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Máster Universitario en Ingeniería de las Estructuras, Cimentaciones y Materiales

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

DISEÑO AVANZADO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN

PRÁCTICA 2

CURSO 2009-2010

Alberto Ruiz-Cabello López

Práctica 2. Análisis no lineal mecánico

El análisis no lineal de la viga se realizará empleando un procedimiento iterativo de curvatura constante. Para ello, la viga se debe descomponer en un número de barras suficiente. Este procedimiento ha sido implementado en una hoja de cálculo con apoyo de programación en Visual Basic (véase anexo), de tal forma que puede definirse a discreción el número de barras de la viga. De hecho, en algunos casos se observa una mejora apreciable de resultados con el incremento del número de barras; por ejemplo, en el caso de la viga biempotrada con redistribución del 30%, el porcentaje máximo de carga pasa del 140% al 100% al incrementar el número de barras de 20 a 60.

Para la definición de los diagramas momento-curvatura se utiliza un método similar al de la práctica 1.

La viga objeto de análisis está sometida a una sobrecarga uniforme de �� = 24 �/�; su peso propio es de �� = 3.1 �/�. La carga uniforme mayorada por unidad de longitud será pues:

�� = �� + �� = 1,35 · 3,1 + 1,50 · 24 = 40,185 �/�

La carga uniformemente distribuida sobre la viga se va a equiparar a un conjunto de cargas puntuales aplicadas sobre los nodos de enlace de las barras. Empleando la expresión del momento que genera una carga puntual aplicada en un punto cualquiera de una viga biapoyada (extraída de un prontuario), puede obtenerse, por superposición, el efecto del conjunto de cargas puntuales y, consecuentemente, el efecto de la carga distribuida.

1. Viga biempotrada con redistribución del 30%

1.1. Dimensionamiento

1.1.1. Dimensionamiento en apoyos

El momento elástico en apoyos de una viga biempotrada con carga �� uniformemente repartida en toda su longitud es de la forma:

��_!�"#" = ��$%12 = 40.19 · 5%

12 = 83.72 ( · �

Dado que se considera una redistribución plástica del 30% en los apoyos, el momento de diseño será:

��_!�"#" = 0.7 · 83.72 = 58.80 ( · �

Supondremos simplificadamente que la cabeza de hormigón está uniformemente comprimida en una longitud 0.8)*, siendo la tensión de compresión igual a 0.85+��. Por

tanto, en la hipótesis de que la zona comprimida se localice exclusivamente en el alma de la sección en T, las ecuaciones de equilibrio en la sección de apoyos resultan:

, = 0 ⟹ 0.85+��0.80)*./ − +#�1�_� = 0

, � = ��_!�"#" ⟹ 0.85+��0.80)*./2ℎ − 45 − 0.4)*6 = ��_!�"#"

⟹ 0.85 · 25000 · 0.80 · )* · 0.20 · 20.30 − 0.05 − 0.4)*6 = 58.80 ⟹ )* = 0.079 �

Dado que )* = 0.079 � < ℎ − ℎ/ = 0.22 �, la hipótesis planteada es cierta.

Sustituyendo )* en la ecuación del axil, se despeja el valor de la armadura superior de

acero:

0.85+��0.80)*. − +#�1�8 = 0 ⟹ 0.85 · 25000 · 0.80 · 0.079 · 0.2 − 500000 · 1�_� = 58.80

⟹ 1�_� = 0.000537 �% = 537 ��%

1.1.2. Dimensionamiento en centro de vano

Teniendo en cuenta que la siguiente relación ha de cumplirse siempre en cualquier viga:

��_9�"�:á:9�" = ��_!�"#"_9<=>9�?�" + ��_!�"#"_��?��@"2 + ��_��A:?"_B!A"

Y dado que:

��_!�"#"_9<=>9�?�" = ��_!�"#"_��?��@" = ��_!�"#"

Se tiene:

��_��A:?"_B!A" = ��_9�"�:á:9�" − ��_!�"#" = ��$%8 − ��_!�"#" = 40.19 · 5%

8 − 58.80= 66.98 �/�

Supondremos ahora que la cabeza comprimida de hormigón se localiza en las alas de la sección. La ecuaciones de equilibrio en la sección de apoyos quedan:

, = 0 ⟹ 0.85+��0.80)*. − +#�1�_9 = 0

, � = ��_��A:?"_B!A" ⟹ 0.85+��0.80)*.2ℎ − 45 − 0.4)*6 = ��_��A:?"_B!A"

⟹ 0.85 · 25000 · 0.80 · )* · 1.00 · 20.30 − 0.05 − 0.4)*6 = 66.98 ⟹ )* = 0.016 �

Dado que )* = 0.016 � < ℎ/ = 0.080 �, la hipótesis planteada es cierta.

Determinamos finalmente la armadura inferior:

0.85 · 25000 · 0.80 · 0.016 · 1.00 − 500000 · 1�_9 = 0 ⟹ 1�_9 = 0.000550 �% = 550 ��%

1.2. Diagrama momento-curvatura

Puntos característicos del diagrama:

FISURACIÓN Momento (( · �) Curvatura (1/�)

Momento positivo 13.62 0.0004

Momento negativo -26.69 -0.00067

PLASTIFICACIÓN Momento (( · �) Curvatura (1/�)



AGOTAMIENTO Momento (( · �) Curvatura (1/�)



1.3. Análisis no lineal

Apoyo Centro de vano

Porcentaje de carga Análisis lineal Análisis no

lineal Análisis lineal Análisis no lineal

0 0,000 0,000 0,000 0,000

5 -4,184 -4,286 2,095 1,967

10 -8,369 -8,572 4,189 3,934

15 -12,553 -12,857 6,284 5,901

20 -16,737 -17,143 8,379 7,868

25 -20,921 -21,549 10,473 9,835

30 -25,105 -25,857 12,568 11,816

35 -29,290 -28,316 14,663 13,620

40 -33,474 -34,518 16,757 15,687

45 -37,658 -38,265 18,852 18,261

50 -41,842 -42,430 20,947 20,323

55 -46,027 -45,899 23,041 23,190

60 -50,211 -50,032 25,136 25,269

65 -54,395 -53,457 27,231 28,179

70 -58,579 -57,243 29,325 30,660

75 -62,764 -58,800 31,420 33,031

80 -66,948 -59,022 33,515 35,998

85 -71,132 -59,754 35,609 40,426

90 -75,317 -59,572 37,704 43,514

95 -79,501 -60,521 39,798 49,595

100 -83,685 -60,888 41,893 54,174

105 -87,869 Rotura 43,988

Coeficiente de seguridad:

D. E. = 100 · 40.185100 · 27.1 = 1.48

2. Ley de viga biapoyada



El momento elástico en centro de vano de una viga biapoyada con carga �� uniformemente repartida en toda su longitud es de la forma:

��_��A:?"_B!A" = ��$%8 = 40.19 · 5%

8 = 125.58 ( · �

Dado que en apoyos se considera un 25% de ��_��A:?"_B!A", se tiene:

��_!�"#" = 0.25 · 125.58 = 31.40 ( · �

Supondremos que la zona comprimida se localiza exclusivamente en el alma de la sección en T; las ecuaciones de equilibrio en la sección de apoyos resultan:

, = 0 ⟹ 0.85+��0.80)*./ − +#�1�_� = 0

, � = ��_!�"#" ⟹ 0.85+��0.80)*./2ℎ − 45 − 0.4)*6 = ��_!�"#"

⟹ 0.85 · 25000 · 0.80 · )* · 0.20 · 20.30 − 0.05 − 0.4)*6 = 31.40 ⟹ )* = 0.039 �

Dado que )* = 0.039 � < ℎ − ℎ/ = 0.22 �, la hipótesis planteada es cierta. La

armadura inferior será por tanto:

0.85 · 25000 · 0.80 · 0.039 · 0.2 − 500000 · 1�_� = 0

⟹ 1�_� = 0.000268 �% = 268 ��%


Como ya se determinó en el apartado precedente:

��_��A:?"_B!A" = ��$%8 = 40.19 · 5%

8 = 125.58 ( · �

Supondremos que la cabeza comprimida de hormigón se localiza en las alas de la sección. Las ecuaciones de equilibrio en la sección de centro de vano resultan:

, = 0 ⟹ 0.85+��0.80)*. − +#�1�_� = 0

, � = ��_��A:?"_B!A" ⟹ 0.85+��0.80)*.2ℎ − 45 − 0.4)*6 = ��_��A:?"_B!A"

⟹ 0.85 · 25000 · 0.80 · )* · 1.00 · 20.30 − 0.05 − 0.4)*6 = 125.58 ⟹ )* = 0.0311 �

Dado que )* = 0.0311 � < ℎ/ = 0.080 �, la hipótesis planteada es cierta.


