1.Grupisanje podataka i numerike deskriptivne mere

1.1 Srednje vrednosti1.1.1 Aritmetika sredinaProsta aritmetika sredina dobija se kada se saberu sve vrednosti lanova jedne serije pa se taj zbir podeli brojem lanova te serije.

Ponderisana aritmetika sredina upotrebljava se onda ako pojedini lanovi serije nemaju iste frekvencije i izraunava se:

1. Visina igraa jednog koarkakog tima iznosi u centrimetrima 195, 180, 190, 202, 205, 201, 198, 199, 200, 204. Nai prosenu visinu igraa.

Reenje:

2.U jednom ispitnom roku dobijene su sledee ocene na ispitu iz jednog predmeta.ocena6

78910

Broj studenata32141185

Izraunati prosenu ocenu iz tog predmeta.

Reenje:Ocene (xi)Broj studenata (fi)Grupni proizvod (xifi)

632192

71489

81188

9872

10550

3. Na jednom kolokvijumu 150 studenata osvojilio je sledei broj poena:Broj bodova0-56-1011-1516-2021-25

Broj studenata2821523415

Izraunati prosean broj osvojenih bodova.Reenje:Broj bodova(xi)Broj studenata(fi)Razredna sredina (xifi)

0-5282,570

6-10218168

11-155213676

16-203418612

21-251523345

1.1.2 Geometrijska sredinaProsta geometrijska sredina izraunava se na sledei nain:

Primenom logaritamskog rauna dobija se prosta geometrijska sredina u logaritamskom obliku:

Ponderisana geometrijska sredina se izraunava na sledei nain:

Primenom logaritamskog rauna dobija se ponderisana geometrijska sredina u logaritamskom obliku:

Geometrijska sredina se ne moe izraunati ako numerika serija ima neku vrednost koja je nula ili negativan broj.

1.Proizvodnja jednog artikla po mesecima bila je 8, 12, 16, 19, 21 i 23. Izraunati prosenu mesenu proizvodnju datog artikla.

2.Raspored radnika prema random stau u jednoj fabrici bila je:Godine staa5-1010-1515-2020-2525-3030-35

Broj zaposlenih28213824158

Izraunati prosean radni sta zaposlenih.Godine staa (xi)Broj zaposlenih (fi)Razredna sredinaLogxifilogxi

5-10287,50.8750624,50168

10-152112,51,0969123,03511

15-203817,51,2430347,23514

20-252422,51.3521832,45232

25-301527,51,4393321,58995

30-35832,51,5118812,09504

160,90924

G=15,87Proseni radni stau fabrici bio je 15,87 godina.

1.1.3 Harmonijska sredinaHarmonijska sredina upotrebljava se u onim sluajevima kada numerika vrenost obeleja i obim pojave stoje u obrnutojsrazmeri i kada su vrednosti obeleja za koje treba izraunati sredinu izraene u vidu recipronih odnosa.Prosta harmonijska sredina se izraunava na sledei nain:

Ponderisana harmonijska sredina se izraunava na sledei nain:

1. Automobil pree 150km brzinim od 60 km/h i vrati se brzinom 50km/h.Izraunati srednju brzinu kretanja automobila.

H=

2. Za izradu jednog proizvoda prvi radnik utroi 10 minuta, dok drugi radnik potroi 6 minuta.Izraunati proseno vreme utroeno za izradu proizvoda.

1.2 Pozicione srednje vrednosti1.2.1 ModusModus je onaj podataka koji se najee javlja u seriji, tj. ima najveu frekvenciju. Numerika serija moe imati jedan, dva , ili vie modusa, a moe se desiti da modus ne postoji.1.Data je sledea serija podataka.Odrediti modus.10, 7, 8, 13, 8, 17, 19, 12, 12, 10, 6, 7, 12, 10. 15, 12Mo=122.Iz sledee serije podataka odrediti modus:14, 19, 19, 19, 23, 23, 23, 25, 25, 25, 27, 29, 30Ovde se radi o polimodalanoj seriji podataka: Mo=19, Mo=23, Mo=25.

Izraunavanje modusa kod intervalnih serija

Kod intervalnih serija postoji modalni interval sa najveom frekvencijom koji sadri vrednost modusa, ta vrednost se izraunava po obrascu :

x- donja granica modalnog intervala i- irina modalnog intervala f1- frekvenicija predhodnog intervala f2 frekvencija modalnog intervala f3- frekvencija narednog intervala

1.Dat je raspored domainstava prema mesenoj potronji jednog artikla:potronja2-44-66-88-1010-1212-14

Br.domainstava8102119156

Izraunati najesu potronju prehrambenih proizvoda po domainstvu.Reenje:

U ovoj seriji modalni interval sa najveom frekvencijom je od 6 do 8, pa su vrednosti sledee:x=6, i=2, f1=10, f2=21, f3=19

Mo=7,692Najesa potronja prehrambenog proizvoda po domainstvu je 7,692 kilograma.

