Prb Cap 10

1019

CAPÍTULO 29 RESUMEN

Ley de Faraday: La ley de Faraday establece que la fem inducida en una espira cerrada es igual al negativo de la tasa de cambio del flujo magnético con respecto al tiempo a través de la espira. Esta relación es válida ya sea que elcambio de flujo se deba a un campo magnético variable, al movimiento de la espira, o ambos factores. (Véanse los ejemplos 29.1 a 29.7.)

(29.3)E 5 2

dFB

dt

Ley de Lenz: La ley de Lenz afirma que una corriente o fem inducida siempre tiende a oponerse al cambio que la generó, o a cancelarlo. La ley de Lenz se deduce de la de Faraday y a menudo es más fácil de usar. (Véanse los ejemplos 29.8 y 29.9.)

Fem de movimiento: Si un conductor se mueve en uncampo magnético, se induce una fem de movimiento. (Véanse los ejemplos 29.10 y 29.11.)

(29.6)(conductor con longitud L se mueve en un campo uniforme, y son perpendiculares a y entre sí)

(29.7)

(la totalidad o parte de una espira cerradase mueve en un campo )B

S

E 5 C 1vS 3 BS 2 # d l

S

BS

vSLS

BS

E 5 vBL

0 El movimiento delimán ocasiona uncampo magnéticocambiante a travésde la bobina, lo queinduce una corrienteen esta última.

S

N

I

Binducido

B(creciente)

Cambio en B

E

S

S

S

+ –+

B

F = qvB F = qE

L

qa b

vSS

E

B crecienteS

S

ESE

S

GCampos eléctricos inducidos: Cuando un flujo magnéticocambiante a través de un conductor fijo induce una fem,hay un campo eléctrico inducido de origen no electros-tático. Este campo es no conservativo y no está asociadocon un potencial. (Véase el ejemplo 29.12.)

ES

Corriente de desplazamiento y ecuaciones de Maxwell:Un campo eléctrico que varía en el tiempo genera una corriente de desplazamiento iD, que actúa como fuente de un campo magnético exactamente de la misma maneraque una corriente de conducción. La relación entre los campos eléctricos y magnéticos y sus fuentes se enuncia en forma compacta en las cuatro ecuaciones de Maxwell.En conjunto forman una base completa para la relación de los campos y con sus fuentes.B

SES

(29.14)

(corriente de desplazamiento)

(29.18)

(ley de Gauss para campos )

(29.19)

(ley de Gauss para campos )

(29.20)

(ley de Ampère que incluye la corrientede desplazamiento)

(29.21)

(ley de Faraday)

CES # d l

S5 2

dFB

dt

CBS # d l

S5 m0 1 iC 1 P0

dFE

dt 2 enc

BS

CBS # dA

S5 0

ES

CES # dA

S5

Qenc

P0

iD 5 P

dFE

dt

(29.10)CES # d l

S5 2

dFB

dt

1020 C APÍTU LO 29 Inducción electromagnética

Términos clavecorriente inducida, 994fem inducida, 994ley de Faraday de la inducción, 996ley de Lenz, 1004

fuerza electromotriz de movimiento, 1006campo eléctrico inducido, 1009campo no electrostático, 1010corrientes parásitas, 1011

corriente de desplazamiento, 1013ecuaciones de Maxwell, 1015

Respuesta a la pregunta de inicio de capítulo ?Conforme la banda magnética de la tarjeta de crédito se desliza por ellector, el patrón codificado de magnetización en la banda provoca unflujo magnético variable y con ello una corriente inducida en los cir-cuitos del lector. Si la tarjeta no se mueve, no hay una fem o corrienteinducida y no se lee la información de la tarjeta de crédito.

Respuestas a las preguntas de Evalúe su comprensión29.2 Respuestas: a) i), b) iii) a) Al principio hay un flujo magnéticohacia el plano de la página, que llamamos positivo. Mientras se com-prime la espira, el flujo se hace menos positivo (dFB>dt , 0), por loque la fem inducida es positiva, como en la figura 29.6b (E5 2dFB>dt. 0). Si usted apunta el pulgar de su mano derecha hacia la página, susdedos se doblan en el sentido horario, así que éste es el sentido de lafem inducida positiva. b) Como la forma de la bobina ya no está cam-biando, el flujo magnético tampoco, y no hay fem inducida.29.3 Respuestas: a) i), b) iii) En el inciso a), como en la situaciónoriginal, el imán y la espira se acercan entre sí y se incrementa el flujohacia abajo a través de la espira. De ese modo, la fem y la corriente in-ducidas son las mismas. En el inciso b), como el imán y la espira semueven juntos, el flujo a través de la espira no cambia y no hay fem inducida.

29.4 Respuestas: a) iii); b) i) o ii); c) ii) o iii) Se obtendrá la máximafem de movimiento si se sostiene la varilla verticalmente, de maneraque su longitud sea perpendicular tanto al campo magnético como a ladirección del movimiento. Con esta orientación, es paralela a Si sostiene la varilla en cualquier orientación horizontal, será per-pendicular a y no se inducirá ninguna fem. Si se camina haciael norte o sur, y no habrá fem inducida para ninguna orien-tación de la varilla.29.5 Respuestas: sí, no El campo magnético en una posición fijacambia a medida que se mueve el imán. Tales campos eléctricos in-ducidos son no conservativos.29.6 Respuesta: iii) Según la ley de Lenz, la fuerza debe oponerse al movimiento del disco a través del campo magnético. Como ahora elmaterial del disco se mueve hacia la derecha a través de la región delcampo, la fuerza va hacia la izquierda, es decir, en sentido opuesto alque se ilustra en la figura 29.19b. Para producir una fuerza magnéticadirigida hacia la izquierda sobre corrientes que se mue-van a través de un campo magnético dirigido hacia fuera del planode la figura, las corrientes parásitas deben moverse hacia abajo en la figura, es decir, en el mismo sentido que se indica en la figura 29.19b.29.7 Respuestas: a) ley de Faraday, b) ley de Ampère Un lector detarjetas de crédito funciona induciendo corrientes en sus bobinas cuan-do se desliza la banda magnética de la tarjeta (véase la respuesta a lapregunta de inicio de capítulo). La ley de Ampère describe cómo lascorrientes de todas clases (tanto de conducción como de desplazamien-to) originan campos magnéticos.

BS

FS

5 ILS

3 BS

FS

vS 3 BS

5 0vS 3 B

SLS

vS 3 BS

.LS

PROBLEMAS Para las tareas asignadas por el profesor, visite www.masteringphysics.com

Preguntas para análisisP29.1. Se coloca una lámina de cobre entre los polos de un electroimáncon el campo magnético perpendicular a la lámina. Cuando se tira dela lámina hacia fuera, se requiere una fuerza considerable, la cual aumenta con la rapidez. Explique este fenómeno.P29.2. En la figura 29.8, si la rapidez angular v de la espira se duplica,entonces la frecuencia con la que la corriente inducida cambia de sen-tido también se duplica, al igual que la fem máxima. ¿Por qué? ¿Cam-bia el par de torsión requerido para hacer girar la espira? Explique surespuesta.P29.3. Dos espiras circulares se encuentran lado a lado en el mismoplano. Una está conectada a una fuente que suministra una corrientecreciente; la otra es un anillo simple cerrado. La corriente inducida enel anillo, ¿tiene el mismo sentido que la corriente en la espira conecta-da con la fuente, o es opuesto? ¿Qué sucede si la corriente en la pri-mera espira disminuye? Explique.P29.4. Un granjero afirma que las líneas de transmisión de alto voltajeque corren paralelas a su cercado inducen altos voltajes peligrosos so-bre la cerca. ¿Es esto posible? Explique. (Las líneas conducen corrien-te que cambia de sentido 120 veces cada segundo.)P29.5. Un conductor largo y recto pasa por el centro de un anillo metá-lico, perpendicular a su plano. Si la corriente en el conductor aumenta,¿se induce una corriente en el anillo? Explique lo que pasa.

P29.6. Un estudiante asegura que si se deja caer en forma vertical unimán permanente por un tubo de cobre, el imán alcanza tarde o tempra-no una velocidad terminal aunque no exista resistencia del aire. ¿Porqué tendría que ser así? ¿O debe ser así?P29.7. Un avión vuela horizontalmente sobre la Antártida, donde elcampo magnético terrestre está dirigido sobre todo hacia arriba aleján-dose del suelo. Vista por un pasajero que mira hacia el frente del avión,¿el extremo del ala izquierda está a un potencial mayor que el del aladerecha? ¿La respuesta depende de la dirección en que vuela el avión?P29.8. Considere la situación del ejercicio 29.19. En el inciso a), en-cuentre la dirección de la fuerza que ejerce el circuito grande sobre el pequeño. Explique el modo en que este resultado es congruente conla ley de Lenz.P29.9. Un rectángulo de metal está cerca de un alambre largo, recto yque conduce corriente, con dos de sus lados paralelos al alambre. Si la corriente en el alambre largo está disminuyendo, ¿el rectángulo esrepelido o atraído por el alambre? Explique por qué es congruente este resultado con la ley de Lenz.P29.10. Una espira conductora cuadrada está en una región de campomagnético constante y uniforme. ¿La espira puede hacerse girar alre-dedor de un eje a lo largo de un lado sin que se induzca ninguna fem en la espira? Explique lo que pasa en términos de la orientación del ejede rotación con respecto a la dirección del campo magnético.P29.11. En el ejemplo 29.7 se analiza la fuerza externa que debe apli-carse al conductor corredizo para que se mueva con rapidez constante.

Ejercicios 1021

Si hubiera un freno en el extremo izquierdo del conductor en forma deU, ¿cuánta fuerza sería necesaria para mover el conductor corredizocon rapidez constante? Igual que en el ejemplo, ignore la fricción.P29.12. En la situación que se ilustra en la figura 29.16, ¿sería apropia-do preguntar cuánta energía gana un electrón durante un recorridocompleto alrededor de la espira de alambre con corriente ¿Seríaapropiado preguntar a través de qué diferencia de potencial se trasladael electrón durante ese recorrido completo? Explique sus respuestas.P29.13. Un anillo metálico está orientado con el plano de su área per-pendicular a un campo magnético espacialmente uniforme que se in-crementa a una tasa estable. Si el radio del anillo se duplica, ¿en quéfactor cambian a) la fem inducida en el anillo y b) el campo eléctricoinducido en el anillo?P29.14. Para la ecuación (29.6) demuestre que si v se expresa en me-tros por segundo, B en teslas y L en metros, entonces las unidades dellado derecho de la ecuación son joules por coulomb o volts (las unida-des correctas del SI para E).P29.15. ¿Se puede tener una corriente de desplazamiento además deuna corriente de conducción dentro de un conductor? Explique su respuesta.P29.16. Un compañero con quien estudia física le pide que considereun capacitor de placas paralelas que tiene un dieléctrico que llena porcompleto el volumen entre sus placas. Él afirma que las ecuaciones(29.13) y (29.14) demuestran que la corriente de conducción en el dieléctrico es igual a la corriente de desplazamiento en el dieléctrico.¿Está de acuerdo? Explique su respuesta.P29.17. Relacione los enunciados matemáticos de las ecuaciones deMaxwell, tal como aparecen en la sección 29.7, con las siguientes expre-siones: a) Las líneas de campo eléctrico cerradas son producidas eviden-temente sólo por un flujo magnético cambiante. b) Las líneas de campomagnético cerradas son producidas tanto por el movimiento de la car-ga eléctrica como por un flujo eléctrico cambiante. c) Las líneas de cam-po eléctrico pueden comenzar en cargas positivas y terminar en cargasnegativas. d ) Es evidente que no hay monopolos magnéticos en los quecomiencen y terminen líneas de campo magnético.P29.18. Si existieran los monopolos magnéticos, el lado derecho de laecuación (29.21) incluiría un término proporcional a la corriente de losmonopolos magnéticos. Suponga que una corriente de monopolos es-table se desplaza a lo largo de un alambre recto y largo. Dibuje las lí-neas de campo eléctrico que produciría esa corriente.P29.19. Si existieran los monopolos magnéticos, el lado derecho de laecuación (29.19) sería proporcional al total de carga magnética ence-rrada. Suponga que una línea infinita de monopolos magnéticos estu-viera en el eje x. Dibuje las líneas de campo magnético que produciríaesa línea de monopolos.

EjerciciosSección 29.2 Ley de Faraday29.1. Una bobina plana y rectangular de 50 espiras mide 25.0 cm por30.0 cm. Está en un campo magnético uniforme de 1.20 T, con el planode la bobina paralelo al campo. En 0.222 s se hace girar de manera queel plano de la bobina queda perpendicular al campo. a) ¿Cuál es elcambio en el flujo magnético a través de la bobina debido a esta rota-ción? b) Determine la magnitud de la fem media inducida en la bobinadurante esta rotación.29.2. En un experimento en un laboratorio de física, una bobina con 200espiras que encierra un área de 12 cm2 se hace girar en 0.040 s desde unaposición en que su plano es perpendicular al campo magnético de la Tie-rra hasta otra en que el plano queda paralelo al campo. El campo magné-tico terrestre en la ubicación del laboratorio es 6.0 3 1025 T. a) ¿Cuál es el flujo magnético total a través de la bobina antes de hacerla girar? ¿Y después del giro? b) ¿Cuál es la fem media inducida en la bobina?29.3. Bobina exploradora y tarjetas de crédito. a) Obtenga la ecua-ción que relaciona la carga total Q que fluye a través de una bobina exploradora (ejemplo conceptual 29.3) con la magnitud del campo mag-

I r?

nético B. La bobina exploradora tiene N espiras, cada una con un área A, y el flujo a través de la bobina disminuye desde su valor máximo inicialhasta cero, en un tiempo Dt. La resistencia de la bobina es R, y la cargatotal es Q 5 IDt, donde I es la corriente media inducida por el cambio enel flujo. b) En un lector de tarjetas de crédito, se hace “deslizar” la bandamagnética del reverso por una bobina. Con las mismas ideas que susten-tan la operación de una bobina exploradora, explique cómo decodifica ellector la información almacenada en el patrón de magnetización de labanda. c) ¿Es necesario “deslizar” la tarjeta de crédito a través del lectorexactamente con la rapidez correcta? ¿Por qué?29.4. Una bobina exploradora con devanado compacto (ejercicio29.3), tiene un área de 3.20 cm2, 120 espiras y resistencia de 60.0 V.Está conectada a un instrumento que mide la carga y cuya resistenciaes de 45.0 V. Cuando la bobina se hace girar con rapidez desde unaposición paralela a un campo magnético uniforme hasta otra perpen-dicular al campo, el instrumento indica una carga de 3.56 3 1025 C.¿Cuál es la magnitud del campo?29.5. Una espira circular de alambre, con radio de 12.0 cm y orientadaen el plano xy horizontal, se localiza en una región de campo magnéti-co uniforme. Un campo de 1.5 T está dirigido a lo largo de la direcciónz positiva, que es hacia arriba. a) Si se retira la espira de la región delcampo en un intervalo de tiempo de 2.0 ms, encuentre la fem mediaque se inducirá en la espira de alambre durante el proceso de extrac-ción. b) Si la bobina se observa desde arriba, ¿la corriente inducida vaen sentido horario o antihorario?29.6. Una bobina de 4.00 cm de radio contiene 500 espiras, y está colocada en un campo magnético uniforme que varía con el tiempode acuerdo con La bobi-na está conectada a un resistor de 600 V, y su plano es perpendicularal campo magnético. Se puede ignorar la resistencia de la bobina. a) Encuentre la magnitud de la fem inducida en la bobina como fun-ción del tiempo. b) ¿Cuál es la corriente en el resistor en el momentot 5 5.00 s?29.7. La corriente en el alambrelargo y recto AB que se ilustra en la figura 29.27 va hacia arriba y se incrementa en forma estable a razón di>dt. a) En el instante enque la corriente es i, ¿cuáles son lamagnitud y la dirección del campo

a una distancia r hacia la dere-cha del alambre? b) ¿Cuál es el flujo dFB a través de la banda an-gosta y sombreada? c) ¿Cuál es el flujo total a través de la espira?d) ¿Cuál es la fem inducida en laespira? e) Determine el valor nu-mérico de la fem inducida si a 512.0 cm, b 5 36.0 cm, L 5 24.0cm, y di>dt 5 9.60 A>s.29.8. Una espira de acero plano y circu-lar de radio 75 cm se encuentra en re-poso en un campo magnético uniforme,cuya vista de perfil se ilustra de la figura 29.28. El campo cambia con eltiempo, de acuerdo con la expresión

a) Calculela fem inducida en la espira como fun-ción del tiempo. b) ¿Cuándo es la feminducida igual a de su valor inicial? c) Determine el sentido de la corriente inducida en la espira, viendo esta última desde arriba.29.9. Espira que se encoge. Una espira circular de alambre de hierroflexible tiene una circunferencia inicial de 165.0 cm, pero su circun-ferencia disminuye con una rapidez constante de 12.0 cm>s debido auna fuerza tangencial que tira del alambre. La espira se encuentra en un

110

B 1 t 2 5 11.4 T 2 e210.057 s212t.

BS

B 5 1 0.0120 T/s 2 t 1 13.00 3 1025 T/s4 2 t4.

a

i

i

b

dr

L

A

Br

Figura 29.27 Ejercicio 29.7.

B

608

S


29.18. Se envuelve un tubo decartón con dos devanados dealambre aislado en sentidosopuestos, como se ilustra en lafigura 29.34. Las terminales ay b del devanado A se conectana una batería por medio de uninterruptor inverso. Indique si la corriente inducida en el resis-tor R fluye de izquierda a dere-cha o de derecha izquierda enlas siguientes circunstancias: a) la corriente en el devanado A va de a a b y está aumentando; b) la corriente en el devanado A es de b hacia a y está disminuyendo; c) la corriente en el devanado A fluyede b hacia a y está en aumento.29.19. Un pequeño anillo circularestá dentro de una espira más gran-de que se encuentra conectada a unabatería y un interruptor, como se ob-serva en la figura 29.35. Con baseen la ley de Lenz, determine el sen-tido de la corriente inducida en elanillo pequeño a) inmediatamentedespués cerrar el interruptor S; b) después de que S ha estado cerra-do mucho tiempo; c) inmediatamen-te después de abrir S luego de queestuvo cerrado mucho tiempo.29.20. Se tira hacia la derecha deuna barra metálica de 1.50 m de lon-gitud con rapidez uniforme de 5.0cm>s en dirección perpendicular aun campo magnético uniforme de0.750 T. La barra corre sobre rielesmetálicos paralelos conectados por medio de un resistor de 25.0 V, como se ilustra en la figura 29.36, de manera que el aparato forma uncircuito completo. Se puede ignorar la resistencia de la barra y los rie-les. a) Calcule la magnitud de la fem inducida en el circuito. b) Deter-mine el sentido de la corriente inducida en el circuito i) con base en lafuerza magnética sobre las cargas en la barra móvil; ii) con base en la ley de Faraday; iii) con base la ley de Lenz. c) Calcule la corriente a través del resistor.

Sección 29.4 Fuerza electromotriz de movimiento29.21. En la figura 29.37, una varilla conductora con longitud L 530.0 cm se mueve en un campo magnético de magnitud 0.450 T di-rigido hacia el plano de la figura. La varilla se desplaza con rapidez

BS


campo magnético uniforme y constante, orientado perpendicularmenteal plano de la espira y con magnitud de 0.500 T. a) Determine la fem in-ducida en la espira en el instante en que han transcurrido 9.0 s. b) Deter-mine el sentido de la corriente inducida en la espira, vista a lo largo dela dirección del campo magnético.29.10. Un rectángulo que mide 30.0 cmpor 40.0 cm está localizado en el inte-rior de una región de campo magné-tico espacialmente uniforme de 1.25 T,con el campo perpendicular al planode la bobina (figura 29.29). Se tira dela bobina con rapidez constante de2.00 cm>s en una trayectoria perpen-dicular a las líneas de campo. La re-gión del campo termina en forma abrupta, como se ilustra. Encuentrela fem inducida en esta bobina cuando está a) toda adentro del campo;b) parcialmente dentro del campo; c) toda afuera del campo.29.11. En una región del espacio, un campo magnético apunta en ladirección 1x (hacia la derecha). Su magnitud varía con la posición deacuerdo con la fórmula Bx 5 B0 1 bx, donde B0 y b son constantes po-sitivas, para x $ 0. Una bobina plana de área A se desplaza con rapi-dez uniforme v de derecha a izquierda con el plano de su área siempreperpendicular a este campo. a) ¿Cuál es la fem inducida en esta bobi-na mientras está a la derecha del origen? b) Vista desde el origen,¿cuál es el sentido (horario o antihorario) de la corriente inducida enla bobina? c) Si la bobina se moviera de izquierda a derecha, ¿cuálesserían las respuestas para los incisos a) y b)?29.12. Fuerza contraelectromotriz. Un motor con una configuraciónde escobillas y conmutador, como la que se describe en el ejemplo29.5, tiene una bobina circular con radio 2.5 cm y 150 espiras de alam-bre. El campo magnético tiene una magnitud de 0.060 T, y la bobinagira a 440 rev>min. a) ¿Cuál es la fem máxima inducida en la bobina?b) ¿Cuál es la fuerza contraelectromotriz media?29.13. El inducido de un generador pequeño consiste en una bobina planay cuadrada con 120 espiras y cuyos lados tienen una longitud de 1.60 cm.La bobina gira en un campo magnético de 0.0750 T. ¿Cuál es la rapidezangular de la bobina si la fem máxima producida es de 24.0 mV?29.14. Se tira de una bobina plana, rectangu-lar, con dimensiones l y w, con rapidez uni-forme v a través de un campo magnéticouniforme B y con el plano de su área perpen-dicular al campo (figura 29.30). a) Determi-ne la fem inducida en esta bobina. b) Si larapidez y el campo magnético se triplican,¿cuál será la fem inducida?

Sección 29.3 Ley de Lenz29.15. Una espira circular de alam-bre está en una región de campomagnético espacialmente uniforme,como se aprecia en la figura 29.31.El campo magnético está dirigidohacia el plano de la figura. Determi-ne el sentido (horario o antihorario)de la corriente inducida en la espiracuando a) B aumenta; b) B disminu-ye; c) B tiene un valor constante B0.Explique su razonamiento.29.16. La corriente en la figura 29.32 obe-dece la ecuación I(t) 5 I0e

2bt, donde b . 0.Determine el sentido (horario o antihorario)de la corriente inducida en la bobina circularpara t . 0.29.17. Con base en la ley de Lenz, determineel sentido de la corriente en el resistor ab de

DevanadoA

Devanado

B

R

a b


S

Figura 29.35Ejercicio 29.19.

a

b

R BS

Figura 29.36 Ejercicio29.20 y problema 29.64.

+a b

A B

R

S


vBSl

w


10.0 cm

a

b

BS

Figura 29.31 Ejercicios29.15 y 29.30.

2.00 cm/s

30.0 cm

40.0

cm

BS


la figura 29.33 cuando a) se abre el interruptor S después de haber estado cerrado durante varios minutos; b) la bobina B se acerca a la bobina A con el interruptor cerrado; c) se reduce la resistencia de Rmientras el interruptor permanece cerrado.

I


Ejercicios 1023

v 5 5.00 m>s en el sentido que se ilustra.a) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los extremos de la varilla? b) ¿Cuálpunto, a o b, está a mayor potencial? c) Cuando las cargas en la barra están en equilibrio, ¿cuáles son la magnitud ydirección del campo eléctrico dentro dela varilla? d) Cuando las cargas en la va-rilla están en equilibrio, ¿cuál punto, a ob, tiene un exceso de carga positiva? e) ¿Cuál es la diferencia de po-tencial a través de la varilla si se desplaza i) en forma paralela a ab, yii) directamente hacia fuera de la página?29.22. Para la situación del ejercicio 29.20, determine a) la fem demovimiento en la barra y b) la corriente a través del resistor.29.23. ¿Las fem son fuentes prácticas de electricidad? ¿Qué tanrápido (en m>s y mph) tendría que moverse una barra de cobre en án-gulos rectos con un campo magnético de 0.650 T para generar 1.50 V(lo mismo que una batería AA) a través de sus extremos? ¿Parece unaforma práctica de generar electricidad?29.24. Fem de movimiento en el transporte. Los aviones y trenesse desplazan a través del campo magnético de la Tierra a grandes velo-cidades, por lo que es razonable preguntarse si este campo tiene unefecto sustancial sobre ellos. El valor de uso común para el campo te-rrestre es de 0.50 G a) El tren francés TGV y el “tren bala” japonés al-canzan una rapidez de hasta 180 millas>h cuando se desplazan sobresus rieles separados por una distancia de 1.5 m. Cuando se desplazan asu máxima rapidez en forma perpendicular al campo magnético de laTierra, ¿qué diferencia de potencial se induce a través de los rielesmientras las ruedas giran? ¿Esto parece suficientemente considerablepara producir un efecto notable? b) El avión Boeing 747-400 tiene unaenvergadura de 64.4 m y rapidez de crucero de 565 millas>h. Si no hayviento que sople (por lo que la rapidez de crucero sería también su ra-pidez con respecto al suelo), ¿cuál es la diferencia de potencial máxi-ma que podría inducirse entre los extremos opuestos de las alas? ¿Estoparece suficientemente considerable para causar problemas al avión?29.25. La varilla conductora ab que se muestra en la figura 29.38 hacecontacto con los rieles metálicos ca y db. El aparato está en un campomagnético uniforme de 0.800 T, perpendicular al plano de la figura. a) Calcule la magnitud de la fem inducida en la varilla cuando ésta semueve hacia la derecha con una rapidez de 7.50 m>s. b) ¿En qué sen-tido fluye la corriente en la varilla? c) Si la resistencia del circuito abdces de 1.50 V (que se supone constante), calcule la fuerza (magnitud ydirección) requerida para mantener la varilla moviéndose hacia la de-recha con rapidez constante de 7.50 m>s. Ignore la fricción. d ) Com-pare la tasa con que la fuerza (Fv) efectúa trabajo mecánico con la tasa a que se desarrolla energía térmica en el circuito (I 2R).

Tome la fuerza positiva hacia la derecha.) b) Elabore una gráfica de lacorriente inducida en la espira como función de x. Tome como positi-vas las corrientes que vayan en sentido antihorario.29.27. Una barra de 1.41 m de longi-tud se mueve a través de un campomagnético uniforme de 1.20 T con unarapidez de 2.50 m>s (figura 29.40). Encada caso, calcule la fem inducida entre los extremos de esta barra e iden-tifique cuál extremo (a o b, si acaso alguno de los dos) está a mayor po-tencial. La barra se mueve en la direc-ción de a) el eje 1x; b) el eje 2y; c) eleje 1z. d ) ¿Cómo debería moverse esta barra para que la fem a travésde sus extremos tuviera el mayor valor posible con b a un potencialmás alto que a, y cuál sería esa fem máxima?

Sección 29.5 Campos eléctricos inducidos29.28. Un solenoide largo y delgado tiene 900 espiras por metro y ra-dio de 2.50 cm. La corriente en el solenoide está aumentando a una ta-sa uniforme de 60.0 A>s. ¿Cuál es la magnitud del campo eléctricoinducido en un punto cerca del centro del solenoide y a) a 0.500 cm deleje del solenoide; b) a 1.00 cm del eje del solenoide?29.29. El campo magnético dentro de un solenoide largo y recto consección transversal circular y radio R se incrementa a razón dB>dt. a) ¿Cuál es la tasa de cambio del flujo a través de un círculo con radior1 dentro del solenoide, normal al eje del solenoide, y con centro en eleje de éste? b) Determine la magnitud del campo eléctrico inducidodentro del solenoide, a una distancia r1 de su eje. Indique en un diagra-ma la dirección de este campo. c) ¿Cuál es la magnitud del campoeléctrico inducido afuera del solenoide, a una distancia r2 del eje? d ) Elabore una gráfica de la magnitud del campo eléctrico inducido como función de la distancia r a partir del eje, de r 5 0 a r 5 2R. e) ¿Cuál es la magnitud de la fem inducida en una espira circular de radio R>2 con centro en el eje del solenoide? f ) ¿Cuál es la magnitudde la fem inducida si el radio en el inciso e) es R? g) ¿Cuál es la feminducida si el radio en el inciso e) es 2R?29.30. El campo magnético en todos los puntos del círculo colorea-do que se muestra en la figura 29.31 tiene una magnitud inicial de0.750 T. (El círculo podría representar aproximadamente el espaciodentro de un solenoide largo y delgado.) El campo magnético está diri-gido hacia el plano del diagrama y disminuye a razón de 20.0350 T>s.a) ¿Cuál es la forma de las líneas del campo eléctrico inducido que seilustra en la figura 29.31, dentro del círculo coloreado? b) ¿Cuáles sonla magnitud y dirección de este campo en cualquier punto del anilloconductor circular con radio 0.100 m? c) ¿Cuál es la corriente en elanillo si su resistencia es de 4.00 V. d) ¿Cuál es la fem entre los puntosa y b del anillo? e) Si el anillo se cortara en algún punto y los extremosse separaran ligeramente, ¿cuál sería la fem entre ellos?29.31. Un solenoide largo y delgado tiene 400 espiras por metro y ra-dio de 1.10 cm. La corriente en el solenoide aumenta con una tasa

BS

B

y

x37.08

b

a

O

S


v

a

b

c

d

50.0 cmBS


29.26. Una espira cuadrada de alambre con arista L y resistencia R semueve con rapidez constante v a través de un campo magnético uni-forme confinado a una región cuadrada cuyos lados miden el doble delongitud que los de la espira cuadrada (figura 29.39). a) Elabore unagráfica de la fuerza externa F necesaria para mover la espira con rapi-dez constante como función de la coordenada x, de x 5 22L a x 512L. (La coordenada x está medida del centro de la región del campomagnético al centro de la espira. Es negativa cuando el centro de la es-pira está a la izquierda del centro de la región del campo magnético.

2L

v

L

x2LLO–L–2L

BS


a

b

v

B

L

S



uniforme de di>dt. El campo eléctrico inducido en un punto cerca del centro del solenoide y a 3.50 cm de su eje es de 8.00 3 1026 V>m.Calcule di>dt.29.32. Un anillo metálico de 4.50 cm de diámetro está colocado entrelos polos norte y sur de imanes grandes con el plano de su área perpen-dicular al campo magnético. Estos imanes producen un campo inicialuniforme de 1.12 T entre ellos, pero se separan gradualmente, de ma-nera que el campo sigue siendo uniforme aunque disminuye en formasostenida a 0.250 T>s. a) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico in-ducido en el anillo? b) ¿En qué sentido (horario o antihorario) fluye lacorriente de acuerdo con la perspectiva de alguien que se encuentre enel polo sur del imán?29.33. Un solenoide largo y recto, con área de sección transversal de 8.00 cm2, tiene un devanado de 90 espiras de alambre por centí-metro, las cuales conducen una corriente de 0.350 A. Un segundo de-vanado de 12 espiras envuelve al solenoide en su centro. La corrienteen el solenoide cesa de manera que su campo magnético se hace igual a cero en 0.0400 s. ¿Cuál es la fem inducida media en el se-gundo devanado?

Sección 29.7 Corriente de desplazamiento y ecuaciones de Maxwell29.34. Un dieléctrico de permitividad 3.5 3 10211 F>m llena por com-pleto el volumen entre las dos placas de un capacitor. Para t . 0 el flu-jo eléctrico a través del dieléctrico es Eldieléctrico es ideal y no magnético; la corriente de conducción en el dieléctrico es igual a cero. ¿En qué momento la corriente de des-plazamiento en el dieléctrico es igual a 21 mA?29.35. El flujo eléctrico a través de cierta área de un dieléctrico es

La corriente de desplazamiento a través deesa área es de 12.9 pA en el momento t 5 26.1 ms. Calcule la constan-te dieléctrica del material.29.36. Un capacitor de placas paralelas, lleno de aire, se está cargandocomo en la figura 29.23. Las placas circulares tienen un radio de 4.00cm, y en un instante particular la corriente de conducción en los alam-bres es de 0.280 A. a) ¿Cuál es la densidad de la corriente de desplaza-miento jD en el espacio de aire entre las placas? b) ¿Cuál es la tasa conla que cambia el campo eléctrico entre las placas? c) ¿Cuál es el campomagnético inducido entre las placas a una distancia de 2.00 cm del eje?d ) ¿Y a 1.00 cm del eje?29.37. Corriente de desplazamiento en un dieléctrico. Supongaque las placas paralelas en la figura 29.23 tienen un área de 3.00 cm2

y están separadas por una lámina de dieléctrico de 2.50 mm de espe-sor que llena por completo el volumen entre ellas. El dieléctrico tieneuna constante dieléctrica de 4.70. (Se pueden ignorar los efectos deborde.) En cierto momento, la diferencia de potencial entre las pla-cas es de 120 V y la corriente de conducción iC es igual a 6.00 mA. En este instante, ¿cuáles son a) la carga q en cada placa; b) la tasa decambio de la carga en las placas; c) la corriente de desplazamiento en el dieléctrico?29.38. En la figura 29.23 las placas del capacitor tienen un área de5.00 cm2 y una separación de 2.00 mm. Las placas están en vacío. Lacorriente de carga iC tiene un valor constante de 1.80 mA. En t 5 0 lacarga en las placas es cero. a) Calcule la carga en las placas, el campoeléctrico entre ellas y la diferencia de potencial entre las placas cuandot 5 0.500 ms. b) Calcule dE>dt, la tasa de cambio con respecto al tiem-po, del campo eléctrico entre las placas. ¿Varía dE>dt con el tiempo? c) Calcule la densidad de corriente de desplazamiento jD entre las placas y, a partir de este dato, la corriente de desplazamiento total iD.¿Cómo son comparativamente iC e iD.29.39. Corriente de desplazamiento en un alambre. Un alambrede cobre, largo y recto, con área de sección transversal de 2.1 mm2,transporta una corriente de 16 A. La resistividad del material es

a) ¿Cuál es el campo eléctrico uniforme en el mate-2.0 3 1028 V # m.

18.76 3 103 V # m/s4 2 t4.

18.0 3 103 V # m/s3 2 t3.

rial? b) Si la corriente está cambiando a razón de 4000 A>s, ¿a qué tasaestá cambiando el campo eléctrico en el material? c) En el inciso b),¿cuál es la densidad de la corriente de desplazamiento en el material?(Sugerencia: como K para el cobre está muy cerca de 1, use P 5 P0.) d ) Si la corriente está cambiando como en el inciso b), ¿cuál es la magnitud del campo magnético a 6.0 cm del centro del alambre? Noteque tanto la corriente de conducción como la de desplazamiento deben incluirse en el cálculo de B. ¿Es significativa la contribución de la corriente de desplazamiento?

*Sección 29.8 Superconductividad*29.40. Un alambre largo y recto está hecho de un superconductor tipo I y conduce una corriente constante I a lo largo de su extensión.Demuestre que la corriente no se puede distribuir de manera uniformeen toda la sección transversal del alambre, sino que debe estar en todala superficie.*29.41. Un superconductor tipo II en un campo externo entre Bcl y Bc2

posee regiones que contienen flujo magnético y presentan resistencia,y también tiene regiones superconductoras. ¿Cuál es la resistencia deun cilindro largo y delgado hecho de ese material?*29.42. A temperaturas cercanas al cero absoluto, Bc se aproxima a0.142 T en el caso del vanadio, un superconductor del tipo I. La fasenormal del vanadio tiene una susceptibilidad magnética cercana al ce-ro. Considere un cilindro largo y delgado de vanadio con su eje parale-lo a un campo magnético externo en la dirección 1x. En puntosalejados de los extremos del cilindro, por simetría, todos los vectoresmagnéticos son paralelos al eje x. A temperaturas cercanas al cero ab-soluto, ¿cuáles son el campo magnético resultante y la magneti-zación dentro y fuera del cilindro (lejos de los extremos) cuando a) y b)*29.43. El compuesto SiV3 es un superconductor del tipo II. A tem-peraturas cercanas al cero absoluto, los dos campos críticos son Bc1 555.0 mT y Bc2 5 15.0 T. La fase normal del SiV3 tiene una susceptibi-lidad magnética cercana a cero. Un cilindro largo y delgado de SiV3

tiene su eje paralelo a un campo magnético externo en la dirección1x. En puntos alejados de los extremos del cilindro, por simetría, todos los vectores magnéticos son paralelos al eje x. A una temperaturacercana al cero absoluto, el campo magnético externo aumenta len-tamente desde cero. ¿Cuáles son el campo magnético resultante y lamagnetización dentro del cilindro en puntos alejados de sus extre-mos a) justo antes de que el flujo magnético comience a penetrar en el material y b) inmediatamente después de que el material se vuelvacompletamente normal?

Problemas29.44. Campo magnético cambiante. Usted está probando un nuevosistema de adquisición de datos, el cual permite registrar una gráfica de la corriente en un circuito como función del tiempo. Como parte dela prueba, utiliza un circuito constituido por una bobina de alambre de cobre de 4.00 cm de radio y 500 espiras, conectada en serie a un re-sistor de 600 V. El cobre tiene una resistividad de y el alambre usado para la bobina tiene un diámetro de 0.0300 mm.Usted coloca la bobina en una mesa inclinada 30.0° con respecto a lahorizontal y que se encuentra entre los polos de un electroimán. Elelectroimán genera un campo magnético dirigido verticalmente haciaarriba que es igual a cero cuando t , 0, igual a (0.120 T) 3 (1 2 cospt)cuando 0 # t # 1.00 s, e igual a 0.240 T cuando t . 1.00 s. a) Dibujela gráfica que debería generar su sistema de adquisición de datos. (Se trata de un sistema completo, por lo que la gráfica debe incluir leyendas y valores numéricos en sus ejes.) b) Si mira la bobina en dirección vertical hacia abajo, ¿la corriente fluye en sentido horario oantihorario?

1.72 3 1028V # m,

MS

BS

BS

0

BS

0 5 1 0.260 T 2 d?BS

0 5 1 0.130 T 2 dMS

BS

BS

0

Problemas 1025

29.46. Una bobina plana está orienta-da con el plano de su área formandoángulos rectos con un campo magnéti-co espacialmente uniforme. La magni-tud de este campo varía con el tiempode acuerdo con la gráfica de la figura29.42. Dibuje una gráfica cualitativa(pero exacta) de la fem inducida en labobina como función del tiempo. Ase-gúrese de indicar en la gráfica los tiempos t1, t2 y t3.29.47. A través de una espira circular de alambre de radio a y resisten-cia R, pasa inicialmente un flujo magnético provocado por un campomagnético externo. Después, el campo externo disminuye a cero. Seinduce una corriente en la espira mientras el campo externo está cam-biando; sin embargo, esta corriente no se detiene en el instante en queel campo externo deja de cambiar. La razón es que la corriente, por símisma, genera un campo magnético que da origen a un flujo a travésde la espira. Si la corriente cambia, el flujo a través de la espira tam-bién cambia, y aparece una fem inducida en la espira que se opone alcambio. a) El campo magnético en el centro de la espira de radio aproducido por la corriente i en la espira está dado por B 5 m0i>2a. Si se usa la aproximación burda de que el campo tiene el mismo valoren todos los puntos dentro de la espira, ¿cuál es el flujo de este campoa través de la espira? b) Con base en la ley de Faraday, la ecuación(29.3) y la relación E 5 iR, demuestre que después de que el campoexterno ha dejado de cambiar, la corriente en la espira obedece laecuación diferencial

(c) Si la corriente tiene el valor i0 en t 5 0, el instante en que el campoexterno deja de cambiar, resuelva la ecuación del inciso b) para encon-

didt

5 2 1 2Rpm0a

2 i

trar i como función del tiempo cuando t . 0. (Sugerencia: en la sec-ción 26.4 se encontró una ecuación diferencial similar, la (26.15), para lacantidad q. Esta ecuación para i se resuelve del mismo modo.) d ) Si la espira tiene un radio a 5 50 cm y resistencia R 5 0.10 V, ¿cuántotiempo después de que el campo externo deja de cambiar, la corrienteserá igual a 0.010i0 (es decir, de su valor inicial)? e) Al resolver losejemplos de este capítulo ignoramos los efectos descritos en este pro-blema. Explique por qué ésta es una buena aproximación.29.48. Una bobina está fija en un cam-po magnético externo, espacialmenteuniforme y variable con el tiempo. Lafem inducida en esta bobina como fun-ción del tiempo se ilustra en la figura29.43. Dibuje una gráfica cualitativaclara del campo magnético externo co-mo función del tiempo, considerandoque comenzó desde cero. En la gráficaincluya los puntos t1, t2, t3 y t4.29.49. En la figura 29.44, se tira de la espira hacia la derecha a velo-cidad constante, v. Una corriente constante I fluye en el alambre lar-go, en el sentido que se indica. a) Calcule la magnitud de la fem netaE inducida en la espira. Haga esto de dos modos: i) con base en la ley de Faraday de la inducción (Sugerencia: véase el problema 29.7)y ii) examinando la fem inducida en cada segmento de la espira debido al movimiento de ésta. b) Encuentre el sentido (horario o anti-horario) de la corriente inducida en la espira. Haga esto de dos mane-ras: i) con base en la ley de Lenz y ii) a partir de la fuerza magnéticasobre las cargas en la espira. c) Compruebe su respuesta para la femdel inciso a) en los siguientes casos especiales para ver si es física-mente razonable: i) La espira está fija; ii) la espira es muy delgada, de manera que iii) la espira está muy lejos del alambre.a S 0;

1100

t2

E

tO t1 t3 t4

Figura 29.43Problema 29.48.

v

I

r

a

bS

Figura 29.44 Problema 29.49.

B

tO t1 t2 t3


+–

a

b

R0

C

S

c


29.45. En el circuito que se aprecia en la figura 29.41, el capacitor tie-ne una capacitancia C 5 20 mF e inicialmente se carga a 100 V con lapolaridad que se indica. El resistor R0 tiene una resistencia de 10 V. Enel momento t 5 0 se cierra el interruptor. El circuito pequeño no estáconectado de ninguna forma al circuito grande. El alambre del circuitopequeño tiene una resistencia de 1.0 V>m y contiene 25 espiras. El cir-cuito grande es un rectángulo de 2.0 por 4.0 m, mientras que el pe-queño tiene dimensiones a 5 10.0 cm y b 5 20.0 cm. La distancia c esde 5.0 cm. (La figura no está dibujada a escala.) Ambos circuitos estánfijos. Suponga que sólo el alambre más cercano al circuito pequeñoproduce un campo magnético apreciable a través de él. a) Determine la corriente en el circuito grande 200 ms después de que se cerró S. b) Calcule la corriente en el circuito pequeño 200 ms después de habercerrado S. (Sugerencia: véase el problema 29.7.) c) Determine el senti-do de la corriente en el circuito pequeño. d ) Justifique por qué se pue-de ignorar el campo magnético de todos los alambres del circuitogrande, excepto el del que está más cerca del circuito pequeño.

29.50. Suponga que la espira en la figura 29.45 se hace girar a) en torno al eje y; b) en torno al eje x; c) en torno a un borde paralelo al eje z. ¿Cuál es la fem máxima inducida en cada caso si A 5 600 cm2, v 5 35.0 rad>s y B 5 0.450 T?

z

y

A

x

B

vS


29.51. Como nuevo ingeniero electricista en la compañía de electrici-dad local, le asignaron el proyecto de diseñar un generador de voltaje casinusoidal con voltaje máximo de 120 V. Además de mucho alambre,


I0

WR


dispone de dos fuertes imanes capaces de producir un campo magné-tico constante y uniforme de 1.5 T sobre un área cuadrada de 10.0 cmde lado cuando están separados por una distancia de 12.0 cm. El dise-ño básico debe consistir en una bobina cuadrada que gira en el campomagnético uniforme. Para tener una resistencia aceptable, la bobinadebe tener un máximo de 400 espiras. ¿Cuál es la tasa de rotación mí-nima (en rpm) de la bobina para generar el voltaje requerido?29.52. ¿Construir un generador? Usted naufragó y se encuentra enuna isla tropical desierta. Tiene algunos aparatos eléctricos que po-drían operar con un generador, pero no tiene imanes. En el lugar dondese encuentra, el campo magnético de la Tierra es horizontal y tiene unamagnitud de 8.0 3 1025 T, y decide intentar utilizar este campo paraconstruir un generador haciendo girar muy rápido una gran bobi-na circular de alambre. Necesita producir una fem pico de 9.0 V y estimaque puede hacer girar la bobina a 30 rpm dando vueltas a una manive-la. También decide que para tener una resistencia aceptable en la bobi-na, el número máximo de espiras que la bobina puede tener es de 2000.a) ¿Qué área debe tener la bobina? b) Si la bobina es circular, ¿cuál esla máxima rapidez de traslación de un punto de la bobina cuando éstagira? ¿Piensa que es factible un aparato así? Explique su respuesta.29.53. Una espira circular flexible de 6.50 cm de diámetro está en uncampo magnético con magnitud de 0.950 T, dirigido hacia el plano dela página, como se ilustra en la figura 29.46. Se tira de la espira en lospuntos indicados por las flechas, para formar una espira de área igual a cero en 0.250 s. a) Calcule la fem inducida media en el circuito. b) ¿Cuál es el sentido de la corriente en R: de a a b o de b a a? Expli-que su razonamiento.

dirigido hacia el plano de la figu-ra. En un extremo de los rieles hayuna batería con fem E 5 12 Vy un interruptor. La barra tieneuna masa de 0.90 kg y resistenciade 5.0 V, y pueden ignorarse todas las demás resistencias en el circuito. Se cierra el interrup-tor en el momento t 5 0. a) Ela-bore una gráfica de la rapidez dela barra como función del tiempo. b) ¿Cuál es la aceleración de la barrainmediatamente después de haber cerrado el interruptor? c) ¿Cuál es laaceleración de la barra cuando su rapidez es de 2.0 m>s? d) ¿Cuál es la rapidez terminal de la barra?29.57. Fem de una antena. Un satélite que orbita la Tierra sobre elecuador a una altitud de 400 km, tiene una antena que puede modelar-se como una varilla de 2.0 m de largo. La antena está orientada de manera perpendicular a la superficie de la Tierra. En el ecuador, elcampo magnético de nuestro planeta es esencialmente horizontal y tiene un valor de 8.0 3 1025 T; ignore cualesquiera cambios en B de-bidos a la altitud. Si la órbita es circular, determine la fem inducida entre los extremos de la antena.29.58. Fem en una bala. En el ecuador, el campo magnético de laTierra es aproximadamente horizontal, está dirigido hacia el norte ytiene un valor de 8 3 1025 T. a) Estime la fem inducida entre las partessuperior e inferior de una bala disparada horizontalmente a un blancoen el ecuador, si la bala se dispara hacia el este. Suponga que la balatiene longitud de 1 cm, diámetro de 0.4 cm y se desplaza a 300 m>s.¿Cuál está a mayor potencial: la parte superior o la parte inferior de labala? b) ¿Cuál es la fem si la bala viaja hacia el sur? c) ¿Cuál es la feminducida entre las partes anterior y posterior de la bala con cualquiervelocidad horizontal?29.59. Un alambre cilíndrico muy largo de radio R conduce una co-rriente I0 distribuida de manera uniforme a través de la sección trans-versal del alambre. Calcule el flujo magnético a través de un rectánguloque tiene un lado de longitud W que se extiende a lo largo del centro delalambre, y otro lado de longitud R, como se indica en la figura 29.49(véase el problema 29.7).

L

B

E

S

+–


29.60. Un anillo conductor circular conradio r0 5 0.0420 m está en el plano xy enuna región de campo magnético unifor-me En esta expresión, t0 5 0.0100 s y esconstante, t es el tiempo, es el vectorunitario en la dirección 1z y B0 5 0.0800 Ty es constante. En los puntos a y b (figura29.50) hay una pequeña abertura en elanillo con alambres que van a un circuitoexterno de resistencia R 5 12.0 V. Nohay campo magnético en la ubicación del circuito externo. a) Obten-ga una expresión, como función del tiempo, para el flujo magnético to-tal FB a través del anillo. b) Determine la fem inducida en el anillo enel momento t 5 5.00 3 1023 s. ¿Cuál es la polaridad de la fem? c) De-bido a la resistencia interna del anillo, la corriente a través de R en el

k

BS

5 B0 31 2 3 1 t/t0 2 2 1 2 1 t/t0 2 3 4 k.y

z

x

12.0 V

k a b

r0r


a

b

R


29.54. Circuito dentro de otro circuito.La figura 29.47 muestra un circuito pequeñodentro de uno más grande, ambos sobre lasuperficie de una mesa. El interruptor se cie-rra en t 5 0 con el capacitor inicialmentedescargado. Suponga que el circuito peque-ño no ejerce un efecto apreciable sobre elgrande. a) ¿Cuál es el sentido de la corriente(de a a b o de b a a) en el resistor r i) en elinstante después de que el interruptor se cierra y ii) una constante de tiempo después de haber cerrado el inte-rruptor? b) Dibuje la gráfica de la corriente en el circuito pequeño como función del tiempo, tomando como positivo el sentido horario.29.55. Rapidez terminal. Una varilla conductora con longitud L,masa m y resistencia R se mueve sin fricción sobre rieles metálicos,como se indica en la figura 29.11. Un campo magnético uniforme está dirigido hacia el plano de la figura. La varilla parte del reposo ysobre ella actúa una fuerza constante dirigida hacia la derecha. Losrieles tienen longitud infinita y resistencia despreciable. a) Elabore unagráfica de la rapidez de la varilla como función del tiempo. b) Encuen-tre una expresión para la rapidez terminal (la rapidez cuando la acele-ración de la varilla es igual a cero).29.56. Rapidez terminal. Una barra de longitud L 5 0.8 m tiene li-bertad para deslizarse sin fricción sobre rieles horizontales, como semuestra en la figura 29.48. Hay un campo magnético uniforme B 5 1.5 T

FS

BS

+

C

R

b

ar

S

E


Problemas 1027

29.62. El cubo de la figura 29.52 mi-de 50.0 cm de arista y está en un cam-po magnético uniforme de 0.120 T,dirigido a lo largo del eje y positivo.Los alambres A, C y D se mueven enlas direcciones indicadas, cada uno conrapidez de 0.350 m>s. (El alambre Ase mueve paralelo al plano xy, C semueve a un ángulo de 45° por debajodel plano xy, y D se mueve paralelo alplano xz.) ¿Cuál es la diferencia depotencial entre los extremos de cadaalambre?29.63. Una varilla delgada, de 0.240 mde largo, gira con rapidez angular de 8.80 rad>s en torno a un eje quepasa por un extremo y es perpendicular a la varilla. El plano de rota-ción de la varilla es perpendicular a un campo magnético uniforme con magnitud de 0.650 T. a) ¿Cuál es la fem inducida en la varilla? b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre sus extremos? c) Supongaque en vez de lo anterior, la varilla gira a 8.80 rad>s en torno a un eje que pasa por su centro y es perpendicular a la varilla. En este caso,¿cuál es la diferencia de potencial entre los extremos de la varilla? ¿Yentre el centro de la varilla y un extremo?29.64. Máquina magnética para hacer ejercicio. Usted ha diseñadouna nueva máquina de hacer ejercicio con un mecanismo muy sencillo(figura 29.36). Una barra vertical de plata (elegida por su escasa resisti-vidad y porque hace que la máquina se vea bonita) con longitud L 5 3.0 mtiene libertad para moverse hacia la izquierda o hacia la derecha sinfricción sobre rieles de plata. Todo el aparato se coloca en un campomagnético uniforme, horizontal, con intensidad de 0.25 T. Cuando seempuja la barra hacia la izquierda o hacia la derecha, su movimientoorigina una corriente en el circuito que incluye a la barra. La resistenciade ésta y la de los rieles es despreciable. El campo magnético ejerce unafuerza sobre la barra conductora de corriente, que se opone al movi-miento de la barra. El beneficio para la salud se deriva del ejercicio queel usuario hace al trabajar contra esta fuerza. a) El objetivo del diseñoes que la persona que haga ejercicio realice trabajo a razón de 25 wattsal mover la barra con una rapidez constante de 2.0 m>s. ¿Cuál debe ser

la resistencia R? b) Usted decide que quiere tener la capacidad de variar lapotencia requerida por la persona, de manera que la máquina se adap-te a la fuerza y condición de cada deportista. Si la potencia se incremen-ta a 50 W modificando R mientras se dejan constantes los demás pará-metros del diseño, ¿R debe aumentar o disminuir? Calcule el valor de Rpara 50 W. c) Cuando usted comienza a construir el prototipo de máqui-na, descubre que es difícil producir un campo magnético de 0.25 T enun área tan grande. Si reduce la longitud de la barra a 0.20 m mientrasB, v y R valen lo mismo que en el inciso a), ¿cuál será la potencia quese demande de la persona que use el aparato?29.65. En la figura 29.53 se muestra una espira rectangular con ancho Ly un alambre corredizo con masa m. Un campo magnético uniforme está dirigido en forma perpendicular al plano de la espira hacia el pla-no de la figura. Se da al alambre corredizo una rapidez inicial v0 y lue-go se libera. No hay fricción entre el alambre corredizo y la espira, y la resistencia de la espira es despreciable en comparación con la resis-tencia R del alambre corredizo. a) Obtenga una expresión para F, lamagnitud de la fuerza ejercida sobre el alambre mientras se mueve a velocidad v; b) Demuestre que la distancia x que el alambre se mue-ve antes de llegar al reposo es x 5 mv0R>a2B2.

BS

vLB

S


I I

L

a

b

v L v

d d

W

a) b)

S S


z

xy

DA

C

BS


29.66. Una varilla metálica de 25.0 cm de largo está en el plano xy yforma un ángulo de 36.9° con el eje positivo de las x, y un ángulo de53.1° con el eje positivo de las y. La varilla se mueve en la dirección1x con una rapidez de 4.20 m>s, y está en un campo magnético unifor-me a) ¿Cuál es lamagnitud de la fem inducida en la varilla? b) Indique cuál extremo dela varilla está a un potencial mayor.29.67. El campo magnético en to-dos los puntos dentro de una regióncircular de radio R, es uniforme en elespacio y está dirigido hacia el planode la página, como se muestra en la fi-gura 29.54. (La región podría ser unasección transversal dentro de los deva-nados de un solenoide largo y recto.)Si el campo magnético se incrementaa una tasa dB>dt, ¿cuáles son la mag-nitud y dirección de la fuerza sobreuna carga puntual, positiva y fija q,ubicada en los puntos a, b y c? (Elpunto a se encuentra a una distancia r por arriba del centro de la re-gión, el punto b está a una distancia r a la derecha del centro, y el pun-to c se halla en el centro de la región.)29.68. La hélice de un avión con longitud total L gira alrededor de sucentro con rapidez angular v en un campo magnético perpendicular alplano de rotación. Modele la hélice como una barra delgada y uniforme,y determine la diferencia de potencial entre a) el centro y cualquiera de los extremos de la hélice, y b) los dos extremos. c) Si el campo es el de la Tierra, de 0.50 G, y la hélice gira a 220 rpm y mide 2.0 m de lar-go, ¿cuál es la diferencia de potencial entre el punto medio y cada ex-tremo? ¿Es suficientemente grande como para preocuparse?29.69. Es imposible tener un campo eléctrico uniforme que caigaabruptamente a cero en una región del espacio en que el campo magné-tico sea constante y en el que no haya cargas eléctricas. Para demostrar

BS

,

10.220 T 2e 2 1 0.0900 T 2 k.1 0.120 T 2 d 2BS

5

b

a

R

c r

rBS


momento dado en el inciso b) es de sólo 3.00 mA. Determine la resis-tencia interna del anillo. d ) Calcule la fem en el anillo en el momento t 5 1.21 3 1022 s. ¿Cuál es la polaridad de la fem? e) Determine elinstante en el que se invierte el sentido de la corriente que fluye a tra-vés de R.29.61. El alambre largo y recto que se muestra en la figura 29.51a con-duce una corriente constante I. Una barra metálica con longitud L semueve a velocidad constante como se indica en la figura. El punto aestá a una distancia d del alambre. a) Calcule la fem inducida en la ba-rra. b) ¿Cuál punto, a o b, está a mayor potencial? c) Si se remplaza labarra por una espira rectangular de alambre de resistencia R (figura29.51b), ¿cuál sería la magnitud de la corriente inducida en la espira?

vS,


esta afirmación, use el método de contradicción: suponga que el casodescrito sí es posible, y luego demuestre que la suposición contradicealguna ley de la naturaleza. a) En la mitad inferior de una hoja de papeldibuje líneas horizontales equidistantes que representen un campoeléctrico uniforme a su derecha. Use líneas punteadas para dibujar unrectángulo abcda con el lado horizontal ab en la región del campoeléctrico, y lado horizontal cd en la mitad superior de la hoja de papel,donde E 5 0. b) Demuestre que la integración alrededor del rectángu-lo contradice la ley de Faraday, ecuación (29.21).29.70. Caída de una espira cuadrada. Una espira cuadrada de co-bre orientada verticalmente cae desde una región en la que el campo es horizontal, uniforme y perpendicular al plano de la espira, hacia unaregión donde el campo es igual a cero. La espira se libera desde el re-poso y al principio está por completo dentro de la región del campomagnético. Sea s la longitud lateral de la espira, y d el diámetro delalambre. La resistividad del cobre es rR y su densidad es rm. Si la espi-ra alcanza su rapidez terminal mientras su segmento superior está aúnen la región del campo magnético, encuentre una expresión para la ra-pidez terminal.29.71. En una región del espacio en la que no hay corrientes de con-ducción ni de desplazamiento, es imposible tener un campo magnéticouniforme que caiga abruptamente a cero. Use el método de contradic-ción para demostrar este enunciado: suponga que ese caso sí es posi-ble, y luego demuestre que la suposición contradice una ley de lanaturaleza. a) En la mitad inferior de una hoja de papel dibuje líneashorizontales equidistantes que representen un campo magnético uni-forme a su derecha. Use líneas punteadas para dibujar un rectánguloabcda con su lado horizontal ab en la región del campo magnético, ysu lado horizontal cd en la mitad superior de la hoja de papel, donde B 5 0. b) Demuestre que la integración alrededor de su rectángulocontradice la ley de Ampère, ecuación (29.15).29.72. Un capacitor tiene dos placas paralelas con área A separadaspor una distancia d. El espacio entre las placas está lleno con un ma-terial con constante dieléctrica K. El material no es un aislante per-fecto, sino que tiene resistividad r. El capacitor está inicialmentecargado con carga de magnitud Q0 en cada placa que gradualmente sedescarga por conducción a través del dieléctrico. a) Calcule la densi-dad de corriente de conducción jC(t) en el dieléctrico. b) Demuestreque en cualquier instante la densidad de corriente de desplazamientoen el dieléctrico es igual en magnitud a la densidad de corriente deconducción, pero con sentido opuesto, por lo que la densidad de co-rriente total es igual a cero en cualquier instante.29.73. Una varilla de silicio puro (resistividad condu-ce una corriente. El campo eléctrico varía con el tiempo en forma sinu-soidal, de acuerdo con la expresión E 5 E0 sen vt, donde E0 5 0.450V>m, v 5 2pf, y la frecuencia es f 5 120 Hz. a) Determine la magnitudde la máxima densidad de corriente de conducción en el alambre. b) Su-ponga que P 5 P0, calcule la máxima densidad de la corriente de des-plazamiento en el alambre, y compárela con el resultado del inciso a).c) ¿A qué frecuencia f las densidades máximas de conducción y de desplazamiento se hacen iguales si P 5 P0 (que en realidad no es el caso)? d ) Con la frecuencia determinada en el inciso c), ¿cuál es la fase relativa de las corrientes de conducción y desplazamiento?

Problemas de desafío29.74. Una espira conductora cuadrada de alambre, con lado L, masatotal m, y resistencia total R, inicialmente está en el plano xy horizon-tal, con vértices en (x, y, z) 5 (0, 0, 0), (0, L, 0), (L, 0, 0) y (L, L, 0).Hay un campo magnético uniforme dirigido hacia arriba en elespacio del interior y alrededor de la espira. El lado de la espira que vade (0, 0, 0) a (L, 0, 0) está fijo en el eje x; el resto de la espira tiene li-bertad para girar alrededor de este eje. Cuando se libera la espira, co-mienza a girar debido al par de torsión gravitacional. a) Encuentre el vector par de torsión neto (magnitud y dirección) que actúa sobre la

BS

5 Bk

r 5 2300 V # m)

BS

espira cuando éste ha barrido un ángulo f a partir de su orientaciónoriginal y está girando hacia abajo con una rapidez angular v. b) En-cuentre la aceleración angular de la espira en el instante descrito en elinciso a). c) En comparación con el caso en el que el campo magnéticoes igual a cero, ¿a la espira le toma más tiempo o menos tiempo descri-bir un giro de 90°? Explique su respuesta. d ) ¿Se conserva la energíamecánica cuando la espira gira hacia abajo? Explique su respuesta.29.75. Una espira conductora, cuadra-da, de 20.0 cm por lado, está situadaen el mismo campo magnético que seilustra en el ejercicio 29.30. (Véase lafigura 29.55; el centro de la espiracuadrada está en el centro de la regióndel campo magnético.) a) Copie la fi-gura 29.55 y dibuje vectores para indi-car la dirección y magnitud relativasdel campo eléctrico inducido en lospuntos a, b y c. b) Demuestre que lacomponente de a lo largo de la espi-ra tiene el mismo valor en todos los puntos de la espira y es igual a la del anillo mostrado en la figura 29.31 (véase el ejercicio 29.30). c) ¿Cuál es la corriente inducida en la espira si su resistencia es 1.90 V? d) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los puntos a y b?29.76. Una espira conductora, unifor-me y cuadrada, de 20.0 cm por lado,está situada en el mismo campo mag-nético que se muestra en el ejercicio29.30, con su lado ac a lo largo de undiámetro y con el punto b en el centrodel campo (figura 29.56). a) Copie lafigura 29.56 y dibuje vectores quemuestren la dirección y magnitud re-lativa del campo eléctrico inducido

en los puntos señalados con letras.b) ¿Cuál es la fem inducida en el ladoac? c) ¿Cuál es la fem inducida en laespira? d) ¿Cuál es la corriente en la espira si su resistencia es 1.90 V?e) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los puntos a y c? ¿Cuálpunto está a un potencial mayor?29.77. Una barra metálica con longitud L, masa m y resistencia R estácolocada sobre rieles metálicos sin fricción que están inclinados un án-gulo f por encima de la horizontal. Los rieles tienen una resistenciadespreciable. Como se indica en la figura 29.57, hay un campo magné-tico uniforme de magnitud B dirigido hacia abajo. La barra se liberadesde el reposo y se desliza hacia abajo por los rieles. a) El sentido dela corriente inducida en la barra, ¿es de a a b o de b a a? b) ¿Cuál es larapidez terminal de la barra? c) ¿Cuál es la corriente inducida en la ba-rra cuando se ha alcanzado la rapidez terminal? d) Después de haberalcanzado la rapidez terminal, ¿a qué tasa se convierte la energía eléc-trica en energía térmica en la resistencia de la barra? e) Una vez que sellegó a la rapidez terminal, ¿a qué tasa la gravedad realiza trabajo so-bre la barra? Compare su respuesta con la del inciso d ).

ES

ES

ES

ba c

20.0cm

20.0cm

B

Figura 29.55 Problemade desafío 29.75.

20.0cm

20.0cm

dc e

b

a

f

gh

BS

Figura 29.56 Problemade desafío 29.76.

a

bL

B

B

f

S

S

Figura 29.57 Problema de desafío 29.77.

Problemas de desafío 1029

29.78. Considere un disco de metal uniforme que gira a través de uncampo magnético perpendicular como se observa en la figura29.19a. El disco tiene una masa m, radio R y espesor t, está hecho deun material con resistividad r y gira en el sentido horario en la figura29.19a, con rapidez angular v. El campo magnético está dirigido haciael plano del disco. Suponga que la región en la que está confinado eldisco no es circular, como se observa en la figura 29.19a, sino que esun cuadrado pequeño con lados de longitud L con su centroa una distancia d del punto O (el centro del disco). En la figura 29.19a,los lados de este cuadrado son horizontales y verticales. a) Demuestreque la corriente inducida dentro del cuadrado es aproximadamenteigual a I 5 vdBLt>r. ¿En qué sentido fluye esta corriente? (Sugeren-cia: suponga que la resistencia a la corriente está confinada a la región

1L V R 2BS

,del cuadrado. La corriente también encuentra resistencia conforme flu-ye fuera de la región en que está confinado el campo magnético, comose observa en la figura 29.19b; sin embargo, esta resistencia es relati-vamente pequeña, ya que la corriente puede fluir a través de un áreamuy amplia. Recuerde la ecuación (25.10) para la resistencia, dada enla sección 25.3.) b) Demuestre que la corriente inducida da origen a unpar de torsión de magnitud aproximada que se oponea la rotación del disco (es decir, un par de torsión en sentido antihora-rio). c) ¿Cuáles serían las magnitudes y direcciones de la corriente inducida y del par de torsión si la dirección de fuera aún hacia el plano del disco pero el disco girara en sentido antihorario? ¿Y si la di-rección de saliera del plano hacia el observador y el disco girara ensentido antihorario?

BS

BS

t 5 vd 2B 2L2t/r

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Prb Cap 10