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practica
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PRACTICA DIRIGIDA DE MATEMATICA BASICA I Nº 01
1. El Vector es el vector localizado del segmento cuyo punto medio es C = (3,1)
Hallar las coordenadas de los extremos .
SOLUCION:
Según el vector localizado del segmento , se tiene en la figura lo siguiente:
……………………. 1
…………………….. 2
Según proporcionalidad del punto medio de un segmento en la figura se tiene:
……………………….. 3
…….…………………. 4
Resolviendo 1 y 3
En 3
Resolviendo 2 y 4
Y
V1
A
B
1
Y2
X1 3 X2
X1X2 -
Y1Y2 -
Y
X0
C
Y
V3
A
B
1
Y2
X1 5/3 X2
X1X2 -
Y1Y2 -
Y
X0
C
Y )11/3(Y2 -
Y )12/3(Y2 -
X )11/3(X2 -X )12/3(X2 -
En 4
Por lo tanto las coordenadas de A y B son:
2. es el vector localizado del segmento y C = (5/3,3) el punto de Trisección
mas cercano de B de dicho segmento. Hallar las coordenadas de A y B.
Según el vector localizado del segmento , se tiene en la figura lo siguiente:
……………………. 1
………………….. 2
Por proporcionalidad en la figura se tiene:
………………….. 3
…….……………. 4
Resolviendo 1 y 3
En 3
Resolviendo 2 y 4
En 4
Por lo tanto las coordenadas de A y B son:
3. Sea el vector , cuya componente Horizontal es X3 y componente vertical es 6-X.
Hallar si = (9XY-Y3,Y) y .
Solución:
Según el grafico se tiene el vector donde se ha
considerado el punto “O” como el origen de coordenadas.
Además .
Como “O” es origen entonces se tiene que:
Como , entonces igualamos componentes:
a
Y
X
P
O X
6-X
3
…………………. 1
………………….. 2
Se sabe que: ) ………………….. 3
Remplazando 1 y 2 en 3:
Aquí volvemos a remplazar la ecuación 2 donde
para
para
4.-Hallar un vector cuya magnitud es igual a la del vector y cuyo ángulo es la
misma que del vector .
Solución:
Hallando el modulo de ;
Como Hallando el ángulo de ; Las componentes rectangulares del vector son:
5. a) cuya norma es 6 y . Hallar dicho vector.
b) Hallar un vector unitario en la dirección del vector de norma 17, que tiene su punto
inicial en (3,-12) y punto terminal tiene ordenada 3.Solución:
a) Hallando las componentes del vector ;
b) Sean los puntos
El vector unitario del es :
6. El segmento de una recta limitada por los puntos A = (-1,8,3), B=(9,-7,-2) esta dividido en 5 partes iguales por los puntos C,D,E,F. Hallar las coordenadas de dichos puntos.
Solución:
De la figura se tiene lo siguiente:
Sea el vector que divide en 5
partes iguales (condición del problema).
Z
Y
A
O
C
D
E
F
B
K
uK(-1,8,3)
(9,-7,-2)
K
K
K
K
K
X
Las coordenadas C, D, E y F son:
7. En un paralelogramo ABCD se designa expresar en términos de los
vectores donde M es punto de intersección de las diagonales.
Solución:
De la figura:
8. Demostrar que los puntos A = (6,3,4), B = (2,1,-2) Y C=(4,-1,10)son vértices de un triángulo isósceles.
Solución:
Para que A, B y C sean los vértices de un triangulo isósceles se debe verificar que dos de sus lados tengan longitudes iguales y formen ángulos iguales con el tercer lado.
A
B C
D
a
b
M
b
a
B
A
C
O
O
De los módulos encontrados se puede verificar que los lados AB y AC del triangulo ABC son iguales. Por lo que se trataría de un triangulo isósceles.Además en un triangulo isósceles los ángulos de los lados iguales también son iguales. De la figura:
Por lo tanto se pudo verificar que se trata de los ángulos iguales de un triangulo isósceles.
9. En el tetraedro OPQR que se muestra en la figura sea sea M el
punto medio de . Hallar en función de .
Solución:De la figura:
; ;
O
R
Q
P
c
b
a
M
10. En la figura se tiene un paralelepípedo de . Hallar
donde y .
Solución:
De la figura se tiene:
a
c be
d
A A'
C
DB
O
E
X
Z
Y
11. La figura es un cubo si A = (6,-2,4), C = (8,-2,-10) F = (-6,4,2), H=(8,4,4) hallar las demás coordenadas.
Solución:
De la figura hallaremos los puntos medios de los segmentos AC y FH respectivamente:
De la figura obtenemos el vector :
Hallamos las coordenadas de B,D,E y G de la siguiente manera:
B C
G
HE
F
DA
I
J
aa
a-a
-a
12. a) Si . Hallar .
b) Si . Calcular .
c) Dado . Hallar .
Solución:
a)
………………………………………. 1
Como obtenemos la siguiente figura.
En la figura aplicamos la ley de cosenos para hallar el modulo de un vector resultante.
………………………………………. 2
Remplazando 2 en 1 se tiene:
Y
XO
C
B
A
C B
O
b) como obtenemos la siguiente figura:
En la figura aplicamos la ley de cosenos para hallar el modulo de un vector resultante.
De la figura hallamos las coordenadas de los vértices del paralelogramo.
Y
XO
C
B
A
C B
O
c) Utilizando la ley de cosenos para obtener el modulo de la suma y diferencia de vectores se tiene:
13. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercero e igual a la mitad de su longitud.
Solución:
Para demostrar que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercero e igual a la mitad de su longitud. Se tiene la siguiente figura.
……………………………… 1
Por ser M y N puntos medios de AB y BC respectivamente se tiene lo siguiente.
Remplazando en la ecuación 1 se tiene.
14.-Dado un paralelogramo ABCD Es verdad
.
Solución:
A
B C
D
A
B
C
M N
…………. 1
Como se tiene:
………….. 2
SMAM las ecuaciones 1 y 2 se tiene:
¡Si es cierta esta expresión!
15.-Probar .
Para probar que . Utilizaremos la ley de
cosenos de la suma y diferencia de dos vectores, en la cual se tiene como expresión
común el . Por lo tanto aplicamos el rango de valores para la función coseno
de un ángulo.
Haciendo diversas operaciones a los miembros de la inecuación tenemos
16.-Probar que: son ortogonales si y solo si .
Si los vectores son ortogonales entonces
=
=
=
Por la ley de cosenos se tiene:
17-Tres vectores están orientados como en la figura donde .
Encuentre , y escribir en coordenadas polares.
Solución:
Obteniendo el ángulo del vector .
A
B
C
Y
X45º
45º
Expresando el vector en coordenadas polares se tiene: