Potenziale Elettrico

Fisica II – CdL Informatica

Potenziale Elettrico

qA

C

B

rA

Br

independenza dal cammino Superfici Equipotenziali

R

R

R r

V Q

4 rQ

4 R


• Forze Conservative e Conservazione Energia – l’energia totale è costante ed è la somma di

energia cinetica e energia potenziale

• Concetto di Potenziale Elettrico– È ben definito ? cioè il Potenziale Elettrico è

una proprietà dello spazio e delle sorgenti (di carica) come è il Campo Elettrico ? (le differenze di potenziale sono funzione solo delle posizioni)


Conservazione energia meccanica di una particella

• Energia Cinetica– non-relativistica

• Energia Potenziale– determinata dalla legge di forza

• per Forze Conservative l’energia totale è costante: energia totale = K+U è costante

• esempi di forze conservative– gravità; energia potenziale gravitazionale– elastica; molla (legge di Hooke): U(x)=kx2

– elettrica; energia potenziale elettrica• esempi di forze non-conservative (dissipative)

– attrito– moto viscoso (velocità limite)

),,( zyxU

2

2

1mvK


Le forze elettriche sono conservative

• Consideriamo una particella carica che si sposta attraverso una regione in presenza di un campo elettrico statico: • una carica negativa è attratta

verso la carica positiva fissa• la carica negativa possiede più

energia potenziale e meno energia cinetica lontano dalla carica fissa positiva, e …

• più energia cinetica e meno energia potenziale vicino la carica positiva fissa.

• Tuttavia, l’energia totale si conserva

+

-

• Introduciamo ora l’energia potenziale elettrica ed il potenziale elettrostatico ….


Potenziale Elettrico e Energia Potenziale

• Immaginiamo una carica di prova, Qo, in un campo elettrico esterno, E(x,y,z) (Ciascuna componente Ex Ey Ez è una funzione di x,y,z)

• Qual’è l’energia potenziale, U(x,y,z) della carica in questo campo?– Definiamo arbitrariamente dove U(x,y,z) è nulla:

a distanza infinita (per distribuzioni di carica che sono finite)

– U(x,y,z) è eguale al lavoro necessario per portare Qo dal punto dove U è nulla al punto (x,y,z)

• Definiamo V(x,y,z) mediante U(x,y,z) = QoV(x,y,z)• U dipende da Qo , ma V è independente da Qo

(che può essere + oppure -)• V(x,y,z) è il potenziale elettrico associato con

E(x,y,z)–V(x,y,z) è un campo scalare


Potenziale Elettrico ...• Supponiamo che la carica q0 si muova

da A a B attraverso una regione di spazio in cui è presente il campo elettrico E. A B

q0E

• Poichè sulla carica agirà una forza dovuta ad E, una certa quantità di lavoro WAB dovrà essere fatto per ottenere questo risultato.

• Definiamo la differenza di potenziale elettrico come:

• È una buona definizione ?

• È VB - VA independente da q0?

• È VB - VA independente dal cammino?

V ha una intensità ed un segno: + oppure -

Se - (VB più basso), il lavoro svolto dal campo è negativo, mentre è positivo quello svolto dalla forza Fe

WAB è la differenza di energia potenziale per andare da A a B

Unità di misura:Volt=Joule/Coulomb


Indipendente dalla carica di prova ?• Per muovere una carica in un campo E,

dobbiamo applicare una forza eguale ed opposta a quella cui è soggetta la carica a causa della presenza del campo E.

• essendo: lavoro = forza spostamentoA B

q0 E

Felet

Fapplicata = -Felet

Indipendente dalla carica.

• una carica positiva “cadrà” da un potenziale più alto ad uno più basso guadagnando Energia Cinetica, ovvero un lavoro negativo esterno viene svolto.

• per far andare una carica positiva di prova dal punto a potenziale più basso a quello più alto è necessario “spendere” energia – svolgere un lavoro esterno (ovvero la particella potrebbe perdere energia cinetica)

0

B B

AB elet

A A

W F dl q E dl


Esempio 1• una carica singola ( Q = -1C) è fissa

all’origine. Definire un punto A a x=+5m e un punto B a x = +2m.– Qual’è il segno della differenza di potenziale

tra A e B? (VAB VB - VA )

x-1C AB

(a) VAB < (b) VAB = (c) VAB >

Poichè , VAB <0 !!

