PRAVD ĚPODOBNOST: ZÁKLADY, FILOSOFICKÉ POJETÍeuler.fd.cvut.cz/predmety/matematika/historie/... · Navazuje na H. Reichenbacha (Wahrscheinlichkeitslehre, 1935) • pravd ěpodobnost

PRAVDĚPODOBNOST:

ZÁKLADY,

F ILOSOFICKÉ POJETÍ

Pravděpodobnost...

KLASICKÁ DEFINICE

Jakob Bernoulli (1654 – 1705)

Ars conjectandi (1713):

„Pravd ěpodobnost je stupe ň jistoty a liší se od úplné jistoty tak, jako se část liší od celku.“

Připouští, že jistotu může charakterizovat číselná hodnota různá od jedné, ale v dalším období se ustálilo pojetí, v němž pravděpodobnost nabývá číselných hodnot z intervalu [0,1]

Širší pojetí pravděpodobnosti s možností jejího využití pro rozhodování i v občanských záležitostech a jinde

Abraham de Moivre (1667 – 1754)

The Doctrine of Chances (1718, 1738, 1756)

1738 (především v souvislosti se hrami): „Pravd ěpodobnost jevu je v ětší nebo menší podle po čtu možností, p ři nichž jev nastane, ve srovnání s po čtem všech možností, p ři nichž nastane nebo nenastane.“ Míra pravd ěpodobnosti:

počet příznivých p řípadů

počet všech p říznivých i nep říznivých p řípadů

„Relativní po čet příznivých p řípadů k celkovému po čtu všech p říznivých i nep říznivých p řípadů je míra pravd ěpodobnosti.“

Pierre Simon Laplace (1749 – 1827)

Essai philosophique sur les probabilités , 1814:

explicitně vyslovuje u de Moivrea implicitně zahrnutý předpoklad, že všechny uvažované případy jsou stejně možné:

„Teorie náhodných jev ů spočívá v redukci všech jev ů stejného druhu k jistému po čtu p řípadů stejn ě možných, to je takových, že jsou stejn ě nejisté pokud se jedná o jejich uskute čnění, a v ur čení počtu p říznivých p řípadů jevu, jehož pravd ěpodobnost hledáme. Pom ěr tohoto čísla k po čtu všech možných p řípadů je míra pravd ěpodobnosti.“

Námitka: jedná se o tautologii, protože „stejně možné“ je totéž jako stejně pravděpodobné (dědictví původu pravděp. v hrách – různé hody či volby karet jsou u korektních kostek a balíčků skutečně a zcela zřejmě stejně možné)

Pevné přesvědčení o obecně deterministické povaze světa, vycházející z osvícenských idejí a upevněné Newtonovou mechanikou

⇒ nejistota = nedostatek lidského poznání

Laplace ův Démon: universální bytost nevyčerpatelné inteligence, která o Vesmíru ví v každém okamžiku vše

„Taková bytost by počet pravděpodobnosti nepotřebovala, pro nás je však nutný zčásti díky nevědomosti, zčásti díky znalosti. Víme, že ze tří či více jevů by se měl státi pouze jediný, z ničeho však nemůžeme usoudit, který z nich to bude. V tomto stavu nerozhodnosti je nemožné ohlásit výsledek s jistotou.“

Spinoza (1632 – 1677)

Ethica Ordine Geometrico Demonstrata , 1677:

"Událost m ůže být považována za náhodnou jedin ě ve vztahu k našim nedostate čným znalostem"

Jean-Baptiste le Rond d'Alembert (1717 – 1783)

Ethica Ordine Geometrico Demonstrata , 1750:

"P řesně vzato neexistuje žádná náhoda, jedin ě její ekvivalent: naše nev ědomost, díky níž my sami jsme její příčinou".

Klasická definice pravd ěpodobnosti pln ě vyhovovala, pokud st ředem zájmu byly pouze hry. P ři jejím použití na jiné jevy však vznikají vážné potíže.

John Maynard Keynes (1883–1946) anglický ekonom a matematik

kniha Treatise on Probability, 1921: „ Princip indiference vyžaduje, aby když není znám žádný d ůvod p řisoudit našemu subjektu spíše jednu než druhou z n ěkolika alternativ, pak vzhledem k takovému poznání má tvrzení každé z t ěchto alternativ stejnou pravd ěpodobnost.“

PARADOXY KLASICKÉ DEFINICE

Paradox knihy Představme si knihu na určitém místě v knihovně a předpokládejme, že jsme v knihovně nikdy nebyli a tu knihu nikdy neviděli. Nevíme tedy jakou barvu má její obal. Za těchto okolností nemáme žádný důvod domnívat se, že obálka má červenou barvu a ne jinou. Tedy když užijeme princip indiference, máme P(červená)=1/2. Podobně ale P(modrá), P(zelená) a P(žlutá) jsou také všechny 1/2, což je ve sporu s principem pravděpodobnostního kalkulu, že součet vzájemně se vylučujících možností musí být menší nebo roven 1.

→ „stejně možné“ jevy jsou „nedělitelné“ a „stejného typu“

PARADOX VÍNA A VODY Směs vína s vodou

jediné, co víme: je tam nejvýše 3x více jedné tekutiny než druhé

1 víno3

3 voda≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤

Princip indiference: každý poměr je stejně pravděpodobný

1253(víno/voda 2)

1 833

P−−−−

≤ = =≤ = =≤ = =≤ = =−−−−

PARADOX VÍNA A VODY Směs vína s vodou

jediné, co víme: je tam nejvýše 3x více jedné tekutiny než druhé 1 víno

33 voda

≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤

Princip indiference: každý pom ěr je stejn ě pravd ěpodobný

1253(víno/voda 2)

1 833

P−−−−

≤ = =≤ = =≤ = =≤ = =−−−−

Podobn ě:

1 voda3

3 víno≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ , (((( ))))

131 152voda/víno

12 1633

P−−−−

≥ = =≥ = =≥ = =≥ = =−−−−

ANDREI NIKOLAJEVI Č KOLMOGOROV (1903 – 1987)

Naše každodenní uvažování:

hypotézy o našem okolí i o nás samotných

•••• globální oteplování a další ekologické otázky

•••• evoluce

•••• psychické procesy

•••• příčiny nemocí

•••• věrohodnost historických událostí, sv ědků, partner ů, ...

→ věrohodnost t ěchto hypotéz

(jedna z nejd ůležitějších motivací vývoje teorie pravd ěpodobnosti)

Do jaké míry podporují dostupná pozorování danou hypotézu?

Do jaké míry podporují dostupná pozorování danou hypotézu?

?

Teorie pravd ěpodobnosti

≡ jedna z nejzajímav ějších a nejd ůležitějších disciplín

•••• bezprost řední vztah k našemu každonennímu uvažování: hypotézy o našem okolí i o nás samotných → věrohodnost t ěchto hypotéz

•••• jsme obklopeni náhodností: o organický sv ět – buňky v tkáních, rostliny, živo čichové, lidé, ... o anorganický sv ět – molekuly plyn ů a kapalin, krystaly, ... o náhodná setkání, nehody o onemocn ění – šance na uzdravení a p řežití, ú činnost lék ů o vady materiál ů o poruchy železni čních zabez. za řízení, jaderných elektráren, ... o politika, zákonodárství o pojiš ťovny, management rizik

nezbytná pro fyziku, biologii, medicínu, inženýrstv í, spole č. vědy, ...

INTERPRETATCE PRAVDĚPODOBNOSTI

V teorii pravděpodobnosti se rozvíjejí dva směry: filosofický a matematický. Zpravidla nepostupují zcela současně. Matematická stránka má před filosofickou velký náskok.

Užší spojení obou směrů mi připadá být v zájmu obou...

Emanuel Czuber, 1923: Die philosophische Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

The theory of probability has a mathematical aspect and a foundational aspect. There is a remarkable contrast between the two. While an almost complete consensus and agreement exists about the mathematics, there is a wide divergence of opinions about the philosophy.

With a few exceptions ... all probabilists accept the same set of axioms for the mathematical theory, so that they all agree about what are the theorems. Yet in the twentieth century at least, four strikingly different interpretations of this mathematical calculus have been developed, and each of them has adherents today. This book will give a detailed account of these interpretations ...

Gillies, D., 2000: Philosophical Theories of Probability

INTERPRETACE PRAVDĚPODOBNOSTI

EPISTEMOLOGICKÉ INTERPRETACE

Pravd ěpodobnost ==== míra stupn ě znalosti nebo p řesvědčení (závisí na člověku)

(Laplace: Bez člověka by nebylo t řeba pravd ěpodobnosti ) OBJEKTIVNÍ INTERPRETACE

Pravd ěpodobnost ==== objektivní vlastnost materiálního sv ěta

(např. rozpad atomu – nezávisí na jedinci, nic spole čného s lidskou znalostí či vírou)

LOGICKÁ INTERPRETACE

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), 1678 BERNARD BOLZANO (1781 – 1848), 1837 Tomáš Garrigue Masaryk (1851 – 1925), 1883 Johannes von Kries (1853 – 1928), 1886 William Ernst Johnson (1858 – 1931), 1921 John Maynard Keynes (1883 – 1946), 1921 Ludwig Wittgenstein (1889 – 1951), 1921 EMANUEL CZUBER (1851 – 1925), 1923 Friedrich Waismann (1896 – 1959), 1930 Harrold Jeffreys (1891 – 1989), 1939 OTOMAR PANKRAZ (1903 – 1976), 1939 Rudolf Carnap (1891 – 1970), 1950

pravd ěpodobnost = = = = míra racionálního p řesvědčení

SUBJEKTIVNÍ INTERPRETACE VÁCLAV ŠIMERKA (1818 – 1887), 1882

Frank Plumpton Ramsey (1903 – 1930), 1926 (publ. 1931)

Bruno de Finetti (1906 – 1985), 1930, 1937

Leonard Jimmie Savage (1917 – 1971), 1954

pravd ěpodobnost = = = = stupe ň osobního p řesvědčení nebo víry ve výskyt ur čitého jevu či události

Reálný p řístup – pracuje s reálnými pojmy, subjektivním přijímáním či odmítáním hypotéz

... každodenní pravděpodobnostní uvažování ¨


Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), 1678 BERNARD BOLZANO (1781 – 1848), 1837 Tomáš Garrigue Masaryk (1851 – 1925), 1883 Johannes von Kries (1853 – 1928), 1886 William Ernst Johnson (1858 – 1931), 1921 John Maynard Keynes (1883 – 1946), 1921 Ludwig Wittgenstein (1889 – 1951), 1921 EMANUEL CZUBER (1851 – 1925), 1923 Friedrich Waismann (1896 – 1959), 1930 Harrold Jeffreys (1891 – 1989), 1939 OTOMAR PANKRAZ (1903 – 1976), 1939 Rudolf Carnap (1891 – 1970), 1950

pravd ěpodobnost = = = = míra racionálního p řesvědčení

Teorie pravd ěpodobnosti ==== rozší ření deduktivní logiky

OTOMAR PANKRAZ (1903 – 1976)

1930 – 31 Všeobecný penzijní ústav v Praze (pojistný matematik)

1931 – 39 asistent K. Rychlíka na české technice v Praze

zájem o vývoj teorie pravd ěpodobnosti

1931 recenze Misesovy knihy Wahrscheinlichkeitsrechnung (podrobný rozbor, uvádí i kritiky, staví se na Misesovu stranu)

1933 Zur Grundgleichung für den zeitlichen Zerfall der statistischen Kollektivs (čas. Aktuárské vědy)

1935 habilitace na české univerzit ě v Praze (práce z r. 1933)

1938 habilitace na české technice v Praze

1939 O axiomech pravd ěpodobnosti Rozpravy Jednoty pro vědy pojistné

1940 O pojmu pravd ěpodobnosti (ČPMF)

Kritika Kolmogorovových axiom ů Navazuje na H. Reichenbacha (Wahrscheinlichkeitsleh re, 1935)

• pravd ěpodobnost zavedena jako 1-argumentová funkce P(A)

→ podmín ěná pravd ěpodobnost (dvouargumentová funkce) zavedena pomocí dodate čné definice mimo axiomy

( )( )( )A

P A BP BP A

∩∩∩∩====

→ ukáže se, že rovn ěž vyhovuje axiom ům (pro pevné A)

• rozlišování podmín ěné a nepodmín ěné pravd ěpodobnosti nemá logické opodstatn ění

• při důkazu, že ( )AP B vyhovuje axiom ům, se p ředpokládá, že A je konstatní – není uspokojující

PRAVDĚPODOBNOST = DVOUARGUMENTOVÁ FUNKCE

Kritika Kolmogorovových axiom ů Navazuje na H. Reichenbacha (Wahrscheinlichkeitsleh re, 1935)

• pravd ěpodobnost zavedena jako 1-argumentová funkce P(A)

→ podmín ěná pravd ěpodobnost (dvouargumentová funkce) zavedena pomocí dodate čné definice mimo axiomy

( )( )( )A

P A BP BP A

∩∩∩∩====

→ ukáže se, že rovn ěž vyhovuje axiom ům (pro pevné A)

• rozlišování podmín ěné a nepodmín ěné pravd ěpodobnosti nemá logické opodstatn ění

• při důkazu, že ( )AP B vyhovuje axiom ům, se p ředpokládá, že A je konstatní – není uspokojující

PRAVDĚPODOBNOST = DVOUARGUMENTOVÁ FUNKCE

ZÁKLADNÍ POJEM = PODMÍN ĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST

Základní pojem = podmín ěná pravd ěpodobnost V život ě:

„I’m sure I could be a movie star, if I could get o ut of this place”

(Pianista – Billy Joel)

Základní pojem = podmín ěná pravd ěpodobnost V život ě:

„I’m sure I could be a movie star, if I could get o ut of this place”

(Pianista – Billy Joel)

Pravděpodobnost toho, že by se stal filmovou hvězdou je vysoká – ovšem podmíněná tím, že se dostane pryč

Kdyby Hitler vyhrál u Stalingradu, dálnice by už st ála...

(Kamil Dubský o silnicích ve Východních Čechách)

Každá p ředpov ěď, obzvlášt ě každé vyhodnocení pravd ěpodob-

ností je podmín ěné; nejen mentalitou či psychologií daného

jedince v daném okamžiku, ale také – a p ředevším – stupn ěm

informovanosti ... (Bruno de Finetti, 1974)

Všechny pravd ěpodobnosti jsou podmín ěné

V život ě:

• Každá událost se odehraje za ur čitých podmínek

• Žádná kostka ani mince není dokonalá • Žádná hrací deska není dokonale rovná

•••• •••• ••••

Pojem náhodného jevu

Věty ve v ědeckých teoriích

Věta kauzální:

„Jev B se uskute ční ¤ nastane p řed ním jev A“

následek p říčina

Pojem náhodného jevu

Věty ve v ědeckých teoriích

Věta kauzální:

„Jev B se uskute ční ¤ nastane p řed ním jev A“

následek p říčina

Věta náhodová:

„Jev X se uskute ční ¤ nastane p řed ním jeden z elementárních jev ů množiny MX“

, , , ...XM A B C==== ... množina elementárních jev ů (lib. množina)

[|MX|=1 O věta kauzální]

Jev X:

Množina M X možných p říčin:

• Projektant provedl chybný výpo čet

• Geolog vypracoval chybný posudek

• Stavbyvedoucí nedodržel projekt

• Dodavatel dodal vadný materiál

• Soused poškodil základy, když si rozši řoval sklep

•••• •••• ••••

Kdo by m ěl být zat čen?

Jev X

Jev X

Věta náhodová:

„Jev X se uskute ční ¤ nastane p řed ním jeden z elementárních jev ů množiny MX“

, , , ...XM A B C==== ... množina elementárních jev ů (lib. množina)

[|MX|=1 O věta kauzální]

Statistická teorie: prost řednictvím náhodových v ět pojednává o náhodných jevech X, Y, ...

Každou statistickou teorii lze považovat za množinu určitých náhodových v ět: , , ...X YV VΩ ====

Popis vztah ů mezi výrokovými formami pomocí množin

Teorii, která se zabývá náhodnými jevy X, Y, ..., lze považovat za systém náhodových v ět VX ,VY ,...

Výroková forma: X YV V⇒⇒⇒⇒ .... X YV V⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬ ....

Obor pravdivosti:

X YM M⊆⊆⊆⊆

X YM M∩ = ∅∩ = ∅∩ = ∅∩ = ∅

X YV V⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬ X YV V⇒⇒⇒⇒

X YM M∩ = ∅∩ = ∅∩ = ∅∩ = ∅ X Y XM M M∩ =∩ =∩ =∩ =

X YV V⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬ X YV V⇒⇒⇒⇒ X p YV V⇒⇒⇒⇒

X YM M∩ = ∅∩ = ∅∩ = ∅∩ = ∅ X Y XM M M∩ =∩ =∩ =∩ =

( )( )X Y

X

M MM

µµµµµµµµ

∩∩∩∩

X YV V⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬ X YV V⇒⇒⇒⇒ X p YV V⇒⇒⇒⇒

X YM M∩ = ∅∩ = ∅∩ = ∅∩ = ∅ X Y XM M M∩ =∩ =∩ =∩ =

( )( )X Y

X

M MM

µµµµµµµµ

∩∩∩∩

Počet pravd ěpodobnosti:

výrok. forma V X s oborem ¤ náhodný jev X s množinou pravdivosti MX realizací MX

X YV V⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬ X YV V⇒⇒⇒⇒ X p YV V⇒⇒⇒⇒

X YM M∩ = ∅∩ = ∅∩ = ∅∩ = ∅ X Y XM M M∩ =∩ =∩ =∩ =

( )( )X Y

X

M MM

µµµµµµµµ

∩∩∩∩ ... (((( ))))( ) |

( )P X Y P Y X

P X∩∩∩∩ ====

Počet pravd ěpodobnosti:

výrok. forma V X s oborem ¤ náhodný jev X s množinou pravdivosti MX realizací MX pravd ěpodobnostní implik. ¤ podmín ěná pravd ěpodobnost („míra vyplývání“) X p YV V⇒⇒⇒⇒ ( | )P Y X

• Projektant provedl chybný výpo čet

• Geolog vypracoval chybný posudek

• Stavbyvedoucí nedodržel projekt

• Dodavatel dodal vadný materiál

• Soused poškodil základy při rozši řování sklepa

•••• •••• ••••

Hypotézy

Dostupná evidence

Evidence X: B:

Evidence: všichni doposud pozorovaní havrani byli černí

Evidence: všichni doposud pozorovaní havrani byli černí Hypotéza: všichni havrani jsou černí

INDUKTIVNÍ LOGIKA Deduktivní logika: závěr plyne jednozna čně a jist ě z premis

Induktivní logika (Rudolf Carnap, 1958)

Cíl: popsat a od ůvodnit induktivní záv ěry (nejsou premisami zcela zaru čeny) Stanovení míry vyjad řující, nakolik evidence E podporuje hypotézu H

= induktivní (logická) pravd ěpodobnost hypotézy H na základ ě ev. E

P(E|H)P(H)P(E H)P(H|E)( ) ( )P E P E∧∧∧∧= == == == = for P(E) 0≠≠≠≠

⇒⇒⇒⇒ všechny pravd ěpodobnosti jsou podmín ěné (nemá smysl hovo řit o pravd ěpodobnosti hypotézy, jen o její pravd ěpodobnosti vzhledem k ur čité evidenci)

Podobný p řístup: Karl Popper, 1959: The Logic of Scientific Discovery , App. IV Alan Hájek, 2003: What Conditional Probability Could not Be


Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), 1678

BERNARD BOLZANO (1781 – 1848), 1837 Tomáš Garrigue Masaryk (1851 – 1925), 1883

Johannes von Kries (1853 – 1928), 1886 William Ernst Johnson (1858 – 1931), 1921

John Maynard Keynes (1883 – 1946), 1921 Ludwig Wittgenstein (1889 – 1951), 1921

EMANUEL CZUBER (1851 – 1925), 1923 Friedrich Waismann (1896 – 1959), 1930

Harrold Jeffreys (1891 – 1989), 1939 OTOMAR PANKRAZ (1903 – 1976), 1939

Rudolf Carnap (1891 – 1970), 1950

pravd ěpodobnost ==== míra racionálního p řesvědčení

Teorie pravd ěpodobnosti ==== rozší ření deduktivní logiky

BERNARD BOLZANO (1781 – 1848)

* 5. října 1781 v Praze 1796 – 1804 studium:

filosofie, matematika, teologie

(Univerzita Karlova v Praze) 1804 učitel náboženství na UK

1820 suspendován (údajné ší ření nesprávných názor ů

od roku 1820

žije p řevážně mimo Prahu † 18. prosince, 1848 v Praze


Lehrbuch der Religionswissenschaft , ein Abdruck der Vorle-sungshefte eines ehemaligen Religionslehrers an einer katholischen Universität, von einigen seiner Schüler gesammelt und herausgegeben. Sulzbach, 1834

Wissenschaftslehre. Versuch einer ausführlichen und größtentheils neuen Darstellung der Logik mit steter Rücksicht auf deren bisherige Bearbeiter. Sulzbach 1837

[dokončeno kolem roku 1830]

BERNARD BOLZANO (1781 – 1848) Lehrbuch der Religionswissenschaft , 1834

V novější dob ě byly však činěny různé pokusy rozkolísat historickou víru, obzvlášt ě s ohledem na zázraky, a tvrdilo se, že vypráv ění o zázracích, p ředevším o takových, které se odehrály před mnoha staletími, nebyla nikdy p řísně dokazatelná. Stejná tvrzení p ředložili nap ř. Joh. Crayg, Dav. Hume, Bolinbroke, J. J. Rousseau, G. F. Bahrdt, Im. Kant a mnozí další. ... Kdo má n ějaké znalosti v po čítání se symboly, bude také moci lehce porozum ět následujícím matematickým v ětám, které zde chci uvést jen proto, že slouží k d ůkladnému vyvrácení on ěch námitek, které byly vzneseny se zdáním u čenosti proti možnosti historického ov ěření nějakého zázraku dokonce od matematik ů, např. od Joh. Crayga.

Wissenschaftslehre , 1837

Teorie pravd ěpodobnosti = rozší ření deduktivní logiky

JOHN CRAIG (†1731)

1696 Theologiae christianae principia mathematica

– Matematické základy k řesťanské teologie (publ. 1699) Velká část spisu:

matematické vyšet řování pravd ěpodobnosti p řiřazené histo -rické události na základ ě pozd ějších sv ědectví

– se zvláštním důrazem na Kristův příběh

Pravd ěpodobnost:

„Pravd ěpodobnost je zdání shody nebo neshody dvou názor ů prost řednictvím argument ů, jejichž záv ěr není pevný nebo tak alespo ň není p řijímán.“ přirozená – vlastní zkušenost

Pravd ěpodobnost

historická – cizí svědectví

Hlavní téma: jak se pravd ěpodobnost m ění s měnícími se r ůznými faktory Například:

Pravd ěpodobnost historické události, o níž máme sv ědectví přenesená o vzdálenost D v čase T postupn ě M svědky:

= + − + ⋅ + ⋅2 22 21( ) qkP x M s T D

t d

x – pravd ěpodobnost p řiřazená primárnímu sv ědkovi

s – podez ření přiřazené každému z následujících sv ědků

k – podez ření vzniklé v čase t

q – podez ření vzniklé ve vzdálenosti d

s, k, q < 0

INTERPRETACE CRAIGOVY PRAVDĚPODOBNOSTI

1986 S. M. Stigler: John Craig and the Probability of History: from the Death of Christ to the Birth of Laplace „P řesto existuje jednoduchý zp ůsob, jak pohlížet na vše, co Craig ud ělal, který jej staví do zcela odlišného sv ětla, jednoduchá interpretace, která ukazuje, že postupov al jako vysoce sofistiovaný statistik 20. století.“

Craigova pravd ěpodobnost ≠≠≠≠ pravd ěpod. v našem smyslu

= ¬

Pr ( | )log

Pr ( | )E HP

E H

E – svědectví (evidence) v sou časnosti

H – daná hypotéza, událost P – Craigova „pravd ěpodobnost“

Pr – pravd ěpodobnost v „našem“ smyslu Pr (H ) – apriorní pravd ěpodobnost nezávislá na sv ědectví

Druhý p říchod Krist ův

Craig: tato událost nastane v okamžik, kdy na Zemi zmizí víra

Apoštol Lukáš, 18.8:

„Ale nalezne syn člov ěka víru na zemi, až p řijde?“

= + − + ⋅221( ) kP cz n f T

t

= + − + ⋅ + ⋅

2 22 21( ) qkP x M s T D

t d

= 4c ………… počet primárních sv ědků

(Matouš, Marek, Lukáš, Jan)

z ………… pravd ěpodobnost p řiřazená primárnímu sv ědkovi

n ………… počet postupných p řepisů jejich evangelií

f ………… podez ření vzniklé p ři každém p řepisu

⋅22

kTt

………… podez ření vzniklé b ěhem T let (k za t let; = 50t )

= + − + ⋅221( ) kP cz n f T

t

=4Tnt

………… 1 přepis za 200 let

= 10z x ………… 1 psané sv ědectví ≈≈≈≈ 10 ústních

= −100

xf ………… po 100 p řepisech je sv ědectví neakceptovatelné

= −100

xk ………… 50-leté zpožd ění ve vypráv ění ≈≈≈≈ 1 přepis

fi (((( )))) 2

240 14 100 100T x T xP xt t

= − − ⋅ − ⋅= − − ⋅ − ⋅= − − ⋅ − ⋅= − − ⋅ − ⋅

1696 28 T P x= ≈ == ≈ == ≈ == ≈ =

3150 (správn ě: 3156) 0 T P= ≈ == ≈ == ≈ == ≈ =

Víra nezmizí do roku 3150 (3156)

(((( )))) 240 1 0

200 100 2500 100T x T xx − − ⋅ − ⋅ =− − ⋅ − ⋅ =− − ⋅ − ⋅ =− − ⋅ − ⋅ =

2

4000 1 0200 2500T T− + − =− + − =− + − =− + − =

22 25 20 005 000 0T T+ − =+ − =+ − =+ − =

2

1,225 25 4 2 20 005 000

4T − ± − ⋅ ⋅− ± − ⋅ ⋅− ± − ⋅ ⋅− ± − ⋅ ⋅====

T = = = = 3 156,4


Wissenschaftslehre , 1837

Teorie pravd ěpodobnosti = rozší ření deduktivní logiky

§161*

Poměrná platnost v ěty M vzhledem k v ětám A, B, C, D,...

|množina všech p řípadů, kde je krom ě vět A,B,C,D,... pravdivá i v ěta M| =

|množina všech p řípadů, kde jsou pravdivé v ěty A,B,C,D,...|

Pravd ěpodobností ... nazývám tento vztah , protože se mi zdá, že podle stále b ěžnějšího jazykového úzu si pod pravd ěpodobností nepředstavujeme nic jiného než práv ě zmíněný vztah mezi danými větami, aniž bychom p ředpokládali, že by si tyto v ěty n ějaká myslící bytost skute čně musela p ředstavovat a v ěřit jim.

§161*




( )m X ... „míra“ množiny p řípadů, kdy je pravdivá v ěta X

Bolzanova pravd ěpodobnost = stupe ň potvrzení hypotézy M na základ ě evidence E A B C= ∧ ∧ ∧= ∧ ∧ ∧= ∧ ∧ ∧= ∧ ∧ ∧KKKK:

( ( )) ( )( | ) ( ) ( )

LLLL

LLLL

m M A B C m M EP M Em A B C m E

∧ ∧ ∧ ∧ ∧∧ ∧ ∧ ∧ ∧∧ ∧ ∧ ∧ ∧∧ ∧ ∧ ∧ ∧= == == == =∧ ∧ ∧∧ ∧ ∧∧ ∧ ∧∧ ∧ ∧

§161*




( )m X ... „míra“ množiny p řípadů, kdy je pravdivá v ěta X

Bolzanova pravd ěpodobnost = stupe ň potvrzení hypotézy M na základ ě evidence E A B C= ∧ ∧ ∧= ∧ ∧ ∧= ∧ ∧ ∧= ∧ ∧ ∧KKKK:

( ( )) ( )( | ) ( ) ( )

LLLL

LLLL

m M A B C m M EP M Em A B C m E

∧ ∧ ∧ ∧ ∧∧ ∧ ∧ ∧ ∧∧ ∧ ∧ ∧ ∧∧ ∧ ∧ ∧ ∧= == == == =∧ ∧ ∧∧ ∧ ∧∧ ∧ ∧∧ ∧ ∧

E A B C= ∧ ∧ ∧ • • •= ∧ ∧ ∧ • • •= ∧ ∧ ∧ • • •= ∧ ∧ ∧ • • •

Premisy:

E1 ... nebude dopravní zácpa

E2 ... šéf nebude chtít žádnou práci navíc

(((( ))))1 2 pE E H∧∧∧∧ ⇒⇒⇒⇒

Premisy:



E3 ... nezasekne se se mnou výtah

(((( ))))1 2 3 pE E E H′′′′∧ ∧∧ ∧∧ ∧∧ ∧ ⇒⇒⇒⇒

Premisy:



E3 ... nezasekne se se mnou výtah

(((( ))))1 2 3 pE E E H′′′′∧ ∧∧ ∧∧ ∧∧ ∧ ⇒⇒⇒⇒

1 2 3E E E E= ∧ ∧ ∧ • • •= ∧ ∧ ∧ • • •= ∧ ∧ ∧ • • •= ∧ ∧ ∧ • • •

Jan Berg, 1987

předmluva k novému vydání Wissenschaftslehre:

Bolzano byl první filosof, který koncipoval pojem i nduktivní pravd ěpodobnosti

Srovnání teorií Bolzana, Wittgensteina a Carnapa

Pravd ěpodobnost

= vztah mezi hypotézou a její evidencí

⇒⇒⇒⇒ Bolzan ův pojem pravd ěpodobnosti má formální vlastnosti podmín ěné pravd ěpodobnosti

Emanuel Czuber, 1923: Die Philosophischen Grundlagen der Wahrscheinlichke itsrechnung Cituje Bolzana, von Kriese, ...

Erste Tagung für Erkenntnislehre der exakten Wissen schaften Praha, 15. – 17. září 1929

Konference o epistemologii exaktních v ěd, uspo řádaná Vídeňským kroužkem a Spole čností pro empirickou filosofii v Berlín ě

U příležitosti sjezdu Německé fyzikální společnosti a Jednoty německých matematiků

1930 Annalen der Philosophie převzaty Carnapem a Reichenbachem, vydávány pod názvem Erkenntnis

→ vlastní publikační řada Vídeňského kroužku

Erste Tagung für Erkenntnislehre der exakten Wissenschaften , Praha, 15. – 17. září 1929

• Hans Hahn zde p řečetl programové prohlášení Wissenschaftliche Weltauffassung – der Wiener Kreis (Vědecké pojetí sv ěta – Vídeňský kroužek) kritika pseudov ěd cíl: jednotná v ěda očištěná od „škváry historických jazyk ů“ nástroj: logická analýza jazyka Carnap: výrazy mají smysl jen uvnit ř nějakého (um ěle vytvo ř.)

jazykového deduktivního systému

• přednášky v ěnované základ ům matematiky, logiky a v ědy

• sešli se zde tehdy nejvýznamn ější p ředstavitelé logické pravd ěpodobnosti

• sešly se zde myšlenky Bolzana, Keynese, Wittgenstei na, Waismanna, ... (explicitní citace)

• Erkenntniss I (edito ři: Rudolf Carnap, Hans Reichenbach)

Explicitní citace Bernarda Bolzana:

Philipp Frank: Eröffnungssprache

Fried. Waismann: Logische Analyse des Wahrscheinlichkeitsbegriffs

Walter Dubislaw: v diskusi


BERNARD BOLZANO (1781 – 1848), 1837

Tomáš Garrigue Masaryk (1851 – 1925), 1883

Johannes von Kries (1853 – 1928), 1886

William Ernst Johnson (1858 – 1931), 1921

John Maynard Keynes (1883 – 1946), 1921

Ludwig Wittgenstein (1889 – 1951), 1921

EMANUEL CZUBER (1851 – 1925), 1923

Friedrich Waismann (1896 – 1959), 1930

Harrold Jeffreys (1891 – 1989), 1939

OTOMAR PANKRAZ (1903 – 1976), 1939

Rudolf Carnap (1891 – 1970), 1950

pravd ěpodobnost ==== míra racionálního p řesvědčení

TOMÁŠ GARRIGUE MASARYK (1850 – 1937) * 17. března 1850 v Hodonín ě

1865–69 Německé gymnázium v Brn ě

1869–72 Gymnázium ve Vídni

1872–76 Univerzita ve Vídni (PhDr.) Filosofie, filologie; Zimmermann, Brentano

1876–77 Univerzita v Lipsku

Charlotte Garrigue – ♥1878, USA

1878 Soukromý docent ve Vídni

1882 Profesor na UK v Praze

1891–93, 1900–14 Říšská rada

1914–18 Exil (Francie, Rusko – československé legie)

1918–36 Prezident Československa

† 14. září 1937 v Lánech

TOMÁŠ GARRIGUE MASARYK (1850 – 1937) Vídeňská univerzita, habilitace, 1878:

Sebevražda jako hromadný spole čenský jev moderní civilizace Suicide as the Social Phenomenon of Present Time

(mezi 5 filosofy s největším vlivem na TGM: David Hume)

Univerzita Karlova v Praze, inaugura ční přednáška, 16. 10. 1882:

Humova skepse a po čet pravd ěpodobnosti. Překlad, 1883:

D. Hume: Eine Untersuchung über die Prinzipien der Moral ( Zkoumání o principech morálky )

... Deutsch von TGM

Počet pravd ěpodobnosti a Humova skepse. Za historický úvod v theorii indukce vzd ělal TGM , 1883

J. Otto, Praha, 1883, 45 stran

David Hume’s Skepsis und die Wahrscheinlichkeitsrec hnung. Ein Beitrag zur Geschichte der Logik und Philosophi e, 1884 Von Carl Konegen, Wien, 1884, 15 stran

Čelné myšlénky tohoto pojednání, které tu p ředkládám

vědeckému obecenstvu, již mnohá léta mne zabývají. Ch těl

jsem na nich zpracovati úplnou logiku induktivnou, ale

obávaje se, že k dílu tomu tak skoro nedojde, podáv ám zatím,

co po soudu mém sloužiti m ůže práci dot čené vodítkem.

Pro pom ěry naší literatury filosofické zd ělal jsem sta ť tu

historicky, abych co nejvíce posloužil t ěm, kdo by zanášeti se

cht ěli výzkumy logickými.

... odpov ědí touto [na Humovu skepsi] poznáme i logický

význam po čtu pravd ěpodobnosti

Odkaz na Vyšet řování o lidském rozumu , 1748 (+ Pojednání o lidské p řirozenosti , 1739 – 40)

Základní myšlenka Humovské skepse:

Učinil-li jsem sebe častěji jednu a touž zkušenost, t řeba jsem

tisíckrát pozoroval východ slunce, pak sice o čekávám, že zítra

slunce po jedenatisící op ět vyjde, ale nemám žádnou záruku,

žádnou jistotu, žádnou evidenci pro tuto svou víru. Zkušenost

mi poskytuje pouze minulé, nic budoucího, jak tedy mohu –

v našem p říkladu – ze skute čnosti, že slunce tisíckrát vyšlo,

vyvodit tisící první novou skute čnost? Zkušenost ve mn ě

vytvá ří zvyk očekávat za stejných okolností p říchod stejných

dějů, ale rozum se na tomto o čekávání nikterak nepodílí;

zkušenost a rozum se naopak vylu čují .

... všechny ideje jsou jen vybledlé kopie aktuálníc h (psychických) dojm ů

idea nutného spojení ... neodpovídá žádnému dojmu a ni vnější, ani vnit řní zkušenosti. Tento pojem je tedy bezobsažný ...

de facto veškeré usuzování, které se vztahuje na v ěci, je nejisté a bez jakékoli evidence, protože nemáme žád ný evidentní pojem kauzálního spojení.

Podle toho také všechny v ědy, které se zakládají na zkušenosti, jsou nejisté a logicky nezd ůvodn ěné, by ť i jejich výsledky mohou být celkov ě v praxi užite čné. Naproti tomu matematika je v ěda absolutn ě jistá, protože založená na apriorních principech; pouze ona poskytuje jistotu a evidenci.

Podstata Humovské skepse:

pouze matematika zasluhuje naši d ůvěru, empirické v ědy jsou

nejisté, protože nám uniká poznání kauzálních souvi slostí fakt;

nebo ť o empirických faktech bychom mohli získat bezpe čné

poznatky pouze na základ ě evidentního vztahu mezi p říčinou

a účinkem.

Přírodov ěda, jíž dotýkala se ta skepse nejvíce – o teologii tu

netřeba mluviti – nedala se másti Humovými vývody,

a berouc se prost ě tou „nejistou“ indukcí, došla úsp ěchů,

které snad s to jsou i nejzaryt ějšího skeptika v pochybnost

uvést. Avšak úsp ěchy p řírodov ědné logickým od činěním

Humových námítek nejsou.

Pokusy vyvrátit Humovu skepsi – nástin historie:

• Skotská škola – filosofie zdravého rozumu

Thomas Reid (1763)

Dokazuje, že se Hume ukvapil tvrzením, že všecky na še pojmy z po čitků povstávají; duch má v sob ě moc tvo řiti ideje samostatn ě ... duch bezprost ředně poznává v ěci vnější, on bezprost ředně poznává i sebe sama, že existuje jako bytost samostatná, na t ěle nezávislá.

Reid dokazuje direktn ě, že máme pojem síly čili nutné spojitosti docela jasný a že p řesvědčení všech lidí, že nemůže žádná věc kone čná bez p říčiny povstati, je oprávn ěno.

Thomas Reid (1763)

Každý člověk rozumný je p řesvědčen, že příčina je pot řebna, má-li n ěco povstati; a protože se to všeobecn ě ode všech lidí v ěří, zasluhuje p řesvědčení toto, aby pravdivým bylo pokládáno. Kde poznatky jsou nedostižné velikému množství lidí, tam a ť filosof pou čuje; kde však dosta čuje rozum každého člověka, tam musí zdravý smysl vést filosofy. A takovým poznatkem zdravého smyslu je pojem p říčinnosti. [následují diskutabilní „důkazy“]

Slabé stránky této filosofie jevící se v nedorozum ění někdy až naivním ... ješt ě větší jsou v stoupencích Reidových... Kteří po n ěm přišli filosofové, neznají metody filosofické: jim jde pouze o náboženské pojmy a nejsou práce jej ich než nadmíru prostonárodná kázání k ne čtení jalová a nudná.

James Beattie (1770), James Oswald (1766)

• Johann Georg Sulzer (1720 – 1779)

švýcarský filosof a matematik D. Hume: Philosophische Versuche Ueber Die Menschliche Erkenntniss , 1755 – anonymní překlad + poznámky

psychologický argument: pociťujeme v sobě ustavičné puzení duchovně činnu býti; kdyby v duchu nebylo síly účinné, jejímuž nucení nemůžeme odolati, mohli bychom činnost svou, na jak dlouho by se nám chtělo, zastaviti. Uvádí pak následující jevy vniterného života našeho na důkaz, že známe sílu ducha svého bezprostředně.

a) Ze síly té a priori předvídáme, co nám např. příjemno bude nebo nepříjemno atd.

b) Rozumný člověk nucen je z premisí závěrek učiniti.

c) Byl-li kus nějaký hudební dohrán k nějaké disonanci a pak přerušen, nemůže hudebník slyšící to na nic jiného mysliti než na rozvedení té disonance. Malíř, uviděl-li pěkný tah jen polou hotový, nutně jej v myšlénkách docelí.

Ostatně je Sulcer přesvědčen, že i vělesech vnějších, byť i neúplněji, poznáváme skutečné síly čili nutné spojitosti

• Immanuel Kant (1724 –1804)

Kritika čistého rozumu , 1781

Hume nepoznal dosah své vlastní analýzy, nebo ť kauzální pojem není jediný, podle n ěhož si náš rozum a priori představuje spojení v ěcí; a pouští se proto do ohromné práce, psychologicky a logicky vytvo řit celý systém podobných pojm ů.

... Kant ... se snaží ukázat, že nejen metafyzika a přírodní v ědy mají za základ syntetické soudy a priori, nýbrž že na takových soudech spo čívá i matematika, a že tedy co do evidence a jistoty nemá matematika žádnou p řednost p řed ostatními vědami.

Tudíž je p řirozen ě hlavním úkolem Kritiky čistého rozumu ukázat, jak jsou takové apriorní syntetické soudy m ožné. Je-li existence takových poznatk ů dokázána a ukáže-li se dále, že pojem nutného spojení v sob ě zahrnuje takový syntetický poznatek a priori, pak je Humova teorie indukce nes porn ě vyvrácena. Zda a do jaké míry Kant zmín ěný důkaz poskytl, respektive Huma vyvrátil, to p řesněji zkoumat není naším úkolem; vzhledem k tomu, co bude řečeno níže, musíme však o takovém úsp ěchu pochybovat.

• Friedrich Eduard Beneke (1798 – 1854)

Systém metafyziky a filosofie náboženství , 1840

–psychologická argumentace

Neuznává kantovské řešení problému, a proto se snaží položit pro indukci nový základ. A to svou vírou, že vnit řní zkušenost nám poskytuje pojem nutného spojení: vybavení vzpomínky, zesílení myšlenky, pohyb údu volním akte m k tomu sm ěřujícím, vzbuzení jedné p ředstavy vlivem jiných atd. – to vše prý jsou p říklady zkušeností, jimiž je nám bezprost ředně dáno poznání kauzální spojitosti.

Induktivní logika, teorie pravd ěpodobnosti – v souvislosti s Humem

závěry neúplné indukce nespo čívají výlu čně na zvyku

• Johann Georg Sulzer (1720 – 1779), 1755

... při svých empirických záv ěrech čerpáme svou d ůvěru

nikoli ze zvyku, ale že často z pouhého pozorování p říčin

takřka „geometrickou“ úvahou p ředvídáme ú činek; tím, že

pak svoje záv ěry ov ěřujeme zkušeností, dospíváme

k pádnému d ůkazu pro správnost našich záv ěrů.

Upozor ňuje na po čet pravd ěpodobnosti, který, jak právem

zdůrazňuje, spo čívá nikoli na zvyku, ale na logickém

úsudku; o čekávání budoucího se opírá o logické úvahy.

• Moses Mendelssohn (1729 – 1786)

(dědeček Jakoba Ludwiga Felixe Mendelssohna-Bartholdyho) Inspirován Sulzerem – ale jasn ější, p řesnější

studie Über die Wahrscheinlichkeit , 1755 proslovena ve v ědeckém klubu (mj. Euler)

zárodky pozd ějších, p řesnějších námitek významných matematik ů

Jestliže se jev A n-krát objevil tém ěř sou časně s jevem B, pak pravd ěpodobnost kauzální souvislosti je

1n

n ++++

(pravd ěpodobnost, že se tak stalo náhodou = 1/(n+1)),

je-li n= ∞∞∞∞, jsme úpln ě přesvědčeni

[pravd ěpodobnost, že se zítra zase vzbudím, založená na mé

dosavadní zkušenosti: (n+1)/(n+2) ... Laplace]

• Joseph Marie Degérando (1772 – 1842)

Francouzský d ějepisec filosofie

Histoire comparée des Systemes de la philosophie , 1804

podrobn ě vykládá Mendelssohnovy ideje, myln ě jej

vychvaluje jako toho, kdo poprvé správn ě vyvrátil Humovu

skepsi

Mendelssohna neznaje sám k podobným dosp ěl konc ům,

co týká se spojování zjev ů přezvědných (1800)

• Sylvestre-François Lacroix (1765 – 1843)

Traité élémentaire du Calcul des Probabilités , 1816

inspirován Degérandem

– výslovn ě se obrací proti Humovi

• Siméon Denis Poisson (1781–1840)

Recherches sur les probabilités des jugements ... , 1837

Zvyk skute čně vede většinu lidí p ři jejich empirických závěrech, ale to v ůbec nedokazuje, že všechny takové závěry spo čívají pouze na zvyku. Jsou p řípady, a velmi mnohé, v nichž bez četných zkušeností, tedy aniž jsme získali zvyk, z výskytu jedné události rozumnou úva hou a propo čtem s jistotou usuzujeme na výskyt události jiné. Tato spolehlivost p ředpokládá, že náš duch p řisuzuje p říčině nějakou sílu nebo schopnost zp ůsobit sv ůj účinek, a že vnímá mezi obojím nutnou souvislost, která je nezáv islá na větším či menším po čtu jejich pozorovaných setkání, resp. následných výskyt ů. Je mnoho p říkladů, v nichž, nezávisle na jakémkoli zvyku, pouhá možnost, že p říčina je zp ůsobilá k nutnému uskute čnění svého ú činku, významn ě zvětšuje důvod k p ředpokladu tohoto opakování a m ůže pravd ěpodobnost velmi p řibližovat k jistot ě, přestože předešlých zkušeností je jen velmi málo.

závěry neúplné indukce nespo čívají výlu čně na zvyku, jak tvrdí

Hume; tyto záv ěry jsou spíše vskutku logické záv ěry, jsou to

rozumné úvahy a p řesvědčení, na nichž se zakládají v poslední

instanci

Induktivní logika, po čet pravd ěpodobnosti

Počtem pravděpodobnosti vedeni jsouce pátráme po příčinách zjevů známých, hádáme na možné účiny, budujeme hypotéze a zjišťujeme úsudky své analogické. Patřme jen, jak a kde užívá se ho s prospěchem již v teorii i praxi. Astronomové a přírodovědci vůbec usilují prokázat hodnotu hypotézí co nejmatematičtěji a při tom o počet pravd ěpodobnosti se opírají...

Brzy po vynalezení počtu dotčeného užito ho k zakládání pojiš ťoven všeli-kých, loterií, spo řitelen atd.; ústavy pen ěžité jeho pomocí vypočítávaly zletilost možnou, p ředvídaly po čet narození a hádaly na úmrtnost apod. Působení léků, očkování matematicky se zjišťovalo; ptali se po jistot ě soudních rozhod-nutí , dostačí-li např., když o trest hrdelní běží, majorita; při volbách pro sněmy a parlamenty váženy hlasy a počet voličů k poměru obyvatelstva stanoven. Zkušebné komise podrobeny zkoušce, jakých chyb dopouštějí se v úsudcích svých; vůbec pak důvěra svědků všeobecně zjišťována, v jaké míře věřit smíme svědectví v čase přítomném a minulém. Známo, jak přetřásali matematikové pravd ěpodobnost zázrak ů, jak vypočítáváno trvání víry křesťanské apod.

Dále vzpomenouti sluší na veliký převrat myšlénkový, když statistikové počtu pravděpodobnosti i ty zjevy sociologické podřizovali, o kterých řečeno, že z vůle svobodné vyplývají. Jaký to hluk, když předvídán počet sňatků, vražd, samovražd, trest ů, trest ů působení, možnost k polepšení a návrat k zločinům, ba i pramalicherné věci, kolik např. listů bez nadpisu poště bude do roka odevzdáno apod. Konečně i v umění stanovili (Reynolds aj.), že krásu forem lidských hledati dlužno přihlížením k prostřední útvarnosti těla lidského atd.

Zkrátka všude, kde zkušeností a p řezvědem poznáváme – a kde

nepoznáváme? – hledíme vývody své zjistiti po čtem pravd ěpodobnosti

a veškerá naše práce induktivná v tom vlastn ě spočívá, že obrazivostí

svou kombinujeme to, co smyslové a pam ěť nám skýtají, a utvo řujeme

si p ředstavy abstraktné o v ěcech, jichž v pravém slova smyslu

nepoznáváme. Nejp řísnější empirik sotva desátý díl svých poznatk ů

čerpal ze zkušenosti, ostatní část, a ta práv ě částí jest v ědeckou,

obrazivostí si vytvo řil. Počet pravd ěpodobnosti je logickým podkladem

tohoto vytvo řování, hledání a nalézání, suchopárné číslice jeho

a formule nutnou p řítěhou pro induktivnou fantasti čnost mysli lidské.

Induktivní logika, teorie pravd ěpodobnosti – obecn ě

• Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), 1703

První filosof pravd ěpodobnosti

teorie pravd ěpodobnosti = odv ětví logiky, srovnatelné s deduktivní logikou

Neue Versuche über den menschlichen Verstand , 1703

... jako prvý správn ě poznal význam po čtu pravd ěpodobnosti

pro induktivní logiku. Pochopil, že p ři indukci na rozdíl od

statistiky jde o exaktní teorii, jak ur čovat stupe ň

pravd ěpodobnosti a jak odhalování a rozvíjení nových prav d

pod řizovat jistým pravidl ům.

Přál sob ě, aby matematik n ějaký soustavu toho po čtu

zpracoval, aby takto um ění vynalézací se zdokonalilo.

De Conditionibus , 1665

Podmín ěná pravd ěpodobnost:

Podmín ěná práva – nap ř. právo na vlastnictví pozemku,

získané jen tehdy, jsou-li spln ěné určité podmínky (žádný

přímý mužský d ědic)

3 případy: právo platí (1), neplatí (0), evidence není dostate čná,

aby se p řípad jednozna čně určil (zlomek mezi 0 a 1 ... pravd.)

O pracích Pascala, Fermata a Huygense se dozv ěděl až při pobytu v Pa říži 1672–76

• Jacob Bernoulli (1654-1705)

zčásti vyplnil Leibnizovo p řání – Ars conjectandi , 1713

4. část: aplikace PP na ob čanské, morální a ekonomické otázky

Bernoulliho verze Zákona velkých čísel

• Pierre-Simon Laplace (1749 – 1827)

Essai Philosophique sur les Probabilités , 1814

celá indukce a analogie spo čívají na po čtu pravd ěpodobnosti

Adolphe Quetelet (1796 – 1874), 1846

belgický astronom, statistik

ukazoval logickou stránku statistiky a její užití v PP

• John Herschel (1792 – 1871), 1850

Článek o pravd ěpodobnosti a jejím užití ve v ědách p řírodných a duchovných

• Antoine Augustin Cournot (1801-1877), 1851

• Hermann Lotz, Friedrich Überweg, Christoph Wilhelm von Sigwart, W. Stanley Jevons, John Venn aj.

Všem t ěmto nov ějším pracem chybí výslovný z řetel k Humovi; tím jim však chybí, řekl bych, vlastní pointa.

Hume sám sice mluví o pravd ěpodobnosti velmi mnoho, ale jak se zdá, nezná matematická pravidla po čtu pravd ěpodob-nosti, nebo ť nedokáže odlišovat pravd ěpodobnost subjektivní od objektivní, a je tedy z řejmé, jak tímto zp ůsobem mohl dosp ět ke své skeptické teorii indukce...

Co chybí:

Bernard Bolzano:

Lehrbuch der Religionswissenschaft, 1834

– Hume explicitn ě citován

Wissenschaftslehre, 1837

– základy induktivní logiky

1886 – 87 boj za pravdu: nepravé rukopisy

Masaryka „proslavila“ ú čast ve sporu o pravost Zelenohorského a Královédvorského rukopisu

Na stránkách Athenea poskytl prostor odp ůrcům pravosti

Rukopis královédvorský

1817 byly nalezeny údajn ě staré české rukopisy:

•••• Dvůr Králové nad Labem

(Václav Hanka, konec 13. století)

•••• Zelená Hora (9. – 10. století)

1858 Anonymní autor je nazval falsifikáty (časopis Tagesbote aus Böhmen : Rukopisné lži a paleografické pravdy )

→→→→ velký skandál

→→→→ vydavatel časopisu byl odsouzen

→→→→ amnestie od císa ře Franze Josefa

→→→→ jiní auto ři pravost vehementn ě bránili

Důležitá role v národním obrození

Kresby inspirované rukopisy...

Mikoláš Aleš

Josef Mánes

1886 Nová diskuse: Athaeneum (Masary, ed.)

Jan Gebauer (filolog, literární historik)

Filologický d ůvody sv ědčící proti pravosti:

• gramatické zvláštnosti – odchylky od tehdejší gramatiky

• sou časný výskyt podez řelých forem v rukopisech a v jiných pracích z 19. století (z doby před odhalením rukopisů)

Další důvody (Masaryk, Gebauer, Goll aj.):

• historické • sociologické • esteticalé • paleografické

1967 falsifikace definitivn ě prokázána

Jan Gebauer (filolog, literární historik) Filologický d ůvody sv ědčící proti pravosti:

• gramatické zvláštnosti – odchylky od tehdejší gramatiky

• sou časný výskyt podez řelých forem v rukopisech a v jiných pracích z 19. století (z doby před odhalením rukopisů)

Josef Kalousek (historik) a další zastánci pravosti: tyto zvláštnosti a shody jsou jen náhodné

August Seydler [fyzik, Masaryk ův přítel] , 1886: Jaká je pravd ěpodobnost, že jsou skute čně náhodné?

1. “¨Náhodné“ zvláštnosti

Podle Gebauera: RK obsahuje cca 5400 slov, mezi nimi 700 zvláštnost í

pravd ěpodobnost, že jsou všechny náhodné:

<⋅ 91

3 10 P

Můžeme sázeti p řes 3000 million ů proti jedné, že nejsou všechny „zvláštnosti“ RKho pouhými náhodami.

2. Současný výskyt “podez řelých“ forem v rukopisech a v jiných pracích z 19. století

< 141

10 P

zvláštnosti a shody vyžadují vysv ětlení, nesta čí svád ět na náhodu

< ⋅⋅ 9 141 1

3 10 10 P

Příklad:

Mysleme si člověka (a takových žije mnoho ješt ě ve st ředu našem), který neznaje zákon ů přírodních z historických pramen ů by poznával, jak dlouho slunce již den co den vychází, a náhle by se jal pochybovati, zda-li zítr a vyjde. Co o člověku tom budeme souditi?!

Nuže, člověk ten má 1 500kráte více d ůvodů pro svou pochybnost, nežli my máme pro tvrzení, že jsou všec hny zvláštnosti RKho nahodilé! Má 50millionkrát více d ůvodů pro tutéž pochybnost, nežli my máme pro tvrzení, že jso u všechny shody RKho se spisy XIX. století p řed objevením jeho nahodilé.

Cituje Masaryka (1883)

právem poukázal na význam PP pro induktivní logiku

PP vede k zajímavým a částečně překvapujícím výsledk ům

i v oborech, kam bychom nebyli ani o čekávali, že m ůže

padnouti paprsek v ědění mathematického (na p ř. v soudní

praxi).

Chci na doklad toho, jak i v pom ěrně jednoduchých

a průzračných p řípadech po čet pravd ěpodobnosti mnohdy

soud p římo zdrcující pronáší, uvésti následující p říklad .

[rukopisy]

EMANUEL CZUBER (1851 – 1925) 1869–74 studium na n ěmecké technice v Praze

1874–75 asistent stolice praktické geometrie (geodesie)

1875 suplující u čitel na II. n ěmecké reálce v Praze

1876 habilitace na pražské technice: vyrovnávací po čet, pozd ěji teorie pravd ěpodobnosti

1877 řádný profesor na II. n ěmecké reálce v Praze

1886 profesor matematiky na technice v Brn ě

1890–91 rektor of techniky v Brn ě

1891 profesor of matematiky na technice ve Vídni přednášky: teorie pravd ěpodobnosti, zavedl výuku pojiš ťovnictví

1894–95 rektor víde ňské techniky

s dcerou Bertou (1879 – 1979) se r. 1909 tajn ě oženil arcivévoda Ferdinand Karl (1868 – 1915), mladší bratr následní ka trůnu Franze Ferdinanda (1863 – 1914) →→→→ zbaven šlechtictví, žil jako soukromník Ferdinand Burg v jižních Tyrolích a Mnichov ě

Emanuel Czuber

(1851 – 1925)

Berta Czuberová

(1879 – 1979)

Die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie und ihrer Anwendungen, 1899, 271 stran

1. kap: základy teorie pravd ěpodobnosti z historického i filosofického hlediska

(krom ě dob ře známých jmen cituje nap ř. J. von Kriese a C. Stumpfa)

Další části: r ůzné aplikace teorie pravd ěpodobnosti

Každé téma obsahuje p řehled historického vývoje

Největší důraz na formování myšlenek a filosofické hledisko

Die philosophischen Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Teubner, 1923, 343 str an

Monografie zcela v ěnovaná filosofickým základ ům teorie pravd ěpodob.

Logická interpretace pravd ěpodobnosti

Důraz na její význam pro epistemologii a p řírodní filosofii

Cituje mj. Bernarda Bolzana a J. von Kriese (podrob ný rozbor)



Bruno de Finetti (1906 – 1985), 1931, 1937



Reálný p řístup – pracuje s reálnými pojmy, subjektivním přijímáním či odmítáním hypotéz

... každodenní pravděpodobnostní uvažování ¨

J. Fotr, J. D ědina, H. Hr ůzová, 2000: Manažerské rozhodování Důležitou sou částí p řípravy manažerských rozhodnutí je vyjasnit si možné budoucí situace, které mají vliv na důsledky uvažovaných variant rozhodování (pokles poptávky, úspěch nového výrobku na trhu, pokles či vzrůst cen, ústup konkurence z trhu, získání nových odbytišť,...) Pro pravd ěpodobnostní ohodnocení rizikových situací lze uplatnit tzv. subjektivní pravd ěpodobnosti založené na předpokladu, že každý subjekt (manažer, podnikatel, expert) má určitý stupe ň víry, resp. osobního p řesvědčení ve výskyt nějakého jevu či události ...



Bruno de Finetti (1906 – 1985), 1931, 1937



Důležitá role: podmín ěné pravd ěpodobnosti

Posteriorní pravd ěpodobnost P(H|E) = stupe ň přesvědčení o hypotéze H za evidence (situace, okolnosti, sv ědectví) E.

Bayesova v ěta: P(H)P(E|H)

P(H|E)=( )P E

Problém: numerické vyjád ření

Jedno z možných řešení: analogie sázkového systému Příklad:

Manažer: vsadil bych 3:1, že výrobek bude na trhu úsp ěšný pravd ěpodobnost tržního úsp ěchu výrobku:

3 0,751 3

p = == == == =++++

Při stanovení sázky se uplat ňují znalosti, zkušenosti a intuice, různé druhy informací

Problém: numerické vyjád ření

Jedno z možných řešení: analogie sázkového systému Příklad:

Subjektivní ur čení pravd ěpodobnosti hypotézy, že (1) na Marsu byl n ěkdy život,

(2) pokud ano, zda tvorové byli inteligentní. (1) sázka 1:9 ... ochota zaplatit 1 K č s perspektivou výhry 9 K č,

pokud se hypotéza n ěkdy potvrdí

(1)1 0,1

1 9p = == == == =++++

(2) sázka 1:999 ...

(2)1 0,001

1 999p = == == == =++++

Při stanovení sázky se uplat ňují znalosti, zkušenosti a intuice, různé druhy informací

Frank Plumpton Ramsey (1903 – 1930), 1926 (publ. 19 31)

Bruno de Finetti (1906 – 1985), 1931, 1937

Sázkový kvocient: A (psycholog) chce zm ěřit stupe ň přesvědčení pana B o jevu E

→→→→ B zvolí q

→→→→ A zvolí S (kladné či záporné)

→→→→ B zaplatí qS; nastane-li E, dostane S

Očekávaná „výhra“ pana B: −−−−qS ++++ pS

Optimální volba: q ==== p

de Finetti: S ... nejprve peníze, pozd ěji užitek Ramsey: S ... užitek

koherentní kvocienty: A nemůže zvolit sázky tak, aby vždy vyhrál

množina sázkových kvocient ů je koherentní ⇔⇔⇔⇔ splňuje axiomy pravd ěpodobnosti

VÁCLAV ŠIMERKA (1818 – 1887)

studium:

filosofie v Praze,

teologie v Hradci Králové

1845 vysv ěcen na kn ěze

1852 studium fyziky →→→→ suplující prof. na gymnáziu v ČB

1862 farář – Slatina u Žamberka

1886 farář – Jenšovice u Vysokého Mýta

VÁCLAV ŠIMERKA (1818 – 1887) Síla přesvědčení. Pokus v duchovní mechanice , ČPMF, 1882

Die Kraft der Ueberzeugung. Ein mathematisch-philos . Versuch. Sitzungsberichte der Philosophisch-Historischen Cla sse der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften 104(1883), Wien

Co jest p řesvědčenost

Jako bílé, šedé, černé, červené, atd. zahrnujeme slovem barva, tak mohou i pojmy: tušení, d ůmínka, možnost, pravd ěpodob-nost, hypothesa, víra, v ědění, jistota, poznání apod. sejmuty býti v jeden, totiž v přesvědčení čili přesvědčenost . Na začátku: prázdná mysl

(není nic známo nebo jsou důvody pro a proti v rovnováze)

Jak lze p řesvědčenost udávati číslem?

K tomu se hodí velmi dob ře počet věrojatný členy posloupnosti prázdná mysl, tušení, ..., poznání udávány čísly od 0 do 1

VÁCLAV ŠIMERKA (1818 – 1887)

Příklad:

Přesvědčení o možnosti vít ězství p ři a mužích vlastního a b nepřátelského vojska:

ava b

==== ++++ ,

což spolu i hanbu porážky nazna čuje. Naopak je po vít ězství d ůvěra ve vlastní brannou moc, spolu pak i vále čná čest tím v ětší, čím více nep řátel poraženo, tedy

bva b

==== ++++

Příčiny či zdroje p řesvědčení = „ důvody “, jejich síla = „ věrojatnost “

Důvody dávající za p řesvědčení v=0 ... prázdné, plané

Nedokonalost p řesvědčení = rozdíl mezi pravým poznáním a daným p řesvědčením v:

1 , 1v tedy vε εε εε εε ε= − = −= − = −= − = −= − = −

1εεεε ==== ... úplná nedokonalost (prázdná mysl)

Přesvědčení νννν, νννν', …,

1 , ' 1 ', ' ' 1 '', ...v v vε ε εε ε εε ε εε ε ε= − = − = −= − = − = −= − = − = −= − = − = − příslušné nedokonalosti

Celková síla p řesvědčení V: 1 (1 )(1 ')(1 '')V v v v− = − − −− = − − −− = − − −− = − − − LLLL

[Nedokonalost lidského přesvědčení = součin nedokonal. jeho důvodů.]

Nedokonalost p řesvědčení = rozdíl mezi pravým poznáním a daným p řesvědčením v:

1 , 1v tedy vε εε εε εε ε= − = −= − = −= − = −= − = −

1εεεε ==== ... úplná nedokonalost (prázdná mysl)

Přesvědčení νννν, νννν', …,

1 , ' 1 ', ' ' 1 '', ...v v vε ε εε ε εε ε εε ε ε= − = − = −= − = − = −= − = − = −= − = − = − příslušné nedokonalosti

Celková síla p řesvědčení V: 1 (1 )(1 ')(1 '')V v v v− = − − −− = − − −− = − − −− = − − − LLLL

[Nedokonalost lidského přesvědčení = součin nedokonal. jeho důvodů.]

1 2 1 2 1 2 1 2( ) : 1 ( ) ( ) (1 ( ))(1 ( ))P E E P E E P E E P E P E∪ − ∪ = ¬ ∩ ¬ = − −∪ − ∪ = ¬ ∩ ¬ = − −∪ − ∪ = ¬ ∩ ¬ = − −∪ − ∪ = ¬ ∩ ¬ = − −

' ' ' 0v v v= = = == = = == = = == = = =LLLL ... mysl je prázdná, V=0

..... „ prázdné d ůvody nepodávají žádného p řesvědčení“

Celková síla p řesvědčení V (sou čin p řesvědčivý ): 1 (1 )(1 ')(1 '')V v v v− = − − −− = − − −− = − − −− = − − − LLLL

' ' ' 0v v= = == = == = == = =LLLL ...... V v==== „V prázdné mysli ujímá se každý d ůvod plnou svou silou.

Tomu nasvědčuje, jak zkušenost ze škol a u sprostých lidí, z nichž nejedni i dost chatrné romány a pověsti za pravdu přijímají ...

Avšak i v mysli dosti vzdělaných lidí nalézá se mnohá prázdná stránka, kde člověk velmi snadno všelijakým chatrným zprávám uvěří...

Dle toho může prázdná mysl i planými důvody oklamána býti, což jinak není snadné. Že na tom i nemravná zásada: jen drze pomlouvej, však něco ulpí se zakládala, patrně samo sebou.”

• Oceňování d ůvodů

• Přesvědčení ze dvou souhlasných d ůvodů

• Sázkový systém

• Hodnov ěrnost sv ědků

• Náraz dvou opa čných p řesvědčení

• Nárazy n ěkolika stejn ě mocných protid ůvodů

• Zápas pravého poznání s posilovaným bludem

• Zápas mezi nejsiln ějšími p řesvědčeními

Námitku, že by počet s přesvědčením spolehlivý nebyl, poněvadž se na věrojatnosti zakládá ... vyvrací zkušenost u zaopatřovacích ústavů a assekuračních podniků. Těm se daří dobře, jeli jen jejich počet pravý při opatrné a spravedlivé správě. Prospívají-li tyto, proč by to nebylo možno u počtu o síle přesvědčenosti, který právě míru možnosti, skutečnosti a nutnosti lépe naznačiti musí, než by se pouhým odhadem stalo.

V tomto ohledu platí zajisté již dávno uznaná zásada: každý po čet jest lepší než žádný po čet.

Námitku, že by počet s přesvědčením spolehlivý nebyl, poněvadž se na věrojatnosti zakládá ... vyvrací zkušenost u zaopatřovacích ústavů a assekuračních podniků. Těm se daří dobře, jeli jen jejich počet pravý při opatrné a spravedlivé správě. Prospívají-li tyto, proč by to nebylo možno u počtu o síle přesvědčenosti, který právě míru možnosti, skutečnosti a nutnosti lépe naznačiti musí, než by se pouhým odhadem stalo.

V tomto ohledu platí zajisté již dávno uznaná zásada: každý po čet jest lepší než žádný po čet.

Mimo to nem ůže našemu materialismem prosáklému století býti na škodu, pakli i o n ěčem duchovním po čítati bude.

Z těch a podobných p říčin doufám, že neostanu osam ělým dělníkem na tomto novém poli.

J. Fotr, J. D ědina, H. Hr ůzová, 2000: Manažerské rozhodování Důležitou sou částí p řípravy manažerských rozhodnutí je vyjasnit si možné budoucí situace, které mají vliv na důsledky uvažovaných variant rozhodování (pokles poptávky, úspěch nového výrobku na trhu, pokles či vzrůst cen, ústup konkurence z trhu, získání nových odbytišť,...) Pro pravd ěpodobnostní ohodnocení rizikových situací lze uplatnit tzv. subjektivní pravd ěpodobnosti založené na předpokladu, že každý subjekt (manažer, podnikatel, expert) má určitý stupe ň víry, resp. osobního p řesvědčení ve výskyt nějakého jevu či události ...

TOMÁŠ GARRIGUE MASARYK (1850 – 1937)

Dopis Šimerkovi z 2. února 1884 – zájem o spis

... chci totiž o spise Vašem do Athenaea a do německého filozofického časopisu napsati

Logika , Athenaeum, 1884 (reakce na Fickovu kritiku spisu PP a Humova skepse )

„geniální spis ... o jehožto novém vydání Víne ňskou akademií věd příště promluvíme obšírn ěji“

BRUNO DE FINETTI (1906 – 1985)

* 13. 6. 1906 v Innsbrucku

1912 – 1923 základní škola a gymnázium v Trentu

1923 – 1927 polytechnika univerzita (3. ro č., MF) v Milán ě Dr.: afinní geometrie

Probability and My Life , 1982: první setkání s pravd. za studií – článek biologa Carlo Foà o Mendelových zákonech →→→→ poslal C.F. rukopis svého článku →→→→ zaujat, ukázal Corradu Gini, prezidentu ISTAT →→→→ publikace v čas. Metron, nabízí místo po absolutoriu

1927 Instituto Centrale di Statistica (ISTAT) v Římě

1930 habiliace pro mat. analýzu na univerzit ě v Římě soukromý docent

1931 – 1946 pojiš ťovna Generali v Terstu (otcovo rodišt ě) Terst, Padova: univerzitní p řed. MA, FPM, PP

1946 – 1954 prof. na univerzit ě v Terstu (FM a statistika)

1950 cesta do USA, čtvrt roku na hostující prof. na univerzit ě v Chicagu (pozvání a spolupráce: L. Jimmie Savage)

→→→→ pozornost anglicky mluvící v ědecké komunity

1954 – 1976 prof. na univerzit ě v Římě (EF, 1961 PřF – profesor teorie pravd ěpodobnosti)

* 20. 7. 1985 v Římě

DÍLO BRUNA DE FINETTI

• teorie pravd ěpodobnosti

• statistika

• matematická analýza

• ekonomie

• teorie rozhodování

radikální politické názory (v mládí stoupencem fašismu – vítal nacionalistický charakter hnutí a kolektivist ické sklony, pozd ěji vítá možnost rozvod ů a interrupce, pacifista),

kritika liberální myšlenky, že sledování osobních z isků vede k rovnováze; jak docílit sociální spravedlnost i?

FILOSOFIE PRAVDĚPODOBNOSTI

• Problemi Determinati e Indeterminati nel Calcolo de lla Probabilità, 1930

• Sul significato soggettivo della probabilità, 1931 [angl.: On the Subjective Meaning of Probability, 1 992]

• Probabilismo. Saggio critico sulla teoria della pro babilità e sul valore della scienza, 1931 [angl.: Probabilism..., 1989]

• Funzione caratteristica di un fenomeno aleatorio. I n: Atti del Congr. Internaz. dei Matematici Bologna, 1932, (1928)

• La prévision: ses lois logiques, ses sources subjec tives, 1937

• Probability, Induction and Statistics, 1972

• (Mura A, ed.): Philosophical Lectures on Probabilit y, 2008 [Filosofia della probabilità, 1995]

KRITIKA RŮZNÝCH PŘÍSTUPŮ K PSTI

• Klasická definice: pravděpodobnost ur čitého jevu = podíl po čtu p říznivých a všech možných, „stejn ě pravd ěpodobných” p řípadů

jedná se o definici kruhem, která je založená na po jmu „stejn ě pravd ěpodobný” nebo „stejn ě možný”, jehož nezávislá definice není nikde dána

• Četnostní definice: pravd ěpodobnost = limita relativní četnosti výskytu daného jevu v opakovaných pokusech spl ňujících ur čité podmínky

Myšlenka nekone čné posloupnosti pokus ů je nesmyslná: vynecháme-li v posloupnosti libovolný kone čný po čet členů, její limita se nezm ění. My jsme však opakováním pokusu schopni zjistit práv ě jen tyto „zbyte čné” členy, protože náš život i celý vesmír trvá jen kone čně dlouho.

Často nás zajímá pravd ěpodobnost n ějakého konkrétního neopakovatelného jevu

de Finetti využívá četností k vyhodnocování pstí, ale zdůrazňuje, že je t řeba rozlišovat mezi definicí a vyhodnocováním

• Kolmogorovova axiomatická definice (1933):

Jak p řeložit do jazyka teorie množin nap říklad v ětu:

Kolega, jehož o čekávám, pravd ěpodobn ě přijde .

Máme hovo řit o „množin ě všech možných sv ětů“ a rozlišovat sv ěty, v nichž kolega dorazí, od t ěch, ve kterých nedorazí? = zbytečná komplikace

U pravd ěpodobnosti nemohou být axiomy zvoleny zcela libovoln ě, jen aby vznikla hezká teorie – musí odpovídat praktickému významu pojmu psti – s odkazem na (alespo ň myšlenkové) experimenty

týkající se chování jedinc ů za nejistoty

→→→→ podmínky koherence nutné a posta čující k tomu, aby jedince ochránily p řed jistou ztrátou

Jediné východisko (dle B.F.):

• Subjektivní interpretace pravd ěpodobnosti:

pravd ěpodobnost = míra osobního p řesvědčení

SUBJEKTIVNÍ INTERPRETACE

VÁCLAV ŠIMERKA (1818 – 1887), 1882


Bruno de Finetti (1906 – 1985), 1930, 1937



Reálný p řístup – pracuje s reálnými pojmy, subjektivním p řijímáním či odmítáním hypotéz ... každodenní pravděpodobnostní uvažování

Stanovení pravd ěpodobnosti P(E) p řiřazené jevu E:

Spravedlivá sázka: vyšet řovaná osoba = bookmaker; má stanovit kurz sázky p: kolik musí sázející zaplatit, aby v p řípadě, že nastane E, dostal 1 K č (aby dostal S, musí zaplatit pS)

Musí p řijmout jakoukoli sázku S, kladnou i zápornou

E nenastane ⇒⇒⇒⇒ zisk sázejícího:

E nastane ⇒⇒⇒⇒ zisk sázejícího:

Celkem lze psát:

Pro n jevů:

1931: požadavek koherence:

nesmí se stát, že by byl zisk Z vždy kladný, bez ohledu na to, jaký jev nastane

(sázející by m ěl jistou výhru)

Důsledky:

• nejvýhodn ější je stanovit p upřímně

• koherence ⇒⇒⇒⇒ základní axiomy TP

1. Pro každý jev E je P(E) jediné reálné číslo,

0 ≤≤≤≤ P(E) ≤≤≤≤ 1

p < 0 ⇒⇒⇒⇒ ∀∀∀∀ S > 0: Z = (|E| – p)S > 0

p > 1 ⇒⇒⇒⇒ ∀∀∀∀ S < 0: Z = (|E| – p)S > 0

Pro jeden jev dv ě různé hodnoty p < p’

např.: p = 0,4, p’ = 0,6

⇒⇒⇒⇒ dvě sázky, nap ř.: S = 100 Kč, S’ = – 100 Kč

Z(E) = (100 – 40) + (– 100 + 60) = 20 Kč

Z(ÿE) = – 40 + 60 = 20 Kč

1. Pro každý jev E je P(E) jediné reálné číslo,

0 ≤≤≤≤ P(E) ≤≤≤≤ 1

p < 0 ⇒⇒⇒⇒ ∀∀∀∀ S > 0: Z = (|E| – p)S > 0

p > 1 ⇒⇒⇒⇒ ∀∀∀∀ S < 0: Z = (|E| – p)S > 0

Pro jeden jev dv ě různé hodnoty p < p’

⇒⇒⇒⇒ dvě sázky: (|E| – p)S, (|E| – p’)S’

Z(E) = (1 – p)S + (1 – p’)S’ = – pS – p’S’ + S + S’

Z(ÿE) = – pS – p’S’

S > 0, S’ = – S < 0 ⇒⇒⇒⇒ Z(E) = (p – p’)S’ > 0,

Z(ÿE) = (p – p’)S’ > 0

2. Pro jistý jev E je P(E) = 1,

pro nemožný jev je P(E) = 0

Jistý jev: Z = (|E| – p)S = (1 – p)S

p < 1 ⇒⇒⇒⇒ pro lib. S > 0 je Z > 0 Nemožný jev:

Z = – pS

p > 0 ⇒⇒⇒⇒ pro lib. S < 0 je Z > 0

3. Pro libovolné neslu čitelné jevy E 1, E2 platí:

P(E1 ∨∨∨∨ E2) = P(E1) + P(E2)

Označme P(E1) = p, P(E2) = q, P(E1 ∨∨∨∨ E2) = r

uvažujme t ři sázky s celkovým ziskem

Z = (|E1| – p)S + (|E2| – q)S + (|ÿ(E1 ∨∨∨∨ E2)| – (1 – r))S

Z(E1 ∧∧∧∧ ÿE2) = (1 – p – q – (1 – r))S = (r – p – q)S

Z(ÿE1 ∧∧∧∧ E2) = (– p + 1 – q – (1 – r))S = (r – p – q)S

Z(ÿE1 ∧∧∧∧ ÿE2) = (– p – q + 1 – (1 – r))S = (r – p – q)S

p + q < r ⇒⇒⇒⇒ volbou S > 0 si sázející zajistí kladný zisk

p + q > r ⇒⇒⇒⇒ volbou S < 0 si sázející zajistí kladný zisk

3‘. Kone čná aditivita:

E1, E2, ..., En – neslu čitelné, vždy nastane jeden z nich

P(E1) + P(E2) + ...

+ P(En) = 1 Kurzy: P(E 1) = p1, P(E2) = p2, ..., P(En) = pn

Sázky: S 1, S2, ..., Sn

Z(Ei) = – p1S1 – p2S2 – ...

– pnSn + Si

pro S 1 = S2 = ...

= Sn = S:

Z(Ei) = (– p1 – p2 – ...

– pn + 1)S

p1 + p2 + ...

+ pn < 1 ⇒⇒⇒⇒ pro S > 0 je vždy Z > 0

p1 + p2 + ...

+ pn > 1 ⇒⇒⇒⇒ pro S < 0 je vždy Z > 0

Věta (Ramsey – de Finetti):

Množina sázkových kurz ů je koherentní, práv ě když spl ňuje axiomy teorie pravd ěpodobnosti.

Kolmogorov x de Finetti – rozdíly:

• Jevy: podmnožiny množiny ΩΩΩΩ x tvrzení

• Podmín ěná pravd ěpodobnost

Kolmogorov: zvláštní definice (P(H) = 0 později)

()

kritika: definice PP výrazem ( ) ⇒⇒⇒⇒ lze ji interpretovat a aplikovat jako PP v intuitivním smy slu

definice PP dle zažitého významu ⇒⇒⇒⇒ ()


• Jevy: podmnožiny množiny ΩΩΩΩ x tvrzení

• Podmín ěná pravd ěpodobnost

Kolmogorov: zvláštní definice (P(H) = 0 později)

()

kritika: definice PP výrazem ( ) ⇒⇒⇒⇒ lze ji interpretovat a aplikovat jako PP v intuitivním smy slu

definice PP dle zažitého významu ⇒⇒⇒⇒ ()

de Finetti: P(E|H) ≡≡≡≡ kurz spravedlivé sázky na E s tím, že když H nenastane, sázka se ruší

() = nutná podmínka konzistence; klidn ě P(H) = 0


• Spočetná x kone čná aditivita

Konečná aditivita:

E1, E2, ..., En – neslu čitelné, vždy nastane jeden z nich

P(E1) + P(E2) + ...

+ P(En) = 1

Můžeme rozší řit na spo četný po čet jevů?

⇔⇔⇔⇔ Axiom VI (Kolmogorov: 2. kap., ostatní 1. kap.)

de Finetti: jen kone čná aditivita, pro spo četnou není uspokojivé zd ůvodn ění

Gillies, 2000: spo četnou aditivitu lze bez problém ů zavést; jediný p ředpoklad: vždy se mohou p ředávat jen kone čné částky

SPRAVEDLIVÁ SÁZKA →→→→ PENALIZACE

doty čné osoby se zeptáme, jakou pravd ěpodobnost p

přisuzuje jevu E, přičemž ji upozorníme, že jí budou

uděleny ur čité trestné body závisející na uvedené

odpov ědi a na tom, zda jev E nastane či nikoli

Nejjednodušší: Brierovo skóre (1950) ... (|E| – p)2

(hodnocení úsp ěšnosti p ředpov ědi po časí)

Výhody:

• mohou být využita pro zlepšení pravd ěpodobnostních ohodnocení

• umožňují m ěřit nejistotu

• umožňují potrestání za špatné jednání

• umožňují srovnání úsp ěšnosti

• vyjad řují míra úsp ěšnosti – pro ty, kte ří kritizují subjektivní p řístup kv ůli absenci ov ěřitelnosti


dotázaná osoba je nucena udat hodnotu psti p, kterou si skute čně myslí:

Střední hodnota penalizace v p řípadě, že daná osoba udá pravd ěpodobnost q:

p(1 – q)2 + (1 – p)q 2

Moment setrva čnosti soustavy vzhledem ke Q:

p(1 – q)2 + (1 – p)q 2

Minimalizace o čekávané penalizace ≡≡≡≡ ≡≡≡≡ nalezení bodu, vzhledem k n ěmuž je moment setrva čnosti soustavy minimální Steinerova v ěta ⇒⇒⇒⇒ jedná se práv ě o těžišt ě; jinde je moment setrva čnosti v ětší o (p – q)2


1960/61, 1961/62: SÁZKAŘSKÝ EXPERIMENT

30 lidí (B.F., studenti, asistenti)

každý týden pravd ěpodobnosti 1, 2, X pro každý z 9 zápasů italské fotbalové ligy

Skóre: 1 ... (1 – p1)2 + p2

2 + pX2

2 ... p12 + (1 – p2)

2 + py2

X ... p12 + p2

2 + (1 – pX)pz2

Pravděpodobnost neexistuje (1970, 1980)

⇒⇒⇒⇒ pocit, že subjektivismus = libovolnost, anarchie

⇒⇒⇒⇒ preference četnostní interpretace

nebo logické interpretace (výraz „logická“ slibuje objektivitu)

de Finetti není proti objektivit ě, jen nechce tvrdit, že názor na pravd ěpodobnost je jednozna čně určený a odůvodn ěný;

pravd ěpodobnost neodpovídá proklamovanému racionálnímu p řesvědčení, ale skute čnému osobnímu p řesvědčení nějaké osoby

Pravděpodobnost je definována jako míra přesvědčení určitého jedince na základ ě veškerých jeho znalostí, zkušeností, informací týkajících se daného jevu, jehož výsledek je nejistý

Vyhodnocování pravd ěpodobnosti bere v úvahu všechnu dostupnou evidenci v četně četností, symetrií atd., ale byla by chyba tyto prvky – by ť důležité pro odhad pravd ěpodobnosti – brát za základ definice psti

Každé ohodnocení pravd ěpodobnosti nutn ě závisí na dvou složkách:

• objektivní: známé údaje, fakta

• subjektivní: názor týkající se neznámých skute čností, údaj ů aj. na základ ě známé evidence

Objektivní prvky = podklad pro ohodnocení, ne jedin ý

Ohodnocování pravd ěpodobností je složitý proces, ve kterém hrají roli r ůzné subjektivní a objektivní prvky

• shromaž ďování a vyhodnocování informací vyžaduje pe člivost a zkušenosti

• je třeba zvážit, které informace jsou relevantní a které ne

• ekonomické úvahy, které se mohou lišit podle souvislostí

• míra kompetence vyhodnocovatele

• optimistický x pesimistický postoj

• do jaké míry se nechá ovlivnit nejnov ějšími údaji

• ...

KAREL VOROVKA (1879 – 1929)

1897 – 1901 studium matematiky a fyziky na FF UK

→→→→ středoškolský profesor (mj. pražská staroměstská reálka)

1921 habilitace z filozofie p řírodních v ěd na FF UK

1927 profesor filozofie exaktních v ěd na PřF

Filosofický dosah po čtu pravd ěpodobnosti , Česká mysl, 1912 kritika induktivní logiky (TGM) i subjektivní inter pretace

... Po stránce ryzího kalkulu nelze jim ovšem ničeho vytýkati. Chyby, jakých se dopustili, nemají pro ně nic zahanbujícího; neboť byly to chyby, jaké průměrným duchům nehrozí. Jen kromobyčejný intelekt, pro matematickou eksaktnost zaujatý, mohl se na oné bludné cestě ocitnout, na níž nalézáme i našeho geniálního Šimerku.

Počet pravd ěpodobnosti a Humeova skepse náleží dv ěma zcela různým oblastem duševním a není možno je uvésti do racionálního vztahu.

Hodí se zde dob ře následující p řirovnání. Kdo by cht ěl aplikovati po čet pravd ěpodobnosti na Humeovu skepsi, krájel by atom nožem. Kdo by zavád ěl Humeovu skepsi do po čtu pravd ěpodobnosti, brousil by atomy v noži.

PP nemůže filosof ům vykonati žádných služeb, když mu předkládají problém kauzality ... Ty doby však minuly , kdy filosofové ukládali eksaktním v ědám úlohy. Moderní doba má spíše ráz opa čný. Ne filosofové matematik ům, ale často matematikové filosof ům předkládají problémy. Ba ješt ě více: vědy eksaktní dosp ěly k naprosté autonomii a řeší si hrani čné záhady svými vlastními metodami nezávisle na filoso fických systémech.

Než mohlo by se zdáti, že práv ě PP nedosáhl pravé nezávislosti na filosofických systémech...

O pravd ěpodobnosti p říčin , ČPMF, 1914

Zjednodušený výklad matematické části problému:

V osudí, které obsahuje určitý daný počet bílých a černých koulí v neznámém poměru

- vykonali jsme m tahů s vracením, při každém bílá koule

- pravděpodobnost, že příštím tahem vybereme bílou kouli?

Možné hypotézy o koulích v osudí:

1. všechny koule bílé, 2. jedna koule černá,..., n. jediná koule bílá

každé z těchto hypotéz musíme a priori přiřadit nějakou pst kωωωω

→→→→ nesnáz úlohy spo čívá v ocen ění těchto pravd ěpodobností

Obecně:

Byl pozorován nějaký úkaz, který mohl být způsoben n různými příčinami. Každé z nich přísluší určitá a nám a priori známá pravděpodobnost ωi.

Předpokládáme, že těchto n příčin se navzájem vylučuje a jiné možnosti neexistují, tj. + + + =Lω ω ωω ω ωω ω ωω ω ω1 2 1n

kp ... pravděpodobnost pozorované evidence při platnosti hypotézy k

Bayesův vzorec pro pst hypotézy i na základě zkušenosti:

1 1 2 2

( | ) ( )( | )

( )

=+ + +

L

i i

n n

P E H P HP H E

P Ep

p p pωωωω

ω ω ωω ω ωω ω ωω ω ω

Petr hraje v kostky s hrá čem mu neznámým. Nejv ětší výhra připadá tomu, kdo hned prvním vrhem na obou kostkách vrhne po šestce. Jakmile došla řada na neznámého, vrhnul tento dv ě šestky. Jaká je pravd ěpodobnost, že je to falešný hrá č?

ωωωω1 ... apriorní pravd ěpodobnost, že doty čný hraje falešn ě

ωωωω2 ... apriorní pravd ěpodobnost, že doty čný hraje poctiv ě

Pravd ěpodobnost, že doty čný hraje falešn ě, když mu v jediném hodu padly 2 šestky:

11

1 2

11

136

hωωωω

ω ωω ωω ωω ω

⋅⋅⋅⋅====⋅ + ⋅⋅ + ⋅⋅ + ⋅⋅ + ⋅

Pro 1 2 1/2= =ω ωω ωω ωω ω by vycházelo: 1

360,97...

37h = == == == =

To se však p říčí zdravému rozumu ... Úloha není řešitelna, protože nelze a priori vy čísliti, ba často ani zhruba oceniti pravd ěpodobnost, že setkali jsme se s člověkem nepoctivým

Z uvedeného mohlo by se zdáti, že po čet pravd ěpodobnosti vede mnohem častěji k illusím než k opravdovému v ědění. Je skute čně pravda, že práv ě theorému o pravd ěpodobnosti příčin musí býti jen s velikou obez řelostí užíváno. Jak jsme již poznali, hlavní nesnáz spo čívá v posouzení pravd ěpodobností, které a priori jednotlivým hypothesám chceme p řikládati... Avšak p řece nesmíme Bayes ův theorém podce ňovati. Jest přece jen pro po čet pravd ěpodobnosti nepostradatelným, a to jednak pro applikace na takové zjevy, které ovládán y jsou také zákonem velkých čísel, jednak pro vnit řní logickou souvislost celého po čtu.

• Na konkrétních hodnotách apriorní pravd ěpodobnosti příliš nezáleží a nemusejí být jednozna čné

• Většinou lze rozlišit rozumné a nerozumné hodnoty

• Ve většin ě reálných p řípadů existují p ředběžné informace a rozdíly v apriorních pravd ěpodobnostech jsou důsledkem využití r ůzných z nich

Pravděpodobnosti příčin ???

Documents

PRAVD ĚPODOBNOST: ZÁKLADY, FILOSOFICKÉ POJETÍeuler.fd.cvut.cz/predmety/matematika/historie/... · Navazuje na H. Reichenbacha (Wahrscheinlichkeitslehre, 1935) • pravd ěpodobnost