PRtacla/Ontologias/2012/a04-010-LPO... · Mundo composto por peças. Quais são os objetos? 66 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA SINTAXE: EXEMPLO OBJETOS DO DOMÍNIO A 1 2 B 2 C

11PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁPR

LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM (LPO)

Prof. Cesar Augusto TaclaUTFPR/Campus Curitiba

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁPR


LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM

▪ Linguagem possui três elementos principais:

▪ Sintaxe: alfabeto e gramática▪ define um conjunto de fórmulas bem formadas (well-formed formulas- wffs)

▪ Semântica: define o significado das fórmulas lógicas em termos de modelo, contexto e avalição de fórmulas

▪ Pragmática: uso (efeito no interlocutor)▪ Ex. Tem alguém atrás de você! ▪ Pode ser um alerta ou um pedido para deixar o caminho livre para alguém que

quer passar


SINTAXELÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM


SINTAXE

▪ A sintaxe de uma linguagem é definida por:▪ Alfabeto: São os símbolos lógicos e não lógicos▪ Símbolos lógicos independem do domínio da aplicação▪ Símbolos não-lógicos dependem do domínio modelado e são escolhidos pelo

modelador.

▪ Gramática: regras para geração de fórmulas bem-formadas

alfabeto

Símboloslógicos

Símbolosnão-lógicos

pontuação

conectivos

variáveis

predicados

funçõesConstantes(aridade zero)

proposição(aridade zero)

( ) , . [ ]

¬¬¬¬ ∧∧∧∧ ∨∨∨∨ = ∃∃∃∃ ∀∀∀∀

x, y, z


SINTAXE: EXEMPLO

A

1

C

3

B

2

D

4

exemplo retirado do curso on-line AIMA – Norvig e Thun

Mundo composto por peças.Quais são os objetos?


SINTAXE: EXEMPLO

OBJETOS DO DOMÍNIO

A

1

2

B

2

C

3

D

4


SINTAXE: ALFABETO

▪ Símbolos de função (não-lógicos)▪ Funções mapeiam objetos para objetos

▪ Constantes são funções de aridade-zero; duas constantesdiferentes podem corresponder ao mesmo objeto

▪ Funções de aridade maior do que zero representam um objeto

A

1

C

3

B

2

D

4

Constantes

a

b

a1

dois

função

numDaPeça(X)a � 1a1 � 1b � 2


SINTAXE: ALFABETO

▪ Símbolos de predicados (não lógicos)▪ Predicados representam relações

entre objetos.

▪ Predicados binários (diádicos)▪ acima(X, Y)

▪ Predicados unários (monádicos)▪ vogal(X) ▪ peça(X) = {(a), (b), (c), (d)}

A

1

2

B

2

C

3

D

4

peça vogal

acima


SINTAXE: GRAMÁTICA

▪ TERMOS▪ Toda variável é um termo

▪ Toda constante é um termo

▪ Se t1, ..., tn são termos e f é um símbolo de função de aridade n>0,então f(t1, ..., tn) é um termo

▪ Observar que termos designam objetos do domínio.


SINTAXE: GRAMÁTICA

▪ Exemplos de termos

▪ X é uma variável e, portanto, um termo▪ no domíno dos inteiros, X pode denotar qualquer número inteiro

▪ a é uma constante e, portanto, um termo▪ no domíno das vogais, o símbolo ‘a’ pode denotar a vogal a

▪ éPaiDe(X) ▪ é uma função de aridade 1

▪ denota o pai de X que pode ser qualquer objeto do domínio

▪ éPaiDe(éMãeDe(X)) “avô materno de x”▪ termos aninhados

▪ éMãeDe(X) denota o objeto mãe de X, vamos chamar de o1

▪ éPaiDe(o1) denota o objeto que é pai de o1


SINTAXE: GRAMÁTICA

▪ FÓRMULAS1. F é o conjunto de símbolos funcionais e P, de predicados

2. Se t1, ..., tn são termos sobre F e P ∈ P é um símbolo de predicado de aridade n > 0, então P(t1, ..., tn) é uma fórmula