0.85 · 25000 · 0.80 · 0.0311 · 1.00 − 500000 · 1�_9 = 0 ⟹ 1�_9 = 0.0010572 �%= 1057 ��%





Momento negativo -26.48 0.0007











0 0,000 0,000 0,000 0,000

5 -4,185 -4,106 2,094 2,171

10 -8,370 -8,211 4,188 4,343

15 -12,554 -12,317 6,282 6,514

20 -16,739 -16,422 8,377 8,686

25 -20,924 -20,529 10,471 10,857

30 -25,109 -24,670 12,565 13,065

35 -29,293 -26,485 14,659 16,505

40 -33,478 -30,488 16,753 19,095

45 -37,663 -30,935 18,847 23,234

50 -41,848 -31,040 20,941 28,010

55 -46,033 -31,141 23,035 32,733

60 -50,217 -31,238 25,130 37,557

65 -54,402 -31,280 27,224 42,459

70 -58,587 -31,419 29,318 48,150

75 -62,772 -31,476 31,412 53,099

80 -66,956 -31,594 33,506 58,721

85 -71,141 -31,681 35,600 64,319

90 -75,326 -31,505 37,694 66,004

95 -79,511 -31,797 39,788 74,455

100 -83,695 -31,937 41,883 80,265

105 -87,880 -32,021 43,977 85,618

110 -92,065 -32,104 46,071 91,225

115 -96,250 -31,848 48,165 91,848

120 -100,435 -32,272 50,259 101,043

125 -104,619 -32,343 52,353 105,903

130 -108,804 -32,219 54,447 108,092

135 -112,989 -32,314 56,542 113,251

140 -117,174 -32,343 58,636 117,499

145 -121,358 -32,395 60,730 122,180

150 -125,543 -32,383 62,824 123,051

155 -129,728 -32,398 64,918 123,163

160 -133,913 -32,491 67,012 123,354

165 -138,098 Rotura 69,106


D. E. = 160 · 40.185100 · 27.1 = 2.37

3. Ley de ménsula



En apoyos se considera el momento de la viga en ménsula (con la mitas de la luz):

��_!�"#" = ��($/2)%2 = 40.19 · 2.5%

2 = 125.58 ( · �

Supondremos en este caso que la zona comprimida ocupa todo el alma y alcanza hasta las alas de la sección en T. Así pues, las ecuaciones de equilibrio de la sección en apoyos resultan:

, = 0 ⟹ 0,85 +��0.80./(ℎ − ℎ/) + 0,85 +�� I0,80)* − (ℎ − ℎ/)J . = +#�1�_� = 0

, � = ��KLMNM ⟹ 0.85+��0.80./(ℎ − ℎ/) Oℎ − 4´ − ℎ − ℎ/2 Q

+0.85+�� I0,80)* − (ℎ − ℎ/)J . Rℎ − 4´ − (ℎ − ℎ/) − 0.80)* − (ℎ − ℎ/)2 S = ��_!�"#"

⟹ 0,85 · 25000 · 0.2 · (0.3 − 0.08) O0.3 − 0.05 − 0.3 − 0.082 Q

+0.85 · 25000 · I0.80)* − (0.3 − 0.08)J 1.00 R0.3 − 0.05 − (0.3 − 0.08) − 0.80)* − (0.3 − 0.08)2 S

= 125,58 ⇒ )* = 0,2657 �

Dado que )* = 0.2657 � > ℎ − ℎ/ = 0.22 �, la hipótesis planteada es cierta. La

armadura inferior será por tanto:

0,85 · 25000 · 0.80 · 0.2 · (0.3 − 0.08)

+0,85 · 25000 · 20,80 · 0.2657 − (0.3 − 0.08)61.00 + 5000001V_W = − 5000001V_V == 0

⟹ 1�_� = 0.00118 �% = 1180 ��%


Dado que en centro de vano se considera un 25% de ��_!�"#", se tiene:

��_��A:?"_B!A" = 0.25 · 125.58 = 31.40 ( · �

Supondremos que la cabeza comprimida de hormigón se localiza en las alas de la sección. Las ecuaciones de equilibrio en la sección de centro de vano resultan:

, = 0 ⟹ 0.85+��0.80)*. − +#�1�_� = 0

, � = ��_��A:?"_B!A" ⟹ 0.85+��0.80)*.2ℎ − 45 − 0.4)*6 = ��_��A:?"_B!A"

⟹ 0.85 · 25000 · 0.80 · )* · 1.00 · 20.30 − 0.05 − 0.4)*6 = 31.40 ⟹ )* = 0.00748 �

Dado que )* = 0.00748� < ℎ/ = 0.080 �, la hipótesis planteada es cierta.


