Introduction R Drawback  to OFDM and its PAPDr. Prapun Suksompong 

หลักการเบื้องตนของ OFDM

OFDM ซึ่งยอมาจาก Orthogonal Frequency Division Multiplexing เปนระบบที่มีการวิจัยอยางแพรหลายในปจจุบัน มีการนําไปประยุกตใชกับการสื่อสารไรสายหลายประเภท ขอดีเบื้องตนของระบบ OFDM คือ เปนระบบที่สามารถสงผานขอมูลดวยอัตราความเร็วสูงเมื่อเทียบกับระบบอื่นๆ อีกทั้งยังใชยานความถี่ที่มีอยูอยางมีประสิทธิภาพซึ่งจะไดกลาวถึงในสวนตอไป ในสวนน้ีเราจะอธิบายหลักการทํางานเบื้องตนของ OFDM โดยเริ่มจากระบบท่ีไมซับซอนเพ่ือใหเขาใจไดงาย หลังจากน้ันเราจะช้ีใหเห็นถึงปญหาและการแกปญหาโดยการเพ่ิมเติมคุณลักษณะของ OFDM ลงไปในระบบ

การสงขอมูลโดยใชคล่ืนพาหเดียว (Single Carrier Transmission)

1 | P a g e

1 2, , , Ns s s…(

เทคนิคการสงสัญญาณแบบ OFDM เปนรูปแบบของการสงขอมูลแบบขนานโดยอาศัยหลายคลื่นพาห (Multi-Carrier Transmission) ซึ่งเราจะนําเสนอโดยเปรียบเทียบกับการสงขอมูลโดยใชคล่ืนพาหเดียว (Single Carrier Transmission) ในการสงขอมูลโดยใชคล่ืนพาหเดียวน้ัน การสงชุดขอมูล (block of symbols) ที่ประกอบดวย สามารถทําไดโดยการสง pulse ที่เปลี่ยนขนาดไปตาม เรียงกันไปตามลําดับ โดยสามารถเขียนเปนสมการไดดังน้ี )t 1 2, , , Ns s s…

( )

p

( )1

0

N

kk

s t s−

=∑ p t kT= −

โดย T เปนเวลาที่ใชในการสงแตละสัญลักษณขอมูล (symbol interval) ตัวอยางของ pulse ที่งายที่สุดก็คือ pulse รูป

สี่เหลี่ยม (rectangular pulse) ซึ่งเขียนสมการไดเปน ( )p t

( ) [ ) ( )[ )

0,

1, 0,1

0, otherwise.T

t Tp t t

⎧ ∈= = ⎨

⎩

เราจะเห็นวาขอมูล น้ันเมื่อนําไปคูณกับ pulse แลวจะอยูระหวางเวลา t ในแกนเวลา สวนขอมูล น้ันจะ

อยูระหวางเวลา ดังน้ัน เมื่อใช pulse รูปสี่เหลี่ยมขางตนสัญญาณท่ีไดจะไมมีการซอนทับกันในแกนเวลา รูปที่ 1a

แสดงตัวอยางของสัญญาณ สําหรับขอมูล (

[( )1s p t )0,T∈ 2s

[ ),2t T T∈

( )s t ) ( ),0,11 2, ,s s … 8, 1,0,1,1,0,1s =

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2(a)

Time-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(b)

Time

รูปที่ 1: (a) ตัวอยางของสัญญาณ เมื่อขอมูลเปน (b) ตัวอยางของสัญญาณ

ที่เกิดจากการ modulate สัญญาณ

( )s t ( ) ( )1 2 8, , , 1,0,1,1,0,1,0,1s s s =… x( )t

( )s t

กอนที่สัญญาณ ดังกลาวจะถูกสงออกไปจากเครื่องสง สัญญาณจะถูกแปลงความถี่ดวยสัญญาณพาหโดยกระบวนการที่

เรียกวา modulation ถาเราวิเคราะหสัญญาณในแกนความถ่ี (frequency domain) ผลของการ modulation ก็คือสัญญาณจะยายแถบความถ่ีของตัวเองจากรอบ ๆ ความถ่ีศูนยไปยังรอบ ๆ ความถ่ีของสัญญาณพาห ดังน้ันเราจึงเรียกสัญญาณที่ถูก modulate แลววาสัญญาณแบนดพาส (bandpass signal) สําหรับสัญญาณท่ียังไมไดผานการ modulation เราจะเรียกวาสัญญาณเบสแบนด (baseband signal)

( )s t

เราสามารถเขียนสมการของสัญญาณแบนดพาสไดดังตอไปน้ี

{ }( ) ( ) 2Re cj f tx t s t e π=

โดยที่ เปนความถี่ของคล่ืนพาห ถาเราให เปน spectrum ของสัญญาณเบสแบนด ผลของการ modulation ใน

แกนความถ่ีก็คือ spectrum ของสัญญาณ bandpass สามารถเขียนไดเปน cf ( )S f ( )s t

( )X f ( )x t

2 | P a g e

( ) ( ) ( )( )*12 c cf S f f S f f= − + − − X

จะเห็นไดวา spectrum ของ ไดยายไปอยูที่ นอกจากน้ีถาสัญญาณเบสแบนด เปนจํานวนจริงเสมอ

สมการของสัญญาณแบนดพาสขางตนจะเหลือเพียง ( )S f ( )s t cf± ( )s t

( ) ( ) ( )cos 2 cx t s t f tπ=

สวน spectrum ก็จะเปน ( )X f

( ) ( ) ( )( )12 c cf S f f S f f= − + + X

รูปที่ 1b แสดงตัวอยางของสัญญาณ bandpass ที่ไดจากสัญญาณ baseband ในรูปที่ 1a สัญญาณที่ถูก modulate แลวจะถูกสงผานไปยังชองสัญญาณ (Channel) ในสวนถัดไปเราจะอธิบายลักษณะของ

ชองสัญญาณสําหรับการสื่อสารแบบไรสาย

การสื่อสารไรสายและการจางหายแบบหลายเสนทาง (Wireless communication and Multipath fading)

การสื่อสารแบบไรสายไดกลายเปนสวนสําคัญในการดํารงชีวิตประจําวัน ในขณะเดียวกัน ความตองการสงขอมูลเปนปริมาณมากในเวลารวดเร็วไดเพ่ิมสูงขึ้นเรื่อย ๆ อยางไรก็ตาม การสื่อสารผานชองสัญญาณแบบไรสายน้ันมีขอจํากัดมากมาย คุณลักษณะของชองสัญญาณสามารถเปล่ียนแปลงตามองคประกอบตาง ๆ ได เชน สิ่งแวดลอมทางกายภาพ ความเร็วในการเคล่ือนที่ของอุปกรณภาครับหรือสง และ อุณหภูม ิ เปนตน นอกจากน้ันยังมีสัญญาณรบกวน (noise) ซึ่งเราควมคุมไดยาก ในสวนน้ีเราจะกลาวถึง การจางหายแบบหลายเสนทางของชองสัญญาณ

ในการสื่อสารแบบไรสาย สัญญาณที่ถูกสงออกมาจะกระจายออกเปนหลายทิศทาง ดังน้ันจึงมีการสูญเสียของสัญญาณสูง เมื่อคลื่นสัญญาณเดินทางผานตัวกลางก็จะมีการลดทอน (Attenuation) ของสัญญาณเกิดขึ้น นอกจากนี้สัญญาณที่กระจายออกนอกเสนทางยังสามารถสะทอนกลับมายังเครื่องรับไดอีกดังรูปที่ 2 สัญญาณที่สะทอนกลับมาเหลาน้ีเดินทางมาถึงเครื่องรับลาชากวาสัญญาณที่มาจากเสนทางตรงเพราะระยะทางท่ีเพ่ิมขึ้น เราจะเรียกเวลาการเดินทางท่ีเพ่ิมขึ้นน้ีวา คาหนวงเวลา (excess delay) โดยปกติแลวสัญญาณสะทอนจะมีมากกวาหน่ึงสัญญาณ โดย ขนาด และ คาหนวงเวลาของแตละสัญญาณ ก็จะแตกตางกันไป เราเรียกการเดินทางของสัญญาณแบบหลายเสนทางนี้วา multipath propagation และเรียกสัญญาณเหลาน้ีวา multipath waves

รูปที่ 2: Multipath propagation

เมื่อเกิด multipath propagation สัญญาณที่เครื่องรับไดรับก็จะมีการผิดเพ้ียน (smearing) ไปจากสัญญาณที่ถูกสงออกมาจากเครื่องสงดังแสดงในรูปที่ 3 ปญหาน้ีเราเรียกวา การจางหายแบบหลายเสนทาง หรือ multipath fading สังเกตวาพลังงานบางสวนของสัญลักษณแรกซึ่งควรจะถูกจํากัดอยูระหวางเวลา 0 ถึง T ไดล้ําเขาไปอยูในสวนของสัญลักษณที่สอง ปญหาน้ีเรียกวา การสอดแทรกระหวางสัญลักษณ (Inter-symbol Interference:ISI)

3 | P a g e

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(a)

Time0 2 4 6 8 10 12

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(b)

Time

4 | P a g e

( )รูปที่ 3: (a) Multipath fading เมื่อ T (symbol interval) มีขนาดใหญเมื่อเทียบกับคาหนวงเวลา จะเห็นไดวาสัญญาณไมได

เปลี่ยนไปมากนักจากสัญญาณ ในรูปที่ 1 (b) Multipath fading เมื่อ T (symbol interval) มีขนาดใกลเคียงกับคาหนวงเวลาจะเห็นไดวาสัญญาณน้ันแตกตางไปจาก สัญญาณ ในรูปที่ 1 อยางมาก

x t( )x t

( ) ( )0

v

i ii

h t t

เราสามารถจําลองลักษณะของชองสัญญาณที่มี multipath fading ไดดวยสมการทางคณิตศาสตรที่อธิบายผลตอบสนองอิมพัลสของชองสัญญาณ (channel impulse response) ดังตอไปน้ี

β δ τ=

−∑ =

เมื่อสัญญาณ เดินทางผานชองสัญญาณ สัญญาณ ที่ปรากฏที่เครื่องรับจะเปน ( )x t ( )r t

( ) ( )0

v

i ii

( ) ( ) ( )x t h t∗ +

( )n t

n t x t n tβ τ=

= − +∑( )

โดยที่ คือสัญญาณรบกวน และ เครื่องหมาย * แสดงถึงการประสาน (convolution) ของสัญญาณ กับ เมื่อ

เราวิเคราะหสมการดังกลาว เราจะเห็นวามีการรวมของสัญญาณ ซึ่งก็คือ สัญญาณ ที่มีคาหนวงเวลา

และขนาดถูกลดทอนไปเปน น่ันเอง ใน รูปที่ 3a เราใช

( )h tx t

( )i ix t ( )β τ− x t iτ

iβ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0.2 0.3 0.3 0.1 0.5t t T Tδ δ δ δ= + + − −

( ) ( )

0.5 t 0.2T−h t t+

สวนในรูปที่ 3b เราใช

( ) ( ) ( )0.5 0.2 0.7 0.3 1.5 0.1 2.3h t t t T t T t Tδ δ δ δ= + − + − + −

ขอสังเกตอีกอยางจากรูปที่ 3 ก็คือปญหา multipath fading จะมีนอยมากถา symbol interval T มีขนาดใหญเมื่อเทียบกับคาหนวงเวลา อยางไรก็ตาม ความตองการสงขอมูลอยางรวดเร็วทําใหไมสามารถเพิ่มขนาดของ T ไดโดยตรงเพราะจะทําใหอัตราการสงขอมูลลดลง การแกปญหา multipath fading น้ีสามารถทําไดโดยการใชการปรับแตงชองสัญญาณ (Equalization) ซึ่งยุงยากและซับซอน อีกวิธีหน่ึงที่สามารถหลีกเล่ียงปญหา multipath fading และเปนหลักการพ้ืนฐานที่ถูกนํามาใชใน OFDM ก็คือการสงขอมูลโดยแบงขอมูลไปยังหลายแถบความถ่ีซึ่งจะไดกลาวถึงในสวนถัดไป

Multi-carrier transmission

ดังที่ไดอธิบายในสวนที่แลว ปญหา multipath fading น้ันจะมีผลกระทบนอยมากถาเราสงสัญญาณดวยคา T ที่มีขนาดใหญ แตความตองการสงขอมูลอยางรวดเร็วทําใหไมสามารถลดคา T ไดโดยตรงเพราะจะทําใหอัตราการสงขอมูลลดลงตามไปดวย การสงขอมูลโดยใชหลายคล่ืนพาหเปนเทคนิคหน่ึงซึ่งหลีกเลี่ยงปญหา multipath fading ได โดยใชหลักการพ้ืนฐานที่ไมไดแตกตางไปจากหลักการในการสงขอมูลโดยใชคล่ืนพาหเดียวที่กลาวมาขางตนเลย หากแตมีการแบงขอมูลออกเปนหลาย ๆ สวนขนานกันไป (parallel data stream) โดยแตละสวนยอย ถูกสงออกไปดวยคล่ืนพาหยอย (subcarrier, SC) ที่มีความถ่ีตางกัน เมื่อขอมูลถูกแบงเปนหลายสวน แตละสวนจึงไมจําเปนตองมีอัตราการสงที่สูง ดังน้ันจึงสามารถใช T ที่มีขนาดใหญได ยิ่งเพ่ิมจํานวนของสัญญาณพาหยอยมากขึ้นเทาใดก็ยิ่งสงขอมูลไดมากขึ้นโดยไมกระทบตอ T วิธีน้ีเรียกวา การมัลติเพล็กซโดยการแบงความถี่ (Frequency Division Multiplexing: FDM) การสงขอมูลแบบ FDM น้ันมีขอจํากัดหลายประการ ประการแรก เน่ืองจากมีการใชคล่ืนพาหหลายความถ่ี เครื่องรับสัญญาณจะตองทําการแยกสัญญาณที่ถูกสงมากับแตละคล่ืนพาหโดยการกรองสัญญาณ ดังน้ันเราจะตองจัดใหความถ่ีของคล่ืนพาหอยูหางกันมากพอสมควรเพ่ือลดการทับซอนของสัญญาณในแกนความถ่ีทําใหไมสามารถใชยานความถ่ีที่มีอยูอยางเต็มที่ อีกปญหาของ FDM เปนเรื่องของความซับซอนของระบบ น่ันคือ ยิ่งเราแบงขอมูลออกมากสวนเทาใด ความซับซอนของเครื่องสงและรับสัญญาณก็ยิ่งมากขึ้นตามไปดวยเพราะจะตองรองรับการทํางานภายใตจํานวนความถี่ของคล่ืนพาหที่มากขึ้น เครื่องสงสัญญาก็จะตองมีวงจรกําเนิดความถ่ี (oscillator) ที่หลากหลาย ปญหาทั้งสองประการเปนอุปสรรคที่สําคัญของระบบแบบ FDM ในสวนถัดไป เราจะกลาวถึงการปรับปรุงประสิทธิภาพของ FDM ดวยการสงสัญญาณที่ต้ังฉากซึ่งกันและกัน

การต้ังฉาก (Orthogonality)

ในสวนน้ีจะกลาวถึงการสงสัญญาณที่ต้ังฉาก (orthogonal) ซึ่งกันและกัน สังเกตวาอักษร O ในคํายอ OFDM น้ันมาจากคําวา orthogonality ซึ่งก็คือ การต้ังฉากที่เราจะกลาวถึงในสวนน้ีเอง

5 | P a g e

1 2, , , สมมติวาเราตองการสงขอมูล เราสามารถทําไดโดยการสง pulse ในแกนเวลาที่เปล่ียนขนาดไป

ตาม เรียงกันไปตามลําดับ ( )Ns s s… p t

1 2, , , Ns s s…

( )1

0

N

k( )k

s t s p t kT−

=

= −

1 2, , , Ns s s…

( ) ( )1

0

N

kk

S f s p f k f−

=

∑

โดยแตละ pulse ใชเวลา T หนวยดังที่เราไดอธิบายไปแลวในสวนของการสงขอมูลโดยใชคล่ืนพาหเดียว สําหรับการสงขอมูลแบบ FDM น้ันในแตละชองเวลาที่มีขนาด T เราจะสงขอมูล ไปพรอม ๆ กันโดยใชหลายแถบความถ่ี ซึ่งสามารถสรุปเปนสมการในแกนความถ่ีไดวา

− Δ∑=

โดยที่ นระยะหางระหวาง spectrum ของสัญญาณยอย สําหรับในการสงสัญญาณที่ต้ังฉากกันน้ัน สัญญาณ จะตองต้ังฉากซึ่งกันและกันดวย น่ันคือ สําหรับจํานวนเต็ม k และ j ที่แตกตางกัน เราตองการให

fΔ เป

( )p f k f− Δ

( ) ( ) 0p f k f p f j f df∗− Δ − Δ =∫

6 | P a g e

)เห็นไดชัดวา ถา ไมซอนทับกับ ในแกนความถ่ี ผลของการคูณกันจะไดศูนยเสมอ สงผลให

คาที่ไดจากการ integrate เปนศูนยไปดวย น่ันคือสัญญาณท้ังสองก็จะต้ังฉากกันตามนิยามขางตนและไมรบกวนกัน น่ีเปนหลักการพ้ืนฐานของ FDM อยางไรก็ตาม การที่จะแยกสงสัญญาณใหอยูในแถบความถ่ีที่ไมซอนทับกันโดยสิ้นเชิงน้ันทําไดยากในทางปฏิบัติ และเปนสาเหตุใหระบบแบบ FDM ตองวาง spectrum ของสัญญาณยอยบนแกนความถ่ีใหหางกันมาก อีกทั้งยังมีการเพ่ิมแถบปองกัน (guard band) ระหวาง spectrum ของสัญญาณยอยอีก ทั้งหมดน้ีนํามาซึ่งการสิ้นเปลืองยานความถี่

(p f k f− Δ ( )p f j f− Δ

ที่จริงแลวการที่สัญญาณจะต้ังฉากกันน้ัน ไมจําเปนท่ีจะตองหลีกเล่ียงการทับซอนกันในแกนความถ่ี ตัวอยางของชุดสัญญาณที่ต้ังฉากกันแบบน้ีก็คือสัญญาณในรูปของ ฟงกชัน sinc ซึ่งใช

( ) f1 sincp ff f

π⎛ ⎞

= ⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠

k fΔ2

ดังแสดงในรูปที่ 4 จะเห็นวา spectrum ของสัญญาณยอยน้ันซอนทับกัน แตจุดสูงสุด (peak value) ของแตละ spectrum ของสัญญาณยอยหน่ึงจะเปนจุดที่ spectrum ของสัญญาณยอยอื่น ๆ มีคาเปนศูนยทําใหไมมีการซอนทับกันที่จุดสูงสุดเหลาน้ี สรุปแลว OFDM ก็เปน FDM แบบหน่ึงน่ันเองหากแตมีการจัดวางคล่ืนพาหยอยใหอยูใกลกันที่สุดโดยยังคงความต้ังฉากกันอยู

f

OFDM FDM

รูปที่ 4: Spectrum ของ OFDM และ spectrum ของ FDM

ถาเราวิเคราะหสัญญาณในแกนเวลาโดยใช inverse Fourier transform เราจะเห็นวาสัญญาณที่เปนฟงกชัน sinc ในแกนความถ่ีน้ันเทียบเทากับสัญญาณรูปสี่เหลี่ยมในแกนเวลา การที่ peak ของสัญญาณ sinc น้ันถูกวางไวที่ความถ่ี น้ันเทียบเทากับการคูณดวย ดังแสดงในสมการตอไปน้ี j k fte π Δ

( ) ( )1 2

,2 2

1 j k ftT Tp f k t e πf

−

+ Δ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

− Δ ⎯⎯→⎯F

ดังน้ันสัญญาณขางตนจะถูกจํากัดอยูระหวางเวลา t โดยที่ T เมื่อนําเอาสัญญาณยอยมารวมกันเราจะได ,2 2T T⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

1=

fΔ

( )1

0

Nj2 k fπ t

kk

s t s e−

+ Δ

=

= ∑

สําหรับเวลา แตถาเราใช pulse อื่นที่ไมใช ฟงกชัน sync สัญญาณรวมก็จะเปน ,2 2T Tt ⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

( )p f

7 | P a g e

( ) ( )1

2

0

Nj k ft

kk

s t s P t e π−

+ Δ

=

= ∑

โดย คือ inverse Fourier transform ของ ( )P t ( )p f

ขอสังเกต: สัญญาณ ไมจําเปนตองเริ่มจากเวลา หากเราตองการใหสัญญาณถูกจํากัดอยูในชวงเวลา [ ก็สามารถทําไดโดยใชสัญญาณ

( )s t ]T− 0 0,t t T2 +

0 2Ts t t⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

แทน สัญญาณ ( )s t

ในสวนของเครื่องรับสัญญาณนั้น ถาเราใชฟงชัน sinc เปน pulse ดังที่ยกตัวอยางขางตน และไมเกิดการ

รบกวนภายในชองสัญญาณ น่ันคือ ถาสัญญาณ ที่ไดรับน้ันเปนสัญญาณ โดยตรง เมื่อเราตองการดึงเอาขอมูล

ออกมาจาก ก็สามารถทําไดโดยการแปลง ใหอยูในแกนความถ่ี ดวย Fourier transform

แลวชักสัญญาณ (sample) ที่ความถ่ี

( )p f

( )r t ( )s t

1 2, , , Ns s s… ( ) ( ) ( )r t r t R f

f m f= Δ 0,1, , 1 โดย m N = −…

( ) ( )( )

เราจะได

( )( )1 1

0 0

1 sincN N

mk k

k k

sR m f s p m k f s m kf f

π− −

= =

Δ = − Δ = − =Δ Δ∑ ∑

ซึ่งเทียบเทากับการรูคาของ เพราะเรารูคาของ อยูกอนแลว จะเห็นไดวา การท่ีเราสามารถดึงเอาคา ออกมาไดอยางงายดายก็เพราะจุด peak ของแตละฟงกชัน sync น้ัน อยูตรงจุดที่ฟงกชัน sinc อื่นเปน 0 ทั้งสิ้น

ms fΔ 1 2, , , Ns s s…

( )

การนํา IDFT และ DFT มาใชใน OFDM

การใช orthogonality ในสวนที่แลวน้ันทําให OFDM สามารถใชยานความถี่ไดอยางมีประสิทธิภาพเพ่ิมขึ้นเกือบเทาตัวเมื่อเทียบกับ FDM แบบธรรมดา แตปญหาใหญอีกประการของ FDM ก็คือการที่เครื่องสงตองผลิตสัญญาณพาหที่มีความถ่ีไดหลากหลาย ซึ่งหาก N มีคามากก็เปนเรื่องที่ทําไดยาก ในสวนน้ีเราจะอธิบายถึงที่มาของการประมวลสัญญาณดวย IDFT (inverse discrete Fourier transform) และ DFT (discrete Fourier transform) ใน OFDM ซึ่งทําใหสามารถสงสัญญาณทั้ง N ความถ่ีไดในเวลาเดียวกัน

กอนอื่น เราจะลอง sample สัญญาณ ที่เวลา s t

nt nT โดย f

= = 0,1, , 1n N=Δ

… −

[ ] ( )1

2

0

N

ซึ่งผลที่ไดก็คือ

j knk

k

s n s nT s e π−

+

=

= = ∑

จะเห็นไดวา

8 | P a g e

[ ]( ) ( ){ }1 1

00IDFT

N Nk kn

s n s− −

===

ดังน้ัน หากไมเกิดการผิดเพ้ียนของสัญญาณในชองสัญญาณ เราจะได

[ ] [ ]( )r n r nT s n= =

( )

และสามารถดึงเอาขอมูลกลับมาไดโดยการใช DFT สรุปวาในการสงขอมูลแบบ OFDM น้ัน เราจะแปลงขอมูลจากแบบอนุกรมซึ่งก็คือขอมูลที่เรียงกันมาตามลําดับเปนขอมูลแบบขนาน แลวทําการประมวลขอมูลทั้งชุดในเวลาเดียวกันดวย IDFT จากน้ันจึงสงออกไปในชองสัญญาณ ที่เครื่องรับก็จะประมวลผลสัญญาณโดยใช DFT เพ่ือใหไดขอมูลกลับคืนมาดังสรุปดวยแผนผังตอไปน้ี

[ ]( ) [ ]( ) ( ) ( )1 11 1 1

0 0 00 0IDFT DFT

N NN N Nk k kk k kn n

s s n r n R S− −− − −

= = == =→ → → → → =

นอกจากน้ี เพราะขอมูลผานการ IDFT กอนที่จะถูกสงออกไป เราจึงเรียกขอมูลเหลาน้ีวาสัญลักษณในแกนความถ่ี (frequency-domain symbol)

ขอสังเกต: นิยามของ DFT ที่เราใชขางตนน้ันมี เปน factor อยูดวย ดวยเหตุน้ีจึงไมมี factor ใน IDFT เราสามารถนิยาม

DFT ใหมเพ่ือใหการแปลงของ DFT และ IDFT คลายกันมากขึ้น ซึ่งทําไดโดยการใช factor ทั้งในสูตรของ DFT และ

IDFT นิยามทั้งสองแบบน้ีเทียบเทากัน หากเราเลือกที่จะใชนิยามใหมก็สามารถทําไดโดยการสง แทน .

1N

1N

1N

( )1 s tN

( )s t

2N logN N

เมื่อเราใช IDFT แลวก็ไมมีความจําเปนที่จะตองมี oscillator สําหรับแตละคล่ืนพาหยอย เทคนิคการใช DFT/IDFT รวมกับ OFDM น้ีเรียกวา Discrete Multi-Tone (DMT) [Weinstein71] นอกจากน้ีสิ่งที่ลดปญหาความยุงยากของเคร่ืองรับสงแบบ OFDM ก็คือ การนําเอา IFFT หรือ Inverse Fast Fourier Transform มาแทน IDFT โดย IFFT น้ันสามารถประมวลผลไดอยางรวดเร็วเมื่อเทียบกับ IDFT ในทํานองเดียวกัน สวน DFT ของ OFDM ก็ถูกแทนที่โดย FFT (fast Fourier transform) การประมวลผลโดย FFT สามารถลดจํานวนการคูณในการแปลงแบบ DFT จาก เปน สําหรับขอมูลที่มีขนาด N

นอกจากการน้ียังมีการเพ่ิมชวงเวลาปองกัน (guard time) เพ่ือปองกันผลกระทบที่เกิดจาก multipath fading ที่เรากลาวถึงขางตน โดยมีการเสริมสัญญาณดวย cyclic prefix ซึ่งเปนการคัดลอกเอาสัญลักษณสวนทายของแตละ block ขอมูลมาสอดไวกอน block ขอมูลน้ัน

ปญหาของ OFDM: อัตราสวนกําลังงานสูงสุดตอกําลังงานเฉล่ีย

ปญหาที่สําคัญมากของระบบ OFDM ก็คือการที่สัญญาณมีอัตราสวนกําลังงานสูงสุดตอกําลังงานเฉล่ีย (Peak-to-Average Power Ratio, PAPR) ที่สูง เมื่อสัญญาณท่ีมีคา PAPR สูงเขาสูวงจรขยาย (amplifier) ของเครื่องสง วงจรขยายจะตองทํางานในชวงอิ่มตัวและทํางานแบบไมเปนเชิงเสน (non-linear) จึงเกิดการผิดเพ้ียนของสัญญาณ เปนผลใหอัตราความผิดพลาดบิตขอมลู (Bit Error Rate: BER) เพ่ิมสูงขึ้น นอกจากน้ียังทําให spectrum ของสัญญาณล้ําออกนอกแถบความถี่ของชองสัญญาณไปรบกวนชองสัญญาณอื่น หากตองการการขยายสัญญาณเชิงเสน ก็จะมีผลตอประสิทธิภาพทางกําลังของ amplifier ที่ใชงาน ทําใหตองใช amplifier ที่มีราคาแพง

ในสวนน้ีเราจะใชทฤษฎีความนาจะเปนมาอธิบายวาเหตุใดคา PAPR จึงสูงตามคา N กอนอื่น ถาเรายอนกลับวิเคราะหสัญญาณของ OFDM หลังจากผาน IFFT จะเห็นวาสัญญาณมีคาดังน้ี

9 | P a g e

[ ]1

0

1k

Nj

kk

s n s eN

ω−

+

=

= ∑ โดย และ 2knkN

ω π= 0,1, , 1n N= −…

ซึ่งโดยปกติแลว จะเปนจํานวนเชิงซอน หากมีการใชคล่ืนพาหยอยจํานวนมาก (N มีคาสูง) ก็มีโอกาสสูงที่ จะมีคา

มาก เพราะเปนผลของการรวมกันของสัญญาณขอมูลหลังการทํา IFFT ในที่น้ีถาเราสมมติให เปนตัวแปรสุมเชิงซอน (complex random variable) ซึ่งหมายความวาแตละตัวแปรสุม จะสามารถแบงเปนสวนจริงคือ และ สวน

เชิงซอนคือ โดยทั้งสองสวนเช่ือมกันดวยความสัมพันธ

[ ]ks s n

0 1 1, , , Ns s s −…

ks { }Re ks

{ }Im ks

{ } { }Re Imk k ks s j s= +

ดังน้ันเราจึงมีตัวแปรสุม 2N ตัวแปร ดังน้ี

{ } { } { } { } { } { }0 0 0 0Re ,Im ,Re ,Im ,s s s s … 1 1,Re , ImN Ns s− −

โดยตัวแปรสุมทั้งหมดเปนจํานวนจริง ในสวนน้ีเราจะใหตัวแปรสุมทั้งหมดมีลักษณะเปน iid (independent and identically distributed) โดย

{ } { }Re Im 0k ks s= = { }( )Re และ { }( )2 2 2Imk ks s⎡ ⎤ σ⎡ ⎤= =⎣ ⎦

[

⎣ ⎦E E

ซึ่งผลที่ตามมาก็คือ 1) ] 0ks =E

2) { }( ) { }( )2 22 2Re Im 2k k ks s s σ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦E E E

3) { }( ) { }( )Re Im 0k is s⎡ ⎤ =⎣ ⎦E

≠

4) ถาคา i แลว ka) { }( ) { }( )Re Re 0k is s⎡ ⎤ =⎣ ⎦E

b) { }( ) { }( )Im Im 0k is s⎡ ⎤ =⎣ ⎦E

c) *i ks s⎡⎣E ⎤⎦

( )

จะเปน 0 เพราะ กับ น้ันเปนอิสระ (independent) จากกัน สงผลให is ks

[ ]* *

iid0 0 0i k i ks s s s⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = × =⎣ ⎦ ⎣ ⎦E E E

ดังน้ันเราสามารถหาคาคาดหมายของคากําลังงานเฉล่ียไดเปน

[ ] [ ] [ ]1 12 * *

0 0

1i k

N Nj j

i kk i

s n s n s n s s e eN

ω ω 2 22ks σ− −

+ −

= =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ∑∑E E E ⎡ ⎤= =⎣ ⎦E

นอกจากน้ีเรายังสามารถกระจาย ออกเปนสวนจริงและสวนเชิงซอน โดยที่ [ ]s n

[ ]{ } { }

[ ]{ }

( ) { } ( )( )

{ } (

1

0

1

0

1Re Re cos

1Im Re sin

N

k kk

N

k kk

s n sN

s n sN

−

=

−

=

∑

∑ ) { } ( )( )

Im sin

Im cos

k k

k k

s

s

ω ω

ω ω

= −

= +

หาก N น้ันมีคามาก เราสามารถใชทฤษฎีเซ็นทรัลลิมิตของ Lyapunov (Lyapunov Central Limit Theorem) ประมาณคาความหนาแนนเชิงความนาจะเปน (probability density) ของตัวแปรสุมทั้งสองดวย ตัวแปรสุมแบบ Gaussian ที่มีคาคาดหมายและคาความเบี่ยงเบนเดียวกันกับตัวแปรสุมทั้งสอง ในที่น้ีเรารูแลววา สําหรับคาความเบ่ียงเบนน้ัน เพราะคาคาดหมาย

เปน 0 เราจึงสามารถหาคาความเบี่ยงเบนจาก [ ] 0ks =E

[ ]{ }( )2 2e s n[ ]{ } [ ]{ }( ) [ ]{ }( )2

0

Var Re Re Re Rs n s n s n⎡ ⎤

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦E

⎢ ⎥⎣ ⎦

E E

ซึ่งถาเราแทนคา ดวยสมการท่ีประกอบดวยพจนที่มี cosine และ sine ขางตน คาของ จะเปน [ ]{ }( )2Re s n⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦E[ ]{ }Re s n

{ } ( ) { } ( )( ) { } ( ) { }1 1

0 0

1 Re cos Im sin Re cos ImN N

i k i k k k kk i

s s sN

ω ω ω− −

= =

− −∑∑E ( )( )sin ks ω⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

หลังจากกระจายผลคูณออกมา เราสามารถกําจัดพจนที่มี และ ไดเพราะมีคาคาดหมาย

เปน 0 นอกจากน้ีเมื่อ เรายังสามารถกําจัดพจนที่มี และ ได ดังน้ันสิ่งที่เหลืออยู

คือ

{ } { }Im Reis s { } { }k Re Imi ks s

ki ≠ { } { }Re Rei ks s { } { }Im Imi ks s

[ ]{ }( ) { }( ) ( ) { }( )(12 2 2

0

1Re Re cos ImN

k kk

s n s sN

( ))2 2sink kω ω⎤⎦

−

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= +⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦ ∑E E E

เมื่อแทนคา เราจะได { }( ) { }( )2 2 2Re Imk ks s σ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦E E

( [ ]{ })2 2Re s n

10 | P a g e

σ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦E

เราสามารถใชวิธีการเดียวกันหาคาอื่น ๆ ดังตอไปน้ี

1) { }( )2 2Im ks σ⎡ ⎤ =⎣ ⎦E

2) [ ]{ }( ) [ ]{ }( )Re Im 0s n s m⎡ ⎤ =⎣ ⎦E

3) สําหรับ n m ≠ [ ]{ }( ) [ ]{ }( ) [ ]{ }( ) { [ ]}( )Im 0s m ⎤Re Re Ims n s m s n⎡ ⎤ ⎡= =⎦⎣ ⎦ ⎣E E

ดังน้ันเราจึงสรุปไดวา เมื่อ N มีคามาก เราสามารถประมาณตัวแปรสุม

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { [ ]}Re 0 ,Im 0 , ,Res s 1 ,Im 1s N s N− −

)…

ดวยตัวแปรสุมแบบ Gaussian ที่เปนอิสระจากกัน ดังน้ันตัวแปรสุม ( 20,σN

[ ] [ ] [ ]2 2 20 , 1 , , 1s s s N −…

จึงมีลักษณะเปน iid โดยมีการกระจายแบบ exponential เพราะ

([ ] [ ]{ }) [ ]{ }( )2 2Re Ims n s n= +

[ ]

2s n

เปนการรวมกันแบบ Euclidean ของตัวแปรสุม Gaussian สองตัวแปรที่มีการแจกแจงแบบ iid โดยมีฟงกชันความหนาแนน (pdf)

เปนแบบเลขช้ีกําลัง (exponential) ที่มีคาคาดหมายเปน 2 22s n σ⎡ ⎤ =

⎣ ⎦E

เราจะนิยามคา PAPR โดยสมการตอไปน้ี

[ ][ ]

[ ] [ ]

11 | P a g e

2 2 2

0 12 20 1

max2 2k N

s n s n0 1

2

max maxk N k N

s n

s n σ σ−

≤ ≤ −= = =

[ ]

≤ ≤ − ≤ ≤Γ⎡ ⎤⎣ ⎦

E

จะเห็นไดจากนิยามของ PAPR วาคาเศษเปนคากําลังงานสูงสุดและคาสวนเปนคากําลังงานเฉล่ีย ดังที่ไดอธิบายไปแลวขางตน

เมื่อ N มีคามาก จะมีการแจกแจงแบบ exponential เพราะฉะน้ัน ตัวแปรสุม จึงมีการแจกแจงแบบ

exponential ดวย และมีคาคาดหมายเปน 1 เพราะ

2s n [ ] 2 22s n σ

[ ][ ]22

2

2 2 2

2 12 2 2

s ns n σσ σ σ

⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥ = = =

⎢ ⎥⎣ ⎦

E

Γ

E

เมื่อเปนเชนน้ี ตัวแปรสุม จึงเปนการหาคาสูงสุดของตัวแปรสุมที่แจกแจงแบบ iid exponential จํานวน N ตัวแปร เราจึงสามารถหาความนาจะเปนที่ตัวแปรสุม จะมีคาเกินจํานวนจริง ไดเปน

Γ

γ

[ ] ( )1 1N

P e γγ −Γ > = − −

เราจะสังเกตไดวาคาความนาจะเปนน้ีเพ่ิมสูงขึ้นเมื่อ N ซึ่งก็คือจํานวนของคล่ืนพาหยอยมีคามากขึ้น มีงานวิจัยจํานวนมากที่นําเสนอวิธีการลด PAPR (PAPR reduction schemes) วิธีที่เราจะกลาวถึงก็คือ Signal distortion technique ซึ่งใชการบิดเบือนบริเวณสวน peak ของสัญญาณแบบไมเปนเชิงเสนตรง เพ่ือไมใหสัญญาณมีคามากเกินไป โดยวิธีที่งายที่สุดก็คือการ clip สัญญาณที่ระดับ ที่ต้ังไวกอน [2, 3] ซึ่งเทียบไดกับการคูณสัญญาณที่มีดวย ฟงกชันรูปสี่เหลี่ยมซึ่งเราจะเรียกวา rectangular window ที่มีความสูงเทากับ หากเราใชวิธีน้ี แนนอนวาจะไมมีสัญญาณที่มีขนาดสูงกวา ออกมาจากเครื่องสง อยางไรก็ตาม เมื่อสัญญาณถูก clip ไปก็จะมีรูปรางไมเหมือนเดิมซึ่งทําใหอัตราความผิดพลาดบิต (BER) ที่เครื่องรับสูงขึ้นไปดวย นอกจากน้ี spectrum ของสัญญาณจะขยายขึ้น เพราะการคูณดวย Rectangular window ในแกนเวลาเทียบเทากับการประสาน (convolve) สัญญาณดวยฟงกชัน sinc เมื่อ spectrum ของสัญญาณขยายขึ้นสัญญาณก็จะไปรบกวนสัญญาณในยานความถ่ีอื่น ดังน้ันเพ่ือลดการไปรบกวนสัญญาณนอกแถบความถ่ี จึงไดมีการเปล่ียนเปน window แบบอื่นที่มี spectrum ที่ดีกวา เชน การใช window แบบ Gaussian [7], cosince, Kaiser, หรือ Hamming วิธีการลด PAPR น้ันยังมีอีกหลายวิธี ตัวอยางเชน การใชเทคนิค peak cancellation [8, 9] อีกวิธีหน่ึงก็คือการเขารหัสขอมูลกอนที่จะสงสัญญาณเพ่ือกําจัดกลุมสัญลักษณที่มีคา PAPR สูงเกินไป [1, 10]

γγ γ

ที่จริงแลว การพยายามลดคา PAPR ใหไดมากท่ีสุดน้ัน อาจไมใชสิ่งที่ถูกตองนัก เพราะจุดมุงหมายที่แทจริงของการสื่อสารก็คือการนําขอมูลสงไปใหถึงปลายทางอยางถูกตอง ดังน้ันนักวิจัยบางกลุมจึงใหความสนใจกับการหา efficient PAPR ซึ่งก็คือ PAPR ที่ดีที่สุดภายใตเกณฑที่นักวิจัยสรางขึ้น [11]

Reference

[1] S. J. Shepherd, P. W. J. Van Eetvelt, C. W. Wyatt-Millington, and S. K. Barton, “Simple coding scheme to reduce peak factor in QPSK multicarrier modulation,” Electron. Lett., vol. 31, no. 14, pp. 1131–1132, July 1995.

12 | P a g e

[2] D.Wulich, “Peak factor in orthogonal multicarrier modulation with variable levels,” Electron. Lett., vol. 32, no. 20, pp. 1859–1860, Sept. 1996.

[3] X. Li and L. J. Cimini Jr., “Effects of clipping and filtering on the performance of OFDM,” IEEE Commun. Lett., vol. 2, pp. 131–133, May 1998.

[4] A. Papoulis, Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 1984. [5] D. Wulich, N. Dinur, and A. Gilinowiecki, “Level clipped high order OFDM,” IEEE Trans. Commun., vol. 48, pp. 928-

930, June 2000. [6] Weinstein, S.B., Ebert P.M. Data Transmission By Frequency Division Multiplexing Using the Discrete Fourier

Transform. IEEE Trans. Commun., Oct 1971; COM-19; 5: 628-634. [7] Pauli, M., and H. P. Kuchenbecker, “Minimization of the Intermodulation Distortion of a Nonlinearly Amplified OFDM

Signal,” Wireless Personal Communications, Vol. 4, No. 1, January 1997, pp. 93–101. [8] De Wild, A., “The Peak-to-Average Power Ratio of OFDM,” M.Sc. thesis, Delft University of Technology, Delft, the

Netherlands, September 1997. [9] May, T., and H. Rohling, “Reducing the Peak-to-Average Power Ratio in OFDM Radio Transmission Systems,”

Proceedings of IEEE VTC’98, Ottawa, Canada, May 18–21, 1998, pp. 2774–2778. [10] Wilkinson, T. A., and A. E. Jones, “Minimization of the Peak-to-Mean Envelope Power Ratio of Multicarrier

Transmission Schemes by Block Coding,” Proc. of IEEE Vehicular Technology Conference, Chicago, IL, July 1995, pp. 825–829.

[11] Wulich, D., "Definition of efficient PAPR in OFDM," Communications Letters, IEEE , vol.9, no.9, pp. 832-834, Sep 2005