FISICA I

Práctica Dirigida Nº 01

Termometría Introducción.- El sentido del tacto nos permite en muchos casos establecer ciertas comparaciones entre los estados caloríficos de diversos cuerpos. Decimos por ejemplo, que un cuerpo esta mas caliente que otro o que su temperatura es más alta; pero estas determinaciones basadas en la experiencia de nuestros sentidos no dejan de tener un valor relativo y carecen de precisión; incluso pueden llevarnos al error. Supongamos por ejemplo, que introducimos la mano derecha en un deposito de agua caliente y la izquierda en un deposito de agua helada; si después de haberlas tenido unos instantes en esta posición, introducimos simultáneamente las dos manos en un deposito de agua tibia, la mano derecha experimentara una sensación de frío, mientras la sensación en la izquierda será de calor. Además hay una infinidad de casos en que nuestros sentidos no nos permiten apreciar una temperatura, porque fisiológicamente no podrían soportarla. Para establecer los diversos grados de la noción de frío o caliente se recurre a la observación de un dispositivo físico denominado termómetro. Temperatura.- Es una magnitud escalar que mide el grado de agitación molecular o atómica. Se puede asumir también que la temperatura mide la energía interna de un cuerpo. Hay quienes afirman erróneamente que la temperatura mide el calor. Así pues, la termometría consistirá en la medida de la temperatura. Termómetro.- Es aquel instrumento que sirve para indicar la temperatura. Esta aparato esta basado en el fenómeno de la dilatación que produce el calor en la sustancia encerrada en un tubo de vidrio (mercurio, alcohol, gas, etc.) Escalas termométricas.- Para poder medir las diferentes temperaturas es necesario establecer una serie de referencias, cuyo conjunto constituye la escala termométrica. Así, para disponer de una escala practica y fácil de verificar en cualquier aparato destinado a medir temperaturas, se eligen dos puntos fijos que se obtienen al establecerse los estados de equilibrio térmico en condiciones rigurosamente controladas; luego se divide el intervalo comprendido entre esos dos puntos en cierto numero de partes iguales, cada una de las cuales recibe el nombre de grado. Cualquier magnitud que varia con la temperatura es una propiedad termométrica. Así, son propiedades termométricas: la longitud de una barra, el volumen de un gas, la resistencia eléctrica de un material, el color de un sólido muy caliente, etc. Cada propiedad termométrica nos permite la construcción de un tipo de termómetro; sin embargo, no nos ocuparemos de esta gran variedad de tipos de termómetros. Procuraremos ilustrar nuestras ideas sobre la temperatura analizando solamente el tipo mas común de termómetro, el que usa como propiedad termométrica la longitud de una columna liquida en el interior de un tubo capilar de vidrio. En este termómetro, la elevación de la temperatura produce dilataciones en los volúmenes del liquido y del vidrio; pero debido a la mayor de dilatación del liquido se produce un aumento de la longitud de la columna liquida que servirá para medir la temperatura.

La asociación de un número a la temperatura de un cuerpo se hace siguiendo determinadas convenciones, que se usan para construir las escalas termométricas. Estas convenciones consisten en un conjunto de reglas arbitrarias que indican como calibrar un termómetro. Las escalas termométricas no nos han sido dictadas por la naturaleza; al contrario, ellas consisten en un mero procedimiento escogido a voluntad nuestra. La fijación del uso de una determinada escala responde exclusivamente a la obediencia a las convenciones internacionales, que procuran uniformizar al máximo la calibración de los termómetros. Evidentemente Ud. se da cuenta de las dificultades que traería el hecho de que cada persona usara una escala termométrica diferente (acuérdese de los países de habla inglesa) aun cuando físicamente, sea legitimo hacer esto. En la actualidad se usan con mayor frecuencia las escalas termométricas propuestas por los físicos: Celsius (1701-1744), Fahrenheit (1686-1736) y Kelvin (1824-1907). Escalas Celsius (centígrada).- Para construir esta escala se toman dos puntos fijos: Uno que es el punto de fusión del hielo a una atmósfera y el otro, el punto de ebullición del agua a una atmósfera. A estos puntos se le atribuyen las temperaturas de 0C y 100C, respectivamente. En seguida se divide el intervalo entre los dos puntos en pequeños intervalos de 1C (1 grado centígrado). La graduación del termómetro podrá también extenderse por debajo de 0C y por encima de 100C. Escala Fahrenheit.- Para construir esta escala se toman dos puntos fijos: Uno que es punto de fusión de una mezcla de NaC1, NH4C1 y el hielo fundente; y el otro, la temperatura normal del cuerpo humano, a las cuales se atribuye las temperaturas de 0F y 100F, respectivamente. En esta escala, el termómetro marca 32 Fahrenheit (32F) en la fusión del hielo y 212F en la ebullición del agua; intervalo que contiene 180 partes iguales o grados “F”. Escala Kelvin.- Se sabe que la temperatura no tiene un limite superior; pero si un inferior. Métodos modernos de la Física de bajas temperaturas han conseguido bajar la temperatura de un cuerpo, máximo a la vecindad de -273C; pero no se ha conseguido llegar hasta ella, ni bajar más. La temperatura de -273C se denomina Cero Absoluto y un gran físico del siglo XX, llamado Kelvin, propuso la construcción de una escala termométrica cuyo cero fuese el cero absoluto y cuyos intervalos de 1 grado fueran iguales a las de la escala Celsius. A esta escala se le da el nombre de escala Kelvin o escala Absoluta.

Determinación de Altas Temperaturas El termómetro de Mercurio no puede utilizarse para temperaturas superiores a 350C, porque hierve a 360C, pero se fabrican tipos con envoltura de cuarzo y atmósfera de nitrógeno que permite utilizar el mercurio para medir hasta 750C. Los instrumentos destinados a medir altas temperaturas se designan generalmente con el nombre de Pirómetros. Problemas propuestos 1. La temperatura normal del cuerpo es 98,6ºF. ¿Cuál es la temperatura correspondiente

en ºC? 2. El punto de ebullición del azufre es 444,5ºC. ¿Cuál es la temperatura correspondiente

en ºF? 3. El punto de ebullición del O2 es -297,35 ºF. ¿Cuál es la temperatura correspondiente en

ºC y K? 4. El oro se funde a 1336K. ¿Cuál es la temperatura correspondiente en ºC y ºF? 5. Una pared de ladrillos térmicos tiene una temperatura interior de 313ºF y una exterior

de 73ºF. Exprese la diferencia entre las dos temperaturas en ºC y K. 6. ¿A que temperatura, los valores en las escalas centígrada y Fahrenheit coinciden? 7. ¿A que temperatura, las dos escalas tienen el mismo valor numérico, pero signos

opuestos? 8. Una aleación de cobre se retira de un horno a 200ºC y se enfría a 20ºC. Exprese el

cambio de temperatura en grados Fahrenheit. 9. Supóngase que se desea pasar a la historia al establecer su propia escala de

temperaturas. Usted seleccione el punto de ebullición de la acetona (56,5ºC) como su punto fijo inferior y el punto de ebullición del azufre (444,5ºC) como su punto fijo superior. Le da el nombre de “escala de Mentius” y se divide en 100 graduaciones. Por lo tanto, 0ºM = 56,5ºC y 100ºM = 444,5ºC. ¿Cuál es la relación entre un grado Mentius y un grado centígrado?, ¿Cuál es el cero absoluto en grados Mentius?

10. ¿A que temperatura en grados kelvin se verifica que las lecturas en la escala

centígrada y Fahrenheit satisfacen la siguiente relación: C + F = 60? 11. En un termómetro malogrado cuya escala esta en ºF el agua hierve a 178ºF. ¿A que

temperatura debe congelar el agua en dicho termómetro. 12. Se tiene una escala termométrica absoluta X, y se sabe que el agua hierve a 746ºX. ¿A

cuantos grados X hierve el calcio, si su punto de ebullición es 1480ºC?

Dilatación Concepto.- Es aquel fenómeno físico que consiste en el cambio de dimensiones que experimenta un cuerpo cuando aumenta o disminuye la temperatura. Esto es debido a lo siguiente: cuando la temperatura aumenta, las moléculas de un cuerpo se mueven con mayor intensidad y trataran de ocupar el mayor volumen posible, el cuerpo cederá y se habrá dilatado. Sabemos que todo fenómeno tiene sus ventajas y desventajas, la dilatación no es una excepción. Así, se aprovecha el fenómeno de la dilatación para construir los termómetros, así también se estudia la variación de longitud de los alambres de telégrafo o teléfono. Interesa que en el invierno (cuando la temperatura baja) no vayan a templarse tanto los alambres con su contracción, que pueden romperse; esto mismo sucede con los rieles de los ferrocarriles que no se colocan unos a continuación de otros, tocándose, sino que se deja un espacio entre ellos para que puedan dilatarse. Igualmente entre palos de concreto de veredas y calzadas se dejan espacios llenos con asfalto, los cuales se llaman Juntas de Dilatación. Así mismo, cuando una persona mide su estatura con una cinta métrica, observara que su medida es diferente en cada ocasión que lo hace, esto debido a la dilatación de la cinta. ¿Se dilatará la persona? Debemos tener en cuenta que todo cuerpo al dilatarse lo hace en sus tres dimensiones; sin embargo, a veces puede interesarnos la variación de su longitud solamente, como en el caso de los alambres; o quizás la variación de una superficie, (caso de una pizarra). Por lo tanto tenemos tres clases de dilataciones. A) Dilatación Lineal. B) Dilatación Superficial. C) Dilatación volumétrica

COEFICIENTES DE DILATACION LINEAL

Sustancia C-1 Agua 1,80 10-4 Glicerina 4,85 10-4 Mercurio 1.82 10-4 Petróleo 9.20 10-4 Aluminio 23 10-6 Cobre 17 10-6 Invar. 0.7 10-6 Zinc 26 10-6 Vidrio (común) 9.0 10-6 Vidrio (pirex) 3.2 10-6 Tungsteno 4 10-6 Plomo 29 10-6 Sílice 0.4 10-6 Acero 11 10-6 Diamante 0.9 10-6

Problemas propuestos

1. Un puente de vigas de hierro tiene 18 m de longitud. Fue construido en invierno cuando la temperatura era de 30ºF. ¿Qué anchura ha de tener una junta de dilatación que se tiene que dejar para que el puente soporte temperaturas de hasta 102ºF. HIERRO = 12x10-6 ºC-1.

2. Una plancha de aluminio se corta en forma de círculo con un diámetro de 10 cm a

20ºC. ¿cuál será el diámetro del círculo a 100ºC? ALUMINIO = 25x10-6 ºC-1

3. Un matraz de vidrio resistente al calor se calibra para un llenado exacto de 100 cm3

a 20ºC. ¿Cuál será la capacidad a 120ºC? VIDRIO = 3x10-6 ºC-1 4. Se tiene un aro de 30,00 cm de diámetro a 15ºC y el diámetro interior de la llanta de

acero es 29,96 cm. Se pide calcular la temperatura a la cual debe calentarse la llanta para que pueda entrar en la rueda. ACERO = 12x10-6 ºC-1

5. Una bola de acero de 6 cm de diámetro tiene 0,010 cm más de diámetro que el

orificio de una plancha de latón a donde se debe alojar, cuando tanto la bola como la plancha están a una temperatura de 30ºC. ¿A que temperatura se encontraran la bola y la plancha para que esta pueda pasar por el agujero?

ACERO = 12x10-6 ºC-1 LATON = 19x10-6 ºC-1

6. Una vara métrica de aluminio mide correctamente a 5ºC. Con ella se ha medido una

cierta longitud a 35ºC, dando como resultado el valor 88,420 cm. Determinar:

a. El error cometido en la medición. b. La longitud correcta que se ha determinado a 35ºC.

7. Se va a rayar una escala métrica de acero de modo que los intervalos de milímetros tengan una precisión de 0,001 mm a una cierta temperatura. Determinar la máxima variación de temperatura permisible durante la operación de rayado.

ACERO = 11x10-6 ºC-1

8. Al maquinar una polea de hierro fundido en un torno, la temperatura de la polea se elevo hasta 200ºC. ¿Qué diámetro deberá tener la polea a esta temperatura para que al enfriar a 0ºC su diámetro resulte igual a 400 mm?

FIERRO = 12x10-6 ºC-1 9. ¿Cuál es el cambio de temperatura que ha ocasionado un aumento de 0,3 cm de

longitud en una varilla, si se sabe que al aumentar su temperatura en 15ºC adicionales se obtiene una dilatación total de 0,8 cm?

10. Una varilla metálica de 50 cm de longitud se ha formado por dos trozos de metales cuyos coeficientes de dilatación lineal son 1,5x10-5 ºC-1 y 9x10-6 ºC-1. Si la varilla se calienta en 100ºC, se observa que se dilata 0,063 cm. ¿Cuál es la longitud de cada trozo participante?

11. Una varilla de cobre (CU = 1,7x10-5 ºC-1 )de 3 m de longitud se encuentra sujeta por

un extremo y apoyada sobre dos rodillos de 1 cm de diámetro, y se calienta por acción de una corriente eléctrica desde 20ºC hasta 220ºC, lo cual hace girar a los rodillos. ¿Cuánto giran cada uno de los rodillos debido a la dilatación de la varilla. Despreciar los efectos térmicos sobre los rodillos.

12. Una wincha metálica de 5 m de longitud es exacta a 15ºC. Un día en que la

temperatura ambiente es 35ºC se mide el terreno, obteniéndose 100 m de longitud. ¿Cuál es la verdadera longitud del terreno, sabiendo que METAL = 4x10-4 ºC-1.

13. Con una cinta métrica de aluminio se mide una varilla de bronce a 20ºC

obteniéndose un valor de 80 cm. ¿Cuál seria la lectura de la medida obtenida a 40ºC, si la cinta es exacta a 20ºC? ALUMINIO = 2,3x10-5 ºC-1 BRONCE = 1,8x10-6 ºC-1

14. La altura de una columna de mercurio medida en una escala de latón a la

temperatura T1 = 0ºC es H1 = 10 cm. ¿Cuál seria la altura H2 de la columna en dicha escala a la temperatura T2 =10ºC?

LATON = 1,9x10-5 ºC-1 MERCURIO = 1,8x10-4 ºC-1

15. Un alambre circular rodea totalmente una moneda de 50 cm de radio. Si existe un incremento de 100ºC en la temperatura del sistema. ¿Qué separación existirá entre el alambre y la moneda?

ALAMBRE = 3x10-5 ºC-1 MONEDA = 1,0x10-5 ºC-1

16. Una lamina (LAMINA = 2,0x10-4 ºC-1) posee un agujero de 50 mm de diámetro, y

desea hacer pasar una esfera de 52 mm de diámetro por este agujero. ¿Cuánto debe incrementarse la temperatura de la lámina para que se logre el objetivo deseado?

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Práctica Dirigida Nº 02

Calorimetría El calor es una forma de energía que fluye de un sistema a otro debido a una diferencia de temperatura entre ellos. La unidad de calor se define como la cantidad de energía calorífica que se debe suministrar para elevar la temperatura de un gramo de agua de 14,5CC a 15,5ºC y se llama una caloría (cal). Una unidad más grande, la kilocaloría (103 cal), también se emplea. En el sistema ingles la unida es el Btu y la cantidad de calor que s necesita para elevar la temperatura de una libra de agua de 63ºF a 64ºF.

1 cal = 4,186J = 3,968x10-3 BTU 1 J = 0,2389 cal = 9,478x10-4 BTU 1 BTU = 1055 J = 252,0 cal

La cantidad de calor que se necesita para cambiar la temperatura de una sustancia depende de la sustancia, su masa y la temperatura. La relación entre el calor que suministra Q para cambiar la temperatura en T se llama la

capacidad de calor C del cuerpo. Así. T

QC

La capacidad del calor por unidad de masa se llama el calor específico c y se define por:

T

Q

mc

1

c depende de la temperatura que hay en el intervalo T. Y el calor que se debe suministrar o quitar de un sistema para cambiar su temperatura de un valor inicial Ti a un valor final Tf es:

TcmQ La cantidad de calor que se requiere para cambiar la temperatura de una sustancia depende de cómo s ele agregue o quite el calor. En general cada proceso distinto conduce a valores distintos para c. Como el calor es otra forma de energía se puede expresar en unidades mecánicas de energía. el equivalente mecánico del calor fue hallado por Joule y su valor es:

1 Kcal = 103 cal = 4186 Joules 1 BTU = 252 cal = 777,9 lb-pie

La cantidad de energía de calor consumida por la unidad de masa de un líquido para transformarlo en vapor sin que varíe su temperatura recibe el nombre de calor de vaporización. Del mismo modo, la cantidad de calor que emplea la unidad de masa un sólido para convertirse en líquido sin que varíe su temperatura se denomina calor de fusión. Para el agua estas cantidades de calor toman los valores: Calor de vaporización = 540 cal/g = 970 BTU/Lb Calor de fusión = 80 cal/g = 144 BTU/Lb

Determinación del calor especifico por el método de las mezclas Cuando se calienta un cuerpo de masa y temperaturas conocidas y se deja caer en una masa conocida del líquido, agua por ejemplo, la elevación de temperatura del líquido es una indicación del calor específico del cuerpo. Suponiendo que el calor que pierde el cuerpo al enfriarse es igual al calor que recibe el agua y su recipiente: m1 c1 (T0 – Tf ) = ma ca (Tf – Ti ) + mr cr (Tf – Ti ) Siendo m1 la masa del cuerpo caliente, c1 su calor específico, T0 su temperatura inicial Tf su temperatura final, ma la masa del agua, Ti la temperatura del agua y del recipiente y mr y cr son respectivamente la masa y el calor especifico del recipiente. Sustituyendo los valores encontrados experimentalmente, el valor de c1 pede encontrarse. Problemas propuestos

1. Un cuerpo, cuyo calor especifico es de 5 cal/gºC, se enfría de 17 a 14ºC, si la masa del cuerpo es 100 g. ¿Qué cantidad de calor habrá cedido?

2. En un recipiente térmicamente aislado se mezclan 40g de agua a 50ºC con 60g de

agua a 100ºC. ¿Cuál es la temperatura de equilibrio?

3. Se mezclan 4g de agua a 4ºC, con 5 g a 5ºC, con 6g de agua a 6ºC, con 7g a 7ºC. ¿Cuál es la temperatura de equilibrio? La mezcla se realiza en un ambiente térmicamente aislado.

4. Se mezclan 5 litros de agua que esta a 8ºC con 20 litros a 0,5ºC. Calcular la

temperatura de equilibrio, si la capacidad calorífica del recipiente es nula.

5. Hallar el calor que se debe extraer de 20 g de vapor de agua a 100ºC para condensarlo y enfriarlo hasta 20ºC.

6. Un calorímetro de 55 g de cobre contiene 250 g de agua a 18ºC. Se introducen en el

75g de una aleación a una temperatura de 100ºC, y la temperatura resultante es de 20ºC. Hallar el calor especifico de la aleación

7. Hallar el calor de fusión del hielo a partir de los siguientes datos calorimétricos:

- Masa del calorímetro 60g - Masa del calorímetro mas la del agua 460g - Masa del calorímetro mas la del agua y el hielo 618g - Temperatura inicial del agua 38ºC

8. ¿Cuanto carbón se necesita para calentar el agua en un tanque de 40 galones de

40°F a 180°F si el calor de combustión del carbón empleado es de 6000 kcal/kg? (Un galón de agua tiene la masa de 8,34 lb.)

9. Si 0,04 kg de metal a 100°C se colocan en 0,15 kg de agua a 18°C, y la temperatura

final de la mezcla es de 20°C, ¿Cuál es el calor específico del metal?

10. Si 0,08 kg de aluminio (de calor especifico 0,212) a 100°C se colocan en 0,1 kg de agua a 15°C, ¿Cuál es la temperatura final de la mezcla?

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FISICA I

Práctica Dirigida Nº 03

Transferencia del calor La transmisión de energía de una parte de un sistema a otro en virtud de la diferencia de temperatura se llama propagación del calor. Su una cara de un elemento delgado de un material esta a una temperatura T y el otro a una temperatura T + T, y si el área de la cara de la lámina es A, la cantidad de calor que pasa a través del elemento de lámina esta dada por:

x

TkA

t

Q

Siendo x el espesor de la lamina y k la constante de conductividad térmica de la sustancia. Esta es la ecuación fundamental de la conducción del calor. El calor fluye de temperaturas altas a temperaturas bajas y la dirección que se escoge es el sentido de aumento de las x. el signo menos en la ecuación asegura que cuando el gradiente de temperatura T/x es negativo, la cantidad de calor por unidad de tiempo Q/t es positiva. La dirección del flujo del calor es perpendicular al área. La conductividad térmica en general depende no solamente de la sustancia, sino también de la temperatura. Para diferencias moderadas de temperaturas se puede usar un valor promedio de una sustancia dada. Si k es grande, la sustancia es un buen conductor de calor, y si k es pequeño, es mala conductora del calor. La mayoría de problemas de conductividad térmica contiene condiciones de estado estacionarias. Es decir, Q/t y T son constantes en el tiempo. Cuando se obtiene para una lamina de material un estado estacionario con el flujo de calor perpendicular a su superficie, Q/t debe ser independiente de la posición. Para una lamina en condiciones estacionarias:

L

TTkA

t

Q di

Siendo Ti la temperatura en la cara de la izquierda y Td en la cara de la derecha. El espesor de la lámina es L y Ti > Td. Flujo de calor a través de paredes compuestas Si un pared esta formada por materiales de diferentes espesores y de distintas conductividades térmicas, el flujo de calor a través de las secciones en serie es:

R

TTA

KL

TTAH

)()( 1212

Convección: El termino convección se aplica a la propagación del calor de un lugar a otro por un movimiento real de la sustancia caliente

Radiación: Es la transmisión del calor por medio de la propagación de una onda electromagnética a través del espacio. La potencia de radiación de la superficie ideal llamado “cuerpo negro” hacia el espacio es:

4TeW

Donde el poder emisivo de la llama es e = 1 y es la constante de Boltzmann.

= 5,6699 . 10-8 watt / (m2 K4) = 1,36 10-11 kcal / m2 s K4)

W = J / s m2 = watt /m2 La radiación para cualquier cuerpo es 4TeAW

Donde A es el área del cuerpo Problemas propuestos 1.- Una placa de hierro de 2 cm de espesor tiene una sección recta de 5 cm2. Una de las caras se halla a la temperatura de 150 ºC y la opuesta a 140 ºC. Calcular la cantidad de calor que se transmite por segundo. La conductividad térmica del hierro vale 0,115 cal/s.cm.ºC 2.-¿Cuántas Btu se pierden en una hora a través de una ventana de vidrio de ¼ de pulg de espesor y 24 pulg . 48 pulg de área, si la temperatura exterior es de 30°F y la interior 72°F? Kvidrio = 0,00017 BTU / (pie s F) 3.- Un trozo de bronce de 0,01 m de espesor se expone a una temperatura de 40°C en un lado y de 30°C en el otro. Si transmite 3,75 kcal en 5 min a través de un área de 5 cm2, ¿Cuál es la conductividad térmica del bronce? 4.- ¿Cuánta energía radia por minuto un filamento de una lámpara incandescente a 2000 K si el área es de 5 . 10-5 m2 y su emisión 0,85? 5.- Un horno de hierro radia 153 kcal/h a través de una abertura de 1 . 10-4 m2. ¿Cuál es la temperatura dentro del horno si su emisión es de 0,80?

6.- Una ventana de cristal térmico de 6 m2 de área esta constituido con dos hojas de vidrio, cada una de 4 mm de espesor separadas por un espacio de aire de 5 mm. Si el interior está a 20 ºC y el exterior a –30 ºC, ¿cuál es la pérdida de calor a través de la ventana?. Kvidrio = 0,8 W/m °C Kaire = 0,0234 W/m °C

7.- Calcule el valor R de a) una ventana hecha con un solo cristal de 1/8 pulgada de espesor, y b) una ventana de cristal térmico formada con dos cristales individuales, cada uno con 1/8 de espesor y separados por un espacio de aire de ¼ pulgadas. c) ¿En que factor se reduce la pérdida de calor si se utiliza la ventana térmica en el lugar de la ventana de un solo cristal? Kvidrio = 0,0117 BTU/pie h °F Kaire = 0,01502 BTU/pie h °F

8.- Una caja con un área de superficie total de 1,20 m2 y una pared de 4 cm de espesor está hecha con un material aislante. Un calefactor eléctrico de 10 w dentro de la caja mantiene la temperatura interior en 15 ºC arriba de la temperatura exterior. Encuentre la conductividad térmica del material aislante. 9.- Una nevera eléctrica esta bien aislada, excepto la puerta, que tiene 5 pulgadas de espesor, 2 pies de ancha y 4,5 pies de alta. Para conservar la temperatura media dentro de la nevera a 38°F cuando la temperatura del cuarto es de 85°F, el motor funciona durante 10 min y se detiene durante 15 min. ¿Cuántas Btu por hora remueve del interior de la nevera mientras esta funcionando el motor? El coeficiente promedio de conductividad térmica de la puerta es 0,2 Btu-pulg/h-pie2 . °F. 10.- ¿Cuanto tiempo tarda en formarse una capa de hielo de 4 cm de espesor sobre la superficie de un lago cuando la temperatura del aire es de - 6°C? La conductividad térmica del hielo es de 4 . 10-3 cal/seg . cm . °C y su densidad 0,92 g/cm3. 11.- Una lamina caliente de área 0,2 m2 se conserva a una temperatura de 59°C por medio de un calentador de 100W cuando la temperatura del cuarto es 20°C. El coeficiente apropiado de convección es 0,6 . 10-4 (∆t) cal/seg cm2 °C. ¿Qué fracción del calor que se suministra se pierde por convección? 12.- La cantidad de radiación que recibe la Tierra del Sol es 0,14 W/cm2. Suponiendo que el Sol es un radiador ideal, calcule la temperatura de la superficie del Sol. La relación del radio de la órbita de la Tierra al radio del Sol es 216.

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54BFISICA I

55BPráctica Dirigida Nº 04

53BTermodinámica 0BLey cero de la termodinámica 1BSi dos sistemas físicos están en equilibrio con un tercer sistema, ellos están en equilibrio térmico entre si. 2BPrimera Ley de la Termodinámica 3BEn un proceso determinado, el calor entregado a un sistema es igual al trabajo que realiza el gas mas la variación de su energía interna.

WUQ

4BQ = Calor entregado al sistema del estado 1 al estado 2 5BU = Variación de la energía interna del estado 1 al estado 2 6BW = Trabajo realizado por el sistema del estado 1 al estado 2 7BLa primera ley de la termodinámica es solo una expresión cuantitativa del principio de la conservación de la energía. En palabras esta expresa que el cambio de energía total de un sistema cerrado es igual al calor transferido al sistema menos el trabajo realizado por el sistema. 8BEn forma diferencial el primer principio de la termodinámica puede expresarse como: 9BdQ = dU + dW 10BRegla de signos

11Ba) Para el trabajo: se considera positivo el trabajo si es realizado por el sistema: W(+). El trabajo es considerado negativo si se realiza sobre el sistema por un agente externo. W(-).

12Bb) Para el Calor: Se considera positivo el calor cuando del medio exterior es transferido calor al sistema Q(+). Se considera negativo el calor cuando el sistema transfiere calor al exterior Q(-).

13BCALORES ESPECIFICOS PARA GASES 14BA diferencia de los sólidos y líquidos en que el calor especifico permanece casi 15Bconstante con los cambios de presión y temperatura, sin embargo en los gases del 16Bvalor del calor especifico depende de cómo se calienta el gas: a presión constante, a 17Bvolumen constante o haciendo variar ambos parámetros.

18Ba) Calor específico a presión constante (CRPR): es el cociente de la cantidad de calor entregado a un gas, manteniendo constante su presión, entre el producto de su masa por variación de temperatura.

19BCRPR =Q / (m T)

20Bb) Calor especifico a volumen constante (CRVR): es el cociente de la cantidad de calor entregado a un gas, a volumen constante, entre el producto de su masa por la variación de temperatura:

21BCRVR =Q / (m T) 22BObservación: El calor específico de un gas que se calienta presión constante es mayor que el de un gas calentado a volumen constante y la relación existente entre ambos es la siguiente: 23BCRPR – CRVR = RRuR / M 24BRRuR = constante universal de los gases (RRuR = 1,99 cal/mol.ºK = 0,082 atm lt / mol ºK = 8,315 J / mol .ºK 25BM = Peso molecular del gas 26BEcuación Universal de los gases ideales

27BPV = nRRuR T 28Bn = numero de moles 29BRRuR = constante universal de los gases.

30BPresion 1 Pa = 9,265 . 10 P

-6P Atm

31B1 Atm = 1,013 . 10 P

5P Pa

32BProblemas propuestos 33B1.- A un gas ideal se le transfiere 100 J en forma de calor, al expandirse realiza un trabajo de 65 J y su energía interna varia en 20 J, determine la cantidad de calor liberado en este proceso. 34B2.- Una maquina térmica que realiza 10 ciclos por segundo tiene una producción de 480 J con un rendimiento del 30% entonces el calor que se cede en cada ciclo es: 35B3.- Un gas que se encuentra dentro de un recipiente, al ser calentado realiza un trabajo de 1000 J. si la cantidad de calor entregado al sistema es de 720 calorías y su energía interna inicial es de 900 J. Determine la energía interna final. 36B4.- En la vaporización de 1 gr. de agua a 100 ºC se realiza un trabajo de 400 calorías. Determine el cambio producido en la energía interna. 37B5.- Una lámpara que consume 54 W es sumergida en un calorímetro transparente que contiene 650 cmP

3P de agua. Si durante 3 minutos el agua se calienta en 3,4 ºC. Determine

qué porcentaje de la energía consumida por la lámpara se emite por el calorímetro en forma de energía radiante.

38B

6.- El conductor de un montacargas de 3 toneladas de masa que va cuesta abajo por una montaña ve un río en el fondo por el cual debe detenerse. Su rapidez en el momento de aplicar los frenos era de 15 m/s y esta verticalmente a 20 metros por encima del fondo de la montaña. ¿Cuanta energía en forma de calor deben disipar los frenos si se desprecian los efectos del viento y otros efectos de rozamiento? 39B7.- (a) Dos gramos de nitrógeno a 27 ºC ocupan un volumen de 2 litros ¿Cual es la presión? (b) Si la presión se duplica y la temperatura se eleva hasta 127 ºC, calcule su volumen final. 40B8.- Si 3 mP

3P de un gas, en condiciones normales, se somete a una presión de 4 atm y la

temperatura se eleva a 38 ºC ¿Cuál será el nuevo volumen del gas? 41B9.- Calcule la densidad del oxigeno a condiciones normales, mediante la ley del gas ideal. 42B10.- Un tanque de almacenamiento contiene 32.7 kg de nitrógeno gaseoso a una presión absoluta de 3.8 atm. ¿Cuál será la presión si el nitrógeno se substituye por una masa igual de COR2R? 43B11.- Un tanque de almacenamiento a TPN contiene 25 kg de nitrógeno gaseoso. 44B(a) ¿Cuál es su volumen? (b) ¿Cuál será la presión si se le añaden 15 kg mas de nitrógeno? 45B12.- Si 25.5 moles de helio gaseoso se encuentran a 10 ºC y a una presión manométrica de 0.35 atm, calcule (a) el volumen del helio gaseoso bajo estas condiciones y (b) la temperatura, si el gas se comprime a la mitad del volumen, a una presión manométrica de 1 atm. 46B13.- ¿Cuál es la presión dentro de un recipiente de 50 lt que tiene 105 kg de argón gaseoso a 20 ºC 47B14.- Se llena un neumático de aire a 15 ºC hasta una presión manométrica de 220 kPa. El neumático alcanza una temperatura de 38 ºC. ¿Qué fracción del aire original se debe sacar para que se mantenga la presión original de 220 kPa? 48B15- Si 70 lt de oxigeno a 18 ºC y a una presión absoluta de 2,1 atm se comprimen hasta obtener 48.8 lt y, al mismo tiempo, la temperatura se eleva a 50 ºC. ¿Cuál será la nueva presión? 49B16.- Compare el valor de la densidad del vapor de agua a 100 ºC y 1 atm de presión (0,598 10 P

-3P gr/cmP

3P) con el valor que predice la ley del gas ideal. ¿Por qué se espera una

diferencia? 50B17.- Un globo de feria inflado con helio se escapa al nivel del mar donde la temperatura es de 20 ºC. Cuando llega a una altura de 3000 metros, donde la temperatura es de 5 ºC y la presión es de 0,7 atm ¿Cómo es su volumen en comparación con el que tenía en el nivel del mar? 51B18.- Una burbuja de aire en el fondo de un lago de 32 m de profundidad tiene un volumen de 1 cmP

3P. Si la temperatura en el fondo del lago es de 5,5 ºC y en la superficie de 21 ºC.

¿Cuál será el volumen de la burbuja en el momento de llegar a la superficie?

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FISICA I

Práctica Dirigida Nº 05

Aplicación de la Termodinámica. Gases ideales Ley de Boyle - Mariotte

Fue descubierta por Robert Boyle en 1662. Edme Mariotte también llegó a la misma conclusión que Boyle, pero no publicó sus trabajos hasta 1676. Esta es la razón por la que en muchos libros encontramos esta ley con el nombre de Ley de Boyle y Mariotte.

La ley de Boyle establece que la presión de un gas en un recipiente cerrado es inversamente proporcional al volumen del recipiente, cuando la temperatura es constante.

El volumen es inversamente proporcional a la presión:

Si la presión aumenta, el volumen disminuye. Si la presión disminuye, el volumen aumenta.

¿Por qué ocurre esto?

Al aumentar el volumen, las partículas (átomos o moléculas) del gas tardan más en llegar a las paredes del recipiente y por lo tanto chocan menos veces por unidad de tiempo contra ellas. Esto significa que la presión será menor ya que ésta representa la frecuencia de choques del gas contra las paredes. Cuando disminuye el volumen la distancia que tienen que recorrer las partículas es menor y por tanto se producen más choques en cada unidad de tiempo: aumenta la presión. Lo que Boyle descubrió es que si la cantidad de gas y la temperatura permanecen constantes, el producto de la presión por el volumen siempre tiene el mismo valor.

Como hemos visto, la expresión matemática de esta ley es:

(el producto de la presión por el volumen es constante)

Supongamos que tenemos un cierto volumen de gas V1 que se encuentra a una presión P1 al comienzo del experimento. Si variamos el volumen de gas hasta un nuevo valor V2, entonces la presión cambiará a P2, y se cumplirá:

que es otra manera de expresar la ley de Boyle.

Ley de Gay - Lussac

Fue enunciada por Joseph Louis Gay-Lussac a principios de 1800. Establece la relación entre la temperatura y la presión de un gas cuando el volumen es constante.

La presión del gas es directamente proporcional a su temperatura:

Si aumentamos la temperatura, aumentará la presión. Si disminuimos la temperatura, disminuirá la presión.

¿Por qué ocurre esto?

Al aumentar la temperatura las moléculas del gas se mueven más rápidamente y por tanto aumenta el número de choques contra las paredes, es decir aumenta la presión ya que el recipiente es de paredes fijas y su volumen no puede cambiar.

Gay - Lussac descubrió que, en cualquier momento de este proceso, el cociente entre la presión y la temperatura siempre tenía el mismo valor:

(el cociente entre la presión y la temperatura es constante)

Supongamos que tenemos un gas que se encuentra a una presión P1 y a una temperatura T1 al comienzo del experimento. Si variamos la temperatura hasta un nuevo valor T2, entonces la presión cambiará a P2, y se cumplirá:

que es otra manera de expresar la ley de Gay-Lussac.

Esta ley, al igual que la de Charles, está expresada en función de la temperatura absoluta. Al igual que en la ley de Charles, las temperaturas han de expresarse en Kelvin.

Ley de Charles

En 1787, Jack Charles estudió por primera vez la relación entre el volumen y la temperatura de una muestra de gas a presión constante y observó que cuando se aumentaba la temperatura el volumen del gas también aumentaba y que al enfriar el volumen disminuía.

El volumen es directamente proporcional a la temperatura del gas:

Si la temperatura aumenta, el volumen del gas aumenta. Si la temperatura del gas disminuye, el volumen disminuye.

¿Por qué ocurre esto?

Cuando aumentamos la temperatura del gas las moléculas se mueven con más rapidez y tardan menos tiempo en alcanzar las paredes del recipiente. Esto quiere decir que el número de choques por unidad de tiempo será mayor. Es decir se producirá un aumento (por un instante) de la presión en el interior del recipiente y aumentará el volumen (el émbolo se desplazará hacia arriba hasta que la presión se iguale con la exterior).

Lo que Charles descubrió es que si la cantidad de gas y la presión permanecen constantes, el cociente entre el volumen y la temperatura siempre tiene el mismo valor.

Matemáticamente podemos expresarlo así:

(el cociente entre el volumen y la temperatura es constante)

Supongamos que tenemos un cierto volumen de gas V1 que se encuentra a una temperatura T1 al comienzo del experimento. Si variamos el volumen de gas hasta un nuevo valor V2, entonces la temperatura cambiará a T2, y se cumplirá:

que es otra manera de expresar la ley de Charles.

Esta ley se descubre casi ciento cuarenta años después de la de Boyle debido a que cuando Charles la enunció se encontró con el inconveniente de tener que relacionar el volumen con la temperatura Celsius ya que aún no existía la escala absoluta de temperatura.

Entonces:

Proceso isotérmico temperatura constante pV constante Proceso isócoro volumen constante p/T constante Proceso isobárico presión constante V/T constante

En termodinámica se designa como proceso adiabático a aquel en el cual el sistema (generalmente, un fluido que realiza un trabajo) no intercambia calor con su entorno. Un proceso adiabático que es además reversible se conoce como proceso isentrópico. El extremo opuesto, en el que tiene lugar la máxima transferencia de calor, causando que la temperatura permanezca constante, se denomina como proceso isotérmico. El término adiabático hace referencia a elementos que impiden la transferencia de calor con el entorno. Una pared aislada se aproxima bastante a un límite adiabático. Otro ejemplo es la temperatura adiabática de llama, que es la temperatura que podría alcanzar una llama si no hubiera pérdida de calor hacia el entorno. En climatización los procesos de humectación (aporte de vapor de agua) son adiabáticos, puesto que no hay transferencia de calor, a pesar que se consiga variar la temperatura del aire y su humedad relativa. Algunas conversiones útiles

1 bar = 105 Pa 1 atm = 1,01 105 Pa 1 mm de Hg = 1,33 102 Pa 1 torr = 1,33 102 Pa 1 Lb/pulg2 [PSI] = 6,89 103 Pa

Problemas propuestos 1.- Se puede utilizar sus músculos abdominales y pectorales para reducir el volumen de los pulmones en 20 %, ¿Qué presión es posible establecer exclusivamente mediante este método? 2.- En un cilindro con un área de sección transversal de 10 cm2 se ajusta herméticamente un embolo móvil. Se introduce aire dentro del cilindro a presión atmosférica y a una temperatura de 20 ºC. La temperatura se mantiene constante cuando el volumen se comprime hasta la mitad de su valor inicial ¿que fuerza debe aplicarse al embolo para mantenerlo en su nueva posición? 3.- Un cilindro de una bomba de bicicleta tiene un diámetro interior de 2 cm y una longitud igual a 25 cm. Se usa para meter aire en una llanta cuya presión ya es de 240 kPa. ¿Qué distancia necesita empujarse el embolo antes de que el aire empiece a fluir al interior de la llanta? 4.- Una burbuja esférica se eleva desde el fondo de un lago. Si la temperatura en el lago es uniforme y la burbuja duplica su volumen en el tiempo en el que llega a la superficie, ¿Cuál es la profundidad? 5.- Un cilindro de motor de un automóvil con un volumen de 400 cm3 se comprime hasta un volumen de 100 cm3 a temperatura constante. Si la presión inicial del gas es 1 atm ¿Cuál es la presión final? 6.- Una muestra de 1 L de un gas ideal a temperatura ambiente (23ºC) se saca al exterior de un día frío (6 ºC) dentro de un recipiente a presión constante ¿Cuál es el nuevo volumen? 7.- Un tubo de vidrio de 1 m de largo se sella en un extremo. Una gota de mercurio lo suficientemente grande para cerrar el tubo se ubica en el punto medio cuando la temperatura es igual a 0 ºC. Donde se encontrará el mercurio cuando el extremo cerrado del tubo se sumerja en agua hirviendo? 8.- Deseamos duplicar el volumen de un gas que se mantiene a presión constante. ¿Hasta que temperatura debe calentarse? si su temperatura original era

(a) 0 ºC (b) 100 ºC (c) 1000 ºC 9.- (a) En que fracción de su volumen inicial el volumen de un gas disminuye a presión constante si la temperatura se reduce de 100 ºC a 0 ºC? (b) ¿Cuál será el cambio fraccionario si la temperatura se reduce desde 0 ºC hasta – 100 ºC? 10.- A cierta temperatura desconocida, una columna de aire seco se aísla herméticamente de la atmósfera cerrando un extremo de un tubo de aire y colocando una gota de mercurio dentro de él a 0.5 m del extremo que se cerró. El tubo se puso después en un congelador, donde se sabia que la temperatura era igual a – 10 ºC. Después de que el tubo alcanza la temperatura del congelador, la gota de mercurio se encontraba a 42 cm del extremo cerrado. ¿Cuál es la temperatura original?

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FISICA I

Práctica Dirigida Nº 06

Segunda ley de la termodinámica La primera ley de la termodinámica es simplemente la ley de la conservación de la energía generalizada para incluir el calor como un forma de transferencia de energía. La segunda ley de la termodinámica establece cuales de los procesos en la naturaleza pueden ocurrir o no. De todos los procesos permitidos por la primera ley, solo ciertos tipos de conversión de energía pueden ocurrir, por ejemplo tenemos los siguientes procesos:

a) Cuando dos objetos que están a temperaturas diferentes se ponen en contacto térmico entre sí, el calor fluye del objeto más caliente al más frio, pero nunca del más frio al más caliente.

b) La sal se disuelve espontáneamente en el agua, pero la extracción de la sal del agua requiere de alguna influencia externa.

c) Cuando una pelota se deja caer en el piso, rebota varias veces hasta detenerse. El proceso inverso nunca ocurre.

Todos estos son ejemplos de procesos irreversibles, es decir, procesos que ocurren naturalmente en una sola dirección, no ocurren en orden inverso pues violarían la segunda ley de la termodinámica. 2da ley de la termodinámica

Esta ley impone restricciones a la primera ley, tiene varios enunciados siendo los más comunes los siguientes:

Enunciado de Clausius

"No es posible ningún proceso cuyo único resultado sea la extracción de calor de un recipiente a una cierta temperatura y la absorción de una cantidad igual de calor por un recipiente a temperatura más elevada".

Enunciado de Kelvin

No existe ningún dispositivo que, operando por ciclos, absorba calor de una única fuente (E.absorbida), y lo convierta íntegramente en trabajo (E.útil).

Enunciado de Kelvin—Planck

Es imposible construir una máquina térmica que, operando en un ciclo, no produzca otro efecto que la absorción de energía desde un depósito, y la realización de una cantidad igual de trabajo.

Otra interpretación

Es imposible construir una máquina térmica cíclica que transforme calor en trabajo sin aumentar la energía termodinámica del ambiente. Debido a esto podemos concluir, que el rendimiento energético de una máquina térmica cíclica que convierte calor en trabajo, siempre será menor a la unidad, y ésta estará más próxima a la unidad, cuanto mayor sea el rendimiento energético de la misma.

Es decir, cuanto mayor sea el rendimiento energético de una máquina térmica, menor será el impacto en el ambiente, y viceversa.

Trabajo realizado en los cambios de volumen dW = pdV

Variación de la energía interna dU = n cv dT

Formula de Mayer cp – cv = R

Coeficiente de las adiabáticas = cp / cv

Calores molares de los gases

Gases monoatómicos cv = 3 cal/K mol cp = 5 cal/K mol

Gases biatómicos cv = 5 cal/K mol cp = 7 cal/K mol

Gases triatómicos cv = 6 cal/K mol cp = 8 cal/K mol

Rendimiento de una maquina térmica

Eficiencia

Transformaciones termodinámicas

Transformación Ecuación Calor Trabajo Energía interna

 Isoterma dT = 0 

 pV = cte 

 

dQ = dW

 

dW = dQ

 

 dU = 0 

 

 Isomerica dV = 0 

 p/T = cte 

dQ = dUdQ = ncv dT 

  

dW = 0 

 

 dU = ncv dT 

 

Isobarica dp = 0 

V/T = cte  dQ = ncpdT dW = p dV dU = ncv dT

 Adiabatica dQ = 0 

pV = cte 

VT‐1 = cte  

 

dQ = 0 

 

dW = ‐ dU == ‐ ncv (T2‐ T1) 

 

 

dU = ‐ dW == ncv (T2‐ T1) 

 

Problemas propuestos 1.- Una mol de gas ideal inicialmente a la temperatura de 27°C y presión de 105Pa se calienta a volumen constante hasta duplicar su presión. A continuación se reduce su volumen a la mitad manteniendo constante la presión. Calcular: a) La temperatura final b) la variación de energía interna en el proceso 2.- Un mol de oxigeno gaseoso que ocupa inicialmente a un volumen V = 20 lt a una presión p1 = 1.5 x 105 Pa, se expande muy lentamente hasta duplicar su volumen. Determinar la presión y temperatura del gas si el proceso seguido ha sido. a) Isotermo b) Isobárico c) Adiabático 3.- Se comprimen lenta y adiabáticamente a un mol de gas perfecto que se encuentra inicialmente a 27°C y 1 Atm hasta que su temperatura se eleva a 47°C. Entonces se expande lenta e isotérmicamente hasta que su presión vuelve a ser 1 Atm. Sabiendo que cp = 28.8 J/mol K y que R = 8.3 J/mol K, determinar a) La presión que alcanza después de la compresión adiabática b) Las variaciones de energía interna. 4.- La temperatura de un foco caliente de un motor de Carnot que funciona por vía reversible es de 300 K, ya la del otro foco frio 273 K. Si el número de calorías que recibe el motor del foco a 300 K es de 2000, calcular a) El rendimiento

b) Las calorías cedidas al foco frio 5.- Calcular la variación de energía interna que experimentan 100 g de He al pasar de 0°C a 100°C en transformación isobara. 6.- Cierta máquina de vapor tiene una caldera que opera a 500 K. el calor cambia el agua en vapor, el cual mueve un pistón. La temperatura de escape es la del aire exterior, aproximadamente 300 K, ¿Cuál es la máxima eficiencia térmica de esta máquina de vapor? 7.- Una maquina térmica opera entre dos fuentes a temperaturas de 20°C y 300°C ¿Cuál es la máxima eficiencia posible para esta máquina? 8.- En una turbina de vapor entra vapor a 800°C y se libera 120°C ¿Cuál es la eficiencia máxima de esta turbina? 9.- ¿Qué cantidad de calor hacen falta para duplicar la temperatura de una transformación isocora de 100 lt de hidrogeno a 3 atm de presión y 300 K de temperatura? Considere al gas como ideal.

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FISICA I

Práctica Dirigida Nº 07

Movimiento armónico simple

Se llama movimiento periódico todo aquel que se repite a intervalos regulares de tiempo. Por ejemplo, el movimiento vibratorio de un resorte, el movimiento oscilatorio de un péndulo, la rotación de la Tierra alrededor de su eje, etc. La mayoría de estos movimientos son aproximadamente periódicos debido al efecto de fuerzas de rozamiento que van disminuyendo gradualmente hasta disipar la energía del movimiento. Si se tiene en cuenta estas fuerzas disipativas se dice que el movimiento periódico es amortiguado. La solución de las ecuaciones del movimiento periódico contienen la función seno y coseno y por esta razón se llaman movimientos armónicos.

Cualquier clase de movimiento que se repite a intervalos iguales de tiempo es periódico. Si el movimiento es de vaivén en la misma trayectoria se llama oscilatorio o vibratorio. Una vibración u oscilación es una ida y vuelta. la frecuencia del movimiento, f, es el numero de vibraciones por unidad de tiempo. El periodo del movimiento, T, es el tiempo necesario para efectuar una vibración. Esto nos dice que la frecuencia es el reciproco del periodo, o sea,

T = 1/f

La posición en la cual no actúa ninguna fuerza sobre la partícula se llama su posición de equilibrio. Se llama elongación (linear o angular) a la distancia (lineal o angular) de la partícula que oscila a su posición de equilibrio en cualquier instante. La amplitud del movimiento A es la máxima elongación.

El M.A.S. Un sistema que obedece la ley de Hooke vibra de manera única y simple y se llama movimiento armónico simple. Lo tiene, por ejemplo, un cuerpo que sube y baja suspendido de un resorte, como se indica en la figura 1.

Figura 1.

El movimiento se caracteriza matemáticamente porque la aceleración es proporcional a la elongación o desplazamiento (x) desde la posición de equilibrio y dirigido hacia él. F = -kx; F es la fuerza restauradora, y k, una constante. Como F = ma, según la segunda ley de Newton, entonces:

2

2

dt

xdm

dt

dvmmakxF x

x

Y por tanto,

0.2

2

xm

k

dt

xd (1)

Que es la ecuación diferencial del M.A.S. Su solución general esta dada por: x = A cos ( t ) (2)

Con mk / , A = amplitud del M.A.S, = constante de fase, = frecuencia angular,

= 2 fT 2/ .

Sabemos que mk / y T

2

Con lo cual k

mT 2

La amplitud A y la constante de fase se determinan por las condiciones iniciales; es independiente de la amplitud. Según (2), el valor máximo de x tiene lugar cuando

,4,2,0 t etc, y el mínimo cuando ,3, t Los valores limites de x están dados por:

kEx ite /2lim y A = kE /2

Dos movimientos armónicos simples pueden tener la misma amplitud y frecuencia y diferir en al constante de fase. Si 1x es uno de los M.A.S y 2x el otro, y si )cos(11 tAx y )cos(22 tAx Decimos que 2x se adelanta a 1x en el ángulo de fase . Para que esto tenga significado es necesario que las amplitudes sean las mismas.

Problemas propuestos

1. Un objeto de 5 kg vibra en M.A.S. con un periodo de 4 segundos y una amplitud de 6 centímetros a) Halle radio del circulo de referencia, b)la velocidad del objeto en el punto medio, c) la velocidad del objeto en la extremidad de la trayectoria, d) la aceleración del objeto en el punto medio, e) la aceleración del objeto en el extremo de la trayectoria, f) el numero de revoluciones por segundo en el circulo de referencia.

2. Una masa de 8 kg se suspende de un resorte. Cuando se agrega una masa

adicional de 0.5 kg, el resorte se alarga 0.4 m ¿Cuál es el periodo de vibración de la masa de 8kg si el resorte se alarga 1 m y se suelta.

3. Una fuerza de 30 N comprime un resorte en 5 cm. Cuando se suspende la

fuerza, un niño salta sobre el resorte y lo comprime, produciendo una vibración con un periodo de 1,2 segundos. ¿Cuánto pesa el niño?

4. Un resorte helicoidal, horizontal, se estira 0,076 m con respecto a su posición de

equilibrio cuando actúa sobre él una fuerza de 3,34 N. se toma un cuerpo de 0,86kg, se fija al extremo del resorte y se tira 0,10 m. a partir de su posición de equilibrio. Al soltar el cuerpo se ejecuta un M.A.S. (A) ¿Cuál es la constante de rigidez del resorte? (B) ¿Cuál es la fuerza que ejerce el resorte sobre el cuerpo de 0,86 Kg. cuando esta a punto de ser soltado? (C) ¿Cuál es el periodo de oscilación después de soltar el cuerpo? (D) ¿Cuál es la amplitud del movimiento?

5. Un resorte se estira 20 cm. cuando de él se cuelga una masa de 40 g. Si

luego se cuelga una masa de 60 g y se tira 20 cm. de la posición de equilibrio y luego se suelta, halle: la frecuencia de oscilación: la ecuación del movimiento de la masa; la velocidad y aceleración de la masa.

6. Un cuerpo de masa 10 g se mueve con movimiento armónico simple de

amplitud 24 cm. y periodo 4 seg. La elongación es 24 cm. cuando f = 0. calcule: (a) la posición del cuerpo en el instante t = 0,5 seg.; (b) la magnitud y dirección de la fuerza que actúa sobre el cuerpo cuando t = 0,5 seg.; (c) el tiempo mínimo necesario para que el cuerpo se mueva desde la posición inicial al punto de elongación x = -12 cm; (d) la velocidad del cuerpo cuando x = -12 cm.

7. La escala de una balanza de resorte que registra de 0 a 16 Kg. tiene 15 cm. de

longitud. Se observa que un cuerpo suspendido de la balanza oscila verticalmente dando 1,5 vibraciones/segundo. ¿Cuál es el peso del cuerpo?

8. Un cuerpo cuya masa es de 4,9 kg cuelga de una balanza de resorte y oscila

con un periodo de 0,5 seg. ¿Cuánto quedara acortado el resorte al quitar el peso?

9. Cuatro viajeros cuyo peso total es de 300 N comprimen los muelles de un

automóvil 5 cm. cuando suben a este. Si la carga total sostenida por los muelles es de 900 N, calcule el periodo de vibración del automóvil cargado.

10. Halle el periodo de vibración del sistema mostrado en la figura 1, si la masa

suspendida es de 10 kg.

11. Encuentre la constante equivalente del sistema de resortes mostrado en la fig. 2. 12. Después de que intervalo de tiempo de empezado el MAS de una partícula, su

elongación equivale a los cuatro quintos de la amplitud de su movimiento. Se sabe que el periodo del MAS es de 36 s. Para t = 0 s, la partícula se encuentra en un extremo.

13. Un bloque de 2 kg efectúa un MAS de 12 cm de amplitud y 24 s de periodo

¿Qué energía cinética tendrá después de los tres primeros segundos? Considerar que en el inicio el bloque se encuentra en una posición extrema.

14. Se observa que el tiempo que tarda un oscilador armónico en pasar de su

posición de equilibrio a la de desplazamiento máximo con relación a esta es de 2 s ¿Cuál es su periodo?

15. Un bloque de 200g oscila sobre una superficie horizontal lisa con un MAS,

cuando pasa por su posición de equilibrio impacta sobre el bloque verticalmente, un poco de barro (200 g) y queda adherido sobre el bloque. Determine el nuevo periodo, si el inicial fue de 3s.

16. Determinar la longitud del hilo de un péndulo simple, de tal manera que si esta

aumentase en 3 metros su periodo se duplica.

17. El periodo de oscilación de un péndulo simple es 10 , si su longitud disminuye en un 10%. Determine su nuevo periodo.

18. Un péndulo simple oscila en el intervalo de un ascensor que se eleva acelerando

a 4.9 m/s2. Si la longitud del hilo es de 150 cm, determine el periodo de oscilación del péndulo simple.

19. Si la longitud del hilo de un péndulo simple aumentase en 1 metro su periodo

aumentaría en dos quintos, ¿Cuál es la longitud del hilo?

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FISICA I

Práctica Dirigida Nº 08

Movimiento ondulatorio

Las ondas en los medios elásticos o deformables son de origen mecánico y se producen al perturbar el medio a partir de su posición de equilibrio. Estas ondas transmiten energía haciéndola pasar de una parte del medio a otra; el medio no se mueve, pero algunas partes de él realizan movimientos oscilatorios alrededor de su posición normal de equilibrio. La velocidad con que se mueve una perturbación a través de un medio esta determinada por la elasticidad del medio que produce una fuerza restauradora contra la perturbación y por la propiedad de inercia del medio, que dice como responde el medio a la fuerza restauradora. Las ondas mecánicas o elásticas se clasifican según sus propiedades espacio-temporales. La clasificación espacial depende de la dirección en que la partícula del medio se mueva con relación a la dirección de la onda. Hay dos extremos: a) Ondas transversales: Las partículas del medio se mueven perpendiculares a la dirección de las ondas, por ejemplo, las ondas en una cuerda; b) Ondas longitudinales: Las partículas del medio se mueven paralelas a la dirección de las ondas, por ejemplo, las ondas en un resorte. La clasificación espacial incluye si las ondas están en un espacio de una, dos o tres dimensiones. La propiedad temporal depende de cómo las partículas del medio se comportan según el tiempo a medida que la onda pasa por el medio. Las ondas pueden ser: a) Una onda simple. Cada partícula del medio permanece en reposo hasta que llega la

onda, se produce perturbación y después vuelve a la posición de equilibrio. b) Un tren de ondas. Hay más de un pulso, comúnmente una perturbación continua de

las partículas. c) Un tren periódico de ondas. Cada partícula del medio ejecuta un movimiento

periódico. El caso más simple de movimiento periódico es un movimiento armónico simple en el cual cada partícula del medio describe un movimiento armónico simple.

Para las ondas en tres dimensiones existe el concepto de frentes de onda que se hallan construyendo la superficie que pasa por todos los puntos sometidos a la misma perturbación en un instante de tiempo determinado. Para las ondas periódicas existen familias de superficies. Para un medio homogéneo, isotrópico, la dirección de propagación es perpendicular al frente de onda y normal a la dirección; se llama rayo. Ondas viajeras unidimensionales. Si es la perturbación de una onda y si = f(x vt +) La ecuación representa una onda que viaja hacia la derecha (signo menos) o hacia la izquierda (signo más). La forma de la onda está determinada por f. El argumento de la función (x vt +) se llama la fase.

La velocidad de fase es la velocidad con que un punto de fase constante de la onda se mueve. Así, x vt + = cte la velocidad de fase es: dx/dt = v. El desplazamiento de una onda armónica simple que viaja es de la forma:

= M sen 2

(x – vt +)

La amplitud del a onda es M. La fase es 2

(x – vt +) y es la longitud de onda, que es

la distancia entre dos puntos adyacentes del tren de ondas que tienen la misma fase en el mismo instante. También se puede definir por: (x + n, t) = (x, t), n = 0, 1,2,… El periodo T es el tiempo que emplea una onda en recorrer una longitud de onda, por tanto: = Vt Otra definición es: (x, t + NT) = (x, t), N = 0, 1,2,…. El número k se define por: k = 2/

La frecuencia, f, de la onda es: f = 1/T y la frecuencia angular,, es: = 2f = T

2.

Entonces la velocidad de fase se puede escribir como:

v = Tk

y, por tanto, el desplazamiento de la onda armónica simple que viaja se puede escribir como = M sen (kx - t +)

En el cual la constante de fase se ha escrito como = 2

Principio de superposición. La propagación de las ondas mecánicas esta gobernada por una ecuación diferencial que se llama la ecuación de la onda. Tiene la propiedad de que si 1 y 2 son soluciones y A1, A2 constantes, entonces = A11 + A22 es una solución, por esto se dice que es una ecuación lineal. En particular, si 1 y 2 corresponden a dos desplazamientos de una parte del medio, entonces el desplazamiento total es: = 1, 2, que también es una solución de la ecuación. Esto se conoce con el nombre de principio de superposición. Una consecuencia importante de este principio es que cuando una onda viaje se puede expresar y analizar como una combinación lineal de ondas armónicas simples con el número de ondas, amplitudes y constantes de fase variables, siempre y cuando se pueda aplicar el principio de superposición. Interferencia. Es un efecto físico de la superposición. Es importante el caso, cuando dos ondas viajan, de la misma frecuencia y diferentes amplitudes y diferencia de fase. Si 1 = A1 sen (kx - t -) y 2 = A2 sen (kx - t), entonces la resultante es: = 1 + 2, que se puede escribir como: = 1 + 2 = A sen (kx - t -) Y la amplitud resultante esta dada por:

A2 = A 21 + A 2

2 + 2A1A2 cos La amplitud resultante es un máximo de A1 + A2 cuando = 0 o un múltiplo par de; se dice que las ondas se interfieren constructivamente. Si = o cualquier múltiplo impar de, la resultante es un mínimo A = 21 AA y las ondas se interfieren destructivamente.

Es común que los trenes de ondas se originen en una fuente común, pero hay una diferencia de fase debida a que siguen trayectorias diferentes al punto de interferencia. Tiene lugar una diferencia de trayectoria x si hay una diferencia de fase kx, porque la fase es kx - t +. Si esta diferencia de fase es un número impar múltiplo de las ondas, se interfieren destructivamente, y si es un número para múltiplo de se interfieren constructivamente. Si no hay otras fuentes de diferencia de fase, entonces esta condición se puede expresar en término de la diferencia de trayectoria.

n = 0, 1,2,…

Ondas estacionarias. Resonancia. Considere dos trenes de ondas armónicas simples de la misma amplitud y frecuencia que viajan en direcciones opuestas. Suponga que son de la forma 1 = A sen (kx - t), 2 = A sen (kx + t). El desplazamiento resultante es: = 1 + 2 = 2A sen kx cos t Que no es una onda que viaja porque las dependencias de y t son separadas. Es una onda estacionaria. Todas las partes del medio, simultáneamente, realizan un movimiento armónico simple con una amplitud que depende de la posición. La amplitud del M.A.S en el punto x esta dada por: Ax = 2Asen kx Que es un máximo para los antinodos dados por: kx = (2n + 1)/2 x = 4/12 n posición de los antínodos, n = 0, 1,2,… También Ax es cero en los nodos determinados por: kx = n

x = 2

n posición de los nodos, n = 0, 1,2,…

No hay transporte de energía en una onda estacionaria. Debido a los nodos, la energía permanece estacionaria, unas veces es cinética y otras potencial, para las ondas estacionarias en una cuerda un extremo fijo debe ser un nodo y un extremo libre un antinodo. Si la onda estacionaria se considera como una onda incidente que viaja y se refleja: a) En un extremo fijo, las ondas incidentes y reflejadas difieren en fase. b) En un extremo libre, las ondas incidentes y reflejadas deben estar en fase

Si un sistema que es capaz de oscilar se perturba frecuentemente por medio de una fuerza, oscila con la frecuencia del agente perturbador. Cuando la frecuencia del agente perturbador se aproxima a la frecuencia natural del sistema decimos que hay resonancia. Las frecuencias propias o características de una cuerda fija en ambos extremos son las frecuencias para las cuales las correspondientes ondas estacionarais tienen nodos en los

extremos. Como dos nodos sucesivos están separados por la distancia 2

, la longitud de la

cuerda, l, debe ser un múltiplo entero de

l = n2

, extremos fijos

Con n el número de nodo menos uno. Así las longitudinales de onda naturales son:

= n

l2 n = 1, 2,3,… extremos fijos

Las correspondientes frecuencias características se determinan de por la tensión y masa

por unidad de longitud porque = /1

Fff

v . Entonces las frecuencias características

son:

F

l

nf

2 n = 1,2,3,…

Velocidad de propagación en los diferentes medios. La velocidad de propagación de una onda transversal a través de una cuerda sujeta en uno de sus extremos se expresa:

c = /S

Siendo S la fuerza de tensión y la densidad lineal de la cuerda. Si el movimiento de propagación se produce en un fluido,

c = /B

Siendo B el modulo de volumen y p la densidad del liquido o gas. Para un gas perfecto:

M

RTc

Siendo R la constante universal, T la temperatura absoluta, M el peso molecular del gas y = capacidad calorífica molar a presión constante capacidad calorífica molar a volumen constate El calor es una forma de energía que fluye de un sistema a otro debido a una Problemas propuestos 1.- Un alambre de acero de 2 m de largo tiene una masa de 20g y esta sometido a una tensión de 1000 N . ¿Cuál es la velocidad de propagación de una onda transversal en el alambre? 2.- Siempre que la amplitud sea lo suficientemente grande, el oído humano puede percibir ondas longitudinales comprendidas en un intervalo de frecuencia de 20 a 20 000 vibraciones por segundo. Calcule las longitudes de onda correspondientes a estas frecuencias: a) Para las ondas en el aire; b) para las ondas en el agua. 3.- El sonido de la sirena de una factoría le llega a un obrero a los 7 seg. Calcule la frecuencia de la sirena. La distancia entre el obrero y la factoría es de 40 000 longitudes de onda del sonido emitido. 4.- ¿Cuál es la velocidad de una onda transversal en una cuerda de 0,5 m de largo y que tiene una masa de 0,02 kg si la tensión es de 0,04 N?

5.- Un sonar emite ondas de frecuencia de 40 000 ciclos/seg. Las velocidades de la onda en el aire y en agua son de 1100 pies/seg y 4200 pies/seg, respectivamente. ¿Cuál es la frecuencia de la onda y las longitudes en el aire y en el agua? Suponga que el sonar esta fijo a la base de un buque. Emite una señal y el eco del océano retorna a los 0,8 seg. ¿Cuál es la profundidad del océano en ese punto? 6.- La ecuación de una onda transversal de una cuerda es y = 1,5 sen (0,55 x. –90t). Halle la longitud de onda, la frecuencia, el periodo y la velocidad de propagación cuando y y x se dan en centímetros y t en segundos. 7.- Un alambre de metal pesa 2 . 10-3 kg, tiene una longitud de 0,4m y se tensa por medio de una masa de 5 kg. ¿Cuál es la frecuencia de su tono fundamental y de su primer y segundo sobretono? 8.- Una cuerda de 20 pulg de largo tiene una masa de 0,01 lb y se fija al brazo de un diapasón que oscila a 500 vib/seg. ¿Qué tensión se debe aplicar a la cuerda para que vibre en 5 segmentos? 9.- Un alambre de metal tiene una masa de 3 g, tiene una longitud de 0,45m y se tensa por medio de un masa de 5,6 kg. ¿Cuál es la frecuencia de su tono fundamental y de su primer y segundo sobretono? 10.- El extremo de un tubo de goma de 20 m de longitud y de 1 kg esta unido a un soporte fijo y es tensada con una fuerza de 100 N. Se golpea transversalmente el tubo en un extremo. Encontrar el tiempo requerido para que el pulso llegue al otro extremo. 11.- La cuerda de la figura se encuentra en resonancia en la forma indicada. La masa del bloque suspendido es de 100 g y la densidad lineal de la cuerda utilizada es de 1.0x10-2 Kg/m.

(a) Sabiendo que la amplitud máxima de la onda estacionaria es de 2.5 cm y que la longitud de la cuerda es de 60 cm, escribir la ecuación de la onda estacionaria. (b) Se desea que la cuerda resuene en el estado fundamental cambiando únicamente el bloque suspendido. Calcular la masa que tiene que tener el nuevo bloque.

12.- Por una cuerda de 15 m de longitud y 0,2 kg de masa se desplaza una onda transversal con una velocidad v = 75 m/s. Se alarga 5 cm la cuerda si se le aplica una tensión doble que la inicial. Determine la velocidad de la onda en el segundo caso

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Práctica Dirigida Nº 09

Acústica Ondas sonoras. Las ondas sonoras son ondas mecánicas longitudinales que se pueden propagar en los sólidos, líquidos y gases. Son apreciadas por el oído humano cuando poseen una frecuencia comprendida entre 20 y 20000 vibraciones por segundo. El sonido es un tipo de energía que se propaga en el aire (o agua) como ondas elásticas en todas las direcciones a una velocidad constante que depende de la temperatura del medio. Fuentes de sonido. Las fuentes del sonido están formadas por algún objeto que vibra. Estas vibraciones producen variaciones de presión en el medio que las rodea, produciendo ondas sonoras de la misma frecuencia. Fuera de los instrumentos de percusión (tambores y semejantes) los instrumentos se clasifican en instrumentos de viento y cuerda. Los instrumentos de viento son fundamentalmente membranas vibratorias acopladas a una columna de aire que vibra. El sistema bucal humano es de este tipo. Los instrumentos de cuerda están formados por cuerdas vibrantes fijadas a una cavidad resonante de aire. Si se tienen ondas longitudinales estacionarias en un tubo hay nodos y antinodos tanto en el desplazamiento como en la presión. Los tubos de un órgano son de este tipo. Las ondas en ellos son aproximadamente estacionarias. Si fueran exactamente estacionarias no se produciría sonido. Los tubos de los órganos resuenan en sus frecuencias naturales. Si tal tubo esta abierto en los dos extremos, entonces debe haber un desplazamiento de los antinodos o nodos de presión en los extremos. Como los sucesivos nodos o antinodos están separados por media longitud de onda, la longitud del tubo debe ser múltiplo entero de media longitud de onda.

Entonces si L es la longitud del tubo, L = n2

. Las longitudes de onda y frecuencia

apropiadas son:

L

vf

n

Lnn 2

,2

n n = 1,2,… tubo abierto en los dos extremos

V es la velocidad del sonido en el aire. Al valor mínimo de fn se le llama frecuencia fundamental y las otras sobretonos. Los sobretonos cuyas frecuencias sean múltiplos enteros de un fundamental, junto con el fundamental, se dice que forman una serie armónica. La calidad del sonido producido por un instrumento musical esta determinada por el número de sobretonos y sus amplitudes relativas. Si un tubo de órgano esta cerrado por un extremo, el extremo cerrado debe ser un nodo de desplazamiento o antinodo de presión. Como un nodo y el siguiente están separados por ¼ de longitud de onda y los nodos sucesivos están separados por ½ longitud de onda, la longitud L del tubo de órgano cerrado en un extremo esta relacionado con la longitud de onda por

L = n42

( / ) 331.6 0.6 (º )v m s T C

Por tanto, las longitudes de onda características y las frecuencias son

2n+1 = ,12

4L

n )12(

412 nL

vf n n = 0, 1,2,..

tubo cerrado en un extremo Un tubo de órgano abierto en ambos extremos tiene todas las armónicas, mientras que un tubo abierto en un solo extremo tiene únicamente las armónicas impares. Para las ondas estacionarias en una cuerda las frecuencias características son:

nF

lfn 2

1 n = 1,2,3,…

Ondas estacionarias en una cuerda Siendo l la longitud de la cuerda, la masa por unidad de longitud y F la tensión en la cuerda. Las correspondientes longitudes de onda de las ondas transversales en la cuerda son:

n

lcuerda

2

Mientras que en el medio adyacente a la cuerda las ondas longitudinales del sonido son de longitud de onda igual a: medio = vmedio/fn La siguiente figura muestra el fundamental y los tres primeros sobretonos de las ondas en una cuerda.

L2

2/2L

3/2L

4/2L

Pulsaciones. Las ondas estacionarias son el resultado de interferencias en el espacio. El principio de superposición permite la interferencia en el tiempo, que tiene lugar cuando dos ondas de frecuencias diferentes viajan a través de la misma región a la vez. Suponga que el desplazamiento en el punto x debido a la onda uno que viaja es: 1 = A1 sen (k1x - 1t + 1) Y el debido a la onda dos que viaja: 2 = A2 sen (k2x - 2t + 2) Considere el caso en que x = 0, 1 = 2 = y A1 = A2 = A. Entonces el desplazamiento resultante es:

= 1 + 2 = A tsentsen 21 o = 2A cos2

21 t sen t

221

que para

21 es una vibración con frecuencia 2

21 cuya amplitud varía con una frecuencia

221

. Una pulsación es un máximo de amplitud sin tener en cuenta el signo , y

esto tiene lugar cada dos veces en un ciclo de la misma amplitud. La frecuencia de pulsación es: pulsación = 1 - 2; fpulsación = f1 – f2

Si 2 > 1, entonces pulsación = 1 - 2.

