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Practica 6
Integral Doble e Integral TripleCambio de variable con coordenadas polares y coordenadas cilındricas.
Calculo SuperiorInstituto Tecnologico de Costa Rica
Escuela de Matematicawww.cidse.itcr.ac.cr
1. Calcule y verifique los siguientes resultados,
a)∫ 1
0
∫ 2
0y exy dx dy =
e2 − 22
b)∫ 4
1
∫ x2
√x(x2 + 2xy − 3y2) dy dx =
−2097514
c)∫ 1
0
∫ 2−√y
√y
xy dx dy =15
d)∫ π/2
0
∫ x2
0sen
(y
x
)dy dx = −π
2+
π2
8+ 1
e)∫ 1
0
∫ y
0x√
1 + x2 dx dy =724
√2− ln(
√2− 1)8
− 13
f )∫ 2
1
∫ y
1(1 + x2) dx dy =
1712
g)∫ π
0
∫ sen x
0(y) dy dx =
π
4
h)∫ 3
2
∫ √y
1+y(x2y + xy2) dx dy =
187
√3− 559
8− 16
21
√2
i)∫ 1
0
∫ 1
0xy ex+y dy dx = 1
2. En cada caso, dibujar las region de integracion y calcular las integrales en el orden“dx dy”.
a)∫ 2
1
∫ 3x+1
2xdy dx R/
52
b)∫ 1
0
∫ 1−x2
0dy dx R/
23
c)∫ e
1
∫ 1
ln(y)(x + y) dx dy R/
e2 − 14
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d)∫ 1
0
∫ arc cos(y)
0dx dy R/ 1
3. Dibuje la region de integracion y calcule la integral doble si,
a)∫∫
R(x2 + y2) dA donde R es la region limitada por x = −2, x = 3, y = x + 2; y = −2 .
b)∫∫
R
x√1− y2
dA, donde R ={
(x, y)/0 ≤ x ≤ 12, x ≤ y ≤ 1
2
}.
c)∫∫
Rcos(x) sin(y) dA donde R =
[0,
π
2
]×
[0,
π
2
].
d)∫∫
R(x− y) dA donde R es la region, en el primer octante, limitada por las rectas con ecuacion
x + y − 3 = 0, y = 3 y las curvas de ecuacion y2 = 4x, x2 = 4y .
4. En cada caso, determinar el valor de la integral iterada:
a)∫ 1
0
∫ x
0
∫ y
0
(1 + 3
√z√
z
)dz dy dx R/
21442805
b)∫ π/2
0
∫ π/2
0
∫ 1
0r2 cos2 (θ) dr dθ dx R/
π2
24
c)∫ a
0
∫ (4a2−y2)/3a
y2
a
∫ h
0dz dx dy R/
8a2h
9, a y h constantes.
d)∫ 1
0
∫ 1−x
0
∫ 1−x−y
0ayz dz dy dx R/
a
120
e)∫ 3
0
∫ 6−2y
0
∫ 2−x/3−2y/3
0dz dx dy R/ 6
f )∫ 4
2
∫ 1
12
∫ √yz
0xyz dx dy dz R/
289− ln(2)
6
5. Calcular∫∫∫
S
dV
(x + y + z + 1)3donde S es el recinto limitado por los planos coordenados y el plano
x + y + z = 1. R/ − 516
+ln(2)
2
6. Considere la integral I , donde I =∫ 1
0
∫ 1−y
√1−y2
f(x, y) dx dy .
a) Dibuje le region de integracion.
b) Reescriba I con el orden de integracion dy dx.
7. El area de una region R del plano xy esta dada por:
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AR =∫ 1
−3
∫ 2
−x/3+1dy dx+
∫ 9
1
∫ x/2+5/2
−x/3+1dy dx
a) Dibuje la region R.
b) Plantee las integrales dobles correspondientes al area de la region R , invirtiendo el orden inte-gracion.
c) Calcule el area de la region R . R/ AR = 48.
8. El area de la region R del plano xy esta dada por:
AR =∫ 1
0
∫ x
−x3
dy dx+∫ 4
1
∫ x
x−2dy dx
a) Dibuje la region R .
b) Plantee las integrales dobles correspondientes al area de la region R, invirtiendo el orden inte-gracion respecto a las integrales dadas.
c) Calcule el area de la region R .
9. Cambio de variable: polares, cilındricas y esfericas.
a) Calcule el area de la region sombreada (entre la recta x = 1 y el cırculo r = 2 ) en la figura que
sigue. R/4π
3−√
2.
21
b) Calcular el area de la region R limitada por las circunferencias x2 +y2 = 4x, (x−4)2 +y2 = 16y las rectas y = 0 y y = x. R/ 6 + 3π.
2 4 6 8
2
4
Ayuda:∫
cos2 t dt = t/2 +sen(2t)
4+ C.
c) Calcular el area de la region R limitada por las circunferencias x2 +y2 = 4x, (x−4)2 +y2 = 16y las rectas y = x y y = 2x. R/ −6/5− 3π + 12 arctan(2).
