5910233 – Física III (teórica) – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque – Aula 8

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Potencial Elétrico

Quando estudamos campo elétrico nas aulas passadas, vimos que ele

pode ser definido em termos da força elétrica 𝐹 que uma carga q

exerce sobre uma carga de prova q0. Essa força é, pela lei de

Coulomb,

𝐹 =1

4𝜋𝜀!𝑞𝑞!𝑟!

𝑟,

e dividindo-se pela carga de prova q0 temos o campo elétrico 𝐸:

𝐸 =1

4𝜋𝜀!𝑞𝑟!𝑟.

Note que a força elétrica é um conceito associado à carga que sente

a força (q0) e à carga (ou cargas) que produz (ou produzem) a força,

q (ou q1, q2, etc). Já o campo elétrico é um conceito associado

apenas à carga (ou cargas) que produz (ou produzem) o campo. O

campo elétrico gerado por uma distribuição de cargas num dado

ponto do espaço existe nesse ponto mesmo que não seja colocada

nenhuma carga de prova nele.

Da mesma forma, o conceito de energia potencial elétrica

introduzido na aula passada está associado à carga de prova q0 e às

cargas que fazem forças sobre ela. A equação (10) da aula passada é:

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𝑈 =𝑞!4𝜋𝜀!

𝑞!𝑟!.                                                                                    (1)

𝑵

!!!

Assim como no caso do campo elétrico, podemos definir uma nova

grandeza a partir de U que não dependa da carga de prova q0 (basta

dividir por q0). Esta nova grandeza é chamada de potencial elétrico

V:

𝑉 =1

4𝜋𝜀!𝑞!𝑟!.                                                                            (2)

𝑵

!!!

Podemos dizer então que uma distribuição de cargas gera num dado

ponto do espaço P um potencial elétrico cujo valor é igual ao da

energia potencial elétrica associada a essa distribuição de cargas e a

uma carga de prova q0 colocada em P dividido por q0:

𝑉 =𝑈𝑞!            ou          𝑈 = 𝑞!𝑉.                                                                  (3)

Pela equação acima, vemos que a unidade do potencial elétrico é

J/C. Esta unidade é chamada de volt (símbolo V) em homenagem ao

físico italiano Alessandro Volta (1745-1827), inventor da primeira

pilha elétrica.

O potencial elétrico também pode ser definido em termos do

trabalho para levar uma carga q0 de um ponto a a um ponto b (veja a

figura abaixo).

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Como U = q0V, ΔU = q0ΔV. Logo,

𝑊!→! = −𝑞!Δ𝑉

e 𝑊!→!

𝑞!= − 𝑉! − 𝑉! = 𝑉! − 𝑉! ≡ 𝑉!" .                                            (4)

Define-se:

Va = potencial no ponto a e Vb = potencial no ponto b;

Vab = Va − Vb = potencial de a em relação a b.

Pode-se usar (4) para definir Vab como o trabalho feito pela força

elétrica quando uma carga unitária (q0 = 1) se desloca de a para b.

Potencial de uma carga puntiforme

Quando há apenas uma carga puntiforme q no espaço, o potencial

elétrico gerado por ela em um ponto a uma distância r do seu centro

(veja abaixo) é, pela equação (2):

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4

𝑉 𝑟 =1

4𝜋𝜀!𝑞𝑟.                                                                                    (5)

Portanto, se q > 0, V > 0 em todos os pontos do espaço e, se q < 0, V

< 0 em todos os pontos do espaço. Independentemente do sinal da

carga q, quando r → ∞, V → 0.

Potencial de um conjunto de cargas

Pelo princípio da superposição, o potencial elétrico gerado por um

conjunto de cargas puntiformes em um dado ponto P do espaço

(veja a figura abaixo) é dado pela soma dos potenciais gerados por

cada carga individualmente:

𝑉 =1

4𝜋𝜀!𝑞!𝑟!  .                                                                                (6)

!

!!!

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Se, ao invés de um conjunto de N cargas puntiformes, tivermos uma

distribuição contínua de cargas (veja abaixo) o potencial elétrico

será dado por:

𝑉 =1

4𝜋𝜀!𝑑𝑞𝑟  .                                                                              (7)

Relação entre V e E

Pela definição de trabalho,

𝑊!→! = 𝐹 ∙ 𝑑ℓ𝓁!

