PPTCES024MT22-A15V1 Clase Rotación y reflexión en el plano MT-22

PPTC

ES02

4MT2

2-A1

5V1

Clase

Rotación y reflexión en el plano

MT-22

Aprendizajes esperados

• Aplicar la rotación de puntos y figuras en el plano cartesiano con respecto al origen.

• Aplicar la rotación de puntos y figuras en el plano cartesiano con respecto a un punto distinto del origen.

• Aplicar la simetría axial de puntos y figuras con respecto a un eje de simetría.

• Aplicar la simetría axial de puntos y figuras con respecto a los ejes coordenados.

• Aplicar simetría central de puntos y figuras con respecto al origen y con respecto a un punto distinto del origen.

• Aplicación de la composición de transformaciones isométricas.

Pregunta oficial PSU

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2014.

39. Al cuadrado PQRS de la figura 3, con dos lados paralelos al eje x y centro en el origen O del sistema de ejes coordenados, se le aplica una o varias rotaciones en 90° alrededor del origen y/o reflexiones con respecto al eje x. ¿En cuál de las siguientes opciones la figura NO puede ser la imagen de PQRS después de aplicar una o varias de estas transformaciones isométricas?

1. Rotación2. Simetría o reflexión3. Composición de transformaciones

isométricas

1. Rotación

<

Corresponde a un movimiento circular con respecto a un centro de rotación en un ángulo determinado.

La rotación es positiva si es en sentido anti-horario (contrario a los punteros del reloj).

O

O: centro de rotación

Definición

1. Rotación

Si el punto A (x, y) gira con respecto al origen en 90°, 180°, 270° o en 360°; se transforma en otro punto, cuyas coordenadas se indican en la siguiente tabla:

90° 180° 270° 360°

A(x, y)

Punto

Ángulo

(–y, x) (–x, –y) (y, –x) (x, y)

Ejemplo:

90° 180° 270° 360°

A(5, –8)

Punto

Ángulo

(8, 5) (–5, 8) (–8, –5) (5, –8)

Rotación, respecto al origen

1. Rotación

A

Si el punto A (2, 3) gira con respecto al origen en 90°, se transforma en el punto A´(– 3, 2).

A´

1

2

3

4

2 3 4–1–2–3

1

5

Ejemplo:

<

1. Rotación

Ejemplo:

Al rotar el punto A(-2,5) en 180°, en sentido positivo y con centro en el origen éste se transforma en el punto A´(2,-5).

1. Rotación

Al rotar el punto A(-2,5) en 270°, en sentido positivo y con centro en el origen, éste se transforma en el punto A´(5, 2).

Ejemplo:

1. Rotación

El cuadrado ABCD de la figura se transforma en el cuadrado A´BĆ´D´ al rotarlo en 90° (sentido negativo), entorno al centro O.

>

Una rotación negativa (o en sentido horario) de 90º equivale a una rotación positiva(o antihoraria) 270º, y viceversa.

<Rotación, respecto a un centro

Ejemplo:

1

2

3

4

2 3 4–1–2–3

1

5

1. Rotación

El punto B(5, 4) se rota en torno al punto A(1, 1) en 90°, obteniéndose el punto B’. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B’?

¿Cómo resolverías la primera parte del problema?

B

A

5

B´

Rotación, respecto a un punto distinto del origen

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2015.

1

2

3

4

2 3 4–1–2–3

1

5

1. Rotación

B

A

5

B´

Se puede trasladar el punto A al origen utilizando el vector T(– 1, – 1). Al aplicarlo a B, quedaría en las coordenadas (4,3). Luego, se rota en 90°, quedando B en las coordenadas (– 3,4).

Para responder a la pregunta, aplicamos el vector T´(1,1), quedando B en las coordenadas (– 2,5).

Rotación, respecto a un punto distinto del origen

Se puede considerar una simetría como aquel movimiento que aplicado a una figura, produce el efecto de un espejo (refleja la figura).

2. Simetría o reflexión

Definición


Simetría axial: reflexión respecto de un eje.

Eje de Simetría

MA´MA

A A´M

Tipos de simetría

OA

A´


Simetría central: reflexión respecto a un punto.

O : centro de simetría

OAÓA

Tipos de simetría


La simetría axial, corresponde a una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto A del plano, otro A’, tal que la recta que los une, es perpendicular a una recta fija llamada eje de simetría.

