Prblemas Resist

Dpto. de Ing. Mecánica y de los Materiales. Sistemas Mecánicos.

-1-

Tema 1. Introducción a la resistencia de materiales. Problema 1. La manivela de la figura se emplea para hacer girar un elemento mediante la aplicación de una fuerza F =

1500 N, provocando la torsión y la flexión del eje:

a) Realice el diagrama de cuerpo libre y calcule las fuerzas y momentos que actúan en los elementos de la

figura.

b) Determine el valor del momento torsor máximo en la manivela BC.

Problema 2. Se aplica una fuerza de 13 kN al poste de hierro fundido ABD de 60 mm de diámetro que se muestra en la

figura. Realice el diagrama de cuerpo libre y determine los esfuerzos en el empotramiento A.


-2-

Tema 2. Tracción y compresión. Problema 1. Calcule la máxima masa soportable P por las 3 varillas de acero de la figura.

Propiedades: E = 210000 MPa, σADM = 400 MPa.

Datos geométricos de las varillas: longitud = 10 m, área = 1 cm2

Problema 2. Para el mismo acero y varillas del problema anterior compruebe si se puede

soportar una carga de 10000 kg.

Distancia entre varillas = h = 1 m, distancia excéntrica = a = 0.5 m

Problema 3. La pieza cilíndrica compuesta de la figura, ¿puede soportar 10000 kg?

Material 1 (goma): E1=1/100 E2, σADM1 = 10 MPa.

Material 2 (acero): E2=210 GPa, σADM2 = 400 MPa.

D1= 1 m, D2= 1.01 m

Problema 4. Determine la reacción en los empotramientos en función de la posición de la carga a

y la longitud de la barra L.

Sólidorígido

P

1 2 3

Sólidorígido

P

1 2 3

Sólidorígido

P=10000 kg

1 2 3

h h

a

Sólidorígido

P=10000 kg

1 2 3

h h

a

2

Sólidorígido

1

P=10000 kg

2

D1 D2

2

Sólidorígido

1

P=10000 kg

2

D1 D2

2

Sólidorígido

1

P=10000 kg

2

D1 D2

a

L

P

a

L

P


-3-

Problemas complementarios resueltos.

Problema 5. Determinar el alargamiento de la varilla de acero mostrada en la figura (E= 200 GPa). Solución: El esfuerzo axil no es constante a lo largo de la varilla. Toma tres valores diferentes correspondientes a las tres zonas diferentes en la varilla, motivadas por existir cargas concentradas. Se deben realizar tres cortes y aplicar equilibrio a los cuerpos libres obtenidos, como muestra la figura. El equilibrio en cada caso proporciona: P3 = 133 kN P2 = 132-200 kN = -67 kN P1 = 133-200+334 kN = 267 kN Las tres partes miden: L3 = 392 mm L2 = 305 mm L1 = 305 mm El alargamiento total de la varilla se obtiene sumando el alargamiento de los tres tramos:

mmmm

mmkN

MPa

A

LP

A

LP

A

LP

EAE

LP

iii

ii

87.1194

392133

580

305)67(

580

305267

10200

1

1

23

3

33

2

22

1

11

=

⋅+⋅−+⋅×

=

=∑

++==δ

Problema 6. La barra rígida BDE se soporta en dos eslabones AB y CD. El eslabón AB es de aluminio (E= 70 GPa) y tiene una sección transversal de 500 mm2. El eslabón CD es de acero (E= 200 GPa) y tiene una sección transversal de 600 mm2. Para la fuerza mostrada de 30 kN, determine la deflexión de B, D y E. Solución: Cuerpo libre: BDE ∑M(B) = 0: -30(kN)·0.6(m)+FCD·0.2(m) = 0, FCD = 90 kN (tracción) ∑M(D) = 0: -30(kN)·0.4(m)-FAB·0.2(m) = 0, FAB = -60 kN (compresión)

Deflexión de B:

)(514.0

10514)10500)(1070(

)3.0)(1060( 6

269

3

arriba haciamm

mmPa

mN

AE

LPB

−=

=×−=××

×−== −

−δ

2 2


-4-

Deflexión de D:

)(300.0

10300)10600)(10200(

)4.0)(1090( 6

269

3

abajo haciamm

mmPa

mN

AE

LPD

=

=×=××

×== −−δ

Deflexión de E: la barra BDE es rígida, así que la posiciones finales de los puntos B, D y E están en una línea recta.

