Prírodovedecká fakulta Masarykovej univerzity v Brne, Ústav teoretickej fyziky a astrofyziky 1

Praktikum z astronómie 1.

Úloha č. 1 – Meranie polohy. Dátum merania: 02.10.2013

Miesto merania: Kravia hora, Brno

Vypracoval: Zeťo Xia, 408944

Teória a spracovanie:

Za zemepisné súradnice bola zvolená dvojica uhlu s počiatkom v strede Zeme, ktorou si modelujeme guľu. Za zemepisnú šírku bol zvolený uhol φ s nulovou hodnotou v rovine rotácie Zeme a zemepisná dĺžka λ ako uhol v kolmej rovine. Zemepisnú šírku meriame od rovníku smerom k pólom v intervale 0° až 90° pre severnú šírku a od – 90° do 0° pre južnú šírku. Ako počiatok zemepisnej dĺžky bola vybraná poloha observatóra v londýnskej štvrti Greenwich. Zemepisná dĺžka má hodnotu od 0° do 360°, alebo sa používa konvekcia od – 180° do +180°.

Základom metódy astronomického určenia zemepisnej polohy sú vzťahy medzi obzorníkovými a rovníkovými súradniciami. Azimut A, s počiatkom od Juhu je uhol okolo vertikálnej osi a má hodnotu 0° až 360° (niekedy tiež ±180°). Druhý uhol je zenitová vzdialenosť, ktorá udáva uhlovú vzdialenosť od zenitu s hodnotou 0° (zenit) až 90° (obzor) pre objekty nad obzorom. Sú navrhnuté ako obdoba zemepisnej dĺžky, teda odklonu od nultého poludníku v okamžiku Jarnej rovnodennosti, ktorou je rektascenzia α a deklinácia δ.

Z rovníkových súradníc dostaneme obzorníkové pomocou vzťahov:

sinzsinA = cosδsinH,

sinzcosA = sinφcosδcosH – cosφsinδ,

cosz = cosφcosδcosH+sinφsinδ,

v ktorých sa snažíme určiť azimut A a zenitovú vzdialenosť z s použitím hodinového uhlu H. Ten je definovaný ako rozdiel medzi greenwichským hviezdným časom (Greenwich mean sidereal time, GMST) tGMST, uvedený v hodinách, a rektascenziou hviezdy na poludníku s λ:

H = 15 tGMST + λ - α.

Jedno zo základných nebeských telies pre určenie zemepisnej dĺžky na severnej pologuli je Polárka, ktorej deklinácia je približne δ ≈ 90°. Pozorujeme ju vždy nad severom. Symbol ≈ používame preto, že ide len o aproximatívny vzťah a platí len v súčasnej dobe. Polárka neleží priamo na póle, ale v dôsledku precesie Zeme je v dobe,

Prírodovedecká fakulta Masarykovej univerzity v Brne, Ústav teoretickej fyziky a astrofyziky 2

kedy robíme túto aproximáciu pomerne blízko k nemu.

V prípade zemepisnej dĺžky je situácia zložitejšia, pretože nemáme vždy k dispozicii vhodný pevný objekt.

Predpokládajme, že sme v priebehu večera zmerali zenitovú vzdialenosť z1, z2 dvoch objektuov nad obzorom v dvoch presne určených časoch t1, t2 a pritom nezaznamenali azimut oboch objektov. Pre jednoznačné určenie polohy sme použili dva objekty: prvý vo vhodnej výške nad západným a1, d1 a druhý nad východným obzorom a2, d2. Dostali sme tak dvojicu údajov: t1, z1, a1, d1, t2, z2, a2, d2.

Po úprave dostávame sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámymi:

z1 = arccos[sin φ sin δ1 + cos φ cos δ1 cos(H1 + λ)],

z2 = arccos[sin φ sin δ2 + cos φ cos δ2 cos(H2 + λ)].

Na riešenie sústavy rovníc som použil Newtonovu metódu.

Newtonova metóda, alebo metóda tečien je metóda na riešenie rovnice typu

f (x) = 0.

Táto rovnica môže mať veľa podôb, typickým astronomickým prípadom je Keplerova rovnica.

𝐸  −  εsin𝐸   =  𝑀,

v ktorom sa snažíme určiť neznámu hodnotu excentrickej anomálie E zo známej strednej anomálie M a excentricity elipsy ε.

Rovnice dotyčnicovej roviny k ploche zadané funkciou f (x, y) v bode (a, b) je zovšeobecnením dotyčnice ku krivke a píšeme ju v tvare

𝑧 = 𝑓 𝑎, 𝑏 +∂f∂x 𝑥 − 𝑎 +

∂f∂y 𝑦 − 𝑏 ,

pričom deriváciu počítame v bode (a, b).

Dotyčnicové roviny k dvom plochám sú dané rovniciami

𝑧 = 𝑓! +∂f!∂x 𝑥 − 𝑎 +

∂f!∂y 𝑦 − 𝑏 ,

𝑧 = 𝑓! +∂f!∂x 𝑥 − 𝑎 +

∂f!∂y 𝑦 − 𝑏 ,

ktoré riešime za podmiedky z = 0.

Prírodovedecká fakulta Masarykovej univerzity v Brne, Ústav teoretickej fyziky a astrofyziky 3

Elementárnou úpravou dostaneme výrazy:

∂f!∂x 𝑥! − 𝑥!!! +

∂f!∂y 𝑦! − 𝑦!!! = −𝑓!,

∂f!∂x 𝑥! − 𝑥!!! +

∂f!∂y 𝑦! − 𝑦!!! = −𝑓!.

Pre lepšiu orientáciu lineárnej rovnice označíme xi =(xi, yi), Δi =(xi - xi+1, yi - yi+1),

f=(f1, f2) a ďalej 𝐴 =

!!!!!

!!!!!

!!!!!

!!!!!

,

dostávame sústavu rovníc v maticovej notácii Ai·Δi = - fi.

Riešením našej pôvodnej sústavy tak získame ako 𝑥!!! = 𝑥! + Δ!.

V prípade sústavy rovníc je riešenie priamočiare. Vektorová funkcia fi má tvár

𝑓! =arccosq! − 𝑧!  arccosq! − 𝑧! , v ktorom sme použili substitúcie

𝑞! = sin δ! sinφ+ cos δ! cos λ cos 𝐻! + λ ,

𝑞! = sin δ! sinφ+ cos δ! cos λ cos 𝐻! + λ

a hľadáme riešenie pre Δ! =λ!!! − λ!φ!!! − φ!

.

Prvky matice Ai sú

!!!!!= −𝑢𝑐𝑜𝑠δ! cosφ sin(𝐻! + λ),

!!!!!= −𝑣𝑐𝑜𝑠δ! cosφ sin(𝐻! + λ),

∂f!∂φ = 𝑢 sin δ! 𝑐𝑜𝑠φ− cos δ! sinφ cos  (𝐻! + λ) ,

∂f!∂φ = 𝑣 sin δ! 𝑐𝑜𝑠φ− cos δ! sinφ cos  (𝐻! + λ) ,

v ktorých sme použili premenné 𝑢 = − !!!!!!

a 𝑣 = − !!!!!!

.

Prírodovedecká fakulta Masarykovej univerzity v Brne, Ústav teoretickej fyziky a astrofyziky 4

Table 1: Potrebné hodnoty objektov na určenie polohy.

z1 [°]

α1 [°] t1

[h:m:s] δ1 [°] z2 [°] α2[°] t2

[h:m:s] δ2 [°]

65.6 17.43301617 19:24:34 35.62055764 83.5 213.9154167 20:03:43 19.18222222

Sústavu lineárnych rovníc som riešil v programovacom jazyku Python. Výpis skriptu pre Python je následovný:

1 # -*- coding: utf-8 -*- 2 from numpy import * # radian 3 r = 180/pi 4 # namerene zenitove vzdalenosti vynasobene 0.9 5 z1 = 65.6*0.9 6 z2 = 83.5*0.9 7 # souradnice a hvezdny cas, stupne 8 #Mirach 9 a1 = 17.43301617 # [deg] 10 d1 = 35.62055764# [deg] 11 h1 = 18.27861111# [hviezdny cas] 12 H1 = 15*h1 - a1 # hodinovy uhel 13 # souradnice a hvezdny cas, stupne 14 #Arcturus 15 a2 = 213.9154167 16 d2 = 19.18222222 17 h2 = 18.93111111 18 H2 = 15*h2 - a2 19 # priblizny (pocatecni) odhad zemepisne polohy 20 l = 15 21 f = 50 22 print("RESENI:") 23 print ("Iterace |zemepisna delka| zemepisna sirka") 24 for i in 1,2,3,4,5: 25 # pomocne veliciny 26 q1=sin(d1/r)*sin(f/r)+cos(d1/r)*cos(f/r)*cos((l+H1)/r) 27 q2=sin(d2/r)*sin(f/r)+cos(d2/r)*cos(f/r)*cos((l+H2)/r) 28 # prave strany, rozdil mezi merenou a 29 # vypoctenou zenitovou vzdalenosti ve stupnich 30 p=array([r*arccos(q1)-z1,r*arccos(q2)-z2]) 31 # substituce 32 u=-1/sqrt(1-q1*q1) 33 v=-1/sqrt(1-q2*q2) 34 # matice derivaci 35 m11=-u*sin((H1+l)/r)*cos(d1/r)*cos(f/r) 36 m12=u*(sin(d1/r)*cos(f/r)-cos(d1/r)*sin(f/r)*cos((H1+l)/r)) 37 m21=-v*sin((H2+l)/r)*cos(d2/r)*cos(f/r) 38 m22=v*(sin(d2/r)*cos(f/r)-cos(d2/r)*sin(f/r)*cos((H2+l)/r)) 39 # vypocet linearnich rovnic 40 m=array([[m11,m12],[m21,m22]]) 41 x=linalg.solve(m,p) 42 l=l-x[0] 43 f=f-x[1] 44 print(i,l,f,x[0]) # fin

Prírodovedecká fakulta Masarykovej univerzity v Brne, Ústav teoretickej fyziky a astrofyziky 5

Iterácia | zemepisná dĺžka | zemepisná šírka | x[0] (1, 19.850211011760482, 51.453298183714061, -4.8502110117604831) (2, 19.98536157923035, 51.365522479671526, -0.13515056746986737) (3, 19.985132686720771, 51.365583111582424, 0.00022889250958044841) (4, 19.985132686453071, 51.36558311146991, 2.6770133469682783e-10) (5, 19.985132686453071, 51.365583111469846, -7.8079193334741515e-16)

Vyriešením rovnice v Pythone som získal pre zemepisnú dĺžku λ = 19.985132686453071° a pre zemepisnú šírku hodnotu φ = 51.365583111469846°. Získané súradnice je pre miesto v Poľsku. Je pravdepodobné, že meranie bolo zapríčinené hrubou chybou, nakoľko meranie sme uskutočnili v Brne.