OSCILACIONES

El movimiento oscilatorio es un movimiento periódico en torno a un punto de equilibrio estable. Los puntos de equilibrio mecánico son, en general, aquellos en los cuales la fuerza neta que hace trabajo sobre la partícula es cero. Si el equilibrio es estable, un desplazamiento de la partícula con respecto a la posición de equilibrio (elongación) da lugar a la aparición de una fuerza restauradora que devolverá la partícula hacia el punto de equilibrio.En términos de la energía potencial, los puntos de equilibrio estable se corresponden con los mínimos de la misma.

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Es el movimiento oscilatorio más sencillo y a la vez el más fundamental. Se caracteriza matemáticamente porque la elongación o posición del oscilador respecto a la posición de equilibrio se expresa por la función seno o coseno así: )cos()( tAtx

angularfrecuencia

elongación

máximaooscilacióndeamplitudA

elongaciónx

2:

Re

1:

2:

movimientodel

frecuencialayangularfrecuencialaentrelaciónP

movimientodelFrecuencia

PmovimientodelPeríodo

tmovimientodelfase

inicialfase

t

X

Y

x

A

AV

t=0

naceleracióladevalormáximoaAdonde

xtAa

velocidadladevalormáximovAdonde

tsenAdt

dxv

máx

máx

2

22 )cos(

)(

DIAGRAMA DE FASORES PARA EL DESPLAZAMIENTO,VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL MAS

x

yA

A

A2

t2

EJEMPLO 1:¿Qué fase α,es necesaria para que sen(θ+α)=cosθ?EJEMPLO 2:Una pelota se deja caer desde una altura de 4.00m hace una colisión elástica con el suelo. Si se supone que no se pierde energía mecánica debido a la resistencia del aire,a) Demuestre que el movimiento resultante es periódico y b)determine el

período del movimiento c)es oscilatorio este movimiento ? d)es M.A.S. este movimiento?

ELEMPLO 3:En un motor ,un émbolo oscila con movimiento armónico simple de modo que su posición varía según la expresión.

x(t)=(5.00cm)cos(2t+π/6) donde x se da en centímetros y t en segundos. En t=0,encuentre:

a)La posición del émbolo , b)su velocidad c)su aceleración y d)el período y amplitud del movimiento.

EJERCICIOS1.Un movimiento armónico simple en dirección x tiene las siguientes propiedades:amplitud máxima =0.5m,tiempo entre los valores máximo y mínimo de x es 2s y x=0.2m cuando t=0.5s.Calcule el período ,la frecuencia angular , y la ecuación general del movimiento 2.Una partícula unida a un resorte tiene una velocidad de v=0.4sen(ωt+π)m/s , donde ω=2.00rad/s. Grafique x, v y a , como función del tiempo , para tres períodos de movimiento. 3.Un oscilador armónico trabaja a una frecuencia de 58.966Hz.¿cual es la amplitud para la cual la aceleración máxima es 103.57 ?4.El movimiento de una masa se puede describir mediante la función x(t)=Asen(ωt+α), donde ω=2.0rad/s, y α=0.40rad.Exprese el movimiento como una función coseno.5.Un resorte tiene una constante k=0.5N/m, y una masa de 0.2kg en su extremo. Esta masa tiene una rapidez máxima de 2.0m/s.a)¿Cuál es la frecuencia angular y el período del sistema ? b)¿Cuál es la amplitud del movimiento?6.Una partícula tiene movimiento armónico simple, y viaja una distancia total de 6.98cm durante un ciclo de 1.71s. a) ¿Cuál es la rapidez media de la partícula?b) ¿Cuáles son su rapidez y aceleración máximas?

2/ sm

FUERZA Y ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

La segunda ley dice :

elásticatecons

decirpuedelesekteconslaAm

k

mk

kxxmxmF

xapero

maF

tan

tan

;)(

,

2

22

2

m

k

k

mP

2

1,2

Consideremos el caso de un oscilador masa-resorte dispuesto horizontalmente

))(cos1(2

1

)(2

1

))((2

1

2

1

222

222

22

tAmE

tsenAmE

tsenAmvmE

k

k

k

)(2

1 222 xAmEk

La energía potencial asociada con la fuerza anterior es donde es la constante de fuerza del resorte.

2

2

1kxEp

La energía mecánica total del oscilador armónico está dada por : pk EEE

2

2

1kAE

Ejemplo : Una masa de 50g conectada a un resorte de 35N/m de constante de fuerza oscila sobre una superficie horizontal y sin fricción con una amplitud de 4cm.Encuentre:a) La energía total del sistema.b) La velocidad de la masa cuando el desplazamiento es 1.0cm.Cuando el desplazamiento es 3cm encuentre:c) La energía cinéticad) La energía potencial

k

Una masa de 1.2kg, fija a un resorte , tiene movimiento armónico simple , a lo largo del eje x y su período es P=2.5s.Si la energía total del resorte y masa es 2.7J, ¿Cuál es la amplitud de la oscilación?