↓=⇒=⇒=

=⇒=−

⇒=

mmmm

mm

mmDH

DD

EH

EE

mmxx

mm

xmm

mm

HD

DD

HB

BB

EE 928.1

7.73

300.0

7.473

´´

7.73300.0

)200(

514.0´´

δδ

Problema 7. Determine las tensiones en las porciones AC y CB de la barra de acero de la figura cuando la temperatura de la barra desciende de 24ºC a -45 ºC, sabiendo que existe un buen ajuste entre los dos soportes rígidos (E= 200 GPa, α =11.7x10-6 1/ºC). Solución: Considérese la deformación por temperatura que tendría la barra si su acortamiento no estuviera impedido:

mmmmCC

LTT 49.0610)º69(º

1107.11

6 −=⋅−⋅×=∆= −αδ

Si se aplica una fuerza de tracción RB en el extremo B, la deformación correspondiente es la siguiente:

N

mmR

mm

mm

MPa

R

AE

LP

AE

LP

B

B

R

3

23

22

22

11

11

10200

18.1

774

305

387

305

10200

×⋅

=

=

+×

=

=+=δ

Como la deformación total real es cero, se debe cumplir:

kNR

N

mmRmm

B

BRTR

83

10200

18.149.00

3

=⇒

⇒×⋅

+−==+= δδδ

Las tensiones son:

(tracción) :CB Tramo

(tracción) : ACTramo

MPamm

N

A

P

MPamm

N

A

P

107774

1083

214387

1083

2

3

2

2

2

2

3

1

11

=×==

=×==

σ

σ


-5-

300 kN

600 kN

A

B

C

D

E

RA

RB

300 kN

600 kN

A

B

C

D

E

RA

RB

Problema 8. La barra cilíndrica de la figura se encuentra empotrada en sus dos

extremos A y E. Determine las reacciones que se producen en A y E

cuando se aplica la carga.

Solución: Del equilibrio de todo el cuerpo completo se obtiene: RA+RB = 900 kN Se necesita otra ecuación, que va a ser la de compatibilidad. En este caso la

compatibilidad implica que el alargamiento total de la barra debe ser cero. Expresando el

alargamiento de cada uno de los tramos en función del axil se obtiene la segunda

ecuación necesaria para resolver el sistema. El axil en cada tramo es el siguiente:

Tramo AB: P = RA

Tramo BC: P = RA - 300

Tramo CD: P = RA - 300

Tramo DE: P = RA - 900

El alargamiento total de la varilla se obtiene sumando el alargamiento de los cuatro tramos, que debe ser cero:

kNRRRRR

RRRR

EAE

LP

AAAAA

i

AAAA

ii

ii

3230400

)900(

400

)300(

250

)300(

250

0400

150)900(

400

150)300(

250

150)300(

250

1501

=⇒=−+−+−+

⇒=

−+−+−+⋅== ∑δ

Conociendo RA se puede obtener RB del equilibrio: RB = 577 KN

300 kN

600 kN

A

B

C

D

E

150 mm

150 mm

150 mm

150 mm

250 mm2

400 mm2

300 kN

600 kN

A

B

C

D

E

150 mm

150 mm

150 mm

150 mm

250 mm2

400 mm2


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Tema 3. Análisis de tensiones. Problema 1. Dado el estado tensional de un punto mostrado en el dibujo:

1. Dibujar su círculo de Mohr.

2. Calcular las tensiones y direcciones principales.

3. Obtener la tensión tangencial máxima y su dirección.

Problema 2. Dado el estado tensional de un punto mostrado en el dibujo:



3. Obtener la tensiones a 45º respecto a la dirección OX+ (sentido

antihorario).





antihorario).






antihorario).

Problema 5. Las dos tensiones principales de un elemento tensional plano son el doble la una de la otra y de tracción. La

tensión tangencial máxima es 40 MPa.

Obtener las tensiones principales y el estado tensional a 30º (sentido antihorario) respecto a la dirección de

la tensión principal I.

Problema 6. Dos piezas están unidas con un adhesivo cuyas propiedades mecánicas son σADM = 400 kPa, tADM = 600

kPa. Calcular la tensión P a la que se despegan las dos

piezas y si lo hacen por tensión normal o tangencial.

Nota: se supone que el despegue se produce de forma

normal o tangencial pura y no de forma mixta.

12.3 MPa x

y

4.7 MPa

4.2 MPa

12.3 MPa x

y

4.7 MPa

4.2 MPa

10 MPa x

y

6 MPa

4 MPa

10 MPa x

y

6 MPa

4 MPa

15 MPa x

y

4 MPa

5 MPa

15 MPa x

y

4 MPa

5 MPa

100MPa x

y

48 MPa

60 MPa

100MPa x

y

48 MPa

60 MPa

P

120 mm

80 mm

22º

P

120 mm

80 mm

22º


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x

y

10 MPa

40 MPa

50 MPa x

y

10 MPa

40 MPa

50 MPa






Solución: 1) Para el círculo se tienen dos puntos a 90º, que conforman el diámetro del círculo: X: (50, -40), Y: (-10, 40) El círculo de Mohr se define con: Centro: (20, 0), Radio: 50 A partir del círculo de Mohr y utilizando sencillas relaciones trigonométricas se pueden obtener las tensiones en cualquier dirección. 2) Tensiones principales: σI = 20+50 = 70 MPa σII = 20-50 = -30 MPa (compresión) Direcciones principales: Ángulo que forma la dirección principal I con el eje OX+: 2θ = arctan (40/30)=53.1º, θ = 26.55º Las direcciones principales I y II forman 90º por definición. 3) Tensión tangencial máxima: su módulo es el radio del círculo tMAX = 50 MPa En esa dirección la tensión normal es: σ = 20 MPa Dirección en la que se encuentra la tensión tangencial máxima: 2θ+2α = 53.1º+90º=143.1º La dirección respecto al eje OX+ es: 143.1/2 = 71.55º (este valor ha de ser igual a 26.55º+45º)

26.6ºx

y

σI=70 MPaσII=-30 MPa

26.6ºx

y

σI=70 MPaσII=-30 MPa


-8-

Problema 8. La fibra de un elemento de madera forma 15º con la vertical. Para el estado tensional de la figura, determine: a) La tensión cortante en el plano paralelo a la fibra. b) Tensión normal perpendicular a la fibra. Solución: Obtengo el círculo de Mohr para un estado tangencial puro Eje x: X = (0, -400)

Eje y: Y = (0, 400)

R = 400

C = 0

a) La fibra forma 15º en sentido negativo respecto a OX, por lo que se representa en el círculo de Mohr

el ángulo – 30º respecto al punto X, determinando el punto A.

MPa346º240sen400 −==τ

b) MPa200º240cos400 −==σ

Es una tensión de compresión por lo que no hay riesgo de que se despeguen las fibras por el efecto de la tensión normal.


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Tema 4. Tensión tangencial. Problema 1. Determine el valor de la fuerza F máxima que se puede aplicar para que resista la unión atornillada de la figura. Datos: Tornillo M15, [τ] = 210 MPa Problema 2. Determine el valor de la fuerza F máxima que se puede aplicar para que resista la unión soldada de la figura. Datos: [τ] = 140 MPa, l = 160 mm, a = 18 mm Problema 3. La viga angular de la figura está unida a un pilar mediante dos tronillos de 14 mm de diámetro. La viga soporta una carga vertical P igual a 28 kN que actúa a igual distancia de los dos tornillos. Calcule el esfuerzo tangencial al que están sometidos los tornillos y compruebe la resistencia de la unión si [τ] = 150 MPa

Problema 4. Se utiliza un punzón para hacer un agujero en la placa de acero de 0,25 pulgadas de espesor. Se requiere para ello una fuerza P = 26 000 lb. ¿Cuál es la tensión tangencial promedio en la placa punzonada y la tensión de compresión en el punzón? .