!= 𝑞!𝐸 ∙ 𝑑ℓ𝓁  .

!

!

Portanto, de (4) temos:

𝑉!" = 𝑉! − 𝑉! =𝑊!→!

𝑞!= 𝐸 ∙ 𝑑ℓ𝓁

!

!.                                              (8)

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A equação (8) estabelece uma maneira de relacionar V e 𝐸: O

potencial de a em relação a b é igual à integral de linha do campo

elétrico 𝐸 de a para b. Como a força elétrica é conservativa, essa

integral independe da trajetória.

De (8) temos que:

Quando 𝐸 ∙ 𝑑ℓ𝓁!! > 0⟹ 𝑉! − 𝑉! > 0⟹ 𝑉! > 𝑉! . (V diminui de a para b)

Quando 𝐸 ∙ 𝑑ℓ𝓁!! < 0⟹ 𝑉! − 𝑉! < 0⟹ 𝑉! < 𝑉! . (V cresce de a para b)

Para entender melhor esta relação entre V e 𝐸, consideremos o caso

de uma carga puntiforme.

a) Carga puntiforme positiva:

A integral 𝐸 ∙ 𝑑ℓ𝓁!! entre a e b é (note que 𝐸 = 𝐸(𝑟)𝑟 e

𝑑ℓ𝓁 = 𝑑𝑟𝑟):

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𝐸 ∙ 𝑑ℓ𝓁!

!= 𝐸 𝑟 𝑑𝑟𝑟 ∙ 𝑟

!

!= 𝐸 𝑟 𝑑𝑟

!

!=

14𝜋𝜀!

𝑑𝑟𝑟!

!

!

=1

4𝜋𝜀!1𝑟!−1𝑟!

.

Como ra < rb, 1/ra > 1/rb e a integral é positiva. Isto quer dizer que

𝑉! − 𝑉! > 0      ou      𝑉! > 𝑉!.

O potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme positiva

diminui quando nos afastamos da carga.

Em outras palavras:

O potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme positiva

diminui quando nos movemos no mesmo sentido do campo elétrico.

b) Carga puntiforme negativa:

Neste caso, a integral 𝐸 ∙ 𝑑ℓ𝓁!! entre a e b é !

!!!!

!!!− !

!! < 0

(mostre como exercício). Portanto:

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𝑉! − 𝑉! < 0      ou      𝑉! < 𝑉!.

O potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme negativa

aumenta quando nos afastamos da carga.

Em outras palavras:

O potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme negativa

diminui quando nos movemos no mesmo sentido do campo elétrico.

Note que as conclusões obtidas para o que acontece com o potencial

elétrico quando nos movimentamos no sentido do campo elétrico

são as mesmas nos dois casos. Esta é uma regra geral que relaciona

o potencial elétrico ao campo elétrico:

O potencial elétrico V diminui quando o movimento se dá no

mesmo sentido do campo elétrico 𝑬.

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O potencial elétrico é uma grandeza tão importante em eletricidade

que é costume medir outras grandezas em termos da unidade de V

(volt).

Por exemplo, costuma-se dar o valor do campo elétrico em

volts/metro (V/m) ao invés de em newtons/coulomb (N/C):

1 V/m = 1 N/C.

Como outro exemplo, costuma-se medir energia em termos da

variação da energia potencial elétrica que um elétron sofre quando

se move por uma diferença de potencial de um volt.

Imagine uma situação como a ilustrada abaixo em que um elétron se

move entre dois pontos a e b com uma diferença de potencial entre

eles igual a 1 volt:

O trabalho da força elétrica sobre o elétron é:

𝑊!⟶! = −Δ𝑈.

De (4), temos também que:

𝑊!⟶! = 𝑞! 𝑉! − 𝑉! .

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Combinando essas duas expressões:

−Δ𝑈 = 𝑞! 𝑉! − 𝑉! .

Fazendo q0 = −e = −1,602 × 10−19 C e (Va − Vb) = 1 V:

ΔU = (1,602 × 10−19 C)(1 V) = 1,602 × 10−19 J.