3. Se α é uma fórmula então (¬α) também é.

4. Se α e β são fórmulas, então (α ∧ β), (α ∨ β) e (α → β) também são.

5. Se α é uma fórmula e x é uma variável então (∀xα) e (∃xα) são fórmulas

6. Nada mais é uma fórmula.


SINTAXE: GRAMÁTICA

▪ EXEMPLOS DE FÓRMULAS

▪ paiDe(Y) é um termo (é uma função sobre F)

▪ inteligente(paiDe(x)) ▪ é uma fórmula pela regra 2: P(t1)

▪ (∃x inteligente(paiDe(x))) ▪ é uma fórmula pela regra (∃xα)▪ α é uma fórmula pela regra P(t1(t2))


SINTAXE: GRAMÁTICA

▪ GRAMÁTICA em Backus-Naur Form (BNF)▪ t:= x | c | f(t, …, t)

▪ t é um termo

▪ x qualquer símbolo de variável permitido pela linguagem

▪ c qualquer símbolo do conjunto de símbolos funcionais 0-ários (constantes)

▪ f qualquer símbolo do conjunto F de símbolos funcionais n-ários com n > 0

▪ α ::= P(t1, …, tn) | (¬¬¬¬α) | (α ∧∧∧∧ α) | (α ∨∨∨∨ α) | (α →→→→ α) | (∀∀∀∀xα) | (∃∃∃∃xα)

▪ α é uma fórmula

▪ P é qualquer símbolo de predicado n-ário com n > 0 de P

▪ ti são termos sobre de F

▪ x é uma variável


SINTAXE: GRAMÁTICA

▪ ESCOPO DOS QUANTIFICADORES▪ Variáveis livres: estão fora do escopo dos quantificadores▪ Variáveis bounded: estão no escopo dos quantificadores (são

chamadas de aparentes)

▪ SENTENÇA EM LPO ou FÓRMULA FECHADA

∀y(P(x) ∧ ∃x(P(y) ∨ Q(x)))

É qualquer fórmula sem variáveis livres.


SEMÂNTICALÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM


SEMÂNTICA

▪ Semântica▪ Define o significado no mundo (real ou artificial) das fórmulas bem-

formadas

▪ O significados de uma fórmula derivam do SIGNIFICADO atribuído aos símbolos não-lógicos por meio de um MODELO

▪ os símbolos lógicos tem significados fixos (dados pela própria lógica)▪ são neutros em relação ao domínio modelado


SEMÂNTICA

▪ EXEMPLOS

vamos supor que ▪ feliz(joão) é uma fórmula bem formada;▪ O símbolo joão denota um indivíduo;▪ O símbolo feliz é um predicado.▪ João, o indivíduo denotado, está feliz.

▪ O problema é que a interpretação dada aos símbolos não lógicos (joãoe feliz) pode variar de uma pessoa a outra!


SEMÂNTICA

▪ O exemplo anterior provavelmente não suscita diferenças de interpretação ainda que ▪ a noção de feliz seja diferente de pessoa para pessoa▪ e que joão possa denotar diferentes indivíduos no mundo

▪ Há outros símbolos não-lógicos bem mais problemáticos pela dificuldade de precisar seus significados ou pela simples dificuldade de entender o ponto de vista do modelador▪ PaísDemocrático

▪ MelhorComidaDoMundo

▪ éBoaPessoa

▪ txN27


SEMÂNTICA

▪ Na LPO não é preciso dar definições precisas (como a de um dicionário) para os símbolos não-lógicos, por exemplo, que um país democrático é um pais que possui eleições, liberdade de expressão, etc.

▪ É preciso somente declarar quais objetos são países democráticos e quais não são.

▪ Se há divergências na definição de quais são democráticos, fala-se em diferentes MODELOS


MODELOSSEMÂNTICA


MODELOS: DEFINIÇÃO

▪ Um modelo MMMM do par (FFFF, PPPP) consiste de:

▪ um conjunto não vazio AAAA de valores concretos▪ a a a a ∈∈∈∈ AAAA é um objeto do domínio (ou um referente)

representado (ou não) por um símbolo

▪ Para cada símbolo funcional f ∈ F

▪ se f é 0-ário (constante): ffffm : a : a : a : a ∈∈∈∈ AAAA

▪ se f é n-ário (n > 0): ffffm : A: A: A: An →→→→ AAAA

Na lógica clássica não há indeterminação, logo as funções

devem ser totais

f é total se para todos x do domínio, existe um y no

contradomínio tal que y = f (x).

