Proiect realizat de: Capota Alina si Predescu Iulia

Descrierea algoritmului

Implementarea algoritmului

Aplicatie practica

Exemplu

Programul in C++

Algoritmul lui Kruskal, scris de Joseph Kruskal în 1956, este un algoritm

în teoria grafurilor care găseşte arborele parţial de cost minim pentru un

graf conex ponderat (graf in care fiecare muchie are asociat un cost). Cu

alte cuvinte, găseşte submulţimea muchiilor care formează un arbore care

include toate vârfurile şi care este minimizat din punct de vedere al

costului. Dacă graful nu este conex, atunci algoritmul găseşte un arbore

parţial de cost minim pentru fiecare componentă conexă. Algoritmul lui

Kruskal este un exemplu de algoritm greedy.

Pentru implementarea algoritmului este necesară rezolvarea următoarelor două probleme:       – cum extragem muchia de cost minim      – cum testăm dacă muchia selectată formează sau nu cicluri cu cele deja selectate. Pentru a extrage minimul, o idee ar fi să sortăm muchiile crescător după cost şi să parcurgem secvenţial muchiile ordonate. Pentru a realiza sortarea muchiilor grafului, vom reprezenta graful prin lista muchiilor (un vector cu m componente, fiecare componentă fiind o structură în care reţinem cele două extremităţi şi costul muchiei). O muchie va forma cicluri cu muchiile deja selectate dacă şi numai dacă între extremităţile muchiei există cel puţin un lanţ.Pentru a testa dacă o muchie formează cicluri cu muchiile deja selectate este suficient să testăm dacă extremităţile muchiei se găsesc în aceeaşi componentă conexă. Pentru aceasta va trebui să ţinem permanent evidenţa componentelor conexe (arborilor) care se formează.

Reprezentarea informaţiilor:

n – numărul de vârfurim – numărul de muchii din grafG – graful dat, reprezentat prin lista muchiilor (un vector cu m componente, fiecare componentă fiind o structură în care reţinem cele două extremităţi şi costul muchiei)A – arborele parţial de cost minim, reprezentat ca un vector n-1 componente în care vom reţine indicii din G ai muchiilor selectatec – vector cu n componente în care vom reţine evidenţa componentelor conexe (c[i] = componenta conexă căreia îi aparţine vârful i)

Trebuie sa conectam 3 orase la o retea telefonica: Bucuresti, Timisoara si Arad.

Necesar cablu: 1300 km.

60

600

640

E inutil sa executam toate cele trei conexiuni, numai doua din ele sunt suficiente pentru o comunicare in bune conditii intre oricare 2 orase.

De exemplu, legatura Timisoara – Arad ar putea lipsi, caz in care necesarul de cablu devine 1240 km.

640

600

Sau legatura Timisoara – Bucuresti ar putea lipsi, necesarul de cablu devenind 700 km.

60640

Oricare 2 legaturi sunt suficiente, deoarece semnalul electric circula suficient de rapid ca un abonat din Timisoara care doreste sa vorbeasca cu unul din Arad (de exemplu) sa nu-si dea seama ca nu exista legatura directa intre Timisoara si Arad si ca apelul sau este rutat prin Bucuresti.

Din punctul de vedere al necesarului de cablu, lucrurile nu mai stau la fel.

Conteaza foarte mult care legaturi vor fi realizate si care nu.

Cel mai ieftin ar fi sa alegem legaturile Arad – Timisoara si Timisoara – Bucuresti si sa evitam legatura Arad - Bucuresti, necesarul de cablu ajungand in acest caz la 660 km; aceasta este situatia optima – sau “acoperirea minima” a retelei.

Notăm cu n numărul de vârfuri din graf (n=|X|). Iniţial considerăm că nici o muchie din graf nu a fost selectată, deci fiecare vârf din graf este vârf izolat. Cu alte cuvinte, la momentul iniţial avem o pădure formată din n arbori, fiecare arbore fiind format dintr-un singur vârf.  La fiecare pas se selectează o muchie de cost minim care nu a mai fost selectată şi care nu formează cicluri cu muchiile deja selectate.

111

111

111

111

1111

2 3

4

5

11

1

4

32

Exemplu:

Pasul 1:Selectăm o muchie de cost minim. (În cazul nostru, de cost 1).Observaţi că în graful parţial selectat există n - 1 = 4 arbori, pentru că am unificat arborii corespunzători extremităţilor muchiei selectate. Arborii sunt: { 1, 3 }; { 2 }; { 4 }; { 5 }.

Pasul 2: Selectăm din nou o muchie de cost minim.(Costul minim fiind 1).Observaţi că în graful parţial selectat există n - 2 = 3 arbori. Arborii sunt:{ 1, 3, 4 }; { 2 }; { 5 }.

Pasul 3: La acest pas nu mai putem selecta o muchie de cost 1, deoarece s-ar obţine un ciclu. Selectăm muchia de cost 2.Arborii sunt: { 1, 2, 3, 4 }; { 5 }.

Pasul 4: Selectând, în final, muchia de cost 3, obţinem un graf fără cicluri cu n-1 muchii, deci un arbore.

Cod C++: