Potensial Tangga

Andri S. Husein

Department of Physics, University of Sebelas MaretTugas Mekanika Quantum

13 April 2012

1 Introduction

Potensial tangga didefinisikan dengan:

V (x) =

{0 untuk x<0

V0Θ(x) untuk x>0

(1)

dengan

Θ(x) =

{0 untuk x<0

1 untuk x>0

(2)

Fig.1. Potensial Tangga.

2 Result and Discussion

Persamaan Schrodinger untuk potensial tangga di mana besarnya energi E yang melintasipotensial lebih kecil dari energi potensial tangga V0, seperti tampak dalam Fig.(1), makauntuk daerah II, x > 0 berlaku :

1

− h̄2

2m

d2ψ(x)

dx2+ V0ψ(x) = Eψ0 (3)

d2ψ(x)

dx2− 2m

h̄2

[V0 − E

]ψ(x) = 0

Memiliki solusi umum:

ψ2(x) = Cek2x +De−k2x = De−k2x, dengan k22 =

2m

h̄2 (V0 − E) > 0 (4)

Nilai C menghilang oleh karena syarat batas pada saat x → ∞ harga eksponen positifnyamenuju tak hingga, dan tidak diperbolehkan. Sedangkan untuk wilayah I, x < 0, V (x) = 0,maka:

d2ψ1(x)

dx2+

2m

h̄2 Eψ1(x) = 0 (5)

Memiliki solusi umum,

ψ1(x) = Aeik1x +Be−ik1x, dengan k21 =

2m

h̄E (6)

Suku Aexp(ikx) dalam Eq.(6) merupakan gelombang periodik yang merambat ke kanan(gelombang datang) dan suku Bexp(−ikx) adalah gelombang periodik yang merambat ke kiri(gelombang pantul). Dengan menerapkan syarat batas antar dua kawasan (di titik x = 0),

ψ1(0) = ψ2(0)

diperoleh :

A+B = D (7)

dan

dψ1(0)

dx=dψ2(0)

dx

diperoleh :

ik1A− ik1B = k2D (8)

Nilai B dapat di eliminasi dari Eq.(7) dan E.(8) dengan mengalikan Eq.(7) dengan ik, dandiperoleh :

2ik1A = D(ik1 − k2)

atau

D =2ik1

ik1 − k2

A =2k2

k1 + ik2

A (9)

Sehingga nilai B adalah,

2

B = D − A = A( 2ik1

ik1 − k2

− 1)

atau

B = A(k1 − ik2

k1 + ik2

)(10)

Dengan mensubstitusikan nilai B dan D ke dalam Eq.(4) dan Eq.(6) maka diperoleh :

ψ1(x) = A(eik1x +

ik1 + k2

ik1 − k2

e−ik1x)

(11)

ψ2(x) =2ik1A

ik1 − k2

e−k2x (12)

Bila didefinisikan T =∣∣∣DA ∣∣∣2 =

4k21k21+k22

6= 0 yang sebanding dengan fluks partikel yang di trans-

misikan, dan R =∣∣∣BA ∣∣∣2 = 1, yang sebanding dengan fluks partikel yang direfleksikan. Dari

harga R = 1 menunjukkan bahwa semua gelombang yang datang dipantulkan secara sem-purna. Namun karena T 6= 0 maka ada gelombang atau fluks partikel yang menerobos dindingpotensial bila di dalamnya potensial tangga V0 ≤ 1

k2. Namun tidak ada fluks arus partikel

yang melewati daerah II (x > 0) karena R = 1 atau karena j2 = h̄2im

(ψ∗

2∇ψ2 −∇ψ∗2ψ2

)= 0.

TugasTunjukkan dari Eq.(11), (12) bahwa fungsi gelombang yang diperoleh dari penyelesaian diatas sebanding dengan :

d2ψ1(x)

dx2+

2m

h̄2 Eψ1(x) = 0

ψ1(x) = Aeikx +Be−ikx, dengan k2 =2m

h̄2 E (13)

Fig.2. Potensial Tangga.

Untuk daerah II, x > 0, ψ2(x) = Ceiqx + De−iqx, dengan q2 = 2mh̄2 (V0 − E). Karena pada

daerah II hanya ada arus partikel yang mengalir ke kanan, maka,

ψ2(x) = Ceiqx (14)

3

Bentuk umum penyelesaian nya dapat dinyatakan sebagai :

ψ(x) = ψ1(x)Θ(−x) + ψ2(x)Θ(x) (15)

Dengan menerapkan syarat batas antara wilayah di titik x = 0 diperoleh,

ψ1(0) = ψ2(0) sehingga A+B = C (16)

dψ1(0)

dx=dψ2(0)

dxsehingga ikA− ikB = iqC (17)

Dengan mengalikan Eq.(16) dengan ik, maka dari Eq.(16) dan Eq.(17) dapat di peroleh2ikA = i(k + q)C, atau

C =2kA

k + q(18)

B = C − A =2kA

k + q− A =

(k − qk + q

)A (19)

Intepretasi secara fisis tentang hubungan antara arus partikel datang, yang direfleksikan dandi transmisikan, kita bisa mengaplikasikan rapat arus (fluks partikel) pada daerah I dan IIdan dengan menggunakan Eq.(13) dan (14) :

j1 =h̄

2iM

(ψ∗

1∇ψ1 −∇ψ∗1ψ1

)(20)

dan

j2 =h̄

2iM

(ψ∗

2∇ψ2 −∇ψ∗2ψ2

)(21)

Dengan mensubstituskan Eq.(18) dan (19) ke dalam Eq.(13) dan (14) dan kemudian keduanyadi substitusikan ke Eq.(20) dan (21) akan diperoleh hasil :

j1(x) =h̄k

M

(1−

∣∣BA

∣∣2) (22)

j2(x) =h̄q

M

(∣∣CA

∣∣2) (23)

4