▪ Para cada símbolo de predicado P ∈ P

▪ a aridade do predicado é n

▪ PPPPm ⊆ AAAAn

▪ o conjunto de tuplas de AAAAn é a extensãoextensãoextensãoextensão do do do do predicadopredicadopredicadopredicado PPPPm

An é o produto cartesiano de n x Affffm é uma função concreta no modelo M

PPPPm é um relação concreta no modelo M

f é um símbolo de função

P é um símbolo de predicado

fonte: (HUTH e RYAN, 2008, pg. 93)


EXEMPLO 1

▪ Modelo MMMM para um par (FFFF, PPPP) ▪ Par(x) é um predicado ▪ suc(x) é uma função que retorna o sucessor de x▪ um é o símbolo de constante que denota o número 1▪ dois é o símbolo de constante que denota o número 2▪ três é o símbolo de constante que denota o número 3▪ quatro é o símbolo de constante que denota o número 4

▪ Construção do modelo M▪ F = {suc, um, dois, três, quatro}

▪ P = {Par}

▪ A = {1, 2, 3, 4}

▪ Interpretação dos predicados▪ Parm = {2, 4}

▪ Interpretação das funções▪ 0-árias (constantes)▪ umm = 1▪ doism = 2▪ trêsm = 3▪ quatrom = 4

▪ Funções

▪ sucm = {(1�2), (2�3), (3 � 4), (4�1)}

▪ Avaliação de fórmulas no modelo M

M ⊯ Par(um)

M ⊫ Par(suc(três))


CONTEXTO

Pode ser entendido como as atribuições de valores às variáveis de um modelo, sendo que os valores possíveis são os objetos do domínio

Um contexto llll é definido porl: var l: var l: var l: var →→→→ A A A A tal que, var é conjunto de variáveis e A o conjunto de objetos

l[x l[x l[x l[x →→→→ a] a] a] a] representa o mapeamento da variável x para o valor a - pode ser escrito como l(x) = al(x) = al(x) = al(x) = a


SEMÂNTICA

Com as definições de modelo e de contexto, é possível definir uma semântica para as fórmulas de LPO.

Dados� um modelo M para o par (F, P), � um conjunto não vazio A de valores concretos (os objetos do domínio) e� um contexto l (letra ele),

pode-se definir a relação de satisfação M ╞φ no contexto l, ou seja, avaliar se φ é verdadeira no modelo M com o contexto l

Escreve-se

M ╞ φl


SEMÂNTICA DA LPO

extraído de (Huth e Ryan, 2008, pg. 97)


EXEMPLO 1 REVISITADO

▪ Modelo MMMM para um par (FFFF, PPPP) ▪ Par(x) é um predicado ▪ suc(x) é uma função que retorna o sucessor de x▪ um é o símbolo de constante que denota o número 1▪ dois é o símbolo de constante que denota o número 2▪ três é o símbolo de constante que denota o número 3▪ quatro é o símbolo de constante que denota o número 4

▪ Construção do modelo M▪ F = {suc, um, dois, três, quatro}

▪ P = {Par}

▪ A = {1, 2, 3, 4}

▪ Interpretação dos predicados▪ Parm = {2, 4}

▪ Interpretação das funções▪ 0-árias (constantes)▪ umm = 1▪ doism = 2▪ trêsm = 3▪ quatrom = 4

▪ Funções

▪ sucm = {(1�2), (2�3), (3 � 4), (4�1)}

▪ Avaliação de fórmulas no modelo M

φ =∀y((((Par(y)→¬Par(suc(y))))))

M ⊫ φ no contexto l ?

Contexto:Contexto:Contexto:Contexto:l(y) = 1 V(φ) = V

l(y) = 2 V(φ) = V

l(y) = 3 V(φ) = V

l(y) = 4 V(φ) = V


SATISFAÇÃO, VALIDADE E CONSISTÊNCIASEMÂNTICA


Consequência, Satisfabilidade e Validade

Γ É uma teoria (conjunto de fórmulas)Check ϕ = ϕ é verdadeiraLook-up tables = environment = contexto

(Huth e Ryan, 2004)

Teoria consistente


CONSEQUÊNCIA LÓGICA

▪ Embora as regras semânticas da interpretação dependam da interpretação dos símbolos não-lógicos, há conexões entre sentenças em LPO que não dependem da interpretação dos símbolos não lógicos

▪ Por exemplo, sendo γ (gama) definido por ¬(β ∧ ¬α), M um modelo onde α é verdadeiro, pode-se concluir que γ é verdadeira independente de como entendemos os símbolos β e α

▪ Sempre que α for verdadeiro, γ o será!!! γ é uma consequência lógica de α ou a verdade de γ está implícita na verdade de α


CONSEQUÊNCIA LÓGICA

▪ Por que consequência lógica é importante?

“Reasonning based on logical consequence only allows safe, logically guaranteed conclusions to be drawn. However, by starting with a rich collection of sentences as given premises, including NOT ONLY FACTS ABOUT PARTICULARS of the intended application but also those expressing connections among the nonlogical symbols involved, the set of entailed conclusions becomes a much richer set, closer to the set of sentences true in the intended interpretation. Calculating these entailments thus becomes me like the form of reasoning we would expect of somenone who understood the meaning of the terms involved”.

Brachman & Levesques, KR and Reasonning, pg. 25.


EXERCÍCIO 1

▪ A figura ao lado representa um mundo formado por pessoas e cachorros bem como pelas relações apresentadas, construa uma teoria em LPO que represente

▪ pessoas e cachorros como objetos distintos;▪ a relação Dono entre pessoas e cachorro;▪ melhor amigo: alguém só tem um melhor amigo▪ Somente pessoas são donas de algo.▪ Somente cachorros podem pertencer a outrem.▪ Há alguém cujo melhor amigo é um cão.

▪ Construa o modelo que represente o mundo ao lado e diga se ele é consistente com a teoria (explique porque é ou não é).

▪ Caso não seja, mude o modelo para que se torne consistente e vice-versa.

▪ Demonstre que entendeu a diferença entre termo e fórmula por meio de exemplo.

Totó

catitascooby

joão

maria

Domínio

MelhorAmigo

DonoDono

Ana


EXERCÍCIO 2

C

B

A

c não é verde

α = Dados os blocos a, b e c, há um cubo verde sobre um não verde?

cor desconhecida

verdeB

B

Dois casos possíveis

B é verde

B não é verde

b está sobre c,portanto há um cuboverde sobre um não verde

a está sobre b,portanto há um cuboverde sobre um não verde


EXERCÍCIO

▪ Formalize a teoria da transparência anterior utilizando:▪ os predicados ▪ G(x) que significa x é green e ▪ O(x, y) que significa cubo x está sobre cubo y.

▪ As constantes a, b e c para representar os cubos

▪ Demonstre que a sentença α = Há um cubo verde sobre

um não verde é consequência lógica da teoria

▪ Para tal, faça;▪ A teoria em sentenças da LPO▪ a sentença α em LPO▪ Encontre e represente todos os modelos e contextos que

satisfaçam a teoria▪ ‘todos os modelos’ tem um significado restrito: modelos com 3 cubos onde eles

estão sempre um em cima do outro; um cubo sempre tem cor verde, outro, não, e um terceiro tem cor desconhecida


REFERÊNCIAS

HUTH, M.; RYAN, M. Logic in Computer Science: modelling and reasoning about systems,

2ND. Edition, 426 p., Cambridge Press, 2004.

HUTH, M.; RYAN, M. Lógica em ciência da computação: modelagem e argumentação sobre

sistemas . 2. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2008. x, 322 p. ISBN 9788521616108.

BRACHMAN, R.; LEVESQUE, H. Knowledge Representation and Reasoning, 2004, Ed.

Morgan Kaufmann.

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