1.  P 

D

 2.  P 

D

 3.  R

D

 4.   P

abcd PPPP

 5.  D

 ab

c D

P

EL

Posicionar l

DATOS: 

Posicionar l

DATOS: 

Representa 

DATOS: 

Para cada ua. Plano oblb. Plano obc. Plano obld. Plano ho

Plano oblicuPlano oblicuPlano horizoPlano vertic

Dada la rect

a) Situar enb) Por dicho

Q(?)[110c) Represen

DATOS: 

Depar

PRÁCTICA

LEMENTOS 

las siguiente

r: A (2’3s: C (3’7t: E (1’6

los siguiente

tα : G[13pβ : M (7

r los siguien

pα: A(6) tβ: C(50,

uno de los clicuo α ‐ Plalicuo α ‐ Plalicuo α ‐ Plarizonlal γ ‐ P

uo α    puo β    pontal γ  Ecal φ    t

ta r, se pide

 la recta r eo punto tra0,30º], siendntar el plano

r: A(7) [9

rtamento de Ing

S DEL SIST

NOTABLES,

es rectas y d

3) [65, 30º]; 7) [115,30º];) [100,0º];  

es planos y 

30, 60º]; H[17.8) [113,45

ntes planos

[100,45º]; ,60º); D[75,

asos siguienano oblicuoano horizonano vertical Plano vertic

pα: A(2.1)[3pβ: C(2) [60,E(6.5) [50,4tφ: F[40,20];

e:  

el punto P(4zar una recdo P de meno β definido

97,60º]; B(2

geniería Gráfic

TEMA DE 

, PERTENEN

decir si se c

 B (3’4) [80;  D(‐2) [50,F(5’2) [43,6

determinar

182, 45º]  á5º]; N (‐2.2) 

s y determin

B(‐3)[180,2,45º] 

ntes, repres β ntal γ φ cal φ  

0,30]; B (5),30] D(8) [60] ; G[60,50]

4.8).  cta s con 10nor cota quo por ambas

2.8)[75,30º]

 ca, Diseño y Pro

PLANOS A

NCIAS E INT

cortan o se c

0,45º] 90º] 60º] 

r su interse

ngulo con P[173, 15º]

nar su inters

25º] 

sentar Ia int

[50,10] 0,80] 

0/15 de penue Q.  s rectas. 

] 

oyectos 

ACOTADO

TERSECCION

cruzan: 

cción. 

P.R. = 60º 

sección. 

tersección d

ndiente, que

OS 

NES 

de: 

e pase por el punto 

6.  Dado el plano oblicuo α definido por su línea de máxima pendiente pα, determinar:  

a) Situar una recta s de pendiente 13/10.  b) Representar el plano β con una pendiente del 40% cuya traza tβ está definida por 

los puntos C y D. c) Hallar la intersección de los planos α y β. d) Hallar la intersección de la recta m con ambos planos y dar la cota y coordenadas 

de cada punto. 

 DATOS:  pα: P(4.2) [75,60º];Q(‐2.3)[58,30º] 

tβ C(0)[140,45º]; D(0)[145,30º] m: M(7)[107,30º]; N(0.5)[167,45º] 

 7.   Dado el plano α, representar Ia(s) recta(s), que cumplan estas tres condiciones:  

a) estén contenidas en dicho plano b) pasen por el punto P(?) [70,40] del plano α c) tengan pendiente 1/3  DATOS:  pα : A (2’7) [30,30]; B (5) [50,70] 

 8.   Dada  la recta  r definida por  los siguientes datos,  representar el(los) plano(s) que  la 

contengan y cuya pendiente sea de 60º.  

a) A(4) [35,35]; B (?)[70,80] b) su pendiente es de 45°. c) sus cotas crecen hacia arriba y derecha. 

 9.  Hallar  la  intersección del triángulo ABC con el plano α, definido por el punto D y  la 

recta EF.  

DATOS:  A(9.3)[100,750];  B(6.6)[140,450];  C(3.3)[70,300]; D(9.6)[75,150];   E(1.5)[50,750]; F(1.8)[130,600] 

 10.  Dado el plano oblicuo α y un punto P contenido en él:  

a) Representar el conjunto de rectas contenidas en el plano y que pasen por el punto P y cuya pendiente sea de 30º. 

b) ¿Qué cota tiene el punto P? c) ¿Qué pendiente tiene el plano dado? 

