Praktikum Fisika Komputasi

7/26/2019 Praktikum Fisika Komputasi

1/15

Laporan Praktikum

Penyelesaian Pencarian Akar PersamaanMenggunakan Program Fortran90Diajukan untuk Memenuhi Laporan Kegiatan Praktikum Fisika Komputasi

Disusun oleh :Nama : Ahmad Hasan Asari

NIM : 14/362512/PA/15766Hari, Tanggal : Kamis, 24 Maret 2016

Asisten : Jihan Ahmad

: Halim Hamadi

: Muhammad Egi

PROGRAM STUDI FISIKA

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM

UNIVERSITAS GADJAH MADA

YOGYAKARTA2016


2/15

1 Pendahuluan

1.1 Latar Belakang

Secara garis besar, ilmu fisika dapat dipelajari lewat 3 jalan, yaitu per-tama, dengan menggunakan konsep atau teori fisika yang akhirnya melahirkanfisika teori. Kedua, dengan cara eksperimen yang menghasilkan aliran fisikaeksperimental. Dan ketiga, fisika bisa dipelajari lewat simulasi fenomena alamyang sangat mengandalkan komputer serta algoritma numerik. Metode nu-merik digunakan untuk menyelesaikan persoalan dimana perhitungan secaraanalitis tidak dapat digunakan.

Banyak kasus didalam fisika yang terkait masalah pencarian akar darisuatu persamaan diantaranya kasus pencarian titik dengan medan listrik sama

dengan nol (E = 0), pusat massa suatu benda, titik kesetimbangan danlain - lain. Sedangkan tidak semua persamaan langsung secara analitis bisadicari akar - akar persamaannya. Oleh karena itu metode numerik dalammasalah pencarian akar - akar persamaan sangat membantu dalam penyelesa-ian masalah tersebut.

1.2 Tujuan

Tujuan dari praktikum fisika komputasi ini adalah memahami metodeNewton-Rhapson dalam mencari akar sebuah persamaan terkait masalah dibidang fisika.

2 Dasar Teori

2.1 Metode Pencarian Akar Bisection

Dinamakan metode Bisectiondidasarkan atas teknis metode ini adalahbelah dua. Metode Bisectiondirumuskan berdasarkan Teorema yang meny-atakan bahwa bila fungsi kontinu dalam selang/interval (a, b) dan f(a) sertaf(b) berlawanan tanda, makaf() untuk suatu bilangan sedemikian hinggaa < < b. Dengan metode Bisection, nilai pertama kali diaproksimasidengan memilih x0 yang didefinisikan dengan x0= a+b2 . Bila f(x0) = 0 atauf(x0) dekat kepada nilai 0 untuk suatu nilai toleransi yang diberikan makax0 adalah nilai akar darif(x) . Sebaliknya bila f(x0)= 0 atau f(x0) dekatkepada nilai 0 tetapi tidak memenuhi suatu nilai toleransi yang diberikan,maka berdasarkan Teorema tersebut ada dua kemungkinan yakni nilai akarberada di antara a dan x0 atau nilai akar berada di antara x0 dan b. Darisalah satu kemungkinan ini, metode Bisectionkembali akan digunakan. Secarageometris, metode Bisection yang dikemukakan di atas dapat diilustrasikanmelalui gambar grafik berikut ini.

1


3/15

Gambar 1: Ilustrasi metode pencarian akar Bisection

Kelebihan metode bisection :

Sangat simple, konvergen terjamin

Kekurangan metode bisection :

Proses konvergen lamban.

2.2 Metode Pencarian Akar Newton-Raphson

Metode Newton-Raphson didasarkan pada aproksimasi linear fungsi danmenggunakan prinsip kemiringan (Tangen) kurva fungsi yang ditinjau.(Gambar2.)

Gambar 2: Menentukan kemiringan kurva suatu fungsi

Kalkulasi dengan metode Newton diawali dengan x0 yang tidak ter-lalu jauh dari salah satu akar yang dicari, bergerak sepanjang garis linear(kemiringan atau tangen garis) ke perpotongannya di sumbu-x, dan mengam-bilnya sebagai titik aproksimasi untuk yang berikutnya. Perlakuan ini diteruskanhingga nilai-nilaixdirasakan sukses cukup dekat ke fungsi bernilai nol. Skema

2


4/15

kalkulasinya mengikuti segitiga yang dibangun dengan sudut inklinasi darikemiringan garis pada kurva di x= x0 yaitu

tan() = f(x0) = f(x0)

(x0 x1)atau x1=x0

f(x0

f(x0)(1)

Aproksimasi berikutnya diteruskan dengan menghitung x2dengan skema yangsama dimana nilai x0 digantikan oleh x1 . Secara umum metode Newtondirumuskan oleh skema berikut ini:

xn+1= xnf(xn)

f(xn)(2)

Kelebihan metode Newton-Raphson :

Konvergensi yang dihasilkan lebih cepat.

Kelemahan metode Newton-Raphson :

Tidak selalu menemukan akar (divergen).

Kemungkinan sulit dalam mencari f(xn).

Penetapan harga awal (xn) yang sulit.

3 Metode Eksperimen

3.1 Script dan Fungsi Komputasi

3.1.1 Percobaan 1

Berikut Source codepada program Fortran90 untuk percobaan I dimanamencari akar dari persamaan yang diambil dari masalah di bidang fisika. Darimasalah tersebut dirumuskan persamaan sebagai berikut

f(x) = 3

(5 x)2

5

x2 = 0 (3)

Listing 1: Listing program Fortran untuk percobaan I.

Program titik_nol

implicit none

real::x0,x1,delta,tol

integer::i,imak

imak=20

tol=1.0e-14

write(*,*)"berikan masukan nilai x0 ="

read(*,*) x0i=0

3


5/15

do

i=i+1

x1=x0-fung(x0)/dfung(x0)

delta=x1-x0write(*,*)"akar iterasi ke",i,"adalah",x1

IF((ABS(delta) .LE. tol) .OR. (i .GE. imak)) EXIT

x0=x1

end do

write(*,*) "nilai akar =",x1

Contains

FUNCTION fung(x)

Real::fungReal, intent(in) : : x

fung=3.0/(5.0-x)**2 -5.0/x**2

END FUNCTION fung

FUNCTION dfung(x)

Real::dfung

Real,intent(in)::x

dfung=6.0/(5.0-x)**3+10.0/x**3

END FUNCTION dfung

end Program titik_nol

3.1.2 Percobaan 2

BerikutSource codepada program Fortran90 untuk percobaan II dimanamencari nilai - nilai akar dari persamaan diambil dari masalah di bidang fisika.Persamaan tersebut didefinisikan sebagai berikut

f(x) = 3

(5.0 x)2

5

x2

2

(x+ 1)2+

6

(8 x)2 = 0 (4)

Listing 2: Listing program Fortran untuk percobaan II.

Program titik_nol

implicit none


integer::i,imak

imak=100

tol=1.0e-14


read(*,*) x0i=0

4


6/15

do

i=i+1


delta=x1-x0write(*,*)"akar iterasi ke",i,"adalah",x1


x0=x1

end do


Contains

FUNCTION fung(x)

Real::fungReal, intent(in) : : x

fung=3.0/(5.0-x)**2 -5.0/x**2-2.0/(x+1)**2+6.0/(8-x)**2

END FUNCTION fung

FUNCTION dfung(x)

Real::dfung

Real,intent(in)::x

dfung=6.0/(5.0-x)**3+10.0/x**3+4.0/(x+1)**3+12.0/(8-x)**3

END FUNCTION dfung


3.1.3 Percobaan 3

Berikut Source code pada program Fortran90 untuk percobaan III di-mana akan dicari akar - akar dari persamaan yang dirumuskan sebagai berikut.

f(x) =x2 + 2x 1

x3 = 0 (5)

Listing 3: Listing program Fortran untuk percobaan III.Program titik_nol

implicit none


integer::i,imak

imak=100

tol=1.0e-14


read(*,*) x0

i=0

5


7/15

do

i=i+1


delta=x1-x0

write(*,*)"akar iterasi ke",i,"adalah",x1


x0=x1

end do


Contains

FUNCTION fung(x)

Real::fung

Real, intent(in) : : xfung=x**2+2*x-1/x**3

END FUNCTION fung

FUNCTION dfung(x)

Real::dfung

Real,intent(in)::x

dfung=2*x+2+3/x**4

END FUNCTION dfung


3.1.4 Percobaan 4

Berikut Source code pada program Fortran90 untuk percobaan IV dimanaterambil persamaan trigonometri yaitu

f(x) = sin x (6)

Listing 4: Listing program Fortran untuk percobaan IV.

