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Corso di Fondamenti e Applicazioni di Geometria Descrittiva b
A.A. 2012-2013 Prof. M. Canciani, Arch. V. Gori
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http://host.uniroma3.it/docenti/canciani/
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Nel linguaggio geometrico proiettare significa costruire piani o rette che escono da un punto o sono parallele ad una direzione.
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La geometria simula il fenomeno della proiezione attraverso 2 operazioni:
1. L’operazione di proiezione, ovvero la costruzione di rette e piani proiettanti passanti per un centro di proiezione e per i punti caratteristici dell’oggetto osservato.
2. L’operazione di sezione, che consiste nel tagliare le rette ed i piani generati dalla operazione di proiezione con un piano, detto piano di quadro.
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Nelle rappresentazioni spaziali adottiamo il Sistema di riferimento Cartesiano. «Regola della mano destra»
zzz z
y x
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• Indichiamo i punti con le lettere maiuscole dell’alfabeto latino: A, B, P, Z.
• Indichiamo le rette con le lettere minuscole dell’alfabeto latino: a, b, r, s, z.
• Indichiamo i piani con le lettere minuscole dell’alfabeto greco: , , , .
• L’appartenenza si indica con il simbolo . Ad esempio: Pr significa che il punto P appartiene alla retta r.
• L’intersezione si indica con il simbolo . Ad esempio: P=rs s indica che P è l’intersezione tra r e s.
• Il parallelismo si indica con il simbolo //. • La perpendicolarità si indica con il
simbolo . • La proiezione di un punto si indica con
l’apice o un numero in pedice. Ad esempio: A’ è la proiezione di A (si legge A primo), A1 è la proiezione di A sul primo piano di proiezione, ovvero la prima proiezione (si legge A con uno o A uno).
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Alcuni simboli assumono significati particolari • Il simbolo O, corrisponde, solitamente,
all’Occhio dell’Osservatore. • Il simbolo (infinito), accompagnato da un
segmento con due frecce agli estremi, indica una direzione, parallela al segmento. Ad esempio: indica una direzione obliqua.
• Il simbolo solitamente corrisponde al piano di proiezione o piano di quadro
• I piani 1 2 3 indicano i piani di riferimento nello spazio, definiti dagli assi x, y e z. Le proiezioni su di essi assumono lo stesso indice del piano. Ad esempio: P 1 è la proiezione su 1 , ovvero la prima proiezione.
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Gli enti geometrici utilizzati dalla geometria sono:
1. Il punto
2. La retta
3. Il piano
A questi si aggiungono:
4. La direzione (orientamento di una o più rette sul piano)
5. La giacitura (orientamento di uno o più piani nello spazio)
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Tra gli enti geometrici fondamentali intercedono le seguenti relazioni di appartenenza:
• Due punti distinti A e B individuano una retta r alla quale appartengono.
• Due piani e individuano una retta r, alla quale appartengono.
• Tre punti non allineati A, B, C individuano un piano , al quale appartengono.
• Due rette incidenti, r e s, individuano un punto P, al quale appartengono
• Due rette incidenti, r e s, individuano un piano , al quale appartengono.
• Tre piani, , e , distinti, individuano un punto P, al quale appartengono.
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Tra gli enti geometrici fondamentali intercedono le seguenti relazioni di posizione:
• Si dicono parallele le rette che hanno la medesima direzione.
• Si dicono paralleli i piani che hanno la medesima giacitura.
• Si dicono perpendicolari due rette, incidenti, quando dividono il piano in quattro parti uguali.
• Si dicono perpendicolari una retta e un piano, quando la retta è perpendicolare ad almeno due rette del piano.
• Si dicono perpendicolari due piani, quando uno è perpendicolare a tutte le rette dell’altro piano.
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L’operazione di proiezione può svolgersi sia nel piano che nello spazio. Nel PIANO, dati: • Un punto O, detto Centro di
proiezione • Una retta r; • Un punto A
Effettuiamo la proiezione di A da O su r. Mandiamo un raggio proiettante passante per O e A L’intersezione del raggio con r è A’, proiezione di A.
O
O
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Nello SPAZIO, dati: • Un punto O, detto Centro di
proiezione • Un piano di quadro ; • Un punto A
Effettuiamo la proiezione di A da O su . Mandiamo un raggio proiettante passante per O e A L’intersezione del raggio con è A’, proiezione di A.
O
O
• Proiettare significa costruire piani o rette che escono da un punto o sono parallele a una direzione
• Proiettare prevede due operazioni: la proiezione e la sezione
• Gli enti geometrici sono: il punto, la retta e il piano (enti fondamentali) a cui si aggiungono la direzione e la giacitura
• Tra gli enti geometrici esistono relazioni di appartenenza e posizione
• La proiezione può avvenire nel piano e nello spazio
• Gli elementi che vengono coinvolti nella proiezione sono: il centro di proiezione, il piano di quadro, i raggi proiettanti e gli enti geometrici fondamentali
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