Problemas resueltos

Problema 3.1. Objetivos 1 y 2

Determine el potencial eléctrico en el punto A, producldo por las';. cargas que se muestran en la figura 3.1, si la magnitud de q = 2

X 10-6 coul y a = .5 m.

1>.

i!

Page 2: Potencial Electrico Guia de Estudio Cantu Problemas Resueltos

58 Potencial eléctrico

luclón:

Aplicando la ecuación 3.6:

4q------/'/'

//

a

2q -3q

a

A

Figura 3.1

n n

V :¿ V, = :¿ q¡

i = I 4 1T e r.C) i = I I

Para este caso:

v = (~+q2

+ ~)A 4 1T Eo '1 '2 r,

como: ql = 2q, q2 = 4q, q¡ - 3q'1 = '2 = r¡ = a

y

Obtenemos que:

V =A

a

4q ~)1

----(3q)4 1T~ e a

o

Problemas resueltos 59

Sustituyendo valores:

V A = 1.08 X 105 volts

Problema 3.2. Objetivos 1 y 3

Determine el potencial eléctrico en el punto A localizado en elcentro del anillo de radio "a", que tiene una distribución de cargapositiva y negativa .\ como se muestra en la figura 3.2.Solución:

El potencial en el punto A será igual al potencial producidopor la distribución de carga (+). más la producida por la car-ga (-).

V A = V A (q+) + VA (q-)

de la ecuación 3.8:

V f dqdonde , = e t e = a

4 1T e o r

Como dq = .\ dIy dI :::: a d ()

+ + + + A+dq+ +++ + +

+ + ++ + (}O ++ a -~ + +-,+ /C/---,.- + A -,

¡++ // 120° _ ""+ /-,

2400

Figura, 3.2

Page 3: Potencial Electrico Guia de Estudio Cantu Problemas Resueltos

60 Potencial eléctrico

Sustituyendo en la ecuación 3.8obtenemos que:

4/3 Tf

f .\. a d BVA (q+)o

Integrando y evaluando.'-

A a4/37r

J d s =o

[ J 4/371'

--4-71'-e- e o

4_____ (-- 71')

4 71' e 3o

V (c+) =A

El procedimiento es similar para determinar el potencial de la "carga negativa, de la ecuación 3.8. t

VA (q~) = f (- dq)donde r

4 7rea

or

Como dq = A dI = A ad O

entonces2/3,Tf

VA (q-) = I A ad B4 7r e a

o o

Integrando y evaluando.

2/3 tt- A a f d O4 7r e ao o

A &f"4 7r eo - <>

=

4 7r eo

Problemas resueltos 61

2(--71') =

3

A

6 eo

Para obtener el potencial resultante sumamos algebraicamentelos potenciales obtenidos, esto es.

AV =-

A 3 e-o

A= -(1

3 e o

1-)

2

.¡ Un cascarón hemisférico de radio a, está cargado uniformemen-í te. Calcule el potencial eléctrico en el centro de curvatura. FI-

gura 3.3.

Solución:

6 eo

Problema 3.4. Objetivo 3

De la _ecuación 3.8 tenemos que:

J dq

r

Si tomamos un dq en la figura, vemos que en cualquier partede la superficie que lo tomemos r = a, entonces:

f dq

donde dq = (J ds

y como o es constante

Entonces:

o f ds

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62 Potencial eléctrico

dq

-----

Figura 3.3

Obteniendo que:

aAVA = -----

4 7r eo a

donde A es el área total de la superficie del hemisferio, .esto es:ru

A =2

Sustituyendo y simplificando, obtenemos que:

aVA = ---------

4 tt e ao

aa2 e

o

Problema 3.5. Objetivo 4

Calcule el trabajo que realiza una fuerza externa al mover una '

carga de +5 X 10-6 coul en un campo eléctrico dado por E =(2x) {j x desde una posición de XI = 5 m a X2 = 2 m figura 3.4.

Solución:

Problemas resueltos 63

EtIí

----~--+-----+---------------~~~--------xx~ x,

Figura 3.4

El trabajo hecho sobre la carga, se define por la siguienteexpresión:

w = J .F. dt,-J ,-J

como dI = - dx entonces:

w = - fDe la ecuación 1.11: F

x

F d cos 1800

x x= - qE

x

entonces:

,.'.

w =' q.J Ex dx

2 ~t-:qxI= q f 2x dx5

Evaluando y sustituyendo datos:

w = 10.5 X 10-5 joules

Problema 3.6. os¡ tlvo 3 y 5

Un anillo de rodl n, n I pl n xy ti no una densidad de cargaA corn O J11LI srrn (11 1/1 flllllll:1 .. tI) el " el poten ial paracualqul r punto I ni I( (1 (J( d( 1" l. l) "d(:,II el e rnp eléctrlco pnrt! d( I pOle /1(,1,1.

Solu I 11:

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64 Potencial eléctrico

zy

x

Figura 3.5

A partir de la ecuación 3.8, tenemos que:

dq

J ry 4 7r I!

o

De la figura 3.5 vemos que:

r = ..¡ e' + Z2

como dq = A d I

donde: dI = ad8

entonces: dq = A ad8

sustituyendo en la ecuación 3.8, integrando y evaluando:

v f A ad 8=

4 tr I! o ,v' a2 + Z2

A a J2n4 7r s

..¡ a2d 8

o + Z2o

Problemas resueltos 65

>. a1/

o

A a 2 7r

=

Obtenemos:

Paraobtener el campo eléctrico, usamos la ecuación 3.11 en coor-denadas esféricas y en función únicamente de z, esto es.:

ovoz

,....,E = e x

Derivando el potencial con respecto a z, obtenemos el campoeléctrico para puntos sobre el eje z.