•La maniera più semplice per ricavare il segno della differenza di potenziale è di immaginare di porre una carica positiva nel punto A e determinare se un lavoro positivo o negativo debba essere svolto nl muovere la carica al punto B. •Una carica positiva in A sarebbe attratta verso la carica da -1C; pertanto un lavoro esterno NEGATIVO dovrebbe essere svolto per muovere la carica da A a B. (si noti, il campo E esegue un lavoro positivo su questa carica positiva)•Si può anche determinare il segno direttamente dalla definizione:


Independente dal Cammino ?

• Definizione della differenza di potenziale : VAB=VB - VA.

• L’integrale è la somma delle componenti tangenziali (al cammino) del campo elettrico lungo il percorso da A a B.

• La questione è: Dipende questo integrale dallo specifico percorso scelto per andare da A a B ?

A B

q0 EFelet

-Felet B

A

ABAB dE

q

WVV

0

dl


Vediamo se è veramente indipendente• Consideriamo il caso di un campo

costante :– via diretta: A - B

• via più lunga: A - C – B

• Abbiamo almeno un esempio di un caso in cui l’integrale è lo stesso per ENTRAMBI i cammini.

A

CB

Eh r

dl

Notare che dl punta in

verso opposto a E.

dl


Lavoro e differenza (di Energia Potenziale

• mattone spostato yi yf • carica spostata rf

• FE = kq1q2/r2 (sinistra)

• WE = -kq1q2/rf

• UE= +kq1q2/rf

W = F d cos()Gravità Elettrico

Fg=mgFg=mgFg=mgFg=mgFg=mgFg=mgFg=mg

yi

yf

Fg=mg

h

• FG = mg (giù)

• WG = -mgh

• UG= +mgh

rf


1. Lavoro da eseguire per avvicinare 3 cariche(da +1, +2 e +3 μC

rispettivamente)• W1 = 0

m

m

m

• W2 = k q1 q2 /r =(9109)(110-6)(210-6)/5 =3.6 mJ• W3 = k q1 q3/r + k q2 q3/r

(9109)(110-6)(310-6)/5 + (9109)(210-6)(310-6)/5

=16.2 mJ

• Wtotale = +19.8 mJ• WE = -19.8 mJ• Een.pot.elettrica = +19.8 mJ

(occhio ai segni!)


2. Lavoro da eseguire per avvicinare 3 cariche negative

(da -1, -2 e -3 μC rispettivamente)

m

m

m

a) W = +19.8 mJb) W = 0 mJc) W = -19.8 mJ

Quanto lavoro ci costerà avvicinare 3 cariche negative ?

cariche simili si respingono, quindi dovremo ancora eseguire un lavoro positivo !


3. Lavoro necessario per avvicinare 3 cariche (uguali in valore assoluto)

Il lavoro totale da eseguire (da parte vostra, cioè dello sperimentatore) per mettere insieme queste cariche è:

a) positivo

b) nullo

c) negativo

+

+

-m

m

m

portare (1): lavoro nullo

portare (2): lavoro positivo

portare (3): lavoro negativo x 2

1

32


Potenziale Elettrico

• Unità Joules/Coulomb Volts– Batterie– Prese elettriche

• In realtà sono differenze di Potenziale• Linee Equipotenziali (equilivello) • Le linee del campo puntano verso il

basso• V = k q/r (a distanza r dalla carica q)

in particolare V() = 0


Esempio

Come è il potenziale elettrico nel punto A rispetto al punto B ?

1) maggiore

2) eguale

3) minore

Il campo elettrico va da A a B

Il campo è uniforme così il potenziale elettrico è eguale in tutti i punti

Il potenziale elettrico in A è minore del potenziale in B perchè il punto C interferisce con il massimo del potenziale in A.