Program titik_nolimplicit none


integer::i,imak

imak=100

tol=1.0e-14


read(*,*) x0

i=0

doi=i+1

6


8/15


delta=x1-x0

write(*,*)"akar iterasi ke",i,"adalah",x1


x0=x1

end do


Contains

FUNCTION fung(x)

Real::fung

Real, intent(in) : : x

fung=sin(x)

END FUNCTION fung

FUNCTION dfung(x)

Real::dfung

Real,intent(in)::x

dfung=cos(x)

END FUNCTION dfung


3.2 Tugas

3.2.1 Percobaan 1

Pertama, source codedi atas di-compilekemudian dimasukkan nilai dibawah ini satu per satu

x0= 3 x0= 5

x0= 2 x0=2

x0= 10

Kedua, iterasi maksimum diubah menjadi 100 sehingga dalamscriptimak=100 kemudian di-compilekembali kemudian dimasukkan nilaix0= 8 dan x0=10

3.2.2 Percobaan 2

Source code di atas di-compilekemudian dimasukkan nilai - nilai yangsama seperti pada percobaan 1 bagian pertama.

3.2.3 Percobaan 3

Source codedi atas di-compilekemudian dimasukkan nilaix0= 5 dan x0=10.

7


9/15

3.2.4 Percobaan 4

Source codedi atas di-compilekemudian dimasukkan nilaix0= 0.3 dan x0=0.5.

4 Hasil Eksperimen

4.1 Percobaan 1

Berikut hasil yang didapatkan pada percobaan 1 bagian pertama yaitudengan iterasi maksimumimak= 20 dan nilai - nilai di atas.

akar iterasi ke 1 adalah 2.8264463akar iterasi ke 2 adalah 2.8175545

akar iterasi ke 3 adalah 2.8175416akar iterasi ke 4 adalah 2.8175416nilai akar = 2.8175416

Tabel 1: Hasil iterasi pada percobaan 1 dengan x0= 3 dan iterasi maksimumimak= 20

akar iterasi ke 1 adalah NaNakar iterasi ke 2 adalah NaN...................... .. ........ ......

akar iterasi ke 20 adalah NaNnilai akar = NaN


akar iterasi ke 1 adalah 2.6226416akar iterasi ke 2 adalah 2.8185940...................... .. ........ ......akar iterasi ke 5 adalah 2.8175416

nilai akar = 2.8175416Tabel 3: Hasil iterasi pada percobaan 1 dengan x0= 2 dan iterasi maksimumimak= 20

Kemudian berikut hasil percobaan 1 bagian kedua dengan nilai x0= 8 dan x0=10 serta iterasi maksimum imak= 100.

4.2 Percobaan 2

Berikut hasil yang didapatkan pada percobaan 2 dengan iterasi mak-

simum imak = 100 dan nilai - nilai yang sama dengan percobaan 1 bagianpertama.

8


10/15

akar iterasi ke 1 adalah -2.9645181akar iterasi ke 2 adalah -4.3669548...................... .. ........ ......akar iterasi ke 20 adalah -4642.0132

nilai akar = -4642.0132

Tabel 4: Hasil iterasi pada percobaan 1 denganx0= 2 dan iterasi maksimumimak= 20


nilai akar = 22.182459

Tabel 5: Hasil iterasi pada percobaan 1 dengan x0

= 10 dan iterasi maksimumimak= 20











4.3 Percobaan 3

Berikut hasil yang didapatkan pada percobaan 3 dengan iterasi maksi-mumimak= 100 dan nilai x0= 5 dan x0= 10

9


11/15

akar iterasi ke 1 adalah NaNakar iterasi ke 2 adalah NaN...................... .. ........ ......akar iterasi ke 100 adalah NaN

nilai akar = NaN


akar iterasi ke 1 adalah 2.5801105akar iterasi ke 2 adalah 2.7432473akar iterasi ke 3 adalah 2.7440815akar iterasi ke 4 adalah 2.7440815


Tabel 10: Hasil iterasi pada percobaan 2 denganx0

= 2 dan iterasi maksimumimak= 100

akar iterasi ke 1 adalah -2.5993240akar iterasi ke 2 adalah -3.5291753...................... .. ........ ......akar iterasi ke 17 adalah -54.375397

nilai akar = -54.375397

Tabel 11: Hasil iterasi pada percobaan 2 dengan x0 = 2 dan iterasi maksi-mumimak= 100

akar iterasi ke 1 adalah 11.012036akar iterasi ke 2 adalah 12.520412...................... .. ........ ......akar iterasi ke 100 adalah NaN

nilai akar = NaN



...................... .. ........ ......akar iterasi ke 6 adalah 0.77480412

nilai akar = 0.77480412


4.4 Percobaan 4

Berikut hasil yang didapatkan pada percobaan 4 dengan iterasi maksi-mumimak= 100 dan nilai x0= 0.3 dan x0= 0.5

10


12/15


nilai akar = 0.77480412


akar iterasi ke 1 adalah -9.33624059E-03akar iterasi ke 2 adalah 2.70827996E-07akar iterasi ke 3 adalah 0.0000000akar iterasi ke 4 adalah 0.0000000


Tabel 15: Hasil iterasi pada percobaan 4 dengan x0

= 0.3 dan iterasi maksi-mumimak= 100

akar iterasi ke 1 adalah -4.63025086E-02akar iterasi ke 2 adalah 3.31162446E-05akar iterasi ke 3 adalah 0.0000000akar iterasi ke 4 adalah 0.0000000


Tabel 16: Hasil iterasi pada percobaan 4 dengan x0 = 0.5 dan iterasi maksi-mumimak= 100

5 Pembahasan

Alhamdulillah, telah dilakukan praktikum fisika komputasi tentang pen-carian akar - akar dari suatu persamaan. Dari pencarian akar - akar dari be-berapa persamaan di atas menghasilkan nilai - nilai yang cukup baik. Karenadalamsource codediatur sedemikian rupa sehingga didapatkan nilai hasil yangcukup dekat dengan nilai yang sesungguhnya. Bisa dilihat pada percobaan 1bagian pertama didapatkan nilai akar sebesar 2.8175416 dan 22.182459 den-gan nilai yang sebenarnya sebesar 2.81754163448146 dan 22.1824583655185.Selisih antara nilai yang didapatkan dan nilai yang sebenarnya cukup kecil

sehingga bisa diabaikan. Sebagai contoh, kedua nilai tersebut sesuai perhitun-gan numerik sudah benar namun secara fisis ketika dua muatan yang jenisnyasama diposisikan segaris maka hanya terdapat satu titik diantara keduanyayang medan listriknya bernilai nol E= 0.

Namun timbul masalah ketika iterasi yang dilakukan hanya beberapakali. Contoh kasusnya pada percobaan 1 dengan x0 = 2 dan iterasi mak-simum imak = 20 didapati bahwa nilai yang didapatkan sangat jauh meny-impang dari nilai yang sebenarnya. Seharusnya nilai yang didapatkan padakasus tersebut jika iterasi yang dilakukan semakin banyak maka akan menuju

nilai tak hingga atau dalam program Fortran90 menampilkan hasil NaN

11


13/15

(Not an Number) yang sama halnya pada percobaan 2 dengan x0 = 10 den-gan iterasi maksimum imak = 100 yang menampilkan hasil tak hingga pula. Pada percobaan 1 dan 2 ketika dimasukkan nilai x0 = 5 maka ke-dua percobaan tersebut menghasilkan NaN (Not an Number). Hal tersebut

dikarenakan ketika nilaix0= 5 dimasukkan ke dalam persamaan pada keduapercobaan yaitu 3/(5 x)2 maka akan menghasilkan nilai tak hingga atauNaN (Not an Number) pada program.

Secara keseluruhan dari beberapa persamaan di atas, dengan menggu-nakan metode Newton-Raphson dalam penentuan nilai akar - akar persamaandidapatkan dengan lebih cepat. Namun tidak selalu menemukan suatu ni-lai konvergen, terkadang sulit menentukan turunan persamaannya, dan harusberhati-hati dalam menentukan nilai awal x0.

6 Kesimpulan

Kesimpulan yang dapat diambil dari pembahasan di atas diantaranyasebagai berikut :

1. Semakin kecil nilai toleransi yang ditentukan maka semakin teliti nilaiyang didapatkan dan berlaku sebaliknya.

2. Semakin banyak iterasi yang dilakukan maka semakin teliti nilai yangdidapatkan dan berlaku sebaliknya.

3. Metode Newton-Raphson memiliki kelebihan dan kekurangan tersendiri.Namun secara umum metode ini cukup mumpuni dalam menentukannilai - nilai akar dari suatu persamaan.

DAFTAR PUSTAKA

Nurwantoro, Pekik. 2016. Petunjuk Praktikum Fisika Komputasi. Yogyakarta: Lab. Fisika Atom dan Inti FMIPA UGM.Zakaria, Ahmad. 2005. Pemograman Numerik Menggunakan Bahasa Fortran. Lampung: Fakultas Teknik Universitas Lampung.

, 2006. Buku Ajar : Metode Numerik. Lampung: FMIPA UniversitasLampung.

Yogyakarta, 31 Maret 2014

Asisten I Asisten II Asisten III Praktikan

Halim Hamadi Jihan Ahmad Muhammad Egi Ahmad Hasan Asari

12


14/15

Lampiran

fisanti010@linux-lz4s: /Asari15766> gfortrannewton.f90 osipfisanti010@linux lz4s: /Asari15766> ./sip

berikanmasukannilaix0 =3akariterasike1adalah2.8264463akariterasike2adalah2.8175545akariterasike3adalah2.8175416akariterasike4adalah2.8175416nilaiakar = 2.8175416fisanti010@linux lz4s: /Asari15766> ./sipberikanmasukannilaix0 =5akariterasike1adalahNaNakariterasike2adalahNaN............................akariterasike20adalahNaNnilaiakar = N aNfisanti010@linux lz4s: /Asari15766> ./sipberikanmasukannilaix0 =2akariterasike1adalah2.6226416akariterasike2adalah2.8185940................................

akariterasike5adalah2.8175416nilaiakar = 2.8175416fisanti010@linux lz4s: /Asari15766> ./sipberikanmasukannilaix0 = 2akariterasike1adalah 2.9645181akariterasike2adalah 4.3669548................................akariterasike20adalah 4642.0132nilaiakar = 4642.0132

fisanti010@linux lz4s: /Asari15766> ./sipberikanmasukannilaix0 =10akariterasike1adalah11.842105akariterasike2adalah14.078759................................akariterasike10adalah22.182459nilaiakar = 22.182459fisanti010@linux lz4s: /Asari15766> gfortrannewton.f90 osipfisanti010@linux lz4s: /Asari15766> ./sip

berikanmasukannilaix0 =8

13


15/15

akariterasike1adalah9.2591009akariterasike2adalah10.904586................................akariterasike11adalah22.182459

nilaiakar = 22.182459fisanti010@linux lz4s: /Asari15766> ./sipberikanmasukannilaix0 =10akariterasike1adalah11.842105akariterasike2adalah14.078759...............................akariterasike10adalah22.182459nilaiakar = 22.182459fisanti010@linux lz4s: /Asari15766> gfortrannewton2.f90 osip

fisanti010@linux lz4s: /Asari15766> ./sipberikanmasukannilaix0 =3akariterasike1adalah2.7580330akariterasike2adalah2.7440958akariterasike3adalah2.7440815akariterasike4adalah2.7440815nilaiakar = 2.7440815fisanti010@linux lz4s: /Asari15766> ./sipberikanmasukannilaix0 =

5akariterasike1adalahNaNakariterasike2adalahNaN....................................akariterasike100adalahNaNnilaiakar = N aNfisanti010@linux lz4s: /Asari15766> ./sipberikanmasukannilaix0 =2akariterasike1adalah2.5801105akariterasike2adalah2.7432473

akariterasike3adalah2.7440815akariterasike4adalah2.7440815nilaiakar = 2.7440815fisanti010@linux lz4s: /Asari15766> ./sipberikanmasukannilaix0 = 2akariterasike1adalah 2.5993240akariterasike2adalah 3.5291753.................................akariterasike17adalah 54.375397

nilaiakar = 54.375397

14

Documents

Praktikum Fisika Komputasi