Problema 3.7. Objetivos 2 y 6

Dadas tres cargas de 20, 30 Y 40, donde colocaría las cargaspara que el potencial sea máximo y mínimo en el punto e, la

r~il I a ., a---6cfA OBr,"

,',i ain OF Oc

Figura 3.6

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66 Potencial eléctrico

distancia entre las posiciones es a. En la figura 3.6. Determine laenergfa potencial del arreglo cuando el potencial es mínimo res.pecto al punto C.

Solución:

De la ecuación 3.6 tenemos que:

n1

V = ¡4 7re

o i= 1

de esta ecuación observamos que para obtener un potencial má-ximo debemos colocar las cargas mayores lo más próximo delpunto C, o sea que 30 y 40, deben colocarse indistintamente enB o G y 20 en F, Yd que el potencial es directamente proporcionala la carga e inversamente a la distancia.

Entonces:

V + 30a

. 20 ]+ y2~

Para obtener el mmrrnn potencial las mayores cargas deben co-locarse lo más alejado posible (en el infinito el potencial es cero),entonces, 40 se coloca en la posición D (r = v-s8) 30 en A(r = 2a) y 20 en F (r = V28) de donde:

. 1 r 40r Da + 20 l-I2aJ

30

2aV=----

4 11. Eo + ----

Para determinar la energía potencial del arreglo cuando el po-tencial es mfnimo respecto al punto c. Usamos la ecuación 3.12para tres cargas, esto es:

u = UAD + UAF + UDF

U= + + _4 7r e arAD 4 7r e a r AF 4 7r eo rDF

Problemasresueltos 67donde: q = 20

F

y: ./--::1 .y AD = a , r AF = v 2a, r FD = a

Sustituyendo obtenemos que la energía potencial del arreglo es:

12 02 6 02 8 02U = + +4 7re a 4 tr e a (Ra) 4 tt ea 8o

o

Problema 3.8. Objetivo 3

Calcule el potencial eléctrico para puntos sobre el ej~ de ~n dis-co cargado uniformemente de radio b y tiene un agujero circular

~ de radio a. Figura 3.7.

Solución:

De la ecuación 3.8:

dqV =

-47r-e!o r

ds

~L++'-U-I- -- -_

Figura 3.7

Si tomamos un dq n formo do 011111. ltuado a una distancia "y"del centro del di co, nt 11(.1 :

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68 Potencial eléctrico

"x" es la distancia del punto en el eje al centro del disco.Como dq = a ds y ds = 2 "Ir Y d Y ~ dq = a . 2 "Ir Y d Y

Sustituyendo en la ecuación 3.8. nos queda que:

v = ---- . f a . 2 "Ir Y dy

vi + x24 "Ir eo

b2 n' a y dyf=4 "Ir e

oa

Intogrando y evaluando.

v = Jb (y2 + X2) -1/2 y dy2 e

o 8

a i -+ Dy2B 1/2 b= + X2)2 e 8o

Obtenemos:

V = a [w + X2) I/~---2 e o

- ~a2 + X2) 1/2J

Problema 3.9. Objetivos 7 y 8

Se lanzan partículas beta c;electrones) con una velocidad de 5.x 106 m/seg., a una región del espacio donde existe un campoeléctrico de 1 cm. de espesor, con una densidad de 1O ~ voltsl m.Determine la desviación al salir del campo eléctrico, figura 3.8.

Problemas resueltos 69

Vx=Cte

x

1.•..~--l.cm---~1

Figura 3.8

";,,Solución:

Para calcular el desplazamiento en y, utilizaremos la ecua-ción del desplazamiento, en un movimiento uniformemente acele-rado, esto es:

1y=V t +--·a e

ay 2 y

de esta ecuación notamos que la velocidad inicial en "y" es cero,y nos falta por determinar t. Como la partícula no experimentafuerza en el eje de las "x", entonces:

xVox =

t

de donde: t = ---x

~x

Tiempo que la partícula está acelerándose en el eje de las y.~',i Para obtener la aceleración en y, primero determinamos la

I . fuerza del campo eléctrico, esto es:

F = q E y = ma y

de donde: a =m I

. ¡

I

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70 Potencial eléctrico

de la ecuación d~1 desplazamiento, tenemos que:

y = 1/2 a t2y

Sustituyendo los valores obtenidos para la aceleración y el tiem-po, calculamos la desviación que sufre la partícula.

y 1

2

y = ~ (1:6. X

(0.01 m )

5 X 106 m/seg

10~9 coul X 10' vOlts/m)9.11 X 10-31 kg

de donde: y = 3.5 X 10-3 m

Problema 3.10. Objetivo 9

Calcule:. a) la energía potencIal de un dipolo eléctrico dado porr-' A A

P = - 2/ + 3k coul-m, En un campo eléctrico E = 5i + 2j Nt/coutb) El momento de torsión T que produce el campo eléctrico so-bre el dlpolo.

Solución:

De la ecuación 3.17 calculamos la energía potencial, esto es:

.Sustituyendo datos, obtenemos que:'" "" ••• A

U=<- (- 2i + 3k) . (5/ + 2j) Nt-mU = .10 joules

Para calcular T usamos la ecuación 3.15:

r-' r-'T=PXE

Sustituyendo datos:

"

T ~ (- 2i + 3k) x (si + 2il Nt-m

Resolviendo por determinantes:

Problemas resueltos 71

r-J

T =

r-J

T =

II

" "i J k

" "4k Nt-coul2 O 3 6i + 15j -

5 2 O

-6/ + 15j 4k Ns-coul