51

CPPRSэ

22 – толщина стандартного эллиптиче-

ского днища; ρц – плотность материала цилиндрической части; ρэ – плотность материала днищ.

Две переменные величины R и Н связаны между собой через заданный объем емкости.

V = Vц + 2Vэ = πR2H +2(2/3πR2Hd) = πR2H + 2/3πR3.

Отсюда

.32

2 RRVН

Подставив значения всех величин в основное уравнение, получим

цCP

PRRRVRM

22

322 2

.22380,12 2 эCP

PRR

Упростив уравнение, найдя производную и приравняв ее

к нулю, получим

R4 +AR3 – B = 0, где А и В – коэффициенты.

Данное уравнение может быть решено численными ме-тодами или графически.

Решим данную задачу при условии, что емкость имеет объем V=10 м3, изготовлена с использованием автоматической двухсторонней сварки под слоем флюса (φ=1) из стали 20, экс-плуатируется на открытой площадке под внутренним давлени-ем Р=1,5 МПа и предназначена для обработки и хранения сер-

52

нистого печного топлива при температуре окружающей среды. Скорость процесса атмосферной коррозии данной стали со-ставляет 0,05 мм/год, а скорость коррозии в печном топливе - 0,3 мм/год. Расчетный срок службы емкости 20 лет. По табл. 5 [6] для сталей 20 и 20К при температуре 20°С [σ] = 147 МПа.

Определим прибавку на коррозию

С = 0,05·20 + 0,3·20 = 7 мм = 0,007 м.

Плотность металла корпуса и днищ одинаковая, т.е. ρ = ρц = ρэ = 7800 кг/м3.

Масса корпуса емкости

7800007,00103,0482,420 2

RR

RМ .

Найдем первую производную и, приравняв ее к нулю,

получим

R4 + 0,455R3 – 1,015 = 0.

Решим данное уравнение графически, для чего перепи-шем его в следующем виде:

Y = R4 X = 1,015 – 0,455R3.

По результатам расчета заполним табл. 2.2. и построим

график (рис. 2.18.), который позволяет найти решение с доста-точной для инженерных целей точностью.

В данном случае решение уравнения находится между 0,90 и 0,91 м. Принимаем ближайший стандартный размер Rопт = 0,90 м, тогда Нопт = 3,33 м.

53

Таблица 2.2 Результаты расчета

R Y X 0,7 0,240 0,860 0,8 0,410 0,782 0,9 0,656 0,683

0,91 0,686 0,672 1,0 1,000 0,560

Р и с. 2.18. Графическое нахождение решения уравнения

54

Г л а в а 3.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАГРУЗОК ОТ МАССЫ АППАРАТОВ

Корректный выбор размеров основных конструктивных элементов аппаратов, а также подбор соответствующих грузо-подъемных механизмов при проведении ремонтных и монтаж-ных работ возможен только в том случае, когда известны дей-ствующие нагрузки. Одними из основных являются нагрузки от собственной массы и от массы продукта, содержащегося в объеме аппарата.

В данной главе рассматриваются простые наиболее ти-пичные элементы аппаратов. Необходимо помнить, что при решении реальной задачи используется расчетная схема, кото-рая позволяет отбросить несущественные факторы и упростить решение.

При схематизации реальных объектов часто следует сде-лать упрощения и в системе сил, приложенных к элементу кон-струкции, например, распределенная нагрузка заменяется со-средоточенной силой, приложенной в определенной точке. За-мена распределенных сил сосредоточенной равнодействующей возможна, когда проводится расчет объекта в целом.

Поскольку геометрически аппараты чаще всего пред-ставляют собой сочетание пластин и различных оболочек вра-щения, то необходимо уметь рассчитывать массу и находить положение центров тяжести конструктивных элементов, а так-же массу и положение центров тяжести содержимого. Итогом данных расчетов являются масса реальных технологических аппаратов и координаты центра тяжести.

Знание массы отдельных элементов и положение цен-тров тяжести позволяет составлять расчетные схемы, по кото-рым можно производить оптимизацию конструкции или выби-рать схемы монтажа оборудования, определять нагрузки на монтажные механизмы, рассчитывать отдельные приспособле-ния и т.д.

55

В результате расчета нужно получить ответы на вопро-сы, удовлетворяет или нет конструкция требованиям надежно-сти и является ли решение оптимальным.

Основные методы решения задач данного раздела уже были рассмотрены ранее в курсах высшей математики и сопро-тивления материалов.

3.1. Статические моменты пластины

Возьмем некоторую пластину, изготовленную из одно-родного материала, свяжем с системой координат х, у и рас-смотрим два следующих интеграла:

F

x ydFS ,

F

y xdFS ,

где индекс F у знака интеграла указывает на то, что интегриро-вание ведется по всей площади пластины. Каждый из интегра-лов представляет собой сумму произведений элементарных площадок dF на расстояние до соответствующей оси (х или у).

Первый интеграл называется статическим моментом от-носительно оси х, а второй – относительно оси у [7]. Ось, отно-сительно которой статический момент равен нулю, называется центральной, а точка пересечения таких осей – центром тяже-сти пластины.

Таким образом, координаты центра тяжести однородной пластины определяются следующими соотношениями:

FS

x yc ,

FSy xc .

56

В качестве примера определим координаты центра тя-жести кругового сегмента радиусом R с центральным углом 2α (рис. 3.1.).

Р и с. 3.1. Схема к расчету координат центра тяжести

Из условия симметричности сегмента относительно оси х следует, что ус = 0. Для нахождения хс рассчитаем статиче-ский момент относительно оси у.

.cos R

RFy xdFxdFS

Из уравнения окружности х2 + у2= R2 следует

22 xRy , тогда dF = 2ydx dxxR 222 . Использовав полученное значение dF, найдем Sy.

.sin32cos

32

322

3323

222

cos23

22

cos

22

RRR

xRdxxRxS RRR

Ry

57

Площадь пластины подсчитывается так:

.2sin22

arcsin22

2

2

2

cos

222

cos

22

R

RxRxRx

dxxRdFF

RR

R

RF

Окончательно абсцисса центра тяжести определится

так:

2sin23sin4

2sin23sin22 3

2

33

R

RR

FS

x yc .

Для полукруга 2α = π и тогда xc = 4R/3π. Аналогично можно определить и положение центра тя-

жести пластины более сложной формы, например, кругового сектора с квадратным отверстием (рис. 3.2.).

Р и с. 3.2. Схема кругового сектора с отверстием

58

Разбиваем пластину на три простейшие фигуры: круго-вой сегмент 1, равнобедренный треугольник 2 и квадратное от-верстие 3. Выбираем систему осей х и у и определяем коорди-наты центров тяжести составляющих фигур. Ординаты центров тяжести всех составляющих фигур расположены на оси сим-метрии х, т. е. 0

321 cccc yyyy .

Абсцисса центра тяжести сегмента уже была определена в предыдущей задаче. Центр тяжести равнобедренного тре-угольника, как известно из школьного курса, расположен на расстоянии 2/3 высоты от его вершины, а центр тяжести квад-рата на пересечении его осей симметрии (или диагоналей). Оп-ределяем статический момент составной фигуры как алгебраи-ческую сумму статических моментов составляющих фигур:

321321 321 cccyyyyxFxFxFSSSS .

Значение

1yS было подсчитано в предыдущем примере,

остальные величины равны:

232 cossin32cos

322sin

21

2RRRS y ,

3

1285

82443RRRRRS y

.

Таким образом, находим

32333

1285cossin

32sin

32 RRRS y .

После преобразования и упрощения равенства получаем

1285sin

323 RS y .

59

Площадь составной фигуры

.16

2sin2

2sin22

222321

RRRFFFF

Приведя подобные члены, получим

1612 RF .

Окончательно имеем

.1162415sin256

161

1285sin

32

RR

FS

x yc

3.2. Нахождение центров тяжести оболочек вращения

Многообразные геометрические и физические величины

выражаются двойным или тройным интегралом, смотря по то-му, относятся ли они к поверхности (плоской или кривой), т.е. оболочке, или к пространственному телу. Из математики [1] известно, что координаты центра тяжести однородной оболоч-ки

D

Dc

D

Dc

D

Dc d

zdz

d

ydy

d

xdx

;; .

60

Воспользуемся данными соотношениями для нахожде-ния центра тяжести пластины по рис. 3.1.

Определяем числитель выражения

33

cos

22

cos

sin322

22

22

RdxxRxxdydxxdR

R

xR

xR

R

RD

.

Знаменатель выражения представляет собой следующее:

2sin22

22

cos

22

cos

22

22

RdxxRdydxdR

R

xR

xR

R

RD

.

Таким образом, с помощью двойного интеграла получе-

ны те же самые выражения, что и в предыдущем разделе. С использованием данных соотношений и формул для

определения поверхностей оболочек вращения [8] найдем по-ложение центра тяжести конической оболочки (рис. 3.3), кото-рая часто используется как днище аппаратов для хранения сы-пучих материалов или конический переход для цилиндриче-ских аппаратов переменного сечения по длине (высоте).

Р и с. 3.3. Коническая оболочка

61

Из условия симметричности оболочки yc = zc = 0. Уравнение образующей конуса в плоскости х0у запи-

шется в виде у = х·tgα, а производная y' = tgα, тогда абсцисса хс равна

H

H

D

Dc

dxyy

dxyyx

d

xdx

0

2'

0

2'

12

12

Hxdx

dxx

dxx

dxxx

H

H

H

H

32

tg1tg2

tg1tg2

0

0

2

0

2

0

2

.

При решении задач по определению нагрузок от собст-

венной массы для реальных технологических аппаратов нефте-добывающей и нефтеперерабатывающей промышленности наиболее часто встречаются оболочки цилиндрические, кони-ческие, сферические, в форме эллипсоида вращения. Инженер-механик должен уметь находить положение центра тяжести как любой из этих оболочек, так и какой-либо части оболочки.

Р и с. 3.4. Полусферическое днище

62

В качестве примера, найдем положение центра тяжести полусферического днища радиусом R (рис. 3.4).

Образующей днища является окружность, уравнение которой х2 + у2 = R2, тогда х = 22 yR , а производная

22'

yRyx

. Подставив эти значения в начальное уравнение

для определения положения центра тяжести, получим

R

R

c

dyyR

yyR

dyyR

yyRy

y

0

2

22

22

0

2

22

22

12

12

22

2

0

0

022

22

022

22

R

dy

ydy

dyyR

RyR

dyyR

RyRy

R

R

R

R

.

В завершение данной темы найдем координаты центра

тяжести части цилиндрической оболочки в формы "цилиндри-ческого копыта" (рис. 3.5.), которая на практике представляет собой половину цилиндрического днища какого-либо аппарата. Боковая поверхность данной оболочки равна S = 2R2tgα (см. табл. 2.1).

Из условия симметричности ус = 0. Для нахождения ос-тавшихся координат рассчитаем соответствующие статические моменты.

dzdxyyxxdD D

zx2'2'1

63

Р и с. 3.5. "Цилиндрическое копыто"

dzxR

RxdxdzxR

xxdxxRR x tg

022

0

2

220

tg

0

1

tg4

tg 30

22

2

RdxxR

xRR

.

Таким образом, хс = R/8.

dzdxyyzzdD D

zx2'2'1

23

022

22tg

022

0

tg82

tg RdxxR

RxdzxR

RzdxRxR

.

Значение последней координаты tg16

Rzc .

Сведения по расположению центров тяжести различных оболочек вращения представлены в табл. 3.1.

64

Таблица 3.1

Координаты центров тяжести некоторых оболочек вращения

Оболочка Обозначение Формулы Полусферическое днище (рис. 3.4)

R –радиус сферы ус = R/2 от основания

Стандартное эллип-тическое днище (рис. 2.17)

R – радиус аппарата, Нд = R/2 –высота дни-ща

yс = Нд/2 = R/4 от ос-нования

Полый конус R – радиус основания, Н – высота конуса

ус = Н/3 от основания

Полый усеченный конус

R – радиус бóльшего основания, Н – высота усеченного конуса, r – радиус меньшего основания.

22 rRRA 22 rRrB

22HRAC 22HrBD

DrCRDrCRE

22

ER

rRHyc 3

2

от бóльшего основа-ния

"Цилиндрическое копыто" (рис. 3.5)

R – радиус цилиндра, α – угол наклона верх-ней плоскости

Rxc 8

tg16

Rzc

3.3. Нахождение центров тяжести пространственных тел

Координаты центра тяжести сплошного однородного

тела определяются из соотношений

65

V

Vc

V

Vc

V

Vc dv

zdvz

dv

ydvy

dv

xdvx ;; .

Найдем положение центра тяжести полушара, получен-

ного разрезанием шара на две части плоскостью х0у. Из усло-вия симметричности тела хс = ус = 0. Объем полушара

3

32 RdvV

V

. Статический момент полушара равен

V

R

R

xR

xR

yxR

zdzdydxzdv22

22

222

0

или как тела вращения (что много проще для вычисления в данном случае)

404

0

22

0

22

442RzzRzdzzRzdv RR

R

V

.