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2 4 6 8
-2
2
4
d) Calcular el area de la region R que es la parte comun al cırculo de ecuacion x2 + y2 = 4x y alcırculo de ecuacion x2 + y2 = 4y. R/ 2π − 4.
2 4
2
4
Ayuda:∫
sen2 θ dθ = t/2− sen(2t)4
+ C.
e) Calcular el area de la region R limitada por la cardioide r = 2(1 + cos θ) y la circunferenciar = 2, tal y como se muestra en la figura que sigue. R/ 8 + π.
3
f ) Calcular el area de la region limitada por el lazo de la curva r = 1/2 + cos θ.R/ −3
√3/8 + π/4.
θ=2π/3
θ=−2π/3
Ayuda: notar que el lazo tiene ecuacion r = 1/2 + cos θ, 2π/3 ≤ θ ≤ 4π/3.
g) Calcular el area de la region R limitada por la curva (x2 + y2)3 = 4x2y2 con x ≥ 0, y ≥ 0.R/ π/8.
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Ayuda: en este caso, los lımites de integracion son las tangentes al polo. Si hacemos el cambiode variable x = r cos θ y y = r sen θ obtenemos r = sen(2θ). Los lımites de integracion son lasrectas (tangentes al polo) θ = 0 y θ = π/2.
Tangentes al polo: Las tangentes a la curva r = f(θ) son rectas con pendiente m =dy/dθ
dx/dθ.
Un calculo rapido nos da m =f(θ) cos θ + f ′(θ) sen θ
f(θ) sen θ − f ′(θ) cos θ.
Para determinar las tangentes al polo, resolvemos r = f(θ) = 0. Si θ = α es una solucion dela ecuacion f(θ) = 0, para la cual f ′(α) 6= 0 y cosα 6= 0, entonces la recta tangente tiene
pendiente m =f ′(α) senα
f ′(α) cos α= tanα y entonces θ = α serıa una tangente al polo.
Un caso especial es cuando tenemos α = π/2, el eje Y, como tangente (vertical) al polo. Otrocaso especial es cuando f ′ no esta definida en α pero m si se puede calcular usando un lımiteunilateral para la derivada, como en el ejercicio que sigue.
h) Calcular el area de la region R limitada por la curva (x2 + y2)2 = 4(x2 − y2). R/ 4.
Ayuda: usando coordenadas polares se obtiene r = 2√
cos 2θ con θ ∈ ]−π/4, π/4 [∪ ] 3π/4, 5π/4 [.Ver el ejemplo 13 (pagina 20) del material complementario.
10. Efectuando un cambio de variable a coordenadas polares, calcular
a)∫ 2
0
∫ √4−y2
0
√x2 + y2 dy dx
b)∫ 2
0
∫ x
0
dx dy√x2 + y2
c)∫ a
0
∫ √a2−x2
0
√x2 + y2 dy dx, a es constante positiva.
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d)∫ 2a
0
∫ √2ax−x2
0(x2 + y2) dy dx, a es constante positiva.
11. Calcular∫∫∫
Sx2dV donde S es el recinto limitado por los planos coordenados y la esfera de radio
a y centro en el origen, en el primer octante. R/2a5π
15.
12. Verifique que el volumen de un cilindro recto de radio R y altura h, es πR2h.
X
Y
Z
R
h
Plano z = h
X
Y
Z
1
1
1
2
13. Verifique que el volumen una esfera de radio R es43πR3.
X
Y
Z
R
R
14. Verifique, usando coordenadas cilındricas, que el volumen de un cono de altura H y radio R es13HπR2.
X
YYYY
Z
R
H
Ayuda: El cono esta limitado arriba por el plano z = H y abajo por la superficiez2
H2=
y2
R2+
y2
R2.
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15. Calcule el volumen del solido Q limitado por la esfera x2 + y2 + z2 = 4 y el cilindro x2 + (y − 1)2 =
1, z ≥ 0, como se especifica en la figura que sigue. R/ −83
(4/3− π).
XY
1
2
1
1
XY
Z
1
Y
X
Z
Z
Ayuda:∫
cos3 x dx =3 sin(t)
4+
sin(3 t)12
.
16. Calcule el volumen del casquete, de altura h, de una esfera de radio R, tal y como se especifica en lafigura que sigue. R/
π
3h2(3R− h).
XY
Z
YYR
h
X
Y
Z
h
R
z = R - h
√2hR - h2
17. Verifique, que el volumen de un cono de altura H y radio R es13HπR2.
X
YYYY
Z
R
H
Ayuda: El cono esta limitado arriba por el plano z = H y abajo por la superficiez2
H2=
y2
R2+
y2
R2.
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Observe que∫
sec2 ϕ tanϕdϕ =∫
secϕ(secϕ tanϕ) dϕ =sec2 ϕ
2+ K, pues (secx)′ = sec x tanx.
Ademas usar la identidad cos(arctan(x)) =1√
x2 + 1.
18. Considere el solidoQ limitado por el casquete de esfera y2 + x2 + z2 = 1 y el plano z = 1/√
2
XXX YY
Z
Verifique que∫ ∫ ∫
Q16z dV = π
a.) Usando coordenadas cilındricas.
b.) (*) Usando coordenadas esfericas.
19. Considere el solido Q limitado por la esfera x2 + y2 + z2 = 1 y el cono z2 = x2 + y2. con z ≥ 0.
X
Y
Z
a.) Verificar que∫∫∫
Q4z dV =
π
2, usando coordenadas cilındricas.
b.) (*)Verificar que∫∫∫
Q4z dV =
π
2, usando coordenadas esfericas.
20. Calcule el volumen de los siguientes solidos.
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a) Calcule, usando coordenadas cilındricas, el volumen del solido Q0 limitado por la porcion deparaboloide z = 4 − x2 − y2, la porcion de esfera x2 + y2 + z2 = 16 y el plano x = y; en elprimer octante.
X
Z
2
4
4
R1
R2X
Z
2
4
y=x
b) Solido Q1 limitado por las superficies y + x = 1, z = 1− x2 y x = y = z = 0.
XY
Z
11
1
c) Solido Q2 limitado por las superficies y + x = 6, z = 4− x2/4 y x = y = z = 0.
X
Y
Z
4
6
4
d) SolidoQ3 limitado por las superficies z + y = 4, y = 4− x2 yx = y = z = 0.
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X
Y
Z
2
4
4
e) Solido Q4 limitado por las superficies z + y = 6, y = 4− x2 y x = y = z = 0.
X
Y
Z
2
6
6
f ) SolidoQ5 limitado por las superficies z = 3, y2 + x2 = 4 y z = 0.
X
Y
Z
22
3
g) SolidoQ6 limitado por las superficies z + y = 3, y2 + x2 = 4 y z = 0.
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X
Y
Z
2
2
3
3
h) SolidoQ7 limitado por el casquete de esfera y2 + x2 + z2 = 1 y el plano z = 1/√
2
XXX YY
Z
i) SolidoQ8 limitado por el casquete de esfera y2+x2+z2 = 1 y el cilindro x2+y2 = 1/2, con z ≥ 0.
X
Y
Z
j ) SolidoQ9 limitado por el casquete de esfera y2 + x2 + z2 = 1 y el cono z2 = x2 + y2 con z ≥ 0
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X
Y
Z
k) SolidoQ10 limitado por el paraboloide z = y2 + x2 y los planos z = 1 y z = 4; en el primeroctante.
X
Y
Z
11
1
4
l) SolidoQ11 limitado por el paraboloide z = y2 + x2 y los planos x = y, z = 1 y z = 4; en elprimer octante.
X
Y
Z
1
1
1
4
m) SolidoQ12 limitado por el paraboloide y = 4 − x2 − z2 y los planos x = 0, y = 0, z = 0 conx ≥ 0, y ≥ 0 y z ≥ 0.
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X
Y
Z
2
2
4
n) SolidoQ13 limitado por las superficies z = y + 1, y2 + x2 = 1 y z = 0.
X
Y
Z
1
1-1
n) SolidoQ14 limitado por las superficies y = x2 + 1, y + z = 5 y z = 0.
X
Y
Z
11 5
1
2
o) SolidoQ15 limitado por las superficies z = 4− x2 − y2, z = 3 yx = 0, y = 0 con x ≥ 0, y ≥ 0.
XXXX
Y
Z
2
4
3
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p) SolidoQ16 limitado por las superficies z = 10− x2 − y2 y z = 2 + x2 + y2
XY
Z
2
10
q) SolidoQ17 limitado por las superficies z = 4− x2, x + 2y = 4, z = 4 y z = y = 0
2222222
X
Y
Z
4
4
r) SolidoQ18 limitado por las superficies x2 + z2 = 4, y + x = 2, z = 4, y y = 0, x = 0.
X
Y
Z
22
4
s) SolidoQ19 limitado por las superficies z = 4− x2, 2y + z = 8, y = x, x = 0, z = 0 y x ≥ 0.
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X
Y
Z
4
4
t) SolidoQ20 limitado por las superficies z = 4 − x2/4, y = 6 − x, y = x, y y = 4; en el primeroctante.
XY
Z
44
Bibliografıa
[1] Louis Brand. Advanced Calculus. An Introduction to Classical Analysis. Wiley & Sons, Inc. 1995.
[2] Claudio Pita R. Calculo Vectorial. Prentice-Hall. 1995.
[3] Sherman Stein. Calculo con Geometrıa Analıtica. McGraw-Hill. 1984.
[4] Tom Apostol. Calculus. Wiley. 1967
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16