E uniforme C

A B

• Dati tre punti A, B, C in un campo E uniforme


Esempio

“perchè il campo elettrico è nullo in ogni punto all’interno di un materiale conduttore”

Il potenziale elettrico nel punto A è __???__ che nel punto B

1) maggiore

2) eguale

3) minore

E uniforme C

A Bconduttore

• Dati tre punti, A e B all’interno di un conduttore e C all’esterno, immersi in un campo E uniforme


Riassumendo

A B Negativa

C B

A CNulla

Cammino Vfinale - Viniziale E.P.E. = q V Wcampo E

Negativa

Carica

+-

+-

+-

Negativa

PositivaPositivoNegativo

E uniforme C

A B

Zero

Negativa

Zero Zero

Zero

Negativo

Positivo

Positiva


AB

+

Esempio: Potenziale Elettrico C

Il potenziale elettrico (generato dall’unica carica positiva) nel punto A è __???__ che nel punto B

1)maggiore

2)eguale

3)minore

• La linea AC è equipotenziale (perpendicolare ad E)

• Le linee del campo elettrico puntano “verso il basso”

• La linea CB è “verso il basso”, così B è ad

un potenziale più basso di A


Potenziale Elettrico generato da un Protone

Qual’è il potenziale elettrico ad una distanza r=0.5310-10m da un protone ? (Sia V()=0)V =U/q= k q/ r =(9109C2N-1m-2)(1.610-19C) /0.5310-10m=

27.2 volts

rf = 0.510-10 m


Energia Potenziale Elettrica vs. Potenziale Elettrico

• Energia Potenziale Elettrica (U) – l’energia di una carica in un punto.

• Potenziale Elettrico (V) - proprietà di un punto nello spazio – ci dice quale EPE avrebbe una carica se fosse posta in quel punto (generalmente ci riferiamo a differenze di potenziale tra due punti):

U = Vq• Ciascuna delle due quantità è

funzione solo del posto (scalare). Il segno è importante !


Due Cariche

Q=-3.5 CQ=+7.0C

A

6 m

4 m

Quanto lavoro bisogna spendere per portare una carica da 2 C dall’infinito al punto A?

W=U=Vq =(+6.3103V)(2C) =+12.6 mJ

•Calcolare il potenziale elettrico nel punto A dovuto alle cariche presenti

–Calcolare V dalla carica +7C–Calcolare V dalla carica –3.5C–Sommarli

•V = kq/r

V7=(9109C2N-1m-2)(710-6C)/5m = 12.6103V

V3=(9109C2N-1m-2)(-3.510-6C)/5m = -6.3103V

Vtot = V7+V3 = +6.3103V


Due Cariche

Q=-3.5 CQ=+7.0C

• Nella regione II (tra le due cariche) il potenziale elettrico è :

1) sempre positivo

2) positivo in alcuni punti, negativo in altri.

3) sempre negativo

Molto vicino alla carica positiva il potenziale è positivo

Molto vicino alla carica negativa il potenziale è negativo


Potenziale ElettricoCurve Equipotenziali ed Energia


Potenziale Elettrico: dove è nullo?• Abbiamo considerato finora differenze di potenziale.

• Definiamo il potenziale elettrico di un punto nello spazio come la differenza di potenziale tra quel punto e un punto di riferimento.

• un buon punto di riferimento è l’infinito ... tipicamente si pone V=0

• quindi il potenziale elettrico è definito come:

per una carica puntiforme all’origine, integriamo dall’infinito lungo un certo asse, p.es. l’asse x

• “r” è la distanza dall’origine 20

2 20 0 0 0

1'

4 '

1 1 1 1

4 ' 4 ' 4 ' 4

r r

rr r

qV r V E dl V Edr essendo E

r

q q q qV dr dr

r r r r

integraledi linea

dl

ABV

B

AB B A

A

V V V E dl

rV r V V


Potenziale dovuto ad un insieme di N cariche puntiformi

Il potenziale da un insieme di N cariche è proprio la somma algebrica del potenziale dovuto a ciascuna carica separatamente.

DI NUOVO IL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE.

xr1

r2 r3

q1

q3

q2


Esempio• Quale delle seguenti distribuzioni di carica produce V(x)= 0 per

tutti i punti sull’asse delle x ? (si definisca V(x) 0 per x = )

(a)

x

+2C

-2C

+1C

-1C

(b)

x

+2C

-1C

+1C

-2C(c)

x

+2C

-1C

-2C

+1C

La soluzione consiste nel rendersi conto che per calcolare il potenziale totale in un punto, dobbiamo solo eseguire una somma ALGEBRICA dei contributi individualiPertanto, per avere V(x)=0 per tutte le x, dobbiamo avere che i contributi +Q e -Q si annullino a vicenda, il che significa che qualunque punto sull’asse x deve essere equidistante da +2C e -2C ed anche da +1C e -1C.

Questa condizione è rispettata solo nel caso (a)!


Superfici Equipotenziali

• PROPRIETA’ GENERALE : – Il campo elettrico è sempre perpendicolare ad una superficie

equipotenziale.

Definizione: Il luogo dei punti con lo stesso potenziale.

• Esempio: per una carica puntiforme, le superfici equipotenziali sono sfere centrate sulla carica.

Sulla superficie, NON vi è variazione di V (perchè è equipotenziale!)

Pertanto,

Si può concludere allora, che è nullo.

Se il prodotto scalare tra il campo vettoriale ed il vettore spostamento è nullo, quindi i due vettori sono perpendicolari, ovvero il campo elettrico è sempre perpendicolare alla superficie equipotenziale.

0 VldEB

A

ldE

•Perchè ?


Superfici Equipotenziali di una sfera carica

•Il campo elettrico della sfera carica ha una simmetria sferica.•Il potenziale dipende solo dalla distanza dal centro della sfera,

come ci si aspetta dalla simmetria sferica.•Pertanto, il potenziale è costante su una sfera concentrica alla carica puntiforme. Queste superfici sono dette “equipotenziali”.•Notare che il campo elettrico è perpendicolare alla superficie

equipotenziale in tutti i punti.

Er

SuperficiEquipotenziali


Potenziale di una sfera uniformemente carica

Esercizio

Una sfera isolante di raggio R ha una densità di carica positiva ed uniforme con una carica totale Q.

Determinare il potenziale elettrico: (a) all’esterno e (b) all’interno della sfera.



Per il teorema di Gauss, al di fuori diuna sfera uniformemente carica

diretto radialmente verso l’esterno essendo Q positiva. Per ottenere il potenziale nel punto B

2r e

QE k per r R

r

2

r r

B r e e

dr QV E dr k Q k per r R carica puntiforme

r r

•Per il teorema di Gauss, all’interno di una sfera uniformemente carica

3 2

0

3 3

2 2 30 0 0 0

4 43

4 43 3

4 4 3 3

inin

inr e

qq V r e EdA E r

r Q Rq QE r r k r per r R

r r R



2 23 3

2

3 2

2

,

32

r re e

D C rR R

C e

eC D

k Q k QV V E dr r dr R r

R RQ

per continuità deve essere V k per r RR

k Q rsostituendo V si ha V per r R

R R

D

C

Dalla relazione V E ds




Potenziale di un guscio sferico conduttore carico

a

a

Q4 a

a r

V

Q4 r

• Potenziale

• r > a:

• r < a: E=0, quindi nessun ulteriore cambiamento in V fino a V(a)

• campo-E (Legge di Gauss)

Er = 0• r < a:

Er = 1

4 0 Q

r2 • r >a:


Cosa significa questo risultato ?

• Grafico della componente radiale del campo elettrico di un guscio sferico carico:

Notare che dentro il guscio, il campo elettrico è nullo. Fuori dal guscio, il campo elettrico diminuisce come 1/r2.

Il potenziale per r>a è dato dall’integrale di

Er. Questo integrale è semplicemente

l’area sotto la curva Er .

a

a

a r

Er

R

Q4 a

a r

V

Q4 r

R


In definitiva ...

• Se conosciamo il campo elettrico E,

questa relazione ci permette di calcolare la funzione potenziale V

ovunque (noto per definizione VA , p.es. VA = 0 )

• Potenziale dovuto ad n cariche:

• Le superfici equipotenziali sono superfici su cui il potenziale è costante.