Окончательно имеем zc =3R/8. В завершение, найдем координаты центра тяжести

сплошного однородного "цилиндрического копыта" располо-женного как показано на рис. 3.5. Уравнение верхней секущей плоскости z = xtgα. Объем, найденный ранее, равен

tg32 3RV .

Определяем статические моменты

R

R

yR x R

R

yR

V

dxxdyxdzdxdyxdv22 22

0

tg

0 0

2tg

66

tg83

tg 423

22 RdyyRR

R

.

dxxdyzdzdxdyzdvV

R

R

yR x R

R

yR22 22

0

tg

0 0

22

2tg

tg166

tg 423

222

RdyyRR

R

.

Таблица 3.2

Координаты центров тяжести некоторых тел вращения Тело вращения Обозначение Формулы

Полушар R –радиус шара ус = 3R/8 от основания Полуэллипсоид вращения

R – радиус вращения полуэллипсоида, Н = R/2 –высота полу-эллипсоида

yс = 3Н/8 = 3R/16 от основания

Сплошной конус R – радиус основания, Н – высота конуса

ус = Н/4 от основания

Сплошной усечен-ный конус

R – радиус бóльшего основания, Н – высота усеченного конуса, r – радиус меньшего основания

BRA43

33

44

rRrRB

ArR

Hyc

от бóльшего основания Сплошное "ци-линдрическое ко-пыто" (с системой координат по рис. 2.5.)

R – радиус цилиндра, α – угол наклона верх-ней плоскости

Rxc 163

tg323 Rzc

Круглая пластина R – радиус пластины В центре пластины

67

3.4. Расчет усилий при монтаже оборудования

Умение находить положе-ние центров тяжести отдельных элементов оборудования позво-ляет проводить расчеты по опре-делению реакций опор и нагру-зок на грузоподъемные средства, что всегда необходимо при со-ставлении проекта производства работ по ремонту или монтажу различных аппаратов.

Рассмотрим простейшую реальную задачу. Изготовленный на специализированном пред-приятии аппарат (рис. 3.6.) дос-тавлен на место эксплуатации и "выложен" в предмонтажное по-ложение в соответствии со схе-мой (рис. 3.7.). Необходимо про-вести гидравлическое испытание аппарата и перевести его в рабо-чее положение методом поворота вокруг шарнира.

Для проверки возможно-сти осуществления данных опе-раций и выбора величины грузо-подъемности монтажного крана необходимо выполнить следую-щие расчеты: 1. Определить массу и по-ложение центра тяжести пустого аппарата.

Р и с. 3.6. Схема аппарата

68

2. Определить массу и положение центра тяжести аппа-рата в условиях гидравлического испытания (аппарата, запол-ненного водой).

3. Определить угол неустойчивого равновесия аппарата (для определения момента включения тормозной лебедки).

Р и с. 3.7. Предмонтажное положение аппарата

Для ответа на поставленные вопросы мысленно разде-лим аппарат на следующие основные части: фундаментное кольцо (1), опорную цилиндрическую обечайку (2), нижнее по-лусферическое днище (3), цилиндрическую часть корпуса ап-парата (4) и верхнее полусферическое днище (5).

За начало координат примем подошву фундаментного кольца, центр тяжести пустого аппарата обозначим С0.

69

Найдем массу и положение центров тяжести отдельных элементов.

Для фундаментного кольца

,4

221

фвн SDDM

где ρ = 7800 кг/м3 – плотность стали.

215780003,080,110,24

221

М кг;

015,01сх м.

Для опорной обечайки

00002 SSHSDM ф 980780001,003,000,201,002,2 кг;

015,12

03,000,203,02

02

ффcSH

Sx м.

Характеристики нижнего днища

1

21

13 22 SSRM

495780001,0201,000,12

2

кг;

503,1201,000,1

2100,2

221 1

103

SRHхс м.

Масса и положение центра тяжести цилиндрической

части корпуса аппарата

70

SHSDM ц4 2465780001,000,501,000,2 кг;

50,4200,500,2

204 цс

ННх м.

Масса верхнего днища М5 = М3 = 495 кг, а положение

центра тяжести

221 1

105

SRHHx цc

503,7201,000,1

2100,500,2

м.

Масса пустого аппарата

543210 MMMMMMM i 46504952465495980215 кг.

Координаты центра тяжести пустого аппарата

0

0 MxM

x icic

4650

503,1495015,1980015,0215

56,34650

503,749550,42465

м

Для нахождения нагрузки на крюк крана найдем сумму

моментов относительно оси шарнира, тогда

Н2950050,556,38,9465000 L

хgМQ скр .

71

Рассчитаем массу и положение центра тяжести воды в объеме аппарата во время гидравлического испытания.

Масса воды в объеме нижнего днища

вв RМ 313 3

2

где в = 1000 кг/м

3 – плотность воды.

2095100000,132 3

3 вМ кг.

Положение центра тяжести воды в объеме нижнего

днища

625,100,18300,2

83

103 RНx вc м.

Для воды в объеме цилиндрической части корпуса аппа-

рата

15710100000,500,244

224

вцв HDМ кг.

50,4200,500,2

204 цвс

ННх м.

Для верхнего днища 209535 вв ММ кг, а координата

центра тяжести

375,700,18300,500,2

83

105 RННх ц

вс м.

Масса воды в объеме аппарата

72

199002095157102095 вiв МM кг.

Координаты центра тяжести воды

ввc

вiв

c МxМ

x i

50,419900

375,7209550,415710625,12095

м.

Масса аппарата в условиях гидравлического испытания

Мг = М0 + Мв = 4650 + 19900 = 24550 кг.

Нагрузка на монтажную опору

L

gxMxMR

вc

вc

м

)(00

18904050,5

8,9)50,41990056,34650(

Н.

Нагрузка на шарнир во время гидравлического испыта-

ния

мв

ш RgMgMR 0 = 515321890408,9199008,94650 Н.

Угол неустойчивого равновесия φ определим как откло-

нение оси аппарата от вертикали в момент, когда центр тяже-сти аппарата и ось шарнира будут находиться на одной верти-кальной прямой. Для данного положения справедливо равенст-

во tgφ = 0

2 cн

xD

, таким образом 5,303,562,10arctg .

73

3.5. Расчет усилий при подъеме несимметричного оборудования

В практике монтажа встречаются случаи подъема обо-

рудования со смещенным центром тяжести. Нагрузка на грузо-подъемные механизмы и такелажную оснастку при этом рас-пределяется неравномерно, поэтому для их выбора нужны до-полнительные расчеты [9].