Esta quantidade é definida como elétron-volt (eV):

1 eV ≡ 1,602 × 10−19 J. (9)

O elétron-volt é uma unidade de energia muito usada,

principalmente em física de partículas elementares.

Cálculo do potencial elétrico

Em geral, há duas maneiras de se calcular o potencial elétrico:

• Quando se conhece a distribuição de cargas, usa-se a equação

(6) ou a (7) para calcular V.

• Quando se conhece o campo elétrico, usa-se a equação (8) para

calcular V. Neste caso, note que a equação dá Va − Vb e

costuma-se escolher o ponto b como um ponto onde o

potencial vale zero. Essa escolha é arbitrária e depende do

problema.

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Para ilustrar o segundo método, vamos calcular o potencial em um

ponto a a uma distância r de uma carga puntiforme q (veja abaixo):

De (8) temos:

𝑉!" = 𝑉! − 𝑉! =𝑊!→!

𝑞!= 𝐸 ∙ 𝑑ℓ𝓁

!

!= 𝐸 𝑟 𝑑𝑟.

!

!

Neste caso, o potencial vale zero no infinito, portanto podemos fazer

b = ∞. Logo, Vb = 0 e então:

𝑉! − 𝑉! = 𝑉! = 𝐸 𝑟 𝑑𝑟.!

!

O cálculo da integral nos dá:

𝐸 𝑟 𝑑𝑟!

!=

𝑞4𝜋𝜀!

𝑑𝑟𝑟!

=!

!

𝑞4𝜋𝜀!

−1∞− −

1𝑟

=𝑞

4𝜋𝜀!1𝑟,

e então:

𝑉! = 𝑉 𝑟 =1

4𝜋𝜀!𝑞𝑟.

Este é o mesmo resultado que já tínhamos obtido anteriormente

(equação 5), só que agora utilizamos o método da integral do campo

elétrico.

Estude os exemplos de 23.4 a 23.7 do livro de Young & Freedman

indicado no Roteiro.

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Superfícies equipotenciais

Uma maneira conveniente de representar os potenciais elétricos em

diversos pontos do espaço onde há um campo elétrico é pelo uso das

chamadas superfícies equipotenciais.

A ideia é a mesma das linhas de contorno dos mapas topográficos.

As linhas de contorno em um mapa topográfico indicam pontos que

estão à mesma altitude (veja a figura abaixo).

Uma superfície equipotencial é uma superfície sobre a qual o

potencial elétrico tem o mesmo valor. O potencial é constante sobre

uma superfície equipotencial.

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As figuras 23.24 e 23.25 do livro de Sears e Freedman mostram

alguns exemplos de superfícies equipotenciais. Pode-se também ver

muitos exemplos na internet (faça uma busca com as expressões

“superfície equipotencial” ou “equipotential surface” no Google).

Observe que as superfícies equipotenciais nunca se cruzam. Isto

ocorre porque um ponto não pode ter dois valores diferentes de

potencial.

Quando uma carga elétrica q0 se desloca sobre uma superfície

equipotencial, a energia potencial elétrica U = q0V permanece

constante. Como a energia potencial não varia ao longo de uma

superfície equipotencial, o campo elétrico não realiza trabalho sobre

a carga q0 quando ele se move sobre essa superfície. Portanto, 𝐸

deve ser perpendicular à superfície equipotencial em todos os seus

pontos.

As superfícies equipotenciais e os vetores campo elétrico são sempre

mutuamente perpendiculares.

Observe que as figuras 23.24 e 23.25 do livro de Young e Freedman

também mostram as linhas de campo elétrico. Note que elas são

sempre perpendiculares às superfícies equipotenciais.

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A figura abaixo ilustra o caso de um campo uniforme no interior de

duas placas condutoras planas e carregadas com mesma carga, mas

de sinais diferentes. O campo elétrico no interior das placas é

uniforme e perpendicular às placas. As superfícies equipotenciais

são planos perpendiculares às linhas de campo (paralelas às placas).

Vimos nos exercícios da aula 6 que o campo elétrico é perpendicular

à superfície de um condutor em equilíbrio eletrostático.

Portanto, no equilíbrio eletrostático a superfície de um condutor é

uma superfície equipotencial.