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Problema 5. La barra de sujeción de acero de la figura ha de diseñarse

para soportar una fuerza de tracción de P=120 kN cuando

se asegure con pasadores a dos placas en A y B. La barra

se fabricará de placa de t=20 mm de espesor. El acero

tiene de propiedades: σADM = 175 MPa, tADM = 100 MPa.

Diseñe la dimensión h de la barra y el diámetro d del

pasador.

Solución: La barra se encuentra sometida a tracción. La dimensión h debe ser tal que la tensión σ no supere su valor admisible:

mmhmmh

NMPa

th

P3.34

20

120000175 =⇒

⋅=⇒

⋅=σ

Los pasadores trabajan a cortante, siendo su valor la mitad de la carga P:

mmdd

NMPa

d

P

A

F6.27

4/

60000100

4/

2/

22

1 =⇒=⇒==ππ

τ

Problema 6. La viga rígida BCD está unida mediante pasadores a una varilla en B, a un

cilindro hidráulico en C y a un apoyo fijo en D. Los diámetros de los

pasadores son: dB = dD = 10 mm, dC = 13 mm. El acero tiene de

propiedades σADM = 220 MPa, tADM = 150 MPa. El diámetro de la varilla es

dA = 12 mm. Determine la fuerza ascendente máxima que puede aplicarse

al cilindro hidráulico en C, teniendo en cuenta la resistencia de todos los

elementos.

Solución: Se realiza el equilibrio de la viga para obtener las fuerzas en cada elemento: FC = FB + FD 150FC = 350FD Luego: FD = 0.43FC FB = 0.57FC A continuación se ve la fuerza máxima que puede soportar cada elemento:


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Varilla: sometida a axil de valor FB

NFF

A

FCADM

CB 43651457.0

12220

4/12

57.0 2

2=

⋅⋅⋅<⇒<== πσ

πσ

Los pasadores trabajan a cortante, siendo su valor la mitad del axil que transmiten: Pasador en B: sometido a cortante FB/2

NFF

A

FCADM

CB 41336457.0

210150

4/102

57.02/ 2

2=

⋅⋅⋅⋅<⇒<

⋅== πτ

πτ

Pasador en D: sometido a cortante FD/2

NFF

A

FCADM

CD 54795443.0

210150

4/102

43.02/ 2

2=

⋅⋅⋅⋅<⇒<

⋅== πτ

πτ

Pasador en C: sometido a cortante FC/2

NFF

A

FCADM

CC 3981941

213150

4/132

2/ 2

2=

⋅⋅⋅⋅<⇒<

⋅== πτ

πτ

Para que no rompa ningún elemento la carga aplicada no debe superar el mínimo de los 4 valores obtenidos: FC (max) = 39819 N


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Tema 5. Torsión. Problema 1. De las secciones que se muestran, ¿cuál trabaja mejor a torsión, si ambas tienen la misma área? Problema 2. Dado el cilindro de la figura (anclado a tierra en su base), hallar el ángulo de torsión en el extremo A. G = 80 000 MPa. Problema 3. El eje macizo de la figura es de acero, que tiene una tensión tangencial máxima admisible de τmáx=40 MPa. Por razones de diseño, se permite en el eje un giro máximo de 1º por metro lineal de eje. Datos: G = 80 000 MPa. a) Determine el momento torsor máximo aplicable al eje. b) Para el momento torsor obtenido en el apartado anterior,

determine el ángulo total de giro ϕ Problema 4. Del eje macizo de la figura: a) Calcule el diámetro del eje necesario para que resista los momentos torsores

aplicados. b) Obtenga el ángulo girado por el punto B y el ángulo total girado por la barra (en

C). c) Obtenga la tensión máxima en el tramo BC. Datos: G = 80 GPa, [τ] = 300 MPa


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Problemas complementarios.

Problema 5. El eje BC es hueco y tiene diámetros interior y exterior de 90 y 120 mm respectivamente. Los ejes AB y CD son sólidos y de diámetro d. Para la carga mostrada en la figura, determine: a) La tensión tangencial máxima y mínima en el eje BC. b) El diámetro d requerido en los ejes AB y CD si τADM = 65 MPa. Solución: Ecuaciones de estática: Denotando con TAB el par de torsión en el eje AB, se hace un corte en el eje AB y para el cuerpo libre mostrado se escribe: ΣMx = 0 6 kNm – TAB = 0 TAB = 6 kNm

Ahora se corta en BC y para el cuerpo libre de la figura se tiene:

ΣMx = 0 6 kNm + 14 kNm – TBC = 0 TBC = 14 kNm

Para el eje hueco AB el momento de inercia es:

( ) ( ) 464441

42 1092.13045.0060.0

22mccIP

−×=−=−= ππ

a) De modo que la tensión tangencial máxima y mínima son:

MPam

mkNm

I

cT

P

BC 2.861092.13

060.020max46

22max =⇒

×⋅=

⋅== − τττ

MPamm

mm

MPac

c7.64

60

45

2.86min

min

2

1

max

min =⇒=⇒= ττττ

b) En los ejes AB y CD el torsor es de 6 kNm, por tanto:

mmrd

mmr

r

NmmMPa

r

rT

I

rT

P

8.772

9.38

2

10665

2

3

6

4

==

=⇒×=⇒

⋅=⋅= ππτ


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Problema 6.

Un eje circular AB consiste en un cilindro de acero de 10 pulgadas de largo y 7/8 pulgadas de diámetro, en el que se ha perforado una cavidad de 5 pulgadas de largo y 5/8 pulgadas de diámetro desde el extremo B. El eje está unido a soportes fijos en ambos extremos y un par de 90 lb·ft se aplica a la mitad. Determine el par ejercido sobre el eje por cada uno de los soportes.

Dibujando el diagrama de cuerpo libre del eje y denotando con TA y TB los pares ejercidos por los soportes (figura a) se obtiene la ecuación de equilibrio:

ftlb90TT BA ⋅=+ Como esta ecuación no es suficiente para determinar los dos pares desconocidos TA y TB, el eje es estáticamente indeterminado. Sin embargo, TA y TB pueden determinarse si se observa que el ángulo total de giro del eje AB debe ser cero ya que ambos extremos se encuentran empotrados. Denotando como φ1 y φ2 respectivamente, los ángulos de giro de las porciones AC y se CB, se escribe:

021 =+= φφφ

Del diagrama de cuerpo libre de una pequeña porción del eje que incluya al extremo A (figura b), se advierte que el par interno T1 en AC es igual a TA, y del diagrama de cuerpo libre de una pequeña porción del eje que incluye el extremo B (figura c) puede notarse que el par interno T2 en CB es igual a TB. Considerando la relación que existe entre el módulo de resistencia a la torsión y la deformación, y observando que las porciones AC y CB del eje están torcidas en sentidos opuestos, se escribe:

0GI

LT

GI

LT

P 2

2B

P1

1A21 =−=+= φφφ

Despejando TB se tiene que:

TLI

LIT A

2P1

1P 2B =

Sustituyendo:

in5LL 21 ==

in105,5732

8

7

I43

4

P1−×=

=π

in106,428

5

8

7

32I

43

44

P 2−×=

−

= π

Se obtiene:

T740,0T AB = Sustituyendo esta expresión en la ecuación de equilibrio original, se tiene que:

ftlb90T740,1 A ⋅=

ftlb7,51T A ⋅= ftlb3,38T B ⋅=


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Tema 6. Flexión. Problema 1. Obtener la máxima carga P que puede soportar la viga de la figura.

4. Sección rectangular: h = 10 mm, b = 5 mm.

5. Sección rectangular: h = 5 mm, b = 10 mm.

Material: E = 210000 MPa, σADM = 400 MPa.

Longitud L = 1 m

Problema 2. Calcular la sección IPN sección necesaria para soportar una carga de

P = 10000 kg. Longitud L = 1 m.

(acero estructural: σADM = 260 MPa)

Problema 3. Determinar las máximas tensiones de

tracción y compresión en la viga.

Problema 4. Obtener los diagramas de cortante y flector de la viga de la figura.

Problema 5. Obtener los diagramas de cortante y flector de la viga de la figura.

