POTENTIAL FLOW THEORY

             Definition: Potential Flow describes the velocity field as the gradient of a scalar function i.e. the velocity potential. As a result, a potential flow is characterized by an 

irrotational velocity field. The irrotationality of a potential flow is due to the curl of a 

gradient always been zero.   

           Important Cases of Potential Flow: 

a) Uniform flow                                                              b)  Source flow 

c)  Sink flow            d) Doublet 

e) Superimposed flow          f)Flow over a cylinder 

 

a) Uniform Flow:

                               In a uniform flow, the velocity remains constant. All the fluid particles are moving with same velocity. The uniform flow may be: 

    

 

 

 

 

              Let   U=Velocity which is uniform or constant along x‐axis 

                       u and v=Components of uniform velocity U along x and y axis. 

For the uniform flow, parallel to x‐axis, the velocity components u and v are given as 

                      u=U and v=0                                         ‐ (i) 

But the velocity u in terms of stream function is given by, 

             u=         

 And in terms of velocity potential the velocity u is given by, 

             u=                                                   

             u=  =                   ‐ (ii) 

Similarly it can be shown that v=‐  =     ‐ (iii) 

But u=U from eqn (i). Substituting u=U in eqn (ii), we have  

  ∴     U=   =           (IV) 

                 U=    and also U=           

 First part gives     whereas second part gives dϕ= Udx 

Integration of these parts gives as  

      Ψ=Uy+C1 and ϕ=Ux+C2 

    Where C1 and C2 are constants of integration. 

Now let us plot the stream lines and potential lines for uniform flow parallel to x‐axis 

Plotting of Stream lines: For stream lines, the equation is 

                          Ψ=U×ψ+C1 

Let ψ=0, where y=0. Substituting these values in the above equations, we get 

                                           0=U×0+C1 or C1=0 

    Hence the equation of stream lines becomes as  

                        Ψ=U.y    ‐ (v) 

     The stream lines are straight lines parallel to x‐axis and at a distance y from the x‐axis 

as shown. 

                  

  

               

                 

                 

                 

                 

                 

                 

                 

                 

                 

                 

In equation (v), U.y represents the volume flow rate (i.e. m3/s) between x‐axis and the 

stream line at a distance y. 

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6 8

Ψ5

Ψ1

Ψ2

Ψ3

Ψ4

Plotting Of Potential Lines: For potential lines, the equation is  

                                                 Φ=U.x+C2    (VI) 

Let ϕ=0, where x=0. Substituting these values in the above equations, we get C2=0. 

Hence equation of potential lines becomes as  

               Φ=U.x 

The above equation shows that potential lines are straight lines parallel to y‐axis and at 

a distance x from y‐axis as shown in fig

 

 The fig 2 

   

Shows the plot of stream lines and potential lines for uniform flow parallel to x‐axis. The 

stream lines and potential lines intersect each other at right angles. 

A matlab image for uniform flow 

0

1

2

3

4

5

6

7

0 2 4 6

Φ3

Φ4

Φ5

Φ1

Φ2

0

1

2

3

4

5

6

7

0 2 4 6 8

Series1

Φ1

Φ2

Φ3

Φ4

Ψ1

Ψ2

 

Source moving o

in which

strength

strength

 Let ur=r

                 

      

The radi

    

    

decrease

approxim

uϴ=0. 

Let us kn

source fl

function

and Sink Fout radially

h the point O

h of a source

h of source is

radial veloci

    q=volum

     r=radius

ius velocity 

ur=

The a

es. And at a 

mately equa

now find the

low. As in th

 will be obt

Flow: The sy in all direct

O is the sour

e is defined 

s m3/s.It is 

ity of flow a

me flow rate 

s 

ur at any ra

                     

above equat

large distan

al to zero. Th

e equation o

his case, uϴ=

ained from 

ource flow i

tions of a pl

rce from wh

as the volum

represented

at a radius r 

per unit de

adius r is giv

       ‐ (i) 

ion shows t

nce away fro

he flow is in

of stream fu

=0, the equa

ur. 

is the flow c

lane at unifo

hich the flui

me flow rate

d by q. 

from the so

pth 

ven by, 

that with th

om the sour

n radial dire

unction and 

ation of stre

coming from

orm rate. Fi

d moves rad

e per unit d

ource O 

e increase o

rce, the velo

ection, henc

velocity po

am function

m a point (so

ig shows a s

dially outwa

depth. The u

of r, the radi

ocity will be

ce the tange

otential func

n and veloci

 

ource) and 

source flow 

ard. The 

unit of 

ial velocity 

e 

ntial velocit

ction for the

ity potentia

ty 

e 

l 

 

   

Equation of Stream Function:

      By definition, the radial velocity and tangential velocity components in terms of 

stream function are given by 

          ur=1

 and uϴ= ‐  

   But,    ur=2 

      ∴       = 2 

 Or     dψ= r.  2 . dϴ     = 

2dϴ 

Integrating the equation wrt  , we get  

     Ψ=2  +C1 , where C1 is a constant of integration. 

