of 114 /114
Sadržaj 1. Uvod u Excel .............................................................................................................................. 1 1.1. Startovanje Excela............................................................................................................... 2 1.2. Radno okruženje ................................................................................................................. 2 1.3. Radni papir i ćelija.............................................................................................................. 2 1.4. Upisivanje i kretanje po ćelijama ..................................................................................... 4 1.5. Formatiranje ćelija .............................................................................................................. 5 1.6. Formatiranje decimalnih brojeva ..................................................................................... 5 1.7 Menjanje boje pozadine i teksta ćelije.............................................................................. 6 1.8 Podešavanje širine i visine ćelija. Ubacivanje i izbacivanje redova i kolona .............. 6 1.9 Spajanje ćelija ....................................................................................................................... 7 1.10 Uokvirivanje ćelija ............................................................................................................. 7 1.11 Premeštanje i kopiranje ćelija .......................................................................................... 8 1.12 Snimanje i zatvaranje dokumenta ................................................................................... 9 1.13 Otvaranje novog i postojećeg dokumenta ..................................................................... 9 1.14 Rad sa formulama ............................................................................................................. 9 1.15 Grafikoni ........................................................................................................................... 25 2. Funkcije raspodele u Excelu .................................................................................................. 28 2.1. Binomna raspodela........................................................................................................... 29 2.2. Poasonova raspodela ....................................................................................................... 34 3. Empirijska raspodela u Excelu .............................................................................................. 47 3.1. Osnovni pojmovi ......................................................................................................... 48 3.2 Empirijska raspodela .................................................................................................. 50 4. Intervalne ocene parametara ................................................................................................. 60 4.1 Ocena srednje vrednosti normalne raspodele sa poznatom disperzijom .............. 61 4.2 Ocena srednje vrednosti normalne raspodele nepoznate disperzije ........................ 66 5. Analiza korelacije .................................................................................................................... 72 5.1 Uzorački koeficijent korelacije ......................................................................................... 75 5.2 Regresione prave ............................................................................................................... 78 5.3 Provera značajnosti korelacije ......................................................................................... 81 5.4 Interpretacija koeficijenata korelacije ............................................................................. 83 6. Regresiona analiza................................................................................................................... 85 6.1 Metod najmanjih kvadrata ............................................................................................... 88 6.2 Srednje kvadratno odstupanje empirijske formule ...................................................... 90 6.3 Koeficijent determinacije .................................................................................................. 90 6.4 Određivanje pravolinijske zavisnosti ............................................................................. 91 6.5 Intervali poverenja odsečka i nagiba .............................................................................. 99 6.6 Testiranje hipoteza u vezi sa odsečkom i nagibom ................................................... 102 6.7 Linearizovane dvoparametarske empirijske formule ............................................... 103 Literatura .................................................................................................................................... 113

Praktikum EXEL

Embed Size (px)

Text of Praktikum EXEL

  • Sadraj 1. Uvod u Excel ..............................................................................................................................1

    1.1. Startovanje Excela...............................................................................................................2 1.2. Radno okruenje.................................................................................................................2 1.3. Radni papir i elija..............................................................................................................2 1.4. Upisivanje i kretanje po elijama .....................................................................................4 1.5. Formatiranje elija ..............................................................................................................5 1.6. Formatiranje decimalnih brojeva .....................................................................................5 1.7 Menjanje boje pozadine i teksta elije..............................................................................6 1.8 Podeavanje irine i visine elija. Ubacivanje i izbacivanje redova i kolona ..............6 1.9 Spajanje elija .......................................................................................................................7 1.10 Uokvirivanje elija.............................................................................................................7 1.11 Premetanje i kopiranje elija ..........................................................................................8 1.12 Snimanje i zatvaranje dokumenta...................................................................................9 1.13 Otvaranje novog i postojeeg dokumenta .....................................................................9 1.14 Rad sa formulama .............................................................................................................9 1.15 Grafikoni ...........................................................................................................................25

    2. Funkcije raspodele u Excelu ..................................................................................................28 2.1. Binomna raspodela...........................................................................................................29 2.2. Poasonova raspodela .......................................................................................................34

    3. Empirijska raspodela u Excelu ..............................................................................................47 3.1. Osnovni pojmovi .........................................................................................................48 3.2 Empirijska raspodela ..................................................................................................50

    4. Intervalne ocene parametara .................................................................................................60 4.1 Ocena srednje vrednosti normalne raspodele sa poznatom disperzijom ..............61 4.2 Ocena srednje vrednosti normalne raspodele nepoznate disperzije ........................66

    5. Analiza korelacije ....................................................................................................................72 5.1 Uzoraki koeficijent korelacije.........................................................................................75 5.2 Regresione prave ...............................................................................................................78 5.3 Provera znaajnosti korelacije .........................................................................................81 5.4 Interpretacija koeficijenata korelacije .............................................................................83

    6. Regresiona analiza...................................................................................................................85 6.1 Metod najmanjih kvadrata ...............................................................................................88 6.2 Srednje kvadratno odstupanje empirijske formule ......................................................90 6.3 Koeficijent determinacije ..................................................................................................90 6.4 Odreivanje pravolinijske zavisnosti .............................................................................91 6.5 Intervali poverenja odseka i nagiba ..............................................................................99 6.6 Testiranje hipoteza u vezi sa odsekom i nagibom ...................................................102 6.7 Linearizovane dvoparametarske empirijske formule ...............................................103

    Literatura ....................................................................................................................................113

  • 1

    1. Uvod u Excel

  • 2

    1.1. Startovanje Excela Microsoft Excel je program za tabelarna proraunavanja. Osnovna osobina vrenja takvih prorauna na raunaru je da se izmenama odreenih podataka menjaju i vrednosti koje su zasnovane na njima. Startovanje Excel-a se vri preko ikone na desktopu. Dupli klik miem na ikonu Microsoft Excel i program je pokrenut. Ukoliko ikone programa nema na desktopu tada je Excel potrebno pokrenuti prko Start menija, menija Programs, a zatim kliknuti na Microsoft Excel.

    1.2. Radno okruenje Radno okruenje Excel-a ine : Naslovna linija (Title Bar) se nalazi na samom vrhu ekrana i tu se nalazi ispisano ime dokumenta s kojim se trenutno radi i ime programa. Traka sa menijima (Menu Bar) se nalazi odmah ipod naslovne linije i u njoj se nalaze meniji u kojima su grupisani razni alati. Paleta standard (Standard Toolbar) ili paleta sa standardnim alatkama se nalazi ispod trake sa menijima i sadri najee koritene alate iz menija (novi dokument, otvaranje, snimanje dokumenta, tampanje dokumenta i slino). Paleta Format (Formatting Toolbar) ili paleta za formatiranje sadri alate koji se koriste za formatiranje teksta, odreivanje vrste, veliine i boje slova, poravnavanja teksta ... Traka za formulu (Formula Bar) je traka gde se unosi formula za eliju sa kojom radimo. Statusna linija (Status Bar) opisuje u svom levom uglu stanje u kom se nalazi program-Ready (spreman za rad), Enter (unos u eliju), itd. Pord toga u statusnoj liniji moemo videti da li je ukljueno prekucavane, kucanje velikih slova itd. Klizai omoguavaju pomeranje papira kako bi se videle sve elije.

    1.3. Radni papir i elija Radni papir (eng. Worksheet) i elija (eng. Cell) su osnovni elementi rada u Excelu. Svaki dokument sa kojim se radiu Excelu naziva se naziva se sveska ili knjiga (eng. Book). Da bi se odvoile znaajne celine u okviru jendog dokumenta koriste se radni papiri, koji ine knjigu. Dakle, jedan radni papir moe da se koristi za proraun, jedan za grafike itd.

  • 3

    Slika 1.1.

    Sam radni papir sastavljen je od elija. Svaka elija moe sadrati tekst ili brojeve, i za svaku od njih moe se definisati tip (tekst, broj, valuta, procenti, datum). elije se u Excel-u mogu povezivati tako da jedna zavise od druge i na taj nain formirati formule po kojima se raunaju vrednosti. Ubacivanje novog radnog papira- vri se preko padajueg menija Insert, opcije Worksheet. Ili, ako se pritisne desni taster mia na bilo koju od kartica postojeih radnih papira, koje se nalaze iznad statusne linije. Otvara se novi meni u kome se odabira opcija Insert, u novootvorenom prozoru dovoljno je kliknuti OK. Uklanjanje radnog papira vri se pritiskom desnog tastera mia na karticu radnog papira koji treba obrisati, i u novootvorenom meniju bira se opcija Delete. Otvara se novi prozor u kome se sa OK potvruje brisanje, dok se sa Cancel prekida.

  • 4

    Menjanje imena radnog papira koristi se isti meni kao i prethodne dve operacije. Pritisne se desni taster mia na karticu radnog papira ije se ime menja, a zatim u novootvorenom meniju klikne na Rename. Nakon tog upisuje se novo ime i pritisne taster Enter. Premetanje i kopiranje radnog papira- ponekad je potrebno promeniti redosled radnih papira. Za to se koristi opcija Move or Copy. Otvara se prozor kao sa slike. Otvara se prozor kao sa slike. Polje To Book govori u koju knjigu (dokument) se premeta radni papir. Polje Before Sheet ukazuje na to pre kog radnog papira elimo da postavimo odabrani radni papir. Opcije move to end papir alje na kraj knjige (dokumenta). Ukoliko je otkaeno polje Create a copy bie napravljena kopija radnog papira. Na kraju se sa OK potvruju odabrane opcije. Sekektovanje radnih papira kada je potrebno obrisati vie radnih papira ili se nad njima vre neke izmene, potrebno ih je prvo oznaiti selektovati. Selektovanje se vri pritiskom na levi taster mia na kartice radnih papira koje se nalaze iznad statusne linije, drei taster Control za pojedinano selektovanje, ili taster Shift- za selektovanje susednih radnih papira.

    1.4. Upisivanje i kretanje po elijama Da bi se podatak u odreenu eliju potrebno je da se levim tasterom mia klikne na nju. elija postaje uokvirena crnim pravougaonikom, kao na slici gore. Pritiskom na bilo koji taster sa tastature poinje unos podataka u selektovanu eliju. Nakon ukucavanja teksta dovoljno je pritisnuti Enter ili strelicama pomeriti kursor na neku drugu eliju. Excel sam rapspoznaje odreene tipove podataka. Brisanje teksta iz elije se vri ozmaavanjem elije koja se brie a zatim se pritisne taster Delete. Mogue je obrisati i vie elija odjednom tako to se prvo sve selektuju, a zatim se pritisne taster Delete. Pomeranje kurora na odreenu eliju najlake je izvriti klikom levog mia na tu eliju. Meutim u kompleksnijim tabelama koje prelaze jednu stranu radnog papira lake je nekad direktno otii na eljenu eliju. Za to se koristi padjui meni Edit i opciju Go To. U novom prozoru u polju Go To dovoljno je ukucati poziciju elije, recimo A70 u pritisnuti OK i kursor e se nai na navedenom mestu.

  • 5

    1.5. Formatiranje elija Formatiranje elija podrazumeva podeavanje tipa elije (broj, tekst, datum ili valuta), nametanje poravnanja, vrste slova i veliine, kao i nekoliko drugih opcija. Podeavanje tipa elije- veina gore navedenih podeavanja vri preko padajueg menija Format opcije Cells. Nakon pokretanja ove opcije otvara se prozor kao sa slike. U polju Category pojavljuje se lista moguih tipova podataka u eliji. U polju Sample vidi se kako e izgledati podatak nakon promene tipa. Nekoliko bitnih tipova su : Number- predstavlja broj, i u ovoj opciji mogue je birati zapis broj kao i broj decimalnih mesta; Date predstavlja datum, bira se zapis datuma, kod nas je na primer dd-mm-yyyy (dan-mesec-godina); Time predstavlja vreme i bira se naina zapisa vremena, kod nas hh:mm::ss (sati, minute, sekunde), koristi se i Custom koji predstavlja korisniki tip. Poravnjanje teksta u eliji poravnanje teksta se vri kako horizontalno tako i vertikalno. Horizontalno poravnanje mogue je izvriti iz Palete Format koristei

    koji redom centriraju tekst levo, u sredinu i desno, poslednje dugme slui za spajanje elija u jednu i centriranje teksta koji se nalazi u njima u sredinu. Vertikalno poravnanje kao i horizontalno vri se preko opcije Format Cells iz padajueg manija Format. Odabirom kartice Alignment pojavljuje se prozor kao na slici. Polje horizontal predstavlja horizontalno poravnanje, preko polja indent mogue je postaviti koliko e tekst biti omeren od leve ivice elije. Polje Orientation nudi mogunost da se tekst okree u eliji pod odreenim uglom. Veoma bitne su stavke pod poljem Text Control. Ako je otkaeno Wrap Text tadae tekst ukoliko ne moe da stane u eliju biti prelomljen u dva ili vie redova. Ukoliko je otkaeno polje Shrink to fit tada e veliina slova biti smanjena tako da tekst staje u eliju. Merge Cells slui za spajanje elija. Podeavanje slova u eliji veliina i tip slova moe se desiti preko Palete Format

    koristei za promenu tipa slova i za promenu veliine slova. Tekst je mogue iskoristiti i za podebljanje, zakrivljenje ili podvlaenje teksta. Za to se

    koriste ikone .

    1.6. Formatiranje decimalnih brojeva Kod unosa brojeva moe se unapred odrediti eljeni broj decimala. To se radi na sledei nain:

    1. Oznai se elija ili elije kojima se odreuje broj decimala.

    2. U padajuem meniju Format odabere se opcija Format Cells.

  • 6

    3. U kartici Number u polju Category, odabere se Number, tada se pojavljuju opcije kao na slici.

    4. U polju Decimal places bira se broj decimala, ako se otkai polje Use 1000 separator koristie se razdvajanje preko 1000 sa zarezom a u polju Negative number bira se izgled negativnog broja.

    Decimale se mogu nametati i preko ikonica iz palete Format. Brojevima u oznaenim elijama pritiskom na prvu ikonicu poveava se broj decimala, a na drugu smanjuje.

    1.7 Menjanje boje pozadine i teksta elije Boja pozadine elija menja se na sledei nain:

    1. Oznai se elija ija se boja pozadine menja. 2. Levim tasterom mia pritisne se crna sterlica pored ikone

    kantice u Paleti Format, pojavljuje se prozor kao na slici. 3. Odabira se boja za popunjavanje pozadine selektovanih

    elija, i time je bojenje pozadine zavreno. Boja teksta u elijama menja se na sledei nain:

    1. Oznai se lija ija se boja teksta menja. 2. Levim tasterom mia pritisne se na crnu strelicu pored

    ikone . 3. U prozoru kao na slici odabere se nova boja teksta u elijama

    1.8 Podeavanje irine i visine elija. Ubacivanje i izbacivanje redova i kolona irina kolone se podeava tako to :

    1. Kursor mia postavlja se na ivicu polja sa imenom kolone oznaene slovom iznad elija. Kursor mia postaje crna uspravna linija sa strelicama u levo i desno.

    2. Drei pritisnut levi taster mia pomera se irina kolone B koliko je potrebno. 3. Na kraju se pusti levi taster mia. Visina reda menja se na slian nain: 1. Kursor mia postavlja se na ivicu polja sa brojem reda levo od elija. Kursor mia

    postaje vertikalna crna crtica sa strelicama na gore i dole.

  • 7

    2. Drei pritisnut levi taster mia, mi se povlai na gore il na dole smanjujui ili poveavajui tako visinu reda.

    3. Nakon nametanja puta se levi taser mia. Kolona se dodaje tako to: 1. Kursor se pozicionira u eliju koja pripada koloni ispred koje se ubacuje nova

    kolona. 2. U padajuem maniju Insert odabere se opcija Columns. Red se dodaje tako to: 1. Kursor se pozicionira u eliju koja pripada redu iznad kojeg se ubacuje novi red. 2. U padajuem meniju Insert odabere se opcija Rows. Brisanje kolone ili reda vri se tako to: 1. Desnim tasterom mia klikne se na ime kolone ili broj reda. 2. U novotvorenom meniju odabere se opcija Delete. Nakon toga ako je obrisana kolona, sve kolone desno od nje premetaju se ulevo za

    jedno mesto, a u sluaju brisanja reda za jedno mesto se premetaju redovi ispod obrisanog reda.

    1.9 Spajanje elija Spajanje lija podrazumeva spajanje vie elija u jednu eliju. Primer spojenih elija, u prikazanoj tabeli , bila bi polja jedan, dva i tri. Spajanje se vri:

    1. Selektuju se elije koje treba spojiti. 2. U padajuem meniju Format odabere se Format Cells, a zatim

    se u kartici alignment otkai polje Merge Cells. 3. Odabir se potvruje sa OK.

    Ponekad se pogreno spoje elija pa je potrebno spojene elije vratiti u stanje gde je svaka za sebe, to se radi tako to se oznai elija nastala spajanjem, a zatim u padajuem meniju Format, u Format Cells u kartici Alignment iskljui se otkaeno polje Merge Cells.

    1.10 Uokvirivanje elija Iako je radni papir podeljen na elije i izmeu njih postoje linije, te tanke linije pri tampanju nee biti vidljive. Da bi se linije tabele naglasiel potrebno je selektovati elije iji okvir se menja i preko padajueg menija Format Cells, bira se kartica Border, nakon

  • 8

    ega se otvara prozor kao na slici. U polju Line bira se vrsta linije kojom se iscrtavaju okviri, i boja linije. U polju Presets bira se None da bi elije bile bez okvira a Outline da bi se uokvirile spoljne ivice. Polje Border koristi se i kada nisu potrebne samo spoljne ivice uokvirene, ve moda i iscrtane unutranje ili dijagonalne linije. Klikom na dugme koje prikazuje pravac linije ukljuuje ili iskljuuje iscrtavanje linija tog pravca.

    1.11 Premetanje i kopiranje elija Premetanje elija se vri tako to se:

    1. Selektuju elije koje treba premestiti. 2. Kursor mia se pomeri na ivicu selekcije, negde oko

    crne tamne linije, i tada bi kursor trebalo da se pretvori u belu strelicu.

    3. Drei pristisnut levi taster mia pomeraju se selektovane elije na mesto na koje se trebaju premestiti.

    4. Pusti se levi taster mia Na ovaj nain podaci se vie ne nalaze u elijama u kojima su bili ve samo u onima u koje su premeteni. Ako podaci treba da ostanu i da se pojave u novim elijama tada se koristi kopiranje elija. elije se kopiraju na sledei nan:

    1. Selektuju se elije koje treba kopirati. 2. Pritisne se dugme Copy iz Palete Standard, ime

    su selektovane elije zapamene u memoriji raunara, a oko zapamenih elija se pojavljuje trepui okvir, nakon toga

    3. Levim tasterom mia klikne se na eliju gde treba da se nau kopirane elije.

    4. Pritisne se dugme Paste iz Palete Standard, i elije se pojavljuju na papiru. Koristei opciju Cut iz Palete Standard umesto Copy elije bi bile premetene, ali bi mogle vie puta sa opcijom Paste da se isputaju u dokument. elije je mogue iskopirati i koristei mali crni kvadrat u donjem desnom uglu selekcije. Ako se kursor mia postavina taj mali crni kvadrat on se pretvara crnu strelicu. Pritiskom levog tastera mia, ne putajui ga moe se razvui selektovani deo. Nakon putanja levog tastera ceo oznaeni deo bie popunjen prethodno selektovanim delom.

  • 9

    1.12 Snimanje i zatvaranje dokumenta Ako dokument treba sauvati da bi se kasnije koristio trebalo bi ga snimiti na hard disk. Snimanje dokumenta se vri tako to se iz padajueg menija File izabere Save. Ako je to prvi put da se snima taj dokument u kojem se trai da se unese ime tog dokumenta, odnosno pod kojim imenom da se snimi na hard disk (ili diksketu). U polju Save in moe se izabrati folder u koji treba smestiti

    dokument, a moe se napraviti i novi folder za ovaj dokument klikom na ikonu Create New Folder. U polju File name treba upisati ime dokumenta i potom kliknuti na dugme Save. Ovim je operacija snimanja dokumenta zavrena. Ako je dokument koji se snima ve ranije snimljen pod tim imenom onda se snimanje obavlja automatski, samo odabirom opcije Save iz File menija. Zatvaranje dokumenta Dokument u Excelu se moe zatvoriti na vie naina, a najee se to vri klikom na u gornjem desnom uglu prozora. Drugi nain za zatvaranje aktivnog dokumenta je da se izabere operacija Close iz padajueg menija File.

    1.13 Otvaranje novog i postojeeg dokumenta Prilikom svakog startovanja Excel-a otvara se i nova prazna sveska u kojoj se moe zapoeti rad. Ako je potrebno otvoriti novi prazan dokument, koristi se ikona New Blank Document iz Palete Standard, ili opciju New iz padajueg menija File. Ako treba otvoriti ve postojei dokument, koji se nalazi na disku raunara koristi se ikona Open iz palete Standard, ili opcija Open iz padajueg menija File.

    1.14 Rad sa formulama Excel - rad sa formulama Unos formula Formula se u neku eliju unosi tako to prvo unesemo karakter = to e Excel-u nagovestiti da sada sledi unos formule. ta je formula?. Formula je kombinacija konstanti promenljivih, operatora i funkcija koja koja daje rezultat. ta znai ovo to je reeno? Evo nekih primera uneenih formula

  • 10

    = 2.8+C2+C3^3 = C2/C3-1.45E-5*(A1+LN(A2)) U prethodnim numerikim formulama (daju numeriku vrednost kao rezultat) konstante (brojevi) su 2.8,3,1.45E-5,5. Realni brojevi se unose sa fiksnom decimalnom takom ili u eksponencijalnom obliku (1.45E-5 znai 1.4510-5). Promenljive su reference na elije (C2,C3,A1,A2) u kojim se nalazi (u ovom sluaju) numerika vrednost. Operatori se dele na unarne ili binarne. Unarni imaju jedan operand a binarni dva (sa leve i desne strane). Excel podraava standardne aritmetike operatore: sabiranje +, oduzimanje -, deljenje /, mnoenje *, stepenovanje. Pri tome je prioritet operatora isti kao i u matematici. Promena prioriteta se vri samo malim zagradama ( ). Funkcije imaju svoje ime i u zagradama argumente razdvojene zarezima. Kada unesemo potrebne argumente funkcija vraa rezultat. U prethodnim primerima smo koristili funkciju LN(A2). Ona zahteva jedan argument (numeriki) i vraa kao prirodni logaritam datog argumenta. Operatori i funkcije slino "rade" tj. daju rezultat. Prethodna dva primera emo uneti u Excel radni list i uneti date funkcije ba kao to su navedene. Funkcije emo uneti u elije A4 i B4. Rezultat je sledei

    Obratite panju da je po unosu formule i pritiskom na ENTER u eliji prikazan rezultat a u liniji za editovanje ono to smo uneli tj. pravi sadraj elije - formula. Jednostavno je unositi proste formule, ali ako je formula komplikovana vrlo lako se moemo izgubiti i pogreiti. Excel vam nudi pomo tako to pri unosu formule moete umesto da kucate npr. C2 da se referencirate na tu eliju i ona e se pojaviti u formuli. Evo kako smo, korak po korak uneli sledeu formulu Prvo smo uneli znak = , znai sledi formula

    Onda smo levim tasterom mia (ili kursorskim strelicama) oznaili eliju C2 (primetite "talasie" oko elije)

  • 11

    Sada nam treba operator, uneemo ga

    Sada se pozicioniramo na drugu eliju

    Nastavljamo sa unosom

    A1 je ve uneeno na prethodno opisan nain. Veoma je bitno da u toku unosa ne pritisnete ENTER. Sada nam treba funkcija. Moemo je uneti ali ako ne znamo ime

    funkcije ili smo zaboravili, moemo je izabrati iz menija Insert, Function ili izabrati iz palete alata. Dobiemo dijalog prozor za izbor funkcije

  • 12

    Nakon OK ova funkcija oekuje jedan argument (broj) pa se pozicioniramo na A2

    Sada nam preostaje da kliknemo na OK. Dobiemo sledeu poruku

  • 13

    Ona nam kae da formula nije zavrena (nedostaje desna zagrada). Excel je to popravio i pita nas da li da zavravamo sa unosom (Yes) ili emo da nastavimo dalje (No). Kako je formula zavrena moemo da kliknemo na Yes, ali ako elimo da nastavimo kliknimo na No. Excel e nam jo jednom potvrditi da formula nije korektna. Unesimo i poslednju potrebnu desnu zagradu i, to je najbitnije, tek sad pritisnimo ENTER jer je formula formirana.

