Practica 6 DerivSuoerior

5/24/2018 Practica 6 DerivSuoerior

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Alberto E. Gutirrez Borda Facultad de Ciencias - UNICA 1

Funciones reales de un vector

PRCTICA 6. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Y PLANOTANGENTE.

Alberto Gutirrez Borda*

1. Determinar la ecuacin del plano tangente a la grfica de la funcin f, dada en elpunto P.a) f(x, y) = xy, P= (2, 1).

b) f(x, y) = xarctag(arctagy), P = (1, 0).

c)22 yx-)e2y2(xy)f(x, , P= (0, 0).

2. Determine la ecuacin del plano tangente y la recta normal a la superficie en elpunto A.a) x - y2- z2= 0, A = (0, 0, 0).

b) x2 + y2 + z24x - 8y - 16z +54 = 0, A = (1, 2, 3) .3. Determine las ecuaciones de los planos tangentes al elipsoide x2 + 3y2 + 5z2= 1,

que sean paralelos al plano tangente a la superficie z = xy en el punto A= (1, 1,1).4. Determine los puntos de la superficie dada en los que los planos tangentes sean

paralelos a los planos coordenados.

a) (x - 2)2 + 5(y - 3)2+10(z +1)212 = 0.b) x

2+ 3y

2+ z

2+ 4x6y - 2z + 7 = 0.

5. Hallar el volumen del tetraedro que forman los planos coordenados con el planotangente al elipsoide

x2

+ y2+ 3z

250 = 0 en el punto (1, 5, 22 ).

6. Determine los puntos del elipsoide x2/a2+ y2/b2 + z2 /c2=1, en los que los planostangentes cortan a los ejes coordenados en puntos equidistantes del origen.

7. Demostrar que el plano 2x6y + 3z49 = 0, es tangente a la esfera x2 + y2 + z24 9 = 0. En qu punto? Hallar el otro plano tangente a la esfera que sea paralelo al

dado.

8. Demuestre que cada una de las funciones dadas satisface la ecuacin de Laplace:a) f(x, y) = ex(xcosyycosy).

b) G(x, y) = Ln[ 1/(x2+ y2) ].c) f(x, y) = exp(x

2- y

2).[ (x

2- y

2)sen2xy + 2xycos2xy ].

9. Demuestre que la funcin w= sen(x2+ y2), satisface la ecuacin:y(

2

W/x2

)x (

2

W/yx) - (W/y) = 0.10.Sea G(x, y)= f(x+3y, 2x-y), donde f: IR2IR es diferenciable. Si f(0, 0) = (4, -3).Determine la derivada de la funcin G en el origen en la direccin del vector

u = (1, 1).

11.Sea H(x, y) = h(x2+y, 3xy), donde h: IR2IR es diferenciable; asumiendo que h(2,3) = (5, 4). Hallar la direccin del mayor crecimiento de la funcin H en el punto (1,

1).

12.Considere la funcin F, G: IR3IR; F(x, y, z) = x3 - 3xyz2, G(x, y, z) = xy + xy2+z4 . Determine la ecuacin del plano P en IR3en el que se encuentran los vectores

v1= F(1, 1, 1); v

2= G(1, 1, 1).


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13.Sea f: IR2IR, la funcin f(x, y) = 5x+4y-3xy. Determine la funcin g: IR3IR,g(x, y, z) = f(F(x, y, z),G(x, y, z)). Demuestre que el vector g(1,1,1) se encuentraen el plano P.

14.Obtenga las derivadas parciales de segundo orden de las funciones:a) F(x, y) = (x

2

+ y

2

)f(x,2y).b) G(x, y, z) = f(ax + by + cz).c) H(x, y, z) = f( f(x, y, z), y, z).

15.Sea F(x, y, z) = xn (y /x), en que es una funcin real dos veces diferenciable, deuna variable real, y n es un nmero real. Demuestre que: x

2 (2F(x, y)/x2) + 2xy

(2F(x, y)/xy) + y2 (2F(x, y)/y2) = n(n-1)F(x, y).

16.Considere la funcin F: /R2/R, F(x, y)=ax2+ 2bxy + cy2+ d, en donde d0 Enque condiciones es posible trazar una recta tangente a la grfica F(x, y)=0 en

cualquier punto de ella?