1

2

3

4

2 3 4-1-2-3

1

5

A A’

eje de simetría: x = 1

M

AM MA’

AA’ es perpendicular al eje de simetría

x

y

3 unidades3 unidades

Simetría axial en el plano cartesiano


1

2

3

4

2 3 4-1-2-3

1

5

Ejemplo 1:

Al aplicar una simetría axial al lápiz de la figura, respecto al eje de las ordenadas (y), el resultado es el siguiente:

A A’4 unidades4 unidades

x

y


1

2

3

2 3 4-1-2-3

1


Ejemplo 2:

Al aplicar una simetría axial a la imagen de la figura, respecto al eje de las abscisas (X), el resultado es el siguiente:

A

A’

3 unidades

-2

-3

-1

x

y

3 unidades



La simetría central corresponde a una transformación isométrica de modo que el simétrico de un punto A, con respecto a un punto O, es A`, donde y A` pertenece a la recta .OAÓA AO

Ejemplo:

O3

1

2

4

2 3 4-1-2-3

1

5

A A´

B

B´

C

C´

OAÓA

OBÓB

OCÓC

La simetría central equivale a una rotación de 180º con respecto a un punto.

x

y

Simetría central en el plano cartesiano

Algunas de sus obras

El artista clave que representa al tema de isometrías, es Escher (1898). Para él la escuela era una pesadilla, excepto las clases de dibujo. Sin embargo, el carácter matemático de sus obras ha hecho que sea uno de los artistas más populares en los entornos científicos, especialmente matemáticos e informáticos.

3. Composición

Curiosamente, sus conocimientos matemáticos siempre fueron muy limitados. Muchas de las conclusiones gráficas y matemáticas a las que llegó, que le permitirían realizar algunos de sus trabajos, tuvo que descubrirlas por sí mismo.

“Peces y barcos” “Jinetes” “Mariposas”

Composición de transformaciones isométricas

180°

3. Composición

¿Cómo lo hizo?

Realizó rotaciones de 60° alrededor de un centro “O”.

Composición de transformaciones isométricas

¿Cómo crear una imagen para teselar?

Podemos usar polígonos regulares como el cuadrado, triángulo equilátero y hexágono regular, los que permiten cubrir el plano.

3. Composición

Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre completamente una superficie plana, de manera que no queden espacios y no se superpongan las figuras.

Ejemplo de composición: Teselación

Además, mediante transformaciones isométricas, se pueden descubrir nuevos diseños para teselar.

3. Composición

5° …podemos cubrir el Plano (Teselar).

Ejemplo:

1° 2° 3° 4°

Aplicando simetría y traslación…

3. Composición

Composición en el plano cartesiano

Ejemplo:

Si el punto A (– 2,3) es parte de la mariposa de la figura, ¿cuáles serán sus nuevas coordenadas luego de aplicar una rotación positiva de 90° respecto al origen, y a continuación una traslación T(5,3)?

1

2

3

2 3 4-1-2-3

1

x

yA

3. Composición

Composición en el plano cartesiano

1

2

3

2 3 4-1-2-3

1

x

yA

A´

1° Al aplicar una rotación positiva de 90° respecto al origen resulta:

A(– 2,3) A´(– 3, – 2)

2° Al aplicar el vector traslación T(5,3) resulta: A´(– 3, – 2) A´´(2,1)

A´´

Pregunta oficial PSU

ALTERNATIVA CORRECTA

A

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2014.

39. Al cuadrado PQRS de la figura 3, con dos lados paralelos al eje x y centro en el origen O del sistema de ejes coordenados, se le aplica una o varias rotaciones en 90° alrededor del origen y/o reflexiones con respecto al eje x. ¿En cuál de las siguientes opciones la figura NO puede ser la imagen de PQRS después de aplicar una o varias de estas transformaciones isométricas?

Tabla de corrección

Nº Clave Unidad temática Habilidad

1 A Transformaciones Isométricas Comprensión

2 D Transformaciones Isométricas Comprensión

3 B Transformaciones Isométricas Aplicación


5 C Transformaciones Isométricas ASE

6 A Transformaciones Isométricas Aplicación

7 D Transformaciones Isométricas Aplicación

8 A Transformaciones Isométricas Comprensión


10 A Transformaciones Isométricas ASE

11 C Transformaciones Isométricas Comprensión

12 D Transformaciones Isométricas Aplicación

Tabla de corrección

Nº Clave Unidad temática Habilidad


14 D Transformaciones Isométricas Comprensión

15 E Transformaciones Isométricas ASE


17 B Transformaciones Isométricas Comprensión

18 D Transformaciones Isométricas ASE




22 A Transformaciones Isométricas Aplicación




Síntesis de la clase

Rotación

Simetría o Reflexión

Respecto a un punto distinto del origen

Respecto al origen

CentralAxial

Composición

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