Problema 6. Dada la viga de la figura:

7. Obtener las reacciones en los apoyos A y B (RA, RB, MA, MB,).

8. Dibujar el diagrama de cortantes y flectores.

9. Determinar el punto donde se produce el flector máximo y hallar su valor.

10. Calcular la sección en I necesaria para resistir la carga (σADM = 260 MPa).

11. A continuación suponer que toda la carga se concentra en el punto central de la viga, es decir una carga

puntual de P = 5000 kg. Recalcular la sección de la viga en I.

12. Suponer que la carga puntual de 5000 kg se traslada del centro hacia la izquierda hasta situarse a 1 m

del punto A. Recalcular la sección de la viga.

13. Comparar los resultados obtenidos y comentar qué forma de carga la viga es mejor.

P

L

h

b

P

L

h

b

P

L

h

b

P

L

h

b

0

L

x

qo

0

L

x

qo

q

L

q

L

q = 1000 kg/m

L = 5 m

A B

q = 1000 kg/m

L = 5 m

A B

6b

1

2

b

2h

h/2MFMF

6b

1

2

b

2h

h/2MFMF


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Problema 7. La viga de la figura, de longitud 0.325 m y sección rectangular (b = 18 mm, h = 36 mm), soporta una carga uniformemente distribuida y dos cargas puntuales P y Q. Experimentalmente se ha determinado que la tensión normal debida a la flexión en el lado inferior de la viga es de 56.9 MPa en el punto A y de 29.9 MPa en el punto C. Dibujar los diagramas de cortante y flector de la viga y determine las cargas P y Q. Problema 8. Dada la viga de la figura: 1. Obtener las reacciones de cortante y flector en el empotramiento B (RB, MB). 2. Dibujar el diagrama de flectores. 3. ¿Qué punto de la viga es el que alcanza mayores tensiones? Obtener el valor

de “q” que provoca que se alcance la σADM en ese punto. Datos: σADM = 400 MPa, a=1 m, L=2 m, sección rectangular: h=10 mm, b= 5 mm.

Problema 9. Obtener y(x), θ (x), yA, yB

Problema 10. Obtener y(x), θ (x), yMAX (para x є [0, a], a > b).

Calcular donde se da la ymax para a = 0.7 L

Problema 11. Obtenga y(x), θ (x), yMAX.

Problema 12. 1. Comprobar si se supera la σADM = 400 MPa en algún punto de la

viga. 2. Comprobar si se supera un desplazamiento vertical de 10 cm en

algún punto de la viga. Datos: E = 210000 MPa, h = 10 mm, b = 5 mm

Problema 13. 1. Obtener las reacciones RA y MA. 2. Diagrama de cortantes y flectores. 3. Desplazamiento vertical del punto C. 4. ¿Qué 3 medidas tomaría para que la viga no tuviera mucha flecha? Problema 14. Los travesaños prismáticos AD y DB se encuentran soldados entre sí para formar la viga soldada ADB. Si se sabe que la rigidez a flexión es EI en el tramo AD de la viga y 2EI en el tramo DB, determine para la carga que se muestra en la figura la pendiente y el desplazamiento en el extremo A.

q = 2 kN/m

0.1 m

A

QP

BC D

0.1 m 0.125 m

q = 2 kN/m

0.1 m

A

QP

BC D

0.1 m 0.125 m

q (N/m)

A B

L

a

q (N/m)

A B

L

a

P

La b

xy

BAP

La b

xy

P

La b

xy

BA

A

P

L/2

xy

L/2

BA

P

L/2

xy

L/2

B

P

L/2

xy

L/2

B

B

L

A

xy

P

B

L

A

xy

P

P=2.5 kg

1 m

h

b1 m

A B C

P=2.5 kg

1 m

h

b1 m

A B C

L

qo

a

A B C

L

qo

a

A B C

P

a a

A DB

P

EI2EI

P

a a

A DB

P

EI2EI

(N/m)


-17-

2bb

P

A B

2 KN/m

1m 2m 1m 2m

b

2b

Problema 15.

Para la siguiente figura: 1. Determinar la carga P que minimiza el valor de la reacción

en el apoyo A. 2. Para dicho valor de P, obtener los diagramas de esfuerzos. 3. Calcular el perfil necesario para que en ningún punto se

supere el límite elástico del material. 4. Rehacer el apartado anterior suponiendo que la sección es

la de la siguiente figura. Extraer conclusiones acerca de los valores obtenidos.

Datos: Viga de acero S275, σE = 275 MPa


-18-

Tema 7. Pandeo. Problema 1. Determinar la carga máxima P que puede soportar el pilar de la figura, cuya

sección es una corona circular.

Material: Aluminio, E = 70000 MPa, σE = 180 MPa.

Geometría: Longitud L = 2 m, d = 3 cm, D = 4 cm.

I = π(D4 - d4)/64

Problema 2. Determinar la carga máxima P que puede soportar el pilar de la figura,

cuya sección está formada por tres perfiles.

Geometría: Longitud L = 3.6 m

Material: Acero, E = 210000 MPa, σE = 140 MPa.

Problema 3. Una columna de aluminio, de longitud L y sección transversal rectangular, tiene un

extremo fijo B y soporta una carga centrada en A. Dos placas restringen el movimiento

del extremo A en uno de los planos verticales de simetría de la columna, pero le

permiten moverse en el otro plano.

1. Determinar la relación a/b de los lados de la sección más eficiente a pandeo

(suponiendo que la columna es suficientemente esbelta como para ser diseñada

según el criterio de Euler).

2. Diseñar la sección más eficiente para una columna con L = 20 in, E = 10.1x106 psi, P = 5 kips y el factor

de seguridad de 2.5.

Datos: Izz = bh3/12

Problema 4. La figura muestra un mecanismo hidráulico para trasvasar

líquido desde una cubeta pequeña a una grande. El cilindro

hidráulico pasa de la posición inicial AB a la posición final

AC. Calcule el diámetro del vástago del cilindro para resistir

la compresión de 5488 N a la que está sometido. Para ello

considere que el vástago tiene como longitud AC-CB = 3.42

m y que se encuentra empotrado-articulado en sus extremos.

Especifique si el diseño se ha hecho por Euler, por compresión pura o por la parábola de Johnson.

Datos: E= 210 GPa, σE=200 MPa, Ixx=πD4/64 (sección circular).

L

P

d

D

Sección

L

P

d

D

Sección

L

P

350 mm

Sección

12 mm

500 mm10 mm

z

y

L

P

350 mm

Sección

12 mm

500 mm10 mm

z

y

L

P

z

y

A

B

ab

L

P

z

y

A

B

ab


-19-

Problemas complementarios.

Problema 5. Determinar la mayor longitud L de una columna biarticulada sometida a una carga en compresión pura de

60 kN. Usar un factor de seguridad de 1.92.

Material: σE = 250 MPa, E = 200 GPa.

Geometría: Área de la sección = 1460 mm2, radios de giro: ix = 41.6 mm, iy = 14.8 mm.

Solución: En primer lugar se comprueba que resiste a compresión pura:

OKMPaMPamm

N

A

PE 2509.78

1460

6000092.12

=<=⋅== σσ

Veamos la máxima longitud a pandeo, suponiendo inicialmente que se diseña según Euler (al final habrá que comprobar que la hipótesis es cierta). Se escoge el radio de giro menor iy:

mmL

MPa

mmMPa

MPa

iELMPa

L

iE yyEuler

2340

9.78

8.14200000

9.789.78

222222

2

22

=⇒

⋅==⇒== πππσ

Compruebo que efectivamente estoy en la zona de Euler:

6.125250

200000222

22

=== πσπλE

critE

l de la columna:

OKi

L

y

6.1251.1588.14

2340 >===λ

Luego el diseño por Euler es correcto y por tanto: LMAX = 2.34 m

Euler

Parábola

σE=250

σ (MPa)

σE/2

λcrit ( 2)λcrit==125.6

Punto de diseño

λ=158.1

78.9

Euler

Parábola

σE=250

σ (MPa)

σE/2

λcrit ( 2)λcrit==125.6

Punto de diseño

λ=158.1

78.9

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