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explicaion de limites y determinantes
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Agosto 2010
“Firmes en nuestro compromiso de alcanzar nuestra visión de ser competitivos e innovadores para tener acreditación internacional y contribuir
al desarrollo sostenido.”
Limites Laterales, infinitos y
Continuidad de Funciones
1
LOGRO DE SESIÓN:
Al término de la sesión el estudiante determinará correctamente los límites laterales, infinitos y la continuidad de una función, teniendo en cuenta propiedades y tipos de discontinuidad.
LÍMITES LATERALES
Consideremos una función por tramos:
2 x ; 34x
2 x ; 12)(
xxf
5)(
2
lim
xf
x
6)(
2
lim
xf
x
x < 2 ( Por la izquierda)
x 1,8 1,9 1,99
f(x) 4,24 4,61 4,96
x > 2 ( Por la derecha)
x 2,1 2,05 2,01
f(x) 6,0083 6,0041 6,0008
2
5
6
f(x) = x2+1
X
Y34)( xxf
DEFINICIÓN:
Una función f(x) tiene límite en “a” si los limites laterales en “a” son iguales;esto es:
)(lim)(lim )(lim LxfxfLxfaxaxax
a
L
y = f (x)
X
Y
En los siguientes gráficos:
12
y
4x
f
3
5
y
x
g7
Se observa que: Se observa que:
124
)x(flimx
124
)x(flimx
124
)x(flim x
73
)x(glimx
53
)x(glimx
)x(glim EXISTE NO x 3
Verificar si existen los siguientes límites
1,4
1,5)(
2
xx
xxxf
2,2
333
2,4
8
)(2
3
xsix
x
xsix
x
xf
)())())()111
xfLimcxfLimbxfLimaxxx
)())())()222
xfLimcxfLimbxfLimaxxx
2,84
21,23
1,1
)(
23
xaxbx
xaxbx
xx
xx
xf
Determinar el valor de a y b, si se sabe que el límite existen
)()(21
xfLimyxfLimxx
6
Dada la gráfica de la función calcular los siguientes límites)(xf
1 3-2
-3
12
7
3
)())())()222
xfLimcxfLimbxfLimaxxx
)())())()111
xfLimfxfLimexfLimdxxx
)())())()333
xfLimixfLimhxfLimgxxx
3 7 NO EXISTE
12 -3 NO EXISTE
0 0 = 07
LÍMITES INFINITOS
Ejemplo 1:2x
1x3 lim
2x
Son aquellos límites donde el denominador de una función tiende a cero, pero el numerador tiende a un número diferente de cero dando como resultado + o
Se observa que el numerador tiende a 7 y el denominador tiende a cero (positivo)
0
7
2x
1x3 lim
2x
Luego:
Ejemplo 2:
5x
x2 lim
5x
Se observa que el numerador tiende a 3 y el denominador tiende a cero (negativo)
0
3
5x
x2 lim
5x
Luego:
Ejemplo 3:
4x
9 lim
4x
Se observa que el numerador tiende a 9 y el denominador tiende a cero (negativo)
0
9
4x
9 lim
4xLuego:
Ejemplo 4:2
1
2limx
x
x
Se observa que el numerador tiende a 1 y el denominador tiende a cero (positivo)
Luego:
Ejemplo 5:3
2 7
3limx
x
x
Luego:
2
1 1
2 0limx
x
x
3
2 7 1
3 0limx
x
x
Se observa que el numerador tiende a 1 y el denominador tiende a cero (negativo)
Ejemplo 7:3
1
3limx
x
x
Se observa que el numerador tiende a -2 y no se puede determinar si el denominador tiende a cero (negativo) o tiende a cero (positivo). En este caso se hallan los limites laterales.
Luego:
3
1 2
3 0limx
x
x
3
1 2
3 0limx
x
x
2
1
2limx x
Ejemplo 6:2
1
2limx
x
Se observa que el numerador es 1 y no se puede determinar si el denominador tiende a cero (negativo) o tiende a cero (positivo). En este caso se hallan los limites laterales.