Let Ψ=0, when  = 0, then C1=0. 

Hence the equation of stream function becomes as  

      Ψ=2.   

In the above equation, q is constant. 

The above equation shows that stream function is a function of ϴ. 

 

Equation of Velocity Potential: 

      Now consider a length in the radial direction  

      ds = dr 

  At radius r the velocity potential is defined as  

 

       dϕ=Vrdr 

 This becomes   d= 2dr   for source 

       d=‐2dr  for sink 

To find the expression for a length of one radius, we integrate with respect to r 

       =2 lnr    for source 

                                         − 2 lnr   for sink 

 

Doublet:

    A doublet is formed when an equal source and a sink are brought close 

together. Consider a source and sink of equal strength placed at A and B respectively.  

The stream function for point P relative to A and B are respectively.

 

     B= 2     for the source 

  ΨA= ‐2   for the sink 

        ΨP= ψA+ψB = 2(2‐1) 

Referring to the diagram, 

tanϴ1=    , tanϴ2=  

Tan (ϴ2‐ ϴ1) =ϴ2 − tanϴ1

1 tanϴ1 ϴ2 

Tan (ϴ2‐ ϴ1) =( )

1+x2− 2

 

Tan (ϴ2‐ ϴ1) =2b

x2+y2 

 

As b tends to zero, b2 tends to zero and the tan of the angle becomes the same as the 

angle itself in radians  

(ϴ2‐ ϴ1)= 2b

x2+y2 

ΨP=2 2b

x2+ 2  

When the source and sink are brought close together we have DOUBLET but b remains 

finite. 

Let B=     ψ= 2+ 2 

Since y=rsinϴ and x2 + 2 =r2 

Then  = 2  = 1 ,  

  =0 is a streamline across which there is no flux circle so it can be used to 

represent a cylinder. 

Combination of Uniform flow and source or sink:

 For this development, consider the case for the source at the origin of the x‐y 

coordinates with a uniform flow of velocity u from left to right. The development for a 

sink in uniform flow follows the same principle. The uniform flow encounters the flux 

from the source producing a pattern as shown. At large values of x the flow has become 

uniform again with velocity u .The flux from the source is Q this divides equally to the 

top and bottom. At point s there is a stagnation point where the radial velocity from the 

source is equal and opposite of the uniform velocity u. 

The radial velocity is 

              = Q/2 r. 

Equating to u we have  

      r=Q/2.u  

and this is the distance from the origin to the stagnation point. 

For uniform flow 

        1=‐uy. 

 For the source 

        2=Qϴ/2 . 

The combined value is 

      =‐u.y+Q/2. 

The flux between the origin and the stagnation point S is half the flow from the source 

.Hence the flux and angle ϴ is   radian. The dividing streamline emanating from S is the 

zero streamline  =0.Since no flux crosses this streamline, the dividing streamline could 

be a solid boundary.  

Rankine Oval 

 

 

Flow around a long cylinder

When an ideal fluid flows around a long cylinder ,the stream lines and velocity 

potentials from the same pattern as a doublet placed in a constant unifrom flow.It 

follows that we may use a doublet to study the flow around a cylinder. The result of 

combining a doublet with a uniform flow at velocity is as shown.

 

Consider a doublet at the origin with a uniform flow from left to right.The stream 

function for point p is obtained by functions for a doublet and a uniform flow. 

For a doublet is         ψ=Bsin  

For a uniform flow    ψ=‐u.y 

For the combined flow ψ= Bsin  ‐u.y 

Where B= (Qb/ ) from the diagram we have y=rsinϴ and substituting this into the 

stream function gives  

    Ψ=Bsin

r – ursin =[

B 

r− ]sin 

    Ψ=[

−B

r2−   ]sin 

    Ψ=[ − ]  

The equation is usually given in the form Ψ=[B

r− ] cos  where A=u 

The stream functions may be converted into velocity potentials by use of the above 

equations as follows 

    Vr=Ψ = 

d

dr          VR=‐

Ψ=d

dr 

   Ψ=d

dr            ‐ =r

d

dr 

    The equations can further be solved  

At any given point in the flow with coordinate’s r, ϴ the velocity has a radial and 

tangential component. The true velocity vϴ is the vector sum of both which, being at 

right angle to each other, is found by Pythagoras as 

    Vϴ=2 + 2 

 From eqn we can show that 

            =‐u {2

2 − 1}  

              =‐u{2

2 + 1}  

R is the radius of the cylinder. 

Pressure Distribution around A cylinder:

The velocity of the main stream flow is u and the pressure is ‘p’.When it flows 

over the surface of the cylinder the pressure is p because of the change in velocity .The 

pressure change is p‐p’. 

 

The dynamic pressure for a stream is defined as 2

2 

The pressure distribution is usually shown in the dimensionless forms 

    =2(p‐p’)/ ( 2) 

For an infinitely long cylinder placed in a stream of mean velocity u we apply. 