В первую очередь находится положение центра тяжести поднимаемого груза в соответствии с ранее рассмотренными правилами.

Затем находят усилия, возникающие в подъемных сред-ствах (реакции опор).

По найденным усилиям подбирают и рассчитывают подъемные средства – краны, тросы, полиспасты, домкраты и прочее оборудование.

Последовательность расчета рассмотрим на примере рис. 3.8.

Рассчитать такелажную оснастку для подъема ступенча-того ротора турбины общей массой М = 25 000 кг и общей дли-ной L = 6 м, если известно, что масса отдельных узлов ротора составляет:

- первого рабочего колеса М1 6000 кг; - второго рабочего колеса М2 14000 кг; - вала ротора М3 5000 кг. Расстояние от центров тяжести этих узлов до точки А:

х1 = 1,5 м; х2 = 4,5 м; х3 = 3,5 м. Положение центра тяжести ротора в сборе можно рас-

считать по формуле

58,35000140006000

5,350005,4140005,16000M

xМх

i

ii м.

74

Р и с. 3.8. Расчетная схема подъема несимметричного ротора

Примем, что места строповки ротора смещены от кон-цов вала на 0,25 м, тогда С = 5,5 м, с1 = 3,33 м, с2 = 2,17 м.

Найдя суммы моментов относительно точек приложения реакций опор, рассчитаем усилия, возникающие в такелажной оснастке у мест строповки:

Н. 966605,5

2,178,925000С

сgМР 21

1483405,5

,3338,925000С

сgМР 12

Н.

В сумме реакции опор равны весу аппарата, т.е. расчет,

выполнен правильно. Подъем ротора может выполняться двумя стреловыми

кранами грузоподъемностью 10 и 16 т. Марки кранов выбира-ются по справочникам.

75

3.6. Оптимальное расположение опор горизонтальных аппаратов

Горизонтальные аппараты работают в условиях воздей-

ствия изгибающих нагрузок, которые существенно изменяются по длине. Поэтому важно установить оптимальные параметры – соотношение расстояния между опорами и характеристиками поперечного сечения аппарата. Нахождение оптимального рас-стояния между опорами составляет одну из существенных час-тей расчета на прочность горизонтальных цилиндрических ап-паратов. На практике аппарат часто рассматривают как балку на двух или трех опорах с равномерно распределенной нагруз-кой по длине. Обычно расчет начинают с определения приве-денной длины, заменяя высоту выпуклых днищ соответствую-щей длиной цилиндра, по какой-либо приближенной формуле. Иногда на практике в расчет вводят полную длину сосуда или аппарата. Умение находить массу (или вес) отдельных частей аппаратов и положение центров тяжести позволяет составить эквивалентную расчетную схему, которая будет включать как равномерно распределенную нагрузку, так и сосредоточенные силы взамен неравномерно распределенной нагрузки.

В качестве примера рассмотрим балку на двух опорах с равномерно распределенной нагрузкой q = P/L, где Р – вес бал-ки, L –длина балки (рис. 3.9).

Реакции опор .2

qLRR ва Изгибающие моменты на опорах

2

2qаММ ва . Изгибающий момент между опорами имеет

максимальное значение в середине пролета и равен

.4228

2

LaqLaLRqLМ aав

76

Р и с. 3.9. Расчетная схема балки

Наиболее благоприятные условия работы балки наблю-даются, если выполняется равенство авва МММ . Распи-шем данное равенство более подробно и определим оптималь-ное значение длины консольной части аопт.

422 опт2опт LaqLqa

или La 207,0опт .

Найдем оптимальное расстояние между опорами гори-

зонтальной цилиндрической емкости для хранения воды с дву-мя стандартными эллиптическими днищами внутренним диа-метром D = 2600 мм, длиной L = 13500 мм и толщиной стенок корпуса и днищ S = 12 мм.

Выпуклая эллиптическая часть стандартного днища имеет высоту Нд = D/4 = 650 мм, тогда длина цилиндрической

77

части Lц = L – 2Hд = 13500 - 2·650 = 12200 мм. Удельный вес углеродистой стали 76500 Н/м3. Вес цилиндрической части корпуса Gц = π·(D + S)·S·Lц·γ = π·(2,20 + 0,01)·0,01·12,20·76500 = 76526 Н. Удельный вес воды 7800 Н/м3. Вес воды в ци-линдрической части корпуса устройства Gвц=0,785D2·Lц·γв =0,785·2,602·12,20·9800 = 634779 Н. Равномерно распределен-ная нагрузка q = (Gц + Gвц)/Lц = (76526 + 634779)/12,20 = 58300 Н/м.

Вес эллиптической части днища Gд = 1,38π(D/2)2S·γ = 1,38π(2,61/2)2·0,01·76500 = 565 H. Вес воды в объеме эллипти-ческой части днища Gвд = π·D2·Нв·γв/6 = π·1,302·0,65·9800/6 = 22720 Н. Расстояние от основания эллиптической части днища до центра тяжести самого днища равно l1 = 0,328 м, а для воды l2 = 0,246 м. Расчетная схема данной емкости представлена на рис. 3.10.

Р и с. 3.10. Расчетная схема емкости

Проведя вычисления, аналогичные вычислениям преды-дущего примера, получим C = 7,50 м. Таким образом, отноше-ние длины консольной части к общей длине аппарата составля-ет 0,222, то есть изменение составляет 7%.

78

Г л а в а 4

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВИЖЕНИЯ В СИСТЕМЕ

С движением твердых частиц или капель жидкости в

химических и нефтяных технологиях приходится встречаться при работе многих машин и аппаратов: дробилок, сушилок, мельниц, оросителей, гидроклассификаторов, пылеосадитель-ных камер, грохотов и др.

Однако характер движения материала в различном обо-рудовании не одинаков. В одних случаях частицы двигаются вертикально, в других – по более сложной траектории, в – третьих, они могут участвовать в нескольких движениях одно-временно. Например: в барабанных мельницах частицы мате-риала непрерывно поднимаются и затем падают по параболи-ческим траекториям; в барабанных грохотах вся масса обычно перемещается как одно целое вдоль оси барабана, скользя по его поверхности; в оросительном стакане жидкость истекает из отверстий под некоторым углом к линии горизонта и т.п. Ха-рактер движения зависит от многих параметров и в каждом случае необходимо определяющие параметры выбирать таким образом, чтобы обеспечить определенный тип движения, наи-более соответствующий результатам, которые требуется полу-чить.

При расчете оросительного стакана принимается во вни-мание необходимость обеспечения равномерного распределе-ния жидкости по площади поперечного сечения аппарата, в пылеосадительной камере требуется достигнуть контакта пы-левых частиц с полкой, в барабанной мельнице – максимальной скорости соударения мелющего тела с поверхностью барабана, во вращающихся барабанных печах необходимо обеспечить максимальную поверхность соприкосновения материала с теп-лоносителем и достаточное время пребывания материала в ба-рабане и др.

79

4.1. Движение тела, брошенного под некоторым углом к линии горизонта

Рассмотрим движение тела (материальной точки), бро-

шенного под углом к линии горизонта с начальной скоро-стью V0 (рис. 4.1.).

При отсутствии внешнего трения можно записать, что

Vx = V0x = V0cos, Vy = V0y + dy/d,

где – время движения.

В поле земного тяготения

dy/d = g.

Таким образом,

Vy = V0y + g.

Координаты каждой точки траектории составляют

Vox

Voy Vo

Y

X

Р и с. 4.1. К выводу уравнения траектории движения

80

dx = Vxd = V0cosd, dy = Vy d = V0sind + gd.

В интегральном виде

y = ∫dy = V0sin + g2/2+ C; y|=0 = 0 C = 0,

x = ∫dx = V0cos + C1; x|=0 = 0 C1 = 0,

Окончательно

y = V0sin +g2/2; x = V0cos.

Из второго уравнения следует

= x/(V0cos).

После подстановки в первое уравнение получаем

αVxgα xy 22

0

2

cos2tg

или в каноническом виде

2

0

0

2

0

2sin

cos22

g2sinα

g

αVxαV

gVy .

4.2. Теория низконапорного истечения жидкости из отверстия в тонкой стенке

Рассмотрим процесс истечения жидкости через отвер-

стие в стенке оросительного стакана [10]. Движение жидкости

81

будет установившимся, если уровень и внешнее давление Р бу-дут поддерживаться постоянными. Из курса "Гидравлика" из-вестно, что струя жидкости, вытекающая из отверстия в доста-точно тонкой стенке, претерпевает сжатие на некотором рас-стоянии от стенки (рис. 4.2).

Р и с. 4.2. Схема истечения низконапорной струи

Отношение площади сечения fс струи (в том месте, где заканчивается наибольшее сжатие) к площади f отверстия на-зывается коэффициентом сжатия струи при истечении = fc/f. Из опытных данных значение = 0,60 – 0,64.

Применим уравнение Бернулли для сечения 0-0 на сво-бодной поверхности жидкости и 1–1 на оси отверстия. Предпо-лагая, что сечение отверстия мало по сравнению с сечением сосуда, можно пренебречь скоростью жидкости в сосуде по сравнению со скоростью ее истечения. Тогда

whgV

γP

γPH

2

211 ,

82

где g

Vξhw 2

211 – потери напора на вход в отверстие (потерей на

трение для тонкой стенки можно пренебречь). Отсюда найдем скорость истечения жидкости

HgVV - 211 ,

где 21

1 ξ . Для идеальной жидкости = 0, = 1 и HgV 2 .

Это значит, что скорость истечения идеальной жидкости опре-деляется так же, как скорость тела, свободно падающего с вы-соты Н. Коэффициент , называется коэффициентом скорости (для тонкой стенки =0,97 – 0,99).

Расход жидкости, вытекающей через отверстие, состав-ляет

q = Vfc = Vf = V4

20πd ,

где d0 – диаметр отверстия.

Подставляя найденное значение скорости истечения, получим

q = f Hg 2 = Hgπd 24

20 ,

где = – коэффициент расхода, который определяется опытным путем (среднее значение = 0,62).

Данное уравнение является основной расчетной форму-лой для определения расхода при истечении жидкости. Опыт показал, что при истечении через отверстие в тонкой стенке струя жидкости получается гладкой, если жидкость в сосуде

83

находится в спокойном состоянии, а напор Н не превышает 3–4 м. Такая струя называется низконапорной.

При влиянии стенок сосуда или же если отверстие отно-сительно велико наблюдается "несовершенное" сжатие струи, тогда коэффициент следует находить опытным путем.

Сближение кромок рядом расположенных отверстий до расстояния, равного их диаметру, практически не влияет на ко-эффициент расхода .

4.3. Траектория низконапорной струи

Траектория низконапорной струи совпадает с траекто-рией тела, брошенного под некоторым углом к линии горизон-та. Если известна скорость истечения жидкости, уравнение тра-ектории можно записать в следующем виде:

αHxαxy 22

2

cos4tg

.

Это уравнение достаточно точно описывает траекторию

струи жидкости до тех пор, пока струя не раздроблена, а со-противление окружающей среды и противоток газа не воздей-ствуют на ее полет (при скорости газа до 2,0 – 2,5 м/с).

4.4. Движение материальной частицы во вращающемся барабане

В промышленности находят широкое применение аппа-

раты барабанного типа, в которых встречается практически од-на и та же схема. Круговой цилиндрический барабан с банда-жами лежит на роликовых опорах и получает движение от при-водной станции. Ось барабана может быть горизонтальна или наклонена под небольшим углом к линии горизонта. Материал

84

подается с помощью какого-либо питателя в верхний конец ап-парата. Вследствие вращения барабана и за счет сил трения ма-териал пересыпается и постепенно продвигается к нижнему концу аппарата, где выгружается в виде, пригодном для даль-нейшей обработки.

Характер движения обрабатываемого материала зависит от многих параметров: диаметра барабана, скорости его враще-ния, коэффициентов заполнения, внутреннего трения материа-ла, а также от коэффициента трения материала о поверхность барабана f и угла наклона барабана к горизонту.

Р и с. 4.3. Сечение барабана

Для получения основных закономерностей движения рассмотрим нормальное сечение горизонтального круглого ци-линдра радиусом R (рис. 4.3) с лежащей на его внутренней ше-роховатой поверхности точки Р с массой m. При вращении ци-линдра с угловой скоростью на точку действуют следующие силы: сила тяжести P1 = mg, центробежная сила P2 = m2R и сила трения Рт = f(Р1cos + P2), величина которой зависит от положения точки на цилиндре. Под действием силы трения точка увлекается цилиндром и начинает вращаться вместе с

85

ним. При этом возможны следующие случаи. Точка Р подни-мается выше горизонтального диаметра цилиндра (рис. 4.4).