 DATOS:  pα: A(3.2) [79.5,60º]; B(1.1)[74,45º] 

P(?)[116.5,56.5º]     

11.  Dada la recta oblicua r:   

a) Representar el conjunto de planos que la contengan y cuya pendiente sea de 60º. b) ¿Qué pendiente tiene la recta dada?  DATOS:  r: A(1.8) [86,45º]; B(4.3)[94,30º] 

  12.  Dado el plano oblicuo α y tres puntos A, B y C de dicho plano abatidos sobre el P.H., 

determinar:  

a) La pendiente del plano dado. b) Las proyecciones y cotas de dichos puntos. 

 DATOS:  pα: P(0) [52,54º]; Q(4.5)[106,51º] 

A[80,40º]; B[102,35º]; C[98,26º]    13.  Dado el plano vertical  α y el triángulo A, B y C de dicho plano abatido sobre el P.H., 

determinar:  

a) La pendiente del plano dado. b) Las proyecciones y cotas de dichos puntos. 

 DATOS:  tα P[87,60º]   Q[99,28º]  

A[64,57º]; B[81,39º]; C[54,20º]  14.  Representar  en cada caso el plano en función de los datos conocidos:  

CASO 1: (Plano α) Dos puntos de la línea de máxima pendiente. DATOS:  pα: A(2)[40,30º]; B(5)[56,60º]  CASO 2: (Plano β) dos puntos de la traza y el ángulo con el plano de proyección. DATOS:  tβ: A(0)[35,45º]; B(0)[65,30º]  Angulo con P.R.=30º.  CASO 3: (Plano χ) tres puntos/dos rectas que se cortan/dos rectas paralelas. DATOS:  r: A(2)[30,60º]; B(5)[55,45º]} 

s: C(8)[65,30º]; B(5)[55,45º]}  CASO 4: (Plano ϕ) Dos puntos de la traza y un punto del plano.  DATOS:  tϕ: A(0)[35,45º]; B(0)[65,30º]   C(4)[70,45º] 

 15.  Dada la recta r, representar un punto P que pertenezca a ella con cota 4.7. 

 DATOS:  r: A(2.3)[52,45º]; B(6.2)[85,30º] 

 16.  Dado el plano α , representar dos puntos P y Q, que pertenezcan a dicho plano.  

DATOS:  pα: A(2.5)[35,30º]; B(4.7)[55,60º] 

17.  Dado el plano α, representar las rectas que pertenezcan a dicho plano, que pasen por el punto P del plano y cuyo intervalo sea 1.5. ¿Cuál es la cota del punto P?.  DATOS:  tα: A(0)[20,30º]; B(0)[55,30º]  Angulo con P.R.=45º. 

P(?)[42,45º]  18.  Representar  en cada caso la recta intersección i de los planos αy β.  

DATOS:  CASO 1:  tα: A(0)[130,60º]; B(0)[182,45º] ángulo P.R.=60º. pβ: C(7.8)[113,45º]; D(‐2.2)[173,15º] 

 CASO 2:   pα: A(6)[100,45º]; B(‐3)[180,25º] 

tβ: C(0)[50,60º]; D(0)[75,45º] ángulo P.R.=90º.  19.  Representar el punto intersección I de la recta r con el plano α.  

DATOS:  pα: A(1.8)[40,30º]; B(3.6)[60,45º] r: C(2)[10,30º]; D(4.2)[35,60º] 

 20.  Dos gotas de agua caen sobre  los planos α y β, en  los punto A y B de dichos planos 

respectivamente. Determinar el punto donde los recorridos de las dos gotas se unen.  

DATOS:  tα: M[50,25º]; N[120,30º]    A(14)[105,60º] pβ: C(1)[75,45º]; D(14)[130,60º]    B(?)[120,45º] 

  21.  La recta AB representa el eje de un canal del que se debe realizar una captación para 

abastecimiento  de  la  población  C.  Calcular  el  punto  donde  se  debe  realizar  la acometida si se sabe que para obtener la presión necesaria, la cota del mismo, debe estar 30 m. por encima de la cota de población. 

 

  

 22.  La recta r representa el eje de una acequia que pasa por A(20 y desciende con una 

pendiente del 2%. En el punto B situado a 30 m del punto A, existe una toma para el llenado  de  una  piscina  C(10)  situada  a  50  m  de  B.  Calcular  la  pendiente  de  la conducción BC. 