Bernoulli’s equation between a point well away from the stream and a point on the 

surface. At the surface the velocity is entirely tangential so: 

 P’ + 2/2=p+ 2/2 

From the previous work it becomes   

P’+  u2/2=p+  (2usinϴ)2/2 

p‐p’=  u2/2‐  4 ) = (  u2/2) (1‐4 ) 

p‐p’/  u2/2=1‐4  

If this function is plotted against angle we find that the distribution has a 

maximum value of 1.0 at the front and back and a min value of ‐3 at the sides. 

Vortices 

Circulation 

Consider a stream line that forms a closed loop. The velocity of the streamline at 

any point is tangential to the radius of curvature R, the radius is rotating at angular 

velocity ω .Now consider a small length of that streamline ds. 

The circulation is defined as K=∫VTds and the integration is around the entire loop. 

Substituting    VT=ωR   ds=R dϴ 

        K=∫ 2     the limits are 0 and 2  

               K=2   R  

In terms of VT       K=2  

Vorticity: 

  Vorticity is defined as G=∫  ds/A where A is the area of the rotating element. 

The area of the element shown in the diagram is small sector of arc ds and angle 

dϴ. 

 

    dA=d

2 R2= R2 

d

2 

    A= ∫ R2  d

2 

    G= ∫2

2 

2

 = 2 at any point. 

It should be remembered in this simplistic approach that to may vary with angle. 

Vortices 

Consider a cylindrical mass rotating disk about a vertical axis. The streamlines 

form concentric circles. The streamlines are so close that the circumference of each is 

the same and length 2 r.Let the depth is dh, a small part of actual depth. 

 

The velocity of the outer streamline is u+du  

and the inner streamline is u.  

The pressure at inner streamline is p and the outer diameter is p+dp. 

The mass of the element is p2 r dh dr 

The centrifugal force acting on the mass is p2 r dh dr  2/r 

It must be the centrifugal force acting on the element that gives rise to the 

change in pressure dp.   

It follows that  

    dp 2 r dh=p 2 r dh dr  2/r  

  and   dp/p= 2/r 

The kinetic head at the inner streamline is =  2/2g 

Differentiating w.r.t radius we get u du/ (g dr) 

The total energy may be represented as a head H where H=Total Energy/mg. 

The rate of change of energy head with radius is dH/dr.It follows that this must 

be the sum of the rate of change of pressure and kinetic heads so 

dH/dr=u2/gr +u du/ (gdr) 

 

Free vortex 

A free vortex is one with no energy added nor removed so dH/dr=0. It is also 

irrotational which means that although the streamlines are circle and the individual 

molecules orbit the axis of the vortex.Thy do not spin. This may be demonstrated 

practically with a vorticity meter that is a float with a cross on it. The cross can be seen 

to orbit the axis but not spin as shown. 

Since the total head H is the same at all radii it follows the dH/dr=0.The equation 

reduces to  

u/r+du/dr=0 

dr/r+du/v=0 

Integrating ln u+ ln r = constant 

ln (ur)=constant 

ur=C 

Note that a vortex is positive for anticlockwise rotation’s is the strength of the 

free vortex with units of m2/s 

Stream function for a free vortex 

The tangential velocity was shown to be linked to the stream function by  

        dψ = Vt dr 

Substituting Vt = C/r 

         dψ= C dr/r 

Suppose the vortex has an inner radius of a and outer radius of R  

        Ψ=C∫  = C ln(R/a) 

Velocity potential for a free vortex 

The velocity potential was defined in the equation  

       dϕ= Vt r dϴ 

Substituting,     Vt=C/r    and integrating  

      Φ=∫ ( )   

Over the limits 0 to ϴ we have 

       Φ=Cϴ 

Surface Profile of a free vortex 

    It was shown that dh/dr=u2/gr where h is depth .Substituting u=C/r we 

get 

    dh/dr=C2/gr3 

    dh = C2gr3dr/g 

Integrating between a small radius r and a large radius R we get 

      H2‐h1= (C2/2g) (1/R2‐1/r2) 

  Plotting h against r produces a shape as shown 

 

  Forced Vortex 

    A forced vortex is one in which the whole cylindrical mass rotates at one 

angular velocity ω. It was shown earlier that dH/dr=u2/gr+ u du/(g dr) where h is depth 

  Substituting u=ωr and noting du/dr=ω we have  

      dH/dr= (ωr2)/gr + ω2r/g 

      dH/dr=2ω2r/g 

Integrating without limits yields  

     H= ω2r2/g+A 

H was also given by 

    H= h+ u2/2g =h+ω2r2/2g 

Equating we have  

    h= ω2r2/2g+A 

At radius r h1= ω2r2/2g+A 

At radius R h2= ω2R2/2g+A 

      H2‐h1= (2/2g) (R2‐r2) 

This produces a parabolic surface