PR 1 Matematicke Osnove Fizike

11 - Uvod u fiziku 1

Fizikalne veliFizikalne veliineine

METROLOGIJA mjeriteljska znanost i tehnika

- uskladiti i pronai najpogodnije mjerne jedinice i oznake, te uvesti jedinstveni meunarodni sustav jedinica u sve grane znanosti i tehnike

Podjela fizikalnih veliina (s obzirom na broj podataka koji su potrebni za njihovojednoznano odreenje):

1) skalarne fizikalne veliine jedan podatak (SKALAR)( gustoa, V-volumen, T-temperatura, m-masa, t-vrijeme, f-frekvencija,...)

2) vektorske fizikalne veliine 3 podatka (VEKTOR)(brzina, ubrzanje, sila, moment sile,...)

, , v a F vrh

hvatiteduljina

1 - Uvod u fiziku 2

Vektorski raun


Vektorski raun

- skalar je veliina odreena iznosom i mjernom jedinicom (m = 5 kg, T = 300 K, t = 1 s)

-vektor (usmjerena duina) je veliina odreena:- pravcem na kojem lei- smjerom- iznosom (intenzitet, modul, apsolutna vrijednost)

= duljina vektora (udaljenost od hvatita do vrha)

- oznaka:

- translacija ne mijenja vektor

, , ,r v a F

v

A

B

AB

p

b b

b

1 - Uvod u fiziku 4

Vektorski raun

Zbrajanje vektora

a b c+ =

a

b

a

b

c

a

b

c

d

R

R a b c d= + + + vektorski poligon

a

b c a b= +

metoda paralelograma

2 2 2 cosc a b ab = + +

2 2 2

co s2

a c ba c

+ =


Vektorski raun

Oduzimanje vektora zbrajanje

( )c a b a b= = +

a

b

b

( )a b+

a b

1 - Uvod u fiziku 6

Skalarni produkt vektora

cos ( , )a b a b a ba b b a

=

=


Vektorski produkt vektoraVektorski produkt vektora

( )( ) 0sin ,( ) ( )( ) ( )

c a b a b a b c

a b b aa b c a b c

a c b a c b

= =

=

= =

= =

1 - Uvod u fiziku 8

Vektorski produkt vektoraVektorski produkt vektora


KartezijevKartezijev pravokutni koordinatni pravokutni koordinatni sustavsustav:


KartezijevKartezijev pravokutni koordinatni sustavpravokutni koordinatni sustav: jedinini vektori, vektori poloaja

10

x y z

x x y y z z

a a i a j a ka b a b a b a b

i i j j k ki j j k i k

= + +

= + +

= = =

= = =

x y z x y z

x y z x y z

x y z i j ka b a a a a a a

b b b b b b

= =


JediniJedinini vektorni vektor

oa a a a a= =

Jedinini vektor ili ORT je vektor iznosa 1.

Oznaka :

oa a=

Za bilo koji vektor vrijedi

MnoMnoenje vektora sa skalaromenje vektora sa skalarom

( ) ( ) oa a a a a = =


Vektorski raVektorski raununPrimjeri:Primjeri:

1. Vektori i zatvaraju kut 60. Koliki je a

b

ia b a b

ako je 3 i 5 ?a b= =

2. Zadana su dva vektora 3 2 i 5 2a i j k b i j k= + + = +

Odredite , , , .a b a b a b a b+

Koliki je vektor tako da jec

0?a b c =

2. Zadana su tri vektora: 2 , 3 2 , 4 .a i j k b i j k c i j k= + + = = + +

Izraunajte:a)

b)

c) Pokaite da vrijedi:

( ) ( )a b c i a b c ( ) ( )a b c i a b c

( ) ( ) ( ) .a b c a c b a b c =


KartezijevKartezijev pravokutni koordinatni pravokutni koordinatni sustavsustav:


Vektor poloVektor poloaja (radijus vektor)aja (radijus vektor)- opisuje poloaj toke u prostoru

2 2 2

,

o

r xi yj zkr r x y z r r r r r

= + +

= = + + = =

- Jedinini vektor u smjeru vektora definira se :or r= r

2 2 2

cos cos cos

cos cos cos 1

o

o

r x y zr r i j k

r r r r

r r i j k

= = = + +

= = + +

+ + =


VEKTORI U KOORDINATNIM SUSTAVIMAVEKTORI U KOORDINATNIM SUSTAVIMA

Kartezijev koord. sustav Polarni (ravninski) koord. sustav



CilindriCilindrini koord. sustavni koord. sustav



Sferni (prostorni) koord. sustavSferni (prostorni) koord. sustav



Sferni (prostorni) koord. sustavSferni (prostorni) koord. sustav

10


DerivacijeDerivacije

Derivacija je matematika veliina koja govori o naglosti promjene vrijednosti funkcije pri infinitezimalno maloj promjeni varijable o kojoj ta funkcija ovisi.

I. Newton je uveo pojam derivacije i dao matematiku definiciju za njeno izraunavanje:

( )0

( )limx

f x x f xdfdx x

+ =

Derivacija funkcije u nekoj toki je nagib tangente na krivulju u toj toki. dftg

dx =


Derivacija vektorske funkcijeDerivacija vektorske funkcije

Derivacija vektora je derivacija svake pojedine njegove komponente

Promjena poloaja estice: Promjena brzine estice:

dr dx dy dz

v r i j k xi yj zkdt dt dt dt

= = = + + = + +

( ) ( )2 1r r t r t = ( ) ( )2 1v v t v t =

11


Derivacija vektorske funkcijeDerivacija vektorske funkcije

Trenutna (prava) brzina

Naglost promjene poloaja estice u vremenu je brzina.

Trenutno (pravo) ubrzanje

Naglost promjene brzine estice u vremenu je ubrzanje.

( )0

limt

r drv t

t dt

= =

0lim

t

v dva

t dt

= =


Integracija

Integral neke funkcije je povrina ispod krivulje koja predstavlja ovisnost te funkcije o varijabli x po kojoj se integrira u podruju od x1 do x2

2

1

( )x

x

I f x dx=

12


IntegracijaIntegracija

Integral neke funkcije je povrina ispod krivulje koja predstavlja ovisnost te funkcije o varijabli x po kojoj se integrira u podruju od x1 do x2

2

1

)

(

(

)

B

x

x

A

W F

I

s

x dx

s

f

d=

=

Documents

PR 1 Matematicke Osnove Fizike