Efecto Doppler. Cuando una fuente de sonido y un observador están en movimiento relativo, la frecuencia en el observador es diferente a la emitida por la fuente. Esto se conoce como el efecto Doppler. Sea

f = frecuencia de la fuente, f´= frecuencia en el observador, vs = velocidad del sonido en el medio, v0 = velocidad del observador relativa al medio, vf = velocidad de la fuente relativa al medio, u0 = velocidad del observador relativa a la fuente sonora, uf = velocidad de la fuente relativa a la onda del sonido.

Entonces, para el movimiento a lo largo de la recta que une la fuente y el observador se

tiene: f´= f fu

u

Si el observador se mueve hacia el frente de onda del sonido, u0 = vs + v0 Si el observador intercepta más frentes de onda por unidad de tiempo que si estuviera estacionario con respecto al medio, la frecuencia en el observador aumenta. Si el observador se aleja de los frentes de onda u0 = vs - v0

el observador intercepta menos frente de onda por unidad de tiempo y la frecuencia disminuye. Si la fuente sonora se mueve hacia los frentes de onda uf = vs – vf

la longitud de onda disminuye y la frecuencia aumenta por encima de la que se tendría si la fuente sonora permaneciera estacionaria con respecto al medio. Si la fuente se aleja de los frentes de onda uf = vs + vf

las longitudes de onda aumentan y la frecuencia disminuye. Si la fuente y el observador están en movimiento relativo (hacia o alejándose) entre si, la frecuencia del observador disminuye o aumenta.

Características del sonido. Las más relevantes son: intensidad, timbre, tono. a) Intensidad: es la cantidad media de energía transportada por la onda por unidad de área y por unidad de tiempo, a través de cualquier superficie normal a la dirección de propagación.

V

P

0

2

2

P, amplitud de los cambios de presión. 0, densidad del medio. V, velocidad de propagación.

Usualmente se mide en watios/m2. El oído humano capta desde 10-12 watt/m2 hasta 10-8 watt/m2, como la escala es muy amplia, se define “nivel de intensidad en escala logarítmica”. Li = 10 Log /0, 0 = 10-12 w/m2

Li se expresa en decibeles: db.

b) Tono: es la característica determinada directamente por la frecuencia. c) Timbre: depende de la fuente y los sobretonos o armónicos que esta puede emitir. Problemas propuestos 1.- Dos ondas tienen intensidades de 0,3 y 6 W/m2, respectivamente. ¿En cuantos decibelios es mayor la una que la otra? ¿Cuántos belios? 2.- Un observador oye un silbato cuya frecuencia es de 750 vib/seg. ¿Cuál es la frecuencia aparente cuando el observador se mueve hacia el silbato a una velocidad de 88 pies/seg? ¿Cuál es la frecuencia aparente después de que ha pasado el silbato? Suponga que la velocidad del sonido es de 1100 pies/seg. 3.- Si la amplitud de los cambios de presión de una onda sonora se duplica, ¿En cuanto aumenta su intensidad?, ¿Cuántas veces tiene que aumentarse la amplitud de los cambios de presión de una onda sonora para multiplicar la intensidad por el factor 10? 4.- Dos ondas sonoras, una en el aire y la otra en el agua, tienen igual intensidad. a) ¿Cuál es la razón de las amplitudes de los cambios de presión de la onda de agua a la onda en el aire? b) Si la amplitud de los cambios de presión de ambas ondas son iguales, ¿Cuál es la razón de sus intensidades? 5.- La intensidad debida a un determinado número de focos sonoros, independientes, es la suma de las intensidades de los focos separados. a) ¿Cuál es el incremento de nivel de intensidad sobre el producido por un violín cuando dos violines tocan al unísono? b) Si un solo violín produce un sonido cuyo nivel de intensidad es de 40 db, ¿cuantos son necesarios para aumentar el nivel hasta 60 db? c) ¿Hasta 80 db? 6.- Una ventana cuya superficie es de 1 m2 esta abierta a una calle cuyo ruido produce un nivel de intensidad en la ventana de 80 db. ¿Cuánta energía acústica penetra por la ventana por medio de las ondas sonoras?

7.- ¿Cuál es la diferencia entre las velocidades de las ondas longitudinales en el aire a 3°C y a 27°C? 8.- Dos cuerdas de piano, idénticas, cuando se someten a la misma tensión tienen una frecuencia fundamental de 400 vib/seg. ¿En que fracción debe aumentarse la tensión de una cuerda para que se produzcan 4 pulsaciones más por segundo cuando ambas cuerdas vibran simultáneamente? 9.- Un hombre sopla a través de la boca de una botella de 10 pulg de profundidad. Si la velocidad del sonido es de 1100 pies/seg, ¿Cuál es la longitud de onda del primer tono fundamental que se produce? ¿Cuál es la frecuencia de la tercera armónica? ¿Es la cuarta armónica posible? Si lo es, ¿Cuál es su frecuencia? Y sino, ¿Por qué no? 10.- ¿Cuál es la longitud mínima de un tubo cerrado (en metros) para que puede resonar con una frecuencia de 250 hz a una temperatura de 20°C? ¿De un tubo abierto? 11.- ¿Cuál es la frecuencia del tono fundamental y de las dos siguientes armónicas producidas por un tubo cerrado de 2,5 pies de largo? ¿Cuáles son las frecuencias si el tubo es abierto? La velocidad del sonido es de 1100 pies/seg. 12.- Compare las frecuencias fundamentales de un tubo de órgano abierto de 1 m de longitud: a) Cuando el tubo esta lleno de aire; b) Cuando esta lleno de hidrogeno. 13.- Cuando un tubo de Kundt contiene aire, la distancia entre los nodos es de 25 cm. Cuando el aire se extrae y se remplaza por un gas, la distancia entre los nodos es de 35 cm. La velocidad del sonido en el aire es de 340 m/seg. ¿Cuál es la velocidad del sonido en el gas? 14.- Un diapasón vibra con la frecuencia de 384 ciclos/seg y se sostiene sobre el extremo superior de un tubo vertical de vidrio; el otro extremo esta metido dentro del agua. La resonancia se presenta en la parte superior del tubo a 22,5 cm por encima de la superficie del agua. Calcule la velocidad del sonido en el aire. Si la temperatura es de 13°C, ¿Cuál es la velocidad del sonido a 0°C? 15.- Un hombre esta de pie y en reposo frente a una gran pared lisa. Frente a el, y entre el y la pared, sostiene un diapasón en vibración cuya frecuencia es 0 ciclos/seg. Mueve el diapasón hacia la pared con una velocidad v. ¿Cuántas pulsaciones por segundo percibirá entre las ondas sonoras que le alcanzan directamente desde el diapasón y las que le alcanzan después de reflejarse en la pared? Si 0 = 400 ciclos/seg y V = 1,2 m/seg, calcule los resultados anteriores. 16 - a) Demuestre que si Li1 y Li2 son los niveles de intensidad en decibelios de dos

sonidos cuyas intensidades son 1 e 2, respectivamente, la diferencia de los niveles de intensidad de los sonidos es:

Li2 - Li1 = 10 log (2 / 1) b) Demuestre que si P1 y P2 son las amplitudes de los cambios de presión de dos ondas sonoras, la diferencia de niveles de intensidad de las ondas es:

Li2 - Li = 20 log (P2 / P1) c) Demuestre que si la intensidad del nivel de referencia es 0 = 10-16 W/m2, el nivel de intensidad de un sonido de intensidad es:

Li = 160 + 10 log Los profesores del curso

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Práctica Dirigida Nº 10

Óptica. Reflexión - Refracción

LEYES DE LA REFLEXION Y TRASMISION La figura 1(a) representa una onda plana que llega a la superficie de separación entre dos medios de índices de refracción ni y nt. En la mayoría de los casos, una parte de la luz que llega se refleja al medio de incidencia, mientras que el resto se propaga al medio de transmisión. La última de estas partes suele llamarse onda refractada. Aquí los ángulos i, r, t, se refieren a las ondas incidentes, reflejadas y transmitidas, respectivamente. La figura 1 (b) es el diagrama de rayos correspondientes. Un rayo es una línea en la dirección del flujo de la energía radiante y en un medio isotrópico corresponde simplemente a una normal a los frentes de onda. En tal sentido, como es claro, los rayos son paralelos al vector de propagación de la onda k.

Figura 1. Diagramas de rayos. Las tres leyes básicas de la reflexión y de la refracción son las siguientes: 1) Los rayos incidentes reflejados y transmitidos todos están localizados en el mismo plano, que se llama plano de incidencia, y el cual es normal a la superficie de separación. 2) El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión: i = r. 3) La dirección de los rayos incidentes y transmitidos guardan una relación que viene dad por la ley de Snell. ANGULO CRÍTICO En la mayoría de los casos aquí se ha tratado con la reflexión externa (nt > ni). La situación opuesta, en el cual ni > nt, se conoce como reflexión interna y es también de un interés practico considerable.

r = )(

)(

ti

ti

sen

sen

r = )tan(

)tan(

ti

ti

Cuando ni > nt, la ley de Snell exige que t > i. En consecuencia r es positiva creciendo a medida que crece i desde 0,2 hasta un valor de 1,0. Por otra parte, r varia desde -0,2 hasta 1,0. Ambos coeficientes alcanzan el valor de 1,0 para un ángulo de incidencia que se llama c, el ángulo critico. Cuando i = c, t = 90; mas allá de esto los coeficientes de amplitud se vuelven complejos.

Imagínese un haz de luz que incide sobre una superficie de separación entre dos medios transparentes donde ni > nt. Para una incidencia normal (i = 0) la mayor parte de luz que llega es transmitida en el medio menos denso. A medida que i aumenta, más y más luz se refleja en el medio más denso, mientras que t aumenta. Cuando t = 90, i se define como el ángulo c y la trasmitancía se anula. Para c, t toda la luz se refleja totalmente internamente, quedando dentro del medio incidente. Problemas propuestos 1.- Un haz de luz colimada o sea que tiene rayos paralelos, que se propaga en aire, forma un ángulo de 30 con la normal a una lamina de vidrio. Si el índice del vidrio es ng = 3/2, determinar la dirección del haz transmitido dentro de la lamina. 2.- El diamante tiene un índice de refracción n = 2.5 ¿Cuál es la velocidad de la luz en el diamante? 3.- La longitud de onda de cierta radiación en el medio de n1 = 1.5 es de 250 nm, ¿Cuál será la longitud de onda en el medio n2 = 2.5? 4.- En un medio de n1 = 1.5 una radiación luminosa viaja con 150 000 km/s, ¿Cuál será la velocidad de dicha radiación en el medio cuyo n2 = 2.5? 5.- Un rayo de luz pasa desde el aire a otro medio cuyo índice de refracción varia con la profundidad según n = (1 + h) donde = 10-2 m. ¿a que profundidad (en metros) del segundo medio el rayo formara un ángulo de 30º con la vertical? Considerar que el rayo incidente lo hace con un ángulo de 37º 6.- Imagínese la superficie de separación entre dos regiones, una de vidrio (ng = 1,5) y la otra de agua (n = 1,33). Un rayo que se propaga en el vidrio incide sobre la superficie de separación con un ángulo de 45 y se refracta dentro del agua. ¿Cuál es el ángulo de transmisión? 7.- Un pez parece estar 2 m por debajo de la superficie de un estanque cuando se ve casi directamente por encima. ¿Cuál es la profundidad real a la cual esta el pez? 8.- Un avión y un submarino están, en un instante dado en la misma vertical. La distancia aparente del submarino para el avión es 309 m y la altura del avión sobre el agua es 300 m, hallar la profundidad del submarino y la altura aparente del avión para un pez sumergido a la misma profundidad del submarino. 9.- Utilice la ley de Snell para deducir la expresión de c. Computar el valor de c para una superficie de separación agua-aire (n = 1,33). 10.- La apariencia rutilante de una joya de diamante tallado proviene de la reflexión interna. La luz que entra de arriba se refleja nuevamente hacia fuera dirigiéndose al observador, saliendo nuevamente a través de las caras superiores. Determinar el ángulo critico (nd = 2,417) y compararlo con el del vidrio (ng = 1,5). 11.- Determinar el ángulo critico para la superficie de separación agua (nw = 1,33) - vidrio (ng = 1,50).

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Práctica Dirigida Nº 11

Óptica. Espejos

ESPEJOS PLANOS NO ESFERICOS Y ESFERICOS Los espejos planos son dispositivos muy corrientes y relativamente simples. Una fuente puntual S, como se muestra en la figura 2, emite rayos divergentes, que inciden sobre un espejo, rebotan, y continúan divergentes. El ojo o la lente de una cámara puede reunir y enfocar estos rayos para formar una imagen real de S, pero la imagen generada por el espejo en si en P es virtual, esta situada detrás del espejo, no puede ser proyectada y los rayos parecen divergir a partir de ella. En la figura 2 los triángulos rectos ASB y APB son congruentes, puesto que el lado AB es común y ASB = i = r = APB

Figura 2.Imagen en un espejo plano. En consecuencia, 0s = is . En forma diferente a lo que ocurre en una lente, esta imagen

virtual aparece en el lado derecho de la superficie de separación. En consecuencia, se adoptara la convención que s0 y si son ambas negativas cuando se miden a la derecha de la superficie reflectante. Cada fuente puntual en el espacio del objeto corresponde a un punto, a una distancia igual detrás de la superficie de separación, en el espacio de la imagen. En consecuencia, para un espejo plano, MT (el aumento trasversal) es igual a +1, la imagen es de tamaño natural, virtual y derecha (hacia arriba). Los espejos curvos se clasifican convenientemente como esféricos o no esféricos. El hecho de que un espejo parabólico refleje una onda plana incidente en una onda esférica perfectamente convergente ha sido importante para que se use como el elemento principal colector de luz en el telescopio de 200 pulgadas del monte Palomar. Por esta misma razón, la antena de plato en Jodrell Bank es un paraboloide gigantesco de 250 pies.

Figura 3.Imagen parabólica y esférica. La comparación entre la configuración parabólica y esférica (figura 3) nos muestra que las dos son casi idénticas en la vecindad del eje central cuando el radio de la esfera es igual a dos veces la distancia focal de la parábola. En consecuencia se puede esperar, por lo menos en la aproximación paraxial, que F sea el punto focal de un espejo esférico con centro en C. Para tal dispositivo las distancias objeto e imagen están relacionadas por la ecuación de los espejos:

f

1

R

2

s

1

s

1

io

i

o

sM

s

Tabla 1. Convención de signos para superficies reflectantes esféricas.

S0,f + a la izquierda de V si + a la izquierda de V R + cuando está a la derecha de V Y0, yi + por encima del eje óptico

Tabla 2. Significado físico de los signos de los parámetros de espejos esféricos.

cantidad signo (+) cóncavo (-) convexo

s0 Objeto real Objeto virtual si Imagen real Imagen virtualf Espejo cóncavo Espejo convexo

y0 Objeto derecho Objeto invertido yi Imagen derecha Imagen invertida

MT Imagen derecha Imagen invertida R Radio de curvatura Radio de curvatura

Problemas propuestos 01.- Un lápiz se sostiene de tal manera que se inclina hacia fuera de un espejo plano. Construir un diagrama de rayos que localice la imagen. 02.- ¿Cuál es la longitud del espejo plano vertical de menor tamaño en el cual pueda verse una persona de cuerpo entero y en donde debe quedar situado? 03.- Dos espejos planos perpendiculares entre si se colocan con sus caras perpendiculares a la superficie de una mesa enfrente de una ranita. ¿Cuántas imágenes de ella vera la rana? 04.- Una bujía de 1 cm de alta se coloca a 3 cm enfrente de un espejo esférico cóncavo que tiene un radio de un 12 cm. Describir la imagen resultante. 05.- Dibujar el diagrama de rayos del problema anterior. 06.- Un espejo esférico cóncavo de 20 cm. de radio se utiliza para proyectar una imagen de una bujía sobre un muro situado a 110 cm. ¿Dónde debe ser colocada la bujía y como se vera la imagen? 07.- Diseñar un espejo esférico que forme una imagen derecha y de la mitad del tamaño de un objeto si éste esta situado a 100 cm. del vértice. ¿Dónde estará localizada la imagen? 08.- Suponga que cierto espejo esférico cóncavo tiene una longitud focal de 10 cm. Encuentre la ubicación de la imagen para distancias al objeto de (a) 25 cm (b) 10 cm y (c) 5 cm. Describa la imagen en cada caso. 09.- Un objeto de 3 cm de altura se sitúa a 20 cm de un espejo convexo que tiene una longitud focal de 8 cm, encuentre (a) la posición de la imagen final y (b) el aumento. 10.- Un espejo cóncavo tiene una longitud focal de 40 cm. Determine la posición del objeto para la cual la imagen resultante esta de pie y es cuatro veces el tamaño del objeto. 11.- La altura de una imagen real formada por un espejo cóncavo es cuatro veces mayor que la altura del objeto cuando este se encuentra a 30 cm enfrente del espejo. ¿Cuál es el radio de curvatura del espejo? 12.- Una vela esta a 49 cm frente a un espejo esférico convexo que tiene un radio de curvatura de 70 cm (a) ¿Dónde esta la imagen? (b) ¿Cuál es el aumento? 13.- Un espejo cóncavo forma una imagen invertida cuatro veces más grande que el objeto. Encuentre la longitud focal del espejo si la distancia entre el objeto y la imagen es de 0.60 m. 14.- Un objeto esta a 15 cm de la superficie de un adorno de árbol de navidad esférico de 6 cm de diámetro, ¿Cuáles son el aumento y la posición de la imagen?

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Práctica Dirigida Nº 12

Óptica. Lentes ECUACION DE LAS LENTES DELGADAS Una lente es un sistema refringente que consiste en dos o más superficies de separación, de las cuales una por lo menos es curva. Una lente simple, consiste de un elemento solamente, lo cual a su vez significa que tiene solamente dos superficies de separación refringente. Una lente compuesta se forma de dos o más lentes simples. Una lente delgada, compuesta o simple, es aquella en donde el espesor de los elementos no desempeña un papel importante y como tal es despreciable. La figura 4 ilustra la nomenclatura asociada con las lentes esféricas simples.

Figura 4.Lente esférica simple. Se puede trazar la trayectoria que sigue la luz al pasar a través de ambas superficies de separación, cuando el espesor ( 21VV ) es realmente despreciable y además se trata solamente de rayos paraxiales, se puede demostrar que

210

11)1(

11

RRn

ss lmi

En donde, como de costumbre, nlm = nl/nm. Esta es la llamada ecuación de las lentes delgadas, que se conoce también como la formula del fabricante de lentes. Obsérvese que si s0 = , 1/fi se igual a la cantidad en el segundo miembro y lo mismo es cierto para 1/f0 cuando si = . En otras palabras, f0 = fi = f, donde

21

11)1(

1

RRn

f lm

Entonces la ecuación de las lentes puede replantearse en la forma que se conoce como formula de las lentes de Gauss:

fss i

111

0

Una onda esférica que sale del punto S como lo muestra la figura 4 incide sobre una lente positiva, esto, es una que es mas gruesa en su centro que en sus bordes. La zona central del frente de onda es rebajada mas que sus regiones exteriores y el frente en si mismo queda invertido, convergiendo de aquí en adelante hacia el punto P. En forma más que razonable, un elemento de esta clase se llama lente convergente y la luz se dobla hacia el eje central debido a ésta. Como se muestra en la figura 5 la descripción anterior supone que el índice del medio, nm es menor que nl. Sin embargo, si nm > nl una lente convergente seria mas delgada en su centro. Hablando en términos generales (nm < nl), una lente que es más delgada en su centro se conoce por diversas denominaciones: lente negativa, cóncava o divergente. La luz que pasa a través de la lente tiende a doblarse hacia fuera del eje central, por lo menos mas de lo que estaba cuando entraba.

Figura 5. Lentes convergentes y divergentes. Problemas propuestos 01.- Una fuente puntual S esta localizada sobre el eje de una lente delgada plano-convexa, a 30 cm. de ella. Supóngase que la lente de vidrio esta sumergida en aire (nlm = 1,5) y que tiene un radio de 5 cm. Determinar la localización de la imagen (a) cuando la superficie plana mira hacia S y (b) cuando la superficie curva esta dirigida hacia S. 02.- ¿Cuál debe ser la distancia focal de una lente delgada positiva si las distancias objeto e imagen deben ser de 90 cm. y 45 cm. respectivamente? 03.- Calcular la distancia focal de una lente delgada bicóncava como la de la figura, si esta hecha de cristal al plomo (nl = 1,66) y esta sumergida en agua (nm = 1,33).

04.- Calcular la distancia focal de una lente bicóncava delgada como la descrita en la figura anterior, suponiendo que esta hecha de fluorita (nl = 1,43) y que esta sumergida en bisulfuro de carbono (nm = 1,63). 05.- Una lente bi-convexa delgada de índice 1,5 tiene una distancia focal conocida de 50 cm. en el aire. Cuando se sumerge en un líquido transparente la distancia focal resulta ser de 250 cm. Determinar el índice de refracción n, del medio liquido. 06.- Un objeto esta localizado a 32 cm frente a una lente forma una imagen sobre una pantalla ubicada a 8 cm detrás de este. (a) Encuentre la longitud focal del lente (b) Determine el aumento (c) ¿El lente es convergente o divergente? 07.-La cara izquierda de un lente biconvexo tiene un radio de curvatura de 12 cm, en tanto que la cara derecha tiene un radio de curvatura de 18 cm. El índice de refracción del vidrio es 1.44. (a) Calcule la longitud focal del lente (b) Calcule la longitud focal si se intercambian los radios de curvatura de las dos caras. 08.- ¿Cuál es la distancia a la imagen de un objeto de 1m enfrente de una lente convergente de 20 cm de longitud focal? ¿Cual es el aumento del objeto? 09.- Una lente convergente tiene una longitud focal de 40 cm. Calcule el tamaño de la imagen real de un objeto a 4 cm de altura para las siguientes distancias al objeto (a) 50 cm; (b) 60 cm; (c) 80 cm; (d) 100 cm; (e) 200 cm (f) 10.- Un objeto esta a 5 m a la izquierda de un pantalla plana. Un lente convergente para el cual la longitud focal es f = 0.8 m se coloca entre el objeto y la pantalla. Muestre que hay dos posiciones del lente que forman una imagen sobre la pantalla y determine a que distancias están esas posiciones del objeto. 11.- Una lente divergente se emplea para formar la imagen virtual de un objeto real. El objeto se coloca 80 cm a la izquierda de la lente, y la imagen se localiza a 40 cm a la izquierda de la lente. (a)Determine la longitud focal del lente, (b) Si las superficies del lente tiene radios de curvatura R1 = - 40 cm y R2 = - 50 cm ¿Cuál es el índice de refracción? 12.- Un corcho de botella de vino de 3 cm de altura se sitúa 75 cm de una lente delgada positiva de 25 cm de distancia focal. Describir la imagen resultante. 13.- Supóngase que un objeto localizado a 10 cm a la izquierda de una lente positiva produce una imagen a 30 cm a la derecha de la lente ¿Dónde aparecerá la imagen si el objeto se mueve de tal manera que queda a 2,5 cm de la lente. Describir la imagen en ambos casos. 14.- Una lente de vidrio biconvexa delgada (nv = 1,5) tiene radios de curvatura de 30 cm y 60 cm. Debe recoger una imagen de la mitad del tamaño natural de una lámpara del techo sobre un apantalla de papel. ¿Cuáles deben ser las distancias entre la lente y la lámpara y entre la lente y la pantalla. 15.-Una lente delgada positiva de distancia focal f produce una imagen real N veces mas grande que el objeto. Halla la distancia lente-pantalla.

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