1.2.2 Medijana

Medijana je srednja vrednost svih vrednosti obeleja ureenih po veliini. Kod odreivanja medijane moramo razlikovati sluajeve kada je broj vrednosti obeleja paran i neparan. Ako je broj vrednosti obeleja neparan broj, onda postoji jedna vrednost obeleja koja je srednja vrednost obeleja. Ako je broj vrednosti obeleja paran broj, tada postoje dva srednja lana i uzima se njihova aritmerika sredina.Medijana kod intervalnih serija sa neparnim brojem podataka izraunava se po obrascu:

Medijana kod intervalnih serija sa parnim brojem podataka izraunava se po obrascu:

X1-donja granica medijalnog intervalX2-gornja granica medijalnog intervalW2-zbirna frekvencija medijalnog intervala iz rastue kumulanteW1- zbirna frekvencija medijalnog intervala iz rastue kumulante

1.Odrediti medijanu za sledeu seriju podataka:18, 25, 19, 22, 26, 28, 30, 16, 36Prvo se serija podataka uredi po veliini:16, 18, 19, 22, 25, 26, 28, 30, 36.

Pozicija medijane je , to znai da je medijana vrednost petog lana serije: Me=252. Na sluajan nain izabrano je 85 studenata jednog fakulteta jednog i izmerena je njihova visina.Izraunati medijanu.visina150-160160-170170-180180-190190-200200-210

Broj studenata515302483

Reenje:VisinaBroj studenataRastua kumulanta

150-16055

160-1701520

170-1803050

180-1902474

190-200882

200-210385

Ukupno

Mesto medijane je: Medijalni interval je (170-180), odakle je x1=170, x2=180, W2=50, W1=20

Polovina studenata ima visinu manju od 177,5 cm, a druga polovina ima visinu veu od 177,5 cm.

1.3 Mere varijabilitetaVarijansa ()Varijansa predstavlja proseno kvadratno odstupanje podataka u seriji, od aritmetike sredine te serije. Njena vrednost se kree od nule do beskonano. Varijansa kod prostih serija se izraunava po obrascu

Varijansa kod serija distribucije frekvancija:

Standardna devijacija () predstavlja kvadratni koren iz varijanse = , kod prostih serija . = , kod serija distribucija frekvencija.

Koeficijent varijacije ( izraunva se po obrascu Zadatak 1.Na 40 parcela prinos ovsa u bio je Prinos ovsa u 3.1 - 5 5.1 7 7.1 9 9.1 11 11.1 13 13.1 - 15

Broj parcela 5 8 11 9 4 3

ReenjePrinos ovsa u Broj parcela ()Razredna sredina

3.1-554.0520.25-4.419.3696.8

5.1-786.0548.4-2.45.7646.08

7.1-9118.0588.55-0.40.161.76

9.1-11910.0590.451.62.5623.04

11.1-13412.0548.23.612.9651.84

13.1-15314.0542.155.631.3694.08

Ukupno/338//313.6

= Prosean prinos ovsa na 40 parcela iznosi 8.45 = Kvadratno odstupanje prinosa ovsa od prosenog prinosa ovsa na 40 parcela je 7,84 .

Zadatak 2.Broj ugostiteljskih objekata po optinama bio je:520153548173839

719204046283541

917193839314229

1016304250422519

Grupisati podatke u obliku intervalne numerike serije.

Reenje.Broj intervala irina intervala Donja granica prvog intervalak = 1+3.3log32 i = k = 1+3,3*1.50515 i = k = 1+4,96699 i = 7.54 k = 5.96699 i 8 k 6Broj grupnih intvervala je 6. Maksimalan broj ugostiteljskih radnji je je 50, minimalan broj je 5. irina grupnog intervala i 8 . Donja granica grupnog intervala je .Na osnovu izraunatih vrednosti parametara k, i, moemo i napraviti tabelu grupisanja opstina prema broju ugostiteljskih radnji.

Zadaci za vebu:1.Broj ugostiteljskih objekata po optinama bio je: 5 20 15 35 48 17 38 39 7 19 20 40 46 28 35 41 9 17 19 38 39 31 42 29 10 16 30 42 50 42 25 19 a)Grupisati podatke u obliku intervalne numerike serije b)Izraunati modus i standardnu devijaciju

2. Potronja mleka u 24 domainstava u litrima iznosila je: 17 9 9 20 24 30 30 13 9 9 10 12 12 14 15 137 7 9 9 14 15 15 17 a)Grupisati podatke u obliku intervalne numerike serije b)Izraunati medijanu i varijansu

3. Anketirano je 30 kupaca u prodavnicama o prosenoj dnevnoj potronji hleba.Dobijeni su sledei podaci: 1 2 3 2 1 1 6 3 2 3 1 5 4 2 2 3 1 4 2 6 3 1 5 2 4 2 2 4 2 2a)Grupisati podatke u obliku intervalne numerike serijeb)Izraunati modus i standardnu devijaciju

4. Kompanija vri kontrolu svog proizvodnog procesa pratei broj proizvedenih satova u jednom proizvodnom pogonu.Kontrola proizvodnih linija jednog pogona dala je sledee rezultate:73 81 75 74 79 80 77 76 79 8177 74 77 73 76 80 79 78 75 75a)Grupisati podatke u obliku intervalne numerike serijeb)Izraunati medijanu

5. Prinos kukuruza u t/ha kretao se prema sledeim podacima:4,05 5,56 6,28 7,03 8,24 5,61 9,52 10,007,42 4,59 5,89 6,97 7,24 7,95 8,26 8,087,82 8,10 8,95 9,90 6,04 4,99 8,40 6,64a)Grupisati podatke u obliku intervalne numerike serijeb)Izraunati modus i standardnu devijaciju

6.Veliina gazdinstava u hektarima u jednoj mesnoj zajednici prikazana je sledeom serijom:1,10 2,10 1,15 3,00 2,59 3,15 4,72 4,83 5,004,87 4,70 3,15 5,05 2,19 5,15 7,00 6,85 7,038,90 9,50 9,80 1,20 2,50 7,52 5,25 3,15 3,516,60 4,69 1,20 2,25 3,59 3,64 6,05 5,37 8,60a)Grupisati podatke u obliku intervalne numericke serijeb)Izraunati modus i medijanu

2.Kombinatorika

2.1 VarijacijeVarijacije bez ponavljanja elemenata

Neka je dat skup .Varijacija k-te klase od n elemenata je bilo koja k-torka razliitih elemenata skupa A.

Broj varijacija iznosi Varijacije sa ponavljanjem elemenata

Neka je dat skup .Varijacija sa ponavljanjem k-te klase od n elemenata je bilo koja k-torka razliitih elemenata skupa A.

Broj varijacija sa ponavljanjem iznosi

Primer1:Koliko ima dvocifrenih brojeva koji se mogu napisati pomou cifara 1,2,3 ?Reenje: Traeni brojevi su: 11,12,13,21,22,23,31,32,33 i ima ih ukupno 32=9Primer2:Na koliko se naina mogu izabrati etiri osobe na etiri razliite dunosti, od devet prijavljenih kandidata?

Reenje: =9876=3024Primer3:Koliko se razliitih etvorocifrenih brojeva moe formirati od deset razliitih cifara ako se cifre u broju ne ponavljaju?Reenje: 109876-9876Primer4: Investitor e sluajno izabrati 6 trita od 20 za investiranje. Na koliko naina je to mogue da uradi ako je redosled kojim se biraju trita bitan?Reenje: 20 19 18 17161Primer5:Koliko u gradu ima telefona sa petocifrenim brojevima:a) ako su sve cifre razliiteb) ako se cifre ponavljajuReenje:

a)= 109876

b)=105

Primer 6: Dat je skup .a)Formirati sve dvocifrene brojeve od elemenata ovog skupa, kod kojih se cifre ne ponavljaju i odrediti njihov broj.b)Formirati sve dvocifrene brojeve od elemenata ovog skupa odrediti njihov broj.Reenje:

a)Traeni brojevi su: 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43 i njihov broj je=43=12b)Traeni brojevi su:

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44 i njihov broj je 2.2 Permitacije

Neka je dat skup .Permutacija je bilo koji raspored svih n elemenata skupa A.

Broj permutacija skupa od n elemenata iznosi Simbol n! je skraenica za zapisivanje uzastopnog proizvoda od n elemenata i ita se n faktorijelPo definicije je 0!=1

Primer 1.Na koliko naina mogu da se rasporede 5 osoba na pet stolica?Reenje: P(5)=5!=54321=120Primer 2. Koliko razliitih petocifrenih brojeva se mogu napisati pomou cifara 0,1,2,3,4 ,a da se cifre neponavljaju?Reenje: P(5)-P(4)=5!-4!=120-24=96

Primer 3. Dat je skup .a)Koliko estocifrenih brojeva poinje ciframa 1,2 u datom poretku?b)U koloko estocifrenih brojeva cifre 1,2 stoje jedna pored druge u datom poretku?Reenje:a) P(4)=4!=24b) P(5)=5!=120 Primer 4. Formrati sve permutacije od elemenata a,b,b,c i odrediti njihov broj. Reenje: abbc,abcb,acbb,babc,bbac,bbca,bcba,bacb,bcab,cabb,cbab,cabb

Primer 5. Date su cifre 0,0,0,0,1,1,1. Koliko ima permutacija od ovih elemenata?

Reenje: Primer 6. Koliko permutacija od elemenata a,a,a,a,a,b,b,c poinje slovom a?

Reenje: Primer 7. Koliko ima rei dobijenih od slova rei MISISIPI?

Reenje: Primer 8.U koliko permutacija cifara 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 stoje neparne cifre 1,3,5,7,9 jedna do druge a)u datom poretkub)u proizvoljnom poretku Reenje:a) 6!=720b) 6!5!=86 400

2.3 Kombinacije

Neka je dat skup . Kombinacija klase od k elemenata je bilo koja neureena k-torka razliitih elemenata skupa A gde je kn.

Broj kombinacija iznosi . Izraz ita se n nad k i predstavlja broj svih podskupova datog skupa koji sadri k elemenata.

Neka je dat skup . Kombinacija klase od k elemenata sa ponavljanjem je

Primer 1. Na kolio se naina od 20 uenika jednog odeljenja moe izabrati trolana delegacija?

Reenje: Primer 2. Na koliko se naina od 12 igraa jednog koarkakog tima moe izabrati prva petorka?

Reenje: Primer 3. Iz grupe od 8 mukaraca i 5 ena treba izabrati 5 osoba tako da meu njima budu bar 2 ene.Na koliko naina se to moe uiniti?

Reenje:

Primer 4. Koarkaki tim sainjavaju 5 bekova, 4 centra i 3 krila.Na koliko naina se moe formirati petorka ako u njoj moraju da igraju bar dva beka i bar jedan centar?

Reenje: Primer 5. Na kolskoj zabavi nalazi se 22 devojke i 15 mladia.Na koliko naina je mogue od njih izabrati 4 para za ples?

Reenje: Primer 6. Na ahovskom turniru uestvuje 15 ahista.Svaki treba da odigra partiju sa svakim.Koliko e partija biti odigrano?

Reenje: Primer 7. Tri lana porote e sluajno biti izabrana od pet ljudi.Koliko razliitih kombinacija je mogue?

Reenje: 2.4 Binomna formula

Binomna formula je formula pomou koje se izraunava izraz (a+b)n, gde je nN

Primer 1. Odrediti peti lan u razvijenom obliku binoma Reenje:

Primer 2. Zbir koeficijenata prvog, drugog i treeg lana binoma je 46

Odrediti lan koji ne sadri x.Reenje:

Binoom glasi

Traeni lan je:

Zadaci za vebu1.Koliko se razliitih etvorocifrenih brojeva moe formirati od deset razliitih cifara, a)ako se cifre u broju ne ponavljaju b)ako se cifre u broju ponavljajuReenje:a) Varijacije bez ponavljanja 10 *9*8*7-9*8*7b) Varijacije sa ponavljanjem 10*10*10*10-10*10*10

2. Investitor e sluajno izabrati 6 trita od 20 za investiranje.Na koliko naina je to mogue da uradi ako je a)redosled kojim se biraju trita vaan b)redosled nije vaanReenje: a)201918171615

b) 3. Koliko ima petocifrenih brojeva kod kojih su sve cifre razliite?4. Preduzee zapoljava 20 radnika. Zaposleni su odluili da sluajno izaberu tri radnika za odlazak na proslavu, ali tako da je redosled izbora bitan. Koliko izbora je mogue? 5.Na zabavi se nalazi 25 devojaka i 30 mukaraca.Na koliko naina moemo izabrati tri para za ples.6.Dokazati da u mestu u naoj zemlji sa hiljadu stanovnika ive bar dve osobe sa istim inicijalima.7.Koliko ima razliitih etvorocifrenih brojeva deljivih sa 5 ako nijedan broj ne sadri jednake cifre?8.Nauno drutvo ima 25 lanova.Na koliko naina se mogu izabrati predsetnik, potpresednik i sekretar tog drutva ako svaki lan drutva moe imati najvie jednu funkciju?9.Ako se registarske tablice na automobilima sastoje od 2 slova azbuke i iza njih estocifrenog broja ( od 000000 do 999999), koliki je broj razliitih tablica.10.Koliko ima moguih kombinacija u igri loto ( od 39 brojeva izvlai se 7)?11. Na koliko naina se iz komplte koji sadri 52 razliite karte moe izabrati 6 karata, tako da meu njima bude bar jedna karta iz svake od 4 boje?12.U ormanu se nalazi 10 razliitih pari cipela.Na koliko naina moemo izabrati 4 cipele tako da meu njima bude bar jedan par?13. Iz komplete od 52 karte izvueno je 10 karata , karte su izvlaene bez vraanja a redosled izvlaenja se ne smatra bitnim.Koliko ima razliitih izbora? U koliko sluajeva se meu izvuenim kartama nalazi tano jedan kec?14.U kutiji se nalaze kuglice numerisane brojevima 1, 2, 3, . . . , 10.Iz kutije se istovremeno izvlae tri kuglice.U koliko sluajeva e zbir brojeva na izvuenim kuglicama biti jednak 9.15.Koliko u gradu ima telefona sa petocifrenim brojevima:a) ako svaki broj ine razliite cifreb) ako se cifre ne ponavljaju16. Na ahovskom turniru odigrano je 210 partija. Odrediti broj uesnika, ako je svaki uesnik odigrao partiju sa svakim.17. U kampanji za izbore predsedniki kandidat mora da obie 7 od 15 gradova u Srbiji.Da bi postigao to bolji rezultat on kampanju mora da zavri u Beogradu.Na koliko razliitih naina on to moe da uradi?18. Koliko se razliitih etvorocifrenih brojeva moe formirati od deset razliitih cifaraa) ako se cife u broju ne ponavljajub) ako se cifre u broju ponavljaju19.Odrediti lan koji u razvijenom obliku binoma ne sadri x.

20. Odrediti lan koji u razvijenom obliku binoma

Ima promenljivu x na peti stepen.21.Koeficijenti etvrtog i estog lana u razvijenom obliku binoma odnaose se kao 5:18. Odrediti lan koji ne zavisi od x.

22. Odrediti deseti lan u razvijenom obliku binoma , ako je binomni koeficijent treeg lana 105.

23.Binomni koeficijent treeg lana u razvijenom obliku binoma je 78. Nai lan koji ne sadri x.

3.VerovatnoaSvaki mogui ishod eksperimenta nazivamo elementarnim dogaajem i obeleavamo sa .Skup svih elementarnih dogaaja, odnosno skup svih ishoda eksperimenta je sigran dogaaj ={1, 2,..., n}Svaki podskup skupa naziva se dogaajem.Dogaaje obeleavamo velikim slovima A,B,C,...Dogaaj koji se nikada ne moe pojaviti pri realizaciji eksperimenta naziva se nemogu dogaajPosmatrajmo eksperiment bacanja kockice.Skup svih moguih ishoda je ={1,2,3,4,5,6}.Dogaaj da padne paran broj ima ishode A={2,4,6}.Dogaaj B={1,2,3,4,5,6,7} predstavlja nemogu dogaaj.3.1 Klasina definicija verovatnoe

Neka skup sadri n elementarnih dogaaja koji su disjunktni i jednako mogui.Ako skup A sadri m elementarnih dogaaja, onda je verovatnoa P(A) jednaka P(A)= , gde je m broj svih povoljnih ishoda, n je broj svih moguih ishoda dogaaja A.Primer 1. Deset kartica numerisano je brojevima od 1 do 10.Izvlae se dve kartice istovremeno.Nai verovatnou da je zbir brojeva na izvuenim karticama jednak 10.

Reenje: P(A)=Primer 2. U kutiji se nalazi 10 crvenih i 6 belih kuglica.Nasumice izvlaimo dve kuglice.Kolika je verovatnoa da e:a) izvuene kuglice biti razliitih bojab) obe kuglice biti bele. Reenje:

a) P(A)= b) P(B)=Primer 3. U kutiji se nalazi 8 crvenih i 6 plavih kuglica.Nasumice izvlaimo 5 kuglica.Kolika je verovatnoa da e meu njima biti tano 3 plave?

Reenje: P(A)=Primer 4. Bacamo 3 novia jedan za drugim.Nai verovatnou da emo dobiti dva pisma i jedan grb.

Reenje: Broj svih elementarnih ishoda je .Povoljni ishodi su {,,}, dakle ima ih 3, pa je traena verovatnoa P(A)=Primer 5. Telefonski broj se sastoji od 6 cifara.Ako se pretpostavi da postoje svi telefonski brojevi od 000 000 do 999 999, koja je verovatnoa da u proizvoljno izabranom broju sve cifre budu razliite?

Reenje: P(A)=

Primer 6. Student je od 30 ispitnh pitanja nauio 24. Na ispitu je dobio 3 pitanja.Kolika je verovatnoa da je odgovorio na najmanje 2 pitanja.

Reenje: P(A)=Primer 7. Od semocifrenih brojeva sluajno se bira jedan.Odrediti verovatnou da se cifra dva u njegovom zapisu javlja tano dva puta, a na ostalim mestima su jedan ili tri.

Reenje: P(A)=Primer 8. Iz skupa etvorocifrenih brojeva u kojima se ne javljaju 0 i 9 sluajno se bira jedan.Odrediti verovatnou da se u tom broju cifra 1 javlja tano jednom.

Reenje: P(A)=Primer 9. Kocka je baena 6 puta.Kolika je verovatnoa da:a)nee pasti nijedna esticab)da padne tano jedna estica Reenje:

a) P(A)= b) P(B)=Primer 10. Imamo 7 pertli razliitih boja, od kojih je jedna crvena, a jedna zelena.Nai verovatnou da e crvena i zelena pertla biti jedna pored druge, ako se pertle reaju na sluajan nain na prav konac.

Reenje: P(A)=Primer 11. U seriji od pet sijalica jedna je neispravna.Kolika je verovatnoa da izmeu 3 nasumino izabrane sijalice bude jedna neispravna sijalica?

Reenje: P(A)=Primer 12. Nai verovatnou da se pri istovremenon bacanju tri kocke dobije zbir manji od 5.

Reenje: P(A)=Primer 13. ta je verovatnije dobiti pri istovremenom bacanju tri kocke: zbir 11 ili zbir 12?Ukupan broj mogunosti pri bacanju tri kocke je 216.

Za zbir 11 povoljne mogunosti su: (1,4,6), (1,5,5), (1,6,4), (2,3,6), (2,4,5), (2,5,4), (2,6,3), (3,2,6), (3,3,5), (3,4,4), (3,5,3), (3,6,2), (4,1,6), (4,2,5), (4,3,4), (4,4,3), (4,5,2), (4,6,1), (5,1,5), (5,2,4), (5,3,3), (5,4,2), (5,5,1), (6,1,4), (6,2,3),(6,3,2), (6,4,1).Ukupno 27 mogunosti, pa je verovatnoa: P(A)=Za zbir 12 povoljne mogunosti su : (1,5,6), (1,6,5), (2,4,6), (2,5,5), (2,6,4), (3,3,6), (3,4,5), (3,5,4), (3,6,3), (4,2,6), (4,3,5), (4,4,4), (4,5,3), (4,6,2), (5,1,6), (5,2,5), (5,3,4), (5,4,3), (5,5,2), (5,6,1), (6,1,5), (6,2,4), (6,3,3), (6,4,2), (6,5,1). Ukupno 25 mogunosti, pa je verovatnoa:

P(B)=.Dakle, jasno je da je vea verovatnoa da padne zbir 11. Primer 14. Jedan igra sa verovatnoom 0,5 dobija u jednoj igri na sreu. ta je verovatnije da dobije 4 od 5 igara ili 6 od 8 igaraReenje:Broj dobijenih igara predstavlja promenljivu koja ima binomni raspored:

, Verovatnije je da igra dobije 4 od 5 igara, nego 6 od 8 igara.

3.2 Uslovna verovatnoa i nezavisnost dogaaja

Verovatnoa dogaaja A, ukoliko znamo da se dogaaj B ve realizovao ili ukoliko pretpostavljamo da e se realizovati naziva se uslovna verovatnoa.

Verovatnoa P(A/B) zove se uslovna verovatnoa dogaaja A pod uslovom i definie se sa P(A/B), za P(B)>0.Ako su dogaaji A i B meusobno zavisni tada je: P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)Dogaaji A i B su meusobno nezavisni ako je P(A/B)=P(A), P(B/A)=P(B) ili P(AB)=P(A)P(B)

Primer 1. Kolika je verovatnoa da e se na kocki prilikom bacanja pojaviti paran broj, pod uslovom da je taj broj manji od 4?Reenje: Neka je A dogaaj pojave parnog broja, a B pojava broja manjeg od 4h.

, ,, , ,

P(A/B)Primer 2. U jednom odeljenju od 30 uenika, 12 nosi naoare, 8 pie levom rukom, a 6 ima obe osobine. Kolika je verovatnoa da sluajno izabrani uenik pie levom rukom, ako znamo da nosi naoare?Reenje: Neka je A dogaaj da uenik pie levom rukom, a B dogaaj da uenik nosi naoare.

P(A/B) Primer 3.U jednoj kutiji nalaze se 4 bele i 8 crnih kuglica, a u drugoj 3 bele i 9 crnih. Izvlaimo iz svake kutije po jednu kuglicu. Odrediti verovatnou da je iz obe kutije izvuena bela?Reenje:Neka je A dogaaj da je bela kuglica iz prve kutije, B dogaaj da je bela kuglica iz druge kutije.Dogaaji A i B su nezavisni.

P(AB)=P(A)P(B)==Primer 4. Pri bacanju dve kocke posmatramo zbir koji se pojavljuje na njima.Kolika je verovatnoa da je zbir 6, ako se zna da je zbir paran broj?Neka je A dogaaj da je zbir na kockicama 6 i neka je B dogaaj da je zbir paran broj.

P(A/B)

Zadaci za vebu:1. Pri bacanju dve kocke nai verovatnou da padnu:a) dva ista brojab) brojevi iji je zbir 7c) bar jedna jedinica2. U kutiji se nalazi 5 plavih, 6 crvenih i 7 belih kuglica.Iz kutije sluajno izvlaimo tri kuglice odjednom.Odrediti verovatnou da meu izvuenim kuglicama budu: a) sve tri kuglice razliitih bojab) dve bele i jedna plava 3. Od 10 istovetnih proizvoda jeden fabrike 6 je ispravnih.Nasumoce se bira 5 proizvoda.Kolika je verovatnoa da e meu izvuenim proizvodima biti 3 ispravna?4. U kutiji se nalazi 10 plavih i 6 belih kuglica.Izvlaimo 2 kuglice.Kolika je verovatnoa da e:a)izvuene kuglice biti razliitih bojab)da e obe kuglice biti plavec)da e obe kuglice biti bele5. Kolika je verovatnoa da emo izvlaenjem 5 brojeva na lutriji od 50 brojeva izvui brojeve 10, 21, 35? 6. Jedan student je od 30 ispitnih pitanja nauio 25, a drugi 15. Na ispitu su dobili po tri pitanja.Kolika je verovatnoa da e prvi, odnosno drugi odgovoriti na najmanje 2 pitanja.7. Bacamo novi tri puta.Neka je X sluajna promenljiva koja predstavlja broj pisama.a) Napisati zakon raspodeleb) Nai matematiko oekivanje8. Jedna prodavnica prodaje dnevno 5 friidera. Ako je 0,7 verovatnoa da je jedan friider ovog tipa bude ispravan i posle pet godina upotrebe, nai verovatnou da posle pet godina bude 2 neispravnih friidera.

4. Takaste ocene i intervali poverenja za aritmetiku sredinu

1. Marketinki istraiva eli da nae 95% interval poverenja za prosean iznos koji posetioci nekog parka potroe dnevno po osobi. Standardna devijacija iznosa potroenih po osobi dnevno za sve posetioce ovog parka je 11 dolara. Izraunati intervalnu ocenu aritmetike sredine skupa za uzorak obima 36? 2.U jednom lanku je pisalo da su igrai bejzbola bili plaeni do 150 dolara po autogramu na zimskom sajmu.Pretpostavimo da je u sluajnom uzorku od 800 takvih autograma aritmetika sredina bila 135 dolara po autogramu,a da standardna devijacija skupa iznosi 22 dolara. Konstruiite 95% interval poverenja za odgovarajuu aritmetiku sredinu skupa.3.Uzorak od 25 porudbina je pokazao da je proseno vreme za isporuku proizvoda neke firme 70 sati.Pretpostavimo da je standardna devijacija skupa 16 asova I da je raspodela osnovnog skupa normalna.Konstruiite 95% interval poverenja za proseno vreme neophodno za isporuku svih porudbina koje su pristigle u ovu firmu.4. Menader odeljenja u marketu eli da oceni ,sa nivoom pouzdanosti od 90%, prosenu koliinu novca koju potroe svi potroai u ovoj prodavnici. Standardna devijacija potroenog novca svih muterija u ovoj radnji je 31 dolar. Koju veliinu uzorka bi trebalo da izabere da bi ocena bila do 3 dolara od aritmetike sredine skupa? 5.U uzorku od 100 opservacija izabranom iz nekog skupa aritmetika sredina je 55,32 ,a standardna devijacija 8,4. Formirajte 90% interval poverenja za aritmetiku sredinu.6.Prema nekom lanku ,proseni meseni raun za struju iznosio je 77 dolara.Ovaj prosek izraunat je na osnovu sluajnog uzorka od 500 takvih rauna,pri emu je standardna devijacija ovog uzorka 26 dolara.Formirajte 99% interval poverenja za prosek svih mesenih trokova za struju.7. Uzet je uzorak od 15 boca soka da bi se ocenila prosena neto masa jedne boce cele proizvodnje. Ako se zna da je raspodela normalna, sa standardnom devijacijom 1,95, oceniti prosenu neto masu boce soka sa pouzdanou 95% na osnovu dobijenih rezultata merenja neto mase boca soka u gramima:995,2 996,3 996,9 997,5 997,9998,3 998,5 998,7 999,1 999,4999,8 1000,0 1001,3 1001,5 1003,4Kolika je tanost dobijene ocene i kolika je duina intervala poverenja?

5. Testiranje hipoteze o jednakosti aritmetikih sredina1.Telefonska kompanija prua usluge meunarodnih razgovora u jednoj oblasti. Na osnovu raspoloivih informacija utvreno je da je prosena duina meunarodnih razgovora koji su preko ove kompanije obavljeni u 2004. Godini bila 12,44 minuta. Uprava kompaije je elela da proveri da li se prosena duina aktuelnih razgovora razlikuje od 12,44 minuta. U uzorku od 150 takvih razgovora prosena duina je iznosila 13,71 minut. Standardna devijac ija svih razgovora je 2,65 minuta. Da li se na nivou znaajnosti od 2% moe zakljuiti da se prosena duina aktuelnih meunarodnih razgovora razlikuje od 12,44 minuta.2. Istraiva je eleo da ispita da li mukarci i ene koji rade u jednom gradu prelaze isto rastojanje od kue do posla. U uzorku od 25 mukaraca proseno rastojanje je iznosilo 21 km, dok je u uzorku od 22 ene ono iznosilo 16 km. Pretpostavimo da ova dva osnovna skupa imaju normalnu raspodelu i da su njihove standardne devijacije jednake 5,2 km i 4,4 km, respektivno.3. Marketinki istraiva eli da nae 98% interval poverenja za prosean iznos koji posetioci nekog parka potroe dnevno po osobi. Standardna devijacija iznosa potroenih po osobi dnevno za sve posetioce ovog parka je 15 dolara. Izraunati intervalnu ocenu aritmetike sredine skupa za uzorak obima 52?a. Neka su 1 i 2 aritmetike sredine dva osnovna skupa (prosena rastojanja od kue do posla svih mukaraca i ena u tom gradu). Izraunajte takastu ocenjenu vrednost za 1 - 2.b. Da li, na nivou znaajnosti od 2% moete zakljuiti da se rastojanja koja svi zaposleni mukarci i ene u ovom gradu prelaze od kue do posla, u proseku razlikuju? Hipotezu testirajte pristupom kritinih vrednosti. 4. Istraiva je eleo da ispita da li mukarci i ene koji rade u jednom gradu prelaze isto rastojanje od kue do posla. U uzorku od 25 mukaraca proseno rastojanje je iznosilo 21 km, dok je u uzorku od 30 ena ono iznosilo 20 km. Pretpostavimo da ova dva osnovna skupa imaju normalnu raspodelu i da su njihove standardne devijacije jednake 5,2 km i 4,4 km, respektivno.a. Neka su 1 i 2 aritmetike sredine dva osnovna skupa (prosena rastojanja od kue do posla svih mukaraca i ena u tom gradu). Izraunajte takastu ocenjenu vrednost za 1 - 2.b. Da li, na nivou znaajnosti od 5% moete zakljuiti da se rastojanja koja svi zaposleni mukarci i ene u ovom gradu prelaze od kue do posla, u proseku razlikuju? Hipotezu testirajte pristupom kritinih vrednosti.5. Gradonaelnik jednog grada tvrdi da prosena neto vrednost imovine porodica koje ive u tom gradu iznosi najmanje 300 000 dolara. U izabranom uzorku od 25 porodica, prosena neto vrednost imovine iznosi 288 000 dolara. Pretpostavimo da neto vrednost svih porodica u ovom gradu imaju normalnu raspodelu, sa standardnom devijacijom 80 000 dolara. Moe li da se zakljui, na nivou znaajnosti od 2,5% da je gradonaelnikova tvrdnja neistinita?6. Psiholog tvrdi da je aritmetika sredina starosti dece koja poinju da hodaju 12,5 meseci. Izabran je sluajan uzorak od 18 dece i utvreno je da aritmetika sredina starosti dece koja poinju da hodaju 12,9 meseci sa standardnom devijacijom od 0,8 meseci. Da li moete koristei nivo znaajnosti od 1% da zakluite da se aritmetika sredina starosti dece koja poinju da hodaju razlikuje od 12,5 meseci, pod pretpostavkom da njihova starost ima priblino normalnu raspodelu.7. Na osnovu jednog prouavanja pokazano je da je aritmetika sredina novca koji Amerikanke troe na odeu 675$ godinje. Istraiva je eleo da proveri da li je taj rezultat i dalje taan. Nedavno je izabran sluajan uzorak od 39 ena i dobijeni su sledei podaci o iznosima koje troe na deu svake godine:

671 1284 328 1698 827 921 725 304 382 5391070 854 669 328 537 849 930 1234 1195 738341 189 867 923 721 125 298 473 876 932973 931 460 1430 391 887 958 674 1482Proverite na nivou znaajnosti od 1% da li se aritmetika sredina iznosa koje Amerikanke troe na odeu tokom poslednje godine razlikuje od 675$. Pretpostavimo da je standardna devijacija osnovnog skupa 132$

Sheet1Broj ugostiteljskih objekata xiBroj optina fiRazredna sredina xiKumulanta rastua kKumulanta opadajua kRelativna frekvencija %Kumulanta rastua u %1-9353329.389.3810-1851482915.6225.0019-27623142418.7543.7528-36632201818.7562.5037-45941291228.1390.6246-543203239.37100.00Ukupno=32100.00