Luego:2
1 1
2 0limx
x
2
1 1
2 0limx
x
2
1
2limx x
12
N n ,x
1 .1
n0x
lim
par es n si,
impar es n si,
x
1 .2
n0x
lim
PROPIEDADES DE LÍMITES INFINITOS
CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Una función f(x) es continua en “a” si sólo si se cumplen las siguientes tres condiciones:
1) Existe f(a), es decir “a” está en el dominio de f(x).
f(x) limax
2) Existe el ( es decir los límites laterales en “a” existen y son iguales)
f(a)f(x) limax
3)
Ejemplo N°1: Analizar la continuidad de la siguiente función en el punto x = 3
3x ;13x
3x ;5x)x(f
2
4133)3(f
Solución:
1) Se observa que x = 3 está en el dominio de f(x)
2) Se calculan los límites laterales en x = 3:
f(x) lim3x
f(x) lim3x
4f(x) lim3x
f(3)f(x) lim3x
3) Se observa que: f(x) es continua en x = 3
4532
4133
Ejemplo N°2: Analizar la continuidad de la siguiente función en el punto x = 2
2x ;9x8
2x ;5x)x(f
2
352)2(f 2
Solución:
1) Se observa que x = 2 está en el dominio de f(x)
2) Se calculan los límites laterales en x = 2:
f(x) lim2x
f(x) lim2x
f(x) EXISTE NO lim2x
f(x) es discontinua en x = 2
3522
598(2)
TIPOS DE DISCONTINUIDAD DE FUNCIONES
f(x) limax
Una función tiene este tipo de discontinuidad en un punto “a” cuando existe
pero es diferente de f(a) ó a Df
Ejemplo: Analizar la continuidad de la siguiente función en el punto x = 5
5x ;1x
5x ;3x2
5x ;x9
)x(f
1. DISCONTINUIDAD EVITABLE O REMOVIBLE
Solución:
1) x = 5 está en el dominio de f(x) 73)5(2)5(f
2) Se calculan los límites laterales en x = 5:
f(x) lim5x
f(x) lim5x
2f(x) lim5x
\ f(x) presenta discontinuidad evitable en x = 5
259
21-5
3) Se observa que: f(5)f(x) lim5x
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA DISCONTINUIDAD EVITABLE
2f(x) )2 lim5x
2
y
5x
y= f(x)
f(5) existe No D 5 1) f
2f(x) )2 lim5x
2
y
5x
y= f(x)7
7f(5) 1)
)5(ff(x) )3 lim5x
f(x) limax
Una función tiene este tipo de discontinuidad en un punto “a” cuando no existe o al menos uno de los límites laterales en “a” es
Ejemplo : Analizar la continuidad de la siguiente función en el punto x = 3
3x ;2x
3x ;4x)x(f
2
2. DISCONTINUIDAD INEVITABLE O NO REMOVIBLE
Solución:
1) x = 3 está en el dominio de f(x) 1343)3(f 2
2) Se calculan los límites laterales en x = 3:
f(x) lim3x
f(x) lim3x
f(x) existe No lim3x
\ f(x) presenta discontinuidad inevitable en x = 3
13432
12-3
3
y
x
y = f(x)13
1
EJERCICIOS
1. Determinar si las funciones son continuas en los puntos dados
2. Determinar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones e indique el tipo de discontinuidad
2,8)() 3 xxxxfa
2,2
8)()
3
xx
xxfb
16
4)()
2
2
x
xxxfa
4
1)()
2
2
x
xxxfb
19
3. Analice la continuidad de las siguientes funciones.
4. Determine el valor de las constantes, sabiendo que las funciones son continuas en todo su dominio
13
12
1,1
31
)()
2
xx
xx
xx
xfa
834
826
212
)()
xsix
xsi
xsix
xfb
2,33
2,24
2,12
)()
2
xmxn
xx
xnmx
xfb
1213
1
113
)()2
2
xsix
x
xsixax
xfa
20
21
5. Determine los siguientes límites. Además analice la continuidad a partir de la gráfica de la función dada.
0( ) 0
xLim f x
3( )
xLim f x
( ) 0xLim f x
3( )
xLim f x
( ) 2xLim f x
-3 1 3
2
-1
9
-2