Р и с. 4.4. Расчетная схема барабана

В положении, характеризующимся углом Р0Х = , на точку действуют направленная к центру составляющая силы тяжести, равная P1 sin= mgsin, и центробежная сила P2 = m2R, направленная по радиусу от центра. Если угол таков, что mgsin = m2R, т. е. если sin = 2R/g, тогда точка не бу-дет прижата к барабану, отделится от него и упадет вниз на ба-рабан по параболической траектории, как свободное тяжелое тело, брошенное со скоростью V = R под углом (/2 - ) к го-ризонту. Угол называется углом отрыва.

Если 12 gRω , то 2 . Точка достигнет высшего положения в цилиндре и, будет вращаться вместе с ним, нигде от него не отделяясь. Это тем более будет иметь место при

gR2 1, т.е. при 2R g. Наименьшая скорость, при кото-рой точка вращается вместе с цилиндром, представлена выра-жением

86

Rgωkp .

Она называется критической скоростью барабана. Рассмотрим теперь точку P в положении ниже горизон-

тального диаметра. Составляющая силы тяжести Р1sin, на-правленная по касательной к цилиндру, стремится заставить точку соскользнуть вниз. Этому сопротивляется сила трения Рт = f(m2R + mgcos), вызываемая силами, прижимающими точку к цилиндру. Если Р1sin = Рт, то

mgsin = f(m2R + mgcos), тогда точка остановится и будет скользить по вращающемуся цилиндру. Угол называется углом подъема точки 2 .

Подставив в уравнение ββ 2sin1cos , мы можем

переписать его так: 22 sin1sin fgRfg . Возведя обе части последнего уравнения в квадрат и

решая его относительно sin получим

.)1(

)1(sin 2

242222

fgRffgR

f

Если 0 (неподвижный барабан) и f = tg ( - угол

трения), то

sincos11

sin22

tgtg

tgf

f ,

т.е. = .

Очевидно, что угол должен быть меньше 2 , так как точка на верхнем квадранте оставаться неподвижной не может, а может лишь или оторваться от барабана, или вращаться вме-

87

сти с ним; скорость вращения должна быть небольшой по сравнению с критической (кр).

4.5. Движение точки по барабану

Утверждение, что, достигнув уровня, соответствующего углу , точка прекратит свое движение, не учитывает одного важного обстоятельства: коэффициент трения движения f0 меньше коэффициента трения покоя f. Как только точка дос-тигнет уровня, соответствующего углу , определяемому урав-нением, она остановится, а барабан продолжает вращаться. Точка скользит по барабану, коэффициент трения снижается с f до f0, условие равновесия нарушается и точка начинает сколь-зить вниз, чтобы остановиться на новом уровне 1, соответст-вующем коэффициенту трения f0. По инерции точка скользнет несколько ниже 1 и остановится на некотором уровне 2. Как только точка останавливается, опять возникает коэффициент трения f, и она снова начинает подниматься вместе с бараба-ном, чтобы, достигнув уровня , опять начать скользить вниз и т.д. Таким образом, точка будет совершать некоторое колеба-тельное движение вверх и вниз по барабану [11].

Обозначим угловую скорость движения точки по бара-бану через 0, а соответствующий угол подъема – через (). Относительное ускорение точки, скользящей по бараба-ну, складывается из двух составляющих: центробежной, на-правленной по радиусу барабана, равной 20R, и касательной

,0000 dψdωRω

dtdψ

dψdωR

dtdωR

так как dtdψ есть не что иное, как угловая скорость скользящей

точки.

88

Переносное ускорение точки в ее совместном движении с барабаном дано центробежным ускорением 2R, где =const. На точку действует также Кориолисово ускорение. Так как от-носительная скорость точки V = 0R, направленная по каса-тельной, и вектор угловой скорости , направленный по оси барабана, между собой перпендикулярны, то Кориолисово ус-корение 20R направлено вдоль радиуса (нормально к V

и

). Радиальные ускорения суммируются. Радиальная цен-

тробежная сила

,)(2 20020

2 RmRmRmRm прижимающая точку к барабану, создает силу трения, равную f0m(+0)2R.

По касательной к траектории точки действуют сила

dψdωmRω

dtdψ

dψdωmR

dtdωmR

dtdVm 0000

и составляющая силы тяжести mgsinψ . Следовательно, усло-вие равновесия можно записать в таком виде:

0020020 sin2sin ωdψdωmR ψg)Rωωω(ωmf ψmg

или после преобразований

.2

sincos0

0

200

000 ωf

RωRωfψψfgωf

dψdω

Таким образом, мы получили уравнение движения точ-

ки по вращающемуся барабану.

89

Рассмотрим случай падения точки по стенке неподвиж-ного барабана (=0), который можно представить себе так:

,1sincos0

000

0

ωR ψ ψfgωf

dψdω

т.е. мы получим уравнение типа уравнения Бернулли

,000 mm ωψvωψudψdω

решение, которого известно

.m)vdψ (eceω ψm)ud(m)udψ(m

1111

0

В данном случае имеем

;1sincos00 ψ);mψ(fRgψ;vfψu

ψ.fm)udψ(;m 02121

Подставляя эти значения в решение уравнения Бернулли и проведя интегрирование по частям, получим:

ψdψ;efψe

ψ)d(eψdψeψfψf

ψfψf

sin2sin

sincos

00

00

20

2

22

ψdψ.efψe

ψ)d(eψdψeψfψf

ψfψf

cos2cos

cossin

00

00

20

2

22

Подставив последний интеграл в предыдущий, получим

90

ψefψeψ dψe ψfψfψf cos2sincos 000 2022 -

- ψ dψef ψf- cos4 0220 , откуда находим

;cos2sincos41 000 20222

0 ψefψeψdψe)f(ψfψfψf

.f

ψ)fψ(eψdψeψf

ψf2

0

02

2

41cos2sin

cos0

0

Аналогично подсчитаем

.f

ψ)f ψ(eψdψeψf

ψf

2

0

02

2

41sin2cos

sin0

0

Возвращаясь к решению уравнения Бернулли с учетом

подстановок получим

,sin2coscos2sin41

20

2002

0

222

0

00

ψ)f ψ ψf ψ(f)fR(

geСeωψf

ψf

или

ψfCeψ)f(ψf)fR(

gω 0220020

20 cos21sin341

2

.

Принимая во внимание, что в начале движения 0=0, и

полагая, что начальный угол = 0 = = ( - угол трения покоя), имеем

,cos21sin341

20 0220020

βfCeβ)f(βf)fR(

g

91

откуда находим С. Подставив значение С в предыдущее уравнение получа-

ем окончательно

)βeψ(f)fR(

gω β)(ψf02020

20 sinsin3[41

2

.]coscos21 0220 )βeψ)(f(β)(ψf

Задаваясь значением , можно по данному уравне-

нию найти значения 0. Линейная скорость скольжения точки определяется известным соотношением V = 0R.