Considere un M.A.S.de una masa en el extremo de un resorte

)cos()5.0()( tmtx

Cuando t=0,la posición es -0.25m y la velocidad es 1m/s en dirección-X. La energía total del movimiento es 5J.Determinar:a) La constante αb) La frecuencia angular ω,la constante k y la masa m.c) La expresión completa para la posición x(t)d) Las expresiones completas para la velocidad v(t) y a(t)e) En qué posiciones son iguales la energía cinética y la energía potencial.

En el caso del sistema masa-resorte la segunda ley de Newton se escribe como ecuación diferencial así:

.

..

).cos()(

0

0

0

0

22

2

2

2

2

2

simplearmónicoes

DElacumplaqueooscilatorimovimientoTodo

tAtxessoluciónLa

xdt

xd

xm

k

dt

xd

kxdt

xdm

kxF

ementeequivalentokxF

Péndulo simple

Dos resortes de constantes de fuerza se unen por uno de sus extremos .El sistema así formado se une por uno de sus extremos a una pared y el otro extremo a una masa m. Si la masa se separa una cierta cantidad de la posición de equilibrio y la superficie de soporte no presenta fricción , demostrar que el movimiento es armónico simple. Encontrar la frecuencia angular de oscilación Una masa conocida oscila libremente en un resorte vertical con un periodo .Una masa desconocida en el mismo resorte oscila con un período .Determine.a) La masa desconocida b) La constante de fuerza del resorte

21 kyk

mm Pm

P

El péndulo físico

3/2MLI 12/2MLICM

Para un sistema de partículas , su momento de inercia respecto a un eje es:

2iidmI

1m

2m

3m

4m1d

2d

3d

4d

2/8.9 smUn péndulo simple tiene una longitud de 3.0m.Determine el cambio en su período si este se toma desde un punto donde g= hasta una elevación donde la aceleración en caída libre disminuye a

La posición angular de un péndulo simple es: donde viene expresado en radianes . Determinar el período y la longitud del péndulo .

Un péndulo físico está animado de movimiento armónico simple con una frecuencia de 0.450hz.Si el péndulo tiene una masa de 2.20kg y el pivote está situado a 0.350m del centro de masas ,determinar el momento de inercia del péndulo alrededor del punto de pivote.

Una barra uniforme de masa M y largo L oscila en un plano vertical alrededor de uno de sus extremos . Encuentre el período de oscilación si la amplitud del movimiento es pequeña.

2/79.9 sm

)43.4cos(320.0 trad

SUPERPOSICIÓN DE DOS M.A.S

yAarerquetenemos

tAx

quedemostrarpuedese

xxx

smovimientodosloserponemosahora

tAx

tAx

mindet

)cos(

:sup

)cos(

)cos(

21

222

111

Ejemplo : Encontrar la ecuación resultante de la superposición de dos movimientos armónicos simples paralelos cuyas ecuaciones son:

)2/cos(3

)3/cos(2

2

1

tx

tx

Tarea: Encontrar la ecuación de movimiento resultante de la superposición de de dos movimientos armónicos simples paralelos cuyas ecuaciones son:

)3/cos(8

)cos(6

2

1

tx

tx

Hacer el gráfico de cada movimiento y del movimiento resultante.

OSCILACIONES AMORTIGUADAS

uadosubamortigmovimientoSi

solucionessiguienteslastienense

yentrerelaciónladeoDependiend

xdt

dx

dt

xd

oamortiguadosciladordelldiferenciaEcuacion

22

22

2

:

02

La solución es: )cos()( 22 tAetx t

inicialesscondicionemediante

hallanseyBAtesconsLas

eBtAtx

oamortiguadtecríticamenmovimientoSi

eBeAetx

iguadosobreamortmovimientoSi

t

ttt

,tan

)()(

)()(22

22

2222

Determinar la amplitud y la fase inicial de un oscilador levemente amortigudo , si las condiciones iniciales son:

0

)0()0(

0

00

vsiresolver

vvyxx

OSCILACIONES FORZADAS

m

ky

m

bdonde

tsenm

Fx

dt

dx

dt

xd

dt

xdmkx

dt

dxbtsenF

maF

20

0202

2

2

2

0

2

2

;

La solución de interés es:

22220

2

0

4)(

/

)cos()(

mF

A

tAtx

El oscilador forzado vibra a la frecuencia de la fuerza de excitación manteniendo su amplitud constante. El valor máximo en la amplitud se logra para una frecuencia dada por

.

log

4)(

/

:

2

0

22220

2

00

220

energíaen

resonanciahayquediceseymáximasson

esoscilacionlasdecinéticaenergía

layvelocidadlafrecuenciaestaA

cuandorasevelocidad

ladeamplitudlaenmáximovalorEl

mFAv

pordadaestávelocidadlaenamplitudLa

cuandoamplitudlaenresonanciaHay A

A

Es decir la resonancia en la energía ocurre cuando la frecuencia de la fuerza es iguala la frecuencia natural del oscilador sin amortiguamiento y en este caso la velocidadse encuentra en fase con la fuerza aplicada . Bajo estas condiciones, la potencia transmitida por la fuerza al oscilador siempre es positiva y así el oscilador gana energíaen vez de perder.Cuando hay resonancia en la energía la transferencia de energía de la fuerza al oscilador está al máximoCONSULTAR EJEMPLOS DE RESONANCIA EN LA ENERGÍA

1

2

3

P