    Dobili smo rezultat. Unos komplikovanih formula je podloan grekama jer se sve unosi u jednom redu. esto se moe pogreiti oko zagrada. Pri samom unosu obratite panju da nam Excel pomae tako to pri unosi desne zagrade ")" na trenutak "podeblja" odgovarajuu levu zagradu "(". U korektno uneenoj formuli broj levih zagrada je isti kao i broj desnih zagrada. Za operatore koje Excel podrava konsultovati Help sistem. to se funkcija tie Excel ima veoma veliki izbor funkcija za razliite namene. Pri tome argumanti datih funkcija mogu biti konstante, pojedinane elije ili blokovi elija. Rezultat takoe moe biti smeten u jednoj eliji ili bloku elija Blok elija je pravougaoni deo radnog lista koji je definisan gornjom levom i donjom desnom elijom izmedju kojih je dvotaka. Na primer

    Ovaj blok se referencira kao B2:D5. U prethodnom primeru smo spomenuli funkciju koja ima jednu eliju kao argument i daje rezultat u jednoj eliji. Sada emo spomenuti moda najee koritenu funkciju SUM koja kao argumente moe imati blokove elija a kao rezultat daje sumu numerikih vrednosti u datom bloku. Unesimo u dati blok B3:C5 neke vrednosti i u eliju B6 unesimo =SUM(

  • 14

    Posle =SUM( ne pritisnuti ENTER. Sada moemo nastaviti sa formulom i uneti dati blok ali emo se posluiti ve spomenutim oznaavanjem i obeleiiti ceo blok.

    Nedostaje desna zagrada. Uneemo je i tek tada aktivirati ENTER. Dobija se rezultat

    Relativno kopiranje formula Poeemo objanjavanje rada sa formulama u Excel-u na trivijalnom primeru zbira dva broja. Uneemo dva proizvoljna broja i potom ih sabrati

    U elije B3 i C3 su unete dve numerike vrednosti a u eliju D3 je uneta formula. Prvi karakter formule je znak =. U optem sluaju u formuli figuriu konstante, reference na elije (blokove), operatori i funkcije. U eliju D3 je prikazan rezultat izraunavanja date

  • 15

    formule. Ovo je normalan rad u Excel-u tj. u liniji za editovanje vidimo ta je uneeno (=B3+C3) a u samoj eliji vidimo rezultat (7.01). Ako bi smo u koloni B i koloni C imali vie brojeva i eleli bi smo da odgovarajue vrednosti u kolonama saberemo, moemo ponoviti itav postupak. Unos brojnih vrednosti je relativno jednostavan postupak, ali unos formule je podloan grekama pogotovo ako je formula komplikovana. Pored toga, ako je formula komplikovana, ponavljanje unosa je dugotrajan i besmislen posao koji treba izbegavati kad je god to mogue. isto primera radi, uneemo jo nekoliko brojeva u kolone B i C

    Sada emo da upotrebimo "magiju". Postaviemo pokaziva mia u crni kvadrati elije u kojoj se nalazi formula. Pokaziva se menja u crni krsti

    Povlaimo levim tasterom mia nadole sve do elije D6.

    ta se sad desilo? (Zanemarite pojavu i nastavite sa radom). Ovim smo jednostavno kopirali eliju D3 u blok susedenih elija u istoj koloni (D4:D6). Meutim u eliji D3 se nalazi formula. Kako se to iskopiralo?. Moemo da pogledamo sadraje elija ili jednostavno da prikaemo formule u tabeli umesto rezultata. To emo uraditi selektovanjem iz glavnog menija Tools, Options, View, Windows options, Formulas. Tada emo u tabeli umesto rezultata videti formule

  • 16

    Kao da nas je Excel shvatio ta hoemo, tj. sam je pri kopiranju promenio formule. Pri kopiranju formule, reference na elije se u kopiranim elijama menjaju relativno u odnosu na poziciju (referencu) formule. Formula u D3 kae da u njoj figuriu dve elije i u odnosu na D3 su elije pozicionirane relativno tj, druga levo (B3) i prva levo (C3). Takoe e u kopiranim elijama formule da se promene (pogledajte sliku). U svim formulama figuriu takoe elije druga levo i prva levo. Na primer u D6 figuriu druga levo (B6) i prva levo (C6). Pogledajmo ta bi se desilo kada bi smo kopirali formulu iz D3 u eliju E3

    Opet relativno kopiranje. U E3 figuriu druga levo (C3) i prva levo (D3). Gde god kopirali formulu iz D3 u kopiji e figurisati ista formula (zbir dve elije) ali e dve elije u kopiranim formulama uvek biti druga levo i prva levo. Kopiranje se zove relativno jer se reference na elije pri kopiranju formula uzimaju relativno u odnosu na poziciju formule. Da bi smo to jo jednom utvrdili i razjasnili, pogledajmo sledei trivijalan primer

    U formuli koja je uneena u D6 figuriu eljie B5 (pozicija - dve elije u levo, jedna elija gore) B4 (pozicija - dve elije u levo, dve elije gore) i C5 (pozicija - jedna elija u levo, jedna elija gore). Ako ovu formulu iskopiramo u drugu eliju reference e se relativno promeniti tj.

  • 17

    Uporedite sa prethodnom slikom. Nadam se da smo uspeli da razjasnimo ta znai relativno kopiranje formule. Apsolutno kopiranje formula Ako nam je zadat jednostavan problem da pomou jednaine idealnog gasnog stanja

    vTRp =

    izraunamo pritisak p za zadate vrednosti R, T, v to bi u radni list Excel-a mogli uneti na sledei nain

    pri tome su u svakoj eliji bloka elija B3:E3 uneti tekstualni podaci, u bloku B4:C4 su uneti numeriki podaci a u eliji E4 je uneta formula. Pogledajte u liniju za unos kako je formula uneena. U formuli figuriu reference na elije sa numerikim vrednostima i operatori mnoenje (*) i deljenje (/). U samoj eliji E4 se prikazuje rezultat. Ovo je uobiajen nain rada sa formulama u Excel-u. Ovaj problem i nije tako komplikovan pa bi se ak mogao uraditi i pomou kalkulatora. Meutim, ako bi bilo potrebno izraunati pritisak za opseg temperatura od 273.15 do 293.15, sa korakom 1, to bi za kalkulator bilo previe. Kako bi smo to uradili u Excel-u?. Kao prvo, treba uneti temperature. Unos pojedinanih temperatura bi bilo besmisleno i dugotrajno. Koristiemo Excel-ovu "pamet". Uneemo u eliju C5 drugu temperaturu po redu, a to je 274.15 i obeleiti obe elije u kojoj je prva i druga vrednost temperature. Zatim emo postaviti pokaziva mia u donji desni ugao ove dve elije tj,

  • 18

    povlaenjem levim tasterom na dole Excel e "shvatiti" da elimo unos sledeih elija sa odreenim korakom (druga - prva). Tako emo povlaiti dok ne dobijemo krajnju vrednost a to je 293.15, odnosno

    Ako bi smo, bez razmiljanja, takoe formulu iz E3 iskopirali u susedne elije u istoj koloni dobili bi smo sledee, tj Excel bi prijavio greku #DIV/0 to znai deljenje sa nulom. Kako to?.

  • 19

    Prikaimo formule koje figuriu u kopiranim elijama

    Nadam se da vidite problem. Formula je kopirana relativno (figuriu tri elije levo). elija D11 je prazna (nulta vrednost) i otud deljenje s nulom. Kako emo "naterati" Excel da pri kopiranju ne menja relativno reference. To se u formuli naznai tako to se elije apsolutno referenciraju. To znai da moemo da "fiksiramo" red i/ili kolonu u nekoj formuli. Pri kopiranju se fiksiran red ili kolona nee menjati. Apsolutno referenciranje se ostvaruje znakom $ ispred kolone (fiksirana kolona, npr. $B4) ili ispred reda (fiksiran red, npr. B$4) ili fikirani i kolona i red ($B$4). Ako se formula u kojoj ima apsolutnih referenci ($ ispred kolona, redova) kopira u druge elije onda se ovo kopiranje naziva apsolutno kopiranje. Ako pogledamo prethodan primer, potrebno je da promenimo formulu u E4 koja e da bude =B$4*C4/D$4. Zato? Zato to ne elimo da se ove vrednosti redova ispred kojih je $ promene. Ako to uradimo i iskopiramo datu formulu dobiemo sledee

  • 20

    Radi!. Vidite da se vrednost redova u formulama od E5:E24 ispred kog je $ nije promenio, ostao je 4 kao i u formuli u E4. Ovo je apsolutno adresiranje gde je apsolutan (fiksiran red) u formuli koja se kopira (E4) u druge elije (E5:E24). Naravno, moemo da promenimo prikaz i prikaemo vrednosti u elijama u kojima su formule.

  • 21

    Moe se postaviti pitanje, da li je ispravno uneti u E4 formulu =$B$4*C4/$D$4. Moe, fiksirali smo jo i kolone B i D, mada je suvino. Ako pogledate sliku sa formulama vidite da se kolone B i D ionako nisu promenile. Zato? Jednostavno, pri kopiranju jedne elije u blok ostali smo u istoj koloni E pa se nijedna referenca na kolone nije promenila. Prikazaemo ovaj isti problem ali emo drugaije da unesemo podatke. Pri tome je uneta samo jedna formula u B4 =$B1*B3/$B1 i iskopirana udesno

    Da li moete da objasnite zato sada stoje $ ispred kolone B i ta bi bilo u eliji D4 da kolone nisu fiksirane (Odgovor D4 = D1*D3/D2). Takoe ista pria vai, pri kopiranju nismo promenili red pa $ ispre bilo kog reda nema smisla jer smo ionako kopirali formulu u susedne elije ali ostali u istom redu. Da bi smo jo vie zapetljali stvar, ovaj isti problem emo reiti unosom jedne formule i kopiranjem u druge elije koje se nalaze u razliitim redovima i kolonama

    Ovu emo eliju iskopirati udesno do kolone F

    a onda ovaj blok zatim jo 4 reda nadole (jer jo toliko ima redova sa temperaturama)

  • 22

    Uporedite rezultate sa prethodnim primerom. Obratite panju da je samo jednom uneena formula u B8 = $B$1*B3/$B$2 i da je ova formula iskopirana u blok B8:F12. Ovde su reference $B$1 i $B$2 apsolutne (fiksiran i red i kolona) i ostaju iste u svim formulama. Sada moramo staviti $ ispred reda i ispred kolone jer se jedna elija kopira u razliite redove i kolone. Jedina relativna elija u B8 je B3 ona ima relativnu poziciju (5 elija gore) i npr. u D11 e se uzeti D6 jer je ona isto 5 elija gore.

    Kao poslednje razmatranje ovog primera uzeemo da se trai izraunavanja za razliite temperature T i razliite molske zapremine v. Pri tome emo napraviti tabelu tako da su temperature zadate u koloni a zapremine u vrsti.

  • 23

    Postavlja se pitanje, kako da unesemo jednu formulu u B5 koja izraunava pritisak na osnovu odgovarajue zapremine u vrsti 4 i odgovarajue temperature u koloni A sa vrednosti R u B1 i da rezultujui pritisak bude u odgovarajuoj eliji u bloku B5:F10. Pa u samom pitanju se krije i odgovor. elija B1 mora biti apsolutno fiksirana. Takoe treba fiksirati samo vrstu 4 tj B$4 (zapremina) i kolonu A tj $A5 (temperatura) tako da je formula u eliji B5 = $B$1*$A5/B$4, odnosno posle kopiranja dobijamo

    Imenovanje elija i blokova elija Kako formule postaju komplikovanije tako je i baratanje sa njima oteano, pogotovo ako postoje apsolutne reference na elije. Zato je pogodna osobina Excel-a da imenuje neku eliju ili blok. Lake je pratiti formulu u kojoj umesto besmislenih referenci figuriu neka imena kao na primer: temperatura, zapremina, obim, cena itd. Pravila za imena elija i blokova su - sastoje se od slova i cifara - prvi karakter mora biti slovo - ne razlikuju se mala i velika slova tj. IME, ime, Ime se ne razlikuju - nisu dozvoljena prazna mesta - ne smeju imati ista imena kao imena kolona, reference na elije - mogu imati taku (.) ili donju crtu (_) Najsigurnije da ime pone sa najmanje tri slova a ostalo mgu biti slova i cifre. Pri tome je najkorisnije imenovati blokove sa apsolutnim referencama.

  • 24

    Tako emo u prethodnom primeru imenovati eliju B1 i nazvati je gask, blok B4:F4 imenovati kao Zapremina i blok A5:A10 imenovati kao Temperatura. Prvo emo se pozicionirati na eliju B1 i u tzv. Name Box uneti gask

    i pritisnuti ENTER. Na isti nain emo selektovati odreene blokove i definisati imena

    Ako kliknemo na strelicu pored Name Box-a moemo videti naa definisana imena i izborom na jedno od njih videti ta imenuje

  • 25

    Kakva korist od toga?. To emo primetiti ako sada "primenimo" imena u tabelu. ta to znai? To znai da se umesto referenci koriste odgovarajua imena. To inimo izborom Insert, Name, Apply. Dobijamo listu imena

    Obeleimo sva imena i kliknimo na OK Tada emo u naoj tabeli umesto referenci imati imena tj.

    Ovako se tabela moe uiniti preglednijom, jasnijom i manje podlonom grekama.

    1.15 Grafikoni Za grafiko predstavljanje tabela uraenih u Excel-u koriste se grafikoni. Oni na jednostavan i jasan nain prikazuju rast ili pad vrednosti i odnose meu njima. Postupak predstavljanja grafikon na radu stranu Excel-a sastoji se iz vie koraka. Podrazumeva se da je potrebna tabela na osnovu koje se crta grafik. Izrada grafika

    moe se pokrenuti preko padajueg menije Insert, opcije Chart ili preko dugmeta u paleti Standard. Otvara se prozor kao naslici. Ovo je prvi od etiri koraka koji se sprovode pri ubacivanju graika u radni list. U prvom koraku bira se vrsta grafika. Klikom na bilo koji lan liste polja Chart Type u polju Chart sub-type prikazuju se podtipovi ovog tipa. Klikom na

  • 26

    jedan od podtipova bira se izgled grafika. Za prelazaka na sledeei korak treba kliknuti na Next.

    U novom prozoru pojavaljuju se dve kartice. Data range oznaava mesto na kome se podaci nalaze. Druga stavka je Series, pomou koje se odreuju serije na grafiku, tj. koliko e serija biti, kao i ta se nalazi na x, a ta na y osi. Klikom na Next prelazi se na sledei prozor.

    U novom prozoru prva kartica Title slui za podeavanje ili ubacivanje naziva grafika polje Chart Title, naziva osa polja Value(X) axes i Value(Y) axes. Kartica Axes omoguava da se ukljui/iskljui prikazivanje osa. Kartica Gridlines omoguava da se ukljui/iskljui mreu ose, i ako je ukljueno omoguava da se bira gustina, odnostno da li da se prikazuju i male (Minor gridlines) i vee (Major gridlines). Kartica Legend podeava legendu. Ukoliko je onaeno polje Show Legend tada se u poljima ispod bira pozicija legende (Bottom, Corner, Top, Left, Right).

  • 27

    Kartica Data Labels omoguava da ukljui prikazivanje vrednosti na samom grafiku. Kartica Data Table omoguava prikazivanje dodatne tabele sa poacima koji se nalaze na grafiku, ako je oznaeno polje Show Table. Nakon podeavanja svi ovih opcija da bi se prelo na poslednji prozor za unos grafika treba kliknuti na Next.

    Poslednji prozor nudi samo dve mogunosti. Jedna je da se ovako napravljeni grafik ubaci kao objekat u odreeni radni list ili da se grafikon ubaci u novi radni list. Na svaki od prethodnih prozora moe se vraati na klikom na dugme Back. Ako je sve podeeno treba kliknuti na Finish i grafikon je na radnom listu.

    Grafik se moe pomerati tako to se kursor dovede na deo ekrana koji on zauzima i pritisne se levi taster mia, ne putajui ga vue se mi i grafik do mesta na kome treba da stoji. Crni kvadrati na krajevima grafika slue za menjanje veliine grafika. Ako je u nekom od koraka za izradu grafika dolo do greke ili jednostavno treba promeniti neku stavku, tada se koristi padajui meni Chart. Opcija Chart Type vraa na izbor tipa grafika, Chart Options na prozor sa opcijama grafika itd.

    273

    274

    275

    276

    277

    278

    279

    280

    281

    282

    283

    284

    0 2 4 6 8 10 12

    Series1

  • 28

    2. Funkcije raspodele u Excelu

  • 29

    2.1. Binomna raspodela

    Ova diskretna raspodela ima veliku primenu u kontroli kvaliteta proizvoda Posmatrajmo niz nezavisnih eksperimenata (u literaturi poznat kao Bernulijeva ema) tj. za svaki od njih vai da je njegov ishod nezavisan od ishoda ostalih opita. Neka je za svaki od eksperimenata vezan dogaaj A i neka je verovatnoa njegovog nastupanja jednaka p, P(A) = p. Binomni zakon daje verovatnou da e se u n eksperimenata ili proba posmatrani dogaaj A dogoditi x puta. Dakle, broj nastupanja dogaaja A u n proba je sluajna veliina X, koja ima binomnu raspodelu verovatnoe.

    Moemo sada da izvedemo binomni zakon. Traimo verovatnou, b(x,n,p) da u n opita posmatrani dogaaj A nastupi x puta. Verovatnoa svakog od dogaaja u kome je A u n proba nastupio x puta je:

    pxqn - x

    a ukupan broj takvih, meusobno iskljuivih dogaaja jednak je broju kombinacija klase x od n elemenata. Tako je,

    nxqpx

    npnxb xnx ,...,2,1,0,),,( =

    = (2.37)

    U Excel-u se za ovu vrstu raspodele koristi funkcija BINOMDIST. Rezultat funkcije je verovatnoa binomne raspodele da e sluajna promenljiva X imati zadatu vrednost. Sintaksa BINOMDIST(number_s, trials, probability_s, cumulative)

    Number_s broj nastupanja nekog dogaaja u n proba (sluajna promenljiva X)

    Trial_s broj nezavisnih proba, n

    Probability_s verovatnoa nastupanja dogaaja u svakoj probi

  • 30

    Cumulative logika vrednost koja odreuje oblik funkcije, ako je Cumulative=TRUE, BINOMDIST daje kumulativnu raspodelu funkcije, ukoliko je Cumulative= FALSE, rezultat je verovatnoa da e dogaaj nastupiti X puta.

    Primer 2.1.

    Neka maina proizvodi 1000 komponenata/h i svakih 30 minuta je uzimano po 10 uzoraka radi kontrole, tokom dueg perioda. Tako je konstatovano da je procenat karta 20%. Kolika je verovatnoa da u sluajnom uzorku od 6 komponenata a) bude 4 defektna b) ne bude vie od 3 defektna c) ne bude nijedan defektan

    Reenje Prepoznaje se binomni model. Dogaaj A je dobijanje defektne komponente, a njegova verovatnoa, dobijena empirijski, je

    541,5/1

    10020 ==== pqp

    Broj opita, n = 6. Dati su tabela i poligon raspodele.

    Tabela se dobija tako to se u red 1 unose podaci za xi, dok se pi izraunava pomou funkcije BINOMDIST. Dakle, ukoliko je tabela napisana na isti nain kao na slici, klikne se na eliju J2, a zatim se iz padajueg menija Insert, odabere opcija Function, kada se otvori novi prozor funkcija BINOMDIST se trai u statistikim funkcijama (Statistical), odabere se BINOMDIST i otvara se novi prozor (kao na slici)

  • 31

    Unose se odgovarajui argumenti: Number_s - unosi se vrednost iz elije J1, odnosno samo se klikne na eliju J1. Trials - upisuje se 6, jer je to broj proizvoda u sluajnom uzorku. Probability_s - upisuje se 0.2, verovatnoa od 20%. Cumulative - upisuje se logika vrednost FALSE, jer je potrebna vrednost za samo jedan dogaaj, a ne zbir dogaaja. Potvruje se sa OK, i kao rezultat dobija se vrednost za binomnu raspodelu, da bi se popunio ostatak tabele, funkcija se kopira na prethodno objanjen nain. Zatim se na osnovu tabele nacrta grafik.

    a) Ovde treba izraunati verovatnou da su u sluajnom uzorku od 6 proizvoda 4 budu defektna. Problem se reava korienjem funkcije BINOMDIST, kao kod popunjavanja tabele.

    b) U pitanju je zbir dogaaja, jer se trai da ne budu vie od 3 defektna proizvoda, problem se takoe reava korienjem funkcije BINOMDIST, ali sa neto drugaijim argumentima.

  • 32

    Number_s - upisuje se 3

    Trials - upise se 6

    Probabilitiy_s upisuje se 0.2

    Cumulative upisuje se TRUE jer se radi o zbiru dogaaja, a ne o pojedinanom dogaaju.

    c) Ovde se trai da nijedan od proizvoda ne bude defektan, znai da je x = 0 pa imamo

    Primer 2.2. Detaljnom proverom kvaliteta ampula punjenih tenou utvreno je da je na 100 ampula 75 ispravnih. a) Odrediti zakon raspodele verovatnoe sluajne promenljive: broj ispravnih ampula u sluajnom uzorku od 6 ampula b) Odrediti oekivanu vrednost i disperziju sluajne promenljive. c) Koji broj ispravnih ampula u uzorku od 6 komada je nejverovatniji?

  • 33

    Reenje

    a) U pitanju je binomni zakon: )43,6,(xb ,

    6,...,2,1,0,4

    1436)

    43,6,()( 6 =

    == x

    xxbxp x

    x

    Slede tabelarni i grafiki prikaz zakona raspodele:

    Tabela se formira na isti nain kao i u 1. zadatku, a nakon toga se na poznati nain crta grafik.

    b) x = np = 4.5, D(X) = npq = 1.125 se izraunavaju upisivanjem formula.

    c) Najverovatniji broj ampula u uzorku je 5.

  • 34

    2.2. Poasonova raspodela

    Poasonov (Poisson) zakon raspodele se moe dobiti kao granini sluaj binomnog modela, kada obim uzorka n tei beskonanosti uz uslov da pri tom proizvod obima uzorka i verovatnoe posmatranog dogaaja,

    = np ostane ogranien. Tako se Poasonov model koristi za opisivanje verovatnoe retkih (p je malo), meusobno nezavisnih (uslov za binomni zakon) dogaaja kao to su:

    radioaktivni raspad nekih izotopa, tj. emitovanje radioaktivnih estica incidenti u dobro regulisanom saobraaju smetnje u telefonskom saobraaju i prenosu podataka greke u raunarskim sistemima

    Sluajna promenljiva je broj realizacija retkog dogaaja u vremenskom intervalu date duine.Dakle, sluajna promenljiva X ima Poasonovu raspodelu ako je

    ,...2,1,0,!

    )( == xex

    xpx

    gde je neki pozitivan broj.

    Srednja vrednost i disperzija

    Oekivana vrednost i disperzija za Poasonovu raspodelu mogu se dobiti kao granine vrednosti tih parametara za binomnu raspodelu, kada n , p 0, ( = const): =====

    = nppnpnp

    constnppnxx

    )1(lim,0

    2

    Dakle, srednja vrednost i disperzija sluajne promenljive X raspodeljene po Poasonovom zakonu su:

    == 2xx Aproksimacija binomne raspodele Poasonovom

    Raunanje verovatnoa je znatno obimnije kod binomne nego kod Poasonove raspodele. Za dovoljno veliko n i malo p binomna raspodela se moe aproksimirati Poasonovom. Praktini kriterijum za primenljivost takve aproksimacije je [Chatfield C., 1983.]: 5,20 npn

    Poasonova raspodel u Excelu moe se dobiti korienjem funkcija POISSON.

  • 35

    Sintaksa : POISSON (X, Mean, Cumulative) X broj dogaaja Mean oekivana vrednost Cumulative - logika vrednost koja definie funkciju raspodele verovatnoe. Ako je taj argument TRUE, rezultat funkcije je kumulativna Poasonova funkcija raspodele verovatnoa da e broj sluajnih dogaaja biti izmeu 0 i X (ukljuujui i te vrednosti); ako je FALSE, rezultat je Poasonova funkcija verovatnoe da e broj dogaaja biti tano X. Zadatak 2.3.

    Procenat karta pri proizvodnji komponenata u nekoj fabrici je 2%. Odrediti verovatnou da je u uzorku od 60 komponenata defektno: a) 3 komada b) ne vie od 3 c) bar dva

    Reenje U pitanju je binomni zakon. Poto je n = 60 > 20 i = np = 600.02 = 1.2 < 5 ispunjen je uslov

    5,20 npn i reavanje problema se moe znatno uprostiti zamenjujui binomni zakon Poasonovim ( iako to u Excelu ne predstavlja problem).

    a) Dakle, poto je ustanovljeno da ja aproskimacija Poasonovom raspodelom mogua, verovatnoa da je u uzorku od 60 komponenata defektno 3 komada, izraunava se na sledei nain.

  • 36

    0867.0!3)2.1(

    !3)()3( 2.1

    33)42.2( === eeXP Ukoliko su podaci uneeni na isti nain kao na slici, klikne se na eliju B11, zatim se iz padajueg menija Insert odabere opcija Function, i nakon toga iz statistikih funkcija odabere POISSON,

    kada se potvrdi sa OK otvara se sledei prozor

  • 37

    Ovde se unose odgovarajui argumenti, za X se upisuje 3, za Mean se klikne na eliju B8 jer je u toj eliji izraunata oekivana vrednost, i u polje Cumulative se upisuje FALSE jer se trai vrednost verovatnoe Poasonove raspodele za X=3.

    b) Kako je ovde potrebno odrediti verovatnou da su ne vie od 3 komada defektna,

    problem se reava slino kao pod a), osim to se u polje Cumulative upisuje TRUE, pa se kao rezultat dobija kumulativna Poasonova funkcija.