0.85 · 25000 · 0.80 · 0.00748 · 1.00 − 500000 · 1�8 = 0

⟹ 1�_9 = 0.000254 �% = 254 ��%
















0 0,000 0,000 0,000 0,000

5 -4,186 -4,403 2,093 1,871

10 -8,371 -8,807 4,187 3,742

15 -12,557 -13,210 6,280 5,613

20 -16,742 -17,613 8,374 7,484

25 -20,928 -22,057 10,467 9,355

30 -25,113 -27,210 12,560 11,263

35 -29,299 -31,459 14,654 12,006

40 -33,484 -37,569 16,747 12,006

45 -37,670 -43,015 18,840 13,425

50 -41,855 -48,118 20,934 14,570

55 -46,041 -53,174 23,027 15,841

60 -50,226 -58,112 25,121 17,190

65 -54,412 -63,007 27,214 18,572

70 -58,597 -67,856 29,307 19,969

75 -62,783 -72,645 31,401 21,431

80 -66,968 -77,449 33,494 22,959

85 -71,154 -82,236 35,588 24,269

90 -75,339 -86,995 37,681 25,976

95 -79,525 -91,748 39,774 27,179

100 -83,710 -96,864 41,868 27,864

105 -87,896 -102,354 43,961 28,518

110 -92,081 -107,700 46,055 29,035

115 -96,267 -113,502 48,148 29,875

120 -100,452 -118,901 50,241 30,485

125 -104,638 -117,024 52,335 30,730

130 -108,823 Rotura 54,428


D. E. = 125 · 40.185100 · 27.1 = 1.85

4. Interpretación de los resultados

4.1. Viga biempotrada con redistribución del 30%

La evolución del momento no lineal es muy similar a la del momento lineal (tanto a positivos como a negativos) hasta un elevado nivel de carga (70%), para el cual se produce la plastificación de la sección en apoyos, correspondiente a un porcentaje de carga del 70%. A partir de este punto, el momento no lineal a negativos apenas crece, por lo que se produce una redistribución creciente hacia el centro del vano. La rotura tiene lugar por agotamiento de la sección en apoyos.

Este comportamiento está relacionado con la similitud de las leyes constitutivas a momento negativo y positivo hasta el punto de plastificación. El momento de plastificación es de parecida magnitud en ambos casos (algo inferior a negativos); hasta ese punto, el diagrama momento-curvatura evoluciona linealmente sin variaciones de pendiente significativas.

4.2. Ley de viga biapoyada

La cantidad de armadura en apoyos correspondiente a la ley de viga biapoyada es la menor de los tres casos. Este hecho se traduce en la considerable ductilidad de la sección a negativos, que alcanza una curvatura muy próxima a la de momento positivo (con un valor de momento último muy inferior). A diferencia del caso previo, el desequilibrio entre los valores de momento último para ambos signos es muy acusado; en aquel caso resultaba destacable la similitud de las dos ramas del diagrama hasta el punto de plastificación.

El diagrama momento-carga tiene una interpretación parecida a la que ofrecimos para la viga biempotrada. El momento no lineal concuerda con el lineal hasta alcanzar la plastificación de la sección en apoyos; dado que la capacidad de dicha sección se mantiene cuasi constante a partir de su plastificación, el momento no lineal se transfiere a la sección central, que evoluciona por encima del lineal. La diferencia radica en que la plastificación del apoyo ocurre para un nivel de carga muy inferior, correspondiente al 35% por ciento de la carga (la mitad que para viga biempotrada). Ello es debido a que la armadura de la sección en los apoyos es inferior al caso previo (la mitad).

4.3. Ley de ménsula

En el caso de la ley de ménsula, la pronta fisuración de la sección central provoca su pérdida de rigidez y el aumento consecuente del momento en apoyos. Por ello, el momento no lineal a positivos es mayor que el momento elástico lineal correspondiente, mientras que en el apoyo sucede lo contrario.

Llama la atención la evolución cuasi lineal del momento no lineal a negativos. La ley constitutiva de la sección a momento negativo presenta muy escasa ductilidad debido a la gran cantidad de armadura que posee y a que la zona comprimida de la sección es el alma, de manera que el diagrama momento-curvatura es prácticamente lineal. De ahí que, como apuntábamos, la evolución del momento en función del porcentaje de carga sea prácticamente lineal.

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