Conduttori

• TesiLa superficie di un conduttore è sempre una superficie equipotenziale (infatti, l’intero conduttore è equipotenziale)

+ +

+ +

+ +

+ + +

+ + +

+ +

Il campo elettrico è perpendicolare alla superficie equipotenziale in tutti i punti lungo la superficie stessa, altrimenti, le cariche all’interno si muoverebbero. Pertanto, spostandoci lungo la superficie, il potenziale non cambia.

sdEVVB

A

AB

• Perchè ? Se la superficie non fosse equipotenziale, ci sarebbe una componente del campo elettrico parallela alla superficie e le cariche si muoverebbero di conseguenza !! Similarmente a quanto avviene all’interno del conduttore.


Carica sui Conduttori• Come è distribuita la carica sulla superficie di un

conduttore ? – Deve produrre E=0 dentro il conduttore e E normale alla superficie.

esempio Sferico (con piccola carica fuori-centro):

- ---

- --

-

-

-

-

--

-

-

+

+

+

++

+

+

++

+ +

+ +

+

+

+

+q

E=0 dentro il guscio conduttore.

la densità di carica indotta sulla superficie esterna è uniforme

E esterno ha una simmetria sferica rispetto al centro del guscio sferico conduttore.

la densità di carica indotta sulla superficie interna è non-uniforme.


Carica sui Conduttori

grande σpiccola σ

• Come è distribuita la carica su un conduttore non-sferico ?

• Evidenza: la densità di carica è maggiore nelle zone con il più piccolo raggio di curvatura.

Ma:

rS

rL

La sfera più piccola ha la densità di carica superficiale maggiore !

• 2 sfere, connesse da un filo e “distanti”

• Entrambe allo stesso potenziale


Superficie Equipotenziale (Esempio)

• Le linee del del campo sono più “fitte” in prossimità delle zone con grande curvatura.

• Le linee del campo sono alla superficie in prossimità della stessa (poichè la superficie è equipotenziale).

• Le linee equipotenziali hanno forma simile a quella della superficie (in prossimità della stessa).

• Le linee equipotenziali sono simili ad un cerchio (sfera in 3-D) per grandi r.

0

E

grande σ

grande E

piccola σ

piccolo E


Sfera conduttrice Il massimo potenziale su un conduttore è limitato dal

fatto che l’aria circostante diventa conduttrice se

essendo V=ER

R=1 cm

R=1m

Vmm

VV 426

max 10310103

r

q

4

1V

r

q

4

1E

02

0

m/V103E 6max

Vmm

VV 66

max 1031103


• Possiamo ottenere il campo elettrico E dal potenziale V invertendo la precedente relazione tra E e V:

r

V

dxxr ˆ

V+dVdxEdxxEdV x ˆ

• Espresso come un vettore, E è il gradiente negativo di V

Calcolo di E da V

sdEVVB

A

AB


• coordinate cartesiane :

• coordinate sferiche :

Calcolo di E da V

• a parole:– la direzione della più “rapida diminuzione” di V, (massima

pendenza), è la direzione del campo E in quel punto, e l’intensità (modulo) di E è esattamente la pendenza.

• Analogia con la gravità:– Consideriamo il caso di un “paesaggio” (valli e monti)-- una palla accelera

verso il basso, e la componente della forza gravitazionale che agisce sulla palla è il “gradiente” lungo il “terreno scosceso”. La palla inizia a muoversi lungo la direzione della maggiore pendenza.

– Lasciando la palla il gradiente 3-D del potenziale gravitazionale punta verso il centro della Terra, ed è la forza dovuta alla gravità.

• Che cosa significa che E è il gradiente negativo di V ?


• Consideriamo il seguente potenziale elettrico:

• Quale campo elettrico descrive ?

... esprimendolo come un vettore:

Calcolo di E da V: Esempio

si ha:


possiamo calcolare la funzione potenziale V ovunque (si

rammenti, che spesso definiamo VA = 0 in qualche punto ())

possiamo calcolare il campo elettrico E ovunque

Se conosciamo la funzione potenziale V ovunque,

• Unità di misura del Potenziale V = J/C

• Unità di misura del Campo Elettrico V/m

In definitiva ...Se conosciamo il campo E ovunque,

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Potenziale Elettrico