 

   23.  Hallar  la traza horizontal y  las  líneas de nivel de cota entera del plano que forma el 

terraplén de una carretera sabiendo que el borde exterior de la calzada es la recta AB y  el  punto  C  pertenece  a  la  intersección  del  terraplén  en  el  terreno  natural  que suponemos plano horizontal. 

 

   24.  Dibujar la traza horizontal y las líneas de nivel de cota entera del plano que forma el 

desmonte de un camino sabiendo que el borde exterior de la calzada es la recta AB y su pendiente 1/2. Sobre el plano de la figura  dibujar una conducción que partiendo de A tenga una pendiente del 4%. 

 

   25.  Dados los puntos A, B, C y la recta r, definida por D y E. Se pide:  

a) Determinar el plano definido por A, B y C. ¿Cual es la pendiente de su l.m.p.? b) Obtener  la  intersección  de  dicho  plano  con  la  recta  R.  ¿Qué  cota  tiene  dicha 

intersección?  

     

PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y ÁNGULOS  1.  Definido el plano oblicuo λ por su traza tλ y el punto N, trazar y hallar:  

 a) La recta n perpendicular al plano que pasa por el punto P de dicho plano.  b) La recta m con pendiente de 10/15, paralela al plano λ y que contiene al punto Q.  c) Hallar la distancia entre m y λ.  DATOS:  tλ A[90,60º]; B[50,30º]; N(8.2)[115,30º] 

P(?)[100,45º] Q(5.6)[130,45º] 

 2.  Las  rectas  AB  y  CD  representan  sendas  conducciones  de  agua,  que  es  necesario 

conectar por medio de otra conducción de longitud mínima. Calcular el precio de esta conexión sabiendo que el metro lineal (m.l) vale 3250 ptas. 

 

  3.  Un tejado está formado por dos planos α y β.  

a) Colocar un mástil recto s en el punto F de cota 13 de la recta intersección entre α y β, de forma que dicho mástil quede perpendicular al plano β. 

b) Colocar otro mástil  t en el punto G del plano β de  forma que quede paralelo al plano α, su pendiente sea de 45º y sus cotas crezcan hacia el NO (Noroeste) según el sistema de coordenadas considerado. 

c) Hallar geométricamente la longitud de un cable que vaya desde el punto de cota 10 del mástil s al punto de cota 16’4 del mástil t. 

 DATOS:  pα: A(1.5) [14,70º]; B(6.3)[9,130º] 

Plano ß: C(4.2)[45,195º]; D(0.5)[104,60º]; E(4.5)[86,157º] G(?) [143,110º]    

 4.  Se pide:  

a) Representar el plano oblicuo α definido por dos puntos A y B de su traza tα y un punto C contenido en el plano. 

b) Representar el plano β definido por dos rectas paralelas r y s. c)  Determinar  el  ángulo  que  forman  los  planos    α  y  β.  Explicar  el  proceso  de 

resolución.  

DATOS:  tα: A(0)[65.5,77.5º]; B(0)[52.5,17º]; C(‐2.3)[45.5,70º] r: D(‐0.5)[129.5,29.5º]; E(3.5)[149.5,21.5º] s: F(8)[143.5,13.5º] 

 5.  Trazar por el punto P contenido en el plano α una recta t perpendicular. Encontrar el 

punto I de cota 10 de dicha recta t. Obtener el triángulo ABP en verdadera magnitud mediante el abatimiento del punto P. 

 DATOS:  t α : A [170,60º];  B [170,30º]  ángulo con P.R. 25º; P(?) [230,45º] 

       6.  Un tejado está formado por dos planos α y β. Se coloca un mástil recto s en el punto 

F de cota 3 de  la  recta  intersección entre α y β, de  forma que dicho mástil quede perpendicular  al plano β. Por otro  lado,  se  coloca otro mástil  t  en  el punto G del plano β de forma que quede paralelo al plano α. Hallar geométricamente la longitud de un cable que vaya desde el punto de cota 7 del mástil s al punto de cota 4 del mástil t. 

 DATOS:  pα  : A (1’5) [14, 70]; B (6’3) [9, 130] 

β :  C(4’2)[45, 195];  D(0’5)[104, 160];  E(4’5)[86, 157] G(?) [143, 110] 

 7.  Una zona de un tejado está formada por dos planos α y β. En el punto A del plano α 

se coloca un mástil recto r perpendicular a dicho plano. En el punto B del plano β se coloca otro mástil  recto  s paralelo al mástil  r. Se  lanza un cable desde el punto de cota 9 del mastil r hasta el punto de cota 7 del mástil s. Hallar la longitud que deberá tener el cable. 

 DATOS:  tα :   M[50,60º] ; N[70,30º];  Ángulo con P.R. 30º   

      pβ:   F(1.2) [140,15º] ; G(5.4) [230,30º] A(?) [130,60º]; B(?) [180,30º] 

 8.  Dados los planos α y β, se pide:  

a) Hallar su intersección i.  b) Encontrar  el  punto  P  de  cota  4,2  de  la  recta  i  y  trazar  por  él  una  recta  r 

perpendicular al α y otra recta s perpendicular a β. c) Trazar un segmento que una el punto de cota 6 de r y el punto de cota 8 de s y 

hallar la verdadera magnitud de dicho segmento.   

DATOS:  tα :   A[100,30º] ; B[180,15º];  ángulo con P.R. 30º   pβ:   C(‐4,6) [110,75º]; D(4,8) [180,60º] 

     

9.  Se da un plano α definido por 3 puntos A, B y C. Desde un punto exterior al mismo P, se traza una perpendicular que encuentra al plano en el punto I. Se pide: 

 a) Verdadera magnitud del segmento PI. 

b)  Trazar  un  plano  ß  paralelo  al  plano  α  que  contenga  al  punto medio M  de  la perpendicular. 

 DATOS:   A(8) [150, 45º];   B(3) [90, 30º]; C(5) [80, 60º]; P(12) [150,60º] 

    

VERDADERAS MAGNITUDES y FORMAS  1.  Se precisa realizar una red o conexión de tuberías, cuyos ejes tendrán la posición que 

se indica a continuación:   

Eje  Dirección    Pendiente  Verdadera Magnitud en m.  

AB  E      ‐100 %     6 BC  S45ºE      30º      9.30  CD  S60ºO      ‐0'5      12.90 

 Se pide:  a) La verdadera magnitud del ángulo del acodamiento en C. b) Si se  reemplazaran  los  tubos por una  tubería  recta que uniera A con D, hallar  la 

dirección,  la  verdadera magnitud  y  la  verdadera  inclinación  en  grados  de  esta nueva tubería AD. 

 2.  En un terraplén existe una tubería r y un punto A. Se pide trazar una tubería t que 

pasando por el punto A tenga de pendiente Pt =1/2. Las tuberías t y r se cortan en un punto.  Se  pide  trazar  un  codo  (arco)  de  radio  25  mm  que  una  dichas  tuberías (tangente a  las  rectas  r y  t), determinando  los puntos de  tangencia y el ángulo del arco. 

 DATOS:  A(10) [150, 45º];   r : B(3) [100, 30º]; C(5) [90, 60º] 

 3.  A, B y C son tres puntos del eje de un conducto de agua instalado en la ladera de una 

montaña.    

B  está a 3’20 m al Este y 6’00 m al Sur de A y a 6’00 m por encima de A.  C está 10’15 m al Este y 5’00 m al Sur de A y 9’70 m por encima de A. 

 Con objeto de evitar una vuelta aguda en A, se va a  instalar en este punto un tubo acodado que quedaría tangente a AB y AC. El radio del tubo es de 1’30 m. 

 Hallar  la dirección de  la  línea que va desde A hasta el centro de curvatura del tubo acodado. 

 4.  Dado el plano oblicuo α y  los puntos O y A de dicho plano abatidos  sobre el P.H., 

situar en él un hexágono regular. (Dar las proyecciones y cotas de los seis vértices del hexágono). 

 DATOS:  tα P[49,57º]   Q[90,12º] Angulo con el P.R.=60º.  

Hexágono: Centro: O[100,45º]; Vértice: A[81,41.5º]   

  

5.  Sobre el plano de un tejado (α), se quiere instalar una placa solar de forma hexagonal regular, colocada en tal posición que uno de sus lados forma un ángulo de 45º con el borde de la cubierta. Representar dicha placa.   DATOS:  pα: A(6)[37,60º]; B(2.5)[54,30º] 

Centro de la placa O(?)[64,45º]; Radio hexágono = 25 mm.    

