Introduccion a la Relatividad General

Segundo semestre de 2015 - Practica 6

*Los problemas marcados con un asterisco son opcionales, pero hacerlos es muy recomendable.

Problema 1

Considere el espacio-tiempo en 2 + 1 dimensiones que corresponde a una dos-esfera que seexpande en el tiempo. Pruebe que la razon a la que aumentan las distancias medidas sobre laesfera a tiempo fijo es proporcional a la distancia correspondiente.

Problema 2 - Metrica de Robertson-Walker

La geometrıa de un universo homogeneo e isotropico en todo punto esta descripta por la metricade Robertson-Walker (ver practica 3, ejercicio 12),

ds2 = −dt2 +R(t)2

(dr2

1− kr2+ r2dΩ2

2

),

con k = −1, 0, 1 correspondiendo a un universo abierto, marginalmente abierto o cerrado,respectivamente. El modelo cosmologico estandar es el modelo de Friedmann-Lemaıtre, queconsiste en considerar al universo como un fluido perfecto en reposo en el sistema de referenciade un observador cosmologico.

(a) Muestre que la conservacion de la energıa implica

d

dt

(ρR3

)= −p d

dt

(R3

).

(b) Muestre que las ecuaciones de Einstein proveen otra ecuacion de primer orden,

3k + R2

R2= 8πρ .

(c) Resuelva la ecuacion de conservacion de la energıa para un universo dominado por la materia(ρ p) o dominado por la energıa (p ' 1

3ρ).

Problema 3 - Solucion estatica de Einstein

Antes de que se tuviera conocimiento de la expansion acelerada del universo, Einstein introdujola constante cosmologica Λ para poder encontrar una solucion cosmologica estatica R = R = 0.Interpretando a este termino como proveniente del tensor de energıa-impulso de un fluidoperfecto con ρΛ = Λ/8π y pΛ = −ρΛ, muestre que la solucion estatica compatible con ununiverso dominado por la materia, como es el caso actual, corresponde a un universo cerradoen el que ρΛ = 1

2ρ0 y R = (4πρ0)−1/2, con ρ0 la densidad de energıa de materia actual.

1

Problema 4*

En cierto punto, observaciones de quasares parecıan indicar la existencia de una superpoblacionde los mismos a redshifts z ' 2. Una propuesta para explicar este fenomeno consiste en proponerque nuestro universo es cerrado y dominado por la materia, teniendo una constante cosmologicano nula y apenas mayor que la requerida por la solucion estatica de Einstein. Muestre que enestas condiciones el universo se expande desaceleradamente hasta un radio Rm, alrededor delcual permanecera un largo tiempo expandiendose muy lentamente. Muestre que asintoticamenteH =

√Λ, y estime ρ0 a partir del valor de la constante de Hubble medido en la actualidad.

Problema 5 - Coordenadas η y χ

(a) Muestre que la metrica de Robertson-Walker se puede escribir en la forma

ds2 = −dt2 +R(t)2(dχ2 + Σ(χ)2dΩ2

2

),

con Σ(χ)2 = sinh2 χ, χ2 o sin2 χ para k = −1, 0, 1.

(b) Muestre que, alternativamente, tambien puede escribirse en la forma

ds2 = R(η)2(−dη2 + dχ2 + Σ(χ)2dΩ2

2

).

(c) *Muestre que esta metrica es conformemente plana, es decir que existe un cambio de coor-denadas tal que gµν(x) = ω(x)ηµν .

Problema 6

Halle una expresion para dr/dλ para la trayectoria de un foton que se mueve en direccion radialen la metrica de Robertson-Walker.

Problema 7

Resuelva la ecuacion de Einstein en coordenadas (η, χ) para un universo dominado por laradiacion. ¿Cuantas veces puede un foton radial atravesar un universo cerrado durante suexistencia? Repita para un universo dominado por la materia.

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