17.Determine la derivada direccional de la funcin de la funcin z = f(x, y) definidaimplcitamente por xtany-ze

z= 0, en el punto A = (0, /4, 0) en la direccin del

vector u= (2, 1).18.Hallar la direccin de mayor crecimiento de la funcin z = f(x, y) dada

implcitamente por: arctan(x + y + z) + 3xyz + z = 0, en el origen de coordenadas.

19.Considere la superficie, - x2 + x(2z + 10) - y2 + y( 2z + 14) + z2 + 8z + 6 = 0. Enqu punto de ella no es posible trazar un plano tangente? Explique.

20.Considere la funcin z = f(x, y) definida implcitamente por la expresin dada F(x,y, z) = 0. Calcule las derivadas parciales de segundo orden de la funcin f.

a) x2y3z + 8yz3= 0.b) Sen(xy) +z + senz = 0.

c) xex+ yeyzez3e = 0; en el punto (1, 1, 1).

21.Hallar la recta normal al elipsoide, x2+ 3y2 + 2z2 = 1, que es paralelo a la rectax = 2t +1, y = 3t; z = 2t - 1.

22.Encontrar la ecuacin del plano tangente a la superficie definida por: x = ucosv, y =usenv, z = u en el punto en que u =1, v = /6.

23.Sea P un plano tangente a la superficie x2+ y2+ 2z24 = 0, en el punto (a,1, b) ysea x + 2y4 = 0, la ecuacin de la recta de interseccin del plano P con el planoXY. Se pide hallar el punto (a, 1, b) y la ecuacin del plano P.

24.a) Hallar la ecuacin de la superficie en la que se encuentre la curva C deecuaciones: x = tcost; y = tsent; z = 2t.

b) Si F(x, y, z) = 0 es la ecuacin de la superficie en (a) demostrar que F(x, y, z)es ortogonal la curva C en cada uno de sus puntos.

25.Hallar la ecuacin del plano tangente a la superficie x2+ 2y2+ 14z2= 252, lo cual esortogonal a la recta tangente en (2, 1, 6), a la curva de interseccin de las

superficies, z = x2+ 2y

2 y 2x

23y

2z = -1.

26.Encontrar la ecuacin de la recta tangente a la esfera, x2+ y2+ z21 = 0, que esparalelo al plano 8x + 6y + 10z1 = 0.

27.Encontrar la ecuacin del plano tangente a la superficie definida por: x = ucosv,y = usenv, z = 3u, en el punto en que u = 2, v = /4.


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28.Sea f: IR3IR, definida por f(x, y, z) = senz + (1+x2)y+ z + y22ya) Probar que la ecuacin f(x,y,z) = 0, define una funcin implcita z = g(x,y); en

un entorno del punto (0,1,0).

b) Calcular todas las derivadas parciales de primero y segundo orden de la funcing en el punto (0,1).

29.El cono con la ecuacin z2= x2+ y2 y el plano con la ecuacin, 2x + 3y + 4z + 2= 0, se intersecan en una elipse. Escriba una ecuacin para el plano normal a esta

elipse en le punto (3, 4, -5).

30.Sea z = f(x - t) + g(x + t), si f y g es derivable dos veces, hallar (2z/t2) -2(2z/x2).

31.Una funcin de temperatura de estado estacionario de u(x,y), para una placa delgaday plana satisface la ecuacin de Laplace: 2u/x2+ 2u/y2= 0.

32.Determine cuales de las siguientes funciones satisface la ecuacin deLaplace:a) u(x, y) = Ln (x2+ y2)1/2.

b) u(x, y) = (x2+ y2)1/2.c) u(x, y) = arctan(y/x).d) u(x, y) = e - xseny.

33.Slo existe un punto en el que el plano tangente a la superficie, z = x2+ 2xy + 2y26x + 8y, es horizontal. Determine dicho punto.

34.En fsica se demuestra que la temperatura u(x, t) en el instante t, en el punto x deuna varilla larga y aislada que est sobre el eje x, satisface la ecuacin

unidimensional del calor,

2u/t = k 2u/x2, (k es una constante).Muestre que la funcin, u(x, t) = exp(-n2kt) sen(nx), satisface la ecuacin

unidimensional del calor para cualquier eleccin de la constante n.

35.La ecuacin bidimensional del calorpara un plano aislado es;u/t = k (2u/t2+ 2u/y2).

Muestre que la funcin, u(x, y, t) = exp(- [m2+ n2 ]kt)sen(mx).cos(ny); satisface

esta ecuacin para cualquier eleccin de las constantes m y n.

36.Sea f : AIR2IR, la funcin definida por:3 3

2 2

-, ( , ) (0,0)

( , )

0, ( , ) (0,0)

x y xysi x y

f x y x y

si x y

a) Halle, 2 f(0,0)/xy.b) Halle, 2 f(0,0)/yx.Qu conclusin obtiene de sus resultados?

37.Dada la funcin g definida por,2 2

, ( , ) (0, 0)( , )

0 , ( , ) (0, 0)

x y xye e si x yx yg x y

si x y

Hallar, 2g(0,0)/x2 y 2g(0,0)/y2.


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38.Si,2 2

4 4, ( , ) (0,0)

( , )

0, ( , ) (0,0)

x ysi x y

h x y x y

si x y

. Determinar D12h(0,0) y D21h(0,0) si

existen.

39.Demostrar que la ecuacin, 2/x2= 1/c2 [ 2 /t2 + m /t] se satisface por= n emt/2sen(kt).cos(rx), siempre que k2= c2r2- m4/4.

45.Sea, g(x,y) = xy.e x/y. Halle el valor de la constante m tal que satisfaga:2g /x2+ [(y (2g /x2)]/y = ex/y [ m(x/y)(x2/y2)].

46.Sea f(x, y) = ym exp( - x2/4y), calcular el valor la constante m de manera quesatisface la ecuacin, f(x, y)/y = (1/x2) [x2f(x, y)/x]x.

47.Encontrar la ecuacin del plano tangente a la superficie definida por, x = ucosv,y = usenv, z = 3u, en el punto en que u = 2, v = /4.

48.Hallar la ecuacin del plano tangente y de la recta normal a la superficie, (x - 2) 2+(y + 3)2 + z2 = 4, que es paralelo al plano que pasa por los puntos (1, -1, 2);

(2, 2, -1) y es perpendicular al plano, x + 2yz = 0.

49.Dado, f(x, y) = (x2+ y216)1/2, en qu puntos es diferenciable esta funcin?50.Un cono circular recto cambia de tamao de tal forma que su rea lateral se

mantiene constante e igual a 480 cm .El radio de la base crece a razn de 2 cm/seg.

Hallar la velocidad con que cambia la altura y el volumen en el instante en que el

radio es de 12 cm.

51.Sea, f: A IR2IR, definida por:2 2

2 2

( - )

, ( , ) (0,0)( , )

0, ( , ) (0,0)

xy x y

si x yf x y x y

si x y

,

Halla D2f(x, 0); D1f(0, y); D12f(0, 0); D21f(0, 0).

52.Sea la funcin, g(x, y) = eax + byf(x, y), sabiendo que, D1f(x, y) = D2f(x, y) = 1.Hallar los valores de las constantes a y b tales que, D1 g(x, y) = D2 g(x, y),

D22g(x, y) + 1 = D21g(x, y) + a.

53.La ecuacin, sen(x + y + z) + sen(xz) = 1, defina z como una funcin implcita de xe y. Determinar z/x y z/y en el punto (0, 0, /4).

54.Usando diferenciales aproximar,

.55.Encuentre la ecuacin del plano tangente y de la recta normal a la superficie de z=

x2+y

2, en el punto (2,1,5).

56.Tenemos eysen(x+z) - z = 0 es la ecuacin de una superficie, encuentre la ecuacindel plano tangente a la superficie, considerando que dicho plano tangente es paralelo

al plano 2z + 4x5 = 0.

57.Halle la ecuacin del plano tangente y la recta normal a la superficie, x2+ y2+ z2=x + y + z + 4, en el punto (1, 2, - 1).

R.: x + 3y3z10 = 0.

58.Halle la ecuacin del plano tangente a la esfera x + y + z 1 = 0, que es paralelo al

plano x + y + 2z2 = 0.


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R.: x + y + 2z - 6 = 0, x + y 2z + 6 = 0.

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* Docente principal

Doctor en Educacin MatemticaDepartamento de Matemtica

Facultad de Ciencias

Universidad Nacional San Luis Gonzaga Ica-Per

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