6.   Representar  las proyecciones de una pirámide recta de base hexagonal, apoyada en por base en un plano α definido por dos rectas r y s que se cortan. Determinar la cota y coordenadas del vértice de la pirámide. 

 DATOS:   EI hexágono tiene 30 mm de lado, altura 70 mm, y el centro de su base 

es el punto P.  

r: A(5.2)[120,150º] B(1.8)[150,105º] s: B(1.8)[150,105º] C(5.6)[210,165º) P(?)[60,120º] 

     

CUBIERTAS Y APLICACIONES TOPOGRÁFICAS  1.   Dado  el  contorno  exterior  de  un  edificio  y  teniendo  todos  los  vértices  igual  cota, 

resolver  la  cubierta  para  cada  caso,  considerando  que  todos  los  faldones  de  la cubierta tienen pendiente 2:1 (no existiendo medianerías con edificios contiguos). 

 ‐ Unidad de cota: m ‐ Escala 1:100  NOTA: Resolver el ejercicio a escala 2:1 a partir del dibujo de la figura  

  

     

2.   Dados  los  contornos de edificios  representados en  las  figuras y  teniendo  todos  los vértices igual cota, se pide: 

 a. Resolver  la  cubierta para  cada  caso,  considerando  que  todos  los  faldones  de  la cubierta  tienen pendiente 2:1  (para el  caso  (a) existe una medianería  con edificios contiguos). b. Para el caso (c), calcular el coste de los faldones exteriores, sabiendo que el precio del m2 de la cubierta es de 50 €.  ‐ Unidad de cota: m ‐ Escala 1:100  NOTA: Para el caso (b) el contorno curvo pertenece a una vertiente curva cónica de pendiente 2:1. NOTA: Resolver el ejercicio a escala 2:1 a partir del dibujo de la figura. 

 

 

 

  

3.   Dado  el  contorno  exterior  de  un  edificio  y  teniendo  todos  los  vértices  igual  cota, resolver  la  cubierta  para  cada  caso,  considerando  que  todos  los  faldones  de  la cubierta tienen pendiente 2:1 (no existiendo medianerías con edificios contiguos). 

 a. En el caso "a" se considera sólo el contorno exterior del edificio. b.  En  el  caso  "b"  se  completa  la  cubierta  del  "caso  a",  con  parte  de  una  bóveda formada por una semiesfera cuya circunferencia base, a cota 0, es la que se indica en la figura.  ‐ Unidad de cota: m ‐ Escala 1:100 

 NOTA: Resolver el ejercicio a escala 2:1 a partir del dibujo de la figura  

 

 

4.   Dado  el  contorno  de  un  edificio  con  patio  interior,  teniendo  los  vértices  las  cotas relativas  indicadas, resolver  la cubierta para cada caso, considerando que  todos  los faldones de la cubierta tienen pendiente 2:1 (no existiendo medianerías con edificios contiguos), considerando que:  

 a. la pendiente de los faldones exteriores es 2:1. b. La pendiente de los faldones interiores es1:1. ‐ Unidad de cota: m ‐ Escala 1:100 NOTA: Resolver el ejercicio a escala 2:1 a partir del dibujo de la figura   

     

5.   Resolver la siguiente cubierta.  

DATOS:  I ab = I cd = I ef = I gh = 1 cm         I bc = I de = I fg = I ha = 0'5 cm  

 

6.   Se adjunta la planta de un edificio, del que se pide dibujar la cubierta, sabiendo que los  ángulos  que  forman  los  distintos  planos  con  el  plano  horizontal  son  los  que figuran en el perímetro. Calcular el punto de máxima cota. Sabiendo que el precio del m2 de tejado es de 9 €, calcular su presupuesto. 

 

     

7.   Resolver la cubierta de la figura conociendo el polígono de su base y sabiendo que la pendiente de los faldones exteriores es 1:1 y la de los interiores es 2:1. 

     

8.   Dado el terreno de la figura, representado por sus curvas de nivel. Se pide:     a) Obtener la intersección del terreno con el plano definido por su l.m.p. AB.    b) Obtener el perfil del terreno según el trayecto T.  

                      

9.   Realizar una explanación a cota 50 del terreno siguiendo el cuadrado ABCD.   

DATOS:   Pendiente desmonte =  1 m  Escala: 1: 200 Pendiente terraplén   =  2 m