P.P. Elemento 1 Teoria de Conjuntos

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UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO

FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS Y DE LAEDUCACION

CARRERA DE EDUCACION BASICAIII SEMESTRE ¨A¨ y ¨B ¨

PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICOMg. Ing. Javier Culki

Marzo – Agosto

2012



VISION Y MISION DE LA CARRERA DE EDUCACIO BASICA

MISIÓN “Formar profesionales líderes competentes, con visión

humanista y pensamiento crítico a través de la Docencia, laInvestigación y la Vinculación, que apliquen, promuevan y

difundan el conocimiento respondiendo a las necesidades de

aís”.

VISIÓN

“La Carrera de Educación Básica de la Facultad de Ciencias

Humanas y de la Educación de la Universidad Técnica de

Ambato por sus niveles de excelencia se constituirá en un

centro de formación Superior con liderazgo y proyección

nacional e internacional”.



TEORÍA DE CONJUNTOS

El matemático ruso- alemán Georg Ferdinand Ludwing Philipp Cantor (1848-1918) crea la teoríaconjuntista.El concepto de conjunto es fundamental en las Matemáticas.DEFINICIÓN.- Es la colección de objetos que poseen una característica común. Los objetos reciben elnombre de elementos.DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO.- Existen dos formas para determinar un conjunto.1.- Tabulación o extensión

2.- Comprensión o forma constructiva

TABULACION O EXTENSIONUn conjunto esta determinado por extensión o enumeración cuando se enlista a todos los elementos.Ejemplos: A = {a, e, i, o, u}

B = {1, 2, 3, 5, 7, 11}

COMPRESION O FORMA CONSTRUCTIVAUn conjunto esta determinado por comprensión, cuando se expresa la propiedad común de todos loselementos.Ejemplos: A = {x/x es una vocal}

B = {x/x es un numero primo menor que 13}

CONJUNTOS RELEVANTES

Conjunto vacio Conjunto unitario Conjunto finito Conjunto infinito Conjunto universo

CONJUNTO VACIOUn conjunto vacio es el que carece de elementos y se representa con el símbolo φ (fi)Ejemplo:

φ= {x/x es la sexta vocal}

CONJUNTO UNITARIOEs aquel conjunto que contiene un único elementoEjemplo:

A = {x/x es la ciudad de Ambato}

CONJUNTO FINITO

Es aquel conjunto que tiene una cantidad finita de elementosEjemplo:A = {x/x es provincias del Ecuador}

CONJUNTO INFINITOEs aquel que contiene una cantidad infinita de elementosEjemplo:

A = {x/x es números primos}

CONJUNTO UNIVERSOEs aquel conjunto que contiene todos los elementos que poseen una característica común

Ejemplo:A = {x/x es los dígitos}



TALLER # 1

Completa la determinación de cada conjunto

Tabulación Comprensión

A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} A = {x/ x……………………………………………}

B = { } B = {x/x es las letras de la fórmula del cloruro de sodio}

C = {senθ, cosθ, tanθ} C = {x/x……………………………………………}

D = { } D = {x/x es planetas del sistema solar}

Escribe por comprensión dos ejemplos de cada conjunto notable

VACIO: 1.-…………………………………………………………………………………………….

2.- …………………………………………………………………………………………….

UNITARIO: 1.-………………………………………………………………………………………… 2.- ………………………………………………………………………………………

FINITO: 1.-…………………………………………………………………………………………….

2.- …………………………………………………………………………………………….

INFINITO: 1.-…………………………………………………………………………………………

2.- …………………………………………………………………………………………

UNIVERSO: 1.-…………………………………………………………………………………………

2.- ………………………………………………………………………………………

CONSULTA:

SIGNOS Y SIMBOLOS

Símbolo Nombre se lee como Categoría

{ , }delimitadores de conjunto el conjunto de ... teoría de

conjuntos

{a,b,c} significa: el conjunto consistente de a, b, y c

N = {0,1,2,...}

{ : }{ | }

notación constructora deconjuntos

el conjunto de los elementos ... tales que ...teoría deconjuntos

{ x : P( x)} significa: el conjunto de todos los x para los cuales P( x) es verdadera. { x | P( x)} eslo mismo que { x : P( x)}.

{n ∈ N : n² < 20} = {0,1,2,3,4}

∅ {}

conjunto vacío conjunto vacío teoría deconjuntos

{} significa: el conjunto que no tiene elementos; ∅ es la misma cosa.

{n ∈ N : 1 < n² < 4} = {}

∈ pertenencia de conjuntos en; está en; es elemento de; es miembro de; teoría de

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto



http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos






http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_vac%C3%ADo

















∉ pertenece a conjuntos

a ∈ S significa: a es elemento del conjunto S; a ∉ S significa: a no es elemento del conjuntoS

(1/2)− ∈ N; 2− ∉ N

⊆ ⊂

subconjunto es subconjunto deteoría deconjuntos

A ⊆ B significa: cada elemento de A es también elemento de B A ⊂ B significa: A ⊆ B pero A ≠ B

A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ R

∪ unión de conjuntos la unión de ... y ...; unión

teoría deconjuntos

A ∪ B significa: el conjunto que contiene todos los elementos de A y también todos aquellosde B, pero ningún otro.

A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B

∩ intersección de conjuntos la intersección de ... y ...; intersección

teoría deconjuntos

A ∩ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos que A y B tienen encomún.

{ x ∈ R : x² = 1} ∩ N = {1}

\ complemento de un conjunto menos; sin

teoría deconjuntos

A \ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos de A que no se encuentranen B

{1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}Tomado de Wikipedia.

ALGUNOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

SÍMBOLO SIGNIFICADO

∃ Existe (∃/:no existe)∃! Existe sólo uno∀ Para todo#Absurdo, contradicción/Tal que, de forma quet.q. Tal que∪ Unión∩ Intersección⊂ Incluido (.:no incluido) o Subconjunto de⊆ Incluido o coincide∈ Pertenece (.: no pertenece)∨ o∧ yP⇒ Q

P implica QSi se verifica P entonces se verifica QQ es condición necesaria para que se cumpla P

P⇔ QP es equivalente a Q











































http://es.wikipedia.org/wiki/Subconjunto





http://es.wikipedia.org/wiki/Uni%C3%B3n_de_conjuntos





http://es.wikipedia.org/wiki/Intersecci%C3%B3n_de_conjuntos





http://es.wikipedia.org/wiki/Complemento_de_un_conjunto



















P se verifica si y sólo si se verifica QQ es condición necesaria y suficiente para que Se cumpla P

i.e. Idénticamente, equivalentementeφ Conjunto vacío

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Diagrama de Venn.- Inventado por John Venn, en 1880, es un organizador grafico que utiliza círculos,

que se sobreponen para representar características que comparten o no.

RELACIÓN DE PERTENENCIA ⊆

Se dice que un conjunto A está contenido en B (o Que A es subconjunto de B o que A es

parte de B), si todo elemento de A es también elemento de B, y se denota A⊆ BA⊆ B significa que∀ x/x ∈ A⇒ x∈ B;Se lee: A esta incluido en B para todo elemento x, x pertenece a A esto implica que xpertenece a BDIAGRAMA DE INCLUSIÓN

Si A⊆ B y B⊆ A, entonces Los conjuntos son iguales A = B.Esta relación me indica que los conjuntos A y B tienen los mismos elementos.De esto se desprende que:a.- Todo conjunto está contenido en si mismo.b.- La inclusión no es reciproca o refleja, excepto cuando los dos conjuntos son iguales.c.- El conjunto vacio está incluido en el conjunto A.

OPERACIONES DE CONJUNTOS

UNIÓN DE CONJUNTOSSe llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos que

pertenecen al conjunto A y al Conjunto B.

A∪ B = {x/x∈ A ∨ x∈ B}

Que se lee: A unión B es igual al conjunto formado por los elementos tales que xpertenezca al conjunto A o x pertenezca al conjunto BDIAGRAMAS DE UNIÓN

B

A

B

A



Diagrama de unión cuando A es subconjunto de B

Diagrama de unión de dos conjuntos intersecantes

Diagrama de unión de conjuntos disjuntos

INTERSECCION DE CONJUNTOS

Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos

comunes de A y de B.

A ∩ B = {x/x∈ A ∧ x ∈ B}

Que se Lee: A intersección B igual al conjunto de elementos tales que x pertenece alconjunto A y x pertenece al conjunto B

DIAGRAMAS DE INTERSECCION

Intersección de conjuntos

BA

http://www.google.com.ec/imgres?q=union+de+conjuntos&hl=es&sa=X&rlz=1T4SKPB_enEC350EC353&biw=1280&bih=591&tbm=isch&prmd=imvns&tbnid=1t5o_fX8AypJ9M:&imgrefurl=http://www.monografias.com/trabajos55/estructuras-objetos-discretos/estructuras-objetos-discretos.shtml&docid=nYVzJNPhuzuHeM&imgurl=http://www.monografias.com/trabajos55/estructuras-objetos-discretos/estructuras-objetos-discretos_archivos/image012.jpg&w=271&h=186&ei=na1vT8mIHoXbggeb7d1r&zoom=1



Intersección de subconjuntos

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

La diferencia entre dos conjuntos A y B es otro conjunto formado por los elementos

que pertenecen al conjunto A y no pertenecen al conjunto B

A \ B o A – B = {x/ (x ∈ A ∧ x ∈ B}

Que se Lee: A menos B igual al conjunto de elementos tales que x pertenece al conjuntoA y x no pertenece al conjunto B

DIAGRAMAS DE DIFERENCIA Corresponde a la zona pintada de color café

DIFERENCIA SIMÉTRICA ENTRE CONJUNTOS

La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es otro conjunto formado por los

elementos de los dos conjuntos excepto los elementos comunes.

````

A B = {x/ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ A}

Que se Lee: A diferencia simétrica con B es igual al conjunto de elementos tales que xpertenece al conjunto A y x no pertenece al conjunto B o x pertenece al conjunto B y x

no pertenece al conjunto A



Algunas propiedades del conjunto diferencia son:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

DIAGRAMAS DE DIFERENCIA SIMÉTRICA Corresponden a las zonas pintadasde color café y color verde oscuro

COMPLEMENTACION DE CONJUNTOS

El conjunto complemento de A es otro conjunto formado por los elementos del conjunto

universo y que no pertenecen al conjunto A. Para representar el complemento delconjunto A se lo hace Ac

Algunas propiedades básicas del complemento son:

1.

2.

3.

4.

5.

La propiedad 5 se la conoce por el nombre de Las Leyes de De Morgan.

DIAGRAMAS DE COMPLEMENTO



En el diagrama el complemento corresponde al área pintada en celeste

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Además de las anteriores se verifican las siguientes:

PROPIEDAD OPERACIÓN

Elemento nulo A φ = A, φ A = A φ = A

Elemento Universal AU = U , U A = A U = A

PROPIEDAD UNION INTERSECCIONIDEMPOTENCIA A A = A A A = ACONMUTATIVA A B = B A A B = B AASOCIATIVA A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) CABSORCION A ( A B) = A A (A B ) = ADISTRIBUTUVA A ( BC) = (A (A C ) B C ) = (A A C )COMPLEMENTARIEDAD A Ac = U A Ac = φ

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