4.6. Скорость скольжения материала по желобу

В производствах по переработке зернистых материалов

часто подача материалов осуществляется каким-либо питате-лем на желоб, по которому они перемещаются в необходимую точку. Для нормальной работы устройства необходимо пра-вильно выбрать угол наклона желоба и определить скорость скольжения материала на конце этого желоба. Расчетная схема устройства представлена на рис. 4.5.

Р и с. 4.5 Расчетная схема желоба

92

Поскольку материал, подаваемый питателем, имеет на-чальную скорость, то минимальный угол наклона желоба опре-делится, как и при скольжении частиц материала по внутрен-ней поверхности барабана, углом трения движения материала 0. При ориентировочных расчетах можно принимать tg0 = 0,8tg или f0 = 0,8f [12]. Следовательно, угол наклона желоба 0.

Из рис. 4.5а находим, что начальная скорость движения материала по желобу wн = wпcos(90 - ), где wп – скорость па-дения материала на желоб, которая с учетом геометрии устрой-ства, составит wп = gh2 = )tg(2 LHg .

Найдем конечную скорость движения материала. Для этого рассмотрим равновесие частицы сыпучего материала на поверхности желоба (рис. 3.5 б). Частица массой m движется под действием двух сил: движущей силы P = mg sin и силы трения T = f0mg cos. Так как 0, материал будет двигаться с некоторым ускорением а, которое найдем из условия P – T = ma. С учетом геометрических соотношений а = g(sin - f0 cos). Поскольку движение равноускоренное, то конечная скорость движения wк = 2н2 wal .

4.7. Осаждение под действием сил тяжести

Под действием сил тяжести может производиться очи-стка промышленных газов от взвешенных частиц для улавли-вания ценных продуктов или уменьшения загрязненности ат-мосферы.

Скорость осаждения одиночной шарообразной частицы при ламинарном режиме движения определяется по известной из курса физики формуле Стокса

c

cос μ

)γ(γdw18

2 ,

93

где d – диаметр шарообразной частицы, м; γ – удельный вес материала частицы, Н/м3; γс – удельный вес среды, Н/м3; с – вязкость среды, Пас.

При ориентировочных расчетах с учетом отличия ре-альных условий осаждения от теоретических (стесненность осаждения, отклонения от шарообразности формы, движение среды) действительную скорость осаждения можно принять равной половине теоретической скорости осаждения одиноч-ной шарообразной частицы:

w = 0,5wос.

Аналогично можно определить скорость осаждения час-тиц в жидкой или газообразной среде и при других режимах движения [14].

4.8. Общие рекомендации к выбору аппарата для разделения суспензий

Выбор соответствующего аппарата – это широкая опе-

рация, включающая в себя выбор аппарата для разделения сус-пензии отстаиванием или центрифугированием в поле гравита-ционных или центробежных сил. Поэтому при выборе того или иного аппарата для разделения заданной суспензии следует од-новременно решать вопрос о возможности и целесообразности применения отстойников, отстойных и фильтрующих центри-фуг, центробежных сепараторов или гидроциклонов, различ-ных фильтров.

Общие указания, которые могут быть использованы для первичной ориентации при выборе аппаратов для разделения суспензий, следующие:

- для суспензий, которые расслаиваются достаточно бы-стро и дают хорошо осветленную жидкость, пригодны отстой-ники;

94

- для суспензий с небольшой разностью плотностей твердой и жидкой фаз или небольшим размером твердых час-тиц используются центрифуги, сепараторы и гидроциклоны с соответствующим фактором разделения;

- для суспензий, не склонных к быстрому расслаиванию и разделяющихся с помощью пористых перегородок, могут быть использованы фильтры.

95

Глава 5

КОЛЕБАНИЯ И ВИБРОИЗОЛЯЦИЯ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ

Теория колебаний имеет большое значение для при-

кладных задач, встречающихся в инженерной практике, на-пример, первостепенное значение приобретают вопросы проч-ности конструкций при периодически действующих силах – в насосах, компрессорах, вентиляторах, центрифугах, грохотах и т.п.

Особый интерес представляют проблемы гашения коле-баний и виброизоляции. Вообще поведение упругих систем под действием переменных нагрузок очень серьезная задача и тре-бует от инженера особого подхода.

Упругие системы в технике в первую очередь различа-ются по числу степеней свободы [7]. Под числом степеней сво-боды понимается число независимых координат, определяю-щих положение системы. Например, груз, подвешенный на пружине, имеет одну степень свободы, поскольку его положе-ние (с некоторыми допущениями) определяется только одной координатой y, отсчитываемой от некоторой точки. Система вала с жесткими дисками (если пренебречь массой вала) имеет две степени свободы – необходимо знать две угловые коорди-наты, определяющие поворот дисков.

Таким образом, число степеней свободы фактически оп-ределяется выбором расчетной схемы, т.е. соответствующими упрощениями, вносимыми в практическую задачу.

При рассмотрении упругих колебаний различают коле-бания собственные и вынужденные.

Под собственными колебаниями понимается движение, которое совершает система, освобожденная от внешнего воз-действия и предоставленная сама себе. В этом случае движение осуществляется под действием начального импульса. Собст-венные колебания продолжаются до тех пор, пока сообщенная

96

в начале колебательного движения энергия не будет полностью израсходована.

Вынужденными называются такие колебания упругой системы, которые происходят под действием изменяющихся внешних сил, называемых возмущающими. Примером вынуж-денных колебаний является движение упругого основания, ес-ли на нем работает не полностью сбалансированная машина. Сила, действующая на упругое основание со стороны машины, является возмущающей.

Промежуток времени между двумя последующими мак-симальными отклонениями упругой системы от положения равновесия называется периодом собственных или вынужден-ных колебаний системы и обозначается, буквой Т. Обратная периоду величина называется частотой колебаний – f = 1/Т. В технике также часто используется так называемая круговая частота ω, представляющая собой число колебаний за 2π се-кунд,

ω = 2πf = 2π/Т.

5.1. Свободные колебания системы с одной степенью свободы без затухания

Рассмотрим простейшую систему, состоящую из груза

массой m и пружины (рис. 5.1). При составлении уравнения движения следует исходить

из принципа Д'Аламбера, который заключается в том, что к движущейся с ускорением системе могут быть применены со-отношения статики при условии, что в числе внешних сил бу-дет учтена сила инерции, равная произведению массы на уско-рение и направленная против ускорения. Таким образом, мож-но записать

ymky , где k – жесткость пружины.