    ( ) 9662.0)62

    1()3()2()1()0(332

    +++=+++= eppppXP

    c) Kada je potrebno odrediti verovatnou da su bar 2 komada defektna, to ustvari znai 2 i vie, izraunava se Poasonova kumulativna funkcija za vrednost 1 (ukljuuje vrednosti verovatnoe za 0 i 1) i onda oduzme od 1.

    ( ) ( ) [ ] [ ] 3374.01)1()0(1212 +=+=

  • 38

    Zadatak 2.4. Automat daje 4% defektnih proizvoda. Proizvodi se pakuju u kutije po 10 komada. U kom procentu kutija e se nai najvie jedan defektan proizvod.?

    Reenje

    Traenu relativnu frekvencu se, u skladu sa statistikom definicijom verovatnoe ( p), nalazi kao verovatnoa da se u sluajnom uzorku od 10 komada nae najvie jedan defektan proizvod. U pitanju je sluajna promenljiva sa binomnom raspodelom b(x, 10, 0.04), pa je:

    = P(X 1) = p(0) + p(1) = b(0, n, p) + b(1, n, p) %2.949418.096.004.01096.010 910910 ==+=+= qpq

    Odnosno, u Excelu se ovaj problem reava funkcijom BINOMDIST.

    Problem se moe priblino reiti aproksimacijom binomnog zakona Poasonovim, mada prvi od uslova 5,20 npn nije ispunjen: [ ] [ ] %8.939384.04.011)1()0( 4.0 ==+=+=+= eepp Sada se koristi funkcija POISSON

    Dobija se pak dobra procena, koja se od tane vrednosti razlikuje manje od 1%.

  • 39

    2.3. Normalna raspodela Ovo je najvanija raspodela za primene u statistikoj obradi eksperimentalnih podataka u drutvenim, prirodnim i tehnikim naukama. Za neprekidnu sluajnu promenljivu X kaemo da ima normalnu ili Gausovu raspodelu sa parametrima i , to se kratko oznaava sa X : N(,) ako je njena gustina:

    0,,2

    1)(2

    21

    >=

    x

    exf

    U Excel-u se za normalnu raspodelu koristi funkcija NORMDIST.

    Sintaksa: NORMDIST (x, mean, standard_dev, cumulative) x vrednost za koju se izraunava funkcija Mean aritmetika sredina raspodele Standard_dev standardna devijacija raspodele Cumulative logika vrednost koja definie vrstu funkcije, TRUE kumulativna vrednost raspodele, FALSE funkcija gustine verovatnoe. Pored funkcije NORMDIST, postoji i inverzna funkcija NORMINV. Rezultat ove funkcije je vrednost promenljiveza koju normalna kumulativna funkcija raspodele ima datu verovatnou.

  • 40

    Sintaksa : NORMINV (probability, mean, standard_dev) Probability verovatnoa za koju se izraunava vrednost promenljive. Mean aritmetika sredina raspodele Standard_dev standardna devijacija raspodele Standardizovana normalna raspodela

    Ako je X sluajna promenljiva sa normalnom raspodelom N(,2), sluajna promenljiva, dobijena linearnom transformacijom,

    0, += abaXY ima takoe normalnu raspodelu. Dakle, standardizovana normalno raspodeljena sluajna promenljiva,

    = XX 0

    koja ima nultu srednju vrednost i jedininu disperziju, 1,000== xx , ima takoe normalnu

    raspodelu, koja se zove standardizovana normalna raspodela, N(0,1) sa gustinom:

    20

    2

    21)(

    x

    exf=

    i funkcijom raspodele,

    dtexXPxFx t

    =

  • 41

    Za odreivanje standardne normalne kumulativne funkcije raspodele koristi se funkcija NORMSDIST.

    Sintaksa: NORMSDIST(z) Z vrednost za koju se izraunava funkcija. Takoe postoji i inverzna funkcija NORMSINV.

    Sintaksa: NORMSINV(probability) Probability verovatnoa za koju se izraunava vrednost promenljive Zadatak 2.5.

    Odstupanje, debljine proizvedene glazirane keramike ploice, od nominalne vrednosti , = - se moe aproksimirati sluajnom veliinom sa normalnom raspodelom, : N(0, 0.3). Odrediti:

  • 42

    a) Oekivani kart u 1000 proizvedenih komada, ako se kao ispravne prihvataju ploice ija debljina odstupa od nominalne najvie 0.5 mm.

    b) Oekivani broj ploica u 1000 komada ije su debljine: - 0.2 ili + 0.5 c) Oekivani broj ploica u 1000 komada ije su debljine u intervalu: - 0.3 + 0.4 Reenje a) Verovatnoa da odstupanje bude vee od 0.5 dobie se preko verovatnoe suprotnog dogaaja. Tj. verovatnoe da odstupanje bude manje od 0.5, meutim, treba uzeti u obzir da je 0.5 apsolutna vrednost, i da se mora izraunati verovatnoa za x 0.5 i x - 0.5, a zatim oduzeti manju od vee verovatnoe.

    Koristi se funkcija NORMDIST.

    Do funkcije se dolazi na isti nain kao i u prethodnim primerima . U polje x upisuje se -0.5, ili ukoliko su podaci uneseni na ista mesta kao na slici klikne se na eliju A12, u polje Mean upisuje

  • 43

    se 0, u polje Standard_dev 0.3, a u polje Cumulative upisuje se logika vrednost TRUE. Potvruje se sa OK. Dalje se klikne na eliju u koju se izraunava druga funkcija ( u konkretnom primeru to je elija B13) i postupak se ponavlja, samo to se umesto vrednosti -0.5 u polje x upisuje vrednost 0.5 (ili se klikne na eliju A13). Poto su izraunate ove dve vrednosti, njihovu razliku izraunatu na ve poznat nain treba oduzeti od 1.

    Ako postoji verovatnoa dogaaja - pojava defektne ploice, p = 0.096, onda je u skladu sa binomnim zakonom (ili u skladu sa statistikom definicijom verovatnoe) oekivani broj defektnih ploica m, u sluajnom uzorku od 1000 komada jednak:

    m = pn = 10000.096 = 96

    b) )5.0()2.0()5.02.0( ++=+ PPP

    Ovde se prvo izraunava kumultaivna funkcija normalne raspodele za vrednost -0.2, a zatim za

    0.5,

    pa se dobijena vrednost za 0.5 oduzima od 1.

  • 44

    Sabiranjem vrednosti u elijama B22 i C 23 dobija se traena verovatnoa, koja se dalje mnoi sa

    1000 i dobija se broj ploica ije su debljine - 0.2 ili + 0.5

    c) )4.03.0( + P Slino se reava i ovaj problem, raunaju se kumulativne funkcije normalne raspodele za vrednosti -0.3 i 0.4

    Verovatnoa za vrednost -0.3 se oduzima od one za 0.4, i dobijeni rezultat se mnoi sa 1000.

    Zadatak 2.6.

    Vek trajanja elektronske lampe, h u asovima ima normalnu raspodelu N(100,5)

    a) Nai verovatnou da nova elektronska lampa istog tipa traje najmanje 105 asova. b) Ako je jedna elektronska lampa ve izdrala 90 asova, kolika je verovatnoa da e izdrati jo 15?

    Reenje

    a) Traena verovatnoa se izraunava iz verovatnoe suprotnog dogaaja, koristi se funkcija NORMDIST, na ve opisan nain.

  • 45

    b) Trai se uslovna verovatnoa: verovatnoa da e nastupiti dogaaj, 105>X poto je nastupio dogaaj, 90>X i rauna se pomou formule :

    [ ])90()105(

    )90()90)(105()90/105( >

    >=>>>=>>

    XPXP

    XPXXPXXP

    Dakle, pomou funkcije NORMDIST dobija se verovatnoa za 90h, a zatim se podeli sa verovatnoom za 105h.

    Kao to se moglo oekivati, dobijena je neto vea verovatnoa nego u a) Zadaci za vebu

    2.1.Dogaaj A nastupa u nekom eksperimentu sa verovatnoom p = 0.3. Neka je X broj nastupanja dogaaja A u nizu od 5 opita. a) Kako glasi zakon verovatnoe za X, b) Izraunati P(X 3), c) izraunati srednju vrednost i disperziju.

    2.2 Odrediti, a) Verovatnou da se u 8 bacanja kocke estica pojavi 3 puta b) Oekivani broj estica u 180 bacanja kocke?

    2.3 Verovatnoa pogotka cilja u jednom gaanju je p = 0.2. Koliko gaanja treba izvesti da bi sa verovatnoom ne manjom od 0.9 cilj bio pogoen bar jednom?

    Dogaaj A nastupa u nekom eksperimentu sa verovatnoom p = 0.3. Neka je X broj nastupanja dogaaja A u nizu od 5 opita. a) Kako glasi zakon verovatnoe za X, b) Izraunati P(X 3), c) izraunati srednju vrednost i disperziju.

  • 46

    2.4 Odrediti, a) Verovatnou da se u 8 bacanja kocke estica pojavi 3 puta b) Oekivani broj estica u 180 bacanja kocke?

    2.5 Verovatnoa pogotka cilja u jednom gaanju je p = 0.2. Koliko gaanja treba izvesti da bi sa verovatnoom ne manjom od 0.9 cilj bio pogoen bar jednom?

    2.6 Automat daje 4% defektnih proizvoda. Proizvodi se pakuju u kutije po 50 komada. a) U koliko e se posto kutija nalaziti najvie jedan defektan komad? b) Postie li se Poasonovom raspodelom zadovoljavajua aproksimacija, ako se dozvoljava maksimalna greka rezultata od 1.5%?

    2.7. Jedna velika serija sadri 4% defektnih proizvoda. Proizvodi se bez prethodne kontrole i izdvajanja loih pakuju u kutije od 50 komada. a) Koliko e defektnih proizvoda sadravati najvei broj kutija? b) Koliki je procenat takvih kutija?

    2.8 Sluajne greke merenja imaju normalnu raspodelu sa = 0, = 8mm. Nai verovatnou da od tri greke meusobno nezavisnih merenja a) bar jedna ne bude vea od 4mm, b) bar jedna, po apsolutnoj vrednosti, ne bude vea od 4mm.

    2.9 Sluajna promenljiva ima normalnu raspodelu N(3,4). Izraunati ( )9>XP i ( )5/9 >> XXP 2.10 Neki proizvoa deterdenta ima mainu za pakovanje po 500g deterdenta u jednu kutiju. Duom kontrolom proizvoda utvreno je da je srednja masa deterenta u kutiji 506g, sa standardnim odstupanjem 12g. Uz pretpostavku da mase deterdenta u kutijama imaju normalnu raspodelu, a) izraunati procenat kutija koje sadre vie od propisane koliine deterdenta., b) izraunati onu srednju vrednost i standardno odstupanje raspodele masa deterdenta, koji bi prepolovili procenat prepunjenih kutija i u isto vreme obezbedili da najvie 1% kutija sadri manje od 497g. c) kolika bi se prosena uteda u deterdentu (%) postigla?

    2.11. Otpor elektrinih otpornika ima normalnu raspodelu N(5, 0.2). Sluajnim izborom uzmemo dva takva otpornika i veemo ih na red. Kolika je verovatnoa da taj spoj ima otpor izmeu 9.5 i 10.5 ?

  • 47

    3. Empirijska raspodela u Excelu

  • 48

    3.1. Osnovni pojmovi Statistika, kao nauna disciplina, izuava masovne pojave u drutvu, prirodi i tehnici. Za

    masovne pojave je karakteristino da pojedinani sluajevi manje ili vie odstupaju od onog to se moe smatrati njenom karakteristikom. Na primer, proseni ivotni vek stanovnitva neke drave predstavlja vanu karakteristiku od koje, manje ili vie, odstupaju duine ivota pojedinih graana. Drugi primer su rezultati merenja neke fizike veliine, koja sama, za razliku od ivotnog veka, nije sluajna veliina (na primer gustina gasa na datoj temperaturi i pritisku). Rezultati ponovljenih merenja se meutim razlikuju meu sobom, kao i od traene tane vrednosti merene veliine, zbog sluajne greke merenja.

    Statistiko obeleje i populacija

    Ono to se u teoriji verovatnoe naziva sluajna promenljiva, statistiari nazivaju - statistiko obeleje. Tako je ivotni vek graanina neke drave primer statistikog obeleja. Statistiko obeleje je vezano za jasno definisan elemenat (entitet) koga nazivamo statistika jedinica. U poslednjem primeru to je osoba - graanin neke drave.

