Razones Razones Razones Razones

trigonomtricas trigonomtricas trigonomtricas trigonomtricas

de un ngulo de un ngulo de un ngulo de un ngulo

agudoagudoagudoagudo

Trigonometra- UNI

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Introduccin

Cuando observamos a un ingeniero medir la altura

de un edificio, o la inclinacin de una carretera

utilizando un instrumento llamado teodolito

podemos quiz pensar qu relacin tiene ese

instrumento con las Razones Trigonomtricas,

aparentemente ninguna, pero de las medidas que

toma el ingeniero esta la esencia de la

trigonometra, con el teodolito se observa dos

puntos, uno de referencia a una cierta distancia

previamente medida y otro punto con un cierto

ngulo de inclinacin, con estos datos y utilizando

las razones trigonomtricas se puede determinar

la altura de edificios, la inclinacin de una

carretera, la altura de una montaa o comnmente

utilizado para hacer levantamientos de planos

topogrficos.

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Definicin de las Razones

trigonomtricas de un ngulo

agudo

Considere el tringulo rectngulo 90ABC , C =

con lados a,b,c como se muestra en la figura

A

B

C

a

b

c

Elementos:

a : Cateto opuesto respecto de

b : Cateto adyacente respecto de

c : Hipotenusa

Teorema de Pitgoras:

En todo triangulo rectngulo se cumple

La suma de los cuadrados de los catetos es igual

al cuadrado de la hipotenusa.

2 2 2a b c+ =

Comprobacin

En el tringulo rectngulo anterior tomando como

centro el punto B construimos una circunferencia

de radio a cmo se muestra en el grfico

siguiente.

A C

B

c

b

a

a

ca

E

F

Del Teorema de la Tangente a una circunferencia:

2( AC ) ( AF )( AE )=

Entonces:

2

2 2 2

2 2 2

( )( )b c a c a

b c a

a b c

= +

=

+ =

Ejemplo:

De la figura mostrada determine el valor de x

3

2x

2 1x +

Sol.

Aplicamos el teorema de Pitgoras y relacionamos

los catetos y la hipotenusa.

2 2 2

2 2 2

2 2

3 2 2 1

9 4 4 4 1

9 4 1

2

a b c

( ) ( x ) ( x )

x x x

x

x

+ =

+ = +

+ = + +

= +

=

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Por otra parte, con las longitudes de los lados de

un tringulo rectngulo se pueden establecer

ciertos cocientes, que son llamados histricamente

las razones trigonomtricas y se definen de la

siguiente manera:

Definicin

Notacin Definicin

sen Opuesto a

senHipotenusa c

= =

cos Adyacente b

cosHipotenusa c

= =

tan Opuesto a

tanAdyacente b

= =

cot Adyacente b

cotOpuesto a

= =

sec Hipotenusa c

secAdyacente b

= =

csc Hipotenusa c

cscOpuesto a

= =

Ejemplo:

En un tringulo rectngulo se verifica que 7

25sen = entonces determine tan sec +

Sol.

Considerando el tringulo rectngulo:

25

x

7

Obtenemos el cateto mediante el teorema de

Pitgoras

2 2 27 (25)

24

x

x

+ =

=

Del tringulo obtenemos:

7 25

24 24

4

3

tan ;sec

Nos preguntan :

tan sec

= =

+ =

Nota:

El valor de las Razones trigonomtricas solo

depende del valor del ngulo, y no de la longitud

de los lados, lo cual observamos en los siguientes

tringulos semejantes:

3

4

5

A B

C

M N

P

15

20

25

De la figura

3

5

15 3

25 5

ABC : sen

MNP : sen

=

= =

Ejemplo:

A cierta hora del da el ngulo de inclinacin del

Sol es de 75 . Determine la altura de un edificio si

la longitud de su sombra en ese instante es de

32 15, m

Sol.

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AB

h

32,15

75

De la figura:

7532 15

32 15 75

32 15 3 73

120

htan( )

,

, (tan ) h

, ( , ) h

h m

=

=

=

Ejemplo:

En el siguiente tringulo rectngulo, determine

E tan cot = +

a

b

3 ab

Sol.

Aplicamos el teorema de Pitgoras para relacionar

los lados del tringulo

2 2 2

2 2 2(3 ) ....( )

a b c

a b ab i

+ =

+ =

Nos preguntan:

2 2

2

3

9

9

a b a btan cot ...( ii )

b a ab

Reemplazando ( i ) en ( ii ) :

( ab )tan cot

ab

abtan cot

ab

tan cot

++ = + =

+ =

+ =

+ =

Ejemplo:

La torre de pisa se inici su construccin en 1173,

despus de prolongadas interrupciones se

concluy la construccin en 1370. La longitud de

la torre es de 55,8m desde la base, tiene una

inclinacin de unos 4 y su separacin mxima de

la vertical es:

(Considere 4 0.06975sen = )

Sol.

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A

B C

4

55,8m

Del grfico es la longitud

de la torre y su separacin maxima

de la vertical es

Entonces

(4 )

0,0697555.8

3,89

AC

BC

BCsen

AC

BC

BC m

=

=

=

Ejemplo:

En un tringulo rectngulo demuestre que

2 2

0 1

0 1

1

I ) sen

II ) cos

III ) sen cos