97

Р и с. 5.1. Система с одной степенью свободы Следовательно,

02 yy , где mk

2 .

Это уравнение представляет собой дифференциальное

уравнение простых гармонических колебаний, решение кото-рого может быть записано в форме

ty sin , где λ – амплитуда колебаний, ω – круговая частота колебаний, t – время, α – фаза колебаний.

При t = 0

yy arcsinsin .

Колебания всегда происходят около положения статиче-ского равновесия. Амплитуда и фаза колебаний определяются начальными условиями.

98

Жесткость пружины – это отношение величины дейст-вующей силы P = mg к статической деформации пружины

mgk ,

где – статическая деформация под действием массы m.

Тогда круговая частота свободных колебаний составит

gmk .

Из курса "Сопротивление материалов" известно, что для

винтовой цилиндрической пружины

3

4

64nrGdk ,

где G – модуль упругости второго рода, d – диаметр проволоки, n – число витков, r – радиус витка пружины.

В этом случае мы допустили, что колебания происходят при отсутствии каких-либо причин, препятствующих движе-нию, т.е. поглощающих энергию колеблющейся системы. Ме-жду тем, очевидно, что такие причины всегда существуют.

5.2. Свободные колебания системы с одной степенью свободы с затуханием

Так как свободные колебания происходят без притока

энергии извне, а причины, вызывающие потерю энергии (со-противление среды, трение в частицах металла и др.), действу-

99

ют постоянно, то, очевидно, амплитуда колебаний с течением времени должна уменьшаться до тех пор, пока, наконец, по ис-течении более или менее продолжительного отрезка времени, колебания не прекратятся.

Дифференциальное уравнение свободных колебаний системы с одной степенью свободы с затуханием, если сила затухания пропорциональна скорости движения груза, можно записать в следующем виде:

0f2 2 yyy , где f – коэффициент затухания.

Решение этого уравнения

)sin( 1f tey t ,

где 221 f – частота колебаний, te f – амплитуда колебаний.

Из полученного выражения видно, что свободные коле-бания происходят с амплитудой, уменьшающейся по экспонен-циальному закону.

Если 22 f , то процесс апериодический. Достигнув максимального отклонения, система асимптотически прибли-жается к положению равновесия, не переходя никогда на дру-гую его сторону.

5.3. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы без затухания

Рассмотрим систему с одной степенью свободы, в кото-

рой возбуждающая сила изменяется по гармоническому закону

tPP sin0 ,

100

где Р0 – максимальное значение силы, Ω – круговая частота изменения силы.

Такой силой может быть, например, вертикальная со-ставляющая, передающаяся на основание, от центробежной си-лы, возникающей при вращении эксцентричного груза, укреп-ленного на шкиве, который вращается с угловой скоростью Ω (несбалансированная масса вращающегося ротора центробеж-ного насоса, вентилятора, компрессора и др.).

Уравнение колебаний в дифференциальном виде выгля-дит следующим образом:

tmPyy sin02 .

Полное решение этого уравнения складывается из ре-

шения однородного уравнения без правой части и частного ре-шения уравнения с правой частью

220 sin)sin(

tmPty .

При начальных условиях t = 0, y =0 и mР0 = q данное

уравнение перепишется в следующем виде:

tqtqy

coscos 2222

Следовательно, колебание состоит из двух колебаний с

одинаковой амплитудой:

1. tqy

cos221 – представляет собой свободные

колебания, которые возникают под влиянием импульса, сооб-щенного системе силой Р(t).

101

2. tqy

cos222 – представляет собой вынужден-

ные колебания, вызванные периодически изменяющейся силой. Свободные колебания через некоторое время затухнут и

останутся лишь вынужденные колебания, которые и рассмот-

рим. Амплитуда вынужденных колебаний 22

q .

Если , то амплитуда колебаний λ = Δ, т.е. дефор-мации системы при статической ее нагрузке силой Р0.

Если , тогда λ < 0, т.е. возбуждающая сила и де-формации имеют противоположные направления. Причем, если Ω возрастает, то амплитуда уменьшается и в пределе, при Ω → ∞ имеем следующее выражение:

0lim 22

q .

Так как напряжения, возникающие в материале, про-

порциональны деформациям, то изменением ω или Ω можно удержать деформацию, а следовательно, и напряжения в пре-делах допустимого и даже меньше любого заранее заданного значения. В использовании данной закономерности заключает-ся принцип реализации виброизоляции машин с дижущимися несбалансированными массами.

При Ω → ω амплитуда увеличивается и в пределе

22lim

q .

Совпадение частоты возбуждающей силы с частотой

свободных колебаний системы называется резонансом, а часто-та Ω = ω называется критической.

Выражение для вычисления амплитуды вынужденных колебаний может быть представлено в виде

102

стf

qq

2

2222

1

1 ,

где 2qfст статическое удлинение от действия силы Р(t);

β =

2

2

1

1

динамический коэффициент амплитуды (или

коэффициент динамичности), показывающий во сколько раз деформация возросла по срав- нению с fст вследствие динамического харак- тера действия сил. Исследуем закон нарастания амплитуды при резонансе. Вынесем амплитуду колебаний как общий множитель,

тогда

22

coscos

ttqy ,

т.е. неопределенность вида 00 . Применяя правило Лопиталя,

получим

)(

)cos(coscoscoslim22

22

dd

ttdd

qttqy

ttqttq

sin22

)sin( .

Таким образом, амплитуда резонансных колебаний

tqрез

2 возрастает не мгновенно, а пропорционально вре-

мени.

103

Во многих случаях представляется выгодным работать при частоте возбуждающей силы большей, чем частота собст-венных свободных колебаний системы. Чтобы этого достиг-нуть, неизбежно приходится пройти через резонанс. Чем меньше будет время прохождения через резонанс, тем мень-шими будут деформации и напряжения. Таким образом, крат-ковременное состояние резонанса, как правило, не представля-ет опасности для системы, так как амплитуда колебаний не ус-певает достичь больших значений.

5.4. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы с затуханием

Уравнение вынужденных колебаний с затуханием при

силе затухания пропорциональной скорости движения, в диф-ференциальном виде выглядит как

0cosf2 2 tqyyy .

Полное решение данного уравнения может быть записа-но в виде

tqtey t cos

f4)()()cos( 2222

22

1f

tq

sin

f4)(f2

2222.

Из данного универсального уравнения могут быть полу-

чены уравнения любых из ранее рассмотренных колебаний пу-тем выбора соо