    Skup svih elemenata - statistikih jedinica naziva se populacija ili generalni skup ili osnovni skup. Osnovni skup po pravilu ima veliki broj elemenata - statistikih jedinica (masovnost) koji moe biti i beskonaan. Na primer, u posmatranom primeru, populaciju ine svi stanovnici jedne drave. U sluaju bacanja dve kocke za igru, statistika jedinica je definisana kao svaka od moguih poloaja dve baene kocke, statistiko obeleje je posmatrani rezultat (recimo suma dobijena dva broja), a osnovni skup je beskonaan jer se moe zamisliti beskonaan broj bacanja kocke. Slino, pri kontroli neke procesne veliine (pritisak, temperatura, koncentracija, itd.) moe se zamisliti beskonaan broj merenja. U sluaju kontrole kvaliteta proizvoda, svaki test je statistika jedinica. Ako kontroliemo, recimo, debljine proizvedenih keramikih ploica, onda je populacija ograniena - broj elemenata jednak je broju proizvedenih ploica u nekom periodu vremena. U sluaju pak praenja sadraja sumpora u proizvedenoj gumi, populacija se smatra beskonanom, odnosno neophodna je izvesna apstrakcija koja kao rezultat ima hipotetinu beskonanu populaciju. Zamiljamo naime, beskonano velik komad gume i beskonaan niz analiza pod istim uslovima.

    Statistiki uzorak

    Osnovni zadatak statistike je definisanje raspodele frekvenci posmatranog obeleja, tj. raspodele verovatnoe. Pri tome je retko mogue izmeriti obeleja svih statistikih jedinica osnovnog skupa. To je svakako nemogue u sluaju beskonanog osnovnog skupa, ali i u sluaju konanih populacija, to retko dolazi u obzir jer je ili neekonomino ili praktino neizvodljivo. Primeri su demografska ispitivanja i testova kvaliteta proizvoda, koji su destruktivni (proizvod u toku testa biva oteen). Zato se iz populacije izdvaja jedan konaan podskup statistikih jedinica koji se naziva (statistiki) uzorak. Uzorak se ispituje radi donoenja zakljuaka o raspodeli sluajne promenljive - obeleja u osnovnom skupu, koja se naziva i teorijska raspodela. Umesto izraza: uzorak iz osnovnog skupa sa pretpostavljenom raspodelom (recimo normalnom) esto se koristi krai termin: uzorak iz pretpostavljene raspodele (npr. normalne).

  • 49

    Jasno je da se ne moe oekivati potpuno tano opisivanje ili reprezentacija populacije na osnovu analize uzorka. Jedno od najveih ogranienja pri tome je svakako obim uzorka pod kojim se podrazumeva broj elemenata populacije izdvojenih u uzorak. Meutim, veliina uzorka nije jedini faktor koji ograniava tanost zakljuaka - ak i veliki uzorak moe da dovede do pogrenog modela. Teorija uzoraka kao deo statistike, bavi se problemom izbora takvog uzorka koji e obezbediti dovoljnu pouzdanost zakljuaka o populaciji. Takav uzorak, ija se struktura u odnosu na posmatrano obeleje ne razlikuje znaajno od strukture osnovnog skupa, naziva se reprezentativan uzorak. Da bi uzorak bio reprezentativan, mora biti tako formiran da svaki element populacije ima jednaku ansu da, nezavisno od ostalih, ue u uzorak. Za takav uzorak kaemo da je sluajan uzorak. Formiranje sluajnog uzorka iz ograniene populacije (recimo stanovnitvo), vri se uz pomo tablice sluajnih brojeva koji se mogu nai u prirunicima iz statistike, ili se mogu kompjuterski generisati pomou odgovarajue funkcije. Tablica sluajnih brojeva formira se iz dugakog niza cifara, 0 - 9, koji se isee na brojeve sa istim odabranim brojem cifara (tablice iz literature najee sadre etvorocifrene brojeve). Svaka od cifara 0 - 9 se u polaznom nizu brojeva priblino pojavljuje jednak broj puta (dakle, sa relativnom frekvencom 0.1). Najjednostavniji postupak za formiranje sluajnog uzorka je sledei. Svi elementi populacije se numeriu. Ako recimo osnovni skup ima manje od 100 elemenata, potreban je niz sluajnih dvocifrenih brojeva (ili se svaki etvorocifren broj iz tablice interpretira kao dva dvocifrena). Poev od nasumce odabranog broja u tablici, uzimaju se redom sluajni dvocifreni brojevi i u uzorak ukljuuju elementi oznaeni tim brojevima. Ako takav element ne postoji, taj broj iz tablice jednostavno isputamo i nastavljamo postupak.

    Statistika analiza

    Zadatak statistike analize je, kao to smo ve naveli, da na osnovu informacija iz uzorka izvede neke zakljuke o osnovnom skupu. U postupku statistike analize mogu se izdvojiti sledee faze:

    statistiko posmatranje sreivanje podataka obrada i nauna analiza rezultata Statistiko posmatranje se sastoji u planskom prikupljanju podataka o statistikim

    jedinicama putem anketa, posmatranja, merenja itd. Tako na primer, iz sluajnog uzorka obima n dobijamo niz od n vrednosti (xi, i = 1,...,n)

    Sreivanje podataka se sastoji u njihovom tabelarnom i grafikom prikazivanju, da bi smo dobili neku predstavu o raspodeli posmatrane sluajne veliine. Prvi korak pri tom je ureivanje po veliini dobijenog niza od n brojeva, a rezultat je ureen niz koji se u statistici zove varijacioni niz:

    nxxx ,,, 21 " Obrada i analiza rezultata obuhvata matematiku obradu sreenih podataka i njihovu

    interpretaciju.

  • 50

    3.2 Empirijska raspodela Polazei od varijacionog niza nxxx ,,, 21 " za svaku od vrednosti u nizu moe se odrediti

    (apsolutna) frekvenca pojavljivanja, mi. Dobijeni rezultat je empirijska raspodela frekvenci, koja predstavlja niz parova:

    ( ) ( ) ( ) nkmxmxmx kk ,,,,,,, *2*21*1 " za koji se takoe kae da predstavlja grupisane podatke. Primetimo da je:

    nmxxxxk

    iink ===

    =

    111 ,,

    Ako se za grupisane podatke izraunaju relativne frekvence i = mi/n, dobija se empirijska raspodela relativnih frekvenci u obliku niza parova:

    nkxxx kk ),,(,),,(),,( *2*21*1 Jasno je da pri tome vai,

    1,11

    == ==

    k

    ii

    k

    ii nm

    Ako su u pitanju vrednosti neke diskretne sluajne promenljive X, tada empirijska raspodela relativnih frekvenci predstavlja aproksimaciju zakona raspodele verovatnoe sluajne promenljive X tj. teorijske raspodele i moe se prikazati tabelarno, u vidu trakastog dijagrama ili poligona raspodele to se tie reavanja problema vezanih za empirijsku raspodelu, oni e se u Excelu svesti na formiranje odgovarajuih tabela i crtanje dijagrama.. Primer 3.1. U grupi od 25 studenata II godine studija su anketiranjem dobijeni podaci o starosti u godinama:

    22, 21, 20, 23, 22, 24, 25, 21, 22, 23, 21, 22, 21, 23, 22, 22, 21, 25, 21, 26, 23, 21, 22, 21, 21

    Treba formirati empirijsku raspodelu starosti studenata u apsolutnim i relativnim iznosima. Reenje Prvo treba formirati varijacioni niz na sledei nain: U kolonu C se upisuju se podaci o starosti u godinama, oni se mogu prepisati redom iz zadataka, nakon toga sortirati. Sortiranje podatak u tabeli se vri tako to se obelee podaci i klikne na ikonicu Sort Ascending

  • 51

    i kao rezultat dobija se kolona C koja izgleda kao na slici (desno). Nakon toga korienjem funkcije COUNT prebrojavaju se podaci. Funkcija se dobija iz padajueg menija Insert, opcije Function, i iz statistikih funkcija odabere COUNT.

    Argumente funkcije predstavljaju lanovi varijacionog niza. U sledeem koraku formira se nova tabela, ona sadri grupisane podatke o broju godina.

    Vrednosti za m se dobijaju opet korienjem funkcije COUNT, i to prebrojavanjem podataka za odreenu vrednost x*, na primer :

    I na kraju se izraunavaju vrednosti , i to kao odnos m i n, za odgovarajuu grupu podataka. Ovde se pri kopiranju formula na ostatak reda mora voditi rauna o tome da je n konstanta, i da njen poloaj mora biti fiksiran, tj. da se ispred oznake reda i kolone mora staviti znak $.

    Poto je tabela konano formirana crta se grafik. Iako je crtanje grafika ve prethodno objanjeno, ovde e jo jednom biti prikazano na konkretnom primeru. Crtanje se zapoinje ili odabirom Chart iz padajueg menija Insert, ili klikom na ikonicu Chart Wizard. Tada se otvara novi prozor, u kome se bira tip grafika (Chart type), i odabere se XY (Scatter).

  • 52

    Klikne se na Next, i u sledeem prozoru odabere kartica Series, gde e se obeleiti podaci na osnovu kojih se crta grafik. Na x osi treba da budu vrednosti za x*, a na y osi za m i . Serije podataka se dodaju klikom na dugme Add, a zatim se u poljima X values i Y values upisuju odgovarajue vrednosti.

    Klikne se na Next, i u sledeem prozoru urade ostala podeavanja grafika, kao to su oznake za x i y osu, naziv grafika i slino. Nakon toga se ponovo klikne na Next i u sledeem prozoru na Finish, ime se crtanje grafika zavrava, a dodatna podeavanja se rade na grafiku, kada se desnim tasterom mia klikne na grafik i odabere opcija format.

  • 53

    Poto bi ovde trebalo prikazati zavisnost od x* na sekundarnoj osi, desnim tasterom se klikne na seriju , Format Data Series, kada se otvori novi prozor klikne se na karticu Axis i odabere opcija Plot Series on Secondary axis, potvruje se sa OK.

    Kao rezultat dobija se grafik sa primarnom i sekundarnom osom, tj. poligon raspodele starosti studenata u apsolutnim i relativnim i znosima.

  • 54

    Intervalno sreivanje podataka

    Ako je obim uzorka veliki i ako niz (4.1) sadri veliki broj meusobno razliitih vrednosti obeleja X, vri se tzv. intervalno sreivanje podataka. Intervalno sreivanje se inae praktikuje kada su u pitanju podaci o neprekidnoj sluajnoj promenljivoj. Interval [a, b) kome pripadaju sve vrednosti X za uzorak, deli se na k podintervala:

    [a, u1), [ u 1, u 2), [ u 2, u 3), . . ., [ u k-1, b) koji se nazivaju klase. Obino se uzima da su klase jednake irine. Sredine klasa emo oznaiti sa *ix :

    kiuux iii ,...,1,21* =+=

    Frekvence mi, i = 1,...,k sada predstavljaju broj vrednosti obeleja X koje pripadaju prvoj, drugoj, , k-toj klasi. Za broj klasa ne postoji striktno pravilo. Preporuuje se da ono bude od 5 21, zavisno od obima uzorka [Vukadinovic S., 1990.], a u literaturi se sreu i empirijske formule za izbor k, [Ahnazarova S., Kafarov V., 1985.]. Tabelarni prikaz intervalno sreenih podataka dat je u Tab. 4.1. Poslednje tri kolone daju empirijsku raspodelu apsolutnih i empirijsku raspodelu relativnih frekvenci.

    Tabela 4.1 Intervalno sreeni podaci

    Pored poligona raspodele, kao grafiki prikaz intervalno sreenih podataka koristi se histogram empirijske raspodele. To je niz pravougaonika ije su osnove intervali [ui-1, ui), a visine odabrane tako da su im povrine jednake relativnim frekvencama. Primer 3.2. Mereno je vreme izvoenja neke radne operacije u sekundama:

    24 28 22 26 24 27 26 25 26 23 30 26 29 25 27 24 26 25 24 27

    Formirati tabelu intervalno sreenih podataka u 5 klasa i histogram.

    klase sredine klasa

    frekvence relativne frekvence

    1 [a, u1) *1x m1 1 2 [ u 1, u 2) *2x m2 2

    # # # # # k [ u k-1, b) *kx mk k

    n 1

  • 55

    Reenje U pitanju je neprekidna sluajna promenljiva. Naravno, podaci iz uzorka su uvek diskretni, ali samo obeleje moe biti diskretno ili kontinualno (kao to je ovde sluaj). Najmanji interval u kome lee svi podaci, a njegova irina je deljiva sa 5, je interval [22, 32), pa emo usvojiti klase irine,

    d = (32 - 22)/5 = 2.

    Kao i u prethodnom primeru formira se varijacioni niz (kolona D na slici),

    na osnovu koga se formira nova tabela. Prva kolona nove tabele sadri nazive klasa, druga sredine klasa, trea frekvence, etvrta relativne frekvence, a peta visinu pravougaonika u histogramu, tj. odnos /d.

    U prvu kolonu se samo upiu podaci. Da bi se izraunale sredine klasa koristi se funkcija AVERAGE. Ona se kao i ostale funkcija poziva iz menija Insert, opcije Function, a nalazi se u statistiim funkcijama. Argument predstavlja skup vrednosti ija se srednja vrednost trai.

  • 56

    Trea kolona se popunjava kao i prethodnom primeru pomou funkcije COUNT, etvrta kao odnos broja m i n, a peta kao odnos i d, u ova dva sluaja mora se voditi rauna o tome kako se zapisuju n i d, jer se radi o konstantama. Dalje se pomou Chart Wizard-a crta histogram. U prvom koraku (Chart Type) bira se Column. Dalje se na Series Add ubacuju podaci na osnovu koji se crta histogram, u polju Values se oznaavaju vrednosti /d, u polju Category (X) axis labels klase, u konkretnom sluaju obelei se elije od E2 do E6.

    U treem koraku izvre se podeavanja oko naslova, osa i legende, u etvrtom se zavrava crtanje grafika.

    Kao rezultat dobija se sledei histogram.

  • 57

    Empirijska funkcija raspodele

    Pretpostavimo da smo grupisanjem podataka iz varijacionog niza xi, i =1,...,n (4.1), dobili empirijsku raspodelu frekvenci: kimx ii ,...,1),,(

    * = pri emu, u sluaju intervalno sreenih podataka, vrednosti *ix predstavljaju sredine klasa (vidi tabelu 4.2). Neka je x bilo koja vrednost na x-osi. Ukupan broj taaka ix , koje lee levo od odabrane take x, zove se kumulativna frekvenca N(x) i dobija se kao suma:

    0.9), tj. pribliavanje linearne stohastike zavisnosti, funkcionalnoj.

    5.3 Provera znaajnosti korelacije

    Ako je dobijena vrednost uzorakog koeficijenta korelacije (5.6) mala po apsolutnoj vrednosti, postavlja se pitanje da li ona ukazuje na postojanje linearne korelacije izmeu sluajnih promenljivih X i Y , ili je samo rezultat sluajnih varijacija vrednosti statistike Rxy, definisane formulom (5.6), oko nule kao njene srednje vrednosti. Zato proveravamo statistiku znaajnost izraunatog uzorakog koeficijenta korelacije ili, drugim reima hipotezu:

    0:0 =xyH (5.9) Teorijska osnova za formulisanje testa je sledei stav (teorema): Ako sluajna promenljiva (X,Y) ima dvodimenzionalnu normalnu raspodelu, sa nultom vrednou koeficijenta korelacije xy (X i Y su nezavisne), tada sluajna promenljiva:

    21

    2

    xy

    xy

    R

    nRT

    = (9.9)

    gde su: n - obim uzorka (5.1)

  • 82

    Rxy - uzoraki koeficijent korelacije (5.6)

    ima t - raspodelu sa d = n - 2 stepena slobode. Odatle slede kriterijumi znaajnosti uzorakog koeficijenta korelacije, odnosno odbacivanja hipoteze (5.9) i dati su u Tab.5.2 Tabela 5.2 - Testiranje hipoteze H0: = 0

    Primer 5.3 Izmerene vrednosti sadraja kalaja u leguri (x, %) i odgovarajue izmerene take topljenja (y, 0C) date su u prve dve kolone tabele: x, % 44.1 44.9 44.4 44.7 45.1 45.0 44.7 44.6 46.3 y, 0C 513 512 511 510 513 514 521 514 526

    x, % 44.9 45.1 44.5 45.1 43.0 44.8 44.2 45.2 45.5 y, 0C 525 522 521 513 537 513 519 512 514

    Proceniti koeficijent korelacije izmeu sadraja kalaja i take topljenja i testirati njegovu znaajnost sa =0.05. Reenje

    Pomou funkcije PEARSON izraunava se koeficijent korelacije r

    Testira se hipoteza:

    H0: = 0 Poto je poznato da poveanje sadraja kalaja u leguri po praviliu sniava temperaturu topljenja legure (negativna korelacija) to se, u cilju smanjenja rizika prihvatanja pogrene nulte hipoteze, bira jednostrani test, tj. alternativna hipoteza:

    H1: < 0

    Alternativna hipoteza, H1

    Statistika: Kriterijum odbacivanja hipoteze:

    0 > ,2ntt > 0

    > 2,2ntt < 0

    21

    2

    xy

    xy

    R

    nRT

    =

    vrednost za Rxy se rauna iz > 2,2ntt

  • 83

    Vrednost T - statistike izraunava se pomou funkcije TINV, a zatim se po

    formuli rauna kritina vrednost:

    75.1,27.1302.01

    16302.01

    21.0,1622==

    == tr

    nrt

    Poto je 1.27 < 1.75, izvodimo zakljuak da rezultati merenja ne ukazuju na znaajnu korelaciju izmeu sadraja kalaja i take topljenja legure.

    5.4 Interpretacija koeficijenata korelacije

    S obzirom na smisao teoretskog koeficijenta korelacije xy, njegovu procenu rxy, ima smisla raunati samo kada ima indikacija (teoretska znanja, dijagram rasipanja) da je veza izmeu posmatranih promenljivih linearna ili priblino linearna. Ako je veza nelinearna, uzoraki koeficijent korelacije r xy nije merilo jaine korelacije i moe biti i blizak nuli, uprkos jakoj vezi.

    Takoe je vano imati u vidu da statistiki znaajna vrednost koeficijenta korelacije nije dokaz da izmeu posmatranih promenljivih postoji kauzalna (sutinska) veza. Tako, visoka vrednost rxy moe biti rezultat delovanja tree promenljive, koja se menja u toku eksperimenata, a koja je prouzrokovala istovremene promene posmatranih promenljivih i privid njihove meuzavisnosti. Instruktivan i duhovit primer daju Boks i sar. [Box G., Hunter W i Hunter S, 1978]. U periodu od 7 godina, na kraju svake godine, je odreivan broj stanovnika Oldenburga i broj roda i zapaena je jaka linearna korelacija izmeu te dve veliine. Da li iz toga treba zakljuiti da je porast nataliteta prouzrokovan porastom broja roda (rode donose decu?)? U ovom primeru, trea promenljiva, sa kojom su rasle posmatrane dve jeste vreme. U laboratorijskim i pogonskim merenjima, primer "tree" ili "nekontrolisane" promenljive je temperatura, koja deluje na veliki broj fiziko-hemijskih parametara i ako se ne kontrolie (dri konstantnom) u toku praenja neke dve veliine, moe stvoriti privid kauzalne veze izmedju njih.

    Tako, da bi se utvrdila sutinska povezanost izmeu dve promenljive, neophodno je dobro poznavati njihovu fiziko-hemijsku prirodu s jedne strane, i vrlo paljivo kontrolisati eksperimente, s druge strane.

  • 84

    ZADACI

    5.1 Radi provere Njutnovog zakona hlaenja, prema kome temperatura hlaenog medijuma, y priblino linearno opada sa vremenom, x izvrena su merenja i dobijeni rezultati:

    Izraunati na tri decimale koeficijent korelacije i na osnovu njegove vrednosti oceniti jainu korelacije i njen znak.

    5.2 Radi provere Hukovog zakona (linearna veza izmeu jaine sile i deformacije) dobijeni su sledei rezultati merenja: Izraunati na tri decimale koeficijent korelacije i na osnovu njegove vrednosti oceniti jainu korelacije i njen znak.

    5.3 Dati su eksperimentalni podaci:

    x: 6 5 8 8 7 6 10 4 9 7 y: 8 7 7 10 5 8 10 6 8 6

    a) Nacrtati dijagram rasipanja i na osnovu njega proceniti jainu i znak korelacije b) Izraunati koeficijent korelacije na tri decimale c) Izraunati koeficijente regresionih pravih y(x) i x(y), sa tanou od 3 decimale d) Izraunati, sa jednom decimalom, y za x = 6 i x za y = 9 e) Testirati znaajnost koeficijenta korelacije sa nivoom znaajnosti = 0.05 5.4 Praen je prinos (y, %) neke supstance u procesu, na razliitim temperaturama (x, 0C):

    x, 0C y, % x, 0C y, % 1100 8.5 11.6 1175 37.5 40 42.3 1125 19.0 28.2 21.8 1200 50.5 50.0 1150 29.5 30.6 1225 57.2 60.3 62.7

    a) Nacrtati dijagram rasipanja i na osnovu njega proceniti jainu i znak korelacije b) Izraunati koeficijent korelacije (sa tri decimale) i proveriti njegovu znaajnost sa

    nivoom = 0.01 c) Izraunati odseak regresione prave y(x) sa jednom decimalom i nagib sa 4

    decimale. d) Izraunati prinos na temperaturi 1160 0C

    Vreme, min 4 8 10 12 16 22 Temper. 0C 46 34 30 26 24 20

    Sila, N 2 5 8 11 15 Istezanje, mm 2 23 62 119 223

  • 85

    6. Regresiona analiza

  • 86

    esto, od dve sluajne promenljive, jednu promenljivu (X) smatramo nezavisno-, a drugu (Y) zavisno-promenljivom. Tako je u Primeru 8.3, logino sadraj kalaja u leguri smatrati nezavisno-, a temperaturu topljenja legure zavisno-promenljivom. Budui da daje srednju vrednost promenljive Y za zadatu vrednost X, najbolja funkcija za predskazivanje vrednosti Y za dato X je regresiona funkcija:

    )(1 xxy = Tako je u mnogim praktinim problemima u nauci i tehnici od interesa nai priblinu regresionu funkciju i predmet regresione analize je formulisanje priblinih regresionih funkcija, koje se nazivaju regresione jednaine ili empirijske formule (jednaine), na osnovu uzorka (8.1).

    Zadatak regresione analize obuhvata:

    Izbor oblika regresione funkcije, ),...,,,( 10 kxy x = (6.1)

    gde su j, j = 0,1,...,k parametri ili koeficijenti, koji figuriu u funkciji (6.1) i zovu se pravi ili teorijski regresioni koeficijenti.

    Ocenjivanje regresionih koeficijenata j, j = 0,1,...,k, tj. odreivanje njihovih priblinih vrednosti: b j, j = 0,1,...,k, tako da regresiona jednaina,

    ),...,,,()( 10 kbbbxxy = (6.2) predstavlja to bolju aproksimaciju regresione funkcije (6.1). Koeficijenti bj se zovu empirijski regresioni koeficijenti ili parametri u empirijskoj formuli.

    Statistiku analizu dobijene jednaine: preciznost predskazivanja, intervali poverenja teorijskih regresionih koeficijenata itd.

    Izbor oblika regresione jednaine (empirijske formule)

    Iz definicije regresione funkcije, sledi da izbor oblika regresione jednaine (6.1) zahteva poznavanje raspodele verovatnoe dvodimenzionalne sluajne promenljive (X,Y). Tako, ako je ona normalna, izveli smo (Pogl. 3.6) pravolinijsku zavisnost:

    xx xyxx

    yyxy 11/

    0

    )( +=+=

    sa teorijskim koeficijentima regresije:

    xyx

    y == 101 ,

    Regresiona jednaina ili empirijska formula tada glasi:

    xbbxy 10)( +=

  • 87

    iji parametri b0 i b1 predstavljaju ocene teorijskih koeficijenata 10 , i intuitivno smo ih izveli u Pogl. 8.2 (Jedn. 8.7a,b). Moe se pokazati da te formule daju najverodostojnije ocene teorijskih regresionih koeficijenata, dakle one koje bi dobili primenom metode maksimalne verodostojnosti (Pogl. 4.4).

