Pourquoi les spaghetti cassent en 3 morceaux ?(quand une rupture en entraîne une autre)

Sébastien Neukirch et Basile Audoly

Laboratoire de modélisation en mécaniqueCNRS et Université P. et M. Curie

www.lmm.jussieu.fr/spaghetti

expériences avec l'aide de Luc Lebon et Denis Vallet (PMMH-ESPCI)

Expérience type ● Problème classique● Feynman cuisine

F>0F>F

FLAMBF>F

RUPT

PAF

PAF

Hypothèses

FF

PAF n°2

F

PAF n°1

➔ Ruptures ne sont pas synchrones➔ Une rupture entraîne l'autre➔ Relâchement courbure induit 2ème rupture (!)

Expérience test : la catapulte à vide

on courbeprochelimite

rupture

on relâche la tige se brise

Ondes de flexion

rupturedémarre ici

➔ video➔ onde de sur-courbure➔ casse au dessus !

F

t1

t0

Période d'oscillation

TAB≃0.9L2 SEI

A

B

t1−t0 ≪TAB

2ème rupture démarre ici

Dynamique d'une tige élastique

● Équations de Kirchhoff (structure élancée, élasticité 1D)

M=EI s

F'=A ̈rM'r '×F=I d1 × ̈d1 d2 × ̈d2

'≡ dds

et ˙≡ ddt

A : aire de la sectionI : moment d'inertie de la sectionF : force interne (moyenne dans section)M : moment interne (moyenne)

● On linéarise autour de la configuration droite

EI ' ' ' 'A ̈=I ̈ ' '

E : module de YoungρA : masse linéique

: relation de constitution linéairex

z

θ

Ordres de grandeur & adimensionement

● Variables d'espace

≝L AI=2L

R≃1000

s=S/L : s∈[0;1]=K /L et x=X /L

t≝ TL /c

: t∈[0;10 /]

: temps (long) que met le son pour traverser λ tiges (~0.25s)

élancement :

L 2R

● Variables de temps

c≝E≃1000 m /svitesse du son :

' ' ' '̈ =̈ ' '

2

~10 ms

L'équation devient :

on néglige

inertie en rotation de la sectionmvt rapide % flexion

tL≝L /c

Diagramme spatio-temporel de la solution

S/L

/0

t /tL+vidéo

Où la pâte casse-t-elle ?

paf !

paf !

1

1/3

2/3

KRUPT

K0

s

K

s=1

1

1/3

2/3

KRUPT

K0

s

K

s=1

siKRUPT

1.43K0 KRUPT

1 1.43

≃2 3

siKRUPT

3K0

KRUPT

1.43

Les records de courbure

record local : si à s fixée,

t≥t ',∀ t 't

record global : si

s,t≥s' ,t ',∀ t 't

un point (s,t) est un :

∀s'

Comparaison théorie / expérience

sans paramètre ajustable

t /tL

S/L

/0 ≃3

/0 ≃1.43

Domaine de validité

- Cela marche-t-il avec l'extension ? non : comme ressort

- Avec la torsion ? non : simples ondes progressives de twist

- Autres structures élancées : plaques, coques ?

- Retard à la rupture

s,t ' '=1

c2̈

temps exposition

K

Diagramme spatio-temporel de la solution en twist

S/L

/0

t

Applications : cheminée qui s'écroule

site web de :

Gabriele VarieschiLoyola Marymount Univ. Los Angeles, USA

Applications : impact d'un projectile sur une paroi

distribution de la taille des fragments

J. R. Gladden et al, PRL 94 (2005)

Applications : futur combat system (!)

distribution de la taille des fragments

K. Tarcza, Picatinny Arsenal & Univ Texas Austin, USA

fragmentation d'un obus (tungstène) contre une armure

obus armure

( clichés aux rayons X )