    Kako u optem sluaju, dvodimenzionalna raspodela nije poznata, problem izbora oblika regresione jednaine ili empirijske formule se reava priblino na osnovu:

    teoretskih znanja i iskustva u vezi sa uticajem neke fizike veliine X na drugu fiziku veliinu Y

    dijagrama rasipanja eksperimentalnih taaka ( ) niyx ii ,...,2,1,, = Na primer, poznato je da temperatura ima jak uticaj na brzinu hemijske reakcije. U hemijskoj kinetici se izraz za brzinu r nepovratne hemijske reakcije, najee trai u obliku:

    = 32121 ,...),()(),...,,( ms

    molccfTkTccr

    gde su c1,c2,..., molske koncentracije reaktanata, a k(T) se zove konstanta brzine hemijske reakcije, mada zavisi od temperature. Tako se pri ispitivanju uticaja temperature na brzinu neke reakcije, meri temperatura T(K) i eksperimentalno odreuju odgovarajue vrednosti konstante brzine hemijske reakcije k. Na osnovu poznavanja osnovnih zakonitosti u hemijskoj kinetici, empirijsku jednainu k(T) traimo u obliku poznate Arenijusove (Arrenius) formule:

    TbRTE ebekTk /0/

    01)( ==

    Zbog svoje jednostavnosti i osobine da mogu dobro da aproksimiraju razliite funkcije, kao empirijske formule se esto koriste polinomi drugog i vieg stepena:

    )2()( 2210 +++= kxbxbxbbxy kk" (6.3) Ako odabrana empirijska formula,

    ),...,,,()( 10 kbbbxfxy = (6.4) nema kao osnovu regresionu funkciju (3.31a), ve ima isto empirijski karakter, tada se naravno ne moe govoriti o parametrima bj, j = 0,1,...,k kao ocenama teorijskih regresionih koeficijenata.

    Statistika analiza regresione jednaine

    Ovo je veoma sloen problem, jer zahteva poznavanje raspodela empirijskih regresionih koeficijenata, bj, j = 0,1,...,k , kao funkcija uzorka. Tako je on, u optem sluaju reiv samo uz pretpostavku da nezavisna promenljiva nije sluajna, ve determinisana (kontrolisana) promenljiva. Drugim reima, eksperimentalne vrednosti xi, i = 1,2,..,n u uzorku (8.1) su unapred odabrane ili fiksirane. Praktino, ovaj uslov e biti zadovoljen ako su sluajne varijacije (greke merenja) u vrednostima sluajne promenljive Y mnogo vee od onih u vrednostima X ( 22 xy >> ). Na primer, pri odreivanju koeficijenata u Arenijusovoj zavisnosti konstante brzine

  • 88

    hem. reakcije od temperature, sluajne greke merenja temperature su daleko manje od sluajnih greaka pri odreivanju konstanti brzine reakcije (posredna merenja).

    6.1 Metod najmanjih kvadrata

    Princip najmanjih kvadrata je formulisao Leandr (Legendre): najverovatnija vrednost bilo koje veliine, koju odreujemo na bazi ponovljenih merenja, je ona za koju je suma kvadrata odstupanja merenja od te vrednosti najmanja. Uzmimo na primer da je radi procenjivanja tane vrednosti r neke fizike veliine, izvedeno n ponovljenih merenja, sa rezultatima: xi, i = 1,2,...,n i pretpostavimo da merenja imaju normalnu raspodelu i da ne sadre sistematske i grube greke. Prema principu najmanjih kvadrata, kao najverovatniju vrednost za r uzimamo onu za koju suma kvadrata odstupanja:

    ( )=

    =n

    ii rxrS

    1

    2)(

    ima minimum. Dobijamo je iz uslova minimuma funkcije S(r):

    ( )=

    ==n

    ii rxdr

    dS1

    02

    kao:

    =

    ==n

    ii xxn

    r1

    1

    Prepoznajemo aritmetiku sredinu, za koju smo u Pogl. 4.5 pokazali, da predstavlja najverodostojniju ocenu srednje vrednosti rezultata merenja kao sluajne veliine, koja je, pod uslovom da merenje ne sadre sistematske i grube greke, upravo jednaka tanoj vrednosti merene veliine (Pogl.2.3).

    Odreivanje parametara u empirijskoj formuli

    Neka raspolaemo eksperimentalnim takama (xi,yi), i = 1,2,...,n. Pretpostavimo, za poetak, da su svih n vrednosti nezavisno promenljive u uzorku razliite tj. da nema ponovljenih merenja zavisno promenljive za jednu vrednost nezavisne. Neka smo odabrali oblik empirijske formule (6.4), pri emu je neophodno da broj parametara (k+1) u formuli, bude manji od broja eksperimentalnih taaka:

    k + 1 < n Trae se vrednosti parametara bj, j = 0,1,...,k u odabranoj empirijskoj formuli, takve da se raunske vrednosti zavisno promenljive dobijene iz nje:

    nibbbxfy kiraci ,...,2,1),,...,,,( 10 == (6.5)

  • 89

    najmanje razlikuju od eksperimentalnih (iz uzorka): yi, i = 1,2,...,n u smislu principa najmanjih kvadrata, a to znai da suma kvadrata odstupanja ei, i = 1,2,...,n eksperimentalnih od raunskih vrednosti zavisno promenljive:

    )1()(),...,,(1

    2

    1

    210 +>===

    ==knyyebbbSS

    n

    i

    racii

    n

    iik (6.6)

    bude najmanja. Geometrijski interpretirano, biraju se tako vrednosti parametara, da se kriva (6.4) "provlai" to blie eksperimentalnim takama (Sl.6.1), pri emu je mera odstupanja krive od eksperimentalnih taaka, suma kvadrata odstupanja (6.6).

    Slika 6.1 - Provlaenje krive izmeu eksperimentalnih takaka

    Primetimo da je suma kvadrata odstupanja S, funkcija samo nepoznatih parametara, jer su vrednosti ( ) niyx ii ,...,2,1,, = poznate, a raunske vrednosti niyraci ,...,2,1, = su, prema (6.5), funkcije parametara. Problem izraunavanja parametara bj, j = 0,1,...,k se tako svodi na problem odreivanja minimuma funkcije vie promenljivih (6.6). Oni se dobijaju reavanjem sistema jednaina, koji predstavljaju potreban uslov minimuma funkcije (6.6) i kojih ima tano onoliko koliki je broj traenih parametara:

    kjb

    bbbSj

    k ,...,1,0,0),...,,( 10 ==

    (6.7)

    Jednaine (6.7) su u literaturi poznate pod nazivom normalne jednaine.

    Neka u uzorku, ( ) niyx ii ,...,2,1,, = ima ponovljenih merenja zavisno promenljive Y pri jednoj vrednosti za x, to znai da meu vrednostima xi, i = 1,2,...,n ima jednakih. Tada, uz uslov da je broj razliitih vrednosti nezavisno promenljive m (tj. broj njenih vrednosti u grupisanom uzorku) vei od broja parametara (k+1) u empirijskoj formuli:

    m > k+1 vae sva prethodna razmatranja.

  • 90

    6.2 Srednje kvadratno odstupanje empirijske formule Neka smo metodom najmanjih kvadrata odredili parametre bj, j = 0,1,...,k u odabranoj

    empirijskoj formuli (6.4):

    ),...,,,()( 10 kbbbxfxy = Nekada smo meutim suoeni sa problemom da od vie empirijskih jednaina, koje mogu

    da sadre razliit broj paramatara, odaberemo najbolju, tj. onu koja najbolje opisuje ili "fituje" (od glagola to fit) date eksperimentalne podatke, odnosno najmanje u odreenom smislu odstupa od njih. Za reavanje tog problema, potrebna nam je neka mera odstupanja empirijske formule, iji su parametri izraunati metodom najmanjih kvadrata, od eksperimentalnih podataka. U skladu sa principom najmanjih kvadrata, kao traena mera, koristi se srednje kvadratno odstupanje empirijske formule ili regresione jednaine (6.4), definisano kao:

    )1(

    )),...,,,((

    )1(

    )(1

    210

    1

    2

    2

    +

    =+

    ===

    kn

    bbbxfy

    kn

    yys

    n

    ikii

    n

    i

    racii

    (6.8)

    Kao to vidimo, suma kvadrata odstupanja eksperimentalnih od raunskih vrednosti iz dobijene empirijske formule, deli se razlikom ukupnog broja eksperimentalnih taaka i ukupnog broja parametara u formuli. Tako se mogu porediti regresione jednaine sa razliitim brojem parametara, pri emu je pri jednakim sumama kvadrata odstupanja za dve formule, bolja ona koja sadri manji broj parametara. Srednje kvadratno odstupanje (6.8) se u regresionoj analizi koristi za:

    poreenje kvaliteta vie regresionih jednaina, analizu adekvatnosti neke regresione jednaine Ako se neka regresiona jednaina oceni kao adekvatna (adekvatno opisuje zavisnost srednje

    vrednosti sluajne promenljive Y od kontrolisane promenljive x), onda njeno srednje kvadratno odstupanje s2:

    daje nepristrasnu ocenu disperzije sluajne promenljive Y predstavlja meru jaine stohastike zavisnosti Y od x (ukoliko je s2 vee, veza je slabija)

    6.3 Koeficijent determinacije

    Kao mera jaine linearne stohastike veze izmeu promenljivih slui koeficijent korelacije

    (Glava 5). Da bi smo definisali optu meru jaine veze (linearne ili nelinearne) izmeu sluajne promenljive Y i kontrolisane promenljive x, razmotriemo znaenje dve sume kvadrata odstupanja izraunate iz uzorka (xi, yi) i = 1,2,...,n. Suma:

    =

    =n

    ii yySST

    1

    2)(

    predstavlja meru ukupne varijacije u eksperimentalnim vrednostima, yi. Suma,

  • 91

    ==

    ==n

    ik

    n

    i

    raci ybbbxfyySSF

    1

    210

    1

    2 )),...,,,(()(

    meri varijacije raunskih vrednosti koje daje regresiona jednaina, oko aritmetike sredine y kao odabrane referentne vrednosti. Moe se rei da SSF predstavlja objanjenu (empirijskom formulom) varijaciju oko y .

    U sluaju da Y ne zavisi od x, odnosno da je:

    yxy = / empirijska jednaina, koja daje ocene srednje vrednosti za Y, e kao procene dati

    niyyraci ,...,2,1, = to kao rezultat ima vrednost SSF blisku nuli, odnosno kolinik dve sume blizak nuli:

    0SSTSSF

    Drugi granini sluaj je funkcionalna veza izmeu dve promenjive to znai da ni Y nije sluajna promenljiva. Tada e, pod pretpostavkom da je forma regresione jednaine tana, ona tano reprodukovati eksperimentalne take :

    niyy iraci ,...,2,1, ==

    pa e kolinik dve sume biti jednak jedinici:

    1=SSTSSF

    Dakle, kao pogodna mera jaine veze izmeu x i Y namee se kolinik dve sume:

    10,)(

    )(2

    1

    2

    1

    2

    2

    =

    =

    = Ryy

    yyR n

    ii

    n

    i

    raci

    (6.6)

    koji se zove koeficijent determinacije. Za koeficijent determinacije vai: 0 R2 1 pa se on moe interpretirati kao deo ukupne varijacije koji je objanjen empirijskom formulom. S obzirom na ovu osobinu, koeficijent determinacije je pogodnija mera jaine veze izmeu Y i x nego srednje kvadratno odstupanje s2 (6.8).

    6.4 Odreivanje pravolinijske zavisnosti

    Pretpostavimo da srednja vrednost sluajne promenljive Y linearno zavisi od kontrolisane promenljive x:

    xxy 10 += (6.10)

  • 92

    Drugim reima, zavisno promenljivu Y moemo da prikaemo u obliku zbira njene srednje vrednosti (6.10) i sluajnog odstupanja (greke) E :

    0)(1 =++= EE M,xY o (6.11) Iz uzorka ( ) niyx ii ,...,2,1,, = procenjujemo vrednosti teorijskih regresionih koeficijenata 10 , , ili drugim reima, izraunavamo parametre b0, b1 (odseak prave i njen nagib) u empirijskoj formuli:

    xbby 10 += (6.12) Metodom najmanjih kvadrata, uzorake regresione koeficijente b0, b1 dobijamo iz uslova minimuma sume kvadrata odstupanja eksperimentalnih od raunskih vrednosti (6.6), koja u sluaju formule (6.12) izgleda:

    ==

    +==n

    iii

    n

    i

    racii xbbyyybbS

    1

    210

    1

    210 )]([)(),(

    Primenjujui pravilo da je prvi izvod sume jednak sumi prvih izvoda, za uslove minimuma dobijamo:

    =

    =+= n

    iii xbbyb

    S1

    100

    0)1)](([2

    =

    =+= n

    iiii xxbbyb

    S1

    101

    0))](([2

    odnosno, nakon deljenja jednaina sa (-2) i sreivanja:

    = =

    =n

    i

    n

    iii xbnby

    1 110 0

    = ==

    =n

    i

    n

    ii

    n

    iiii xbxbyx

    1 1

    21

    10 0

    Konano, nakon prebacivanja poznatih vrednosti na drugu stranu jednaina, dobijamo sistem od dve linearne jednaine po traenim parametrima:

    ==

    =

    +n

    ii

    n

    ii ybxnb

    11

    10 (6.13a)

    ===

    =

    +

    ni

    ii

    n

    ii

    n

    ii yxbxbx

    11

    1

    20